Ovdje ćemo i dalje biti lansirani u prvom dijelu operacija preko matrica i čuda se par primjera u kojima ćete trebati primijeniti nekoliko operacija odjednom.

Izgradnja matrice do diplome.

Neka K bude negativni broj. Za bilo koju kvadratnu matricu $ a_ (n \\ puta n) $ imamo: $$ a ^ k \u003d \\ podloge (A \\ CDOT A \\ CDOT \\ LDOTS \\ CDOT A) _ (k \\; puta) $$

U ovom slučaju pretpostavljamo da je $ a ^ 0 \u003d e $, gdje je E $ jedna matrica odgovarajuće narudžbe.

Primjer broj 4.

Matrix $ a \u003d \\ lijevo (\\ point (niz) (CC) 1 i 2 \\\\ -1 & -3 \\ end (niz) \\ desno) $ je postavljen. Pronađite matrice $ a ^ 2 $ i $ a ^ 6 $.

Prema definiciji $ a ^ 2 \u003d a \\ cdot a $, i.e. Da biste pronašli $ a ^ $ 2 $ Mi samo trebamo pomnožiti $ A $ matrix za sebe. Rad umnožavanja matrica razmatran je u prvom dijelu teme, tako da ovdje jednostavno pišemo postupak rješenja bez detaljnih objašnjenja:

$$ a ^ 2 \u003d A \\ CDOT A \u003d \\ lijevo (\\ Počini (niz) (CC) 1 i 2 \\\\ -1 & -3 \\ end (niz) \\ desno) \\ CDOT \\ lijevo (\\ point (point (počnite) (CC) 1 i 2 \\\\ -1 & -3 \\ end (niz) \\ desno) \u003d \\ lijevo (\\ point (niz) (CC) 1 \\ CDOT 1 + 2 \\ CDOT (-1) i 1 \\ CDOT 2 +2 \\ CDOT (-3) \\\\ -1 \\ CDOT 1 + (- 3) \\ CDOT (-1) & -1 \\ CDOT 2 + (- 3) \\ CDOT (-3) \\ end (arry) \\ desno ) \u003d \\ lijevo (\\ Počnite (niz) (CC) -1 & -4 \\\\ 2 i 7 \\ end (niz) \\ desno). $$.

Da biste pronašli matricu $ A ^ 6 $ Imamo dvije mogućnosti. Prvo opcija: istitno i dalje pomnožite $ a ^ 2 $ na $ a $ matrix:

$$ A ^ 6 \u003d A ^ 2 \\ CDOT A \\ CDOT A \\ CDOT A \\ CDOT A. $$

Međutim, moguće je nešto jednostavnije, koristeći svojstva asocijacije za umnožavanje matrica. Stavljamo zagrade u izrazu za $ a ^ 6 USD:

$$ a ^ 6 \u003d a ^ 2 \\ CDOT A \\ CDOT A \u003d A ^ 2 \\ CDOT (A \\ CDOT A) \\ CDOT (A \\ CDOT A) \u003d A ^ 2 \\ CDOT A ^ 2 \\ CDOT A ^ 2. $$.

Ako, prilikom rješavanja prve metode, postojalo bi četiri operacije množenja, a zatim za drugu metodu - samo dvije. Pa idemo kroz drugi način:

$$ a ^ 6 \u003d A ^ 2 \\ CDOT A ^ 2 \\ CDOT A ^ 2 \u003d \\ lijevo (\\ point (niz) (CC) -1 & -4 \\\\ 2 i 7 \\ end (niz) \\ desno) \\ CDOT \\ LEF (\\ POČETI (NIRLY) (CC) -1 & -4 \\\\ 2 i 7 \\ end (niz) \\ desno) \\ CDOT \\ LEF (\\ POČETKA (ARRAY) (CC) -1 & -4 \\\\ 2 i 7 \\ end (niz) \\ desno) \u003d \\\\ \u003d \\ lijevo (\\ početak (niz) (CC) -1 \\ CDOT (-1) + (- 4) \\ CDOT 2 & -1 \\ CDOT (-4 \\ CDOT (-4 \\ CDOT ( ) + (- 4) \\ CDOT 7 \\\\ 2 \\ CDOT (-1) +7 \\ CDOT 2 i 2 \\ CDOT (-4) +7 \\ CDOT 7 \\ END (niz) \\ desno) \\ CDOT \\ Lijevo (\\ Započnite (NISTER) (CC) -1 & -4 \\\\ 2 i 7 \\ end (niz) \\ desno) \u003d \\ lijevo (\\ point (niz) (CC) -7 & -24 \\\\ 12 i 41 \\ end ( Niz) \\ desno) \\ CDOT \\ LEF (\\ POČETKA (NIRLY) (CC) -1 & -4 \\\\ 2 i 7 \\ end (niz) \\ desno) \u003d \\\\ \u003d \\ lijevo (CC ) -7 \\ CDOT (-1) + (- 24) \\ CDOT 2 & -7 \\ CDOT (-4) + (- 24) \\ CDOT 7 \\\\ 12 \\ CDOT (-1) +41 \\ CDOT 2 i 12 \\ CDOT (-4) +41 \\ CDOT 7 \\ END (niz) \\ desno) \u003d \\ lijevo (\\ point (niz) (CC) -41 i -140 \\\\ 0 i 239 \\ end (array) \\ desno). $$.

