Zadatak 5.

Stanje: Uređaj se može sastaviti od visokokvalitetnih dijelova i običnih kvalitetnih dijelova. 40% uređaja je sastavljeno od visokokvalitetnih dijelova.

Za visokokvalitetni uređaj, njegova pouzdanost u vremenskom intervalu t iznosi 0,95, a za konvencionalne uređaje pouzdanost je 0,7. Uređaj je testiran za vrijeme t i radio je besprijekorno.

Pronađite vjerovatnoću da je sastavljen od visokokvalitetnih dijelova.

Rješenje: H 1 - uređaj je sastavljen od visokokvalitetnih dijelova,

H 2 - uređaj je sastavljen od dijelova običnog kvaliteta.

Vjerovatnoća ovih hipoteza prije iskustva:

Kao rezultat eksperimenta, uočen je događaj A - uređaj je radio besprijekorno za vrijeme t.

Uslovne vjerovatnoće ovog događaja pod hipotezama H 1 i H 2 su:

Pronalazimo vjerovatnoću hipoteze H 1 nakon eksperimenta:

varijansa srednjeg kvadrata vjerojatnosti matematička

Matematička statistika

Vježba 1.

Stanje: Sastavite zakon raspodjele diskretne slučajne varijable X, izračunati matematičko očekivanje, varijansu i standardnu ​​devijaciju slučajne varijable.

Lovac gađa divljač dok ne pogodi, ali ne može ispaliti više od tri hica. Vjerovatnoća da ćete pogoditi svaki metak je 0,6. Sastavite zakon raspodjele slučajne varijable X - broj hitaca koje je strijelac ispalio. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu ​​devijaciju slučajne varijable.

Rješenje: Vjerovatnoća da je broj promašaja 0 je 0,6

• - vjerovatnoća da je broj promašaja jednak 1 jednaka je 0,4 0,6 = 0,24 (promašen u prvom, pogodak u drugom)
• - vjerovatnoća da je broj promašaja 2 jednaka je 0,4 0,4 ​​0,6 = 0,096 (nije pogodio u prva dva, pogodio u trećem)
• - vjerovatnoća da je broj promašaja 3 jednaka je 0,4 0,4 ​​0,4 ​​= 0,064 (nije pogodio u prva tri)

Matematičko očekivanje je 0 0,6+1 0,24+2 0,096+3 0,064 = 0,624

M(x*x)=0,24 +0,384+0,576=1,2

D(x)=1,2-0,389376=0,810624

Zadatak 2.

Stanje: Slučajna vrijednost X dato funkcijom distribucije F(X).

Jedan od najvažnijih koncepata teorije vjerovatnoće je koncept slučajna varijabla.

Slučajno pozvao vrijednost, koji kao rezultat testova uzima određene moguće vrijednosti koje nisu unaprijed poznate i zavise od slučajnih uzroka koji se ne mogu unaprijed uzeti u obzir.

Slučajne varijable su označene velika slova latinica X, Y, Z itd. ili velikim slovima latinice sa desnim indeksom, a vrijednosti ​​koje mogu poprimiti slučajne varijable - odgovarajućim malim slovima latinice x, y, z itd.

Koncept slučajne varijable usko je povezan sa konceptom slučajnog događaja. Veza sa slučajnim događajem leži u činjenici da je usvajanje određene numeričke vrijednosti od strane slučajne varijable slučajan događaj karakteriziran vjerovatnoćom .

U praksi postoje dvije glavne vrste slučajnih varijabli:

1. Diskretne slučajne varijable;

2. Kontinuirane slučajne varijable.

Slučajna varijabla je numerička funkcija slučajnih događaja.

Na primjer, slučajna varijabla je broj bodova koji su pali prilikom bacanja kocke, ili visina učenika koji je nasumično odabran iz studijske grupe.

Diskretne slučajne varijable nazivaju se slučajne varijable koje uzimaju samo udaljene jedna od druge vrijednosti koje se mogu unaprijed nabrojati.

zakon o distribuciji(funkcija distribucije i red raspodjele ili gustina vjerovatnoće) u potpunosti opisuju ponašanje slučajne varijable. Ali u nizu problema dovoljno je poznavati neke numeričke karakteristike veličine koja se proučava (na primjer, njenu prosječnu vrijednost i moguće odstupanje od nje) da bi se odgovorilo na postavljeno pitanje. Razmotrimo glavne numeričke karakteristike diskretnih slučajnih varijabli.

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable bilo koji omjer se naziva , uspostavljanje veze između mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih odgovarajućih vjerovatnoća .

Zakon raspodjele slučajne varijable može se predstaviti kao stolovi:

Zbir vjerovatnoća svih mogućih vrijednosti slučajne varijable jednak je jedan, tj.

Zakon o distribuciji može biti predstavljen grafički: na osi apscise su ucrtane moguće vrijednosti slučajne varijable, a na osi ordinate vjerovatnoće ovih vrijednosti; dobijene tačke povezuju se segmentima. Konstruirana polilinija se zove distributivni poligon.

Primjer. Lovac sa 4 metka puca u divljač dok se ne potroše prvi pogodak ili sve metke. Vjerovatnoća da se pogodi prvi hitac je 0,7, sa svakim sljedećim se smanjuje za 0,1. Nacrtajte zakon raspodjele broja metaka koje je potrošio lovac.

Rješenje. Pošto lovac, imajući 4 metka, može napraviti četiri hica, onda je slučajna vrijednost X- broj metaka koje lovac potroši može imati vrijednosti 1, 2, 3, 4. Da bismo pronašli odgovarajuće vjerovatnoće, uvodimo događaje:

- “udario ja- ohm shot”, ;

- „promašiti u ja- th shot”, a događaji i su nezavisni u paru.

Prema stanju problema imamo:

,

Teoremom množenja za nezavisne događaje i teoremom sabiranja za nekompatibilne događaje nalazimo:

(lovac je pogodio metu prvim hicem);

(lovac je pogodio metu iz drugog hica);

(lovac je pogodio metu iz trećeg hica);

(lovac je pogodio metu iz četvrtog hica ili promašio sva četiri puta).

Provjera: - tačna.

Dakle, zakon distribucije slučajne varijable X izgleda kao:

Primjer. Radnik upravlja sa tri mašine. Vjerovatnoća da u roku od sat vremena prva mašina neće zahtijevati podešavanje je 0,9, druga je 0,8, treća je 0,7. Napraviti zakon raspodjele za broj mašina koje će zahtijevati podešavanje u roku od sat vremena.

Rješenje. Slučajna vrijednost X- broj mašina koje će zahtevati podešavanje u roku od jednog sata može imati vrednosti 0,1, 2, 3. Da bismo pronašli odgovarajuće verovatnoće, uvodimo događaje:

- “i- ova mašina će zahtevati podešavanje u roku od sat vremena”, ;

- “i- ovoj mašini neće biti potrebno podešavanje u roku od sat vremena”, .

Po uslovu problema imamo:

, .