Rješavanje zadataka iz matematike često je praćeno mnogim poteškoćama za učenike. Pomoć studentu da se nosi sa ovim poteškoćama, kao i da ih nauči da svoje postojeće teorijsko znanje primjenjuju prilikom rješavanja konkretnih zadataka u svim dijelovima predmeta iz predmeta „Matematika“ je glavna svrha našeg sajta.

Prilikom počinjanja rješavanja zadataka na temu, učenici treba da budu u stanju da konstruišu tačku na ravni koristeći njene koordinate, kao i da pronađu koordinate date tačke.

Izračunavanje udaljenosti između dvije tačke A(x A; y A) i B(x B; y B) uzetih na ravni vrši se pomoću formule d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), gdje je d dužina segmenta koji povezuje ove tačke na ravni.

Ako se jedan od krajeva segmenta poklapa sa ishodištem koordinata, a drugi ima koordinate M(x M; y M), tada će formula za izračunavanje d imati oblik OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Proračun udaljenosti između dvije tačke na osnovu datih koordinata ovih tačaka

Primjer 1.

Odrediti dužinu segmenta koji spaja tačke A(2; -5) i B(-4; 3) na koordinatnoj ravni (slika 1).

Rješenje.

Izjava problema glasi: x A = 2; x B = -4; y A = -5 i y B = 3. Naći d.

Primjenom formule d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), dobijamo:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Izračunavanje koordinata tačke koja je jednako udaljena od tri date tačke

Primjer 2.

Naći koordinate tačke O 1, koja je jednako udaljena od tri tačke A(7; -1) i B(-2; 2) i C(-1; -5).

Rješenje.

Iz formulacije uslova problema proizilazi da je O 1 A = O 1 B = O 1 C. Neka željena tačka O 1 ima koordinate (a; b). Koristeći formulu d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) nalazimo:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Hajde da napravimo sistem od dve jednačine:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Nakon kvadriranja lijeve i desne strane jednadžbe, pišemo:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Pojednostavljajući, hajde da napišemo

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Nakon što smo riješili sistem, dobijamo: a = 2; b = -1.

Tačka O 1 (2; -1) jednako je udaljena od tri tačke navedene u uslovu koje ne leže na istoj pravoj liniji. Ova tačka je centar kružnice koja prolazi kroz tri date tačke (sl. 2).

3. Izračunavanje apscise (ordinate) tačke koja leži na osi apscise (ordinate) i nalazi se na datoj udaljenosti od date tačke

Primjer 3.

Udaljenost od tačke B(-5; 6) do tačke A koja leži na osi Ox je 10. Pronađite tačku A.

Rješenje.

Iz formulacije uslova problema proizilazi da je ordinata tačke A jednaka nuli i AB = 10.

Označavajući apscisu tačke A sa a, pišemo A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Dobijamo jednačinu √((a + 5) 2 + 36) = 10. Pojednostavljujući je, imamo

a 2 + 10a – 39 = 0.

Korijeni ove jednadžbe su a 1 = -13; i 2 = 3.

Dobijamo dva boda A 1 (-13; 0) i A 2 (3; 0).

pregled:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Obe dobijene tačke su pogodne prema uslovima problema (Sl. 3).

4. Izračunavanje apscise (ordinate) tačke koja leži na apscisi (ordinati) osi i nalazi se na istoj udaljenosti od dvije date tačke

Primjer 4.

Pronađite tačku na osi Oy koja je na istoj udaljenosti od tačaka A (6, 12) i B (-8, 10).

Rješenje.

Neka su koordinate tačke koje zahtijevaju uslovi problema, a koja leži na osi Oy, O 1 (0; b) (u tački koja leži na osi Oy, apscisa je nula). Iz uslova sledi da je O 1 A = O 1 B.

Koristeći formulu d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) nalazimo:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Imamo jednačinu √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) ili 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Nakon pojednostavljenja dobijamo: b – 4 = 0, b = 4.

Tačka O 1 (0; 4) koju zahtijevaju uslovi zadatka (Sl. 4).

5. Izračunavanje koordinata tačke koja se nalazi na istoj udaljenosti od koordinatnih osa i neke date tačke

Primjer 5.

Pronađite tačku M koja se nalazi na koordinatnoj ravni na istoj udaljenosti od koordinatnih osa i od tačke A(-2; 1).

Rješenje.

