حل مسائل ریاضی اغلب با مشکلات زیادی برای دانش آموزان همراه است. کمک به دانش آموز برای مقابله با این مشکلات و همچنین آموزش به آنها برای استفاده از دانش نظری موجود در هنگام حل مسائل خاص در تمام بخش های درس در موضوع "ریاضیات" هدف اصلی سایت ما است.

هنگامی که شروع به حل مسائل در مورد موضوع می کنند، دانش آموزان باید بتوانند با استفاده از مختصات آن نقطه ای را در یک صفحه بسازند و همچنین مختصات یک نقطه را پیدا کنند.

محاسبه فاصله بین دو نقطه A(x A; y A) و B(x B; y B) گرفته شده در یک صفحه با استفاده از فرمول انجام می شود. d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2)، جایی که d طول قطعه ای است که این نقاط را در صفحه به هم متصل می کند.

اگر یکی از انتهای قطعه با مبدا مختصات منطبق باشد و دیگری دارای مختصات M(x M; y M) باشد، فرمول محاسبه d به شکل OM = √(x M 2 + y M 2 خواهد بود. ).

1. محاسبه فاصله بین دو نقطه بر اساس مختصات داده شده این نقاط

مثال 1.

طول پاره ای را که نقاط A(2; -5) و B(-4; 3) را در صفحه مختصات به هم وصل می کند، بیابید (شکل 1).

راه حل.

بیان مسئله بیان می کند: x A = 2; x B = -4; y A = -5 و y B = 3. d را پیدا کنید.

با استفاده از فرمول d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2)، به دست می آوریم:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. محاسبه مختصات نقطه ای که از سه نقطه داده شده به یک اندازه فاصله دارد

مثال 2.

مختصات نقطه O 1 را بیابید که از سه نقطه A(7; -1) و B(-2; 2) و C(-1; -5) فاصله دارد.

راه حل.

از فرمول بندی شرایط مسئله چنین نتیجه می شود که O 1 A = O 1 B = O 1 C. بگذارید نقطه مورد نظر O 1 دارای مختصات (a; b) باشد. با استفاده از فرمول d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) پیدا می کنیم:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

بیایید یک سیستم از دو معادله ایجاد کنیم:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

پس از مجذوب کردن سمت چپ و راست معادلات، می نویسیم:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

در حال ساده کردن، بیایید بنویسیم

(-3a + b + 7 = 0،
(-2a – b + 3 = 0.

پس از حل سیستم، به دست می آوریم: a = 2; b = -1.

نقطه O 1 (2; -1) از سه نقطه مشخص شده در شرایطی که روی یک خط مستقیم قرار ندارند فاصله یکسانی دارد. این نقطه مرکز دایره ای است که از سه نقطه مشخص می گذرد (شکل 2).

3. محاسبه ابسیسا (مرتب) نقطه ای که روی محور ابسیسا (مرتب) قرار دارد و در فاصله معینی از یک نقطه معین قرار دارد.

مثال 3.

فاصله نقطه B(-5; 6) تا نقطه A که روی محور Ox قرار دارد 10 است. نقطه A را پیدا کنید.

راه حل.

از فرمول بندی شرایط مسئله چنین بر می آید که اردیت نقطه A برابر با صفر و AB = 10 است.

با نشان دادن ابسیسا نقطه A با a، A(a; 0) را می نویسیم.

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

معادله √((a + 5) 2 + 36) = 10 را بدست می آوریم. با ساده کردن آن، داریم

a 2 + 10a - 39 = 0.

ریشه های این معادله 1 = -13 است. و 2 = 3.

ما دو امتیاز A 1 (-13; 0) و A 2 (3; 0) دریافت می کنیم.

معاینه:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

هر دو امتیاز به دست آمده با توجه به شرایط مسئله مناسب هستند (شکل 3).

4. محاسبه ابسیسا (مرتب) نقطه ای که روی محور ابسیسا (مرتبط) قرار دارد و از دو نقطه داده شده در همان فاصله قرار دارد.

