Matemaatika ülesannete lahendamisega kaasneb õpilaste jaoks sageli palju raskusi. Meie saidi peamine eesmärk on aidata õpilasel nende raskustega toime tulla, samuti õpetada neid rakendama olemasolevaid teoreetilisi teadmisi konkreetsete probleemide lahendamisel aine "Matemaatika" kõigis osades.

Teema ülesandeid lahendama asudes peaksid õpilased oskama selle koordinaatide abil konstrueerida tasapinnale punkti, samuti leidma antud punkti koordinaate.

Kahe tasapinnal võetud punkti A(x A; y A) ja B(x B; y B) vaheline kaugus arvutatakse valemi abil d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), kus d on lõigu pikkus, mis ühendab neid tasapinna punkte.

Kui lõigu üks otstest langeb kokku koordinaatide alguspunktiga ja teisel on koordinaadid M(x M; y M), siis on d arvutamise valem kujul OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Kahe punkti vahelise kauguse arvutamine nende punktide etteantud koordinaatide alusel

Näide 1.

Leidke koordinaattasandil punkte A(2; -5) ja B(-4; 3) ühendava lõigu pikkus (joonis 1).

Lahendus.

Ülesande avalduses on kirjas: x A = 2; x B = -4; y A = -5 ja y B = 3. Leidke d.

Rakendades valemit d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2, saame:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Kolmest antud punktist võrdsel kaugusel asuva punkti koordinaatide arvutamine

Näide 2.

Leidke kolmest punktist A(7; -1) ja B(-2; 2) ning C(-1; -5) võrdsel kaugusel asuva punkti O 1 koordinaadid.

Lahendus.

Ülesande tingimuste sõnastusest järeldub, et O 1 A = O 1 B = O 1 C. Olgu soovitud punktil O 1 koordinaadid (a; b). Kasutades valemit d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) leiame:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Loome kahe võrrandi süsteemi:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Pärast võrrandite vasaku ja parema külje ruudustamist kirjutame:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Lihtsustades kirjutame

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Olles lahendanud süsteemi, saame: a = 2; b = -1.

Punkt O 1 (2; -1) on võrdsel kaugusel tingimuses määratud kolmest punktist, mis ei asu samal sirgel. See punkt on kolme antud punkti läbiva ringi keskpunkt (Joonis 2).

3. Abstsissi (ordinaadi) arvutamine punktist, mis asub abstsissteljel (ordinaadi) teljel ja on antud punktist etteantud kaugusel

Näide 3.

Kaugus punktist B(-5; 6) punktini A, mis asub Härg-teljel, on 10. Leidke punkt A.

Lahendus.

Ülesande tingimuste sõnastusest järeldub, et punkti A ordinaat on võrdne nulliga ja AB = 10.

Tähistades punkti A abstsissi a-ga, kirjutame A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0–6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Saame võrrandi √((a + 5) 2 + 36) = 10. Seda lihtsustades saame

a 2 + 10a – 39 = 0.

Selle võrrandi juured on a 1 = -13; ja 2 = 3.

Saame kaks punkti A 1 (-13; 0) ja A 2 (3; 0).

Eksam:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0–6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0–6) 2) = 10.

Mõlemad saadud punktid sobivad vastavalt ülesande tingimustele (joonis 3).

4. Abstsissi (ordinaadi) arvutamine punktis, mis asub abstsisstelje (ordinaat) teljel ja on kahest antud punktist samal kaugusel

Näide 4.

Leia Oy teljel punkt, mis on punktidest A (6, 12) ja B (-8, 10) samal kaugusel.

Lahendus.

Olgu ülesande tingimustega nõutava punkti Oy teljel koordinaadid O 1 (0; b) (Oy-teljel asuvas punktis on abstsiss null). Tingimusest järeldub, et O 1 A = O 1 B.