Odgovoriti: $ A ^ 2 \u003d \\ lijevo (\\ point (niz) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 i 7 \\ end (niz) \\ desno) $, $ a ^ 6 \u003d \\ lijevo (\\ point (point (počnite) (CC) -41 i -140 \\\\ 0 i 239 \\ end (niz) \\ desno) $.

Primjer broj 5.

Matrix $ a \u003d \\ lijevo (\\ Počnite (point) (CCCC) 1 i 0 & -1 i 2 \\\\ 3 i 4 i 5 i 0 \\ ed (niz) \\ desno) $, $ b \u003d \\ lijevo (\\ počni (Array) (CCC) -9 i 1 i 0 \\\\ 2 & -1 i 4 \\\\ 0 & -2 i 3 \\\\ 1 i 5 i 0 \\ end (niz) \\ desno) $, $ c \u003d \\ lijevo (\\ Počnite (Array) (CCC) -5 & -20 i 13 \\\\ 10 i 12 i 9 \\\\ 3 i -15 i 8 \\ end (niz) \\ desno) $. Pronađite matricu $ D \u003d 2AB-3C ^ T + 7E $.

Izračun matrice od $ D $ počet će s pronalaženjem rezultata proizvoda $ AB $. Matrice $ A $ i $ B $ mogu se pomnožiti, jer je broj stupaca $ a $ matrix stupca jednak broju linija matrice $ B $. Označavaju $ f \u003d $. U ovom slučaju matrica $ F ima tri stupca i tri retka, tj. Bit će kvadrat (ako se ovaj izlaz čini nejasnim, pogledajte opis umnožavanja matrica u prvom dijelu ove teme). Pronalazimo $ F $ matrix, izračunava sve njegove elemente:

$$ F \u003d A \\ CDOT B \u003d \\ lijevo (\\ Počistite (Array) (CCCC) 1 i 0 & -1 i 2 \\\\ 3 & -2 i 5 i 0 \\\\ -1 i 4 i -3 i 6 \\ Kraj (niz) \\ desno) \\ CDOT \\ LEF (\\ POČETKA (NISTER) (CCC) -9 i 1 i 0 \\\\ 2 & -1 i 4 \\\\ 0 & -2 i 3 \\\\ 1 i 5 i 0 \\\\ 1 i 5 i 0 \\ Kraj (niz) \\ desno) \\\\ \\ početi (usklađen) & f_ (11) \u003d 1 \\ CDOT (-9) +0 \\ CDOT 2 + (- 1) \\ CDOT 0 + 2 \\ CDOT 1 \u003d -7; \\\\ & f_ (12) \u003d 1 \\ CDOT 1 + 0 \\ CDOT (-1) + (- 1) \\ CDOT (-2) +2 \\ CDOT 5 \u003d 13; \\\\ & f_ (13) \u003d 1 \\ CDOT 0 + 0 \\ CDOT 4 + (- 1) \\ CDOT 3 + 2 \\ CDOT 0 \u003d -3; \\\\ \\\\ & f_ (21) \u003d 3 \\ CDOT (-9 ) + (- 2) \\ CDOT 2 + 5 \\ CDOT 0 + 0 \\ CDOT 1 \u003d -31; \\\\ & f_ (22) \u003d 3 \\ CDOT 1 + (- 2) \\ CDOT (-1) +5 \\ CDOT (-2) +0 \\ CDOT 5 \u003d -5; \\\\ & f_ (23) \u003d 3 \\ CDOT 0 + (- 2) \\ CDOT 4 + 5 \\ CDOT 3 + 0 \\ CDOT 0 \u003d 7; \\\\ \\\\ & F_ (31) \u003d - 1 \\ CDOT (-9) +4 \\ CDOT 2 + (- 3) \\ CDOT 0 + 6 \\ CDOT 1 \u003d 23; \\\\ & f_ (32) \u003d - 1 \\ CDOT 1 + 4 \\ CDOT (-1) + (- 3) \\ CDOT (-2) +6 \\ CDOT 5 \u003d 31; \\\\ & f_ (33) \u003d - 1 \\ CDOT 0 + 4 \\ CDOT 4 + (- 3) \\ CDOT 3 + 6 \\ CDOT 0 \u003d 7. \\ End (usklađen) $$

Dakle, $ F \u003d \\ lijevo (\\ point (niz) (CCC) -7 i 13 i -3 \\\\ -31 i -5 i 7 \\\\ 23 i 31 i 7 \\ \\ end (niz) \\ desno) $. Idemo dalje. Matrica $ c ^ t $ - pretvorena matrica za $ C $ matrix, I.E. $ C ^ t \u003d \\ lijevo (\\ point (niz) (CCC) -5 i 10 i 3 \\\\ -20 i 12 i -15 \\\\ 13 i 9 i 8 \\ end (niz) \\ desno) $. Što se tiče matrice $ e $, onda je ovo jedna matrica. U ovaj slučaj Redoslijed ove matrice je tri, i.e. $ E \u003d \\ lijevo (\\ Počnite (point) (CCC) 1 i 0 i 0 \\\\ 0 i 1 i 0 \\\\ 0 i 0 & 1 \\ end (niz) \\ desno) $.

