Iracionalna funkcija iz varijable je funkcija koja se formira iz varijabilnih i proizvoljnih konstanti koristeći konačni broj operacija dodavanja, oduzimanja, množenja (erekcije u cjelobrojnom stupnju), diviziji i vađenje korijena. Iracionalna funkcija razlikuje se od racionalnog u tome da iracionalna funkcija sadrži operacije za vađenje korijena.

Postoje tri glavne vrste iracionalnih funkcija, neizvjesne integrale iz kojih se daju integrali iz racionalnih funkcija. To su integrali koji sadrže korijene proizvoljnih cjelobrojnih stupnjeva iz frakcijske linearne funkcije (korijenje može biti raznih stepeni, ali iz iste, frakcijske linearne funkcije); Integrali iz diferencijalne binome i integrala sa kvadratnim korijenom kvadratnih tri snimka.

Važna napomena. Korijeni su smisleni!

Pri izračunavanju integrala koji sadrže korijene, često se nalaze vrste obrasca, gdje postoji neka funkcija iz varijable integracije. Trebao bi se imati na umu da. To jeste, sa t\u003e 0, | T | \u003d T. . Sa T.< 0, | T | \u003d - t. Stoga, prilikom izračunavanja takvih integrala trebate zasebno uzeti u obzir slučajeve t\u003e 0 i T.< 0 . To se može učiniti ako pišete znakove ili gdje je potrebno. Implicirajući da se gornji znak odnosi na slučaj T\u003e 0 , a dno - do kućišta t< 0 . Sa daljnjom pretvorbom su se ovi znakovi obično međusobno smanjeni.

Mogući je drugi pristup u kojem se integrirala funkcija i rezultat integracije mogu smatrati složenim funkcijama iz složenih varijabli. Tada ne možete slijediti znakove u samostojećim izrazima. Ovaj pristup je primjenjiv ako je integrirana funkcija analitička, odnosno diferencirana funkcija iz složene varijable. U ovom slučaju integrirana funkcija i integralni to su multi-cijenjeni funkcije. Stoga, nakon integracije, prilikom zamjene numeričkih vrijednosti, potrebno je odabrati nedvosmislenu granu (rimansko površinu) integralne funkcije i odabrati odgovarajuću granu rezultata integracije.

Linearna iracionalnost

Ovo su integrali sa korijenima iz iste frakcijske linearne funkcije:
,
gdje je r racionalna funkcija - racionalni brojevi, m 1, n 1, ..., M s, n s su cijeli brojevi, α, β, γ, Δ - važeći brojevi.
Takvi se integrali svode se na integralni iz racionalne funkcije funkcije:
gdje je n zajednički nazivnik brojeva R 1, ..., r s.

Korijeni možda ne moraju nužno biti iz frakcijske linearne funkcije, ali i iz linearnog (γ \u003d 0, Δ \u003d 1) ili iz varijabla integracije x (α \u003d 1, β \u003d 0, γ \u003d 0, Δ \u003d 1).

Evo primjera takvih integrala:
, .

Integrali iz diferencijalnih binoma

Integrali iz diferencijalnih binara imaju obrazac:
,
Gdje je m, n, p racionalni brojevi, a, b - važeći brojevi.
Takvi se integrali svode na integrale sa racionalnih funkcija u tri slučaja.

1) Ako je P cijeli broj. Zamjena X \u003d T n, gdje je N ukupni nazivnik frakcija M i N.
2) ako je u cjelini. Zamjena A X N + B \u003d T m, gdje je m broj brojeva str.
3) ako je u cjelini. Zamjena A + B X - N \u003d T M, gdje je m nazivnik broja P.

U ostalim slučajevima, takvi integrali se ne izražavaju putem elementarnih funkcija.

Ponekad se takvi integrali mogu pojednostaviti pomoću formula:
;
.

Integrali koji sadrže kvadratni korijen kvadrata tri

Takvi integrali su:
,
gdje je r racionalna funkcija. Za svaki takav integral postoji nekoliko metoda rješenja.
1) Korištenje transformacija za dovođenje do jednostavnijih integrala.
2) Primijenite trigonometrijske ili hiperboličke zamjene.
3) Primijenite zamjene EULER-a.

Razmislite o tim metodama detaljnije.

1) Pretvaranje funkcije Integrand

Koristeći formulu i izvođenje algebarske transformacije, donesite funkciju ponovnog uvođenja na umu:
,
gdje su φ (x), ω (x) racionalne funkcije.

I upišem

Integral obrasca:
,
gde je p n (x) polinomna stepena n.

Takvi integrali su metoda neizvjesnih koeficijenata pomoću identiteta:

.
Razlikovanje ove jednadžbe i izjednačavanje lijevog i desnog dijela, nalazimo koeficijente a I.

II tip

Integral obrasca:
,
gde je p m (x) polinom stepena m.

Zamjena t \u003d. (X - α) -1 Ovaj integral se vozi na prethodni tip. Ako je m ≥ n, tada se frakcija treba dodijeliti cijelom dijelu.

III tip

Ovdje napravimo zamjenu:
.
Nakon čega će integral preuzeti obrazac:
.
Sljedeći, stalni α, β, morate odabrati takav da u nazivniku koeficijenti na T.
B \u003d 0, b 1 \u003d 0.
Tada se integral raspada zbroj integrala dvije vrste:
,
,
koji su integrirani zamjenima:
u 2 \u003d a 1 t 2 + c 1,
v 2 \u003d A 1 + C 1 T -2.

2) trigonometrijske i hiperboličke zamjene

Za integrale obrasca, a > 0 ,
Imamo tri glavne zamjene:
;
;
;

Za integrale, a > 0 ,
Imamo sljedeće zamjene:
;
;
;

I na kraju za integrale, a > 0 ,
Zamjene su sljedeće:
;
;
;

3) EULER zamjene

Takođe se integrali mogu smanjiti na integrale sa racionalnih funkcija jedne od tri zamjena Eulera:
, sa a\u003e 0;
, sa C\u003e 0;
Gdje je x 1 korijen jednadžbe A x 2 + b x + c \u003d 0. Ako ova jednadžba ima valjane korijene.

Eliptični integrali

Zaključno, razmotrite integrale obrasca:
,
gdje je r racionalna funkcija ,. Takvi se integrali nazivaju eliptičnim. Općenito, oni nisu izraženi kroz elementarne funkcije. Međutim, postoje slučajevi kada postoje odnosi između koeficijenata A, B, C, D, E, sa takvim integralima izraženi su kroz elementarne funkcije.

Ispod je primjer povezan s povratnim polinomima. Izračun takvih integrala vrši se pomoću zamjena:
.

Primer

Izračunajte integralni:
.

Odluka

Napraviti zamjenu.

.
Ovdje na x\u003e 0 (U\u003e. 0 ) Uzimamo gornji znak '+'. Sa X.< 0 (U.< 0 ) - Niže '-'.

.

Odgovoriti

Reference:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, prikupljanje zadataka na više matematike, "LAN", 2003.

