Složeni integrali
Ovaj članak upotpunjava predmet neizvjesnih integrala, a u njemu su uključeni integrali koji smatram prilično kompliciranim. Lekcija je stvorena na opetovanim zahtjevima posjetitelja koji su izrazili želje tako da se teški primjeri demontiraju na mjestu.
Pretpostavlja se da je čitač ovog teksta dobro pripremljen i zna kako primijeniti glavne tehnike integracije. TEAPOTI I LJUDI KOJI NISU SAMO SAVRŠENI SA INTEGRALIMA trebaju se uputiti na prvu lekciju - Neizvjestan integral. Primjeri rješenjaGdje možete savladati temu s gotovo nulom. Iskusniji studenti mogu se upoznati sa tehnikama i metodama integracije, što u mojim člancima još uvijek nisu ispunili.
Koji će se integrali uzeti u obzir?
Prvo ćemo razmotriti integrale sa korijenima, za rješavanje koje se dosljedno koristi zamena varijable i integracija u dijelove. To je, u jednom primjeru, dva prijema su kombinirana. I još više.
Tada ćemo se upoznati sa zanimljivim i originalnim informacije o metodi integralno za sebe. Ova metoda se rješava ne tako nekoliko integrala.
Treći broj programa preći će integrale iz složenih frakcija koje su u prethodnim člancima preletjele u prošle blagajne.
Četvrto, bit će rastavljeni dodatni integrali iz trigonometrijskih funkcija. Posebno postoje metode koje vam omogućuju izbjegavanje vremena koje konzumiraju vrijeme univerzalne trigonometrijske zamjene.
(2) U funkciji Integrand, brojčanik na denominatoru.
(3) Upotrijebite linearnost svojstva neodređenog integrala. U posljednjem integralnom odmah pomesti funkciju pod znakom diferencijala.
(4) Uzmite preostale integrale. Imajte na umu da u logaritam možete koristiti zagrade, a ne modul, od tada.
(5) Imamo zamjenu, izražavajući iz direktne zamjene "TE":
Mazohijski studenti mogu indiferantirati odgovor i dobiti originalnu funkciju integranta kao što sam upravo učinio. Ne, ne, ispunio sam verifikaciju u pravom smislu \u003d)
Kao što vidite, tokom odluke morao sam koristiti još više od dvije odluke rješenja, tako da su za represalije sa sličnim integralima potrebne su povjerljive integracije i ne najmanju iskustvo.
U praksi, naravno, kvadratni korijen je češći, evo tri primjera za neovisno rješenje:
Primjer 2.
Naći neizvjestan integral
Primjer 3.
Pronađite neodređeni integral
Primjer 4.
Pronađite neodređeni integral
Ovi primjeri iste vrste, tako da će kompletno rješenje na kraju članka biti samo na primjer 2, u primjerima 3-4 - jedan odgovori. Koja zamjena da se prijavi na početku odluka, očito mislim. Zašto sam pokupio istu vrstu primjera? Često se nalaze u vašoj ulozi. Češće, možda, samo nešto slično 
.
Ali ne uvijek, kada su pod arctgennes, sinusom, kosine, eksponencijalnim itd. Karakteristike su korijen linearne funkcije, potrebno je primijeniti nekoliko metoda. U nekim je slučajevima moguće "riješiti se", odnosno odmah nakon zamjene dobiva se jednostavan integral koji je elementarni. Najlakši predloženi zadaci je primjer 4, u njemu nakon zamjene ispada relativno jednostavan integral.
Informacije o metodi integralno za sebe
Duhovit i lijepa metoda. Odmah razmotrite klasiku žanra:
Primjer 5.
Pronađite neodređeni integral
Pod korijenom se nalazi kvadratni biccun, a kada pokušavate integrirati ovaj primjer, čajnik može patiti satima. Takav integral se uzima na dijelove i svodi se na sebe. U principu, nije teško. Ako znate kako.
Označite u razmatranim integralnim latino pismo i započnite rješenje: 
Integriramo se u dijelove: 
(1) Pripremamo funkciju zamjene za podjelu tla.
(2) Podijelimo zamjenu. Možda ne svi jasno, napisat ću detaljnije:
(3) Upotrijebite linearnost svojstva neodređenog integrala.
(4) Uzmite posljednji integral ("dugi" logaritam).
Sada gledamo na samog početka odluke: 
I na kraju: 
Šta se desilo? Kao rezultat naših manipulacija, integral je stigao do sebe!