U principu, možemo nastaviti da idemo korak po korak, ali preostali izraz je bolji što je u potpunosti razmotriti, a da se ne ometaju pomoćne akcije. U stvari, imamo samo operacije za množenje matrica za broj, kao i operacije dodavanja i oduzimanja.

$$ d \u003d 2AB-3C ^ T + 7E \u003d 2 \\ CDOT \\ LEF (\\ POČETKA (NIRLY) (CCC) -7 i 13 i -3 \\\\ -31 i -5 i 7 \\\\ 23 i 31 i 7 \\ Kraj (niz) \\ desno) -3 \\ CDOT \\ LEF (\\ POČETKA (NISTER) (CCC) -5 i 10 i 3 \\\\ - 20 i 12 i -15 \\\\ 13 i 9 i 8 \\ Kraj (niz) \\ Desno) +7 \\ CDOT \\ LEF (\\ POČETI (NIRD) (CCC) 1 i 0 & 0 \\\\ 0 i 1 i 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\ end (niz) \\ desno) $$

Pomnožite matrice u desnom dijelu ravnopravnosti na odgovarajućim brojevima (I.E., 2, 3 i 7):

$$ 2 \\ CDOT \\ LEF (\\ POČETKA (ARRAY) (CCC) -7 i 13 i -3 \\\\ -31 i -5 i 7 \\\\ 23 i 31 i 7 \\ end (niz) \\ desno) -3 \\ CDOT \\ LEF (\\ POČETKA (ARRAY) (CCC) -5 i 10 i 3 \\\\ -20 i 12 i -15 \\\\ 13 i 9 i 8 \\ Kraj (niz) \\ desno) +7 \\ CDOT \\ LEF (\\ Započnite (Array) (CCC) 1 i 0 & 0 \\\\ 0 i 1 i 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\ end (NISTER) \\ desno) \u003d \\\\ \u003d \\ lijevo (\\ počnite (počnite) (CCC) - 14 i 26 i 14 \\\\ -62 i -10 i 14 \\\\ 46 i 62 i 14 \\ end (Arry) \\ desno) - \\ lijevo (\\ point (niz) (CCC) -15 i 13 i 9 \\\\ - 60 i 36 i -45 \\\\ 39 i 27 i 24 \\ end (niz) \\ desno) + \\ lijevo (\\ point (niz) (CCC) 7 i 0 i 0 \\\\ 0 i 7 i 0 \\\\ 0 i 0 & 7 \\ end (niz) \\ desno) $$

Izveden nedavne akcije: Oduzimanje i dodavanje:

$$ \\ LEVO (\\ Počnite (niz) (CCC) -14 i 26 & -6 \\\\ -62 i -10 i 14 \\\\ 6 i 62 i 14 \\ Kraj (niz) \\ desno) - \\ lijevo (\\ počni) (Arry) (CCC) -15 i 30 i 9 \\\\ -60 i 36 i -45 \\\\ 39 i 27 i 24 \\ end (niz) \\ desno) + \\ lijevo (\\ point (niz) (CCC) 7 & 0 & 0 \\\\ 0 i 7 \\ end (niz) \\ desno) \u003d \\\\ \u003d \\ lijevo (\\ point (niz) (CCC) -14 - (- 15) +7 i 26-30 + 0 &6-30 + 0 &6-30 + 0 i -6- 9 + 0 \\\\ -62 - (- 60) +0 i -10-36 + 7 i 14 - (- 45) +0 \\\\ 46-39 + 0 i 62-27 +0 i 14-24 + 7 \\ \\ \\ Kraj (niz) \\ desno) \u003d \\ lijevo (\\ Počnite (niz) (CCC) 8 & -4 i -15 \\\\ -2 i -39 i 59 \\\\ 7 i 35 & -3 \\ end (niz) \\ desno ). $$.

Zadatak je riješen, $ D \u003d \\ lijevo (\\ Počnite (niz) (CCC) 8 & -4 i -15 \\\\ -2 i -39 i 59 \\\\ 7 i 35 & -3 \\ end (niz) \\ desno ) $.

Odgovoriti: $ D \u003d \\ lijevo (\\ point (niz) (CCC) 8 & -4 i -15 \\\\ -2 i -39 i 59 \\\\ 7 i 35 & -3 \\ end (niz) \\ desno) $.

Primjer broj 6.

Pustite $ f (x) \u003d 2x ^ 2 + 3x-9 $ i matrix $ a \u003d \\ lijevo (\\ početi (niz) (CC) -3 i 1 \\\\ 5 i 0 \\ end (niz) \\ desno) $ . Pronađite vrijednost od $ F (a) $.

Ako $ f (x) \u003d 2x ^ 2 + 3x-9 $, zatim ispod $ f (a) $ shvati matricu:

$ F (a) \u003d 2A ^ 2 + 3A-9E. $$.