U petom stoljeću prije nove ere, drevni grčki filozof Zenon Elayky formulirao je svoje poznate airione, čiji je najpoznatiji ahila i kornjača Aritia. Ovako zvuči:

Pretpostavimo da Ahil teče deset puta brže od kornjače, a stoji iza nje na udaljenosti od hiljadu koraka. Za to vrijeme, za koje se Achilled teče kroz ovu udaljenost, stotinu koraka će se srušiti na istoj strani. Kad Ahil teče stotinu koraka, kornjača će puzati desetak koraka i tako dalje. Proces će se nastaviti u beskonačnosti, Ahil se nikada neće uhvatiti do kornjače.

Ovo obrazloženje postalo je logički šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... Svi su nekako smatrali aprilologijom Zenona. Šok se pokazao tako jakim da " ... Rasprave se nastavljaju i trenutno, da dođu na opšte mišljenje o suštini paradoksa naučnoj zajednici još nije bilo moguće ... matematička analiza, teorija skupa, novih fizičkih i filozofskih pristupa bili su uključeni u novi fizički pristupi proučavanje problema; Nijedan od njih nije postao općenito prihvaćen izdanje problema ..."[Wikipedia," Yenon Apriya "]. Svi razumiju da su blokirani, ali niko ne razumije šta je obmana.

Sa stajališta matematike, Zeno u svojoj Aproriju jasno je pokazao prijelaz iz vrijednosti na. Ova tranzicija podrazumijeva primjenu umjesto konstantne. Koliko ja razumijem, matematički aparat upotrebe varijabli jedinica mjerenja još uvijek nije još uvijek još uvijek, ili se nije primjenjivao na aporiciju Zenona. Upotreba naše obične logike vodi nas u zamku. Mi, inercijom razmišljanja, koristimo trajne mjerne jedinice vremena do pretvarača. Sa fizičkog stanovišta, izgleda kao usporavanje na vrijeme do potpunog zaustavljanja u trenutku kada se Ahil puni kornjača. Ako vrijeme zaustavlja, Ahil se više ne može prestići kornjaču.

Ako obično okrenete logiku, sve postaje na mjestu. Ahil se pokreće u stalnoj brzini. Svaki naredni segment njenog puta je deset puta kraći od prethodnog. U skladu s tim, vrijeme provedeno na prevladavanju, deset puta manje od prethodnog. Ako primijenite koncept "beskonačnosti" u ovoj situaciji, tačno će reći da će "Ahil beskonačno brzo uhvatiti kornjaču".

Kako izbjeći ovu logičku zamku? Ostanite u trajnim mjernim jedinicama i ne prelazite na obrnute vrijednosti. Na jeziku Zenona izgleda ovako:

Za to vrijeme, za koje Ahila vodi hiljadu koraka, sto koraka će puknuti kornjaču na istu stranu. Za sljedeći put interval, jednak prvom, Ahili će pokrenuti još hiljadu koraka, a kornjača će razbiti sto koraka. Sada je Achilles osam stotina koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup adekvatno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Na zenonskom Agraču ahila i kornjača vrlo je sličan izjavi Ajnštajna na neovjeravljivost brzine svjetlosti. Još uvijek moramo proučiti ovaj problem, preispitivati \u200b\u200bi riješiti. A odluka treba tražiti ne beskonačno veliki broj, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva jeenonska aprorija govori o letećim strelicama:

Leteća strelica je i dalje, jer u svakom trenutku počiva, a jer počiva u svakom trenutku, uvijek počiva.

U ovom dvorcu logički paradoks je vrlo jednostavan - dovoljno je da pojasni da se u svakom trenutku leteća strelica odmara u različitim točkama prostora, što u stvari, u stvari je kretanje. Ovdje morate napomenuti još jedan trenutak. Prema jednoj fotografiji automobila na putu, nemoguće je utvrditi činjenicu njegovog pokreta, niti udaljenost od njega. Da biste odredili činjenicu da se zategnuva od jedne fotografije u različitim bodovima, ali nemoguće je odrediti udaljenost. Da biste odredili udaljenost automobila, dvije fotografije napravljene od različitih mjesta prostora u jednom trenutku, ali nemoguće je odrediti činjenicu pokreta (prirodno, još uvijek su potrebni dodatni podaci za proračune, trigonometrija koja će vam pomoći). Ono što želim platiti posebnu pažnju je da su dva boda u vremenu i dvije točke u prostoru različite stvari koje ne bi trebalo zbuniti, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

srijeda, 4. jula 2018

Vrlo dobre razlike između mnogih i multiseta opisane su u Wikipediji. Izgledamo.

Kao što vidite, "Ne mogu biti dva identična elementa u skupu", ali ako su identični elementi u setu, postoje, takav se skup naziva "mix". Slična logika apsurdnog razumna bića nikad ne razumije. Ovo je nivo govornog papagaja i obučenih majmuna, koji nedostaju iz riječi "uopšte". Matematika djeluju kao obični treneri, propovijedajući naše apsurdne ideje.

Jednom su inženjeri koji su izgradili most tokom testova mosta bili u čamcu ispod mosta. Ako se most srušio, inženjer talenta poginuo je ispod olupine njegovog stvaranja. Ako je most izdržao teret, talentovani inženjer izgradio je druge mostove.

Kako se matematika ne sakrivala iza fraze "Chur, ja sam u kući", tačnije, "Matematika studija apstraktnih koncepata", postoji jedna pupčana vrpca, što ih neraskidivo veže sa stvarnošću. Ovaj pupčanički vrpca je novac. Primijeniti matematička teorija Postavlja samim matematikom.

Matematike smo predavali vrlo dobro i sada sjedimo na blagajni, izdajemo platu. To nam dolazi matematičar za vaš novac. Računamo na to cijeli iznos i izlažemo na vaš stol na različitim hrpama, u kojima dodajemo račune jednog dostojanstva. Tada preuzmemo iz svakog snopa na jedan račun i predali matematiku njegovog "matematičkog seta plaće". Objasnite matematiku da će ostatak računa dobiti samo kada dokazuje da se postavljen bez istih elemenata nije jednak postavljenom s istim elementima. Ovdje će početi najzanimljiviji.

Prije svega, logika poslanika će raditi: "Moguće je primijeniti na druge, prema meni - nisko!". Bit će postojanja daljnjeg uvjeravanja da postoje različiti brojevi na računima jednakog dostojanstva, što znači da se ne mogu smatrati istim elementima. Pa, prebrojite platu sa novčićima - nema brojeva na novčićima. Ovdje će matematičar početi ne voljeti fiziku: na različitim novčićima postoji drugačija količina prljavštine, kristalne strukture i lokacija atoma svaki novčić je jedinstven ...

A sada imam najzanimljivije pitanje: Gde je linija, iza koje se elementi multisamenta pretvore u elemente seta i obrnuto? Takvo lice ne postoji - svi rješavaju šamanke, nauku ovdje i ne laže blizinu.

Evo izgleda. Uzimamo fudbalski stadioni s istim područjem polja. Područje polja je isto - znači da imamo višestruku. Ali ako razmotrimo imena istih stadiona - imamo mnogo, jer su imena različita. Kao što vidite, isti set elemenata je i set i multiset. Kako tačno? I ovdje matematičar-shaman-shuller izvlači Trump As iz rukava i počne nam reći ili o setu ili o multisetu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti na nju pravo.

