Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Факультет технической кибернетики

Кафедра автоматики и вычислительной техники

ОТЧЕТ

по лабораторной работе №3

Исследование рекуррентных алгоритмов цифровой фильтрации

сигналов методом усреднения.

Выполнил студент гр. 4081/1 Волыхин А.Н.

Проверил: Ярмийчук В.Д.

Санкт-Петербург

1. Цели работы

Цель работы – знакомство с различными алгоритмами цифровой фильтрации сигналов методом усреднения и исследование эффективности их работы в условиях, когда на полезный сигнал наложена помеха типа «белого шума» с нулевым математическим ожиданием и

регулируемой дисперсией.

2. Методика исследования

Исследуются фильтры на основе следующих алгоритмов:

1). Рекуррентный алгоритм усреднения с бесконечной памятью.

Назначение фильтра - выделения постоянной составляющей полезного сигнала на фоне помех.

Выражение для него в рекуррентной форме:

При он обеспечивает .

2). Рекуррентный алгоритм усреднения с постоянным коэффициентом коррекции.

Назначение фильтра - выделения низкочастотных составляющих входного полезного сигнала на фоне помех.

Если принять , то можно записать это уравнение в форме:

Откуда при переходе к непрерывному времени получим передаточную функцию фильтра:

То есть фильтр, построенный по такому алгоритму, при малых значениях эквивалентен

аналоговому низкочастотному фильтру первого порядка.

3). Рекуррентный алгоритм усреднения с конечной памятью.

Назначение фильтра - выделения низкочастотных составляющих входного сигнала

с использованием усреднения только ограниченного числа его последних измерений.

Эффективность цифровой фильтрации, то есть меру снижения уровня помех на выходе фильтра по сравнению с уровнем помех на входе, будем оценивать следующим образом:

Где: - зашумленный сигнал на входе фильтра

Полезный сигнал на входе фильтра

Сигнал на выходе фильтра

Полезный сигнал на выходе фильтра

3. Схема эксперимента (см. приложение 1)

4. Результаты эксперимента

4.1. Рекуррентный алгоритм усреднения с бесконечной памятью

Исследования проводились при постоянном периоде дискретизации, равном 100 мс.

Рассмотрим, как меняется эффективность работы фильтра от величины постоянного входного сигнала (X).

Алгоритмы аналитической градуировки, цифровой фильтрации методами экспоненциального сглаживания и скользящего среднего. Робастные, высокочастотные, полосовые и режекторные фильтры. Дискретное дифференцирование, интегрирование и усреднение измеряемых величин.

Фильтр - это система или сеть, избирательно меняющая форму сигнала (амплитудно-частотную или фазово-частотную характеристику). Основными целями фильтрации являются улучшение качества сигнала (например, устранение или снижение помех), извлечение из сигналов информации или разделение нескольких сигналов, объединенных ранее для, например, эффективного использования доступного канала связи.

Цифровой фильтр - любой фильтр, обрабатывающий цифровой сигнал с целью выделения и/или подавления определённых частот этого сигнала.

В отличие от цифрового, аналоговый фильтр имеет дело с аналоговым сигналом, его свойства недискретны (непрерывны), соответственно передаточная функция зависит от внутренних свойств составляющих его элементов.

Упрощенная блок-схема цифрового фильтра реального времени с аналоговым входом и выходом приведена на рис. 8а. Узкополосный аналоговый сигнал периодически выбирается и конвертируется в набор цифровых выборок, x(n), n = 0,1, Цифровой процессор производит фильтрацию, отображая входную последовательность х(n) в выходную у(n) согласно вычислительному алгоритму фильтра. ЦАП конвертирует отфильтрованный цифровым образом выход в аналоговые значения, которые затем проходят аналоговую фильтрацию для сглаживания и устранения нежелательных высокочастотных компонентов.

Рис. 8а. Упрощенная блок схема цифрового фильтра

Работа цифровых фильтров обеспечивается, в основном программными средствами, поэтому они оказываются значительно более гибкими в применении по сравнению с аналоговыми. С помощью цифровых фильтров можно реализовать такие передаточные функции, которые очень трудно получить обычными методами. Тем не менее, цифровые фильтры пока не могут заменить аналоговые во всех ситуациях, поэтому сохраняется потребность в наиболее популярных аналоговых фильтрах.

Для того чтобы разобраться в сущности цифровой фильтрации, прежде всего необходимо определить математические операции, которые осуществляются над сигналами в цифровой фильтрации (ЦФ). Для этого полезно вспомнить определение аналогового фильтра.

Линейный аналоговый фильтр представляет собой четырёхполюсник, в котором реализуется линейное преобразование входного сигнала в выходной сигнал . Математически это преобразование описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением N -го порядка

где и - коэффициенты, являющиеся либо константами, либо функциями времени t ; - порядок фильтра.

Линейный дискретный фильтр представляет собой дискретный вариант аналогового линейного фильтра, в котором квантованной (дискретизированной) является независимая переменная - время (- шаг дискретизации). При этом целочисленная переменная может рассматриваться как «дискретное время», а сигналы и как функции «дискретного времени» (так называемые решётчатые функции).

Математически функция линейного дискретного фильтра описывается линейным разностным уравнением вида

где и - отсчёты входного и выходного сигналов соответственно; и - коэффициенты алгоритма фильтрации, представляющие собой либо константы, либо функции «дискретного времени» n .