Tražena tačka M, kao i tačka A(-2; 1), nalazi se u drugom koordinatnom uglu, pošto je jednako udaljena od tačaka A, P 1 i P 2 (sl. 5). Udaljenost tačke M od koordinatnih osa je ista, stoga će njene koordinate biti (-a; a), gdje je a > 0.

Iz uslova zadatka proizilazi da je MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

one. |-a| = a.

Koristeći formulu d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) nalazimo:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Napravimo jednačinu:

√((-a + 2) 2 + (a – 1) 2) = a.

Nakon kvadriranja i pojednostavljenja imamo: a 2 – 6a + 5 = 0. Riješite jednačinu, pronađite a 1 = 1; i 2 = 5.

Dobijamo dvije tačke M 1 (-1; 1) i M 2 (-5; 5) koje zadovoljavaju uslove zadatka.

6. Izračunavanje koordinata tačke koja se nalazi na istoj navedenoj udaljenosti od apscisne (ordinatne) ose i od date tačke

Primjer 6.

Pronađite tačku M takvu da je njena udaljenost od ose ordinate i od tačke A(8; 6) jednaka 5.

Rješenje.

Iz uslova zadatka proizlazi da je MA = 5 i da je apscisa tačke M jednaka 5. Neka je ordinata tačke M jednaka b, tada je M(5; b) (Sl. 6).

Prema formuli d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) imamo:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Napravimo jednačinu:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Pojednostavljujući, dobijamo: b 2 – 12b + 20 = 0. Korijeni ove jednačine su b 1 = 2; b 2 = 10. Shodno tome, postoje dve tačke koje zadovoljavaju uslove zadatka: M 1 (5; 2) i M 2 (5; 10).

Poznato je da su mnogim studentima, kada samostalno rješavaju probleme, potrebne stalne konsultacije o tehnikama i metodama za njihovo rješavanje. Često učenik ne može pronaći način da riješi problem bez pomoći nastavnika. Student može dobiti potrebne savjete o rješavanju problema na našoj web stranici.

Imate još pitanja? Ne znate kako pronaći udaljenost između dvije tačke na ravni?
Da biste dobili pomoć od tutora, registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Udaljenost od tačke do tačke je dužina segmenta koji povezuje ove tačke na datoj skali. Dakle, kada je u pitanju mjerenje udaljenosti, morate znati skalu (jedinicu dužine) u kojoj će se mjerenja vršiti. Stoga se problem određivanja udaljenosti od tačke do tačke obično razmatra ili na koordinatnoj liniji ili u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu na ravni ili u trodimenzionalnom prostoru. Drugim riječima, najčešće morate izračunati udaljenost između tačaka koristeći njihove koordinate.

U ovom članku prvo ćemo se prisjetiti kako se određuje udaljenost od točke do točke na koordinatnoj liniji. Zatim dobijamo formule za izračunavanje udaljenosti između dve tačke ravni ili prostora prema datim koordinatama. U zaključku ćemo detaljno razmotriti rješenja tipičnih primjera i problema.

Navigacija po stranici.

Udaljenost između dvije tačke na koordinatnoj liniji.

Hajde da prvo definišemo notaciju. Označit ćemo udaljenost od tačke A do tačke B sa .

Iz ovoga možemo zaključiti da udaljenost od tačke A sa koordinatom do tačke B sa koordinatom jednaka je modulu razlike u koordinatama, to je, za bilo koju lokaciju tačaka na koordinatnoj liniji.

Udaljenost od tačke do tačke na ravni, formula.

Dobijamo formulu za izračunavanje udaljenosti između tačaka i datu u pravokutnom Dekartovom koordinatnom sistemu na ravni.

Ovisno o lokaciji tačaka A i B, moguće su sljedeće opcije.

Ako se tačke A i B poklapaju, tada je udaljenost između njih nula.

Ako točke A i B leže na pravoj liniji okomitoj na osu apscise, tada se točke poklapaju, a udaljenost je jednaka udaljenosti . U prethodnom pasusu smo saznali da je udaljenost između dvije tačke na koordinatnoj liniji jednaka modulu razlike njihovih koordinata, dakle, . Dakle, .

Slično, ako tačke A i B leže na pravoj liniji okomitoj na ordinatnu osu, tada se udaljenost od tačke A do tačke B nalazi kao .

U ovom slučaju trougao ABC je pravougaone konstrukcije, i i . By Pitagorina teorema možemo zapisati jednakost, odakle .