Izjednačavamo početak i kraj: 
Prenosimo se na lijevu stranu promjenom znaka: 
I demo demoloze s desne strane. Kao rezultat: 
Konstantna, strogo gledano, morala je biti dodana ranije, ali pripisala je na kraju. Toplo preporučujem čitanje onoga što je ovdje za strogo:
Bilješka:
Strože završna faza rješenja izgleda ovako:
Na ovaj način:
Konstanta se može ponovo upotrijebiti. Zašto možete ponoviti? Jer još uvijek traje bilo koji Vrijednosti i u tom smislu između konstante i nema razlike.
Kao rezultat:
Takav trik sa preplavljenim konstantom se široko koristi u diferencijalne jednadžbe. I tu ću biti strog. A ovdje je takva sloboda dopuštena samo da vas ne zbunim ne zbunjuju suvišnim stvarima i fokusirati se na sam metodu integracije.
Primjer 6.
Pronađite neodređeni integral
Još jedan tipičan integral za samoposluživanje. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Razlika s odgovorom prethodnog primjera bit će!
Ako je ispod kvadratni korijen Postoji četvrtasto trostruko, rješenje u svakom slučaju se smanjuje na dva rastavljena primjera.
Na primjer, razmotrite integralni 
. Sve što trebate učiniti je pre- odaberite cijeli kvadrat:
.
Zatim se vrši linearna zamjena koja košta "bez ikakvih posljedica":
Kao rezultat toga, prikuplja se integral. Nešto poznato, zar ne?
Ili takav primjer, sa kvadratom odbijenim:
Izdvajamo puni kvadrat:
I nakon linearne zamjene dobivamo sastavnicu, koji je također riješen algoritmom koji je već razmotren.
Razmotrite još dva tipičan primjer Na informaciji prijema integralni sebi:
- Integral sa izlagača pomnoženo sa sinusom;
- Integral sa izlagača pomnožen sa Cosineom.
U navedenim integralima u dijelovima morat će se integrirati dva puta:
Primjer 7.
Pronađite neodređeni integral
Funkcija Integrand je izlagač pomnoženi sa sinusom.
INTERESTEM Dva puta u dijelove i donosimo integralni sebi: 
Kao rezultat dvosmernih integracija u dijelove, integral se dobio na sebe. Izjednačavamo početni i završni rješenja:
Prenosimo se na lijevu stranu promjenom znaka i izražavamo naš integralni: 
Spremni. Takođe, poželjno je boriti se protiv desne strane, I.E. Da biste napravili eksponent za nosače, a u zagradama za polaganje sinusa sa kosinusom u "prelijepim" redoslijedu.
Sada se vratimo na početak primjera, ili bolje rečeno - na integraciju u dijelove: 
Jer smo imenuli izlagača. Postavlja se pitanje, uvijek je potrebno nazvati izlagaču? Nije potrebno. U stvari, u ispitivanom integralu princip nema razlikeŠta se poziva, bilo je moguće ići na drugi način: 
Zašto je to moguće? Budući da se izlagač pretvara u sebe (i za vrijeme diferencijacije i tokom integracije), sinus sa Cosineom međusobno se postavlja (opet - i za vrijeme diferencijacije i tokom integracije) i tokom integracije).
To jest, trigonometrijska funkcija može se označiti. Ali, u ispitivanom primjeru, to je manje racionalno, jer će se pojaviti frakcije. Ako želite, možete pokušati riješiti ovaj primjer na drugi način, odgovori se moraju poklačati.
Primjer 8.
Pronađite neodređeni integral
Ovo je primjer za neovisno rješenje. Prije nego što odlučite, razmislite o tome profitabilnije u ovom slučaju da odredite, eksponent ili trigonometrijsku funkciju? Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.
I, naravno, ne zaboravite da je većina odgovora ove lekcije prilično lako provjeriti diferencijaciju!
Primjeri nisu smatrani najtežim. U praksi su integrali češće pronađeni, gdje postoji konstanta u pokazatelju eksponenta i u argumentu trigonometrijske funkcije, na primjer :. Mislio sam u sličnom integralu morat će puno napraviti, često me zbunim. Činjenica je da u rješavanju vjerojatnosti pojave frakcija, i vrlo je jednostavno nešto intenzivno izgubiti. Pored toga, verovatnoća grešaka u znakovima je odlična, imajte na umu da u pokazatelju eksponenala nalazi se minus znak, a to čini dodatnu poteškoću.