Da biste shvatili kako moderni shamans upravljaju teorijom setova, zavežite ga u stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog postavljanja razlikuju od elemenata drugog seta? Pokazat ću vam, bez ikakvog "zamišljenog kao ni jednog cjelina" ili "nije promišljeno u cjelini".

nedelja, 18. marta 2018. godine

Količina brojeva je ples šamana s tamburinom, koji nema nikakav odnos prema matematici. Da, u lekcijama matematike, naučemo da pronađemo količinu broja brojeva i koristimo ga, ali oni su šamani da obučavaju vaše potomke na njihove vještine i mudrosti, u protivnom će se šamani jednostavno očistiti.

Trebaju li vam dokaze? Otvorite Wikipedia i pokušajte pronaći broj stranice brojeva. Ne postoji. Ne postoji formula u matematici na kojoj možete pronaći količinu broja bilo kojeg broja. Uostalom, brojevi su grafički simboli, sa kojima pišemo brojeve i na matematičkom jeziku, zadatak zvuči ovako: "Pronađite zbroj grafičkih znakova koji prikazuju bilo koji broj". Matematika ne može riješiti ovaj zadatak, ali šamani su elementarni.

Hajde da se pozabavimo šta i kako radimo kako bismo pronašli količinu broja navedenog broja. I tako, neka imamo broj od 12345. Šta treba učiniti kako bi se pronašla količina broja ovog broja? Razmotrite sve korake u redu.

1. Snimite broj na komadu papira. Šta smo radili? Broj smo transformirali u grafički simbol broja. Ovo nije matematičko djelovanje.

2. Izrezali smo jednu sliku dobivenu na nekoliko slika koje sadrže pojedinačne brojeve. Slike rezanja nije matematička akcija.

3. Pretvaramo pojedinačne grafičke znakove u brojevima. Ovo nije matematičko djelovanje.

4. Sklonimo brojeve. Ovo je već matematika.

Iznos broja 12345 je 15. Ovo su "sekači i kursevi za šivanje" iz šamana nanošenje matematičara. Ali to nije sve.

Sa stajališta matematike, nije važno u kojem broju sistema pišemo broj. Dakle, u različiti sistemi Broj brojeva broja istog broja bit će različiti. U matematici, broj brojeva označen je u obliku donjeg indeksa s desne strane broja. Sa velikim brojem 12345, ne želim zavaravati glavu, razmotriti broj 26 člana. Ovaj broj pišemo u binarnim, oktalnim, decimalnim i heksadecimalnim brojevima. Svaki korak nećemo smatrati pod mikroskopom, već smo učinili. Pogledajmo rezultat.

Kao što vidite, u različitim brojevima, zbroj brojeva istog broja dobiva se različito. Ovaj rezultat za matematiku nema nikakve veze. To je poput određivanja područja pravokutnika u metrima i centimetrima, dobili biste potpuno različite rezultate.

Nula u svim prenapkivanjem izgleda isto i količina brojeva nema. Ovo je još jedan argument u korist onoga. Pitanje matematičarima: Kako je u matematici naznačeno da nije broj? Šta, za matematičare, ništa osim brojeva ne postoji? Za Shamans mogu biti dozvoljeni, ali za naučnike - br. Realnost se sastoji samo od brojeva.

Dobiveni rezultat treba smatrati dokazom da su brojni sustavi jedinica brojeva. Uostalom, ne možemo upoređivati \u200b\u200bbrojeve sa različite jedinice Mjerenja. Ako ista akcija s različitim mjernim jedinicama iste vrijednosti dovodi do različitih rezultata nakon njihove usporedbe, to znači da nema nikakve veze sa matematikom.

Šta je prava matematika? To je kada rezultat matematičkog djelovanja ne ovisi o vrijednosti broja koji se koristi mjernom jedinicom i na ko vrši ovu akciju.

Ploča na vratima Otvara vrata i kaže:

Oh! Nije li to ženski toalet?
- Djevojko! Ovo je laboratorija za proučavanje neodrelene svetosti duša u uspon na nebo! Nimbi odozgo i strelica gore. Šta drugo toalet?

Žena ... Nimbi odozgo i arogantna dolje - to je muško.

Ako vi na dan nekoliko puta dnevno treperi ovo je djelo dizajnerske umjetnosti,

Tada to ne iznenađuje da u vašem automobilu odjednom pronađete čudnu ikonu:

Osobno se trudim da budem u ličnoj osobi (jedna slika), da vidim minus četiri stupnjeva (sastav nekoliko slika: minus znaka, broj četiri, oznaka stepena). I ne mislim da je ova djevojka budala koja ne poznaje fiziku. To je jednostavno luk stereotip percepcije grafičkih slika. I matematike Konstantno se uči. Evo primjera.

1A nije "minus četiri stepena" ili "jedan a". Ovo je "list za maženje" ili broj "dvadeset šest" u heksadecimalni sistem Bilješka. Oni koji stalno rade u ovom broju sistema automatski percipiraju figuru i pismo kao jedan grafički simbol.

Složeni integrali

Ovaj članak upotpunjava predmet neizvjesnih integrala, a u njemu su uključeni integrali koji smatram prilično kompliciranim. Lekcija je stvorena na opetovanim zahtjevima posjetitelja koji su izrazili želje tako da se teški primjeri demontiraju na mjestu.

Pretpostavlja se da je čitač ovog teksta dobro pripremljen i zna kako primijeniti glavne tehnike integracije. TEAPOTI I LJUDI KOJI NISU SAMO SAVRŠENI SA INTEGRALIMA trebaju se uputiti na prvu lekciju - Neizvjestan integral. Primjeri rješenjaGdje možete savladati temu s gotovo nulom. Iskusniji studenti mogu se upoznati sa tehnikama i metodama integracije, što u mojim člancima još uvijek nisu ispunili.

Koji će se integrali uzeti u obzir?

Prvo ćemo razmotriti integrale sa korijenima, za rješavanje koje se dosljedno koristi zamena varijable i integracija u dijelove. To je, u jednom primjeru, dva prijema su kombinirana. I još više.

Tada ćemo se upoznati sa zanimljivim i originalnim informacije o metodi integralno za sebe. Ova metoda se rješava ne tako nekoliko integrala.

Treći broj programa preći će integrale iz složenih frakcija koje su u prethodnim člancima preletjele u prošle blagajne.

Četvrto, bit će rastavljeni dodatni integrali iz trigonometrijskih funkcija. Posebno postoje metode koje vam omogućuju izbjegavanje vremena koje konzumiraju vrijeme univerzalne trigonometrijske zamjene.

(2) U funkciji Integrand, brojčanik na denominatoru.

(3) Korištenje nekretnine linearnosti nije određeni integralni. U posljednjem integralnom odmah pomesti funkciju pod znakom diferencijala.

(4) Uzmite preostale integrale. Imajte na umu da u logaritam možete koristiti zagrade, a ne modul, od tada.

(5) Imamo zamjenu, izražavajući iz direktne zamjene "TE":

Mazohijski studenti mogu indiferantirati odgovor i dobiti originalnu funkciju integranta kao što sam upravo učinio. Ne, ne, ispunio sam verifikaciju u pravom smislu \u003d)

Kao što vidite, tokom odluke morao sam koristiti još više od dvije odluke rješenja, tako da su za represalije sa sličnim integralima potrebne su povjerljive integracije i ne najmanju iskustvo.

U praksi, naravno, kvadratni korijen je češći, evo tri primjera za neovisno rješenje:

Primjer 2.

Pronađite neodređeni integral

Primjer 3.

