бях мързелив. За да заемат децата дълго време, а и сам да подремне, той ги помоли да съберат числата от 1 до 100.
Гаус отговори бързо: 5050. Толкова бързо? Учителят не повярва, но младият гений беше прав. Добавянето на всички числа от 1 до 100 е за глупаци! Гаус намери формулата:
$$ \ sum_ (1) ^ (n) = \ frac (n (n + 1)) (2) $$
$$ \ sum_ (1) ^ (100) = \ frac (100 (100 + 1)) (2) = 50 \ cdot 101 = 5050 $$
Как го направи? Нека се опитаме да го разберем с примера на сумата от 1 до 10.
Метод първи: разделете числата по двойки
Нека запишем числата от 1 до 10 като матрица с два реда и пет колони:
$$ \ вляво (\ начало (масив) (c) 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 10 & 9 & 8 & 7 & 6 \ край (масив) \ вдясно) $$
Интересното е, че сумата на всяка колона е 11 или $ n + 1 $. И има 5 такива двойки числа или $ \ frac (n) (2) $. Получаваме нашата формула:
$$ Число \ Колони \ cdot Сума \ Числа \ in \ Колони = \ frac (n) (2) \ cdot (n + 1) $$
Ако нечетен брой термини?
Ами ако съберете числата от 1 до 9? Липсва ни едно число, за да направим пет двойки, но можем да вземем нула:
$$ \ вляво (\ начало (масив) (c) 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 9 & 8 & 7 & 6 & 5 \ край (масив) \ вдясно) $$
Сумата на колоните вече е 9 или точно $ n $. А броят на колоните? Все още има пет колони (благодарение на нула!), Но сега броят на колоните е $ \ frac (n + 1) (2) $ (y имаме $ n + 1 $ и половината от броя на колоните).
$$ Число \ колони \ cdotSum \ числа \ в \ колони = \ frac (n + 1) (2) \ cdot n $$
Втори начин: удвоете и пишете на два реда
Ние изчисляваме сумата от числата малко по-различно в тези два случая.
Може би има начин да се изчисли сумата по същия начин за четен и нечетен брой членове?
Вместо да правим един вид "примка" от числа, нека ги напишем на два реда, като същевременно умножим броя на числата по две:
$$ \ наляво (\ начало (масив) (c) 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 и 1 \ край (масив) \ дясно) $$
За странния случай:
$$ \ наляво (\ начало (масив) (c) 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \ край (масив) \ вдясно) $$
Вижда се, че и в двата случая сумата от колоните е $ n + 1 $, а броят на колоните е $ n $.
$$ Число \ колони \ cdot Сума \ числа \ в \ колони = n \ cdot (n + 1) $$
Но имаме нужда само от сумата от един ред, така че:
$$ \ frac (n \ cdot (n + 1)) (2) $$
Трети начин: направете правоъгълник
Има още едно обяснение, нека се опитаме да сгънем кръстовете, да кажем, че имаме кръстове:
Изглежда като просто различно представяне на втория начин - всяка следваща линия на пирамидата има повече кръстове и по-малко нули. Броят на всички кръстове и нули е площта на правоъгълника.
$$ Площ = Височина \ cdot Ширина = n \ cdot (n + 1) $$
Но имаме нужда от сбора от кръстове, така че:
$$ \ frac (n \ cdot (n + 1)) (2) $$
Четвърти начин: средноаритметично
Известно: $ Средно \ Аритметика = \ frac (Сума) (Брой \ Членове) $
Тогава: $ Сума = средна \ аритметика \ cdot Число \ членове $
Знаем броя на членовете - $ n $. Как да изразим средната аритметика?
Забележете, че числата са равномерно разпределени. За всяко голямо число има малко в другия край.