Sumiramo sve dobijene rezultate: udaljenost od tačke do tačke na ravni nalazi se preko koordinata tačaka koristeći formulu .

Rezultirajuća formula za određivanje udaljenosti između tačaka može se koristiti kada se tačke A i B poklapaju ili leže na pravoj liniji okomitoj na jednu od koordinatnih osa. Zaista, ako se A i B poklapaju, onda . Ako tačke A i B leže na pravoj liniji okomitoj na osu Ox, onda. Ako A i B leže na pravoj liniji okomitoj na osu Oy, tada .

Udaljenost između tačaka u prostoru, formula.

Hajde da uvedemo pravougaoni koordinatni sistem Oxyz u prostoru. Hajde da dobijemo formulu za pronalaženje udaljenosti od tačke do tačke .

Općenito, tačke A i B ne leže u ravni paralelnoj s jednom od koordinatnih ravnina. Povučemo kroz tačke A i B ravni okomite na koordinatne ose Ox, Oy i Oz. Tačke preseka ovih ravni sa koordinatnim osa daće nam projekcije tačaka A i B na ove ose. Označavamo projekcije .

Potrebna udaljenost između tačaka A i B je dijagonala pravokutnog paralelepipeda prikazanog na slici. Po konstrukciji, dimenzije ovog paralelepipeda su jednake i . U srednjoškolskom predmetu geometrije, dokazano je da je kvadrat dijagonale kvadra jednak zbiru kvadrata njegove tri dimenzije, dakle, . Na osnovu informacija u prvom dijelu ovog članka možemo napisati sljedeće jednakosti, dakle,

odakle nam to formula za pronalaženje udaljenosti između tačaka u prostoru .

Ova formula vrijedi i ako su tačke A i B

• match up;
• pripadaju jednoj od koordinatnih osa ili pravoj paralelnoj jednoj od koordinatnih osa;
• pripadaju jednoj od koordinatnih ravni ili ravni paralelnoj s jednom od koordinatnih ravni.

Pronalaženje udaljenosti od tačke do tačke, primjeri i rješenja.

Dakle, dobili smo formule za određivanje udaljenosti između dvije tačke na koordinatnoj liniji, ravni i trodimenzionalnom prostoru. Vrijeme je da pogledamo rješenja tipičnih primjera.

Broj zadataka u kojima je posljednji korak pronaći udaljenost između dvije tačke prema njihovim koordinatama je zaista ogroman. Potpuni pregled takvih primjera je izvan okvira ovog članka. Ovdje ćemo se ograničiti na primjere u kojima su poznate koordinate dvije tačke i potrebno je izračunati udaljenost između njih.

Koristeći koordinate, određuje se lokacija objekta na globusu. Koordinate su označene zemljopisnom širinom i dužinom. Geografske širine se mjere od linije ekvatora na obje strane. Na sjevernoj hemisferi geografske širine su pozitivne, na južnoj su negativne. Geografska dužina se mjeri od početnog meridijana, istočna ili zapadna, odnosno istočna ili zapadna geografska dužina.

Prema opšteprihvaćenom stavu, za početni meridijan se uzima onaj koji prolazi kroz staru Greenwich opservatoriju u Greenwichu. Geografske koordinate lokacije mogu se dobiti pomoću GPS navigatora. Ovaj uređaj prima signale satelitskog sistema za pozicioniranje u koordinatnom sistemu WGS-84, jedinstvenom za cijeli svijet.

Modeli Navigatora razlikuju se po proizvođaču, funkcionalnosti i sučelju. Trenutno su ugrađeni GPS navigatori također dostupni u nekim modelima mobilnih telefona. Ali svaki model može snimiti i sačuvati koordinate tačke.

Udaljenost između GPS koordinata

Za rješavanje praktičnih i teorijskih problema u pojedinim industrijama potrebno je moći odrediti udaljenosti između tačaka njihovim koordinatama. Postoji nekoliko načina na koje to možete učiniti. Kanonski oblik predstavljanja geografskih koordinata: stepeni, minute, sekunde.

Na primjer, možete odrediti rastojanje između sljedećih koordinata: tačka br. 1 - geografska širina 55°45′07″ N, geografska dužina 37°36′56″ E; tačka br. 2 - geografska širina 58°00′02″ N, geografska dužina 102°39′42″ E.