Алгоритм фильтрации (2.2) может быть реализован средствами аналоговой либо цифровой техники. В первом случае отсчёты входных и выходных сигналов по уровню не квантуются и могут принимать любые значения в диапазоне их изменения (т.е. имеют мощность континуума). Во втором случае отсчёты сигналов и подвергаются квантованию по уровню, в связи с чем они могут принимать только «разрешённые» значения, определяемые разрядностью цифровых устройств. Кроме того, квантованные отсчёты сигналов кодируются, поэтому арифметические операции, выполняемые в выражении (2.2), осуществляются не над самими сигналами, а над их двоичными кодами. Из-за квантования по уровню сигналов и , а также коэффициентов и равенство в алгоритме (2.2) не может быть точным и выполняется лишь приближённо.

Таким образом, линейный ЦФ представляет собой цифровое устройство, приближённо реализующее алгоритм фильтрации (2.2).

Главный недостаток аналоговых и дискретных фильтров заключается в том, что при изменении условий работы (температуры, давления, влажности, питающих напряжений, старения элементов и т.д.) их параметры изменяются. Это приводит к неконтролируемой погрешности выходного сигнала, т.е. к низкой точности обработки.

Погрешность выходного сигнала в ЦФ не зависит от условий работы (температуры, давления, влажности, питающих напряжений и т.п.), а определяется лишь шагом квантования сигналов и алгоритмом работы самого фильтра, т.е. внутренними причинами. Эта погрешность является контролируемой , её можно уменьшить, увеличивая число разрядов для представления отсчётов цифровых сигналов. Именно этим обстоятельством обусловлены основные преимущества цифровых фильтров перед аналоговыми и дискретными (высокая точность обработки сигналов и стабильность характеристик ЦФ).

ЦФ по типу алгоритма обработки сигналов подразделяются на стационарные и нестационарные , рекурсивные и нерекурсивные , линейные и нелинейные .

Главной характеристикой ЦФ является алгоритм фильтрации , по которому осуществляется реализация ЦФ. Алгоритмом фильтрации описывается работа ЦФ любого класса без ограничений, в то время как другие характеристики имеют ограничения на класс ЦФ, например, некоторые из них пригодны для описания только стационарных линейных ЦФ.

Рис. 11. Классификация ЦФ

На рис. 11 приведена классификация цифровых фильтров (ЦФ). В основу классификации положен функциональный принцип, т.е. ЦФ подразделяются исходя из реализуемых ими алгоритмов, а не с учетом каких-либо схемотехнических особенностей.

ЦФ частотной селекции. Это наиболее известный, хорошо изученный и апробированный на практике тип ЦФ. С алгоритмической точки зрения ЦФ частотной селекции решают следующие задачи:

· выделение (подавление) одной априорно заданной полосы частот; в зависимости от того, какие частоты подавляются, а какие - нет, различают фильтр нижних частот (ФНЧ), фильтр верхних частот (ФВЧ), полосовой фильтр (ПФ) и режекторный фильтр (РФ);

· разделение по отдельным частотным каналам равноценных и равномерно распределенных по всему частотному диапазону спектральных компонент сигнала с линейчатым спектром; различают ЦФ с прореживанием по времени и с прореживанием по частоте; а поскольку основным методом уменьшения аппаратурных затрат является каскадирование более низкоизбирательных, чем исходный, наборов ПФ, то многоступенчатая пирамидальная структура, получаемая в результате, была названа ЦФ типа "преселектор - селектор";

· разделение по отдельным частотным каналам спектральных составляющих сигнала, чей спектр состоит из субполос различной ширины, неравномерно распределенных в пределах рабочего диапазона фильтра.

Различают фильтр с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтр) или фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтр).

Оптимальные (квазиоптимальные) ЦФ. Этот тип фильтров применяется тогда, когда требуется оценить те или иные физические величины, характеризующие состояние системы, подверженной случайным возмущениям. Современная тенденция - использование достижений теории оптимальной фильтрации и реализация устройств, минимизирующих средний квадрат ошибки оценивания. Они подразделяются на линейные и нелинейные в зависимости от того, какими уравнениями описывается состояние системы.

Если уравнения состояния линейны, то применяется оптимальный ЦФ Калмана, если же уравнения состояния системы нелинейны, то применяются различные многоканальные ЦФ, качество работы которых улучшается с ростом числа каналов.

Существуют различные частные случаи, когда алгоритмы, реализуемые оптимальными (квазиоптимальными) ЦФ могут быть упрощены без существенной потери точности: это, во-первых, случай линейной стационарной системы, приводящий к известному ЦФ Винера; во-вторых случай наблюдений лишь в один фиксированный момент времени, приводящий к ЦФ, оптимальному по критерию максимума отношения сигнал/шум (ОСШ); в-третьих случай уравнений состояния системы близких к линейным приводящий к нелинейным фильтрам первогои второго порядка и др.

Важной проблемой является также обеспечение нечувствительности всех вышеперечисленных алгоритмов к отклонению статистических характеристик системы от заранее заданных; синтез таких ЦФ, называемых робастными.