Kasutades valemit d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) leiame:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Meil on võrrand √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) või 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Pärast lihtsustamist saame: b – 4 = 0, b = 4.

Punkt O 1 (0; 4), mida nõuavad ülesande tingimused (joonis 4).

5. Koordinaatide telgedest ja mõnest antud punktist samal kaugusel asuva punkti koordinaatide arvutamine

Näide 5.

Leidke punkt M, mis asub koordinaattasandil koordinaattelgedest ja punktist A(-2; 1) samal kaugusel.

Lahendus.

Vajalik punkt M, nagu punkt A(-2; 1), asub teises koordinaatnurgas, kuna see on võrdsel kaugusel punktidest A, P 1 ja P 2 (Joonis 5). Punkti M kaugused koordinaatide telgedest on samad, seetõttu on selle koordinaadid (-a; a), kus a > 0.

Ülesande tingimustest järeldub, et MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

need. |-a| = a.

Kasutades valemit d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) leiame:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Teeme võrrandi:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Pärast ruudustamist ja lihtsustamist saame: a 2 – 6a + 5 = 0. Lahenda võrrand, leia a 1 = 1; ja 2 = 5.

Saame kaks punkti M 1 (-1; 1) ja M 2 (-5; 5), mis vastavad ülesande tingimustele.

6. Abstsissi (ordinaat) teljest ja antud punktist samal kindlaksmääratud kaugusel asuva punkti koordinaatide arvutamine

Näide 6.

Leidke punkt M, mille kaugus ordinaatteljest ja punktist A(8; 6) on võrdne 5-ga.

Lahendus.

Ülesande tingimustest järeldub, et MA = 5 ja punkti M abstsiss on võrdne 5-ga. Olgu punkti M ordinaat võrdne b-ga, siis M(5; b) (joonis 6).

Vastavalt valemile d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) saame:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Teeme võrrandi:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Seda lihtsustades saame: b 2 – 12b + 20 = 0. Selle võrrandi juured on b 1 = 2; b 2 = 10. Järelikult on kaks punkti, mis vastavad ülesande tingimustele: M 1 (5; 2) ja M 2 (5; 10).

Teatavasti vajavad paljud õpilased iseseisvalt probleeme lahendades pidevaid konsultatsioone nende lahendamise tehnikate ja meetodite osas. Tihtipeale ei leia õpilane võimalust probleemi lahendamiseks ilma õpetaja abita. Õpilane saab vajalikku nõu probleemide lahendamiseks meie kodulehelt.

Kas teil on endiselt küsimusi? Kas te ei tea, kuidas leida tasapinna kahe punkti vaheline kaugus?
Juhendajalt abi saamiseks registreeruge.
Esimene tund on tasuta!

veebisaidil, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.

Kaugus punktist punkti on neid punkte ühendava segmendi pikkus antud skaalal. Seega, kui tegemist on kauguse mõõtmisega, peate teadma skaalat (pikkusühikut), milles mõõtmised tehakse. Seetõttu käsitletakse punktist punkti kauguse leidmise probleemi tavaliselt kas koordinaatjoonel või ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis tasapinnal või kolmemõõtmelises ruumis. Teisisõnu, kõige sagedamini peate arvutama punktide vahelise kauguse nende koordinaatide abil.

Selles artiklis tuletame kõigepealt meelde, kuidas määratakse kaugus punktist punktini koordinaatjoonel. Järgmiseks saame valemid tasandi või ruumi kahe punkti vahelise kauguse arvutamiseks etteantud koordinaatide järgi. Kokkuvõtteks käsitleme üksikasjalikult tüüpiliste näidete ja probleemide lahendusi.

Leheküljel navigeerimine.

Kahe koordinaatjoone punkti vaheline kaugus.

Kõigepealt defineerime tähistus. Me tähistame kaugust punktist A punkti B kui .

Sellest võime järeldada, et kaugus koordinaadiga punktist A koordinaadiga punktini B on võrdne koordinaatide erinevuse mooduliga, see on, punktide mis tahes asukoha jaoks koordinaatjoonel.