Ovako je polinom određena iz matrice. Dakle, moramo zamijeniti matricu $ a $ u izrazu za $ f (a) $ i dobiti rezultat. Budući da su sve akcije detaljnije demontirane ranije, onda ću samo dati odluku. Ako je proces izvršenja operacije $ a ^ 2 \u003d A \\ CDOT A $ nejasan za vas, savjetujem vam da pogledate opis umnožavanja matrica u prvom dijelu ove teme.

$$ F (a) \u003d 2a ^ 2 + 3A-9E \u003d 2a \\ CDOT A + 3A-9E \u003d 2 \\ lijevo (\\ point (Arry) (CC) -3 i 1 \\\\ 5 i 0 \\ \\\\ 5 i 0 \\ end (niz) \\ Desno) \\ CDOT \\ LEF (\\ POČETI (NISTER) (CC) -3 i 1 \\\\ 5 i 0 \\ end (niz) \\ desno) +3 \\ lijevo (\\ počnite (CC) (CC) -3 i 1 \\\\ 5 i 0 \\ end (niz) \\ desno) -9 \\ lijevo (\\ počnite (niz (CC) 1 i 0 \\\\ 0 i 1 \\ end (niz) \\ desno) \u003d \\\\ \u003d 2 \\ lijevo ( \\ Počnite (Array) (CC) \\ CDOT (-3) +1 \\ CDOT 5 & (-3) \\ CDOT 1 + 1 \\ CDOT 0 \\\\ 5 \\ CDOT (-3) +0 \\ CDOT 5 & 5 \\ CDOT 1 + 0 \\ CDOT 0 \\ END (niz) \\ desno) +3 \\ lijevo (\\ point (niz) (CC) -3 i 1 \\\\ 5 i 0 \\ end (niz) \\ desno) -9 \\ Lijevo (\\ Počnite (niz) (CC) 1 i 0 \\\\ 0 i 1 \\ end (niz) \\ desno) \u003d \\\\ \u003d 2 \\ lijevo (\\ Počistite (niz (CC) 14 & -3 \\\\ - 15 i 5 \\ end (niz) \\ desno) +3 \\ lijevo (\\ point (niz) (CC) -3 i 1 \\\\ 5 i 0 \\ end (niz) \\ desno) -9 \\ lijevo (\\ počnite (počnite (počnite) ) (CC) 1 i 0 \\\\ 0 i 1 \\ end (niz) \\ desno) \u003d \\ lijevo (\\ početak (niz) (CC) 28 & -6 \\\\ -30 i 10 \\ end (niz) \\ desno) + \\ Lijevo (\\ Počini (niz) (CC) -9 i 3 \\\\ 15 i 0 \\ end (niz) \\ desno) - \\ lijevo (\\ point (niz) (CC) 9 i 0 \\\\ 0 i 9 \\ Kraj (niz) \\ desno) \u003d \\ lijevo (\\ počnite (niz) (CC) 10 i -3 \\\\ -15 i 1 \\ end (niz) \\ desno). $$.

Odgovoriti: $ F (a) \u003d \\ lijevo (\\ point (niz) (cc) 10 & -3 \\\\ -15 i 1 \\ end (niz) \\ desno) $.

Matrica A -1 naziva se inverzna matrica u odnosu na matricu A, ako je * a -1 \u003d e, gdje je e jedina matrica n-redoslijeda. Reverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice.

Imenovanje usluge. Preko ova usluga U internetskom režimu možete pronaći algebreike dodatke, pređenu matricu a t, savezničku matricu i obrnutu matricu. Odluka se vrši direktno na mjestu (u mrežnom režimu) i besplatan je. Rezultati izračuna izdaju se u izvještaju o riječima riječi i u excel format (I.E. Moguće je provjeriti odluku). Pogledajte primjer registracije.

Uputstvo. Da biste dobili rješenje, morate navesti dimenziju matrice. Zatim, u novom dijaloškom okviru ispunite matricu a.

Vidi također inverzna matrica Jordan-Gauss

Algoritam za povratnu matricu

1. Pronalaženje transpožene matrice a t.
2. Definicija algebričnih dodataka. Zamijenite svaki element matrice svojim algebrijskim dodavanjem.
3. Kompilacija obrnuta matrica Iz algebričnih dodataka: svaki element rezultirajuće matrice podijeljen je u odrednu originalnu matricu. Rezultirajuća matrica obrnuta je za originalnu matricu.

Slijediti algoritam za povratnu matricu Slično kao i prethodno, osim nekih koraka: Prvo, izračunavaju se algebrični dodaci, a zatim se određuje saveznička matrica C.

1. Utvrdite da li je kvadratna matrica. Ako ne, obrnuta matrica ne postoji za to.
2. Izračun odrednice matrice a. Ako nije jednak nuli, nastavljamo rješenje, inače ne postoji obrnuta matrica.
3. Definicija algebričnih dodataka.
4. Ispunjavanje Unije (međusobne priložene) matrice C.
5. Izrada obrnute matrice algebričnih dodataka: svaki element priložene matrice C podijeljen je u odrednicu originalne matrice. Rezultirajuća matrica obrnuta je za originalnu matricu.
6. Proverite: Pomerite originalnu i dobivenu matricu. Kao rezultat toga, treba dobiti jednu matricu.