U završnoj fazi se često dobija otprilike sljedeće:
Čak bi i na kraju odluke trebao biti izuzetno pažljiv i kompetentno bavljenje frakcijama: 
Integriranje složenih frakcija
Polako stižemo do lekcije ekvatora i počnu razmatrati integrale iz frakcija. Opet, nisu svi supershit, samo iz jednog razloga ili neki drugi primjeri bili su pomalo "ne u temi" u drugim člancima.
Nastavljamo temu korijena
Primjer 9.
Pronađite neodređeni integral
U nazivniku, pod korijenom nalazi se kvadratni trostalan plus izvan korijena "Poboljšaj" u obliku "Ikse". Integral ove vrste rešen je korištenjem standardne zamjene.
Mi odlučujemo: 
Zamjena ovdje je jednostavna: 
Gledamo život nakon zamjene: 
(1) Nakon zamjene, dajemo cjelokupnim uvjetima naziva pod korijenom.
(2) Izdržavamo iz korijena.
(3) Brojčanik i nazivnik koji se smanjuju na. Istovremeno, pod korijenom, prekršio sam komponente u udoban nalog. Sa određenim eksperimentom, koraci (1), (2) mogu se preskočiti izvođenjem komentiranih akcija usmeno.
(4) Rezultirajući integralni, kao što se sećate iz lekcije Integriranje nekih frakcija, odlučuje način raspodjele cijelog kvadrata. Odaberite cijeli kvadrat.
(5) Integracija dobijamo maksimalan "dug" logaritam.
(6) Provesti zamjenu. Ako u početku, onda nazad :.
(7) Konačna akcija je usmjerena na frizuru rezultata: pod korijenom, oni ponovo dovode komponente u cjelokupni nazivnik i izdržati iz korijena.
Primer 10.
Pronađite neodređeni integral 
Ovo je primjer za neovisno rješenje. Ovdje je konstanta dodana u usamljeni "ICSU", a zamjena je gotovo ista: 
Jedino što trebate dodatno učiniti je izričiti "X" iz zamjene: 
Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.
Ponekad u takvom integralnom pod korijenu može doći do četvrtastim prepisom, ne mijenja rješenje za rješavanje, bit će još lakše. Osjetite razliku:
Primjer 11.
Pronađite neodređeni integral
Primer 12.
Pronađite neodređeni integral
Kratke odluke i odgovore na kraju lekcije. Treba napomenuti da je primjer 11 tačno binom integral, čija je odluka razmatrana u lekciji Integrali iz iracionalnih funkcija.
Integral iz nesposodnog polinoma od 2. stepena do stepena
(polinom u nazivniku)
Retki, ali, ipak, sastanak u praktični primjeri Vrsta integralnog.
Primjer 13.
Pronađite neodređeni integral
Ali vrati se na primjer sretan broj 13 (iskreno, nije odgovaralo). Ovaj integral je i iz kategorije onih s kojima možete biti dovoljno prilično ako ne znate kako riješiti.
Odluka započinje umjetnom transformacijom: 
Kako podijeliti brojeve na nazivnik, mislim da se sve razumije.
Rezultirajući integral se uzima u dijelovima: 
Za prikaz integralnog (- prirodnog broja) uklonjen ponavljajući Formula za smanjenje stepena:
gde 
- Integralni stepen niži.
Uvjeren ću se u pravdu ove formule za integral proroka.
U ovom slučaju :, Koristimo formulu: 
Kao što vidite, odgovori se podudaraju.
Primer 14.
Pronađite neodređeni integral
Ovo je primjer za neovisno rješenje. U uzorku rješenja, gore spomenuta formula bila je dva puta.
Ako se pod stepenom nalazi neovisan o multiplikatorima Trostruk kvadrat, tada se rješenje spušta da bi se nagrizalo tako da istakne kompletan kvadrat, na primjer:
Što ako vam dodatno nalazite u brojevniku, postoji polinom? U ovom se slučaju koristi metoda neodređenih koeficijenata, a integrirana funkcija opisana je u količini frakcija. Ali u mojoj praksi takvog primjera nisam se sreo, pa sam propustio ovaj slučaj U članku Integrali iz frakcijske racionalne funkcijeNedostaje mi i sada. Ako se takav integral još uvijek sastaje, pogledajte udžbenik - sve je tamo jednostavno. Ne smatram da je u potpunosti uključivanje materijala (čak jednostavno), vjerojatnost sastanka s kojim teži za nulu.