مثال 4.

نقطه ای را در محور Oy پیدا کنید که با نقاط A (6، 12) و B (8-، 10) در یک فاصله باشد.

راه حل.

بگذارید مختصات نقطه مورد نیاز شرایط مسئله، واقع در محور Oy، O 1 باشد (0؛ b) (در نقطه ای که روی محور Oy قرار دارد، آبسیسا صفر است). از این شرط نتیجه می شود که O 1 A = O 1 B.

با استفاده از فرمول d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) پیدا می کنیم:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

معادله √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) یا 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 را داریم.

پس از ساده سازی به دست می آید: b – 4 = 0، b = 4.

نقطه O 1 (0؛ 4) برای شرایط مسئله مورد نیاز است (شکل 4).

5. محاسبه مختصات نقطه ای که در همان فاصله از محورهای مختصات و چند نقطه مشخص قرار دارد.

مثال 5.

نقطه M واقع در صفحه مختصات را در همان فاصله از محورهای مختصات و از نقطه A (-2; 1) پیدا کنید.

راه حل.

نقطه مورد نیاز M، مانند نقطه A(-2؛ 1)، در زاویه مختصات دوم قرار دارد، زیرا از نقاط A، P 1 و P 2 مساوی فاصله دارد. (شکل 5). فواصل نقطه M از محورهای مختصات یکسان است، بنابراین مختصات آن (-a; a) خواهد بود، که در آن a > 0 است.

از شرایط مسئله چنین می شود که MA = MR 1 = MR 2، MR 1 = a. MP 2 = |-a|،

آن ها |-a| = a.

با استفاده از فرمول d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) پیدا می کنیم:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

بیایید یک معادله بسازیم:

√((-а + 2) 2 + (а - 1) 2) = а.

پس از مربع کردن و ساده سازی، داریم: a 2 – 6a + 5 = 0. معادله را حل کنید، a 1 = 1 را پیدا کنید. و 2 = 5.

دو نقطه M 1 (-1; 1) و M 2 (-5; 5) به دست می آوریم که شرایط مسئله را برآورده می کند.

6. محاسبه مختصات نقطه ای که در همان فاصله مشخص شده از محور آبسیسا (مرتبط) و از نقطه داده شده قرار دارد.

مثال 6.

نقطه M را به گونه ای بیابید که فاصله آن از محور مختصات و از نقطه A(8; 6) برابر با 5 باشد.

راه حل.

از شرایط مسئله چنین استنباط می شود که MA = 5 و ابسیسا نقطه M برابر با 5 است. فرض کنید که مختصات نقطه M برابر b باشد، سپس M(5; b) (شکل 6).

طبق فرمول d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) داریم:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

بیایید یک معادله بسازیم:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. با ساده سازی آن به دست می آید: b 2 – 12b + 20 = 0. ریشه های این معادله b 1 = 2 است. b 2 = 10. در نتیجه، دو نقطه وجود دارد که شرایط مسئله را برآورده می کند: M 1 (5; 2) و M 2 (5; 10).

مشخص است که بسیاری از دانش آموزان هنگام حل مسائل به طور مستقل نیاز به مشاوره مداوم در مورد تکنیک ها و روش های حل آنها دارند. اغلب، دانش آموز بدون کمک معلم نمی تواند راهی برای حل یک مشکل پیدا کند. دانش آموز می تواند مشاوره های لازم را در زمینه حل مشکلات در وب سایت ما دریافت کند.

هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه فاصله بین دو نقطه در هواپیما را پیدا کنید؟
برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

فاصله از نقطه به نقطهطول قطعه ای است که این نقاط را در یک مقیاس معین به هم متصل می کند. بنابراین، وقتی نوبت به اندازه‌گیری فاصله می‌رسد، باید مقیاس (واحد طول) را که در آن اندازه‌گیری‌ها انجام می‌شود، بدانید. بنابراین، مشکل یافتن فاصله از نقطه به نقطه معمولاً یا در یک خط مختصات یا در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی در یک صفحه یا در فضای سه بعدی در نظر گرفته می شود. به عبارت دیگر، اغلب شما باید فاصله بین نقاط را با استفاده از مختصات آنها محاسبه کنید.