Адаптивные ЦФ. Сущность адаптивной цифровой фильтрации состоит в следующем: для обработки входного сигнала (обычно адаптивные ЦФ строят одноканальными) используется обычный КИХ-фильтр; однако ИХ этого фильтра не остается раз и навсегда заданной, как это было при рассмотрении ЦФ частотной селекции; она также не изменяется по априорно заданному закону, как это было при рассмотрении ЦФ Калмана; ИХ корректируется с поступлением каждого нового отсчета таким образом, чтобы свести к минимуму среднеквадратическую ошибку фильтрации на данном шаге. Под адаптивным алгоритмом понимается рекуррентная процедура пересчета вектора отсчетов ИХ на предыдущем шаге в вектор “новых” отсчетов ИХ для следующего шага.

Эвристические ЦФ. Возможны ситуации, когда применение корректных с математической точки зрения процедур обработки является нецелесообразным, поскольку приводит к неоправданно большим аппаратурным затратам. Эвристический подход заключается (от греч. и лат. Evrica - «отыскиваю», «открываю») в использовании знания, изучающая творческое, неосознанное мышление человека. Эвристика связана с психологией, физиологией высшей нервной деятельности, кибернетикой и другими науками. Эвристический подход “порожден” стремлением разработчиков уменьшить аппаратурные затраты и получившие широкое распространение несмотря на отсутствие строгого математического обоснования. Это так называемые ЦФ с авторскими схемными решениями, одним из наиболее известных примеров является т.н. медианный фильтр.

Физически осуществимые ЦФ, которые работают в реальном масштабе времени, для формирования выходного сигнала в дискретный момент времени могут использовать следующие данные: а) значение входного сигнала в момент отсчета, а также некоторое число «прошлых» входных отсчетов некоторое число предшествующих отсчетов выходного сигнала Целые числа тип определяют порядок ЦФ. Классификация ЦФ проводится по-разному в зависимости от того, как используется информация о прошлых состояниях системы.

Трансверсальные ЦФ.

Так принято называть фильтры, которые работают в соответствии с алгоритмом

где - последовательность коэффициентов.

Число является порядком трансверсального цифрового фильтра. Как видно из формулы (15.58), трансверсальный фильтр проводит взвешенное суммирование предшествующих отсчетов входного сигнала и не использует прошлые отсчеты выходного сигнала. Применив z-преобразование к обеим частям выражения (15.58), убеждаемся, что

Отсюда следует, что системная функция

является дробно-рациональной функцией z, имеющей -кратный полюс при и нулей, координаты которых определяются коэффициентами фильтра.

Алгоритм функционирования трансверсального ЦФ поясняется структурной схемой, приведенной на рис. 15.7.

Рис. 15.7. Схема построения трансверсального ЦФ

Основными элементами фильтра служат блоки задержки отсчетных значений на один интервал дискретизации (прямоугольники с символами ), а также масштабные блоки, выполняющие в цифровой форме операции умножения на соответствующие коэффициенты. С выходов масштабных блоков сигналы поступают в сумматор, где, складываясь, образуют отсчет выходного сигнала.

Вид представленной здесь схемы объясняет смысл термина «трансверсальный фильтр» (от англ. transverse - поперечный).

Программная реализация трансверсального ЦФ.

Следует иметь в виду, что структурная схема, изображенная на рис. 15.7, не является принципиальной схемой электрической цепи, а служит лишь графическим изображением алгоритма обработки сигнала. Используя средства языка ФОРТРАН, рассмотрим фрагмент программы, реализующей трансверсальную цифровую фильтрацию.

Пусть в оперативной памяти ЭВМ образованы два одномерных массива длиной М ячеек каждый: массив с именем X, в котором хранятся значения входного сигнала, и массив с именем А, содержащий значения коэффициентов фильтра.

Содержимое ячеек массива X меняется каждый раз с получением нового отсчета входного сигнала.

Предположим, что этот массив заполнен предыдущими отсчетами входной последовательности, и рассмотрим ситуацию, возникающую в момент прихода очередного отсчета, которому в программе просвоено имя S. Данный отсчет должен разместиться в ячейке с номером 1, но лишь после того, как предыдущая запись будет сдвинута на одну позицию вправо, т. е. в сторону запаздывания.

Элементы сформированного таким образом массива X почленно умножаются на элементы массива А и результат заносится в ячейку с именем Y, где накапливается отсчетное значение выходного сигнала. Ниже приводится текст программы трансверсальной цифровой фильтрации:

Импульсная характеристика. Вернемся к формуле (15.59) и вычислим импульсную характеристику трансверсального ЦФ, осуществив обратное z-преобразование. Легко видеть, что каждое слагаемое функции дает вклад, равный соответствующему коэффициенту , смещенному на позиций в сторону запаздывания. Таким образом, здесь

К такому выводу можно прийти и непосредственно, рассматривая структурную схему фильтра (см. рис. 15.7) и полагая, что на его вход подан «единичный импульс» .

Важно отметить, что импульсная характеристика трансверсального фильтра содержит конечное число членов.

Частотная характеристика.

Если в формуле (15.59) провести замену переменной то получим частотный коэффициент передачи

При заданном шаге дискретизации А можно реализовать самые разнообразные формы АЧХ, подбирая должным образом весовые коэффициенты фильтра.

Пример 15.4. Исследовать частотные характеристики трансверсального цифрового фильтра 2-го порядка, выполняющего усреднение текущего значения входного сигнала и двух предшествующих отсчетов по формуле

Системная функция этого фильтра

Рис. 15.8. Частотные характеристики трансверсального ЦФ из примера 15.4: а - АЧХ; б - ФЧХ

откуда находим частотный коэффициент передачи

Элементарные преобразования приводят к следующим выражениям для АЧХ в ФЧХ данной системы:

Соответствующие графики представлены на рис. 15.8, а, б, где по горизонтальным осям отложена величина - фазовый угол интервала дискретизации при текущем значении частоты.