Integracija složenih trigonometrijskih funkcija
Pridjev "Kompleks" za većinu primjera je na mnogo načina uvjetovanje. Započnimo s tangentima i kotangenima u visokim stupnjevima. Sa stajališta na metode rješavanja tangenta i kotangenta, gotovo iste stvari, pa ću govoriti više o tangenciji, što impliciram da je pokazao prijem rješenja integrala fer i za kotangent.
Na gornjoj lekciji razmatrali smo univerzalna trigonometrijska zamjena Da biste riješili određenu vrstu integrala iz trigonometrijskih funkcija. Nedostatak univerzalne trigonometrijske supstitucije je da se kada se koriste, često se javljaju glomazni integrali s teškim proračunima. A u nekim slučajevima univerzalne trigonometrijske zamjene može se izbjeći!
Razmotrite još jedan kanonski primjer, integral iz jedinice podijeljen u sinus:
Primjer 17.
Pronađite neodređeni integral
Ovdje možete koristiti univerzalnu trigonometrijsku zamjenu i dobiti odgovor, ali postoji racionalniji put. Daću kompletno rješenje sa komentarima za svaki korak:
(1) Koristite trigonometrijsku formulu dvostrukog ugla sine.
(2) Izvodimo umjetnu transformaciju: u nazivniku se dijelimo i pomnožimo.
(3) Prema poznatoj formuli u nazivniku, u tangenta prelazimo frakciju.
(4) pomesti funkciju pod znakom diferencijala.
(5) Uzmite integralni.
Par jednostavni primjeri Za samo rješenja:
Primer 18.
Pronađite neodređeni integral
NAPOMENA: Formula bi trebala koristiti najviše akcije 
I pažljivo izvršite slične prethodnom primjeru akcije.
Primer 19.
Pronađite neodređeni integral
Pa, ovo je vrlo jednostavan primjer.
Puna rješenja i odgovori na kraju lekcije.
Mislim da sada nema problema sa integralima: 
itd.
Koja je ideja o metodi? Ideja je da uz pomoć transformacija, trigonometrijske formule za organizovanje u Integrama samo tangentima i tangentni derivat. Odnosno, radi se o zamjeni: 
. U primjerima 17-19, zapravo smo primijenili ovu zamjenu, ali integrali su bili tako jednostavni da košta ekvivalentni učinak - da sažeti funkciju pod znakom diferencijala.
Slični argumenti, kao što sam već propisana, možete potrošiti za Cotangent.
Postoji formalni preduvjet za upotrebu gornje zamjene:
Zbroj stepena kosinusa i sinusa je čitav negativan broj, npr.:
za integralni - čitav negativan broj.
! Bilješka : Ako integralna funkcija sadrži samo sinus ili samo kosinus, tada se integral uzima u negativnu neparni stupanj (najjednostavniji slučajevi u primjerima br. 11, 18).
Razmotrite nekoliko informativnih zadataka za ovo pravilo:
Primer 20.
Pronađite neodređeni integral
Zbroj stepena sinusa i kosine: 2 - 6 \u003d -4 je čitav negativan broj, što znači da se integral može smanjiti na tangente i njen derivat: 
(1) Transontiramo nazivnika.
(2) Prema poznatoj formuli, dobivamo.
(3) Transoniramo nazivnika.
(4) Koristimo formulu 
.
(5) Predajte funkciju pod znakom diferencijala.
(6) Zamijenimo. Iskusniji studenti ne mogu se zamijeniti, ali još je bolje zamijeniti tangenta jednim slovom - manje rizika je zbunjen.
Primer 21.
Pronađite neodređeni integral
Ovo je primjer za neovisno rješenje.
Držite, prvak počni krugovi \u003d)
Često u funkciji Integrand je "Solyanka":
Primer 22.
Pronađite neodređeni integral 
U ovom integralnom tangenta je u početku prisutna, koja odmah slijedi u već poznatoj misao:
Umjetna transformacija na samom početku i preostalih preostalih koraka bez komentara, jer je sve spomenuto gore.
Par kreativnih primjera za neovisno rješenje:
Primer 23.
Pronađite neodređeni integral 
Primer 24.