در این مقاله ابتدا نحوه تعیین فاصله نقطه به نقطه روی یک خط مختصات را یادآوری می کنیم. سپس فرمول هایی را برای محاسبه فاصله بین دو نقطه از صفحه یا فضا با توجه به مختصات داده شده به دست می آوریم. در پایان، ما به طور مفصل راه حل هایی برای مثال ها و مشکلات معمولی را در نظر خواهیم گرفت.

پیمایش صفحه.

فاصله بین دو نقطه روی یک خط مختصات.

بیایید ابتدا نماد را تعریف کنیم. فاصله نقطه A تا نقطه B را به صورت .

از اینجا می توان نتیجه گرفت که فاصله نقطه A با مختصات تا نقطه B با مختصات برابر است با مدول اختلاف مختصات، به این معنا که، برای هر مکان از نقاط روی خط مختصات.

فاصله از نقطه به نقطه در یک هواپیما، فرمول.

ما یک فرمول برای محاسبه فاصله بین نقاط بدست می آوریم و در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی در یک صفحه داده می شود.

بسته به محل نقاط A و B گزینه های زیر امکان پذیر است.

اگر نقاط A و B بر هم منطبق باشند، فاصله بین آنها صفر است.

اگر نقاط A و B بر روی یک خط مستقیم عمود بر محور آبسیسا قرار بگیرند، آنگاه نقاط بر هم منطبق هستند و فاصله برابر با فاصله است. در پاراگراف قبل متوجه شدیم که فاصله بین دو نقطه روی یک خط مختصات برابر است با مدول اختلاف مختصات آنها، بنابراین، . از این رو، .

به طور مشابه، اگر نقاط A و B بر روی یک خط مستقیم عمود بر محور قرار بگیرند، فاصله نقطه A تا نقطه B برابر است.

در این حالت مثلث ABC از نظر ساخت مستطیل شکل است و و . توسط قضیه فیثاغورسما می توانیم برابری را بنویسیم، از آنجا .

بیایید تمام نتایج به دست آمده را خلاصه کنیم: فاصله یک نقطه تا یک نقطه در یک صفحه از طریق مختصات نقاط با استفاده از فرمول پیدا می شود .

زمانی که نقاط A و B بر روی یک خط مستقیم عمود بر یکی از محورهای مختصات منطبق یا قرار دارند، می توان از فرمول حاصل برای یافتن فاصله بین نقاط استفاده کرد. در واقع، اگر A و B بر هم منطبق باشند، آنگاه . اگر نقاط A و B بر روی یک خط مستقیم عمود بر محور Ox قرار بگیرند، پس. اگر A و B روی یک خط مستقیم عمود بر محور Oy قرار بگیرند، آنگاه .

فاصله بین نقاط در فضا، فرمول.

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی Oxyz را در فضا معرفی کنیم. بیایید فرمولی برای یافتن فاصله از یک نقطه بدست آوریم به نقطه .

به طور کلی، نقاط A و B در صفحه موازی با یکی از صفحات مختصات قرار ندارند. اجازه دهید صفحات A و B را عمود بر محورهای مختصات Ox، Oy و Oz ترسیم کنیم. نقاط تلاقی این صفحات با محورهای مختصات، نقاط A و B را بر روی این محورها به ما می دهند. ما پیش بینی ها را نشان می دهیم .