Pronađite neodređeni integral

Primjer 4.

Pronađite neodređeni integral

Ovi primjeri iste vrste, tako da će kompletno rješenje na kraju članka biti samo na primjer 2, u primjerima 3-4 - jedan odgovori. Koja zamjena da se prijavi na početku odluka, očito mislim. Zašto sam pokupio istu vrstu primjera? Često se nalaze u vašoj ulozi. Češće, možda, samo nešto slično .

Ali ne uvijek, kada su pod arctgennes, sinusom, kosine, eksponencijalnim itd. Karakteristike su korijen linearne funkcije, potrebno je primijeniti nekoliko metoda. U nekim je slučajevima moguće "riješiti se", odnosno odmah nakon zamjene dobiva se jednostavan integral koji je elementarni. Najlakši predloženi zadaci je primjer 4, u njemu nakon zamjene ispada relativno jednostavan integral.

Informacije o metodi integralno za sebe

Duhovit i lijepa metoda. Odmah razmotrite klasiku žanra:

Primjer 5.

Pronađite neodređeni integral

Pod korijenom se nalazi kvadratni biccun, a kada pokušavate integrirati ovaj primjer, čajnik može patiti satima. Takav integral se uzima na dijelove i svodi se na sebe. U principu, nije teško. Ako znate kako.

Označite u razmatranim integralnim latino pismo i započnite rješenje:

Integriramo se u dijelove:

(1) Pripremamo funkciju zamjene za podjelu tla.

(2) Podijelimo zamjenu. Možda ne svi jasno, napisat ću detaljnije:

(3) korištenje nekretnine linearnosti neizvjestan integral.

(4) Uzmite posljednji integral ("dugi" logaritam).

Sada gledamo na samog početka odluke:

I na kraju:

Šta se desilo? Kao rezultat naših manipulacija, integral je stigao do sebe!

Izjednačavamo početak i kraj:

Prenosimo se na lijevu stranu promjenom znaka:

I demo demoloze s desne strane. Kao rezultat:

Konstantna, strogo gledano, morala je biti dodana ranije, ali pripisala je na kraju. Toplo preporučujem čitanje onoga što je ovdje za strogo:

Bilješka: Strože završna faza rješenja izgleda ovako:

Na ovaj način:

Konstanta se može ponovo upotrijebiti. Zašto možete ponoviti? Jer još uvijek traje bilo koji Vrijednosti i u tom smislu između konstante i nema razlike.
Kao rezultat:

Takav trik sa preplavljenim konstantom se široko koristi u diferencijalne jednadžbe. I tu ću biti strog. A ovdje je takva sloboda dopuštena samo da vas ne zbunim ne zbunjuju suvišnim stvarima i fokusirati se na sam metodu integracije.

Primjer 6.

Pronađite neodređeni integral

Još jedan tipičan integral za samoposluživanje. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Razlika s odgovorom prethodnog primjera bit će!

Ako je kvadratni korijen kvadratni trostruki, tada se rješenje u svakom slučaju smanjuje na dva rastavljena primjera.

Na primjer, razmotrite integralni . Sve što trebate učiniti je pre- odaberite cijeli kvadrat:
.
Zatim se vrši linearna zamjena koja košta "bez ikakvih posljedica":
Kao rezultat toga, prikuplja se integral. Nešto poznato, zar ne?

Ili takav primjer, sa kvadratom odbijenim:
Izdvajamo puni kvadrat:
I nakon linearne zamjene dobivamo sastavnicu, koji je također riješen algoritmom koji je već razmotren.

Razmotrite još dva tipičan primjer Na informaciji prijema integralni sebi:
- Integral sa izlagača pomnoženo sa sinusom;
- Integral sa izlagača pomnožen sa Cosineom.

U navedenim integralima u dijelovima morat će se integrirati dva puta:

Primjer 7.

Pronađite neodređeni integral

Funkcija Integrand je izlagač pomnoženi sa sinusom.

INTERESTEM Dva puta u dijelove i donosimo integralni sebi:

Kao rezultat dvosmernih integracija u dijelove, integral se dobio na sebe. Izjednačavamo početni i završni rješenja:

Prenosimo se na lijevu stranu promjenom znaka i izražavamo naš integralni:

Spremni. Takođe, poželjno je boriti se protiv desne strane, I.E. Da biste napravili eksponent za nosače, a u zagradama za polaganje sinusa sa kosinusom u "prelijepim" redoslijedu.

Sada se vratimo na početak primjera, ili bolje rečeno - na integraciju u dijelove:

Jer smo imenuli izlagača. Postavlja se pitanje, uvijek je potrebno nazvati izlagaču? Nije potrebno. U stvari, u ispitivanom integralu princip nema razlikeŠta se poziva, bilo je moguće ići na drugi način:

Zašto je to moguće? Budući da se izlagač pretvara u sebe (i za vrijeme diferencijacije i tokom integracije), sinus sa Cosineom međusobno se postavlja (opet - i za vrijeme diferencijacije i tokom integracije) i tokom integracije).

To jest, trigonometrijska funkcija može se označiti. Ali, u ispitivanom primjeru, to je manje racionalno, jer će se pojaviti frakcije. Ako želite, možete pokušati riješiti ovaj primjer na drugi način, odgovori se moraju poklačati.

Primjer 8.

Pronađite neodređeni integral

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Prije nego što odlučite, razmislite o tome profitabilnije u ovom slučaju da odredite, eksponent ili trigonometrijsku funkciju? Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

I, naravno, ne zaboravite da je većina odgovora ove lekcije prilično lako provjeriti diferencijaciju!

Primjeri nisu smatrani najtežim. U praksi su integrali češće pronađeni, gdje postoji konstanta u pokazatelju eksponenta i u argumentu trigonometrijske funkcije, na primjer :. Mislio sam u sličnom integralu morat će puno napraviti, često me zbunim. Činjenica je da u rješavanju vjerojatnosti pojave frakcija, i vrlo je jednostavno nešto intenzivno izgubiti. Pored toga, verovatnoća grešaka u znakovima je odlična, imajte na umu da u pokazatelju eksponenala nalazi se minus znak, a to čini dodatnu poteškoću.

U završnoj fazi se često dobija otprilike sljedeće:

Čak bi i na kraju odluke trebao biti izuzetno pažljiv i kompetentno bavljenje frakcijama:

Integriranje složenih frakcija

Polako stižemo do lekcije ekvatora i počnu razmatrati integrale iz frakcija. Opet, nisu svi supershit, samo iz jednog razloga ili neki drugi primjeri bili su pomalo "ne u temi" u drugim člancima.

Nastavljamo temu korijena

Primjer 9.

Pronađite neodređeni integral

U nazivniku, pod korijenom nalazi se kvadratni trostalan plus izvan korijena "Poboljšaj" u obliku "Ikse". Integral ove vrste rešen je korištenjem standardne zamjene.

