Vzdálenost od bodu k bodu je délka úsečky spojující tyto body na daném měřítku. Pokud tedy jde o měření vzdálenosti, musíte znát měřítko (jednotku délky), ve které budou měření prováděna. Proto je problém zjištění vzdálenosti od bodu k bodu obvykle uvažován buď na souřadnicové čáře nebo v pravoúhlém kartézském souřadnicovém systému v rovině nebo v trojrozměrném prostoru. Jinými slovy, nejčastěji musíte vypočítat vzdálenost mezi body pomocí jejich souřadnic.

V tomto článku si nejprve připomeneme, jak se určuje vzdálenost od bodu k bodu na souřadnicové čáře. Dále získáme vzorce pro výpočet vzdálenosti mezi dvěma body roviny nebo prostoru podle zadaných souřadnic. Na závěr podrobně zvážíme řešení typických příkladů a problémů.

Navigace na stránce.

Vzdálenost mezi dvěma body na souřadnicové čáře.

Nejprve si definujme notaci. Vzdálenost z bodu A do bodu B budeme označovat jako .

Z toho můžeme usoudit, že vzdálenost od bodu A se souřadnicí k bodu B se souřadnicí je rovna modulu rozdílu souřadnic, to znamená, pro libovolné umístění bodů na souřadnicové čáře.

Vzdálenost od bodu k bodu na rovině, vzorec.

Získáme vzorec pro výpočet vzdálenosti mezi body a daný v pravoúhlém kartézském souřadnicovém systému v rovině.

V závislosti na umístění bodů A a B jsou možné následující možnosti.

Pokud se body A a B shodují, je vzdálenost mezi nimi nulová.

Pokud body A a B leží na přímce kolmé k ose úsečky, pak se body shodují a vzdálenost je rovna vzdálenosti . V předchozím odstavci jsme zjistili, že vzdálenost mezi dvěma body na souřadnicové čáře je rovna modulu rozdílu jejich souřadnic, proto, . Proto, .

Podobně, pokud body A a B leží na přímce kolmé k ose pořadnice, pak vzdálenost z bodu A do bodu B se zjistí jako .

V tomto případě má trojúhelník ABC obdélníkovou konstrukci a A . Podle Pythagorova věta můžeme zapsat rovnost, odkud .

Shrňme všechny získané výsledky: vzdálenost od bodu k bodu v rovině se zjistí pomocí souřadnic bodů pomocí vzorce .

Výsledný vzorec pro zjištění vzdálenosti mezi body lze použít, když se body A a B shodují nebo leží na přímce kolmé k jedné ze souřadnicových os. Pokud se A a B shodují, pak . Pokud body A a B leží na přímce kolmé k ose Ox, pak. Pokud A a B leží na přímce kolmé k ose Oy, pak .

Vzdálenost mezi body v prostoru, vzorec.

Představme si pravoúhlý souřadnicový systém Oxyz v prostoru. Pojďme získat vzorec pro zjištění vzdálenosti od bodu do té míry .

Obecně platí, že body A a B neleží v rovině rovnoběžné s jednou ze souřadnicových rovin. Narýsujme body A a B roviny kolmé k souřadnicovým osám Ox, Oy a Oz. Průsečíky těchto rovin se souřadnicovými osami nám poskytnou průměty bodů A a B na tyto osy. Označujeme projekce .

Požadovaná vzdálenost mezi body A a B je úhlopříčka pravoúhlého rovnoběžnostěnu znázorněného na obrázku. Podle konstrukce jsou rozměry tohoto rovnoběžnostěnu stejné A . V kurzu geometrie na střední škole bylo prokázáno, že druhá mocnina úhlopříčky kvádru je rovna součtu druhých mocnin jeho tří rozměrů, tedy . Na základě informací v první části tohoto článku můžeme napsat následující rovnosti, proto,

odkud to máme vzorec pro zjištění vzdálenosti mezi body v prostoru .

Tento vzorec platí i pro body A a B

• sladit se;
• patřit k jedné ze souřadnicových os nebo přímce rovnoběžné s jednou ze souřadnicových os;
• patří do jedné ze souřadnicových rovin nebo roviny rovnoběžné s jednou ze souřadnicových rovin.

Hledání vzdálenosti od bodu k bodu, příklady a řešení.

Získali jsme tedy vzorce pro zjištění vzdálenosti mezi dvěma body na souřadnicové čáře, rovině a trojrozměrném prostoru. Je čas podívat se na řešení typických příkladů.

Množství problémů, ve kterých je posledním krokem nalezení vzdálenosti mezi dvěma body podle jejich souřadnic, je skutečně obrovské. Úplný přehled takových příkladů přesahuje rámec tohoto článku. Zde se omezíme na příklady, ve kterých jsou známy souřadnice dvou bodů a je nutné vypočítat vzdálenost mezi nimi.

Pomocí souřadnic se určí poloha objektu na zeměkouli. Souřadnice jsou označeny zeměpisnou šířkou a délkou. Zeměpisné šířky se měří od rovníku na obou stranách. Na severní polokouli jsou zeměpisné šířky kladné, na jižní polokouli záporné. Zeměpisná délka se měří od nultého poledníku buď na východ nebo na západ, získá se buď východní nebo západní délka.

Podle obecně uznávaného postoje se za nultý poledník považuje ten, který prochází starou Greenwichskou observatoří v Greenwichi. Zeměpisné souřadnice místa lze získat pomocí GPS navigátoru. Toto zařízení přijímá signály satelitního polohovacího systému v souřadnicovém systému WGS-84, jednotném pro celý svět.

Modely Navigator se liší výrobcem, funkčností a rozhraním. V současné době jsou v některých modelech mobilních telefonů k dispozici také vestavěné GPS navigace. Ale každý model může zaznamenat a uložit souřadnice bodu.

Vzdálenost mezi GPS souřadnicemi

Pro řešení praktických i teoretických problémů v některých odvětvích je nutné umět určit vzdálenosti mezi body jejich souřadnicemi. Můžete to udělat několika způsoby. Kanonická forma reprezentace zeměpisných souřadnic: stupně, minuty, sekundy.

Můžete například určit vzdálenost mezi následujícími souřadnicemi: bod č. 1 - zeměpisná šířka 55°45′07″ N, zeměpisná délka 37°36′56″ V; bod č. 2 - zeměpisná šířka 58°00′02″ s. š., zeměpisná délka 102°39′42″ vd.

Nejjednodušší způsob je pomocí kalkulačky vypočítat délku mezi dvěma body. Ve vyhledávači prohlížeče musíte nastavit následující parametry vyhledávání: online - pro výpočet vzdálenosti mezi dvěma souřadnicemi. V online kalkulačce se hodnoty zeměpisné šířky a délky zadávají do polí dotazu pro první a druhou souřadnice. Při výpočtu online kalkulačka dala výsledek - 3 800 619 m.

Další metoda je pracnější, ale také vizuálnější. Musíte použít jakýkoli dostupný mapovací nebo navigační program. Mezi programy, ve kterých můžete vytvářet body pomocí souřadnic a měřit vzdálenosti mezi nimi, patří tyto aplikace: BaseCamp (moderní obdoba programu MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Všechny výše uvedené programy jsou dostupné všem uživatelům sítě. Chcete-li například vypočítat vzdálenost mezi dvěma souřadnicemi v aplikaci Google Earth, musíte vytvořit dva štítky označující souřadnice prvního a druhého bodu. Poté pomocí nástroje „Pravítko“ musíte propojit první a druhou značku čárou, program automaticky zobrazí výsledek měření a zobrazí cestu na satelitním snímku Země.

V případě výše uvedeného příkladu program Google Earth vrátil výsledek - délka vzdálenosti mezi bodem č. 1 a bodem č. 2 je 3 817 353 m.

Proč je chyba při určování vzdálenosti

Všechny výpočty rozsahu mezi souřadnicemi jsou založeny na výpočtu délky oblouku. Poloměr Země se podílí na výpočtu délky oblouku. Ale protože se tvar Země blíží zploštělému elipsoidu, poloměr Země se v určitých bodech mění. Pro výpočet vzdálenosti mezi souřadnicemi se bere průměrná hodnota poloměru Země, která dává chybu v měření. Čím větší je měřená vzdálenost, tím větší je chyba.

Matematika

§2. Souřadnice bodu v rovině

3. Vzdálenost mezi dvěma body.

Vy a já teď můžeme mluvit o bodech v řeči čísel. Například už nemusíme vysvětlovat: vezměte bod, který je tři jednotky napravo od osy a pět jednotek pod osou. Stačí jednoduše říci: vezměte si pointu.

Již jsme řekli, že to přináší určité výhody. Můžeme tedy telegraficky přenést kresbu složenou z teček, sdělit ji počítači, který kresbám vůbec nerozumí, ale číslům rozumí dobře.

V předchozím odstavci jsme definovali některé sady bodů v rovině pomocí vztahů mezi čísly. Nyní se pokusme důsledně převést další geometrické pojmy a fakta do řeči čísel.

Začneme jednoduchým a běžným úkolem.

Najděte vzdálenost mezi dvěma body v rovině.

Řešení:
Jako vždy předpokládáme, že body jsou dány svými souřadnicemi, a pak je naším úkolem najít pravidlo, podle kterého můžeme se znalostí jejich souřadnic vypočítat vzdálenost mezi body. Při odvozování tohoto pravidla je samozřejmě dovoleno uchýlit se ke kresbě, ale samotné pravidlo by nemělo obsahovat žádné odkazy na kresbu, ale mělo by pouze ukazovat, jaké akce a v jakém pořadí je třeba na daných číslech provést - souřadnice bodů - pro získání požadovaného počtu - vzdálenost mezi body.

Možná bude některým čtenářům tento přístup k řešení problému připadat podivný a přitažený za vlasy. Co je jednodušší, řeknou, body jsou dány, dokonce souřadnicemi. Nakreslete tyto body, vezměte pravítko a změřte vzdálenost mezi nimi.

Tato metoda někdy není tak špatná. Představte si však znovu, že máte co do činění s počítačem. Nemá pravítko a nekreslí, ale umí počítat tak rychle, že jí to vůbec nedělá problém. Všimněte si, že náš problém je formulován tak, že pravidlo pro výpočet vzdálenosti mezi dvěma body se skládá z příkazů, které může provést stroj.

Je lepší nejprve vyřešit problém pro speciální případ, kdy jeden z těchto bodů leží v počátku souřadnic. Začněte několika numerickými příklady: zjistěte vzdálenost od počátku bodů; A .

Poznámka. Použijte Pythagorovu větu.

Nyní napište obecný vzorec pro výpočet vzdálenosti bodu od počátku.

Vzdálenost bodu od počátku je určena vzorcem:

Je zřejmé, že pravidlo vyjádřené tímto vzorcem splňuje výše uvedené podmínky. Zejména jej lze použít při výpočtech na strojích, které umí násobit čísla, sčítat je a získávat druhé odmocniny.

Nyní vyřešíme obecný problém

Vzhledem ke dvěma bodům na rovině najděte vzdálenost mezi nimi.

Řešení:
Označme , , , průměty bodů a na souřadnicových osách.

Průsečík přímek označme písmenem . Z pravoúhlého trojúhelníku pomocí Pythagorovy věty získáme:

Ale délka segmentu se rovná délce segmentu. Body a , leží na ose a mají souřadnice a . Podle vzorce získaného v odstavci 3 odstavce 2 je vzdálenost mezi nimi rovna .

Pokud budeme argumentovat podobně, zjistíme, že délka segmentu je rovna . Dosazením nalezených hodnot do vzorce dostaneme.

Výpočet vzdáleností mezi body na základě jejich souřadnic v rovině je elementární, na povrchu Země je to trochu složitější: budeme uvažovat o měření vzdálenosti a počátečního azimutu mezi body bez projekčních transformací. Nejprve si ujasněme terminologii.

Úvod

Velká délka kruhového oblouku– nejkratší vzdálenost mezi libovolnými dvěma body umístěnými na povrchu koule, měřená podél přímky spojující tyto dva body (taková čára se nazývá ortodromie) a procházející podél povrchu koule nebo jiné rotační plochy. Sférická geometrie se liší od normální euklidovské geometrie a rovnice vzdálenosti mají také jinou formu. V euklidovské geometrii je nejkratší vzdálenost mezi dvěma body přímka. Na kouli nejsou žádné přímé čáry. Tyto čáry na kouli jsou součástí velkých kružnic - kružnic, jejichž středy se shodují se středem koule. Počáteční azimut- azimut, jehož při započetí pohybu z bodu A, po velké kružnici na nejkratší vzdálenost k bodu B, bude koncovým bodem bod B. Při pohybu z bodu A do bodu B podél čáry velké kružnice se azimut od aktuální poloha ke koncovému bodu B je konstantní se mění. Počáteční azimut se liší od konstantního, po kterém se azimut od aktuálního bodu ke konečnému bodu nemění, ale sledovaná trasa není nejkratší vzdáleností mezi dvěma body.

Prostřednictvím libovolných dvou bodů na povrchu koule, pokud nejsou přímo proti sobě (to znamená, že nejsou antipody), lze nakreslit jedinečný velký kruh. Dva body rozdělují velký kruh na dva oblouky. Délka krátkého oblouku je nejkratší vzdálenost mezi dvěma body. Mezi dvěma protilehlými body lze nakreslit nekonečné množství velkých kruhů, ale vzdálenost mezi nimi bude stejná na jakékoli kružnici a rovná se polovině obvodu kruhu neboli π*R, kde R je poloměr koule.

V rovině (v pravoúhlém souřadnicovém systému) velké kruhy a jejich fragmenty, jak bylo zmíněno výše, představují oblouky ve všech projekcích kromě gnómonického, kde jsou velké kruhy rovné čáry. V praxi to znamená, že letadla a jiná letecká doprava vždy pro úsporu paliva používají trasu minimální vzdálenosti mezi body, to znamená, že let probíhá po velké kruhové vzdálenosti, v letadle to vypadá jako oblouk.

Tvar Země lze popsat jako kouli, takže rovnice vzdálenosti velkého kruhu jsou důležité pro výpočet nejkratší vzdálenosti mezi body na zemském povrchu a často se používají při navigaci. Výpočet vzdálenosti touto metodou je efektivnější a v mnoha případech přesnější než její výpočet pro projektované souřadnice (v pravoúhlých souřadnicových systémech), protože za prvé nevyžaduje převod zeměpisných souřadnic na pravoúhlý souřadnicový systém (provádění transformací promítání) a za druhé, mnoho projekcí, pokud je zvoleno nesprávně, může vést k významným délkovým zkreslením kvůli povaze zkreslení projekce. Je známo, že nejde o kouli, ale o elipsoid, který přesněji popisuje tvar Země, nicméně tento článek pojednává o výpočtu vzdáleností konkrétně na kouli, pro výpočty se používá koule o poloměru 6 372 795 metrů , což může vést k chybě ve výpočtu vzdáleností v řádu 0,5 %.

Vzorce

Existují tři způsoby, jak vypočítat sférickou vzdálenost velkého kruhu. 1. Sférická kosinová věta V případě malých vzdáleností a malé hloubky výpočtu (počet desetinných míst) může použití vzorce vést ke značným chybám zaokrouhlování. φ1, A1; φ2, λ2 - zeměpisná šířka a délka dvou bodů v radiánech Δλ - rozdíl souřadnic v zeměpisné délce Δδ - úhlový rozdíl Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Chcete-li převést úhlovou vzdálenost na metrickou vynásobte úhlový rozdíl poloměrem Země (6372795 metrů), jednotky konečné vzdálenosti se budou rovnat jednotkám, ve kterých je poloměr vyjádřen (v tomto případě metry). 2. Haversinův vzorec Používá se k zamezení problémů s krátkými vzdálenostmi. 3. Modifikace pro antipody Předchozí vzorec také podléhá problému antipodálních bodů, k jeho vyřešení se používá následující modifikace.

Moje implementace na PHP

// Poloměr Země define("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Vzdálenost mezi dvěma body * $φA, $λA - zeměpisná šířka, délka 1. bodu, * $φB, $λB - zeměpisná šířka, délka 2. bodu * Napsáno na http://gis-lab.info/ qa/great-circles.html * Michail Kobzarev< >* */ funkce vypočítatVzdálenost ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // převést souřadnice na radiány $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // kosinus a sinus rozdílů zeměpisných šířek a délek $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($lat2); $sl1 = sin($lat1 ); $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // výpočty délky velkého kruhu $y = sqrt(pow ( $cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $cl1 * $cl2 * $cdelta; / / $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) Příklad volání funkce: $lat1 = 77,1539; $long1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $long2 = -139,55; echo vypočítejVzdálenost($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "metry"; // Návrat "17166029 metrů"

Článek převzatý z webu