فاصله مورد نیاز بین نقاط A و B، مورب متوازی الاضلاع مستطیلی است که در شکل نشان داده شده است. با ساخت، ابعاد این متوازی الاضلاع برابر است و . در یک درس هندسه دبیرستان ثابت شد که مربع قطر مکعب برابر است با مجموع مربع های سه بعدی آن، بنابراین، . بر اساس اطلاعات بخش اول این مقاله، می توانیم برابری های زیر را بنویسیم، بنابراین،

از کجا بیاریم فرمول برای یافتن فاصله بین نقاط در فضا .

اگر نقاط A و B نیز این فرمول معتبر است

• مطابقت دادن
• متعلق به یکی از محورهای مختصات یا خطی موازی با یکی از محورهای مختصات.
• متعلق به یکی از صفحات مختصات یا صفحه موازی با یکی از صفحات مختصات است.

پیدا کردن فاصله از نقطه به نقطه، مثال ها و راه حل ها.

بنابراین، فرمول هایی برای یافتن فاصله بین دو نقطه در یک خط مختصات، صفحه و فضای سه بعدی به دست آورده ایم. وقت آن است که به راه حل هایی برای مثال های معمولی نگاه کنید.

تعداد مسائلی که در آن مرحله نهایی یافتن فاصله بین دو نقطه با توجه به مختصات آنها است واقعاً بسیار زیاد است. بررسی کامل چنین نمونه هایی از حوصله این مقاله خارج است. در اینجا به مثال هایی اکتفا می کنیم که مختصات دو نقطه مشخص است و لازم است فاصله بین آنها محاسبه شود.

با استفاده از مختصات، مکان یک شی در کره زمین مشخص می شود. مختصات با طول و عرض جغرافیایی نشان داده می شوند. عرض جغرافیایی از خط استوا در هر دو طرف اندازه گیری می شود. در نیمکره شمالی عرض های جغرافیایی مثبت و در نیمکره جنوبی منفی است. طول جغرافیایی از نصف النهار اول به ترتیب شرقی یا غربی اندازه گیری می شود، طول جغرافیایی شرقی یا غربی به دست می آید.

با توجه به موقعیت پذیرفته شده کلی، نصف النهار اول در نظر گرفته می شود که از رصدخانه قدیمی گرینویچ در گرینویچ می گذرد. مختصات جغرافیایی مکان را می توان با استفاده از یک ناوبر GPS بدست آورد. این دستگاه سیگنال های سیستم موقعیت یاب ماهواره ای را در سیستم مختصات WGS-84، یکنواخت برای کل جهان دریافت می کند.

مدل های Navigator از نظر سازنده، عملکرد و رابط متفاوت هستند. در حال حاضر، ناوبرهای GPS داخلی در برخی از مدل های تلفن همراه نیز موجود است. اما هر مدلی می تواند مختصات یک نقطه را ثبت و ذخیره کند.

فاصله بین مختصات GPS

برای حل مسائل عملی و نظری در برخی صنایع باید بتوان فاصله نقاط را با مختصات آنها تعیین کرد. چندین راه وجود دارد که می توانید این کار را انجام دهید. شکل متعارف نمایش مختصات جغرافیایی: درجه، دقیقه، ثانیه.

به عنوان مثال، می توانید فاصله بین مختصات زیر را تعیین کنید: نقطه شماره 1 - عرض جغرافیایی 55°45′07″ شمالی، طول جغرافیایی 37°36′56″ شرقی. نقطه شماره 2 - عرض جغرافیایی 58°00′02″ شمالی، طول جغرافیایی 102°39′42″ شرقی.

ساده ترین راه استفاده از ماشین حساب برای محاسبه طول بین دو نقطه است. در موتور جستجوی مرورگر، باید پارامترهای جستجوی زیر را تنظیم کنید: آنلاین - برای محاسبه فاصله بین دو مختصات. در ماشین حساب آنلاین، مقادیر طول و عرض جغرافیایی در فیلدهای درخواست مختصات اول و دوم وارد می شود. هنگام محاسبه، ماشین حساب آنلاین نتیجه را داد - 3،800،619 متر.

روش بعدی کار فشرده تر، اما بصری تر است. شما باید از هر برنامه نقشه برداری یا ناوبری موجود استفاده کنید. برنامه هایی که در آنها می توانید نقاطی را با استفاده از مختصات ایجاد کنید و فواصل بین آنها را اندازه گیری کنید شامل برنامه های زیر است: BaseCamp (یک آنالوگ مدرن از برنامه MapSource)، Google Earth، SAS.Planet.

تمامی برنامه های فوق برای هر کاربر شبکه در دسترس است. به عنوان مثال، برای محاسبه فاصله بین دو مختصات در Google Earth، باید دو برچسب ایجاد کنید که مختصات نقطه اول و نقطه دوم را نشان دهد. سپس با استفاده از ابزار "Ruler" باید علامت های اول و دوم را با یک خط وصل کنید، برنامه به طور خودکار نتیجه اندازه گیری را نمایش می دهد و مسیر را روی تصویر ماهواره ای زمین نشان می دهد.

در مورد مثال بالا، برنامه Google Earth نتیجه را برگرداند - طول فاصله بین نقطه شماره 1 و نقطه شماره 2 3,817,353 متر است.

چرا هنگام تعیین فاصله خطا وجود دارد

تمام محاسبات وسعت بین مختصات بر اساس محاسبه طول قوس است. شعاع زمین در محاسبه طول قوس نقش دارد. اما از آنجایی که شکل زمین نزدیک به یک بیضی مایل است، شعاع زمین در نقاط خاصی متفاوت است. برای محاسبه فاصله بین مختصات، مقدار متوسط ​​شعاع زمین گرفته می شود که در اندازه گیری خطا می دهد. هر چه فاصله اندازه گیری شده بیشتر باشد، خطا بیشتر می شود.

ریاضیات

§2. مختصات یک نقطه در هواپیما

3. فاصله بین دو نقطه.

من و شما اکنون می توانیم در مورد نقاط به زبان اعداد صحبت کنیم. به عنوان مثال، دیگر نیازی به توضیح نیست: نقطه ای را در نظر بگیرید که سه واحد در سمت راست محور و پنج واحد در زیر محور قرار دارد. کافی است به سادگی بگوییم: نکته را در نظر بگیرید.

قبلاً گفتیم که این مزیت های خاصی ایجاد می کند. بنابراین، می‌توانیم نقاشی‌ای که از نقطه‌ها تشکیل شده است را با تلگراف منتقل کنیم، آن را به رایانه‌ای که اصلاً نقاشی‌ها را نمی‌فهمد، اما اعداد را به خوبی می‌فهمد، مخابره کنیم.

در پاراگراف قبل، مجموعه‌ای از نقاط روی صفحه را با استفاده از روابط بین اعداد تعریف کردیم. اکنون بیایید سعی کنیم مفاهیم و حقایق هندسی را به طور مداوم به زبان اعداد ترجمه کنیم.

ما با یک کار ساده و معمول شروع خواهیم کرد.

فاصله بین دو نقطه در هواپیما را پیدا کنید.

راه حل:
مثل همیشه، ما فرض می کنیم که نقاط با مختصات آنها داده می شود، و سپس وظیفه ما این است که قاعده ای را پیدا کنیم که به وسیله آن بتوانیم فاصله بین نقاط را با دانستن مختصات آنها محاسبه کنیم. هنگام استخراج این قاعده، البته، مجاز است به یک نقاشی متوسل شود، اما خود قانون نباید هیچ ارجاعی به نقاشی داشته باشد، بلکه فقط باید نشان دهد که چه اقدامات و به چه ترتیبی باید روی اعداد داده شده - مختصات - انجام شود. از نقاط - برای به دست آوردن عدد مورد نظر - فاصله بین نقاط.