Mi odlučujemo:

Zamjena ovdje je jednostavna:

Gledamo život nakon zamjene:

(1) Nakon zamjene, dajemo cjelokupnim uvjetima naziva pod korijenom.
(2) Izdržavamo iz korijena.
(3) Brojčanik i nazivnik koji se smanjuju na. Istovremeno, pod korijenom, prekršio sam komponente u udoban nalog. Sa određenim eksperimentom, koraci (1), (2) mogu se preskočiti izvođenjem komentiranih akcija usmeno.
(4) Rezultirajući integralni, kao što se sećate iz lekcije Integriranje nekih frakcija, odlučuje način raspodjele cijelog kvadrata. Odaberite cijeli kvadrat.
(5) Integracija dobijamo maksimalan "dug" logaritam.
(6) Provesti zamjenu. Ako u početku, onda nazad :.
(7) Konačna akcija je usmjerena na frizuru rezultata: pod korijenom, oni ponovo dovode komponente u cjelokupni nazivnik i izdržati iz korijena.

Primjer 10.

Pronađite neodređeni integral

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Ovdje je konstanta dodana u usamljeni "ICSU", a zamjena je gotovo ista:

Jedino što trebate dodatno učiniti je izričiti "X" iz zamjene:

Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Ponekad u takvom integralnom pod korijenu može doći do četvrtastim prepisom, ne mijenja rješenje za rješavanje, bit će još lakše. Osjetite razliku:

Primjer 11.

Pronađite neodređeni integral

Primjer 12.

Pronađite neodređeni integral

Kratke odluke i odgovore na kraju lekcije. Treba napomenuti da je primjer 11 tačno binom integral, čija je odluka razmatrana u lekciji Integrali iz iracionalnih funkcija.

Integral iz nesposodnog polinoma od 2. stepena do stepena

(polinom u nazivniku)

Retki, ali, ipak, sastanak u praktični primjeri Vrsta integralnog.

Primjer 13.

Pronađite neodređeni integral

Ali vrati se na primjer sretan broj 13 (iskreno, nije odgovaralo). Ovaj integral je i iz kategorije onih s kojima možete biti dovoljno prilično ako ne znate kako riješiti.

Odluka započinje umjetnom transformacijom:

Kako podijeliti brojeve na nazivnik, mislim da se sve razumije.

Rezultirajući integral se uzima u dijelovima:

Za prikaz integralnog (- prirodnog broja) uklonjen ponavljajući Formula za smanjenje stepena:
gde - Integralni stepen niži.

Uvjeren ću se u pravdu ove formule za integral proroka.
U ovom slučaju :, Koristimo formulu:

Kao što vidite, odgovori se podudaraju.

Primer 14.

Pronađite neodređeni integral

Ovo je primjer za neovisno rješenje. U uzorku rješenja, gore spomenuta formula bila je dva puta.

Ako se pod stepenom nalazi neovisan o multiplikatorima Trostruk kvadrat, tada se rješenje spušta da bi se nagrizalo tako da istakne kompletan kvadrat, na primjer:

Što ako vam dodatno nalazite u brojevniku, postoji polinom? U ovom se slučaju koristi metoda neodređenih koeficijenata, a integrirana funkcija opisana je u količini frakcija. Ali u mojoj praksi takvog primjera nisam se sreo, pa sam propustio ovaj slučaj U članku Integrali iz frakcijske racionalne funkcijeNedostaje mi i sada. Ako se takav integral još uvijek sastaje, pogledajte udžbenik - sve je tamo jednostavno. Ne smatram da je u potpunosti uključivanje materijala (čak jednostavno), vjerojatnost sastanka s kojim teži za nulu.

Integracija složenih trigonometrijskih funkcija

Pridjev "Kompleks" za većinu primjera je na mnogo načina uvjetovanje. Započnimo s tangentima i kotangenima u visokim stupnjevima. Sa stajališta na metode rješavanja tangenta i kotangenta, gotovo iste stvari, pa ću govoriti više o tangenciji, što impliciram da je pokazao prijem rješenja integrala fer i za kotangent.

Na gornjoj lekciji razmatrali smo univerzalna trigonometrijska zamjena Da biste riješili određenu vrstu integrala iz trigonometrijskih funkcija. Nedostatak univerzalne trigonometrijske supstitucije je da se kada se koriste, često se javljaju glomazni integrali s teškim proračunima. A u nekim slučajevima univerzalne trigonometrijske zamjene može se izbjeći!

Razmotrite još jedan kanonski primjer, integral iz jedinice podijeljen u sinus:

Primjer 17.

Pronađite neodređeni integral

Ovdje možete koristiti univerzalnu trigonometrijsku zamjenu i dobiti odgovor, ali postoji racionalniji put. Daću kompletno rješenje sa komentarima za svaki korak:

(1) Koristite trigonometrijsku formulu dvostrukog ugla sine.
(2) Izvodimo umjetnu transformaciju: u nazivniku se dijelimo i pomnožimo.
(3) Prema poznatoj formuli u nazivniku, u tangenta prelazimo frakciju.
(4) pomesti funkciju pod znakom diferencijala.
(5) Uzmite integralni.

Par jednostavni primjeri Za samo rješenja:

Primer 18.

Pronađite neodređeni integral

NAPOMENA: Formula bi trebala koristiti najviše akcije I pažljivo izvršite slične prethodnom primjeru akcije.

Primjer 19.

Pronađite neodređeni integral

Pa, ovo je vrlo jednostavan primjer.

Puna rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Mislim da sada nema problema sa integralima:
itd.

Koja je ideja o metodi? Ideja je da uz pomoć transformacija, trigonometrijske formule za organizovanje u Integrama samo tangentima i tangentni derivat. Odnosno, radi se o zamjeni: . U primjerima 17-19, zapravo smo primijenili ovu zamjenu, ali integrali su bili tako jednostavni da košta ekvivalentni učinak - da sažeti funkciju pod znakom diferencijala.

Slični argumenti, kao što sam već propisana, možete potrošiti za Cotangent.

Postoji formalni preduvjet za upotrebu gornje zamjene:

Zbroj stepena kosinusa i sinusa je čitav negativan broj, npr.:

za integralni - čitav negativan broj.

! Bilješka : Ako integralna funkcija sadrži samo sinus ili samo kosinus, tada se integral uzima u negativnu neparni stupanj (najjednostavniji slučajevi u primjerima br. 11, 18).

Razmotrite nekoliko informativnih zadataka za ovo pravilo:

Primer 20.

Pronađite neodređeni integral

Zbroj stepena sinusa i kosine: 2 - 6 \u003d -4 je čitav negativan broj, što znači da se integral može smanjiti na tangente i njen derivat:

(1) Transontiramo nazivnika.
(2) Prema poznatoj formuli, dobivamo.
(3) Transoniramo nazivnika.
(4) Koristimo formulu .
(5) Predajte funkciju pod znakom diferencijala.
(6) Zamijenimo. Iskusniji studenti ne mogu se zamijeniti, ali još je bolje zamijeniti tangenta jednim slovom - manje rizika je zbunjen.

Primer 21.

Pronađite neodređeni integral

Ovo je primjer za neovisno rješenje.

Držite, prvak počni krugovi \u003d)

Često u funkciji Integrand je "Solyanka":

Primer 22.

Pronađite neodređeni integral

U ovom integralnom tangenta je u početku prisutna, koja odmah slijedi u već poznatoj misao:

Umjetna transformacija na samom početku i preostalih preostalih koraka bez komentara, jer je sve spomenuto gore.

Par kreativnih primjera za neovisno rješenje:

Primer 23.

Pronađite neodređeni integral

Primer 24.

