Lineární funkce komplexní proměnné z je funkce formy, kde a a 6 jsou dána komplexní čísla a a linear 0. Lineární funkce je definována pro všechny hodnoty nezávislé proměnné z, je jednohodnotová a protože inverzní funkce je také jednohodnotová, univalentní v celé rovině z. Lineární funkce je analytická v celé komplexní rovině a její derivace, proto je její mapování konformní v celé rovině. Frakčně-lineární funkce je funkcí formy - vzhledem ke komplexním číslům a frakčně-lineární funkce je definována pro všechny hodnoty nezávislé proměnné zy kromě z = - |, je jednohodnotová a od inverzní funkce Elementární funkce komplexní proměnné Frakční racionální funkce Výkonová zákonitá exponenciální funkce Logaritmická funkce Trigonometrické a hyperbolické funkce jsou jednohodnotové, univalentní v celé komplexní rovině, s výjimkou bodu z = - V této oblasti je funkce (3) analytická a jeho derivát je proto konformní. Pojďme rozšířit definici funkce (3) v bodě z = - \, vložíme £) = oo a přiřaďte bod z (oo) = bodu v nekonečnu w = oo. Potom bude lineární zlomková funkce univalentní v rozšířené komplexní rovině z. Příklad 1. Uvažujme lineárně-zlomkovou funkci Z rovnosti vyplývá, že moduly komplexních čísel r a u jsou vztaženy vztahem a tato čísla jsou sama umístěna na paprskech vycházejících z bodu O a symetrická kolem skutečné osy. Zejména body jednotkové kružnice | z | = 1 přejít na body jednotkové kružnice L = 1. V tomto případě je spojenému číslu přiřazeno komplexní číslo (obr. 11). Všimněte si také, že funkce r = -g mapuje bod v nekonečnu r - oo do nulového bodu r - 0. 2.2. Výkonová funkce Výkonová funkce, kde n je přirozené číslo, analytické v celé komplexní rovině; jeho derivace = nzn ~] pro n> 1 je nenulová ve všech bodech kromě z = 0. Psaní w a z v exponenciálním tvaru ve vzorci (4), získáme ze vzorce (5), že komplexní čísla Z \ a z2 taková, že kde k je celé číslo přejděte do jednoho bodu w. Proto pro n> 1 není mapování (4) v rovině z jednotné. Nejjednodušším příkladem domény, ve které je mapování ry = zn univalentní, je sektor, kde a je jakékoli reálné číslo. V doméně (7) je mapování (4) konformní. - má více hodnot, protože pro každé komplexní číslo z = r1 v Φ 0 lze označit n různých komplexních čísel tak, že jejich n-tý stupeň je rovno z: Všimněte si, že polynom stupně n komplexní proměnné z je funkce, kde jsou uvedena komplexní čísla, ao ao 0. Polynom libovolného stupně je analytická funkce na celé komplexní rovině. 2.3. Frakčně-racionální funkce Frakčně-racionální funkce je funkcí formy, kde) jsou polynomy komplexní proměnné z. Frakční racionální funkce je analytická v celé rovině, s výjimkou těch bodů, ve kterých zmizí jmenovatel Q (z). Příklad 3. Funkce Zhukovskii je analytická v celé rovině z, s výjimkou bodu z = 0. Pojďme zjistit podmínky v oblasti komplexní roviny, za které bude funkce Zhukovskii uvažovaná v této oblasti jednotná. M Nechte body Z) a zj převzít funkcí (8) do jednoho bodu. Pak, protože, získáme, že Proto je pro univalenci Zhukovského funkce nutné a dostatečné splnit podmínku. Příkladem domény splňující podmínku univalence (9) je zevnějšek kruhu | z | > 1. Protože derivace Zhukovského funkce Elementární funkce komplexní proměnné Frakční racionální funkce Síla funkce Exponenciální funkce Logaritmická funkce Trigonometrické a hyperbolické funkce jsou nenulové všude, s výjimkou bodů, mapování oblasti prováděné touto funkcí bude konformní (Obr. 13). Všimněte si, že vnitřek disku jednotky | I je také doménou univalence Zhukovského funkce. Obr. 13 2.4. Exponenciální funkce Exponenciální funkce ez je definována pro libovolné komplexní číslo z = x + zy následovně: Pro x = 0 získáme Eulerův vzorec: Popíšeme hlavní vlastnosti exponenciální funkce: 1. Pro skutečné z tato definice je stejný jako obvykle. To lze ověřit přímo nastavením y = 0. 2. Funkce ez je analytická v celé komplexní rovině a zůstává pro ni obvyklý diferenciační vzorec 3. Věta o sčítání je pro funkci e zachována. Dáme 4. Funkce ez je periodická s imaginární hlavní periodou 2xi. Ve skutečnosti pro každé celé číslo k Na druhou stranu, pokud pak z definice (10) vyplývá, že odkud vyplývá, že, nebo kde n je celé číslo. Pás neobsahuje jedinou dvojici bodů spojených vztahem (12), z provedené studie tedy vyplývá, že mapování w = e "je v pruhu jednořádkové (obr. 14). Jako derivaci, toto mapování je konformní. Poznámka. Funkce rg je v libovolném pásu univalentní 2.5. Logaritmická funkce Z rovnice kde je uvedena neznámá získáme Tedy Funkce, inverzní funkce je definována pro libovolný a je reprezentována vzorcem, kde This funkce s více hodnotami se nazývá logaritmická a označuje se následovně Hodnota arg z se nazývá hlavní hodnota logaritmu a poté získáme vzorec 2.6 pro Ln z. Trigonometrické a hyperbolické funkce Z Eulerova vzorce (11) pro skutečné y získáme Od místa, kde jsme definujte trigonometrické funkce sin z a cos z pro libovolné komplexní číslo z pomocí následujících vzorců: Sinus a kosinus komplexního argumentu mají zajímavé vlastnosti. Vyjmenujme hlavní. Funkce sinz a cos z: 1) pro reálné x z-x se shoduje s obvyklými sinusy a kosiny; 2) jsou analytické v celé komplexní rovině; 3) dodržujte obvyklé diferenciační vzorce: 4) periodické s periodou 2 m; 5) sin z je lichá funkce a cos z je sudá; 6) obvyklé trigonometrické vztahy jsou zachovány. Všechny uvedené vlastnosti lze snadno získat ze vzorců (15). Funkce tgz a ctgz v komplexní doméně jsou definovány vzorci a hyperbolické funkce jsou definovány vzorci „Hyperbolické funkce úzce souvisí s trigonometrickými funkcemi. Toto spojení je vyjádřeno následujícími rovnostmi: Sinus a kosinus komplexního argumentu mají ještě jedna důležitá vlastnost: na komplexní rovině | \ berou libovolně velké kladné Pomocí vlastností 6 a vzorců (18) získáme, že Elementární funkce komplexní proměnné Frakční racionální funkce Síla Funkce Exponenciální funkce Logaritmická funkce Trigonometrické a hyperbolické funkce Odtud Za předpokladu , máme Příklad 4. Je snadné ověřit, že -4 Skutečně,

11 Základní funkce komplexní proměnné

Připomeňme si definici komplexního exponenta -. Pak

Rozšíření řady Maclaurin. Poloměr konvergence této řady je + ∞, což znamená, že komplexní exponent je analytický na celé komplexní rovině a

(exp z) "= exp z; exp 0 = 1. (2)

První rovnost zde vyplývá například z věty o diferenciaci termínu po termínu pro výkonovou řadu.

11.1 Trigonometrické a hyperbolické funkce

Sinusová komplexní proměnná volal funkci

Kosinus komplexní proměnné existuje funkce

Hyperbolický sinus komplexní proměnné definováno takto:

Hyperbolický kosinus složité proměnné je funkce

Všimněme si některých vlastností nově zavedených funkcí.

A. Pokud x∈ ℝ, pak cos x, sin x, ch x, sh x∈ ℝ.

B. Mezi trigonometrickými a hyperbolickými funkcemi existuje následující spojení:

cos iz = ch z; sin iz = ish z, ch iz = cos z; sh iz = isin z.

B. Základní trigonometrické a hyperbolické identity:

cos 2 z + sin 2 z = 1; ch 2 z-sh 2 z = 1.

Důkaz hlavní hyperbolické identity.

Hlavní trigonometrická identita vyplývá z hlavní hyperbolické identity při zohlednění spojení mezi trigonometrickými a hyperbolickými funkcemi (viz vlastnost B)

D Sčítací vzorce:

Zejména,

D. Pro výpočet derivátů trigonometrických a hyperbolických funkcí je třeba použít větu o diferenciaci výkonové řady po jednotlivých termínech. Dostaneme:

(cos z) "= - sin z; (sin z)" = cos z; (ch z) "= sh z; (sh z)" = ch z.

E. Funkce cos z, ch z jsou sudé a funkce sin z, sh z jsou liché.

G. (Periodicita) Funkce e z je periodická s periodou 2π i. Funkce cos z, sin z jsou periodické s periodou 2π a funkce ch z, sh z jsou periodické s periodou 2πi. Navíc,

Použitím součtových vzorců získáme

Z. Rozklady na skutečnou a imaginární část:

Pokud jednohodnotová analytická funkce f (z) mapuje bijektivně doménu D na doménu G, pak D se nazývá doména schlichtness.

A. Doména D k = (x + iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .

Důkaz. Z relace (5) vyplývá, že mapování exp: D k → ℂ je injektivní. Nechť w je jakékoli nenulové komplexní číslo. Poté řešení rovnic e x = | w | a e iy = w / | w | se skutečnými proměnnými xay (vyberte y z polovičního intervalu)