شاید برخی از خوانندگان این رویکرد برای حل مشکل را عجیب و دور از ذهن بیابند. آنچه ساده تر است، آنها می گویند، امتیاز داده می شود، حتی با مختصات. این نقاط را بکشید، یک خط کش بردارید و فاصله بین آنها را اندازه بگیرید.

این روش گاهی اوقات چندان بد نیست. با این حال، دوباره تصور کنید که با یک کامپیوتر سر و کار دارید. او خط کش ندارد و نقاشی نمی کشد، اما می تواند آنقدر سریع بشمارد که اصلا برایش مشکلی ایجاد نمی کند. توجه داشته باشید که مشکل ما طوری فرموله شده است که قانون محاسبه فاصله بین دو نقطه شامل دستوراتی است که می تواند توسط یک ماشین اجرا شود.

بهتر است ابتدا مشکل مطرح شده برای مورد خاصی که یکی از این نقاط در مبدا مختصات قرار دارد حل شود. با چند مثال عددی شروع کنید: فاصله از مبدا نقاط را پیدا کنید. و .

توجه داشته باشید. از قضیه فیثاغورث استفاده کنید.

حالا یک فرمول کلی برای محاسبه فاصله یک نقطه از مبدا بنویسید.

فاصله یک نقطه از مبدا با فرمول تعیین می شود:

بدیهی است که قاعده بیان شده توسط این فرمول شرایط ذکر شده در بالا را برآورده می کند. به ویژه، می توان از آن در محاسبات روی ماشین هایی استفاده کرد که می توانند اعداد را ضرب کنند، آنها را جمع کنند و ریشه های مربع را استخراج کنند.

حالا بیایید مشکل کلی را حل کنیم

با توجه به دو نقطه در یک هواپیما، فاصله بین آنها را پیدا کنید.

راه حل:
اجازه دهید با , , , پیش بینی نقاط و محورهای مختصات را نشان دهیم.

اجازه دهید نقطه تلاقی خطوط را با حرف مشخص کنیم. از یک مثلث قائم الزاویه با استفاده از قضیه فیثاغورث به دست می آوریم:

اما طول قطعه برابر با طول قطعه است. نقاط و، روی محور قرار دارند و به ترتیب دارای مختصات و . طبق فرمول به دست آمده در بند 3 بند 2 فاصله بین آنها برابر است.

با استدلال مشابه، متوجه می شویم که طول قطعه برابر است با . با جایگزینی مقادیر یافت شده و به فرمولی که دریافت می کنیم.

در این مقاله راه هایی برای تعیین فاصله از نقطه به نقطه به صورت نظری و با استفاده از مثال وظایف خاص بررسی خواهیم کرد. برای شروع، چند تعاریف را معرفی می کنیم.

تعریف 1

فاصله بین نقاططول بخش اتصال آنها در مقیاس موجود است. برای داشتن یک واحد طول برای اندازه گیری لازم است یک مقیاس تنظیم کنید. بنابراین، اساساً مشکل یافتن فاصله بین نقاط با استفاده از مختصات آنها در یک خط مختصات، در یک صفحه مختصات یا فضای سه بعدی حل می شود.

داده های اولیه: خط مختصات O x و یک نقطه دلخواه A روی آن قرار دارد. هر نقطه از خط دارای یک عدد واقعی است: بگذارید عدد معینی برای نقطه A باشد. x A,همچنین مختصات نقطه A است.

به طور کلی می توان گفت که طول یک قطعه معین در مقایسه با قطعه ای که به عنوان واحد طول در یک مقیاس معین گرفته می شود، ارزیابی می شود.

اگر نقطه A با یک عدد واقعی مطابقت دارد، با کنار گذاشتن متوالی از نقطه O به نقطه در امتداد خط مستقیم O A قطعات - واحدهای طول، می توانیم طول قطعه O A را از تعداد کل قطعات واحد کنار گذاشته شده تعیین کنیم.