Предположим, например, что , т. е. на один период гармонического входного колебания приходится шесть отсчетов. При этом входная последовательность будет иметь вид

(абсолютные значения отсчетов не играют роли, поскольку фильтр линеен). Используя алгоритм (15.62), находим выходную последовательность:

Можно заметить, что ей отвечает гармонический выходной сигнал той же частоты, что и на входе, с амплитудой, равной от амплитуды входного колебания и с начальной фазой, смещенной на 60° в сторону запаздывания.

Рекурсивные ЦФ.

Этот вид цифровых фильтров характерен тем, что для формирования выходного отсчета используются предыдущие значения не только входного, и выходного сигнала:

(15.63)

причем коэффициенты , определяющие рекурсивную часть алгоритма фильтрации, не равны нулю одновременно. Чтобы подчеркнуть различие структур двух видов ЦФ, трансверсальные фильтры называют также нерекурсивными фильтрами.

Системная функция рекурсивного ЦФ.

Выполнив z-преобразование обеих частей рекуррентного соотношения (15.63), находим, что системная функция

описывающая частотные свойства рекурсивного ЦФ, имеет на z-плоскости полюсов. Если коэффициенты рекурсивной части алгоритма вещественны, то эти полюсы либо лежат на вещественной оси, либо образуют комплексно-сопряженные пары.

Структурная схема рекурсивного ЦФ.

На рис. 15.9 изображена схема алгоритма вычислений, проводимых в соответствии с формулой (15.63). Верхняя часть структурной схемы отвечает трансверсальной (нерекурсивной) части алгоритма фильтрации. Для ее реализации требуется в общем случае масштабных блоков (операций умножения) и ячеек памяти, в которых хранятся входные отсчеты.

Рекурсивной части алгоритма соответствует нижняя часть структурной схемы. Здесь используются последовательных значений выходного сигнала, которые в процессе работы фильтра перемещаются из ячейки в ячейку путем сдвига.

Рис. 15.9. Структурная схема рекурсивного ЦФ

Рис. 15.10. Структурная схема канонического рекурсивного ЦФ 2-го порядка

Недостатком данного принципа реализации является потребность в большом числе ячеек памяти, отдельно для рекурсивной и нерекурсивной частей. Более совершенны канонические схемы рекурсивных ЦФ, в которых используется минимально возможное количество ячеек памяти, равное наибольшему из чисел . В качестве примера на рис. 15.10 изображена структурная схема канонического рекурсивного фильтра 2-го порядка, которой отвечает системная функция

Для того чтобы убедиться в том, что эта система реализует заданную функцию, рассмотрим вспомогательный дискретный сигнал на выходе сумматора 1 и запишем два очевидных уравнения:

(15.67)

Выполнив -преобразование уравнения (15.66), находим, что

С другой стороны, в соответствии с выражением (15.67)

Объединив соотношения (15.68) и (15.69), приходим к заданной системной функции (15.65).

Устойчивость рекурсивных ЦФ.

Рекурсивный ЦФ является дискретным аналогом динамической системы с обратной связью, поскольку в ячейках памяти хранятся значения его предшествующих состояний. Если заданы некоторые начальные условия, т. е. совокупность значений то в отсутствие входного сигнала фильтр будет образовывать элементы бесконечной последовательности играющей роль свободных колебаний.

Цифровой фильтр называется устойчивыу, если возникающий в нем свободный процесс, есть невозрастающая последовательность, т. е. значения при не превышают некоторого положительного числа М независимо от выбора начальных условий.

Свободные колебания в рекурсивном ЦФ на основании алгоритма (15.63) являются решением линейного разностного уравнения

По аналогии с принципом решения линейных дифференциальных уравнений будем искать решение (15.70) в виде показательной функции

с неизвестным пока значением . Подставив (15.71) в (15.70) и сократив на обший множитель, убеждаемся, что а является корнем характеристического уравнения

На основании (15.64) это уравнение в точности совпадает с уравнением, которому удовлетворяют полюсы системной функции рекурсивного ЦФ.

Пусть система корней уравнения (15.72) найдена. Тогда общее решение разностного уравнения (15.70) будет иметь вид

Коэффициенты должны быть подобраны так, чтобы удовлетворялись начальные условия.

Если все полюсы системной функции т. е. числа по модулю не превосходят единицы, располагаясь внутри единичного круга с центром в точке то на основании (15.73) любой свободный процесс в ЦФ будет описываться членами убывающих геометрических прогрессий и фильтр будет устойчив. Ясно, что практически применяться могут только устойчивые цифровые фильтры.

Пример 15.5. Исследовать устойчивость рекурсивного цифрового фильтра 2-го порядка с системной функцией

Характеристическое уравнение

имеет корни

Кривая, описываемая уравнением на плоскости коэффициентов есть граница, выше которой полюсы системной функции вещественны, а ниже - комплексно сопряжены.

Для случая комплексно-сопряженных полюсов поэтому одной из границ области устойчивости является прямая 1.