Tasapinna punktist punkti kaugus, valem.

Saame valemi punktidevahelise kauguse arvutamiseks ja antud ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis tasapinnal.

Sõltuvalt punktide A ja B asukohast on võimalikud järgmised valikud.

Kui punktid A ja B langevad kokku, on nende vaheline kaugus null.

Kui punktid A ja B asuvad sirgel, mis on risti abstsissteljega, siis punktid langevad kokku ja kaugus on võrdne vahemaaga . Eelmises lõigus saime teada, et kahe koordinaatjoone punkti vaheline kaugus on võrdne nende koordinaatide erinevuse mooduliga, seega . Seega,.

Samamoodi, kui punktid A ja B asuvad sirgel, mis on risti ordinaatteljega, siis kaugus punktist A punkti B leitakse kui .

Sel juhul on kolmnurk ABC ehituselt ristkülikukujuline ja Ja . Kõrval Pythagorase teoreem saame üles kirjutada võrdsuse, kust .

Võtame kõik saadud tulemused kokku: kaugus punktist tasapinna punktini leitakse punktide koordinaatide kaudu valemi abil .

Saadud valemit punktidevahelise kauguse leidmiseks saab kasutada siis, kui punktid A ja B langevad kokku või asuvad sirgel, mis on risti ühe koordinaatteljega. Tõepoolest, kui A ja B langevad kokku, siis . Kui punktid A ja B asuvad sirgel, mis on risti Ox-teljega, siis. Kui A ja B asuvad Oy teljega risti asetseval sirgel, siis .

Ruumipunktide vaheline kaugus, valem.

Tutvustame ruumis ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi Oxyz. Võtame valemi punktist kauguse leidmiseks asja juurde .

Üldjuhul ei asu punktid A ja B ühe koordinaattasandiga paralleelsel tasapinnal. Joonistame läbi punktide A ja B tasapinnad, mis on risti koordinaattelgedega Ox, Oy ja Oz. Nende tasapindade lõikepunktid koordinaattelgedega annavad meile punktide A ja B projektsioonid nendele telgedele. Tähistame projektsioone .

Nõutav kaugus punktide A ja B vahel on joonisel kujutatud ristkülikukujulise rööptahuka diagonaal. Konstruktsiooni järgi on selle rööptahuka mõõtmed võrdsed Ja . Gümnaasiumi geomeetriakursusel tõestati, et risttahuka diagonaali ruut on võrdne selle kolme mõõtme ruutude summaga, seega . Selle artikli esimeses jaotises oleva teabe põhjal saame kirjutada järgmised võrdsused, seega

kust me selle saame valem ruumipunktide vahelise kauguse leidmiseks .

See valem kehtib ka punktide A ja B korral

• kokku sobima;
• kuuluma ühte koordinaattelgedest või ühe koordinaatteljega paralleelsele sirgele;
• kuuluvad ühele koordinaattasanditest või ühe koordinaattasandiga paralleelsele tasapinnale.

Punkti kauguse leidmine, näited ja lahendused.

Niisiis, oleme saanud valemid kahe punkti vahelise kauguse leidmiseks koordinaatjoonel, tasapinnal ja kolmemõõtmelisel ruumil. On aeg vaadata lahendusi tüüpilistele näidetele.

Probleemide arv, mille puhul viimaseks sammuks on kahe punkti vahelise kauguse leidmine nende koordinaatide järgi, on tõesti tohutu. Selliste näidete täielik ülevaade ei kuulu selle artikli ulatusse. Siinkohal piirdume näidetega, kus on teada kahe punkti koordinaadid ja on vaja arvutada nendevaheline kaugus.