1 2 3, средно 2
1 2 3 4, средно 2,5
В този случай средноаритметичната е средната аритметична на числата 1 и $ n $, тоест $ Average \ arithmetic = \ frac (n + 1) (2) $
$$ Сума = \ frac (n + 1) (2) \ cdot n $$
Пети начин: интегрален
Всички знаем, че определен интеграл изчислява сума. Нека изчислим сумата от 1 до 100 чрез интеграл? Да, но първо, нека намерим поне сумата от 1 до 3. Нека нашите числа са функция на y (x). Да нарисуваме картина:
Височините на трите правоъгълника са точно числата от 1 до 3. Нека начертаем права линия през средата на „шапките“:
Би било хубаво да се намери уравнението на тази права. Преминава през точки (1.5; 1) и (2.5; 2). $ y = k \ cdot x + b $.
$$ \ начало (случаи) 2.5k + b = 2 \\ 1.5k + b = 1 \ край (случаи) \ Стрелка надясно k = 1; b = -0,5 $$
По този начин уравнението на правата линия, с която можем да приближим нашите правоъгълници, е $ y = x-0,5 $
Отрязва жълтите триъгълници от правоъгълниците, но отгоре им "добавя" сини. Жълтото е равно на синьо. Първо, нека се уверим, че използването на интеграла води до формулата на Гаус:
$$ \ int_ (1) ^ (n + 1) (x- \ frac (1) (2)) \, dx = (\ frac (x ^ (2)) (2) - \ frac (x) (2 )) (|) ^ (n + 1) _ (1) = \ frac ((n + 1) ^ (2)) (2) - \ frac (n + 1) (2) = \ frac (n ^ ( 2) + 2n + 1-n-1) (2) = \ frac (n ^ (2) + n) (2) $$
Сега нека изчислим сумата от 1 до 3, по x вземаме от 1 до 4, така че всичките ни три правоъгълника да попаднат в интеграла:
$$ \ int_ (1) ^ (4) (x- \ frac (1) (2)) \, dx = (\ frac (x ^ (2)) (2) - \ frac (x) (2)) (|) ^ (4) _ (1) = \ frac (4 ^ (2)) (2) -2- (0,5-0,5) = 6 $$
$$ \ int_ (1) ^ (101) (x- \ frac (1) (2)) \, dx = (\ frac (x ^ (2)) (2) - \ frac (x) (2)) (|) ^ (101) _ (1) = \ frac (101 ^ (2)) (2) -50,5- (0,5-0,5) = 5100,5-50,5 = 5050 $$
И защо е необходимо всичко това?
$$ \ frac (n (n + 1)) (2) = \ frac (n ^ (2)) (2) + \ frac (n) (2) $$
На първия ден един човек дойде във вашия сайт, на втория ден два ... Всеки ден броят на посещенията се увеличаваше с 1. Колко посещения ще спечели сайтът до края на 1000-ия ден?
$$ \ frac (n (n + 1)) (2) = \ frac (n ^ (2)) (2) + \ frac (n) (2) = \ frac (1000 ^ (2)) (2) + \ frac (1000) (2) = 500 000 + 500 = 500 500 $$
Цикълът "Забавна математика" е посветен на децата, които обичат математиката и родителите, които отделят време на развитието на децата си, "хвърляйки" им интересни и забавни задачи и пъзели.
Първата статия от тази поредица е посветена на правилото на Гаус.
Малко история
Известният немски математик Карл Фридрих Гаус (1777-1855) се различава от връстниците си от ранно детство. Въпреки факта, че беше от бедно семейство, той се научи да чете, пише и смята достатъчно рано. В биографията му дори се споменава, че на 4-5 години той е успял да коригира грешката в погрешните изчисления на баща си, просто като го наблюдава.
Едно от първите му открития е на 6-годишна възраст в час по математика. Учителят трябваше да завладее децата за дълго време и той предложи следния проблем:
Намерете сбора на всички естествени числа от 1 до 100.
Младият Гаус се справи достатъчно бързо с тази задача, като намери интересен модел, който стана широко разпространен и се използва и до днес в устното броене.
Нека се опитаме да решим този проблем устно. Но първо, нека вземем числата от 1 до 10:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
Погледнете внимателно тази сума и се опитайте да отгатнете какво необичайно може да види Гаус? За да отговорите, трябва да имате добра представа за състава на числата.
Гаус групира числата, както следва:
(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)
Така малкият Карл получи 5 двойки числа, всяка от които поотделно дава 11. След това, за да изчислите сумата от естествени числа от 1 до 10, трябва
Да се върнем към първоначалния проблем. Гаус забеляза, че е необходимо да се групират числата по двойки преди сумирането и по този начин изобрети алгоритъм, благодарение на който можете бързо да добавяте числа от 1 до 100:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
Намерете броя на двойките в поредица от естествени числа. В случая те са 50.
Обобщаваме първото и последното число от тази серия. В нашия пример това са 1 и 100. Получаваме 101.
Умножаваме получената сума от първия и последния член в поредицата по броя на двойките в тази серия. Получаваме 101 * 50 = 5050
Следователно сборът от естествените числа от 1 до 100 е 5050.
Проблеми при използването на правилото на Гаус
А сега ви предлагаме задачи, в които в една или друга степен се използва правилото на Гаус. Четвъртокласникът е доста способен да разбере и реши тези проблеми.
Можете да дадете на детето възможност да разсъждава за себе си, така че той сам да е „измислил“ това правило. Или можете да го разглобите и да видите как той може да го приложи. Сред задачите по-долу има примери, в които трябва да разберете как да модифицирате правилото на Гаус, за да го приложите към дадена последователност.
Във всеки случай, за да може детето да оперира с това в своите изчисления, е необходимо да разбере алгоритъма на Гаус, тоест способността да се разделя правилно на двойки и да брои.
Важно!Ако формула бъде запомнена без разбиране, тя ще бъде забравена много бързо.
Проблем 1
Намерете сбора от числа:
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.
Решение.
Първо, можете да дадете на детето възможност сами да реши първия пример и да предложите да намери начин, по който е лесно да направи това в ума. След това анализирайте този пример заедно с детето и покажете как го е направил Гаус. Най-добре е да запишете серия за по-голяма яснота и да свържете двойки числа с линии, които дават едно и също число. Важно е детето да разбере как се образуват двойки - вземаме най-малкото и най-голямото от останалите числа, при условие че броят на числата в реда е четен.
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050
Задача2
Има 9 тегла от 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g. Възможно ли е да се разделят тези тежести на три купчини с еднакво тегло?
Решение.
Използвайки правилото на Гаус, намираме сбора от всички тегла:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (d)
Така че, ако можем да групираме тежестите така, че всяка купчина да съдържа тежести с общо тегло 15 g, тогава проблемът е решен.
Една от опциите:
- 9 г, 6 г
- 8 г, 7 г
- 5g, 4g, 3g, 2g, 1g
Намерете други възможни варианти сами с детето си.
Обърнете внимание на детето, че при решаването на подобни проблеми е по-добре винаги да започвате групирането с по-голямо тегло (число).
Проблем 3
Възможно ли е циферблата на часовника да се раздели с права линия на две части, така че сумите от числата във всяка част да са равни?
Решение.
Като начало приложете правилото на Гаус към поредица от числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: намерете сбора и вижте дали се дели на 2:
Така че можете да разделите. Сега да видим как.
Следователно е необходимо да начертаете линия върху циферблата, така че 3 чифта да попаднат в едната половина, а три в другата.
Отговор: линията ще минава между числата 3 и 4, а след това между числата 9 и 10.
Задача4
Възможно ли е да се начертаят две прави линии върху циферблата на часовник, така че във всяка част сборът от числата да е еднакъв?
Решение.
Като начало приложете правилото на Гаус към поредица от числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: намерете сбора и вижте дали се дели на 3:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78
78 се дели на 3 без остатък, така че можете да разделите. Сега да видим как.
Според правилото на Гаус получаваме 6 двойки числа, всяка от които събира 13:
1 и 12, 2 и 11, 3 и 10, 4 и 9, 5 и 8, 6 и 7.
Следователно е необходимо да начертаете линии върху циферблата, така че 2 чифта да попаднат във всяка част.
Отговор: първият ред ще върви между числата 2 и 3, а след това между числата 10 и 11; вторият ред е между числата 4 и 5, а след това между 8 и 9.
Проблем 5
Лети ято птици. Напред има една птица (водач), следвана от две, след това три, четири и т. н. Колко птици има в ятото, ако в последния ред има 20 от тях?
Решение.
Получаваме, че трябва да добавим числа от 1 до 20. И за да изчислите такава сума, можете да приложите правилото на Гаус:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.
Проблем 6
Как да поставим 45 заека в 9 клетки, така че всички клетки да имат различен брой зайци?
Решение.
Ако детето реши и разбере примерите от задача 1 с разбиране, то веднага си спомня, че 45 е сумата от числа от 1 до 9. Следователно ние засаждаме зайци по този начин:
- първата клетка е 1,
- вторият - 2,
- трети - 3,
- осми - 8,
- девети - 9.
Но ако детето не може веднага да го разбере, опитайте се да го подтикнете към идеята, че подобни проблеми могат да бъдат решени с груба сила и трябва да започнете с минималния брой.
Проблем 7
Изчислете сумата с помощта на трика на Гаус:
- 31 + 32 + 33 + … + 40;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.
Решение.
- 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.
Проблем 8
Има комплект от 12 тежести 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g, 10g, 11g, 12g. От комплекта бяха извадени 4 тежести, чиято обща маса е равна на една трета от общата маса на целия комплект тежести. Възможно ли е останалите тежести да се поставят на две везни по 4 броя на всеки тиган, така че да са в равновесие?
Решение.
Прилагаме правилото на Гаус, за да намерим общата маса на тежестите:
1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (d)
Изчисляваме масата на отстранените тежести:
Следователно останалите тежести (с обща маса 78-26 = 52 g) трябва да бъдат поставени по 26 g върху всеки съд на везната, така че да са в равновесие.
Не знаем кои тежести са премахнати, така че трябва да разгледаме всички възможни варианти.
Прилагайки правилото на Гаус, тежестите могат да бъдат разделени на 6 двойки с еднакво тегло (13g всяка):
1d и 12d, 2d и 11d, 3d и 10, 4d и 9d, 5d и 8d, 6d и 7d.
Тогава най-добрият вариант е, когато при сваляне на 4 тежести се отстраняват два чифта от горните. В този случай ще имаме 4 двойки: 2 двойки в едната скала и 2 двойки в другата.
Най-лошият сценарий е, когато 4 премахнати тежести счупят 4 двойки. Ще имаме 2 неразчупени чифта с общо тегло 26гр, което означава, че ги поставяме на една тава за кантар, а останалите тежести могат да се поставят на другата везна и те също ще бъдат 26g.
Успех в развитието на вашите деца.
Днес ще разгледаме една от математическите задачи, които трябваше да реша с моя племенник. След това ще го реализираме чрез PHP. И ще разгледаме няколко варианта за решаване на този проблем.
Задачата:
Трябва бързо да добавите всички числа от 1 до 100 едно след друго и да разберете сбора от всички числа.
Решението на проблема:
Всъщност, когато решихме този проблем за първи път, ние не го решихме правилно! Но няма да пишем за грешното решение на този проблем.
А решението е толкова просто и тривиално - трябва да съберете 1 и 100 и да умножите по 50. (Карл Гаус имаше такова решение, когато беше много малък...)
(1 + 100)*50.
Как да реша този проблем чрез php?
Изчислете сумата на всички числа от 1 до 100 чрез PHP.
Когато вече решихме този проблем, решихме да видим какво пишат в интернет по този въпрос! И намерих някаква форма, при която младите таланти не могат да решат този проблем и се опитах да го направя чрез цикъл.
Ако няма специално условие да го направите през цикъла, тогава няма смисъл да го правите през цикъла!
И да! Не забравяйте, че в php можете да решите проблема по много начини! един.
Този код може да добавя всяка последователност от числа като цяло, като се започне от едно до безкрайност.
Нека приложим нашето решение в най-простата му форма:
$ end = $ _POST ["peremennaya"];
$ res = $ край / 2 * ($ i + $ край);