Рис. 15.11. Область устойчивости рекурсивного фильтра 2-го порядка (полюсы фильтра комплексно сопряжены в области, отмеченной цветом)

Рассматривая вещественные полюсы при имеем условие устойчивости в виде

Физически осуществимые ЦФ, которые работают в реаль­ном масштабе времени, для формирования выходного сигна­ла в i-й дискретный момент времени могут использовать следующие данные: а) значение входного сигнала в моментi-го отсчета, а также некоторое число «прошлых» входных отсчетов ;б) некоторое число предшест­вующих отсчетов выходного сигнала Целые числаmи nопределяютпорядокЦФ. Классификация ЦФ проводится по-разному в зависимости от того, как используется информация о прошлых состояниях системы.

Траисверсальные ЦФ. Так принято называть фильтры, которые работают в соответствии с алгоритмом

где -последовательность коэффициентов.

Число т является порядком трансверсального цифрового фильтра. Как видно из формулы (2.138), трансверсальный фильтр проводит взвешенное суммирование предшествующих отсчетов входного сигнала и не использует прошлые отсчеты выходного сигнала. Применивz-преобразование к обеим частям выражения (2.138), убеждаемся, что

Отсюда следует, что системная функция

является дробно-рациональной функцией z, имеющейm-кратный полюс приz= 0 ит нулей, координаты которых определяются коэффициентами фильтра.

Алгоритм функционирования трансверсального ЦФ пояс­няется структурной схемой, приведенной на рис. 2.17.

Рис. 2.17. Схема построения трансверсального ЦФ

Основными элементами фильтра служат блоки задержки отсчетных значений на один интервал дискретизации (пря­моугольники с символами z -1), а также масштабные блоки, выполняющие в цифровой форме операции умножения на соответствующие коэффициенты. С выходов масштабных блоков сигналы поступают в сумматор, где, складываясь, образуют отсчет выходного сигнала.

Вид представленной здесь схемы объясняет смысл термина «трансверсальный фильтр» (от англ. transverse- поперечный).

Импульсная характеристика. Вернемся к формуле (2.139) и вычислим импульсную характеристику трансверсального ЦФ, осуществив обратноеz-преобразование. Легко видеть, что каждое слагаемое функцииH(z) дает вклад, равный соответ­ствующему коэффициенту , смещенному нап позиций в сторону запаздывания. Таким образом, здесь

К такому выводу можно прийти и непосредственно, рас­сматривая структурную схему фильтра (см. рис. 2.17) и пола­гая, что на его вход подан «единичный импульс» (1, 0, 0, 0, ...).

Важно отметить, что импульсная характеристика трансвер­сального фильтра содержит конечное число членов.

Частотная характеристика. Если в формуле (2.139) провести замену переменной , то получим частотный коэф­фициент передачи

При заданном шаге дискретизации А можно реализовать самые разнообразные формы АЧХ, подбирая должным обра­зом весовые коэффициенты фильтра.

Методы синтеза цифрового фильтра . Наибольшее распространение в практике синтеза цифровых фильтров получили три метода, описанных ниже.

Метод инвариантных импульсных характеристик.

В основе этого метода лежит предположение о том, что синтезируемый ЦФ должен обладать импульсной характеристикой, которая является результатом дискретизации импульсной характеристики соответствующего аналогового фильтра-прототипа. Имея в виду синтез физически реализуемых систем, для которых импульсная характеристика обращается в нуль при t<0 ,получим следующее выражение импульсной характеристики ЦФ:

где T  шаг дискретизации по времени.

Следует обратить внимание на то, что число отдельных членов в выражении импульсной характеристики ЦФ может быть как конечным, так и бесконечным. Это определяет структура синтезируемого фильтра: импульсной характеристике с конечным числом отсчетов отвечает трансверсальный фильтр, в то время как для реализации неограниченно протяженной импульсной характеристики требуется рекурсивный ЦФ.

Связь между коэффициентом импульсной характеристики и структурой ЦФ особенно проста для транверсального фильтра. В общем случае синтез структуры фильтра осуществляется путем применения z -преобразования к последовательности вида приведенного выше. Найдя системную функцию H(z) фильтра, следует сравнить ее с общим выражением и определить коэффициенты транверсальной и рекурсивной частей. Степень приближения амплитудно-частотной характеристики синтезированного ЦФ к характеристике аналогового прототипа зависит от выбранного шага дискретизации. При необходимости следует вычислить частотный коэффициент передачи ЦФ, осуществив в системной функции H(z) замену переменной по формуле
, и затем сравнить результат с частотным коэффициентом передачи аналоговой цепи.

Синтез ЦФ на основе дискретизации дифференциального уравнения

аналоговой цепи.

К структуре ЦФ, приближенно соответствующего известной аналоговой цепи, можно прийти, осуществив дискретизацию дифференциального уравнения, описывающего аналоговый прототип. Как пример использования этого метода рассмотрим синтез ЦФ, отвечающего колебательной динамической системе 2-го порядка, для которой связь между выходным колебанием y(t) и входным колебанием x(t) устанавливается дифференциальным уравнением

(2.142)

Предположим, что шаг дискретизации равен  t и рассмотрим совокупности дискретных отсчетов  у 1  и  х 1  . Если в формуле заменить производные их конечно-разностными выражениями, то дифференциальное уравнение превратиться в разностное уравнение

Перегруппировав слагаемые, получим:

(2.144)

Разностное уравнение задает алгоритм рекурсивного фильтра 2-го порядка, который моделирует аналоговую колебательную систему и называется цифровым резонатором. При соответствующем выборе коэффициентов цифровой резонатор может выполнять роль частотно-избирательного фильтра, подобного колебательному контуру.