Koordinaatide abil määratakse objekti asukoht maakeral. Koordinaadid on tähistatud laius- ja pikkuskraadidega. Laiuskraade mõõdetakse mõlemalt poolt ekvaatori joonest. Põhjapoolkeral on laiuskraadid positiivsed, lõunapoolkeral negatiivsed. Pikkuskraad mõõdetakse algmeridiaanist vastavalt ida või lääne järgi, saadakse kas ida- või läänepikkuskraad.

Üldtunnustatud seisukoha kohaselt peetakse algmeridiaaniks seda, mis läbib Greenwichi vana Greenwichi observatooriumi. Asukoha geograafilised koordinaadid saate GPS-navigaatori abil. See seade võtab vastu satelliitpositsioneerimissüsteemi signaale WGS-84 koordinaatsüsteemis, mis on ühtne kogu maailma jaoks.

Navigaatorite mudelid erinevad tootja, funktsionaalsuse ja liidese poolest. Praegu on mõnes mobiiltelefoni mudelis saadaval ka sisseehitatud GPS-navigaatorid. Kuid iga mudel võib punkti koordinaate salvestada ja salvestada.

GPS-koordinaatide vaheline kaugus

Praktiliste ja teoreetiliste ülesannete lahendamiseks mõnes tööstuses on vaja osata määrata punktidevahelisi kaugusi nende koordinaatide järgi. Seda saate teha mitmel viisil. Geograafiliste koordinaatide esitamise kanooniline vorm: kraadid, minutid, sekundid.

Näiteks saate määrata kauguse järgmiste koordinaatide vahel: punkt nr 1 – laiuskraad 55°45′07″ N, pikkuskraad 37°36′56″ E; punkt nr 2 – laiuskraad 58°00′02″ põhjalaiust, idapikkus 102°39′42″.

Lihtsaim viis on kahe punkti vahelise pikkuse arvutamiseks kasutada kalkulaatorit. Brauseri otsingumootoris peate määrama järgmised otsinguparameetrid: võrgus - kahe koordinaadi vahelise kauguse arvutamiseks. Veebikalkulaatoris sisestatakse laius- ja pikkuskraadi väärtused esimese ja teise koordinaadi päringuväljale. Arvutamisel andis veebikalkulaator tulemuseks - 3 800 619 m.

Järgmine meetod on töömahukam, aga ka visuaalsem. Peate kasutama mis tahes saadaolevat kaardistamis- või navigeerimisprogrammi. Programmid, milles saate koordinaatide abil punkte luua ja nendevahelisi kaugusi mõõta, hõlmavad järgmisi rakendusi: BaseCamp (kaasaegne MapSource-programmi analoog), Google Earth, SAS.Planet.

Kõik ülaltoodud programmid on saadaval kõigile võrgukasutajatele. Näiteks Google Earthis kahe koordinaadi vahelise kauguse arvutamiseks peate looma kaks silti, mis näitavad esimese ja teise punkti koordinaate. Seejärel peate tööriista "Ruler" abil ühendama esimese ja teise märgi joonega, programm kuvab automaatselt mõõtmistulemuse ja näitab teed Maa satelliidipildil.

Ülaltoodud näite puhul andis Google Earth programm tagasi tulemuse - punkti nr 1 ja punkti nr 2 vahelise vahemaa pikkus on 3 817 353 m.

Miks on kauguse määramisel viga

Kõik koordinaatidevahelise ulatuse arvutused põhinevad kaare pikkuse arvutamisel. Maa raadius on seotud kaare pikkuse arvutamisega. Kuid kuna Maa kuju on lapiku ellipsoidi lähedal, on Maa raadius teatud punktides erinev. Koordinaatide vahelise kauguse arvutamiseks võetakse Maa raadiuse keskmine väärtus, mis annab mõõtmisel vea. Mida suurem on mõõdetav vahemaa, seda suurem on viga.