Pronađite neodređeni integral

Da, u njima, naravno, moguće je sniziti stupanj sinusa, Cosine, da koristi univerzalnu trigonometrijsku supstituciju, ali odluka će biti mnogo efikasnija i kraća ako se provede kroz tangente. Kompletno rješenje i odgovori na kraju lekcije

primjena

Internetski integrali na mjestu za konsolidaciju studenata i školaraca kroz prošli kroz materijal. I obuku vaše praktične veštine. Potpuno plahovno integralno rješenje za vas za vas za nekoliko minuta pomoći će u određivanju svih faza procesa .. Kad god počne riješiti integralni internet, morate je identificirati, bez da se ta metoda ne može primijeniti ako se ne može primijeniti ako se ne može primijeniti ako se ne može primijeniti ako se ne može primijeniti ako to ne može primijeniti Prebrojite integralnu tablicu. Nije svaki tabelarni integral jasno vidljiv iz navedenog primjera, ponekad je potrebno pretvoriti izvornu funkciju da biste pronašli primitivni. U praksi se rješenje integrala svodi na interpretaciju problema za pronalaženje početnog, odnosno primitivne beskonačne porodice funkcija, ali ako su određene granice integracije, tada ostaje samo jedna funkcija u odnosu na laboratorijsku formulu do koji proračuni. Integrali Online - neodređen integral na mreži i specifičan integral na mreži. Integralna funkcija interneta je iznos bilo kojeg broja namijenjenih za njihovu integraciju. Stoga je neformalno, određeni integralni internet nalazi se područje između rasporeda funkcije i osi apscisa unutar integracije. Primjeri rješavanja zadataka sa integracijama. Dozvolite da izračunamo složeni integral u jednoj varijabli i pridružimo svoj odgovor daljnjim rješenjem problema. Moguće je da kažu, u čelu da pronađu integralni iz Integralne funkcije. Bilo koji integral s velikom preciznošću određuje površinu ograničene linije figure. Ovo je jedno od njenih geometrijskih značenja. Ova metoda olakšava položaj studenata. Nekoliko faza, u stvari neće imati mnogo utjecaja na vektorsku analizu. Integrirana internetska funkcija glavni je koncept integralnog računa .. rješenje neizvjesnih integrala. Prema glavnoj teorijskoj analizi, integracija je operacija, obrnuto diferencijacija, što pomaže u rješavanju diferencijalne jednadžbe . Postoji nekoliko različitih definicija operacije integracije koji se razlikuju u tehničkim detaljima. Međutim, svi su kompatibilni, odnosno dva načina za integraciju, ako se mogu primijeniti na ovu funkciju, dati će isti rezultat. Najjednostavniji je integral Riemanna - specifičan integralni ili neodređeni integral. Neformalni integral funkcije jedne varijable može se uvesti kao područje ispod grafikona (brojke zaključene između rasporeda funkcije i osi apscisa). Svaki takav podnask može potkrijepiti da će integral biti izuzetno potreban na samom početku važnog pristupa. Ne zaboravi! Pokušaj da pronađete ovo područje, možete razmotriti oblike koji se sastoje od određenog broja vertikalnih pravokutnika, čiji su osnove zajedno segment integracije i dobivaju se pri razdvajanju segmenta na odgovarajući broj malih segmenata. Rešavanje integrala Online .. Online integral - neodređen integral na mreži i specifičan integral na mreži. Rešavanje integrala na mreži: Neodređeni integral na mreži i specifičan integral na mreži. Kalkulator rješava integrale sa opisom detalja o akciji i besplatno! Neizvjestan integral na mreži za funkciju je kombinacija sve primarne ove funkcije. Ako je funkcija određena i kontinuirana u intervalu, tada ima primitivnu funkciju (ili primarnu porodicu). Integral definira samo izraz, uslove za koje se traže za pojavu takve potrebe. Bolje je pažljivo pristupiti ovom slučaju i iskusiti unutarnje zadovoljstvo iz obavljenog posla. Ali da izračunaju integralnu metodu razlikuje se od klasičnog, ponekad dovodi do neočekivanih rezultata i nemoguće je iznenaditi. Drago mi je što će činjenica da će imati pozitivnu rezonancu o onome što se događa. Spisak određenih integrala i nesigurnih integralnih integrala sa potpunim detaljnim postupnim rješenjem. Svi integrali s detaljnim mrežnim režimom. Neizvjestan integral. Pronalaženje neodređenog integralnog interneta vrlo je čest zadatak u većoj matematici i drugim tehničkim odjeljcima nauke. Osnovne metode integracije. Definicija integralnog, specifičnog i neodređenog integralnog, integralnog stola, Formula Newton-Laberder. I opet, na tablici integralnih izraza možete pronaći, međutim, još uvijek je potrebno, jer sve nije tako jednostavno kao što se može činiti na prvi pogled. Razmislite o zgradama koje su obavljene ranije nego što postoje greške. Određeni integralni i metode za njegov izračun. Specifičan integral na mreži s promjenjivom gornjom granicom. Rešavanje integrala na mreži. Svaki primjer koji će pomoći izračunavanju integralnog na formulama tablice bit će korisno vodstvo za djelovanje za studente bilo kojeg nivoa pripreme. Najvažniji korak ka tačnom odgovoru .. integrali na mreži. Neizvjesni integrali koji sadrže eksponencijalne i logaritamske funkcije. Rješavanje integrala na mreži - dobit ćete detaljno rješenje za različite vrste Integrali: Neizvjesna, definirana, interna. Kalkulator određenih integrala izračunava određenu integralnu internetsku internetsku internetsku funkciju u intervalu koristeći numeričku integraciju. Funkcija integral je analog iz sume sekvence. Neformalno gledano, određeni integral je područje dijela funkcije grafike. Online integralno rješenje .. Online integral - neodređen integral na mreži i specifičan integral na mreži. Često, takav integral određuje koliko je telo teže u odnosu na njegov predmet iste gustoće, a nije važno kakav je oblik, jer površina ne apsorbira vodu. Rešavanje integrala na mreži .. Internet integrali - neodređeni integral na mreži i specifičan integral na mreži. Kako pronaći internetski integral zna svaki student juniorskih kurseva. Na temelju školskog programa, ovaj dio matematike također se proučava, ali nije detaljno, već samo magarci tako teške i važne teme. U većini slučajeva studenti prelaze na studiju integrala s opsežnom teorijom, koji su također prethodili važnim temama, poput derivatnih i ograničenih prijelaza - oni su ograničenja. Rješenje integrala postepeno započinje najosetnijim primjerima iz jednostavnih funkcija, a završava se upotrebom mnogih pristupa i pravila predloženih u prošlom stoljeću, pa čak i mnogo ranije. Integralni računski računik upoznat je u lizumima i školama, odnosno u prosjeku obrazovne ustanove. Naše web mjesto uvijek će vam pomoći i internetsko integralno rješenje postat će obično obično za vas i najvažnije razumljivo zanimanje. Na bazi ovog resursa Možete lako postići savršenstvo u ovom matematičkom dijelu. Ispunjavanje koraka po korak prema pravilima, na primjer, poput integracije, u dijelovima ili korištenju Chebyshev metode, možete lako odlučiti o maksimalnom broju bodova Bilo koji test. Pa kako i dalje izračunavamo integralni, primjenjujući integralni poznati integralni stol, ali tako da je rješenje ispravno, tačno i s najvećim mogućim odgovorom? Kako naučiti ovo i da li je moguće učiniti konvencionalnim brucoškom u najkraćem mogućem roku? Odgovorit ćete na ovo pitanje potvrdno - možete! Istovremeno, nećete moći samo riješiti nikakav primjer, već i postići nivo inženjera visoke klase. Tajna je jednostavna kao i uvijek - potrebno je donijeti maksimalan napor, dati traženu količinu vremena za samoprema. Nažalost, niko nije smislio drugačiji način! Ali nije sve tako oblačno, kao što se čini na prvi pogled. Ako se na našem servisnoj web lokaciji upućujete na ovo pitanje, olakšat ćemo vam život, jer naša web stranica može detaljno izračunati integrale na mreži, sa vrlo velika brzina I besprijekorno tačan odgovor. U suštini, integral ne određuje kako utječe omjer argumenata na stabilnosti sistema u cjelini. Kad bi samo sve bilo uravnoteženo. Uz to kako ćete naučiti osnove ove matematičke teme, usluga može naći integral iz bilo kojeg integralnog funkcije ako bi se ovaj integral mogao dopustiti osnovne funkcije . Inače, integrali u praksi nisu potrebni u elementarnim funkcijama u praksi, nije potrebno pronaći odgovor u analitičkom ili, drugim riječima, izričito. Svi proračuni integrala svode se na definiciju primitivne funkcije iz određene integralne funkcije. Da biste to učinili, prvo izračunavaju neodređeni integral u svim zakonima matematike na mreži. Zatim, ako je potrebno, zamijenite gornje i donje vrijednosti integralnog. Ako ne trebate odrediti ili izračunati numeričku vrijednost neodređenog integrala, tada se konstanta dodaje u funkciju unaprijed oblika, čime se utvrđuje porodica primitivnih funkcija. Posebno mesto u nauci i općenito u bilo kojem inženjerskom području, uključujući mehaniku čvrstih medija, integracija opisuje čitave mehaničke sisteme, njihove pokrete i još mnogo toga. U mnogim slučajevima integral određuje zakon kretanja materijalne točke. Ovo je vrlo važno sredstvo u priključenim naukama u učenju. Skidanje iz ovoga, nemoguće je ne reći o velikim proračunima za utvrđivanje zakona postojanja i ponašanja mehaničkih sistema. Rešenja kalkulatora integrala Online web stranica je moćan alat za profesionalne inženjere. Definitivno vam garantujemo, ali da izračunate svoj integral može samo nakon što unesete prethodni izraz na polje Integrant funkcije. Ne bojte se učiniti greške, sve je u ovom pitanju popravljivo! Obično se rješenje integrala svodi na primjenu funkcija tablice od poznatih udžbenika ili enciklopedija. Kao i svaki drugi, neograničeni integral izračunat će se prema standardnoj formuli bez posebnih nepristojnih pritužbi. Lako i lako, studenti prvog kurseva hvataju se postavljeni materijal koji se proučava i za njih da pronađu integralni ponekad ne uzima više od dvije minute. A ako je student naučio integralni stol, tada se uopšte može imati na umu da utvrdi odgovore. Instalirajte funkcije varijablama u odnosu na površine u početku znači ispravan vektorski smjer u nekom trenutku apscisa. Nepredvidivo ponašanje površinskih linija uzima određene integrale za osnovu u izvoru odgovora matematičkih funkcija. Lijeva ruba lopte ne tiče se cilindra u kojoj je krug upisao ako u avionu gledam krišku. Zbir malih površina, razgrađen na stotine komadno kontinuirane funkcije Postoji sastavni internet iz određene funkcije. Mehaničko značenje integralnog je mnogo primijenjenih zadataka, ovo je određivanje količine tijela i izračunavanje tjelesne težine. Trostruki i dvostruki integrali sudjeluju samo ovim proračunima. Inzistiramo na tome da se rešenje integrala na mreži izvede samo pod nadzorom iskusnih nastavnika i putem brojnih čekova. integralni sami. Odgovaramo na to da su studenti besplatni i mogu se proći eksternom treningu, pripremajući se za test ili ispit u udobnom domu. Za nekoliko sekundi, naša usluga će pomoći svaku želju da izračunaju integralni iz bilo koje određene funkcije u varijabli. Provjerite rezultirajući rezultat treba uzeti izvod iz primitivne funkcije. Istovremeno, stalna iz otopine integralnog izvlači se na nulu. Ovo je pravilo očigledno za sve. Kako opravdava višestruke operacije, neograničeni integral često se smanjuje na podjelu područja u male dijelove. Međutim, neki studenti i školarci zanemaruju ovaj zahtjev. Kao što su uvijek internetski integrali mogu riješiti našu uslužnu web mjesto i ne postoje ograničenja na broju zahtjeva, sve je besplatno i dostupno svima. Nema mnogo takvih web lokacija koje u nekoj sekundi daju korak po korak od odgovora, a najvažnije sa velikom preciznošću i u prikladnom obliku. U posljednjem primjeru na petoj stranici domaćeg zadatka, ispunjen je da pokazuje potrebu za izračunavanjem integralnog u fazama. Ali nije potrebno zaboraviti kako je moguće pronaći integral uz pomoć gotovog servisa, testiranog i testira na hiljade čvrstih primjera na mreži. Kao takav integral određuje kretanje sistema, to nam je sasvim jasno i jasno o tome ukazuje na prirodu kretanja viskozne tekućine, što je opisano ovim sistemom jednadžbi.