Метод инвариантных частотных характеристик .

Принципиально невозможно создать ЦФ, частотная характеристика которого в точности повторяла бы частотную характеристику некоторой аналоговой цепи. Причина состоит в том, что, как известно, частотный коэффициент передачи ЦФ является периодической функцией частоты с периодом, определяемым шагом дискретизации.

Говоря о подобии (инвариантности) частотных характеристик аналогового и цифрового фильтров, можно требовать лишь то, чтобы весь бесконечный интервал частот ω а, относящихся к аналоговой системе, был преобразован в отрезок частот ω ц цифрового фильтра, удовлетворяющих неравенству
при сохранении общего вида АЧХ.

Пусть K а (р)  передаточная функция аналогового фильтра, задаваемого дробно-рациональным выражением по степеням p . Если воспользоваться связью между переменными z и p ,то можно записать:

. (2.145)

С помощью этого закона связи между p и z нельзя получить физически реализуемую системную функцию фильтра, так как подстановка в выражение K а (р) даст системную функцию, не выражающуюся в виде частного двух многочленов. Поэтому для синтезов фильтров нижних частот получила распространение связь вида

, (2.146)

которая также переводит точки единичной окружности, лежащей в плоскости z, в точки мнимой оси на плоскости p. Тогда

, (2.147)

откуда вытекает соотношение между частотными переменными  аналоговой и цифровой систем:

. (2.148)

Если частота дискретизации достаточно велика ( ц T <<1), то, как легко видно из формулы (2.147),  а  ц . Таким образом, на низких частотах характеристики аналогового и цифрового фильтров практически совпадают. В общем случае нужно принимать во внимание трансформацию масштаба по оси частот цифрового фильтра.

Практически процедура синтеза ЦФ состоит в том, что в функции K а (р) аналоговой цепи выполняется замена переменной по формуле (2.145). Полученная при этом системная функция ЦФ оказывается дробно-рациональной и поэтому позволяет непосредственно записать алгоритм цифровой фильтрации.

Вопросы для самопроверки

Какой фильтр называется согласованным.

Что собой представляет импульсная характеристика фильтра.

Что собой представляет сигнал на выходе согласованного фильтра.

Какие фильтры называются цифровыми.

В чем отличие алгоритмов работы рекурсивного и трансверсального фильтров.

Назовите основные методы синтеза цифровых фильтров.

Назовите основные свойства дискретного преобразования Фурье.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

АЛГОРИТМЫ ФИЛЬТРАЦИИ СИГНАЛОВ В АСУТП

Цель. Ознакомление с наиболее распространенными в АСУТП алгоритмами фильтрации измеряемых случайных сигналов, проведение сравнительного анализа их точности и особенностей реализации в ЭВМ.

Задание

1) для заданных характеристик случайных сигналов рассчитать оптимальные параметры фильтров,

2) смоделировать систему фильтрации на ЭВМ и вычислить погрешность фильтрацию по каждому из рассмотренных методов,

3) провести сравнительный анализ эффективности рассмотренных алгоритмов.

Основные положения. 1 Постановка задачи оптимальной фильтрации. Сигналы от измерительных устройств часто содержат случайную погрешность – помеху. Задача фильтрации состоит в том, чтобы в той или иной степени отделить полезную составляющую сигнала от помехи. Как правило, и полезный сигнал, и помеха предполагаются стационарными случайных процессами для которых известны их статистические характеристики: математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция, спектральная плотность. Зная эти характеристики нужно найти фильтр в классе линейных динамических систем или в более узком классе линейных систем с заданной структурой так, чтобы сигнал на выходе фильтра возможно меньше отличался от полезного сигнала.

Рис.1. К постановке задачи фильтрации

Введем обозначения и поставим задачу фильтрации точнее. Пусть на вход фильтра с импульсной характеристикой к(t ) и соответствующей (в силу Фурье преобразования) 0

АФХ W (iω ) поступают полезные сигналы x (t ) и некорреляционная с ним помеха z (t ) (рис.1). Корреляционные функции и спектральные плотности полезного сигнала и помехи обозначим R x (t ), S x (t ), R z (t ) и S z (t ) . Требуется найти характеристики фильтра k(t) или W(t) так, чтобы среднеквадратичное значение разности ε между сигналом на выходе фильтра и полезным сигналом x было минимальным. Если характеристика фильтра известна с точностью до одного или нескольких параметров, то надо выбрать оптимальные значения этих параметров.

Ошибка ε содержит две составляющие. Первая (ε 1 ) связана с тем, что некоторая часть помехи все же пройдет через фильтр, а вторая (ε 2 ) – с тем, что форма полезного сигнала при прохождении через фильтр изменится. Таким образом, определение оптимальной характеристики фильтра представляет собой поиск компромиссного решения, минимизирующего суммарную погрешность.

Представим частотную характеристику фильтра в виде:

W(iω) = A(ω)exp.

По формулам, связывающим спектральные плотности случайных процессов на входе и выходе линейной системы с ее частотной характеристикой подсчитываем спектральные плотности каждой из составляющих ошибки.

Для ошибки, связанной с пропуском помехи, получим

S ε1 (ω) = S z (ω ) A 2 (ω )

Спектральная плотность ошибки, связанной с искажением полезного сигнала, равна

S ε2 (ω) = S x (ω )|1 – W (iω )| 2

Сумма этих составляющих S ε имеет спектральную плотность

S ε (ω ) = S ε1 (ω ) + S ε2 (ω )

Если учесть, что

|1 – W (iω )| 2 = 2 + А 2 (ω ) sin 2 f (ω ),

S ε (ω ) = S z (ω) A 2 (ω) + S x (ω) A 2 (ω ) + S x (ω) – 2 S x (ω) A (ω) cosf (ω) . (1)

Среднеквадратичная ошибка связана со спектральной плотностью выражением

Минимизируя S ε (ω ) по f (ω) и А(ω) , приходим к уравнениям

cos f*(ω ) = 1
f* (ω ) = 0

2S z (ω )A(ω) – 2S x (ω) = 0

(2)

Найденным характеристикам оптимального фильтра соответствует спектральная плотность ошибки

Минимальная среднеквадратичная ошибка

(3)

К сожалению, найденный фильтр не реализуем так как условие равенства нулю на всех частотах фазо-частотной характеристики означает, что импульсная характеристика фильтра – четная функция она отлична от нуля не только при t >0 , но и при t (рис 2,а).

Для любого физически реализуемого фильтра справедливо требование: к(t ) = 0 при t (рис. 2,б). Это требование следовало бы ввести в постановку задачи. Естественно, что достижимая ошибка σ при этом возросла бы. Задача оптимальной фильтрации с учетом физической реализуемости была решена.

Рис. 2. Импульсные характеристики нереализуемого (а) и реализуемого (б) фильтров

Рис. 3. Спектральные плотности полезного сигнала S x (ω) и шума S z (ω) и амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра А * (ω) при неперекрывающихся (а) и перекрывающихся (б) S x (ω) и S z (ω)

Н. Винером. Ее решение значительно сложнее приведенного выше, поэтому в данной работе будем искать физически реализуемые фильтры лишь в классе фильтров, характеристики которых заданы с точностью до значений параметров. Величина же , рассчитанная по формуле (3), может служить нижней оценкой достижимой погрешности фильтрации.

Физический смысл соотношения (2,б) иллюстрируется рис. 3. Если спектры полезного сигнала и помехи не перекрываются, то А(ω) должно быть равно нулю там, где спектральная плотность помехи отлична от нуля, и равно единице для всех частот, на которых S x (ω)>0 . На рис. 3,б показан, характер А*(ω) в случае, когда спектральные плотности сигнала и помехи перекрывают друг друга.

Среди фильтров с заданной структурой наиболее широкое распространение нашли фильтры, основанные на операции скользящего среднего, а также экспоненциальный фильтр и так называемый статистический фильтр нулевого порядка. Экспоненциальный фильтр представляет собой апериодическое звено первого порядка, а статистический фильтр нулевого порядка – усилительное звено. Рассмотрим каждый из упомянутых фильтров подробнее.

Фильтр скользящего среднего. Выход фильтра связан с его входом соотношением

Импульсная переходная функция фильтра показана на рис.4,а. Частотные характеристики равны

Импульсная характеристика может быть выражена через функцию Хевисайда 1(t )

k (t ) = k .

Настраиваемыми параметрами фильтра являются коэффициент усиления k и память Т .

Экспоненциальный фильтр (рис. 4,б). Сигнал на выходе определяется дифференциальным уравнением

y / γ + y = kg

Импульсная характеристика имеет вид:

Частотные характеристики

Параметрами фильтра являются коэффициент усиления k и постоянная времени, обратная величине γ .

Рис. 4. Импульсные переходные функции k (t ) и амплитудно-частотные характеристики А(ω) типовых фильтров: а – текущего среднего; б – экспоненциального; в) статического нулевого порядка

Статистический фильтр нулевого порядка. Этот фильтр, как упоминалось выше, является усилительным звеном. Его характеристики

y (t ) = kg (t ) ; A (ω) = k ; f (ω) = 0

Вес перечисленные фильтры не позволяют добиться идеальной фильтрации даже при непересекающихся спектрах сигнала и помехи. Минимизировать ошибку σ ε можно, подбирая параметры k, Т, γ . При этом нужно характеристики фильтра А(ω) и f (ω) как функции частоты и параметров подставить в формулу (1), взять интеграл от получившегося выражения, который будет функцией параметров фильтра, и найти минимум этого интеграла по параметрам.

Например, для статистического фильтра кулевого порядка спектральная плотность ошибки будет иметь вид:

S ε (ω ) = S z (ω ) k 2 + S x ω (1 – k 2 )

Интеграл S ε равен дисперсии помехи, умноженной на π . Получим

Учтем, что интегралы в правой части этого равенства равны дисперсиям полезного сигнала, и помехи, так что

Условие минимума этого выражения по k приводит к равенству

После подстановки найденного значения k в выражение для дисперсии ошибки получим:

Фильтры текущего среднего и экспоненциальный имеют по два настраиваемых, параметра, и их оптимальные значения не удастся так легко выразить через характеристики полезного сигнала и помехи, однако эти значения можно найти численными методами поиска минимума функции по двум переменным.

Рис.5 Структурная схема моделирования на ЭВМ системы фильтрации случайного сигнала

2. Описание моделируемой системы. Работа проводится путем моделирования на ЭВМ системы, состоящей из следующих блоков (рис. 5).

1. Генератор входного сигнала I, включающий генератор случайного сигнала (ГСС) и два формирующих фильтра с заданными характеристиками W x (iω ) и W z (iω ) , на выходе которых получают полезный сигнал x (t ) и помеху z (t ) . Между генератором случайного сигнала и формирующим фильтром W z включено звено запаздывания Δ, обеспечивающее сдвиг на два-три такта. При этом вход фильтра, формирующего помехи, и вход фильтра, формирующего полезный сигнал, оказываются некоррелированными друг с другом.

2. Блок расчета корреляционных функций
.

3. Блок фильтрации (II), включающий собственно фильтр
и блок расчета погрешности фильтрации
.

Генерируемые в системе полезный сигнал x (t) и помеха z (t ) являются стационарными случайными процессами, корреляционные функции которых могут быть приближенно аппроксимированы экспонентами вида (рис. 6)

(6)

где

Оценки дисперсий сигналов и рассчитывают с помощью блока (при τ = 0); параметры α и α z задаются преподавателем.

3. Дискретная реализация непрерывных фильтров. В работе используют дискретные реализации описанных выше непрерывных фильтров. Шаг дискретности t o принимают существенно меньше, чем время затухания корреляционных функций полезного сигнала и шума. Поэтому записанные выше выражения (1) для подсчета σ ε через спектральные характеристики входного сигнала и шума могут быть использованы и в дискретном случае.

Найдем сначала дискретные аналоги фильтров, формирующих из сигнала, получаемого от ГСС, случайные процессы с корреляционными функциями (6). Спектральные плотности, соответствующие этим корреляционным функциям, имеют вид

(7)

Передаточные функции формирующих фильтров для случая, когда дисперсия сигнала на выходе ГСС равна единице, равны

Нетрудно видеть, что

Если сигнал на входе каждого из формирующих фильтров обозначить через ξ , то дифференциальные уравнения, соответствующие передаточным функциям, записанным выше, имеют вид

Соответствующие им разностные аналоги запишутся в виде;

Таким образом, алгоритм работы фильтра, формирующего, полезный сигнал, имеет вид:

(8a)

Аналогично для фильтра, формирующего помехи

(8б)

Аналоги непрерывных фильтров, предназначенных для выделения помехи, имеют следующий вид:

для фильтра скользящего среднего

(9)

где величину l выбирают из условия (l + 1) t о = T ;

для экспоненциального фильтра

(10)

для статистического фильтра нулевого порядка

у i = kg i (11)

Порядок выполнения. 1. Составить и отладить подпрограммы блока фильтрации текущей информации и вычисления погрешностей фильтрации.

2. Получить реализации случайных процессов на выходе формирующих фильтров и по ним найти оценки дисперсий полезного сигнала и помех, а также корреляционных функций R x (τ) и R z (τ) . Приближенно определить α х и α z и сравнить с расчетными.

3. Рассчитать по S x (ω) и S z (ω) аналитически или на ЭВМ нижнюю оценку для среднеквадратичной ошибки фильтрации.

4. По формуле (4) найти оптимальный коэффициент усиления статистического фильтра нулевого порядка и соответствующее ему значение , которое сравнивается с .

5. Использую один из известных методов поиска минимума функции двух переменных и составленную заранее программу, найти оптимальные параметры скользящего среднего и экспоненциального фильтров и среднеквадратичные ошибки фильтрации. При этом конкретному сочетанию параметров фильтра соответствует спектральная плотность ошибки S ε (ω) , определяемая формулой (1), а по ней находят значение после численного интегрирования.

6. Ввести в ЭВМ программы фильтрации, определить экспериментально среднеквадратичную ошибку для оптимальных и отличных от оптимальных параметров фильтров, сравнить результаты с расчетными.

7. Провести сравнительный анализ эффективности различных алгоритмов фильтрации по следующим показателям: а) минимально достижимая среднеквадратичная ошибка; б) требуемый объем оперативной памяти; в) время счета на ЭВМ.

Отчет должен содержать: 1) структурную схему системы (см. рис. 5);

2) подпрограммы формирующих и синтезируемых фильтров;.

3) расчет оптимальных параметров фильтров и соответствующих им значений среднеквадратичной погрешности;

4) результаты анализа рассмотренных алгоритмов и выводы.

Стенд 6.2. Создание проекта 6.3. Исследование АСУТП на учебном лабораторном ... определенных целей своей деятельности. Целей деятельности...

И. О. Фамилия « » 20 г

Документ

Режима работы );. … […)[наименование режима работы ] ... по данным лабораторных анализов; 5) ... требования к АСУТП . Технологические процессы... обработку и анализ информации (сигналов , сообщений, документов и т. ... алгоритмы фильтрации и алгоритмы устранения шумов с целью ...

Интеллектуальная автоматика в курсовых и дипломных проектах

Реферат

Провод. целев . продук... сигналом HART, что позволяет встраивать его в системы АСУТП ... фильтрации существуют различные виды датчиков пыли. DT400G работает ... алгоритм ... химической промышленности. Технические средства и лабораторные работы / Г.И. Лапшенков, Л.М. ...

Рабочая программа учебной дисциплины " автоматизация технологических процессов"

Рабочая программа

... ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Целью ... основные компоненты АСУТП – контроллеры... представления сигналов в... исправление ошибок, фильтрация сообщений, ... алгоритмов и программ, дискуссии, выполнение контрольных работ . Лабораторные занятия. Лабораторные ...