Matemaatika

§2. Tasapinna punkti koordinaadid

3. Kahe punkti vaheline kaugus.

Sina ja mina saame nüüd rääkida punktidest numbrite keeles. Näiteks ei pea me enam selgitama: võtke punkt, mis asub teljest kolm ühikut paremal ja viis ühikut teljest allpool. Piisab, kui öelda lihtsalt: võta punkt.

Oleme juba öelnud, et see loob teatud eelised. Seega saame telegraafiga edastada punktidest koosneva joonise, edastada selle arvutile, mis joonistest üldse aru ei saa, aga numbreid saab hästi aru.

Eelmises lõigus määratlesime mõned punktide komplektid tasapinnal, kasutades arvudevahelisi seoseid. Nüüd proovime järjekindlalt tõlkida arvude keelde teisi geomeetrilisi mõisteid ja fakte.

Alustame lihtsa ja tavalise ülesandega.

Leidke tasapinna kahe punkti vaheline kaugus.

Lahendus:
Nagu ikka, eeldame, et punktid on antud nende koordinaatide järgi ja siis on meie ülesandeks leida reegel, mille järgi saame arvutada punktide vahelise kauguse, teades nende koordinaate. Selle reegli tuletamisel on loomulikult lubatud kasutada joonist, kuid reegel ise ei tohiks sisaldada viiteid joonisele, vaid peaks näitama ainult, milliseid toiminguid ja millises järjekorras tuleb antud numbritega teha - koordinaadid punktidest - soovitud arvu saamiseks - punktide vaheline kaugus.

Võib-olla tundub mõnele lugejale selline lähenemine probleemi lahendamisele kummaliseks ja kaugeleulatuks. Nad ütlevad, mis on lihtsam, punktid antakse isegi koordinaatide järgi. Joonistage need punktid, võtke joonlaud ja mõõtke nendevaheline kaugus.

See meetod pole mõnikord nii halb. Kujutage aga uuesti ette, et teil on tegemist arvutiga. Tal pole joonlauda ja ta ei joonista, kuid ta oskab nii kiiresti lugeda, et see pole talle üldse probleem. Pange tähele, et meie ülesanne on sõnastatud nii, et kahe punkti vahelise kauguse arvutamise reegel koosneb käskudest, mida masin saab täita.

Parem on esmalt lahendada erijuhu jaoks püstitatud ülesanne, kui üks nendest punktidest asub koordinaatide alguspunktis. Alusta mõne numbrilise näitega: leidke kaugus punktide alguspunktist; Ja .

Märge. Kasutage Pythagorase teoreemi.

Nüüd kirjutage üldvalem punkti kauguse arvutamiseks lähtepunktist.

Punkti kaugus lähtepunktist määratakse järgmise valemiga:

Ilmselgelt vastab selle valemiga väljendatud reegel ülaltoodud tingimustele. Eelkõige saab seda kasutada arvutustes masinatel, mis suudavad arve korrutada, neid liita ja ruutjuure eraldada.

Nüüd lahendame üldise probleemi

Kui on antud kaks punkti tasapinnal, leidke nendevaheline kaugus.

Lahendus:
Tähistame punktide projektsioone ja koordinaattelgedel , , .

Tähistagem sirgete lõikepunkti tähega . Täisnurksest kolmnurgast Pythagorase teoreemi abil saame:

Kuid lõigu pikkus on võrdne segmendi pikkusega. Punktid ja , asuvad teljel ja on koordinaadid ja Vastavalt. Lõike 2 lõikes 3 saadud valemi kohaselt on nende vaheline kaugus võrdne .

Sarnaselt argumenteerides leiame, et segmendi pikkus on võrdne . Asendades leitud väärtused saadud valemiga.

Käesolevas artiklis vaatleme võimalusi, kuidas teoreetiliselt ja konkreetsete ülesannete näitel määrata kaugust punktist punktini. Alustuseks tutvustame mõningaid määratlusi.