Pronađite neodređeni integral 
Da, u njima, naravno, moguće je sniziti stupanj sinusa, Cosine, da koristi univerzalnu trigonometrijsku supstituciju, ali odluka će biti mnogo efikasnija i kraća ako se provede kroz tangente. Kompletno rješenje i odgovori na kraju lekcije
Glavni integrali koji bi svaki student trebao znati
Navedeni integrali su osnova, temeljna baza. Ove formule treba pamtiti. Pri izračunavanju složenijih integrala morat ćete ih stalno koristiti.
Obratite posebnu pažnju na formule (5), (7), (9), (12), (13), (17) i (19). Ne zaboravite prilikom integriranja dodavanja na odgovor proizvoljne konstante!
Integral iz Constante
∫ a d x \u003d A x + c (1)Integrisanje funkcije napajanja
U stvari, moguće je ograničiti samo formule (5) i (7), ali ostatak integrala iz ove grupe susreće se onoliko često da vrijedi platiti malo pažnje.
∫ x d x \u003d x 2 2 + c (2)
∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + c (3)
1 x d x \u003d 2 x + c (4)
1 x d x \u003d ln | X | + C (5)
∫ 1 x 2 d x \u003d - 1 x + c (6)
∫ x n d x \u003d x n + 1 n + 1 + c (n ≠ - 1) (7)
Integrali iz indikativne funkcije i sa hiperboličkih funkcija
Naravno, formula (8) (možda najprikladnije za memoriranje) može se smatrati kao privatni slučaj Formule (9). Formule (10) i (11) za integrale sa hiperboličkog sinusa i hiperboličkog kosinusa lako se izlaze iz formule (8), ali bolje je sjetiti tih odnosa.
∫ E x D X \u003d E x + C (8)
∫ A x D X \u003d A X LN A + C (A\u003e 0, A ≠ 1) (9)
∫ S H x D X \u003d C H x + C (10)
∫ C H x D X \u003d S H X + C (11)
Osnovni integrali iz trigonometrijskih funkcija
Greška koju učenici često stvaraju: zbunjuju znakove u formulama (12) i (13). Sjećajući se da je derivat sinusa jednak kosinu, mnogi iz nekog razloga smatraju da je integral iz funkcije SINX CoXX. Ovo nije istina! Integral sinusa jednak je "minus kosinus", ali integral iz CoSX-a je "samo sinus":
∫ SIN X D X \u003d - COS X + C (12)
∫ cos x d x \u003d grijeh x + c (13)
∫ 1 cos 2 x d x \u003d t g x + c (14)
∫ 1 sin 2 x d x \u003d - C T G X + C (15)
Integrali se smanjuju za inverzne trigonometrijske funkcije
Formula (16), što vodi do arctangenta, prirodno je poseban slučaj formule (17) na a 1. Slično tome, (18) - poseban slučaj (19).
1 1 + x 2 d x \u003d A R C T G X + C \u003d - A R C C T G X + C (16)
1 x 2 + A 2 \u003d 1 A A R C T G X A + C (A ≠ 0) (17)
1 1 - x 2 d x \u003d Arcsin X + C \u003d - Arccos X + C (18)
∫ 1 A 2 - X 2 D X \u003d Arcsin X A + C \u003d - ArccOS X A + C (A\u003e 0) (19)
Složeniji integrali
Ove su formule takođe poželjne da se seti. Takođe se koriste često često, a njihov je zaključak prilično zamoran.
1 x 2 + a 2 d x \u003d ln | x + x 2 + a 2 | + C (20)
1 x 2 - A 2 D X \u003d LN | X + X 2 - A 2 | + C (21)
∫ A 2 - X 2 D X \u003d X 2 A 2 - X 2 + A 2 2 Arcsin X A + C (A\u003e 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x \u003d x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a\u003e 0) (23)
∫ x 2 - a 2 d x \u003d x 2 x 2 - A 2 - A 2 2 ln | X + X 2 - A 2 | + C (a\u003e 0) (24)
Opća pravila integracije
1) Integral iz zbroja dvije funkcije jednak je zbroju odgovarajućih integrala: ∫ (f (x) + g (x)) d x \u003d ∫ f (x) dx + ∫ g (x) dx (25 )
2) Integral razlike u dvije funkcije jednaka je razlikovanju između odgovarajućih integrala: ∫ (f (x) - g (x)) d x \u003d ∫ f (x) d x - ∫ g (x) dx ( 26)
3) Konstanta se može izvući iz integralnog znaka: ∫ C F (x) D X \u003d C ∫ F (x) D X (27)
Lako je primijetiti da je nekretnina (26) samo kombinacija nekretnina (25) i (27).