Primjer broj 1. Pišemo matricu u obliku:

Algebraični dodaci. Δ 1.2 \u003d - (2 · 4 - (- 2 · (-2))) \u003d -4 Δ 2.1 \u003d - (2 · 4-5 · 3) \u003d 7 Δ 2,3 \u003d - (- 1 · 5 - (- 2 · 2)) \u003d 1 Δ 3.2 \u003d - (- 1 · (-2) -2 · 3) \u003d 4

A -1 \u003d.

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Još jedan algoritam za pronalaženje obrnute matrice

Dajemo još jedan dijagram pronalaska matrice povratka.

1. Pronalazimo odrednicu ove kvadratne matrice a.
2. Nalazimo algebreike dodatke svim elementima matrice a.
3. Snimite algebarske dodatke elemenata redaka u stupcima (transpozicija).
4. Svaki element dobijene matrice dijelimo na odrednicu matrice a.

Kao što vidimo, transponiranje se može koristiti i na početku, iznad početne matrice i na kraju, preko dobivenih algebričnih dodataka.

Poseban slučaj: Obrnuto, u odnosu na jednu matricu E, je jedna matrica E.

Neka svojstva operacija zbog matrica.
Matrični izrazi

A sada nastavak teme u kojem ćemo razmotriti ne samo novi materijal, ali i rad radnje sa matricama.

Neka svojstva operacija preko matrica

Postoji puno svojstava koja se tiču \u200b\u200bakcija sa matricama, u istoj Wikipediji možete se diviti vitkim redovima relevantnih pravila. Međutim, u praksi, mnoga imovina u određenom smislu "mrtvih", jer se samo neki od njih koriste tokom rješavanja stvarnih zadataka. Moj je cilj razmotriti primijenjenu primjenu svojstava na konkretnim primjerima, a ako vam je potrebna stroga teorija, molimo koristite drugi izvor informacija.

Razmotrite neke izuzeci od pravilato će biti potrebno izvršiti praktične zadatke.

Ako je kvadratna matrica inverzna matrica , zatim njihovo umnožavanje komutativnog:

Jednostruka matrica naziva se kvadratnom matricom, koja glavna dijagonala Jedinice se nalaze, a preostali elementi su nula. Na primjer :, itd.

Gde Pošteno sledeće nekretnine: Ako je proizvoljna matrica umnožavala lijevo ili desno Na jednoj matrici odgovarajućih veličina rezultat je početna matrica:

Kao što vidite, odvija se i komutacija MUTRIX-a.

Uzmi malo matrice, dobro, recimo, matricu iz prethodnog zadatka: .

Oni koji žele provjeriti i pobrinuti se da:

Jedna matrica za matrice je analog brojčane jedinice za brojeve, što je posebno jasno viđeno iz primjera upravo razmatranih.

Komutativnost numeričkog faktora u odnosu na umnožavanje matrica

Za matrice i stvarni broj, slijedeća imovina je fer:

To jest numerički multiplikator može (i potreban) za preuzeti naprijed tako da "ne miješa" višestruko "umnožavanje matrice.

Bilješka : Generalno gledano, formulacija nekretnine je nepotpuna - "Lambda" se može postaviti bilo gdje između matrica, čak i na kraju. Pravilo ostaje fer ako se pomnožeju tri ili više matrica.

Primjer 4.

Izračunati rad

Odluka:

(1) Prema nekretnini Pomaknite numerički faktor naprijed. Ne možete preurediti matrice!

(2) - (3) Izvršite množenje matrice.

(4) Ovdje možete podijeliti svaki broj 10, ali tada će se među elementima matrice pojaviti decimalne frakcije, što nije dobro. Međutim, primjećujemo da su svi brojevi matrica podijeljeni u 5, tako da pomnožite svaki element.

Odgovoriti:

Mala šarada za samoposlužna rešenja:

Primjer 5.

Izračunati ako

Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Koji je tehnički prijem važan tokom rješavanja takvih primjera? Sa brojem koji razumijemo na kraju .

Ulaz za lokomotive Još jedan automobil:

Kako umnožiti tri matrice?

Prije svega, ono što bi se trebalo dogoditi kao rezultat množenja tri matrice? Mačka neće roditi miš. Ako je MATRIX množenje izvedivo, onda će na kraju matrica također raditi. M-da, pa, moj učitelj u Algebri ne vidi kako objašnjavam zatvaranje algebarske strukture u vezi s njenim elementima \u003d)

Rad tri matrice može se izračunati na dva načina:

1) pronalaženje, a zatim pomnožite na matricu "CE" :;

2) Prvo pronađite, a zatim izvršite množenje.

Rezultati će se definitivno podudarati, a teoretski ova nekretnina naziva se suradnja matričnog umnožavanja:

Primjer 6.

Pomnožite matricu na dva načina

Algoritam rješenja Dvoksiko: Pronalazimo proizvod dvije matrice, a zatim ponovo pronalazimo proizvod dvije matrice.