Definitsioon 1

Punktide vaheline kaugus on neid ühendava lõigu pikkus olemasoleval skaalal. Pikkusühiku mõõtmiseks on vaja määrata skaala. Seetõttu lahendatakse punktidevahelise kauguse leidmise probleem põhimõtteliselt, kasutades nende koordinaate koordinaatjoonel, koordinaattasandil või kolmemõõtmelises ruumis.

Algandmed: koordinaatjoon O x ja sellel asuv suvaline punkt A. Igal punktil sirgel on üks reaalarv: olgu see punkti A jaoks kindel arv x A, see on ka punkti A koordinaat.

Üldiselt võib öelda, et teatud lõigu pikkust hinnatakse võrreldes lõiguga, mis on võetud antud skaalal pikkuseühikuna.

Kui punkt A vastab täisarvulisele reaalarvule, eraldades järjestikku punktist O punkti piki sirgjoont O A lõigud - pikkuseühikud, saame eraldatud ühikuliste segmentide koguarvust määrata lõigu O A pikkuse.

Näiteks punkt A vastab numbrile 3 - punktist O sinna jõudmiseks peate koondama kolm ühikusegmenti. Kui punktil A on koordinaat - 4, on ühikulõigud paigutatud sarnaselt, kuid erinevas negatiivses suunas. Seega on esimesel juhul kaugus O A võrdne 3-ga; teisel juhul O A = 4.

Kui punkti A koordinaadiks on ratsionaalarv, siis joonistame lähtepunktist (punktist O) ühikuliste lõikude täisarvu ja seejärel selle vajaliku osa. Kuid geomeetriliselt ei ole alati võimalik mõõta teha. Näiteks tundub, et murdosa 4 111 joonistamine koordinaatjoonele on keeruline.

Ülaltoodud meetodit kasutades on täiesti võimatu joonistada irratsionaalarvu sirgele. Näiteks kui punkti A koordinaat on 11. Sel juhul on võimalik pöörduda abstraktsiooni poole: kui punkti A antud koordinaat on suurem kui null, siis O A = x A (kauguseks võetakse arv); kui koordinaat on väiksem kui null, siis O A = - x A . Üldiselt on need väited tõesed mis tahes reaalarvu x A kohta.

Kokkuvõtteks: kaugus lähtepunktist punktini, mis vastab reaalarvule koordinaatjoonel, on võrdne:

• 0, kui punkt kattub lähtepunktiga;

• x A, kui x A > 0;

• - x A, kui x A< 0 .

Sel juhul on ilmne, et lõigu enda pikkus ei saa olla negatiivne, seetõttu kirjutame mooduli märgi abil koordinaadiga punktist O punkti A kauguse xA: O A = x A

Järgmine väide vastab tõele: kaugus ühest punktist teise on võrdne koordinaatide erinevuse mooduliga. Need. punktide A ja B jaoks, mis asuvad mis tahes asukoha jaoks samal koordinaatjoonel ja millel on vastavad koordinaadid xA Ja x B: A B = x B - x A .

Algandmed: punktid A ja B, mis asuvad tasapinnal ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis O x y etteantud koordinaatidega: A (x A, y A) ja B (x B, y B).

Joonestame punktide A ja B kaudu ristid koordinaattelgedele O x ja O y ning saame selle tulemusena projektsioonipunktid: A x, A y, B x, B y. Sõltuvalt punktide A ja B asukohast on võimalikud järgmised valikud:

Kui punktid A ja B langevad kokku, on nende vaheline kaugus null;

Kui punktid A ja B asuvad sirgel, mis on risti O x teljega (abstsisstell), siis punktid langevad kokku ja | A B | = | A y B y | . Kuna punktide vaheline kaugus on võrdne nende koordinaatide erinevuse mooduliga, siis A y B y = y B - y A ja seega A B = A y B y = y B - y A.