4) Integral iz složene funkcije ako je interna funkcija linearna: ∫ F (A x + b) D X \u003d 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Ovdje je f (x) primitivni za funkciju f (x). Napomena: Ova je formula pogodna samo za slučaj kada interna funkcija ima pogled na sekiru + B.
Važno: Ne postoji univerzalna formula za integral iz proizvoda dvije funkcije, kao i za integralni iz frakcije:
∫ F (x) g (x) d x \u003d? ∫ F (x) g (x) d x \u003d? (trideset)
To, naravno, ne znači da se u frakciju ili rad ne mogu integrirati. Jednostavno svaki put, vidjevši integralni tip (30), morat ćete izmisliti način "borbe" s njim. U nekim ćete slučajevima moći integrirati u dijelove, negdje će morati zamijeniti varijablu, a ponekad i pomoć može imati čak i pomoć "Škola" formula Algebra ili trigonometrija.
Jednostavan primjer izračunavanja nesigurnog integralnog
Primjer 1. Pronađite integralni: ∫ (3 x 2 + 2 sin X - 7 E x + 12) D XKoristimo formule (25) i (26) (integral iznosa ili razlike funkcija jednak je iznosu ili razliku odgovarajućih integrala. Dobijamo: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x - ∫ 7 E x d x + ∫ 12 d x
Podsjetimo da se konstanta može izvršiti preko integralnog znaka (formula (27)). Izraz pretvoren u um
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x - 7 ∫ e \u200b\u200bx d x + 12 ∫ 1 d x
A sada jednostavno koristite tablicu glavnih integrala. Trebat ćemo primijeniti formule (3), (12), (8) i (1). Integrirajte funkciju napajanja, sinusa, eksponent i konstantnu 1. Ne zaboravite da dodate na kraj proizvoljne konstante sa:
3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + c
Nakon osnovnih transformacija, dobijamo konačni odgovor:
X 3 - 2 COS X - 7 E x + 12 x + C
Proverite se diferencijacijom: uzmite izvedena iz funkcije I provjerite je li jednak početnim načinima izražavanja.
Sažetak integralnog stola
| ∫ a d x \u003d a x + c |
| ∫ x d x \u003d x 2 2 + c |
| ∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + c |
| 1 x d x \u003d 2 x + c |
| 1 x d x \u003d ln | X | + C. |
| 1 x 2 d x \u003d - 1 x + c |
| ∫ x n d x \u003d x n + 1 n + 1 + c (n ≠ - 1) |
| ∫ E x D X \u003d E x + C |
| ∫ a x d x \u003d a x ln a + c (a\u003e 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x \u003d c h x + c |
| ∫ c h x d x \u003d s h x + c |
| ∫ SIN X D X \u003d - COS X + C |
| ∫ cos x d x \u003d grijeh x + c |
| ∫ 1 cos 2 x d x \u003d t g x + c |
| ∫ 1 sin 2 x d x \u003d - c t g x + c |
| 1 1 + x 2 d x \u003d A R C T G X + C \u003d - A R C C T G X + C |
| 1 x 2 + A 2 \u003d 1 A A R C T G X A + C (A ≠ 0) |
| 1 1 - x 2 d x \u003d Arcsin X + C \u003d - Arccos X + C |
| ∫ 1 A 2 - X 2 D X \u003d Arcsin X A + C \u003d - Arccos X A + C (A\u003e 0) |
| 1 x 2 + a 2 d x \u003d ln | x + x 2 + a 2 | + C. |
| 1 x 2 - A 2 D X \u003d LN | X + X 2 - A 2 | + C. |
| ∫ A 2 - X 2 D X \u003d X 2 A 2 - X 2 + A 2 2 Arcsin X A + C (A\u003e 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x \u003d x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a\u003e 0) |
| ∫ x 2 - a 2 d x \u003d x 2 x 2 - A 2 - A 2 2 ln | X + X 2 - A 2 | + C (a\u003e 0) |
Preuzmite integralnu tablicu (II dio) na ovoj vezi
Ako studirate na univerzitetu ako imate poteškoće sa najvišom matematikom (matematička analiza, linearna algebra, teorija vjerojatnosti, statistika), ako su vam potrebne usluge kvalificiranog učitelja, idite na stranicu tutor u najvišoj matematici . Vaše probleme ćemo riješiti zajedno!
Možda ćete i vi biti zainteresovani i