به عنوان مثال، نقطه A مربوط به عدد 3 است - برای رسیدن به آن از نقطه O، باید سه بخش واحد را کنار بگذارید. اگر نقطه A دارای مختصات - 4 باشد، بخش های واحد به روشی مشابه، اما در جهت منفی متفاوت قرار می گیرند. بنابراین، در حالت اول، فاصله O A برابر با 3 است. در حالت دوم O A = 4.

اگر نقطه A یک عدد گویا به عنوان مختصات داشته باشد، از مبدا (نقطه O) یک عدد صحیح از بخش های واحد و سپس قسمت ضروری آن را رسم می کنیم. اما از نظر هندسی همیشه نمی توان اندازه گیری کرد. برای مثال، رسم کسری 4 111 روی خط مختصات دشوار به نظر می رسد.

با استفاده از روش فوق، رسم یک عدد غیر منطقی روی یک خط مستقیم کاملاً غیرممکن است. مثلاً وقتی مختصات نقطه A 11 باشد. در این مورد، می توان به انتزاع روی آورد: اگر مختصات داده شده نقطه A بزرگتر از صفر باشد، O A = x A (عدد به عنوان فاصله در نظر گرفته می شود). اگر مختصات کمتر از صفر باشد، O A = - x A . به طور کلی، این عبارات برای هر عدد واقعی x A صادق است.

به طور خلاصه: فاصله از مبدا تا نقطه ای که مطابق با یک عدد واقعی در خط مختصات است برابر است با:

• 0 اگر نقطه با مبدا منطبق باشد.

• x A، اگر x A > 0;

• - x A اگر x A< 0 .

در این صورت بدیهی است که طول قطعه به خودی خود نمی تواند منفی باشد، بنابراین با استفاده از علامت مدول فاصله نقطه O تا نقطه A را با مختصات می نویسیم. xA: O A = x A

جمله زیر درست خواهد بود: فاصله یک نقطه تا نقطه دیگر برابر مدول اختلاف مختصات خواهد بود.آن ها برای نقاط A و B که روی یک خط مختصات برای هر مکان قرار دارند و مختصات مربوطه دارند xAو x B: A B = x B - x A.

داده های اولیه: نقاط A و B که روی صفحه ای در یک سیستم مختصات مستطیلی O x y با مختصات داده شده قرار دارند: A (x A, y A) و B (x B, y B).

اجازه دهید از طریق نقاط A و B عمود بر محورهای مختصات O x و O y رسم کنیم و در نتیجه نقاط طرح را بدست آوریم: A x، A y، B x، B y. بر اساس مکان نقاط A و B، گزینه های زیر ممکن است:

اگر نقاط A و B بر هم منطبق باشند، فاصله بین آنها صفر است.

اگر نقاط A و B بر روی یک خط مستقیم عمود بر محور Ox (محور آبسیسا) قرار بگیرند، آنگاه نقاط بر هم منطبق هستند و | A B | = | A y B y | . از آنجایی که فاصله بین نقاط برابر با مدول اختلاف مختصات آنها است، A y B y = y B - y A و بنابراین A B = A y B y = y B - y A.

اگر نقاط A و B بر روی یک خط مستقیم عمود بر محور O y (محور مختصات) قرار بگیرند - بر اساس قیاس با پاراگراف قبلی: A B = A x B x = x B - x A

اگر نقاط A و B بر روی یک خط مستقیم عمود بر یکی از محورهای مختصات قرار نگیرند، با استخراج فرمول محاسبه فاصله بین آنها را خواهیم یافت:

می بینیم که مثلث A B C از نظر ساخت مستطیل شکل است. در این مورد، A C = A x B x و B C = A y B y. با استفاده از قضیه فیثاغورث، تساوی را ایجاد می کنیم: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 و سپس آن را تبدیل می کنیم: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

بیایید از نتیجه به دست آمده نتیجه بگیریم: فاصله از نقطه A تا نقطه B در صفحه با محاسبه با استفاده از فرمول با استفاده از مختصات این نقاط تعیین می شود.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