Kui punktid A ja B asuvad sirgel, mis on risti O y teljega (ordinaattelg) - analoogselt eelmise lõiguga: A B = A x B x = x B - x A

Kui punktid A ja B ei asu sirgel, mis on risti ühe koordinaatteljega, leiame nendevahelise kauguse arvutusvalemi tuletamise teel:

Näeme, et kolmnurk A B C on ehituselt ristkülikukujuline. Sel juhul A C = A x B x ja B C = A y B y. Kasutades Pythagorase teoreemi loome võrdsuse: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 ja seejärel teisendame selle: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Saadud tulemusest teeme järelduse: kaugus punktist A punkti B tasapinnal määratakse arvutamise teel, kasutades valemit, kasutades nende punktide koordinaate

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Saadud valem kinnitab ka eelnevalt moodustatud väiteid punktide või olukordade kokkulangemise juhtudel, kui punktid asuvad telgedega risti asetsevatel sirgtel. Seega, kui punktid A ja B langevad kokku, kehtib järgmine võrdsus: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Olukorras, kus punktid A ja B asuvad sirgel, mis on risti x-teljega:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Juhul, kui punktid A ja B asuvad sirgel, mis on risti ordinaatteljega:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Algandmed: ristkülikukujuline koordinaatide süsteem O x y z, millel asuvad suvalised punktid antud koordinaatidega A (x A, y A, z A) ja B (x B, y B, z B). On vaja kindlaks määrata nende punktide vaheline kaugus.

Vaatleme üldist juhust, kui punktid A ja B ei asu ühe koordinaattasandiga paralleelsel tasapinnal. Joonestame läbi punktide A ja B koordinaattelgedega risti olevad tasapinnad ja saame vastavad projektsioonipunktid: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Punktide A ja B vaheline kaugus on saadud rööptahuka diagonaal. Selle rööptahuka mõõtude konstruktsiooni järgi: A x B x , A y B y ja A z B z

Geomeetria kursusest teame, et rööptahuka diagonaali ruut on võrdne selle mõõtmete ruutude summaga. Selle väite põhjal saame võrdsuse: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Kasutades varem tehtud järeldusi, kirjutame järgmise:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Teisendame väljendit:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Lõplik valem ruumipunktide vahelise kauguse määramiseks näeb välja selline:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Saadud valem kehtib ka juhtudel, kui:

Punktid langevad kokku;

Need asuvad ühel koordinaatteljel või sirgel, mis on paralleelne ühe koordinaatteljega.

Näited ülesannete lahendamisest punktidevahelise kauguse leidmisel

Näide 1

Algandmed: on antud koordinaatjoon ja sellel asuvad punktid antud koordinaatidega A (1 - 2) ja B (11 + 2). On vaja leida kaugus lähtepunktist O punktini A ning punktide A ja B vahel.

Lahendus

1. Kaugus võrdluspunktist punktini on võrdne selle punkti koordinaadi mooduliga, vastavalt O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Punktide A ja B vahelise kauguse määratleme nende punktide koordinaatide erinevuse moodulina: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Vastus: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Näide 2

Algandmed: on antud ristkülikukujuline koordinaatsüsteem ja kaks sellel asuvat punkti A (1, - 1) ja B (λ + 1, 3). λ on mingi reaalarv. On vaja leida kõik selle arvu väärtused, mille juures kaugus A B on võrdne 5-ga.

Lahendus

Punktide A ja B vahelise kauguse leidmiseks peate kasutama valemit A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Asendades tegelikud koordinaatide väärtused, saame: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Kasutame ka olemasolevat tingimust, et A B = 5 ja siis on võrdsus tõene:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Vastus: A B = 5, kui λ = ± 3.

Näide 3

Algandmed: ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis O x y z on määratud kolmemõõtmeline ruum ja selles asuvad punktid A (1, 2, 3) ja B - 7, - 2, 4.

Lahendus

Ülesande lahendamiseks kasutame valemit A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Asendades reaalväärtused, saame: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Vastus: | A B | = 9

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter