Oli laisk. Et lapsed pikalt töös hoida ja ka ise uinakut teha, palus ta numbrid 1-100 kokku liita.
Gauss andis kiiresti vastuse: 5050. Nii kiiresti? Õpetaja ei uskunud, aga noorel geeniusel oli õigus. Kõikide numbrite 1-st 100-ni liitmine on nässude jaoks! Gauss leidis valemi:
$$\summa_(1)^(n)=\frac(n(n+1))(2)$$
$$\summa_(1)^(100)=\frac(100(100+1))(2)=50\cdot 101=5050$$
Kuidas ta seda tegi? Proovime mõista näidet summast 1 kuni 10.
Esimene viis: jagage numbrid paarideks
Kirjutame numbrid 1 kuni 10 kahe rea ja viie veeruga maatriksina:
$$\left(\begin(massiivi)(c)1&2&3&4&5\\ 10&9&8&7&6 \end(massiivi)\right)$$
Huvitaval kombel on iga veeru summa 11 ehk $n+1$. Ja selliseid arvupaare ehk $\frac(n)(2)$ on 5. Saame oma valemi:
$$Arv\ veerud\cdotSum\ numbers\ in\ columns=\frac(n)(2)\cdot(n+1)$$
Kui paaritu arv termineid?
Mis siis, kui liidate arvud 1 kuni 9? Meil pole viie paari moodustamiseks ühte numbrit, kuid võime võtta nulli:
$$\left(\begin(massiivi)(c)0&1&2&3&4\\ 9&8&7&6&5 \end(massiivi)\right)$$
Veergude summa on nüüd 9 ehk täpselt $n$. Kuidas on lood veergude arvuga? Ikka viis veergu (aitäh null!), aga nüüd on veergude arv defineeritud $\frac(n+1)(2)$ (y-s on $n+1$ numbrid ja poole vähem veerge).
$$Arv\ veerud\cdotSum\ numbers\ in\ columns=\frac(n+1)(2)\cdot n$$
Teine viis: kahekordistage ja kirjutage kahes reas
Arvutame arvude summa neil kahel juhul veidi erinevalt.
Võib-olla on võimalik arvutada summa võrdselt paaris ja paaritu arvu liikmete jaoks?
Selle asemel, et teha arvudest mingi "silmus", kirjutame need kahele reale, korrutades samal ajal numbrite arvu kahega:
$$\left(\begin(massiivi)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\10&9&8&7&6&5&4&3&2&1 \end(massiivi)\right)$$
Kummalise juhtumi jaoks:
$$\left(\begin(massiivi)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end(massiivi)\right)$$
Näha on, et mõlemal juhul on veergude summa $n+1$ ja veergude arv $n$.
$$Arv\ veerud\cdotSum\ numbers\ in\ columns=n\cdot(n+1)$$
Kuid meil on vaja ainult ühe rea summat, nii et:
$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$
Kolmas viis: tehke ristkülik
On veel üks seletus, proovime lisada riste, oletame, et meil on ristid:
See lihtsalt näeb välja nagu teise tee erinev esitus – igal järgneval püramiidi real on rohkem riste ja vähem nulle. Kõigi ristide ja nullide arv on ristküliku pindala.
$$Area=Kõrgus\cdotWidth=n\cdot(n+1)$$
Kuid meil on vaja ristide summat, nii et:
$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$
Neljas viis: aritmeetiline keskmine
Tuntud: $Mean\aritmeetika=\frac(Sum)(Arv\liikmed)$
Seejärel: $Sum = keskmine\aritmeetiline\cdotArv\liikmed$
Liikmete arv on teada – $n$. Kuidas väljendada aritmeetilist keskmist?
Pange tähele, et numbrid on ühtlaselt jaotunud. Iga suure numbri jaoks on teises otsas väike.
1 2 3, keskmine 2
1 2 3 4, keskmine 2,5
Sel juhul on aritmeetiline keskmine arvude 1 ja $n$ aritmeetiline keskmine, st $Mean\aritmeetiline=\frac(n+1)(2)$
$$Sum = \frac(n+1)(2)\cdot n$$
Viies viis: integraal
Me kõik teame, et kindel integraal arvutab summa. Arvutame integraaliks summa 1-100? Jah, aga kõigepealt leiame vähemalt summa 1 kuni 3. Olgu meie arvud y(x) funktsioonid. Joonistame pildi:
Kolme ristküliku kõrgused on vaid numbrid 1-st 3-ni. Tõmmake sirgjoon läbi "korkide" keskpunktide:
Oleks tore leida selle sirge võrrand. See läbib punkte (1,5;1) ja (2,5;2). $y=k\cdot x+b$.
$$\begin(cases)2,5k + b = 2\\1,5k + b = 1\lõpp(juhtumid)\Paremnool k=1; b = -0,5 $ $
Seega on sirge võrrand, millega saame oma ristkülikuid lähendada $y=x-0.5$
See lõikab ristkülikutelt ära kollased kolmnurgad, aga “lisab” neile ülevalt sinised. Kollane võrdub sinisega. Esiteks veenduge, et integraali kasutamine viib Gaussi valemini:
$$\int_(1)^(n+1) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2 ))(|)^(n+1)_(1)=\frac((n+1)^(2))(2)-\frac(n+1)(2)=\frac(n^( 2)+2n+1-n-1)(2)=\frac(n^(2)+n)(2)$$
Nüüd arvutame summa 1 kuni 3, võtame X 1 kuni 4, nii et kõik meie kolm ristkülikut langeksid integraali:
$$\int_(1)^(4) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(4)_(1)=\frac(4^(2))(2)-2-(0,5-0,5)=6 $$
$$\int_(1)^(101) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(101)_(1)=\frac(101^(2))(2)-50,5-(0,5-0,5)=5100,5-50,5=5050 $$
Ja milleks seda kõike vaja on?
$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)$$
Esimesel päeval tuli teie saidile üks inimene, teisel päeval kaks inimest ... Iga päevaga kasvas külastuste arv 1 võrra. Mitu külastust saab sait 1000. päeva lõpuks?
$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)=\frac(1000^(2))(2) +\frac(1000)(2) = 500000+500=500500$$
Tsükkel "Meelelahutuslik matemaatika" on pühendatud lastele, kellele meeldib matemaatika, ja vanematele, kes pühendavad aega oma laste arendamisele, "viskavad" neid huvitavate ja meelelahutuslike ülesannete, mõistatustega.
Selle seeria esimene artikkel on pühendatud Gaussi reeglile.
Natuke ajalugu
Kuulus saksa matemaatik Carl Friedrich Gauss (1777-1855) erines juba varasest lapsepõlvest oma eakaaslastest. Vaatamata sellele, et ta oli pärit vaesest perest, õppis ta üsna varakult lugema, kirjutama ja arvutama. Tema eluloos on isegi mainitud, et 4-5-aastaselt suutis ta isa ebaõigetes arvutustes vea parandada, lihtsalt teda jälgides.
Üks tema esimesi avastusi tehti 6-aastaselt matemaatikatunnis. Õpetajal oli vaja lapsi pikka aega köita ja ta pakkus välja järgmise probleemi:
Leidke kõigi naturaalarvude summa vahemikus 1 kuni 100.
Noor Gauss sai selle ülesandega üsna kiiresti hakkama, leides huvitava mustri, mis on laialt levinud ja on siiani kasutusel peastarvestamisel.
Proovime seda probleemi suuliselt lahendada. Kuid kõigepealt võtame arvud 1-st 10-ni:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
Vaadake seda summat hoolikalt ja proovige arvata, mis oli Gaussi puhul ebatavaline? Vastamiseks peate hästi mõistma numbrite koostist.
Gauss rühmitas numbrid järgmiselt:
(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)
Nii sai väike Karl 5 paari arvusid, millest igaüks eraldi annab kokku 11. Seejärel tuleb naturaalarvude summa arvutamiseks 1-10
Tuleme tagasi algse probleemi juurde. Gauss märkas, et enne summeerimist on vaja arvud paaridesse rühmitada ja leiutas seeläbi algoritmi, mille abil saate kiiresti lisada numbreid vahemikus 1 kuni 100:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
Leia paaride arv naturaalarvude reas. Sel juhul on neid 50.
Summa selle seeria esimene ja viimane number. Meie näites on need 1 ja 100. Saame 101.
Korrutame seeria esimese ja viimase liikme saadud summa selle seeria paaride arvuga. Saame 101 * 50 = 5050
Seetõttu on naturaalarvude summa vahemikus 1 kuni 100 5050.
Ülesanded Gaussi reegli kasutamiseks
Ja nüüd kutsutakse teie tähelepanu probleemidele, mille puhul Gaussi reeglit ühel või teisel määral kasutatakse. Neljanda klassi õpilane suudab neid mõistatusi üsna hästi mõista ja lahendada.
Saate anda lapsele võimaluse enda üle arutleda, nii et ta ise selle reegli “leiutas”. Ja saate selle lahti võtta ja vaadata, kuidas ta seda kasutada saab. Alltoodud ülesannete hulgas on näiteid, mille puhul peate mõistma, kuidas Gaussi reeglit muuta, et seda antud jadale rakendada.
Igal juhul on selleks, et laps saaks oma arvutustes sellega opereerida, Gaussi algoritmi mõistmine, see tähendab oskus õigesti paaridesse jagada ja lugeda.
Tähtis! Kui valem jääb mõistmata pähe, siis ununeb see väga kiiresti.
1. ülesanne
Leidke arvude summa:
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.
Lahendus.
Algul saab anda lapsele võimaluse esimene näide ise lahendada ja pakkuda välja, kuidas leida viis, kuidas seda on mõttes lihtne teha. Järgmiseks analüüsige seda näidet koos lapsega ja näidake, kuidas Gauss seda tegi. Selguse huvides on kõige parem üles kirjutada jada ja ühendada arvupaarid ridadega, mis annavad kokku sama arvu. On oluline, et laps mõistaks paaride moodustamist - ülejäänud arvudest võtame väikseima ja suurima, eeldusel, et rea arvude arv on paaris.
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050
Ülesanne2
Seal on 9 raskust, mis kaaluvad 1 g, 2 g, 3 g, 4 g, 5 g, 6 g, 7 g, 8 g, 9 g. Kas neid raskusi saab jagada kolmeks võrdse kaaluga hunnikuks?
Lahendus.
Gaussi reegli abil leiame kõigi kaalude summa:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (g)
Seega, kui saame raskused rühmitada nii, et iga hunnik sisaldab raskusi kogukaaluga 15g, siis on probleem lahendatud.
Üks valikutest:
- 9 g, 6 g
- 8 g, 7 g
- 5g, 4g, 3g, 2g, 1g
Otsige ise koos lapsega muid võimalikke valikuid.
Pöörake lapsele tähelepanu, et kui sellised probleemid on lahendatud, on parem alustada rühmitamist alati suurema kaaluga (numbriga).
3. ülesanne
Kas kella sihverplaati on võimalik sirgjoonega jagada kaheks osaks nii, et iga osa numbrite summad on võrdsed?
Lahendus.
Alustuseks rakendage Gaussi reeglit arvude seeriale 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: leidke summa ja vaadake, kas see jagub 2-ga:
Nii et saate jagada. Nüüd vaatame, kuidas.
Seetõttu on vaja sihverplaadile tõmmata joon, nii et 3 paari satuks ühte poole ja kolm teise.
Vastus: joon läbib numbrite 3 ja 4 ning seejärel numbrite 9 ja 10 vahelt.
Ülesanne4
Kas kella sihverplaadile on võimalik tõmmata kaks sirget nii, et iga osa numbrite summa oleks sama?
Lahendus.
Alustuseks rakendame Gaussi reeglit arvude seeriale 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: leidke summa ja vaadake, kas see jagub 3-ga:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78
78 jagub 3-ga ilma jäägita, nii et saate jagada. Nüüd vaatame, kuidas.
Gaussi reegli kohaselt saame 6 numbripaari, millest igaüks annab kokku 13:
1 ja 12, 2 ja 11, 3 ja 10, 4 ja 9, 5 ja 8, 6 ja 7.
Seetõttu on vaja sihverplaadile tõmmata jooned nii, et igasse ossa satuks 2 paari.
Vastus: esimene rida läheb arvude 2 ja 3 ning seejärel numbrite 10 ja 11 vahelt; teine rida on numbrite 4 ja 5 vahel ning seejärel 8 ja 9 vahel.
5. ülesanne
Linnuparv lendab. Ees on üks lind (juht), millele järgneb kaks, siis kolm, neli jne. Mitu lindu on parves, kui neid on viimases reas 20?
Lahendus.
Saame, et peame liitma arvud 1 kuni 20. Ja sellise summa arvutamiseks saame rakendada Gaussi reeglit:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.
6. ülesanne
Kuidas paigutada 45 jänest 9 puuri nii, et kõikides puurides oleks erinev arv küülikuid?
Lahendus.
Kui laps on ülesande 1 näiteid mõistvalt otsustanud ja aru saanud, siis meenub kohe, et 45 on arvude summa 1 kuni 9. Seetõttu paneme jänesed nii:
- esimene lahter - 1,
- teine - 2,
- kolmas - 3,
- kaheksas - 8,
- üheksas - 9.
Aga kui laps sellest kohe aru ei saa, siis proovi talle anda mõte, et selliseid probleeme saab lahendada toore jõuga ja alustada tuleb minimaalsest arvust.
Ülesanne 7
Arvutage summa Gaussi triki abil:
- 31 + 32 + 33 + … + 40;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.
Lahendus.
- 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.
Ülesanne 8
Komplektis on 12 raskust, mis kaaluvad 1 g, 2 g, 3 g, 4 g, 5 g, 6 g, 7 g, 8 g, 9 g, 10 g, 11 g, 12 g. Komplektist eemaldati 4 raskust, mille kogumass on võrdne kolmandikuga kogu raskuste komplekti kogumassist. Kas ülejäänud raskusi saab panna kahele kaalupannile, kummalegi pannile 4 tükki, nii et need on tasakaalus?
Lahendus.
Kaalude kogumassi leidmiseks rakendame Gaussi reeglit:
1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (g)
Arvutame eemaldatud raskuste massi:
Seetõttu tuleb ülejäänud raskused (kogumassiga 78–26 \u003d 52 g) asetada igale kaalukausile 26 g, et need oleksid tasakaalus.
Me ei tea, millised raskused on eemaldatud, seega peame kaaluma kõiki võimalikke võimalusi.
Gaussi reeglit rakendades saate jagada raskused 6 võrdse kaaluga paariks (igaüks 13 g):
1g ja 12g, 2g ja 11g, 3g ja 10, 4g ja 9g, 5g ja 8g, 6g ja 7g.
Siis on parim variant 4 raskuse eemaldamisel eemaldatakse kaks paari ülalmainituid. Sel juhul jääb meile 4 paari: 2 paari ühel skaalal ja 2 paari teisel.
Halvim on see, kui 4 eemaldatud raskust lõhub 4 paari. Meil on 2 katkematut paari kogukaaluga 26g, mis tähendab, et asetame need ühele kaalupannile ja ülejäänud raskused saab asetada teisele kaalualusele ja need on samuti 26g.
Edu teie laste arengus.
Täna käsitleme üht matemaatilist ülesannet, mille pidin koos vennapojaga lahendama. Ja siis rakendame seda PHP kaudu. Ja kaaluge selle probleemi lahendamiseks mitmeid võimalusi.
Ülesanne:
On vaja kiiresti üksteise järel liita kõik numbrid 1-st 100-ni ja välja selgitada kõigi numbrite summa.
Probleemi lahendus:
Tegelikult, kui me selle probleemi esimest korda lahendasime, lahendasime selle valesti! Kuid me ei kirjuta selle probleemi valest lahendusest.
Ja lahendus on nii lihtne ja triviaalne - peate liitma 1 ja 100 ning korrutama 50-ga. (Karl Gausil oli selline lahendus, kui ta oli väga väike ...)
(1 + 100)*50.
Kuidas ma saan selle probleemi php-ga lahendada?
Arvutage PHP abil kõigi arvude summa vahemikus 1 kuni 100.
Kui olime selle probleemi juba lahendanud, otsustasime vaadata, mida nad selle teema kohta "internetis" kirjutavad! Ja ma leidsin mingi vormi, kus noored talendid ei suutnud seda probleemi lahendada, ja proovisin seda teha läbi tsükli.
Kui pole mingit erilist tingimust teha läbi tsükli, siis pole mõtet ka läbi tsükli teha!
Ja jah! Ärge unustage, et php-s saate probleemi mitmel viisil lahendada! üks.
See kood võib lisada mis tahes numbrijada ühest lõpmatuseni.
Rakendame oma lahendust selle kõige lihtsamal kujul:
$end = $_POST["muutuja"];
$res = $end/2*($i + $end);