Najlakši način je korištenje kalkulatora za izračunavanje dužine između dvije tačke. U pretraživaču pretraživača morate postaviti sljedeće parametre pretraživanja: online - za izračunavanje udaljenosti između dvije koordinate. U online kalkulatoru vrijednosti geografske širine i dužine unose se u polja upita za prvu i drugu koordinate. Prilikom izračunavanja, online kalkulator je dao rezultat - 3.800.619 m.

Sljedeća metoda je radno intenzivnija, ali i vizualnija. Morate koristiti bilo koji dostupni program za mapiranje ili navigaciju. Programi u kojima možete kreirati tačke koristeći koordinate i mjeriti udaljenosti između njih uključuju sljedeće aplikacije: BaseCamp (moderni analog programa MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Svi gore navedeni programi dostupni su svakom korisniku mreže. Na primjer, da biste izračunali udaljenost između dvije koordinate u Google Earthu, trebate kreirati dvije oznake koje označavaju koordinate prve i druge tačke. Zatim pomoću alata „Lenjir“ trebate povezati prvu i drugu oznaku linijom, program će automatski prikazati rezultat mjerenja i pokazati putanju na satelitskoj slici Zemlje.

U slučaju gore navedenog primjera, program Google Earth je vratio rezultat - dužina udaljenosti između tačke br. 1 i tačke br. 2 je 3.817.353 m.

Zašto postoji greška pri određivanju udaljenosti

Svi proračuni opsega između koordinata zasnivaju se na proračunu dužine luka. Radijus Zemlje je uključen u izračunavanje dužine luka. Ali budući da je oblik Zemlje blizak spljoštenom elipsoidu, radijus Zemlje varira u određenim tačkama. Za izračunavanje udaljenosti između koordinata uzima se prosječna vrijednost Zemljinog radijusa, što daje grešku u mjerenju. Što je veća udaljenost koja se mjeri, veća je greška.

Matematika

§2. Koordinate tačke na ravni

3. Udaljenost između dvije tačke.

Ti i ja sada možemo razgovarati o tačkama jezikom brojeva. Na primjer, više ne moramo objašnjavati: uzmite tačku koja je tri jedinice desno od ose i pet jedinica ispod ose. Dovoljno je jednostavno reći: shvatite poentu.

Već smo rekli da to stvara određene prednosti. Dakle, možemo telegrafski prenijeti crtež sastavljen od tačaka, prenijeti ga kompjuteru, koji uopće ne razumije crteže, ali dobro razumije brojeve.

U prethodnom pasusu definisali smo neke skupove tačaka na ravni koristeći odnose između brojeva. Pokušajmo sada dosljedno prevesti druge geometrijske koncepte i činjenice na jezik brojeva.

Počećemo sa jednostavnim i uobičajenim zadatkom.

Pronađite rastojanje između dve tačke na ravni.

Rješenje:
Kao i uvijek, pretpostavljamo da su tačke zadane svojim koordinatama, a onda nam je zadatak pronaći pravilo po kojem možemo izračunati udaljenost između tačaka, znajući njihove koordinate. Prilikom izvođenja ovog pravila, naravno, dozvoljeno je pribjeći crtežu, ali samo pravilo ne smije sadržavati nikakve reference na crtež, već samo treba pokazati koje radnje i kojim redoslijedom se moraju izvršiti na datim brojevima - koordinatama od tačaka - da bi se dobio željeni broj - udaljenost između tačaka.

Možda će nekim čitateljima ovaj pristup rješavanju problema biti čudan i nategnut. Ono što je jednostavnije, reći će, tačke su date, čak i po koordinatama. Nacrtajte ove točke, uzmite ravnalo i izmjerite udaljenost između njih.

Ova metoda ponekad nije tako loša. Međutim, ponovo zamislite da imate posla sa računarom. Ona nema lenjir, i ne crta, ali zna tako brzo da broji da joj to uopšte nije problem. Imajte na umu da je naš problem formuliran tako da se pravilo za izračunavanje udaljenosti između dvije tačke sastoji od naredbi koje može izvršiti mašina.

Bolje je prvo riješiti problem postavljen za poseban slučaj kada jedna od ovih tačaka leži u početku koordinata. Počnite s nekoliko numeričkih primjera: pronađite udaljenost od početka tačaka; i .

Bilješka. Koristite Pitagorinu teoremu.

Sada napišite opštu formulu za izračunavanje udaljenosti tačke od početka.

Udaljenost tačke od ishodišta određena je formulom:

Očigledno, pravilo izraženo ovom formulom zadovoljava gore navedene uslove. Konkretno, može se koristiti u proračunima na mašinama koje mogu množiti brojeve, sabirati ih i izvlačiti kvadratne korijene.