Funkcija F (x), različita u ovom jaz, naziva se savršeno za funkciju F (x), ili integralnom od f (x), ako je za bilo koji x ∈x, jednakost je istinita:

F "(x) \u003d f (x). (8.1)

Pronalaženje svih primarnih za ovu značajku naziva se integracija. Neizvjesna integralna funkcijaf (x) Na ovom se razmaku naziva set svih primitivnih funkcija za funkciju f (x); Oznaka -

Ako je F (x) neka vrsta funkcionalne funkcije f (x), a zatim ∫ f (x) dx \u003d f (x) + c, (8.2)

gde postoji proizvoljna konstanta.

Integrali za stol

Izravno iz definicije dobijamo osnovna svojstva neizvjesnog integralnog i popisa tabelarnih integrala:

1) d∫f (x) dx \u003d f (x)

2) ∫df (x) \u003d f (x) + c

3) ∫AF (X) DX \u003d A∫F (X) DX (A \u003d CONST)

4) ∫ (f (x) + g (x)) dx \u003d ∫f (x) dx + ∫g (x) dx

Lista tabelarnih integrala

1. ∫x m dx \u003d x m + 1 / (m + 1) + c; (m ≠ -1)

3.∫a x dx \u003d A x / ln a + c (a\u003e 0, a ≠ 1)

4.∫e x dx \u003d e x + c

5.∫sin x dx \u003d cosx + c

6.∫Cos X DX \u003d - SIN X + C

7. \u003d Arctg X + C

8. \u003d Arcsin X + C

10. \u003d - CTG X + C

Zamena varijable

Za integraciju mnogih funkcija metoda zamjene varijable ili zamjeneomogućujući donošenje integrala u tabelarni oblik.

Ako je funkcija F (z) kontinuirana za [α, β], funkcija Z \u003d g (x) ima kontinuirani derivat i α ≤ g (x) ≤ β, zatim

∫ F (g (x)) g "(x) dx \u003d ∫f (z) dz, (8.3)

Štaviše, nakon integracije, zamjena Z \u003d g (x) treba izvršiti u desnom dijelu.

Da biste dokazali, dovoljno je za pisanje izvora integralnog u obrascu:

∫ F (g (x)) g "(x) dx \u003d ∫ f (g (x)) dg (x).

Na primjer:

Metoda integracije u dijelovima

Neka vam u \u003d f (x) i v \u003d g (x) budu funkcije koje su kontinuirane. Zatim, po poslu,

d (UV)) \u003d UDV + VDU ili UDV \u003d D (UV) - VDU.

Za izraz D (UV), prvo, očigledno će biti UV, pa je formula:

∫ UDV \u003d UV - ∫ VDU (8.4.)

Ova formula izražava pravilo integracija u dijelove. To rezultira integracijom izraza UDV \u003d UV "DX na integriranje izraza VDU \u003d VU" DX.

Ostavite, na primjer, morate pronaći ∫xcosx dx. Stavite u \u003d x, dv \u003d cosxdx, tako da je du \u003d dx, v \u003d sinx. Onda

∫xcosxdx \u003d ∫x d (grijeh x) \u003d x sin x - ∫sin x dx \u003d x sin x + cosx + c.

Pravilo integracije u dijelovima ima ograničeniji opseg od zamjene varijable. Ali na primjer, postoje cijele klase integrala, na primjer,

∫x k ln m xdx, ∫x k Sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e sjekira i drugi koji se izračunavaju pomoću integracije u dijelove.

Određeni integralni

Koncept određenog integralnog je poboljšan na sljedeći način. Neka funkcija F (x) definira u segmentu. Slomimo segment [A, B] na n. Dijelovi točkice A \u003d x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x I \u003d x I - x I-1. Zbroj obrasca F (ξ i) Δ x i zovem se integralna svota, a njegova granica na λ \u003d maxδx i → 0, ako postoji i je konačna, zvana Određeni integralnifunkcije f (x) od sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: prije b. I naznačeno:

F (ξ i) Δx I (8.5).

Funkcija F (x) u ovom se slučaju naziva integrirajući na rez, brojevi A i B nazivaju se Donja i gornja integralna granica.

Za određenu integralnu, sljedeća svojstva su važeća:

4), (k \u003d const, k∈r);

5)

6)

7) F (ξ) (b - a) (ξ∈).

Posljednja imovina se zove Teherest o prosječnom značenju.

Neka F (x) bude kontinuiran. Tada postoji neodređeni integral na ovom segmentu

∫f (x) dx \u003d f (x) + c

i odvija se formula Newton Labitsa, obvezujući određeni integralni sa nesigurnim:

F (b) - F (a). (8.6)

Geometrijska interpretacija: određeni integral je površina zakrivljenog trapeza, ograničenog od krivulje y \u003d f (x), ravno x \u003d a i x \u003d b i segment osi i segment osi Vol..

Nevažeći integrali

Integrali sa beskonačnim granicama i integrali iz prekida (neograničenih) funkcija se nazivaju nekompatibilno. Nekompatibilni integrali i ljubazni - Ovo su integrali na beskonačnom japu definiranim na sljedeći način:

(8.7)

Ako ta granica postoji i je konačna, a zatim naziva konvergiranje nepotpunog integralnog od F (x) U intervalu [A, + ∞), a funkcija F (x) se zove integriran u beskonačan interval[A, + ∞). Inače o integralu kažu on ne postoji ili ne divljački.

Na isti način se određuju neshvatljivi integrali u intervalima (-∞, b] i (-∞, + ∞):

Definiramo koncept integralnog od neograničene funkcije. Ako je F (x) kontinuirano za sve vrijednosti x. Rez, osim točke C, u kojem f (x) ima beskrajni jaz, a zatim Nekompatibilni integral II rod od F (x) u rasponu od A do b Iznos se naziva:

ako ove granice postoje i ograničeni su. Oznaka:

Primjeri izračunavanja integrala

Primjer 3.30. Izračunajte ∫dx / (x + 2).

Odluka. Označavaju t \u003d x + 2, zatim dx \u003d dt, ∫dx / (x + 2) \u003d ∫dt / t \u003d ln | t | + C \u003d ln | x + 2 | + C.

Primjer 3.31. Pronađi ∫ TGXDX.

Odluka.∫ tgxdx \u003d ∫sinx / cosxdx \u003d - ∫dcosx / cosx. Neka t \u003d cosx, tada ∫ tgxdx \u003d -∫ dt / t \u003d - ln | t | + C \u003d -LN | CoSX | + C.

Primer3.32 . Pronađi ∫dx / sinx

Odluka.

Primer3.33. Naći .

Odluka. = .

Primer3.34 . Pronađi ∫arctgxdx.

Odluka. Integriramo se u dijelove. Označavaju u \u003d arctgx, dv \u003d dx. Tada Du \u003d DX / (x 2 +1), V \u003d x, odakle ∫arctgxdx \u003d xarctgx - ∫ xdx / (x 2 +1) \u003d xarctgx + 1/2 ln (x 2 +1) + c; kao
∫xdx / (x 2 +1) \u003d 1/2 ∫D (x 2 +1) / (x 2 +1) \u003d 1/2 ln (x 2 +1) + c.

Primer3.35 . Izračunajte ∫lnxdx.

Odluka. Koristeći formulu integracije u dijelove, dobivamo:
U \u003d lnx, DV \u003d DX, du \u003d 1 / x DX, V \u003d x. Zatim ∫lnxdx \u003d xlnx - ∫x 1 / x dx \u003d
\u003d XLNX - ∫DX + C \u003d XLNX - X + C.

Primer3.36 . Izračunajte ∫e x sinxdx.

Odluka. Označavaju u \u003d e x, dv \u003d sinxdx, a zatim du \u003d e x dx, v \u003d ∫sinxdx \u003d - cosx → ∫ e x sinxdx \u003d - E x cosx + ∫ e x cosxdx. Integral ∫e x cosxdx se takođe integrira u dijelove: U \u003d e x, dv \u003d cosxdx, du \u003d e x dx, v \u003d sinx. Imamo:
∫ E x cosxdx \u003d e x sinx - ∫ e x sinxdx. Primljen ∫e x sinxdx \u003d - E x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, odakle 2∫e x sinx dx \u003d - E x cosx + e x sinx + s

Primer 3.37. Izračunajte j \u003d ∫cos (lnx) DX / X.

Odluka.Od DX / X \u003d DLNX, tada J \u003d ∫Cos (LNX) D (LNX). Zamena LNX-a putem T, dolazimo do tablice Integral J \u003d ∫ Costdt \u003d Sint + C \u003d Grijeh (LNX) + C.

Primer 3.38 . Izračunati j \u003d.

Odluka. S obzirom na to \u003d d (lnx), proizvedemo LNX \u003d T zamjenu. Tada J \u003d. .

Primer 3.39 . Izračunajte integral J \u003d .

Odluka.Imamo: . Stoga \u003d.
=
\u003d. Ulazi se tako sqrt (tan (x / 2)).

A ako kliknete na staze Prikaži u gornjem desnom uglu, onda nabavite detaljno rješenje.