1) Koristimo formulu

Prvo akcija:

Akcija sekunda:

2) koristimo formulu

Prvo akcija:

Akcija sekunda:

Odgovoriti:

Naravno navikli i standardni, naravno, prvi način za rješavanje, tamo bez obzira na to kako je sve u redu. " Usput, o narudžbi. U razmatranju zadataka, iluzija se često pojavljuje da govorimo o nekim permulacijama matrica. Nisu ovdje. Sećam se ponovo da uglavnom Matrice za preuređenje ne mogu. Dakle, u drugom trenutku, u drugom koraku vršimo množenje, ali ni u kojem slučaju. Sa običnim brojevima, takav je taj broj prošao, a sa matricama - ne.

Nekretnina suradnje u množili važnu ne samo za kvadrat, već i za proizvoljne matrice - ako bi se samo množili:

Primjer 7.

Pronađite rad od tri matrice

Ovo je primjer za neovisno rješenje. U uzorku su rješenja za izračun izvršena na dva načina, analiziraju koji je put profitabilniji i kraći.

Svojstva asocijativnosti Množnosti matrice odvija se za više Multiplikatori.

Sada je vrijeme da se vratimo na stepene matrica. Trg matrice smatra se na samom početku i na dnevnom redu pitanja:

Kako izgraditi matricu na kocki i višim stupnjevima?

Ove su operacije definirane samo za kvadratne matrice. Podignite kvadratnu matricu u kocku, morate izračunati rad:

U stvari, to privatni slučaj Pomnožavanje tri matrice, prema nekretnini suradništva MUTRIX MINOPLIKACIJE :. A matrica pomnožena sama sama je kvadrat matrice:

Dakle, dobivamo radnu formulu:

To jest, zadatak se izvodi u dva koraka: prvo matrica mora biti povišen na kvadrat, a zatim rezultirajuća matrica umnožava matricu.

Primjer 8.

Izgradite matricu na kocku.

Ovo je mali zadatak nezavisnog rješenja.

Izgradnja matrice u četvrtom stepenu vrši se prirodnim načinom:

Koristeći asocijativnost MATRIX-a, povucite dvije radne formule. Prvo: - Ovo je rad tri matrice.

jedan). Drugim riječima, mi prvo nađemo, tada smo dominantni da "budemo" - dobivamo kocku i na kraju, izvodimo umnožavanje - četvrti stepen će biti.

2) Ali postoji rješenje na korak kraće :. To je, u prvom koraku nalazimo kvadrat i, zaobilazimo kocku, izvršimo množenje

Dodatni zadatak na primjer 8:

Procijenite matricu u četvrtom stepenu.

Čim primijećemo, može se učiniti na dva načina:

1) Budući da se kocba uskoro poznata, a zatim vršimo množenje.

2) Međutim, ako je stanje zadatka potrebno izgraditi matricu samo u četvrtom stepenu, Put je koristan za smanjenje - pronađite kvadrat matrice i koristite formulu.

Oba rješenja i odgovor - na kraju lekcije.

Slično tome, matrica je podignuta u peti i višim stupnjevima. Od praktičnog iskustva mogu reći da ponekad postoje primjeri izgradnje četvrtog stepena, ali ne sjećam se petoj mjeri. Ali samo u slučaju da donesem optimalni algoritam:

1) nalazimo;
2) nalazimo;
3) Izgradimo matricu na peti stepen :.

Ovdje, možda, sva osnovna svojstva matričnih operacija koja mogu biti korisne u praktičnim zadacima.

U drugom dijelu lekcije ne očekuje se manje stranke za poverenje.

Matrični izrazi

Ponavljamo uobičajene izraze u školi sa brojevima. Numerički izraz sastoji se od brojeva, znakova matematičkih akcija i nosača, na primjer: . Prilikom izračunavanja, poznati algebarski prioritet: prvo se uzima u obzir nosačizatim izveden ured u stupnju stupnja korijena, Kasnije množenje / divizija I zadnji put - dodavanje / oduzimanje.

Ako numerički izraz ima smisla, rezultat njenog izračuna je broj, npr.:

Matrični izrazi Raspoređeni gotovo isti! Razlikam da su glavni akteri matrice. Osim toga, neke posebne matrične operacije, poput prenošenja i inverznog matrica.

Razmotrite matrični izraz gde - neke matrice. U ovom matričnom izrazu, tri komponente i dodaci dodavanja / oduzimanje su u potpunosti ispunjene.

U prvom roku prvo morate prenijeti matricu "biti":, zatim izvršite množenje i napravite "deuce" na rezultirajuću matricu. Zapiši to prenos operacije ima više visok prioritetnego umnožavanje. Nosači, kao u numeričkim izrazima, promenite postupak: - Ovdje se prvo provodi množenje, tada se rezultirajuća matrica prenosi i pomnožena sa 2.

U drugom roku, množenje matrica se vrši prije svega, a inverzna matrica je već iz posla. Ako se zagrada uklone: \u200b\u200bprvo je potrebno pronaći obrnutu matricu, a zatim pomnožite matricu :. Pronalaženje reverzne matrice ima i prioritet prije množi.

Sve je očito sa trećim izrazom: izgradit ćemo matricu u kocku i napraviti "pet" u rezultirajuću matricu.

Ako matrični izraz ima smisla, rezultat njegovog izračuna je matrica.

Svi će zadaci biti iz stvarnog ispitivanja i počet ćemo s najjednostavnijim:

Primjer 9.

Dana Matrix . Naći:

Odluka: Postupak je očigledan, prvo se množenje vrši, a zatim dodavanje.

Dodavanje je nemoguće izvesti jer matrice različitih veličina.

Nemojte se iznenaditi, očito se nemoguće postupke često nude u zadacima ove vrste.

Trudimo se izračunati drugi izraz:

Ovde je sve u redu.

Odgovoriti: Akcija nije moguća, .

Linearna algebra za čajnike

Da biste proučili linearnu algebru, možete čitati i unijeti u knjigu I. V. Belousov "matrice i deterpete". Međutim, napisano je strogom i suhom matematičkom jeziku, koji ljudi s srednjim umom teško se odvijaju. Stoga sam se prepričao najteže za razumijevanje mjestima ove knjige, pokušavajući da materijal navode što jasnijim, koristeći crteže što je više moguće. Dokazi teorema koje sam spustio. Da priznam, ja ih nisam razumeo. Vjerujte gospodine Belousov! Sudeći po njegovom radu, on je kompetentan i razborni matematičar. Njegova knjiga možete preuzeti na http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/belousov2006ru.pdf.Ako ćete ući u moj rad, to treba učiniti jer ću se često odnositi na Belousova.

Počnimo s definicijama. Šta je matrica? Ovo je pravougaona tablica brojeva, funkcija ili algebričnih izraza. Zašto su vam potrebne matrice? U velikoj mjeri olakšavaju složene matematičke proračune. Matrica koristi žice i stupce (Sl. 1).

Redovi i stubovi su numerirani, počevši od lijeve strane

odozgo (Sl. 1-1). Kad kažu: matrica veličine m n (ili m po n) se podrazumijeva pod m Broj niza, i ispod n Broj stupaca. Na primjer, matrica na slici 1-1 ima veličinu "4 do 3", a ne "3 do 4".

Pogledajte na Sl. 1-3, koje su matrice. Ako se matrica sastoji od jedne linije, naziva se nizom matricom, a ako je iz jednog stupca, zatim matrica stupca. Matrica se naziva kvadratni N-tH nalog ako je broj redaka jednak broju stupaca i jednak N. Ako su svi elementi matrica nula, onda je ovo nulta matrica. Kvadratna matrica naziva se dijagonalom ako je nula jednaka svim svojim elementima, osim onih koji se nalaze na glavnoj dijagonali.

Odmah objasnite koja je glavna dijagonala. Na njenim brojevima redovi i stubovi su isti. Prelazi s lijeva na desno od vrha do dna. (Sl. 3) Elementi se nazivaju dijagonalom ako se nalaze na glavnoj dijagonali. Ako su svi dijagonalni elementi jednaki jednoj (i preostaloj nuli), matrica se naziva jednom. Dvije matrice a i b iste veličine Pozvani su jednaki, ako su svi njihovi elementi isti.

2 operacije na matricama i njihovim nekretninama

Rad matrice do broja X je matrica iste veličine. Da biste dobili ovaj proizvod, morate pomnožiti svaki element na ovaj broj (Sl. 4). Da biste dobili zbroj dvije matrice iste veličine, morate dodati njihove odgovarajuće elemente (Sl. 4). Da biste dobili razliku A - B dvije matrice iste veličine, morate pomnožiti matricu B do -1 i dodajte rezultirajuću matricu sa matricom A (Sl. 4). Za operacije na matricama, nekretnine su važeće: a + b \u003d b + a (komutativno svojstvo).

(A + B) + C \u003d A + (B + C) (Asocijativnost). Jednostavnim, govorom, iznos se ne mijenja iz promjene mjesta. Za operacije na matricama i brojevima, svojstva su valjana:

(Označavaju brojem slova x i y i matrične slova A i B) x (ya) \u003d (xy) a

Ova svojstva su slična svojstvima koja djeluju na operacijama preko brojeva. Vidjeti

primjeri Slika 5. Takođe, pogledajte Primjeri 2.4 - 2.6 Belousov na stranici 9.

Mnoštvo matrice.

Pomnožavanje dvije matrice definirana je tek tada (prevedeno na rusko: matrice se mogu pomnožiti tek tada) kada je broj stupaca prve matrice u radu jednak broju nizova (Sl. 7, na Vrh, plavi nosači). Za bolje pamćenje: slika 1 je više poput stupca.Kao rezultat množenja dobiva se matrica veličine (vidi sliku 6). Da biste olakšali pamćenje šta trebate pomnožiti, predlažem sledeći algoritam: Gledamo na sliku 7. Pomnožimo matricu A na matricu B.

matrica dva stupca,

u matricu B dvije linije - možete pomnožiti.

1) Mi ćemo se pozabaviti prvim stupcem matrice B (samo ga ima samo). Ovaj stupac napisamo u nizu (prelazimo

stupac, o prenosu tik dolje).

2) Kopirajte ovaj niz tako da imamo matricu sa matricom A.

3) Pomnožite elemente ove matrice do odgovarajućih elemenata matrice A.

4) Preklopite rezultirajuće radove u svakom retku i getmatrični rad dva retka i jedan stupac.

Slika 7-1 prikazuje primjere umnožavanja matrica koji su više nego bjelji.

1) Ovdje u prvoj matrici tri stupca, to znači da drugi mora imati tri retka. Algoritam je potpuno isti u kojem je u prethodnom primjeru, samo ovdje u svakom pojmu tri pojma, a ne dva.

2) Ovdje druga matrica ima dva stupca. Prvo, algoritam radimo s prvim stupcem, a zatim s drugom, a dobili smo "dvije dvije" matricu.

3) Ovdje u drugoj matrici, kolona se sastoji od jednog elementa, stupac se neće mijenjati iz transpozicije. I nije potrebno ništa staviti, jer u prvoj matrici samo jedan stupac. Algoritam radimo tri puta i dobijamo "tri tri" matricu.

Sljedeća se nekretnina odvijaju:

1. Ako su zbroj B + C i AB proizvod, tada A (B + C) \u003d AB + AC

2. Ako AB proizvod postoji, x (ab) \u003d (xa) b \u003d a (xb).

3. Ako postoje radovi AB i BC, tada A (BC) \u003d (AB) C.

Ako postoji proizvod AB matrica, tada proizvod BA možda ne postoji. Čak i djela AB i BA postoje, mogu biti matrice različitih veličina.

Oba djela AB-a i BA postoje matrice iste veličine samo u slučaju kvadratnih matrica A i B iste reda. Međutim, čak i u ovom slučaju AB možda nije jednak BA.

Ubrzati se u stepen

Izgradnja matrice u diplomu ima smisla samo za kvadratne matrice (razmislite zašto?). Tada je cijela pozitivna diploma M matrica a proizvod M matrice jednak A. Baš kao što su brojevi. Pod nultim stupnjem kvadratnog matrica A je jedna matrica iste narudžbe kao što je zaboravio šta je jedna matrica, pogledajte na Sl. 3.

Takođe, kao u brojevima, održavaju se sljedeći omjeri:

A MA K \u003d A M + K (A M) K \u003d MK

Pogledajte primjere Belousova na stranici 20.

Prenoseći matrice

Transpozicija - ova pretvorba matrice A u matrici,

u kojem su žice matrice A evidentirani u stupcima u skladu sa očuvanjem narudžbe. (Sl. 8). Možete drugačije reći:

stupci matrice A evidentiraju se u redama na matričnim redama sa očuvanjem narudžbe. Imajte na umu da prilikom prenošenja promjena veličine matrice, odnosno broj redaka i stupaca. Također imajte na umu da su elementi na prvom retku, prvom stupcu i posljednjem retku, posljednja kolona ostaju na mjestu.

Sljedeća svojstva se odvijaju: (at) t \u003d a (transponder

matrica dva puta - dobit ćete istu matricu)

(XA) T \u003d XAT (pod X znači broj, pod A, naravno, matricu) (ako trebate pomnožiti matricu na broj i prenijeti, prvo se možete pomnožiti, a zatim prenijeti, a zatim prenijeti, a zatim prenijeti, a zatim možete prenijeti, a zatim možete prenijeti, a zatim možete prenijeti, a zatim možete prenijeti, a zatim možete prenijeti, a zatim možete prenijeti)

(A + b) t \u003d na + bt (ab) t \u003d bt na

Simetrične i antisimetrične matrice

Slika 9 na vrhu lijeve strane pokazuje simetričnu matricu. Njeni elementi, simetrični u odnosu na glavnu dijagonalu, jednaki su. A sada definicija: kvadratna matrica

A se naziva simetričnim ako je na \u003d a. To jest, simetrična matrica tokom transporta ne mijenja se. Konkretno, simetrično je bilo koja dijagonalna matrica. (Takva matrica je prikazana na slici 2).

Sada pogledajte antisimetričnu matricu (Sl. 9, dno). Šta se razlikuje od simetričnog? Imajte na umu da su svi njegovi dijagonalni elementi nula. U antisimetričnim matricama svi dijagonalni elementi su nula. Misliš zašto? Definicija: Kvadratna matrica A se zove

antisimetrična, ako je na \u003d -a. Imajte na umu neka svojstva operacija preko simetričnog i antisimetričnog

matrijanci. 1. Ako su A i B simetrične (antisimetrične) matrice, a zatim A + B je simetrična (antisimetrična) matrica.

2.Ako A - simetrična (antisimetrična) matrica, tada je XA takođe simetrična (antisimetrična) matrica. (U stvari, ako umnožite matricu sa slike 9 do nekih broja, simetrija će se i dalje spasiti)

3. Proizvod AB dvije simetrične ili dvije antisimetrične matrice A i B je matrica simetrična s AB \u003d BA i antisimmetričnom sa AB \u003d-BA.

4. Ako je a simmetrična matrica, ondam (m \u003d 1, 2, 3, ...) - simetrična matrica. Ako A.

Antisumična matrica, a zatim (m \u003d 1, 2, 3, ...) To je simetrična matrica s čak i antisimetričnim - sa neparnim.

5. proizvoljna kvadratna matrica A može biti predstavljen kao zbroj dvije matrice. (Nazovimo ove matrice, na primjer A (i) i A (A))

A \u003d A (i) + A (A)