Sada da riješimo opći problem

Date su dvije tačke na ravni, pronađite udaljenost između njih.

Rješenje:
Označimo sa , , , projekcije tačaka i na koordinatne ose.

Označimo točku presjeka linija slovom . Iz pravokutnog trokuta koristeći Pitagorinu teoremu dobijamo:

Ali dužina segmenta je jednaka dužini segmenta. Točke i , Leže na osi i imaju koordinate i , Odnosno. Prema formuli dobijenoj u stavu 3 stava 2, udaljenost između njih je jednaka .

Slično argumentirajući, nalazimo da je dužina segmenta jednaka . Zamjenom pronađenih vrijednosti i u formulu dobijamo.

U ovom članku ćemo razmotriti načine da se teoretski odredi udaljenost od tačke do tačke i na primjeru konkretnih zadataka. Za početak, uvedemo neke definicije.

Definicija 1

Udaljenost između tačaka je dužina segmenta koji ih povezuje, na postojećoj skali. Potrebno je podesiti skalu kako bi imali jedinicu dužine za mjerenje. Stoga se u osnovi problem nalaženja udaljenosti između tačaka rješava korištenjem njihovih koordinata na koordinatnoj liniji, u koordinatnoj ravni ili trodimenzionalnom prostoru.

Početni podaci: koordinatna prava O x i proizvoljna tačka A koja leži na njoj. Svaka tačka na pravoj ima jedan realan broj: neka je to određeni broj za tačku A x A, to je i koordinata tačke A.

Općenito, možemo reći da se dužina određenog segmenta procjenjuje u poređenju sa segmentom koji se uzima kao jedinica dužine na datoj skali.

Ako tačka A odgovara celobrojnom realnom broju, odlaganjem uzastopno od tačke O do tačke duž prave O A segmenata - jedinica dužine, možemo odrediti dužinu segmenta O A iz ukupnog broja izdvojenih jediničnih segmenata.

Na primjer, tačka A odgovara broju 3 - da biste došli do nje od tačke O, morat ćete odložiti tri segmenta jedinice. Ako tačka A ima koordinatu - 4, jedinični segmenti se postavljaju na sličan način, ali u drugom, negativnom smjeru. Dakle, u prvom slučaju, rastojanje O A je jednako 3; u drugom slučaju O A = 4.

Ako tačka A ima racionalan broj kao koordinatu, onda iz početka (tačke O) iscrtavamo cijeli broj jediničnih segmenata, a zatim i njen neophodni dio. Ali geometrijski nije uvijek moguće izvršiti mjerenje. Na primjer, čini se da je teško nacrtati razlomak 4 111 na koordinatnoj liniji.

Koristeći gornju metodu, potpuno je nemoguće nacrtati iracionalni broj na pravoj liniji. Na primjer, kada je koordinata tačke A 11. U ovom slučaju, moguće je preći na apstrakciju: ako je data koordinata tačke A veća od nule, tada je O A = x A (broj se uzima kao rastojanje); ako je koordinata manja od nule, tada je O A = - x A . Općenito, ovi iskazi su tačni za bilo koji realni broj x A.

Da rezimiramo: udaljenost od početka do tačke koja odgovara realnom broju na koordinatnoj liniji jednaka je:

• 0 ako se tačka poklapa sa ishodištem;

• x A, ako je x A > 0;

• - x A ako je x A< 0 .

U ovom slučaju, očito je da dužina samog segmenta ne može biti negativna, stoga pomoću znaka modula zapisujemo udaljenost od tačke O do tačke A sa koordinatom xA: O A = x A

Sljedeća izjava će biti tačna: udaljenost od jedne tačke do druge će biti jednaka modulu koordinatne razlike. One. za tačke A i B koje leže na istoj koordinatnoj liniji za bilo koju lokaciju i imaju odgovarajuće koordinate xA I x B: A B = x B - x A .

Početni podaci: tačke A i B koje leže na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu O x y sa datim koordinatama: A (x A, y A) i B (x B, y B).

Povučemo okomice kroz tačke A i B na koordinatne ose O x i O y i kao rezultat dobijemo tačke projekcije: A x, A y, B x, B y. Na osnovu lokacije tačaka A i B, tada su moguće sljedeće opcije:

Ako se tačke A i B poklapaju, tada je udaljenost između njih nula;

Ako tačke A i B leže na pravoj liniji okomitoj na osu O x (os apscise), tada se tačke poklapaju, i | A B | = | A y B y | . Budući da je udaljenost između tačaka jednaka modulu razlike njihovih koordinata, tada je A y B y = y B - y A, i, prema tome, A B = A y B y = y B - y A.

Ako tačke A i B leže na pravoj liniji okomitoj na osu O y (os ordinate) - po analogiji sa prethodnim paragrafom: A B = A x B x = x B - x A

Ako točke A i B ne leže na pravoj liniji okomitoj na jednu od koordinatnih osa, udaljenost između njih ćemo pronaći izvođenjem formule za proračun:

Vidimo da je trougao A B C pravougaonog oblika. U ovom slučaju, A C = A x B x i B C = A y B y. Koristeći Pitagorinu teoremu, kreiramo jednakost: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , a zatim je transformiramo: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Izvedimo zaključak iz dobivenog rezultata: udaljenost od tačke A do tačke B na ravnini određena je proračunom pomoću formule koristeći koordinate ovih tačaka

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Rezultirajuća formula također potvrđuje ranije formirane tvrdnje za slučajeve podudarnosti tačaka ili situacije kada tačke leže na pravim linijama okomitim na ose. Dakle, ako se tačke A i B poklapaju, bit će tačna sljedeća jednakost: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Za situaciju u kojoj tačke A i B leže na pravoj liniji okomitoj na x-osu:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Za slučaj kada tačke A i B leže na pravoj liniji okomitoj na ordinatnu osu:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Početni podaci: pravougaoni koordinatni sistem O x y z sa proizvoljnim tačkama koje leže na njemu sa datim koordinatama A (x A, y A, z A) i B (x B, y B, z B). Potrebno je odrediti udaljenost između ovih tačaka.

Razmotrimo opšti slučaj kada tačke A i B ne leže u ravni paralelnoj sa jednom od koordinatnih ravni. Nacrtajmo ravni okomite na koordinatne ose kroz tačke A i B i dobijemo odgovarajuće projekcijske tačke: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Udaljenost između tačaka A i B je dijagonala rezultirajućeg paralelepipeda. Prema konstrukciji mjerenja ovog paralelepipeda: A x B x , A y B y i A z B z

Iz kursa geometrije znamo da je kvadrat dijagonale paralelepipeda jednak zbiru kvadrata njegovih dimenzija. Na osnovu ove tvrdnje dobijamo jednakost: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Koristeći ranije dobijene zaključke, pišemo sljedeće:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Transformirajmo izraz:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Final formula za određivanje udaljenosti između tačaka u prostoru izgledat će ovako:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Rezultirajuća formula vrijedi i za slučajeve kada:

Tačke se poklapaju;

Leže na jednoj koordinatnoj osi ili pravoj liniji paralelnoj s jednom od koordinatnih osa.

Primjeri rješavanja zadataka na pronalaženje udaljenosti između tačaka

Primjer 1

Početni podaci: date su koordinatna prava i tačke koje na njoj leže sa datim koordinatama A (1 - 2) i B (11 + 2). Potrebno je pronaći rastojanje od početne tačke O do tačke A i između tačaka A i B.

Rješenje

1. Udaljenost od referentne tačke do tačke jednaka je modulu koordinate ove tačke, odnosno O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Udaljenost između tačaka A i B definiramo kao modul razlike između koordinata ovih tačaka: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Odgovor: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Primjer 2

Početni podaci: dati su pravougaoni koordinatni sistem i dvije tačke koje na njemu leže A (1, - 1) i B (λ + 1, 3). λ je neki realan broj. Potrebno je pronaći sve vrijednosti ovog broja na kojima će udaljenost A B biti jednaka 5.

Rješenje

Da biste pronašli udaljenost između tačaka A i B, morate koristiti formulu A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Zamjenom stvarnih koordinatnih vrijednosti dobijamo: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Koristimo i postojeći uslov da je A B = 5 i tada će jednakost biti tačna:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Odgovor: A B = 5 ako je λ = ± 3.

Primjer 3

Početni podaci: trodimenzionalni prostor je specificiran u pravougaonom koordinatnom sistemu O x y z i tačkama A (1, 2, 3) i B - 7, - 2, 4 koje leže u njemu.

Rješenje

Za rješavanje problema koristimo formulu A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Zamjenom realnih vrijednosti dobijamo: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Odgovor: | A B | = 9

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter