مجموعه های محدب و ویژگی های آنهابه منظور مطالعه خواص ZLP، لازم است تعریف دقیقی از مجموعه محدب ارائه شود. پیش از این، مجموعه محدب به عنوان مجموعه ای تعریف می شد که همراه با هر دو نقطه از آن، شامل یک پاره خطی است که آنها را به هم متصل می کند.

تعمیم مفهوم یک قطعه برای چندین نقطه ترکیب خطی محدب آنها است.

نقطه X نامیده می شود ترکیب خطی محدبنکته ها, در صورت تحقق شرایط

مجموعه نقاط است محدباگر همراه با هر یک از دو نقطه خود، ترکیب خطی و محدب دلخواه خود را داشته باشد.

می توان قضیه زیر را در مورد نمایش یک چندوجهی محدب اثبات کرد.

قضیه 1.1. یک چندوجهی n بعدی محدب، ترکیب خطی محدب از نقاط گوشه آن است.

از قضیه 1.1 برمی آید که یک چندوجهی محدب توسط نقاط گوشه یا رئوس آن ایجاد می شود: یک قطعه - با دو نقطه، یک مثلث - با سه، یک چهار وجهی - با چهار نقطه و غیره. در عین حال، یک منطقه چند وجهی محدب، که مجموعه ای نامحدود است، به طور منحصر به فرد توسط نقاط گوشه آن تعیین نمی شود: هیچ یک از نقاط آن را نمی توان به عنوان یک ترکیب خطی محدب از نقاط گوشه نشان داد.

ویژگی های مسئله برنامه ریزی خطیقبلا اشکال مختلفی از یک مسئله برنامه ریزی خطی در نظر گرفته شد و نشان داده شد که هر مسئله برنامه ریزی خطی را می توان به عنوان یک مسئله کلی یا متعارف نشان داد.

برای اثبات ویژگی های یک مسئله برنامه ریزی خطی و روش های حل آن، توصیه می شود دو نوع دیگر از نوشتن یک مسئله متعارف را در نظر بگیرید.

نماد ماتریسی:

اینجا از جانب- ماتریس ردیف، ولیماتریس سیستم است، ایکس- ماتریس-ستون متغیرها، که در- ماتریس-ستون اعضای آزاد:

نماد برداری:

که در آن بردارها با ستون های ضرایب مجهولات مطابقت دارند.

قضیه زیر در بالا بیان شد، اما به صورت کلی ثابت نشد.

قضیه 1.2. مجموعه تمام راه حل های قابل قبول سیستم محدودیت یک مسئله برنامه ریزی خطی محدب است.

اثبات:بگذار باشد - دو راه حل امکان پذیر برای LLP ارائه شده به شکل ماتریس. سپس و . یک ترکیب خطی محدب از راه حل ها را در نظر بگیرید، به عنوان مثال.

و نشان می دهد که آن نیز یک راه حل عملی برای سیستم (1.3) است. در واقع

یعنی راه حل ایکسسیستم (1.3) را برآورده می کند. اما از آن زمان ایکس> 0، یعنی راه حل شرایط غیر منفی را برآورده می کند.

بنابراین، ثابت شده است که مجموعه تمام راه حل های قابل قبول مسئله برنامه ریزی خطی محدب است، یا بهتر است بگوییم، نشان دهنده یک چند وجهی محدب یا یک ناحیه چند وجهی محدب است که در ادامه با یک جمله نامیده می شود - راه حل های متنوع

پاسخ به این سوال که در کدام نقطه از حل چندوجهی راه حل بهینه یک مسئله برنامه ریزی خطی ممکن است در قضیه اساسی زیر آورده شده است.

قضیه 1.3. اگر یک مسئله برنامه ریزی خطی راه حل بهینه داشته باشد، تابع خطی حداکثر مقدار خود را در یکی از نقاط گوشه چندوجهی حل می گیرد. اگر یک تابع خطی حداکثر مقدار را در بیش از یک نقطه گوشه به خود بگیرد، آنگاه آن را در هر نقطه ای که ترکیب خطی محدب آن نقاط است، می گیرد.

اثبات:ما فرض می کنیم که چند وجهی محلول محدود است. نقاط گوشه آن را با علامت گذاری می کنیم , و راه حل بهینه از طریق است ایکس*. سپس F(X*)³ F(X)برای تمام نقاط ایکسچند وجهی محلول اگر ایکس*یک نقطه گوشه است، سپس قسمت اول قضیه ثابت می شود.

بیایید وانمود کنیم که ایکس*یک نقطه گوشه نیست، پس به موجب قضیه 1.1 ایکس*را می توان به عنوان یک ترکیب خطی محدب از نقاط گوشه چند وجهی محلول نشان داد، یعنی.

زیرا F(X)یک تابع خطی است، دریافت می کنیم

در این بسط، از بین مقادیر، حداکثر را انتخاب می کنیم. بگذارید با نقطه گوشه مطابقت داشته باشد X k(1 پوند ک£ ر); بیایید آن را با علامت گذاری کنیم م،آن ها . اجازه دهید هر مقدار در عبارت (1.5) را با این مقدار حداکثر جایگزین کنیم م.سپس

با فرض ایکس* راه حل بهینه است، بنابراین، از یک سو، اما، از سوی دیگر، ثابت شده است که
F(X*)£ م،بنابراین، کجا X k- نقطه گوشه بنابراین یک نقطه گوشه وجود دارد X k، که در آن تابع خطی حداکثر مقدار را می گیرد.

برای اثبات قسمت دوم قضیه، فرض می کنیم که تابع هدف در بیش از یک نقطه گوشه، مثلاً در نقاط، حداکثر مقدار را می گیرد. ، جایی که , سپس

بگذار باشد ایکسیک ترکیب خطی محدب از این نقاط گوشه است، یعنی.

در این حالت با توجه به اینکه تابع F(X)خطی است، دریافت می کنیم

آن ها تابع خطی افدر یک نقطه دلخواه حداکثر مقدار را می گیرد ایکس، که یک ترکیب خطی محدب از نقاط گوشه است.

اظهار نظر.شرط محدود بودن چندوجهی محلول در قضیه ضروری است، زیرا در مورد یک دامنه چندوجهی نامحدود، همانطور که در قضیه 1.1 ذکر شد، نمی توان هر نقطه از چنین حوزه ای را با ترکیب خطی محدب نقاط گوشه آن نشان داد.

قضیه اثبات شده بنیادی است، زیرا راه اساسی حل مسائل برنامه ریزی خطی را نشان می دهد. در واقع، بر اساس این قضیه، به جای مطالعه مجموعه ای نامتناهی از راه حل های قابل قبول، برای یافتن راه حل بهینه مورد نظر از بین آنها، فقط باید تعداد محدودی از نقاط گوشه چند وجهی حل را مطالعه کرد.

قضیه زیر به روش تحلیلی برای یافتن نقاط گوشه اختصاص دارد.

قضیه 1.4. هر راه حل پایه قابل قبول یک مسئله برنامه ریزی خطی مربوط به یک نقطه گوشه از چند وجهی راه حل است، و بالعکس، به هر نقطه گوشه از چند وجهی راه حل، یک راه حل اساسی قابل قبول مطابقت دارد.

اثبات:اجازه دهید یک راه حل اساسی قابل قبول از سیستم محدودیت LLP (1.4) باشد که در آن اولین تیجزء - متغیرهای اصلی و بقیه p - tجزء - متغیرهای غیر پایه برابر با صفر در راه حل اصلی (اگر اینطور نیست، می توان متغیرهای مربوطه را مجددا شماره گذاری کرد). بگذارید این را نشان دهیم ایکس

برعکس را فرض کنید، یعنی. چی ایکسیک نقطه گوشه نیست سپس اشاره کنید ایکسرا می توان به عنوان یک نقطه داخلی از یک بخش نشان داد که دو متفاوت را به هم متصل می کند، نه منطبق با ایکس،نکته ها

به عبارت دیگر، یک ترکیب خطی محدب از نقاط چند وجهی محلول، یعنی.

کجا (فرض می کنیم که، زیرا در غیر این صورت نقطه ایکسمنطبق با نقطه ایکس 1 یا ایکس 2).

اجازه دهید برابری برداری (1.6) را به صورت مختصات بنویسیم:

زیرا همه متغیرها و ضرایب غیر منفی هستند، سپس از آخرین p-tبرابری ها نتیجه می شود که , i.e. در تصمیم گیری ها ایکس 1 , ایکس 2 و ایکسسیستم معادلات (1.4) مقادیر p - tمولفه ها در این مورد صفر هستند. این مولفه ها را می توان به عنوان مقادیر متغیرهای غیر پایه در نظر گرفت. اما مقادیر متغیرهای غیر پایه به طور منحصر به فرد مقادیر اصلی را تعیین می کند، بنابراین،

پس همه چیز پجزء در محلول ها ایکس 1 , ایکس 2 و ایکسمنطبق هستند، به این معنی که نقاط ایکس 1 و ایکس 2 ادغام، که با این فرض در تضاد است. در نتیجه، ایکسنقطه گوشه چندوجهی محلول است.

اجازه دهید ادعای معکوس را ثابت کنیم. اجازه دهید یک نقطه گوشه از چند وجهی محلول و اولین آن باشد تیمختصات مثبت است بگذارید این را نشان دهیم ایکسیک راه حل اساسی قابل قبول است. یک نقطه گوشه نیست، که با شرایط در تضاد است. بنابراین، فرض ما اشتباه است، یعنی. بردارها به صورت خطی مستقل هستند و ایکسیک راه حل اساسی قابل قبول برای مسئله (1.4) است.

یک نتیجه مهم بلافاصله از قضایای 1.3 و 1.4 برمی‌آید: اگر یک مسئله برنامه‌ریزی خطی راه‌حل بهینه داشته باشد، حداقل با یکی از راه‌حل‌های اساسی امکان‌پذیر آن منطبق است.

بنابراین، بهینه تابع خطی یک مسئله برنامه ریزی خطی را باید در میان تعداد محدودی از راه حل های اساسی قابل قبول آن جستجو کرد.

بهینه سازی مدل های خطی در MS Excel انجام شده است روش سیمپلکس- شمارش هدفمند راه حل های مرجع مسئله برنامه ریزی خطی. الگوریتم روش سیمپلکس به ساختن یک چندوجهی محدب در یک فضای چند بعدی و سپس به تکرار بر روی رئوس آن به منظور یافتن مقدار فوق‌العاده کاهش می‌یابد. تابع هدف.

درمان های موثر برنامه ریزی خطیزیربنای برنامه ریزی اعداد صحیح و غیر خطی برای حل مسائل بهینه سازی پیچیده تر است. با این حال، محاسبه این روش ها بیشتر طول می کشد.

در سخنرانی های بعدی، نمونه هایی از حل مسائل بهینه سازی معمولی و تصمیم گیری های مدیریتی با استفاده از افزونه MS Excel "جستجوی راه حل" به تفصیل تجزیه و تحلیل خواهد شد. وظایفی که به بهترین شکل توسط این ابزار حل می شوند دارای سه ویژگی اصلی هستند:

• یک هدف واحد وجود دارد که از نظر عملکردی با سایر پارامترهای سیستم مرتبط است که باید بهینه شود (برای یافتن حداکثر، حداقل یا مقدار عددی معین)؛
• محدودیت هایی وجود دارد که معمولاً به صورت نابرابری بیان می شود (مثلاً حجم مواد اولیه مصرفی نمی تواند از موجودی مواد اولیه موجود در انبار تجاوز کند یا زمان کارکرد دستگاه در روز نباید از 24 ساعت منهای زمان برای نگهداری)؛
• مجموعه ای از مقادیر-متغیرهای ورودی وجود دارد که بر مقادیر و محدودیت های بهینه شده تأثیر می گذارد.

پارامترهای وظیفه با محدودیت های زیر محدود می شوند:

• تعداد مجهولات 200 است.
• تعداد محدودیت های فرمول در مجهولات - 100؛
• تعداد شرایط حد برای مجهولات 400 است.

الگوریتم برای یافتن راه حل های بهینه شامل چندین مرحله است:

• کارهای مقدماتی؛
• اشکال زدایی راه حل؛
• تجزیه و تحلیل راه حل

توالی کارهای مقدماتی ضروری انجام شده در هنگام حل مسائل مدلسازی اقتصادی و ریاضی با استفاده از MS Excel در نمودار جریان شکل 1.6 نشان داده شده است.

برنج. 1.6.

از پنج نکته برنامه کاری مقدماتی، تنها نکته پنجم قابل رسمی شدن است. بقیه کارها نیاز به خلاقیت دارد - و افراد مختلف می توانند آن را به روش های مختلف انجام دهند. اجازه دهید به طور خلاصه ماهیت عبارت بندی نکات طرح را توضیح دهیم.

هنگام تنظیم مشکل، ضرایب هدف و ضرایب نرمال شده شناخته می شوند. در مثال قبلی، ضرایب تشکیل دهنده تابع هدف، مقادیر سود نرمال شده در هر قفسه از نوع ( ) و یک نوع قفسه ( ). هنجارهای مصرف مواد و زمان ماشین در هر قفسه از هر نوع به عنوان ضرایب نرمال شده عمل می کنند. ماتریس به این شکل بود:

علاوه بر این، مقادیر منابع همیشه مشخص است. در مثال قبلی، این عرضه یک هفته ای تخته و قابلیت استفاده از زمان ماشین بود: , . اغلب در وظایف، مقادیر متغیرها باید محدود شود. بنابراین، تعیین حدود پایین و بالایی منطقه تغییرات آنها ضروری است.

بنابراین، در کادر محاوره ای برنامه بهینه سازی "جستجوی راه حل"، باید الگوریتم هدف زیر را مشخص کنیم:

تابع هدف برابر است با حاصل ضرب بردار مقادیر مورد نظر متغیرها و بردار ضرایب هدف.

ضرایب نرمال شده روی بردار مقادیر مورد نظر متغیرها نباید از مقادیر بردار منبع داده شده تجاوز کند.

مقادیر متغیر باید در محدوده مشخص شده تعداد عناصر اولیه سیستم باشد

تعداد عناصر اولیه سیستم

تعداد انواع منابع مشخص شده

اشکال زدایی راه حل زمانی ضروری است که برنامه پیامی در مورد نتایج منفی صادر کند (شکل 1.7):

برنج. 1.7.

• اگر راه حل معتبری به دست نیامد، مدل داده اولیه را اصلاح کنید.
• در صورت عدم دریافت راه حل بهینه، سپس محدودیت های اضافی را معرفی کنید.

مسائل برنامه راه حل بهینهفقط برای مدل کردن مشکل واقعی، نه برای حل خود مشکل. هنگام ساخت مدل، فرضیات ساده‌سازی مختلفی از وضعیت واقعی انجام شد. این امر امکان رسمی کردن فرآیند را فراهم کرد و تقریباً روابط کمی واقعی بین پارامترهای سیستم و هدف را نشان داد. و اگر پارامترهای واقعی با پارامترهای مدل متفاوت باشد، تصمیم چگونه تغییر خواهد کرد؟ برای پیدا کردن، قبل از تصمیم گیری مدیریت، تجزیه و تحلیل راه حل مدل انجام می شود.

تحلیل و بررسی راه حل بهینه، که در برنامه گنجانده شده است، مرحله نهایی مدلسازی ریاضی فرآیندهای اقتصادی است. این امکان را برای بررسی عمیق‌تر تناسب مدل با فرآیند و همچنین قابلیت اطمینان راه‌حل بهینه فراهم می‌کند. بر اساس داده ها است راه حل بهینهو گزارش هایی که در «جستجوی راه حل» صادر می شود. اما قبل از تصمیم گیری مدیریتی، تحلیل سنتی طرح را از موقعیت های اقتصادی حذف یا جایگزین نمی کند.

تحلیل اقتصادی دارای اهداف زیر است:

• تعیین پیامدهای احتمالی در سیستم به عنوان یک کل و عناصر آن هنگام تغییر پارامتر مدل.
• ارزیابی پایداری طرح بهینه در برابر تغییرات در پارامترهای فردی مشکل: اگر در برابر تغییرات در اکثر پارامترها مقاوم نباشد، تضمین اجرای آن و دستیابی به بهینه محاسبه شده کاهش می یابد.
• انجام محاسبات انواع و به دست آوردن انواع جدید طرح بدون حل مجدد مشکل از پایه اصلی با کمک تنظیمات.

روش های احتمالی تجزیه و تحلیل در طرح در شکل 1.8 ارائه شده است.

پس از به دست آوردن جواب بهینه، با توجه به گزارش های دریافتی مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرد. تجزیه و تحلیل پایداری- مطالعه تأثیر تغییرات در پارامترهای فردی مدل بر شاخص های راه حل بهینه. تجزیه و تحلیل حد- تجزیه و تحلیل تغییرات قابل قبول در طرح بهینه، که در آن طرح بهینه باقی می ماند.

در نظر گرفتن مسئولیت اقتصادی تصمیم مدیریت، مدیر باید مطمئن شود که برنامه بهینه حاصل تنها برنامه صحیح است. برای انجام این کار، بر اساس مدل، پاسخ به سوالات زیر ضروری است:

• "چه اتفاقی می افتد اگر…"
• «به چه چیزی نیاز داری…»

تحلیلی برای پاسخ به سوال اول نامیده می شود تجزیه و تحلیل انواع; تحلیل برای پاسخ به سوال دوم نامیده می شود راه حل های سفارشی

آنالیز متغیر از انواع زیر است:

• پارامتریک- تجزیه و تحلیل، که شامل حل یک مسئله برای مقادیر مختلف یک پارامتر خاص است.
• تحلیل ساختاری- هنگامی که راه حل مسئله بهینه سازی با ساختار متفاوتی از محدودیت ها جستجو می شود.
• تحلیل چند معیارهحل مسئله برای توابع هدف مختلف است.
• تجزیه و تحلیل تحت داده های اولیه مشروط- زمانی که داده های اولیه مورد استفاده در حل مشکل به رعایت شرایط اضافی بستگی دارد.

پس از تجزیه و تحلیل، نتایج باید به صورت گرافیکی ارائه شود و گزارشی با توصیه هایی برای تصمیم گیری با در نظر گرفتن شرایط خاص اقتصادی تهیه شود.

تعریف. هر راه حلی برای سیستم محدودیت، راه حل LLP قابل قبول نامیده می شود.
تعریف. راه حل عملی که در آن تابع هدف به مقدار حداکثر یا حداقل می رسد، راه حل بهینه نامیده می شود.

با توجه به این تعاریف، مسئله LP را می توان به صورت زیر فرموله کرد: از بین تمام نقاط یک حوزه محدب که راه حلی برای سیستم محدودیت ها است، یکی را انتخاب کنید که مختصات آن تابع خطی را به حداقل برساند (بیشینه کند). اف = از جانب 1 ایکس + از جانب 2 y.
توجه داشته باشید که متغیرها ایکس, yدر LLP، به عنوان یک قاعده، مقادیر غیر منفی ( ایکس≥ 0, y≥ 0)، بنابراین منطقه در ربع اول صفحه مختصات قرار دارد.

تابع خطی را در نظر بگیرید اف = از جانب 1 ایکس + از جانب 2 yو مقداری را ثابت کنید اف. اجازه دهید، برای مثال، اف= 0، یعنی از جانب 1 ایکس + از جانب 2 y= 0. نمودار این معادله یک خط مستقیم خواهد بود که از مبدا (0; 0) می گذرد (شکل).
تصویر
هنگام تغییر این مقدار ثابت اف = د، سر راست از جانب 1 ایکس+ از جانب 2 y=dموازی حرکت می کند و کل صفحه را "کشش" می کند. بگذار باشد دی- چند ضلعی - مساحت حل سیستم محدودیت ها. وقتی تغییر می کند دسر راست از جانب 1 ایکس + از جانب 2 y = د، برای مقداری ارزش د = د 1 به چند ضلعی می رسد دی، بیایید این نقطه را بنامیم ولی"نقطه ورود"، و سپس با عبور از چند ضلعی، در یک مقدار مشخص د = د 2 آخرین نقطه مشترک را با او خواهیم داشت که در، بیا تماس بگیریم که در"نقطه خروج".
بدیهی است که تابع هدف کوچکترین و بزرگترین مقادیر آن است اف=از جانب 1 ایکس + از جانب 2 yرسیدن به نقاط ورودی ولیو "خروج" که در.
با توجه به اینکه تابع هدف مقدار بهینه را در مجموعه راه حل های امکان پذیر در راس های منطقه می گیرد. دی، می توانیم طرح زیر را برای حل LLP پیشنهاد کنیم:

1. ایجاد دامنه حل سیستم محدودیت؛
2. یک خط مستقیم مطابق با تابع هدف بسازید و با ترجمه موازی این خط مستقیم، نقطه "ورود" یا "خروج" را بیابید (بسته به نیاز به حداقل یا حداکثر کردن تابع هدف).
3. مختصات این نقطه را تعیین کنید، مقدار تابع هدف را در آنها محاسبه کنید.

توجه داشته باشید که بردار ( از جانب 1 , از جانب 2)، عمود بر خط مستقیم، جهت رشد تابع هدف را نشان می دهد.

در حل گرافیکی LLP دو مورد امکان پذیر است که نیاز به بحث خاصی دارد.

مورد 1
شکل 6
هنگام حرکت مستقیم از جانب 1 ایکس + از جانب 2 y= د"ورود" یا "خروج" (مانند شکل) در امتداد ضلع چند ضلعی رخ خواهد داد. اگر چند ضلعی اضلاع موازی با خط داشته باشد این اتفاق می افتد. از جانب 1 ایکس+ از جانب 2 در = د .
در این مورد، تعداد نامتناهی نقطه "خروج" ("ورود") وجود دارد، یعنی هر نقطه از بخش AB. این بدان معنی است که تابع هدف حداکثر (حداقل) مقدار را نه در یک نقطه، بلکه در تمام نقاط واقع در سمت مربوطه چند ضلعی می گیرد. دی.

مورد 2
موردی را در نظر بگیرید که محدوده مقادیر مجاز نامحدود است.
در مورد یک دامنه نامحدود، تابع هدف را می توان به گونه ای مشخص کرد که خط مربوط به آن نقطه «خروج» (یا «ورود») نداشته باشد. سپس به حداکثر مقدار تابع (حداقل) هرگز نمی رسد - آنها می گویند که تابع محدود نیست.
تصویر
یافتن حداکثر مقدار تابع هدف ضروری است اف = 4ایکس + 6y→ حداکثر، با سیستمی از محدودیت ها
اجازه دهید دامنه راه حل های قابل قبول را بسازیم، یعنی. سیستم نابرابری ها را به صورت گرافیکی حل کنید. برای انجام این کار، هر خط مستقیم را می سازیم و نیم صفحه های داده شده توسط نابرابری ها را تعریف می کنیم.
ایکس + y = 18

ایکس	12	9
y	6	9

0,5ایکس + y = 12

ایکس	12	18
y	6	3

ایکس= 12 - موازی با محور OY ;
y= 9 - موازی با محور گاو نر ;
ایکس= 0 - محور OY ;
y = 0 - محور گاو نر;
ایکس OY;
y≥ 0 - نیم صفحه بالای محور گاو نر;
y≤ 9 - نیم صفحه زیر y = 9;
ایکس ≤ 12 - نیم صفحه به سمت چپ ایکس = 12;
0,5ایکس + yایکس + y = 12;
ایکس + y ایکس + y = 18.
تصویر
محل تقاطع تمام این نیم صفحه ها بدیهی است که پنج ضلعی است OAVSD، با رئوس در نقاط در باره(0; 0), ولی(0; 9), که در(6; 9), از جانب(12; 6), دی(12؛ 0). این پنج ضلعی منطقه راه حل های امکان پذیر برای مشکل را تشکیل می دهد.

اف = 4ایکس + 6y→ حداکثر

ایکس	3	0
y	–2	0

اف = 0: 4ایکس + 6y ایکس+ 6y از جانب(12؛ 6). در اوست اف = 4ایکس + 6y
بنابراین، در ایکس = 12, y= 6 تابع اف اف= 4 ∙ 12 + 6 ∙ 6 = 84، برابر با 84. نقطه با مختصات (12; 6) تمام نابرابری های سیستم محدودیت را برآورده می کند و مقدار تابع هدف در آن بهینه است. اف* = 84 (مقدار بهینه با "*" نشان داده می شود).
مشکل حل شد. بنابراین، تولید 12 محصول از نوع I و 6 محصول از نوع II ضروری است، در حالی که سود 84 هزار روبل خواهد بود.

از روش گرافیکی برای حل مسائلی استفاده می شود که در سیستم محدودیت ها تنها دو متغیر داشتند. این روش همچنین می تواند برای سیستم های نابرابری با سه متغیر اعمال شود. از نظر هندسی، وضعیت متفاوت خواهد بود، نقش خطوط مستقیم را صفحات در فضای سه بعدی ایفا می کنند و حل نابرابری در سه متغیر، نیم فضایی خواهد بود که در یک طرف صفحه قرار دارد. نقش مناطق را چند وجهی ایفا می کنند که محل تلاقی نیم فضاها هستند.

مثال شماره 2. معدن دو لایه ایجاد می کند. بازده ریزه در لایه اول a1% است. در دوم - a2%. حداکثر بهره وری استاپ در لایه اول B1 هزار تن در سال، در لایه دوم - B2 هزار تن در سال است. با توجه به تکنولوژی کار، تولید از لایه دوم نمی تواند بیشتر از تولید از لایه اول باشد. خروجی جریمه از طریق معدن نباید بیش از C1 هزار تن در سال باشد. مجموع بار روی دو درز در سال نباید کمتر از C2 هزار تن در سال باشد. یک مدل ریاضی تهیه کنید و مجموعه ای از مقادیر بار مجاز برای لایه های اول و دوم در سال بسازید.

مثال شماره 3. این فروشگاه 2 نوع نوشابه می فروشد: کولا و لیموناد. درآمد یک قوطی کولا 5 سنت و درآمد یک قوطی لیموناد 7 سنت است. به طور متوسط، فروشگاه بیش از 500 قوطی از هر دو نوشیدنی در روز نمی فروشد. با وجود این واقعیت که کولا توسط یک برند معروف تولید می شود، مشتریان لیموناد را ترجیح می دهند زیرا بسیار ارزان تر است. محاسبه شده است که حجم فروش کولا و لیموناد باید حداقل 2:1 باشد، علاوه بر این، مشخص است که فروشگاه حداقل 100 قوطی کولا در روز می فروشد. فروشگاه چند قوطی از هر نوشیدنی باید در شروع روز کاری داشته باشد تا درآمد را به حداکثر برساند؟

مثال شماره 4. مسئله برنامه ریزی خطی را به صورت تقریباً گرافیکی حل کنید و سپس مقدار دقیق و حداکثر (min) مقدار تابع هدف را محاسبه کنید.

مثال شماره 5. یک شرکت مسافرتی به اتوبوس های سه تنی و اتوبوس های پنج تنی بیشتر نیاز ندارد. قیمت فروش اتوبوس های برند اول 20000 تومان، برند دوم 40000 تومان می باشد. یک شرکت مسافرتی می تواند برای خرید اتوبوس حداکثر از C.u اختصاص دهد. چند اتوبوس از هر برند باید جداگانه خریداری شود تا ظرفیت حمل کل (کل) آنها حداکثر باشد. مشکل را گرافیکی حل کنید.

مثال شماره 6. با استفاده از روش گرافیکی، طرح تولید بهینه را در کار ارائه شده توسط جدول بیابید.

مثال شماره 7. حل یک مسئله برنامه ریزی خطی با استفاده از یک روش گرافیکی، با قرار دادن سیستم محدودیت ها در معرض تبدیل جردن-گاوس. سیستم محدودیت مشکل به شکل زیر است:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 + a 15 x 5 = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 + a 25 x 5 = b 2
a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 + a 35 x 5 = b 3
رهنمودها. تبدیل Jordano-Gaussian را می توان با این سرویس یا از طریق اکتشاف SLAE انجام داد.

مثال شماره 8. این شرکت دو نوع محصول A و B تولید می کند که برای تولید آنها از سه نوع مواد اولیه استفاده می شود. برای ساخت یک واحد محصول A باید مواد اولیه هر نوع a1، a2، a3 کیلوگرم و برای یک واحد محصول B - b1، b2، b3 کیلوگرم مصرف شود. تولید با مواد اولیه از هر نوع به ترتیب به میزان P1، P2، P3 کیلوگرم تامین می شود. هزینه یک واحد محصول A rub C1 و یک واحد محصول B rub ​​C2 است. لازم است برنامه ای برای تولید محصولات A و B تهیه شود که حداکثر هزینه محصول نهایی را تضمین می کند.

مثال شماره 2. یافتن حداکثر مقدار تابع هدف ضروری است اف = 4ایکس + 6y→ حداکثر، با یک سیستم محدودیت:

اجازه دهید دامنه راه حل های قابل قبول را بسازیم، یعنی. سیستم نابرابری ها را به صورت گرافیکی حل کنید. برای انجام این کار، تعداد محدودیت ها را برابر با 4 انتخاب کنید (شکل 1).
تصویر 1

سپس ضرایب متغیرها و خود محدودیت ها را پر می کنیم (شکل 2).
شکل 2

شکل 3
ایکس= 12 - موازی با محور OY;
y= 9 - موازی با محور گاو نر;
ایکس>= 0 - محور OY
y= 0 - محور گاو نر;
ایکس≥ 0 - نیم صفحه سمت راست محور OY;
y≥0 - نیم صفحه بالای محور گاو نر;
y≤ 9 - نیم صفحه زیر y = 9;
ایکس≤ 12 - نیم صفحه به سمت چپ ایکس = 12;
0,5ایکس + y≤ 12 - نیم صفحه زیر خط مستقیم 0.5 ایکس + y = 12;
ایکس + y≤ 18 - نیم صفحه زیر خط مستقیم ایکس + y = 18.

محل تلاقی همه این نیم صفحه ها یک پنج ضلعی است ABCDE، با رئوس در نقاط آ(0; 0), ب(0;9), سی(6; 9), دی(12;6), E(12; 0). این پنج ضلعی منطقه راه حل های امکان پذیر برای مشکل را تشکیل می دهد.

تابع هدف مسئله را در نظر بگیرید اف = 4ایکس + 6y→ حداکثر

ایکس	3	0
y	–2	0

اجازه دهید یک خط مستقیم مطابق با مقدار تابع بسازیم اف = 0: 4ایکس + 6y= 0. این خط را به صورت موازی حرکت می دهیم. از کل خانواده خطوط 4 ایکس + 6y= تعیین آخرین راس که خط از آن عبور می کند، هنگامی که از مرز چند ضلعی فراتر می رود، راس خواهد بود. از جانب(12؛ 6). در اوست اف = 4ایکس + 6yبه حداکثر مقدار خود می رسد.

بنابراین، در ایکس = 12, y= 6 تابع افبه حداکثر مقدار خود می رسد اف= 4 ∙ 12 + 6 ∙ 6 = 84، برابر با 84. نقطه با مختصات (12;6) تمام نابرابری های سیستم محدودیت را برآورده می کند و مقدار تابع هدف در آن بهینه است. اف* = 84.

آزمون در رشته "تحقیق در عملیات"

(پاسخ های صحیح اول هستند)

1. اصطلاح «تحقیق در عملیات» ابداع شد…

در طول جنگ جهانی دوم

در دهه 50 قرن XX

در دهه 60 قرن XX

در دهه 70 قرن XX

در دهه 90 قرن XX

در آغاز قرن بیست و یکم

2. تحقیق در عملیات به صورت (انتخاب مناسب ترین گزینه) ...

مجموعه ای از روش های علمی برای حل مشکلات مدیریت موثر سیستم های سازمانی

مجموعه ای از اقدامات انجام شده برای اجرای عملیات خاص

مجموعه ای از روش ها برای اجرای طرح

روشهای علمی تخصیص منابع در سازمان تولید

3. مراحلی را که هر تحقیق عملیاتی معمولا طی می کند فهرست کنید:

فرمول بندی مسئله

ساخت یک مدل معنادار (کلامی) از شی (فرایند) در نظر گرفته شده

ساخت یک مدل ریاضی

حل مسائل بر اساس مدل ریاضی ساخته شده فرموله شده است

تأیید نتایج به دست آمده برای کفایت ماهیت سیستم مورد مطالعه

پیاده سازی راه حل به دست آمده در عمل

4. در تحقیق در عملیات، عملیات به صورت ...

هر رویداد (سیستم اقدامات) که توسط یک برنامه واحد متحد شده و با هدف دستیابی به هدفی انجام می شود

هر رویداد مدیریت نشده

مجموعه ای از اقدامات فنی که تولید محصولات مصرفی را تضمین می کند

5. راه حل بهینه نامیده می شود، ...

اگر به دلایلی از دیگران ارجح تر باشد

اگر منطقی باشد

در صورت توافق با مسئولین

در صورتی که به تصویب مجمع عمومی برسد

6. برنامه نویسی ریاضی ...

به مطالعه مشکلات شدید و توسعه روش هایی برای حل آنها می پردازد

فرآیند ایجاد برنامه های کامپیوتری تحت راهنمایی ریاضیدانان است

حل مسائل ریاضی روی کامپیوتر

7. وظیفه برنامه نویسی خطی ...

یافتن بزرگترین (کوچکترین) مقدار یک تابع خطی در حضور قیود خطی

ایجاد یک برنامه خطی در یک زبان برنامه نویسی انتخاب شده، طراحی شده برای حل یک مسئله معین

توصیف یک الگوریتم خطی برای حل یک مسئله داده شده

8. در مسئله برنامه نویسی درجه دوم ...

تابع هدف درجه دوم است

مساحت راه حل امکان پذیر یک مربع است

محدودیت ها شامل توابع درجه دوم هستند

9. در مسائل برنامه نویسی عدد صحیح ...

مجهولات فقط می توانند مقادیر صحیح را بگیرند

تابع هدف لزوماً باید یک مقدار صحیح داشته باشد و مجهولات می توانند هر کدام باشند

تابع هدف یک ثابت عددی است

10. در مسائل برنامه نویسی پارامتریک ...

تابع هدف و/یا محدودیت شامل پارامتر(های)

دامنه راه حل های امکان پذیر متوازی الاضلاع یا متوازی الاضلاع است

تعداد متغیرها فقط می تواند زوج باشد

11. در مسائل برنامه نویسی پویا…

فرآیند یافتن راه حل چند مرحله ای است

لازم است تولید دینامیت منطقی شود

نیاز به بهینه سازی استفاده از بلندگو

12. مسئله برنامه ریزی خطی زیر تنظیم شده است:

اف(ایکس 1, ایکس 2) = 5ایکس 1 + 6ایکس 2→ حداکثر

0.2ایکس 1 + 0.3ایکس 2 ≤ 1.8,

0.2ایکس 1 + 0.1ایکس 2 ≤ 1.2,

0.3ایکس 1 + 0.3ایکس 2 ≤ 2.4,

ایکس 1 ≥ 0, ایکس 2 ≥ 0.

وظیفه ای را انتخاب کنید که معادل این کار باشد.

اف(ایکس 1, ایکس 2)= 5ایکس 1 + 6ایکس 2 → حداکثر,

2ایکس 1 + 3ایکس 2 ≤ 18,

2ایکس 1 + ایکس 2 ≤ 12,

ایکس 1 + ایکس 2 ≤ 8,

ایکس 1 ≥ 0,

ایکس 2 ≥ 0.

اف(ایکس 1, ایکس 2)= 6ایکس 1 + 5ایکس 2 → دقیقه،

2ایکس 1 + 3ایکس 2 ≤ 18,

2ایکس 1 + ایکس 2 ≤ 12,

ایکس 1 + ایکس 2 ≤ 8,

ایکس 1 ≥ 0,

ایکس 2 ≥ 0.

اف(ایکس 1, ایکس 2)= 50ایکس 1 + 60ایکس 2 → حداکثر,

2ایکس 1 + 3ایکس 2 ≤ 18,

2ایکس 1 + ایکس 2 ≤ 12,

ایکس 1 + ایکس 2 ≤ 8,

ایکس 1 ≥ 0,

ایکس 2 ≥ 0.

اف(ایکس 1, ایکس 2)= 5ایکس 12 + 6ایکس 22 → حداکثر,

2ایکس 1 + 3ایکس 2 ≤ 18,

2ایکس 1 + ایکس 2 ≤ 12,

3ایکس 1 + ایکس 2 ≤ 2.4,

ایکس 1 ≥ 0,

ایکس 2 ≥ 0.

13. تابع هدف یک مسئله برنامه ریزی خطی می تواند یک تابع باشد:

اف=12x1+20x2-3 0x3→دقیقه

اف= →دقیقه

اف=→حداکثر

اف=→حداکثر

14. سیستم قیود برای یک مسئله برنامه ریزی خطی می تواند یک سیستم باشد:

15. روش سیمپلکس:

روش تحلیلی برای حل مسئله اصلی برنامه ریزی خطی

روشی برای یافتن ناحیه راه حل های ممکن برای یک مسئله برنامه ریزی خطی؛

روش گرافیکی برای حل مشکل اصلی برنامه ریزی خطی.

روشی برای کاهش یک مسئله برنامه ریزی خطی عمومی به شکل متعارف.

16. وظیفه برنامه ریزی خطی عبارت است از:

یافتن بزرگترین یا کوچکترین مقدار یک تابع خطی در حضور قیود خطی

توسعه یک الگوریتم خطی و پیاده سازی آن بر روی کامپیوتر

تدوین و حل یک سیستم معادلات خطی

جستجو برای یک مسیر خطی توسعه یک فرآیند توصیف شده توسط یک سیستم معین از محدودیت ها.

17. دامنه راه حل های قابل قبول مسئله برنامه ریزی خطی نمی تواندبه این شکل نگاه کنید:

18. تابع هدف یک مسئله برنامه ریزی خطی می تواند تابعی باشد:

اف=12x1+20x2-3 0x3→دقیقه

اف= →دقیقه

اف=→حداکثر

اف=→حداکثر

19. یک سیستم از محدودیت ها برای یک مسئله برنامه ریزی خطی می تواند یک سیستم باشد:

20. حوزه راه حل های قابل قبول برای مسئله برنامه ریزی خطی به شکل زیر است:

اف(ایکس 1, ایکس 2)= 3ایکس 1 + 5ایکس 2 برابر ...

21. حوزه راه حل های قابل قبول برای مسئله برنامه ریزی خطی به شکل زیر است:

سپس حداکثر مقدار تابع اف(ایکس 1, ایکس 2)= 5ایکس 1 + 3ایکس 2 برابر ...

22. حوزه راه حل های قابل قبول برای مسئله برنامه ریزی خطی به شکل زیر است:

سپس حداکثر مقدار تابع اف(ایکس 1, ایکس 2)= 2ایکس 1 - 2ایکس 2 برابر ...

23. حوزه راه حل های قابل قبول برای مسئله برنامه ریزی خطی به شکل زیر است:

اف(ایکس 1, ایکس 2)= 2ایکس 1 - 2ایکس 2 برابر ...

24. حوزه راه حل های قابل قبول برای مسئله برنامه ریزی غیرخطی به شکل زیر است:

سپس حداکثر مقدار تابع اف(ایکس 1, ایکس 2)= ایکس 2 – ایکس 12 برابر ...

25. حداکثر مقدار تابع هدف اف(ایکس 1, ایکس 2)= 5ایکس 1 + 2ایکس 2 تحت محدودیت
ایکس 1 + ایکس 2 ≤ 6,

ایکس 1 ≤ 4,

ایکس 1 ≥ 0, ایکس 2 ≥ 0 برابر است ...

26. یک تجارت کوچک دو نوع محصول تولید می کند. برای ساخت یک محصول از نوع A، 2 کیلوگرم مواد اولیه، برای ساخت یک محصول از نوع B - 1 کیلوگرم مصرف می شود. در کل 60 کیلوگرم مواد اولیه وجود دارد. در صورتی که قیمت فروش یک محصول از نوع A 3 CU باشد، از نوع B 1 c.u باشد، باید یک طرح تولید تهیه شود که بیشترین درآمد را تضمین کند. یعنی علاوه بر این، محصولات نوع A نباید بیش از 25 و نوع B - بیش از 30 ساخته شوند.

این وظیفه …

مشکل برنامه نویسی خطی

حل مشکل با برنامه نویسی پویا

وظیفه برنامه ریزی شبکه

27. یک تجارت کوچک دو نوع محصول تولید می کند. برای ساخت یک محصول از نوع A، 2 کیلوگرم مواد اولیه، برای ساخت یک محصول از نوع B - 1 کیلوگرم مصرف می شود. در کل 60 کیلوگرم مواد اولیه وجود دارد. در صورتی که قیمت فروش یک محصول از نوع A 3 CU باشد، از نوع B 1 c.u باشد، باید یک طرح تولید تهیه شود که بیشترین درآمد را تضمین کند. یعنی علاوه بر این، محصولات نوع A نباید بیش از 25 و نوع B - بیش از 30 ساخته شوند.

تابع هدف این مسئله تابع ...

اف(x1،x2)=3x1+x2→حداکثر

اف(x1،x2)=25x1+30x2→حداکثر

اف(x1،x2)=2x1+x2→حداکثر

اف(x1،x2)=60-2x1-x2→دقیقه

28. یک تجارت کوچک دو نوع محصول تولید می کند. برای ساخت یک محصول از نوع A، 2 کیلوگرم مواد اولیه، برای ساخت یک محصول از نوع B - 1 کیلوگرم مصرف می شود. در کل 60 کیلوگرم مواد اولیه وجود دارد. در صورتی که قیمت فروش یک محصول از نوع A 3 CU باشد، از نوع B 1 c.u باشد، باید یک طرح تولید تهیه شود که بیشترین درآمد را تضمین کند. e.، و محصولات نوع A نباید بیش از 25 ساخته شوند، و نوع B - بیش از 30.

یک برنامه معتبر برای این کار، طرح است:

X=(20, 20)

X=(25, 15)

X=(20, 25)

X=(30, 10)

29. در دو نقطه A1 و A2 به ترتیب 60 و 160 واحد کالا وجود دارد. کلیه کالاها باید به ترتیب به تعداد 80، 70 و 70 واحد به نقاط B1، B2، B3 حمل شوند. ماتریس تعرفه به شرح زیر است: . حمل و نقل را طوری برنامه ریزی کنید که هزینه آنها حداقل باشد.

این وظیفه …

وظیفه حمل و نقل

مشکل برنامه نویسی غیر خطی

مشکل فروشنده دوره گرد

وظیفه تکلیف

30. در دو نقطه A1 و A2 به ترتیب 60 و 160 واحد کالا وجود دارد. کلیه کالاها باید به ترتیب به تعداد 80، 70 و 70 واحد به نقاط B1، B2، B3 حمل شوند. ماتریس تعرفه به شرح زیر است: . حمل و نقل را طوری برنامه ریزی کنید که هزینه آنها حداقل باشد

طرح اساسی برای این کار، طرح زیر است:

;

31. در دو نقطه A1 و A2 به ترتیب 60 و 160 واحد کالا وجود دارد. کلیه کالاها باید به ترتیب به تعداد 80، 70 و 70 واحد به نقاط B1، B2، B3 حمل شوند. ماتریس تعرفه به شرح زیر است: . حمل و نقل را طوری برنامه ریزی کنید که هزینه آنها حداقل باشد.

تابع هدف این کار تابع:

اف=4x11+6x12+ 8x13+5x21+8x22+7x23→دقیقه

اف= →دقیقه

اف=60x1+160x2+ 80x3+70x4+705 →حداکثر

اف=60x1+160x2- 80x3– 70x4– 705 →دقیقه

32. در دو نقطه A1 و A2 به ترتیب 60 و 160 واحد کالا وجود دارد. کلیه کالاها باید به ترتیب به تعداد 80، 70 و 70 واحد به نقاط B1، B2، B3 حمل شوند. ماتریس تعرفه به شرح زیر است: . حمل و نقل را طوری برنامه ریزی کنید که هزینه آنها حداقل باشد.

برنامه بهینه برای این کار، طرح زیر است:

;

.

;

;

33. وظیفه حمل و نقل

بسته می شود اگر ...

34. وظیفه حمل و نقل

هست یک…

باز کن

بسته

نامحلول

35. وظیفه حمل و نقل

هست یک…

بسته

باز کن

نامحلول

36. برای حل مشکل حمل و نقل زیر

شما باید وارد شوید ...

مصرف کننده ساختگی

تامین کننده ساختگی؛

تعرفه موثر

37. برای حل مشکل حمل و نقل زیر

شما باید وارد شوید ...

تامین کننده ساختگی؛

مصرف کننده ساختگی

تعرفه موثر

نرخ بهره موثر

38. از جمله این وظایف حمل و نقل

بسته هستند…

39. طرح اولیه اولیه وظیفه حمل و نقل را می توان ترسیم کرد ...

تمام روش های فوق

روش گوشه شمال غربی

روش حداقل تعرفه

روش ترجیح مضاعف

روش تقریب وگل

40. اگر تابع هدف مسئله برنامه ریزی خطی روی حداکثر تنظیم شود، در آن صورت ... تابع هدف مسئله دوگانه روی حداقل تنظیم می شود.

هیچ تابع هدفی در مسئله دوگانه وجود ندارد

مشکل دوگانه راه حلی ندارد

مشکل دوگانه راه حل های بی نهایت زیادی دارد

41. با توجه به مشکل برنامه ریزی خطی:

اف(ایکس 1, ایکس 2)= 2ایکس 1 + 7ایکس 2 → حداکثر,

2ایکس 1 + 3ایکس 2 ≤ 14,

ایکس 1 + ایکس 2 ≤ 8,

ایکس 1 ≥ 0, ایکس 2 ≥ 0.

دوگانه برای این مشکل به شرح زیر است…

F*(y1, y2)= 14y1 + 8y2 → دقیقه,

3 سال 1 + y2 ³ 7،

y 1 ≥ 0، y2 ≥ 0.

F*(y1, y2)= 2y1 + 7y2 → دقیقه,

2y1 + 3y2 ³ 14,

y 1 + y2 ³ 8،

y 1 £ 0، y2 £ 0.

F*(y1, y2)= 2y1 + 7y2 → دقیقه,

3 y 1 + y2 ³ 7،

y 1 £ 0، y2 £ 0.

F*(y1, y2)= 14y1 + 8y2 → دقیقه,

y 1 + y2 ³ 7،

y 1 ≥ 0، y2 ≥ 0.

42. اگر یکی از یک جفت مسئله دوگانه طرح بهینه داشته باشد، پس ...

و دیگری برنامه بهینه دارد

دیگری برنامه ریزی بهینه ای ندارد

دیگری راه حل معتبری ندارد

43. اگر یکی از یک جفت مسئله دوگانه طرح بهینه داشته باشد، پس ...

و دیگری دارای طرح بهینه است و مقادیر توابع هدف تحت پلان های بهینه آنها با یکدیگر برابر است

و دیگری دارای طرح بهینه است، اما مقادیر توابع هدف برای برنامه های بهینه آنها با یکدیگر برابر نیستند.

مشکل دیگر ممکن است برنامه بهینه نداشته باشد، اما راه حل های عملی داشته باشد

44. اگر تابع هدف یکی از جفت مسائل دوگانه محدود نباشد (برای مسئله حداکثر - از بالا، برای حداقل مسئله - از پایین)، پس

کار دیگر هیچ برنامه معتبری ندارد

کار دیگر دارای برنامه های معتبر است اما برنامه بهینه ندارد

عملکرد هدف یک کار دیگر نیز محدود نیست

45. هنگام حل برخی از مسائل برنامه ریزی غیرخطی، ...

روش ضریب لاگرانژ

روش گاوس

روش تقریب وگل

روش گوموری

46. ​​یک مسئله برنامه ریزی غیر خطی داده شده است

اف(ایکس 1, ایکس 2)= ایکس 12 + ایکس 22 → حداکثر,

ایکس 1 + ایکس 2 =6,

ایکس 1 ≥ 0, ایکس 2 ≥ 0.

اف(ایکس 1, ایکس 2) …

غیر قابل دستیابی (+ ¥)

47. یک مسئله برنامه ریزی غیر خطی داده شده است

اف(ایکس 1, ایکس 2)= ایکس 12 + ایکس 22 → مترکه در,

ایکس 1 + ایکس 2 =6,

ایکس 1 ≥ 0, ایکس 2 ≥ 0.

اف(ایکس 1, ایکس 2) …

48. یک مسئله برنامه ریزی غیر خطی داده شده است

اف(ایکس 1, ایکس 2)= ایکس 12 + ایکس 22 → حداکثر,

ایکس 1 + ایکس 2 =6,

ایکس 1, ایکس 2 - هر.

بزرگترین مقدار تابع هدف اف(ایکس 1, ایکس 2) …

غیر قابل دستیابی (+ ¥)

49. یک مسئله برنامه ریزی غیر خطی داده شده است

اف(ایکس 1, ایکس 2)= ایکس 12 + ایکس 22 → مترکه در,

ایکس 1 + ایکس 2 =6,

ایکس 1, ایکس 2 - هر.

کوچکترین مقدار تابع هدف اف(ایکس 1, ایکس 2) …

غیر قابل دستیابی (- ¥)

50. حوزه راه حل های قابل قبول برای مسئله برنامه ریزی غیرخطی به شکل زیر است:

سپس حداکثر مقدار تابع اف(ایکس 1, ایکس 2)= ایکس 12 +ایکس 22 برابر ...

51. حوزه راه حل های قابل قبول برای مسئله برنامه ریزی غیرخطی به شکل زیر است:

سپس مقدار حداقل تابع اف(ایکس 1, ایکس 2)= ایکس 12 +ایکس 22 برابر ...

52. برای حل مشکل حمل و نقل می توان از ...

روش بالقوه

روش ضریب لاگرانژ

روش گاوس

روش سرگردانی

53. در سیستم قیود مسئله عمومی برنامه ریزی خطی ...

54. در سیستم قیود یک مسئله برنامه ریزی خطی استاندارد (متقارن) ...

فقط نابرابری ها می توانند وجود داشته باشند

هر دو معادله و نابرابری می توانند وجود داشته باشند

فقط معادلات می توانند وجود داشته باشند

55. در سیستم قیود مسئله متعارف (پایه) برنامه ریزی خطی ...

فقط معادلات می توانند وجود داشته باشند (به شرطی که متغیرها غیر منفی باشند)

فقط نابرابری ها می توانند وجود داشته باشند (به شرطی که متغیرها غیر منفی باشند)

هم معادلات و هم نابرابری می توانند وجود داشته باشند (به شرطی که متغیرها غیر منفی باشند)

56. مسئله برنامه ریزی خطی

اف(ایکس 1, ایکس 2)= 2ایکس 1 + 7ایکس 2 → حداکثر,

2ایکس 1 + 3ایکس 2 ≤ 14,

ایکس 1 + ایکس 2 ≤ 8,

ایکس 1 ≥ 0, ایکس 2 ≥ 0.

ثبت نام در ...

فرم استاندارد (متقارن).

شکل متعارف (اساسی).

شکل کلامی

57. برای ثبت یک کار

اف(ایکس 1, ایکس 2)= 2ایکس 1 + 7ایکس 2 → حداکثر,

2ایکس 1 + 3ایکس 2 ≤ 14,

ایکس 1 + ایکس 2 ≤ 8,

ایکس 1 ≥ 0, ایکس 2 ≥ 0.

به شکل متعارف...

58. برای ثبت یک کار

اف(ایکس 1, ایکس 2)= 2ایکس 1 + 7ایکس 2 → حداکثر,

2ایکس 1 + 3ایکس 2 ≤ 14,

ایکس 1 + ایکس 2 ≤ 8,

ایکس 1 + 4ایکس 2 ≥ 10,

ایکس 1 ≥ 0, ایکس 2 ≥ 0.

به شکل متعارف...

لازم است سه متغیر غیر منفی اضافه شود

معرفی دو متغیر غیر منفی اضافی ضروری است

معرفی چهار متغیر غیر منفی اضافی ضروری است

59. برای ثبت یک کار

اف(ایکس 1, ایکس 2)= 2ایکس 1 + 7ایکس 2 → حداکثر,

2ایکس 1 + 3ایکس 2 = 14,

ایکس 1 + ایکس 2 ≤ 8,

ایکس 1 + 4ایکس 2 ≥ 10,

ایکس 1 ≥ 0, ایکس 2 ≥ 0.

به شکل متعارف...

معرفی دو متغیر غیر منفی اضافی ضروری است

لازم است سه متغیر غیر منفی اضافه شود

معرفی چهار متغیر غیر منفی اضافی ضروری است

معرفی پنج متغیر غیرمنفی اضافی ضروری است

60. هنگام حل مسائل برنامه نویسی عدد صحیح، ...

روش گوموری

روش ضریب لاگرانژ

روش گاوس

روش تقریب وگل

61. اساس حل مسائل به روش برنامه نویسی پویا ...

اصل "تیغ اوکام"

اصل "دندان در برابر دندان، چشم در برابر چشم"

اصل هایزنبرگ

62 . وضعیتی که در آن احزاب شرکت می کنند که منافع آنها به طور کامل یا جزئی مخالف است، نامیده می شود ...

(تعارض، درگیری، درگیری، درگیری)

63. درگیری واقعی یا رسمی که در آن حداقل دو شرکت کننده (بازیکن) وجود داشته باشد که هر کدام به دنبال رسیدن به اهداف خود هستند، نامیده می شود ...

(بازی، بازی)

64. اعمال مجاز هر یک از بازیکنان با هدف دستیابی به هدف معینی را ...

(قوانین بازی، قوانین بازی)

65. ارزیابی کمی از نتایج بازی به نام ...

(پرداخت، پرداخت، پرداخت)

66. اگر فقط دو طرف (دو نفر) در بازی شرکت کنند، بازی را ...

(دو، دو، دو بازی، دو بازی)

67. اگر در بازی دونفره مجموع پرداخت ها برابر با صفر باشد، یعنی ضرر یک بازیکن برابر با سود بازیکن دیگر باشد، بازی را بازی ...

(مجموع صفر)

68. توصیف بدون ابهام از انتخاب بازیکن در هر یک از موقعیت های احتمالی که در آن باید یک حرکت شخصی انجام دهد نامیده می شود.

(استراتژی بازیکن، استراتژی بازیکن، استراتژی، استراتژی)

69. اگر با تکرار مکرر بازی، استراتژی حداکثر میانگین سود ممکن (حداقل میانگین ضرر ممکن) را در اختیار بازیکن قرار دهد، به چنین استراتژی ...

(بهینه، بهینه، استراتژی بهینه، استراتژی بهینه)

70. بگذارید a پایین ترین قیمت و b قیمت بالای یک بازی زوج صفر باشد. پس این جمله درست است ...

71. بگذارید a پایین ترین قیمت و b قیمت بالای یک بازی زوج صفر باشد. اگر a = b = v، عدد v نامیده می شود ...

به قیمت بازی

نقطه تعادل

استراتژی بهینه

استراتژی مختلط

72. بگذارید a پایین ترین قیمت و b قیمت بالای یک بازی زوج صفر باشد. اگر a = b، بازی نامیده می شود ...

بازی نقطه زینی

درگیری غیر قابل حل

یک بازی بدون قوانین

73. برداری که هر یک از اجزای آن بسامد نسبی استفاده بازیکن از استراتژی خالص مربوطه را نشان می دهد، نامیده می شود ...

استراتژی مختلط

بردار راهنما

بردار معمولی

شیب

74. قیمت پایین‌تر بازی ماتریسی که توسط ماتریس پرداخت می‌شود…

بیشتر از قیمت پایین

برابر با قیمت پایین تر

وجود ندارد

81. بازی ماتریسی ارائه شده توسط ماتریس پرداخت، …

نقطه زین دارد

نقطه زینی ندارد

زن و شوهر نیست

82. قیمت بازی ارائه شده توسط ماتریس پرداخت …

83. بازی ماتریسی ارائه شده توسط ماتریس بازده، …

یک اتاق بخار است

نقطه زین دارد

زن و شوهر نیست

84. یک بازی جفت با مجموع صفر با توجه به ماتریس سود آن را می توان به...

مشکل برنامه نویسی خطی

مشکل برنامه نویسی غیر خطی

مسئله برنامه ریزی خطی عدد صحیح

مسئله بهینه سازی کلاسیک

85. قیمت پایین‌تر بازی ماتریسی که توسط ماتریس پرداخت می‌شود…

بیشتر از قیمت پایین

برابر با قیمت پایین تر

وجود ندارد

92. بازی ماتریسی ارائه شده توسط ماتریس بازده، …

نقطه زینی ندارد

نقطه زین دارد

زن و شوهر نیست

93. قیمت بازی ارائه شده توسط ماتریس پرداخت در محدوده ...

94. اگر وقایع در جریان رویدادها یکی پس از دیگری در فواصل زمانی از پیش تعیین شده و کاملاً تعریف شده دنبال شوند، چنین جریانی را ...

منظم

سازماندهی شده است

95. اگر احتمال برخورد هر تعداد رویداد به یک بازه زمانی فقط به طول این بازه بستگی داشته باشد و بستگی به فاصله این فاصله از ابتدای مرجع زمانی نداشته باشد، جریان مربوط به رویدادها نامیده می شود:

ثابت

جریان بدون عواقب

ساده ترین

پواسون

96. اگر تعداد رویدادهایی که در یکی از بازه‌های زمانی انتخاب شده به‌طور دلخواه اتفاق می‌افتد، به تعداد رویدادهایی که در بازه زمانی دیگری که به‌طور دلخواه انتخاب شده است، بستگی نداشته باشد، مشروط بر اینکه این بازه‌ها با هم تلاقی نداشته باشند، جریان مربوط به رویدادها نامیده می‌شود. ...

جریان بدون عواقب

منظم

آشکار شدن

معمولی

97. اگر احتمال برخورد همزمان دو یا چند رویداد در یک دوره زمانی بسیار کوتاه در مقایسه با احتمال برخورد تنها یک رویداد ناچیز باشد، جریان متناظر رویدادها نامیده می شود.

معمولی

خارق العاده

معمولی

پواسون

98. اگر جریان حوادث به طور همزمان دارای خاصیت ایستایی، عادی بودن و عدم عواقب باشد، به آن می گویند:

ساده ترین (پواسون)

معمولی

99. CMO تک کاناله با خرابی یک پست تعمیر و نگهداری روزانه برای کارواش است. این برنامه - خودرویی که در زمانی که پست مشغول است وارد شده است - از سرویس دهی رد می شود. شدت جریان خودروها λ=1.0 (ماشین در ساعت). میانگین زمان سرویس 1.8 ساعت است. جریان ماشین و جریان سرویس ساده ترین هستند. سپس، در حالت پایدار، توان نسبی qبرابر ...

100. CMO تک کاناله با خرابی یک پست تعمیر و نگهداری روزانه برای کارواش است. این برنامه - خودرویی که در زمانی که پست مشغول است وارد شده است - از سرویس دهی رد می شود. شدت جریان خودروها λ=1.0 (ماشین در ساعت). میانگین زمان سرویس 1.8 ساعت است. جریان ماشین و جریان سرویس ساده ترین هستند. سپس در حالت ثابت، درصد خودروهایی که از سرویس دهی محروم می شوند برابر است با ...

فرمول بندی کلی مسئله برنامه ریزی خطی (LPP). نمونه های PLP

برنامه‌ریزی خطی شاخه‌ای از ریاضیات است که روش‌هایی را برای حل مسائل فوق‌العاده که با یک رابطه خطی بین متغیرها و یک معیار بهینه خطی مشخص می‌شوند، مطالعه می‌کند. چند کلمه در مورد برنامه نویسی خطی. نیاز به درک صحیح دارد. در این مورد، برنامه نویسی، البته، کامپایل کردن برنامه های کامپیوتری نیست. برنامه نویسی در اینجا باید به عنوان برنامه ریزی، شکل گیری برنامه ها، توسعه یک برنامه عمل تفسیر شود. مسائل ریاضی برنامه ریزی خطی شامل مطالعه شرایط تولید و اقتصادی خاص است که به یک شکل به عنوان مسائل استفاده بهینه از منابع محدود تعبیر می شود. دامنه مسائل حل شده با استفاده از روش های برنامه ریزی خطی بسیار گسترده است. این برای مثال است:

• - مشکل استفاده بهینه از منابع در برنامه ریزی تولید.
• - مشکل مخلوط ها (برنامه ریزی ترکیب محصولات)؛
• - مشکل یافتن ترکیب بهینه انواع مختلف محصولات برای ذخیره سازی در انبارها (مدیریت موجودی یا "مشکل کوله پشتی")؛
• - وظایف حمل و نقل (تجزیه و تحلیل مکان شرکت، جابجایی کالا). برنامه نویسی خطی توسعه یافته ترین و پرکاربردترین بخش برنامه نویسی ریاضی است (علاوه بر این، این بخش شامل: عدد صحیح، پویا، غیر خطی، برنامه ریزی پارامتری است). توضیحات به شرح ذیل می باشد:
• - مدل های ریاضی تعداد زیادی از مسائل اقتصادی با توجه به متغیرهای مورد نیاز خطی هستند.
• - این نوع مشکلات در حال حاضر بیشترین مطالعه را دارند. برای او روشهای خاصی ایجاد شده است که با کمک آنها این مشکلات حل می شود و برنامه های کامپیوتری مربوطه.
• - بسیاری از مسائل برنامه ریزی خطی که حل شده اند کاربرد گسترده ای پیدا کرده اند.
• - برخی از مسائلی که در فرمول اولیه خطی نیستند، پس از یکسری محدودیت ها و مفروضات اضافی، می توانند خطی شوند و یا به شکلی کاهش یابند که با روش های برنامه ریزی خطی قابل حل باشند. مدل اقتصادی و ریاضی هر مسئله برنامه ریزی خطی شامل: یک تابع هدف است که مقدار بهینه آن (حداکثر یا حداقل) باید پیدا شود. محدودیت در قالب یک سیستم معادلات خطی یا نابرابری. الزام عدم منفی بودن متغیرها به طور کلی مدل به صورت زیر نوشته می شود:
• - تابع هدف:

C1x1 + c2x2 + ... + cnxn > max(min);- محدودیت ها:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn(?=?)b1،

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn(?=?)b2

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn (? = ?) bm;

شرط غیر منفی:

در این مورد، aij، bi، cj () ثابت داده می شود. مشکل یافتن مقدار بهینه تابع (2.1) با توجه به قیود (2.2) و (2.3) است. سیستم قیود (2.2) را قیود تابعی مسئله و قیود (2.3) مستقیم می نامند. برداری که قیود (2.2) و (2.3) را برآورده می کند، راه حل (طرح) امکان پذیر یک مسئله برنامه ریزی خطی نامیده می شود. طرحی که تابع (2.1) به حداکثر (حداقل) مقدار خود می رسد بهینه می گویند.

در مرحله بعد، نمونه هایی از برخی مسائل معمولی را که با استفاده از روش های برنامه ریزی خطی حل شده اند، بیان می کنیم. چنین وظایفی محتوای اقتصادی واقعی دارند. اکنون آنها را فقط از نظر LLP فرموله می کنیم و روش هایی را برای حل چنین مشکلاتی در زیر در نظر می گیریم.

1. مشکل استفاده بهینه از منابع در برنامه ریزی تولید. معنای کلی مسائل این کلاس به شرح زیر است. یک شرکت n محصول مختلف تولید می کند. تولید آنها به انواع مختلفی از منابع (مواد اولیه، مواد، زمان کار و غیره) نیاز دارد. منابع محدود است، ذخایر آنها در دوره برنامه ریزی به ترتیب b1، b2،...، bm واحدهای معمولی است. ضرایب تکنولوژیکی aij نیز شناخته شده است که نشان می دهد چند واحد از منبع i برای تولید یک واحد محصول از نوع j ام () مورد نیاز است. سود دریافتی بنگاه از فروش محصول نوع j برابر با cj می باشد. در دوره برنامه ریزی، مقادیر aij، bi و cj ثابت می ماند. لازم است چنین برنامه ای برای تولید محصولات تهیه شود که در اجرای آن بیشترین سود شرکت باشد. در زیر یک مثال ساده از یک مسئله این کلاس را ارائه می دهیم.

این شرکت در تولید چوب هاکی و ست های شطرنج تخصص دارد. هر چوب 2 دلار و هر ست شطرنج 4 دلار برای شرکت سود می آورد. برای ساخت یک باشگاه چهار ساعت کار در سایت A و دو ساعت کار در سایت B لازم است. یک شرکت باید روزانه چند باشگاه و ست شطرنج تولید کند تا حداکثر سود را به دست آورد؟

شرایط مسائل این کلاس اغلب به صورت جدولی ارائه می شود (جدول 2.1 را ببینید).

تحت این شرایط، یک مسئله برنامه ریزی خطی را فرموله می کنیم. اجازه دهید نشان دهیم: x1 - تعداد چوب های هاکی تولید شده روزانه، x2 - تعداد ست های شطرنج تولید شده روزانه. فرمولاسیون PLP:

4x1 + 6x2 ? 120

ما تأکید می کنیم که هر نابرابری در سیستم محدودیت های عملکردی در این مورد با یک یا سایت تولید دیگر مطابقت دارد، یعنی: اول - به بخش A، دوم - به بخش B، سوم - به بخش C.

سیستم متغیرها در مسئله بهینه سازی ساختار مناطق کاشت با در نظر گرفتن تناوب زراعی