فرمول به دست آمده همچنین اظهارات قبلی را برای موارد تصادف نقاط یا موقعیت هایی که نقاط روی خطوط مستقیم عمود بر محورها قرار دارند تأیید می کند. بنابراین، اگر نقاط A و B بر هم منطبق باشند، برابری زیر درست خواهد بود: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

برای موقعیتی که نقاط A و B روی یک خط مستقیم عمود بر محور x قرار دارند:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

برای حالتی که نقاط A و B بر روی یک خط مستقیم عمود بر محور قرار می گیرند:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

داده های اولیه: یک سیستم مختصات مستطیلی O x y z با نقاط دلخواه که روی آن قرار گرفته اند با مختصات داده شده A (x A, y A, z A) و B (x B, y B, z B). تعیین فاصله بین این نقاط ضروری است.

بیایید حالت کلی را در نظر بگیریم که نقاط A و B در صفحه موازی با یکی از صفحات مختصات قرار نگیرند. اجازه دهید صفحات عمود بر محورهای مختصات را از طریق نقاط A و B رسم کنیم و نقاط طرح مربوطه را بدست آوریم: A x , A y , A z , B x , B y , B z

فاصله بین نقاط A و B قطر متوازی الاضلاع است. با توجه به ساخت و ساز اندازه گیری های این متوازی الاضلاع: A x B x، A y B y و A z B z

از درس هندسه می دانیم که مربع قطر یک متوازی الاضلاع برابر است با مجموع مجذورات ابعاد آن. بر اساس این عبارت، برابری را بدست می آوریم: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

با استفاده از نتیجه گیری های قبلی، موارد زیر را می نویسیم:

A x B x = x B - x A، A y B y = y B - y A، A z B z = z B - z A

بیایید عبارت را تبدیل کنیم:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

نهایی فرمول تعیین فاصله بین نقاط در فضابه این صورت خواهد بود:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

فرمول به دست آمده برای موارد زیر نیز معتبر است:

نقاط منطبق هستند.

آنها روی یک محور مختصات یا یک خط مستقیم موازی با یکی از محورهای مختصات قرار دارند.

نمونه هایی از حل مسائل در یافتن فاصله بین نقاط

مثال 1

داده های اولیه: یک خط مختصات و نقاطی که روی آن قرار دارند با مختصات A (1 - 2) و B (11 + 2) داده شده است. باید فاصله نقطه مبدا O تا نقطه A و بین نقاط A و B را پیدا کرد.

راه حل

1. فاصله نقطه مرجع تا نقطه برابر مدول مختصات این نقطه است، به ترتیب O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. ما فاصله بین نقاط A و B را به عنوان مدول اختلاف بین مختصات این نقاط تعریف می کنیم: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

پاسخ: O A = 2 - 1، A B = 10 + 2 2

مثال 2

داده های اولیه: یک سیستم مختصات مستطیلی و دو نقطه روی آن A (1، - 1) و B (λ + 1، 3) داده شده است. λ مقداری واقعی است. لازم است تمام مقادیر این عدد را پیدا کنید که در آن فاصله A B برابر با 5 باشد.

راه حل

برای یافتن فاصله بین نقاط A و B باید از فرمول A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 استفاده کنید.

با جایگزینی مقادیر مختصات واقعی، به دست می آوریم: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

ما همچنین از شرط موجود استفاده می کنیم که A B = 5 و سپس برابری درست خواهد بود:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = 3 ±

پاسخ: اگر λ = 3 ± B = 5.

مثال 3

داده های اولیه: یک فضای سه بعدی در سیستم مختصات مستطیلی O x y z و نقاط A (1، 2، 3) و B - 7، - 2، 4 در آن مشخص شده است.

راه حل

برای حل مسئله از فرمول A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2 استفاده می کنیم.

با جایگزینی مقادیر واقعی، دریافت می کنیم: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

پاسخ: | A B | = 9

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید