فاصله از نقطه به نقطهطول قطعه ای است که این نقاط را در یک مقیاس معین به هم متصل می کند. بنابراین، وقتی نوبت به اندازه‌گیری فاصله می‌رسد، باید مقیاس (واحد طول) را که در آن اندازه‌گیری‌ها انجام می‌شود، بدانید. بنابراین، مشکل یافتن فاصله از نقطه به نقطه معمولاً یا در یک خط مختصات یا در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی در یک صفحه یا در فضای سه بعدی در نظر گرفته می شود. به عبارت دیگر، اغلب شما باید فاصله بین نقاط را با استفاده از مختصات آنها محاسبه کنید.

در این مقاله ابتدا نحوه تعیین فاصله نقطه به نقطه روی یک خط مختصات را یادآوری می کنیم. سپس فرمول هایی را برای محاسبه فاصله بین دو نقطه از صفحه یا فضا با توجه به مختصات داده شده به دست می آوریم. در پایان، ما به طور مفصل راه حل هایی برای مثال ها و مشکلات معمولی را در نظر خواهیم گرفت.

پیمایش صفحه.

فاصله بین دو نقطه روی یک خط مختصات.

بیایید ابتدا نماد را تعریف کنیم. فاصله نقطه A تا نقطه B را به صورت .

از اینجا می توان نتیجه گرفت که فاصله نقطه A با مختصات تا نقطه B با مختصات برابر است با مدول اختلاف مختصات، به این معنا که، برای هر مکان از نقاط روی خط مختصات.

فاصله از نقطه به نقطه در یک هواپیما، فرمول.

ما یک فرمول برای محاسبه فاصله بین نقاط بدست می آوریم و در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی در یک صفحه داده می شود.

بسته به محل نقاط A و B گزینه های زیر امکان پذیر است.

اگر نقاط A و B بر هم منطبق باشند، فاصله بین آنها صفر است.

اگر نقاط A و B بر روی یک خط مستقیم عمود بر محور آبسیسا قرار بگیرند، آنگاه نقاط بر هم منطبق هستند و فاصله برابر با فاصله است. در پاراگراف قبل متوجه شدیم که فاصله بین دو نقطه روی یک خط مختصات برابر است با مدول اختلاف مختصات آنها، بنابراین، . از این رو، .

به طور مشابه، اگر نقاط A و B بر روی یک خط مستقیم عمود بر محور قرار بگیرند، فاصله نقطه A تا نقطه B برابر است.

در این حالت مثلث ABC از نظر ساخت مستطیل شکل است و و . توسط قضیه فیثاغورسما می توانیم برابری را بنویسیم، از آنجا .

بیایید تمام نتایج به دست آمده را خلاصه کنیم: فاصله یک نقطه تا یک نقطه در یک صفحه از طریق مختصات نقاط با استفاده از فرمول پیدا می شود .

زمانی که نقاط A و B بر روی یک خط مستقیم عمود بر یکی از محورهای مختصات منطبق یا قرار دارند، می توان از فرمول حاصل برای یافتن فاصله بین نقاط استفاده کرد. در واقع، اگر A و B بر هم منطبق باشند، آنگاه . اگر نقاط A و B بر روی یک خط مستقیم عمود بر محور Ox قرار بگیرند، پس. اگر A و B روی یک خط مستقیم عمود بر محور Oy قرار بگیرند، آنگاه .

فاصله بین نقاط در فضا، فرمول.

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی Oxyz را در فضا معرفی کنیم. بیایید فرمولی برای یافتن فاصله از یک نقطه بدست آوریم به نقطه .

به طور کلی، نقاط A و B در صفحه موازی با یکی از صفحات مختصات قرار ندارند. اجازه دهید صفحات A و B را عمود بر محورهای مختصات Ox، Oy و Oz ترسیم کنیم. نقاط تلاقی این صفحات با محورهای مختصات، نقاط A و B را بر روی این محورها به ما می دهند. ما پیش بینی ها را نشان می دهیم .

فاصله مورد نیاز بین نقاط A و B، مورب متوازی الاضلاع مستطیلی است که در شکل نشان داده شده است. با ساخت، ابعاد این متوازی الاضلاع برابر است و . در یک درس هندسه دبیرستان ثابت شد که مربع قطر مکعب برابر است با مجموع مربع های سه بعدی آن، بنابراین، . بر اساس اطلاعات بخش اول این مقاله، می توانیم برابری های زیر را بنویسیم، بنابراین،

از کجا تهیه کنیم فرمول برای یافتن فاصله بین نقاط در فضا .

اگر نقاط A و B نیز این فرمول معتبر است

• مطابقت دادن
• متعلق به یکی از محورهای مختصات یا خطی موازی با یکی از محورهای مختصات.
• متعلق به یکی از صفحات مختصات یا صفحه موازی با یکی از صفحات مختصات است.

پیدا کردن فاصله از نقطه به نقطه، مثال ها و راه حل ها.

بنابراین، فرمول هایی برای یافتن فاصله بین دو نقطه در یک خط مختصات، صفحه و فضای سه بعدی به دست آورده ایم. وقت آن است که به راه حل هایی برای مثال های معمولی نگاه کنید.

تعداد مسائلی که در آن مرحله نهایی یافتن فاصله بین دو نقطه با توجه به مختصات آنها است واقعاً بسیار زیاد است. بررسی کامل چنین نمونه هایی از حوصله این مقاله خارج است. در اینجا به مثال هایی اکتفا می کنیم که مختصات دو نقطه مشخص است و لازم است فاصله بین آنها محاسبه شود.

با استفاده از مختصات، مکان یک شی در کره زمین مشخص می شود. مختصات با طول و عرض جغرافیایی نشان داده می شوند. عرض جغرافیایی از خط استوا در هر دو طرف اندازه گیری می شود. در نیمکره شمالی عرض های جغرافیایی مثبت و در نیمکره جنوبی منفی است. طول جغرافیایی از نصف النهار اول به ترتیب شرقی یا غربی اندازه گیری می شود، طول جغرافیایی شرقی یا غربی به دست می آید.

با توجه به موقعیت پذیرفته شده کلی، نصف النهار اول در نظر گرفته می شود که از رصدخانه قدیمی گرینویچ در گرینویچ می گذرد. مختصات جغرافیایی مکان را می توان با استفاده از یک ناوبر GPS بدست آورد. این دستگاه سیگنال های سیستم موقعیت یاب ماهواره ای را در سیستم مختصات WGS-84، یکنواخت برای کل جهان دریافت می کند.

مدل های Navigator از نظر سازنده، عملکرد و رابط متفاوت هستند. در حال حاضر، ناوبرهای GPS داخلی در برخی از مدل های تلفن همراه نیز موجود است. اما هر مدلی می تواند مختصات یک نقطه را ثبت و ذخیره کند.

فاصله بین مختصات GPS

برای حل مسائل عملی و نظری در برخی صنایع باید بتوان فاصله نقاط را با مختصات آنها تعیین کرد. چندین راه وجود دارد که می توانید این کار را انجام دهید. شکل متعارف نمایش مختصات جغرافیایی: درجه، دقیقه، ثانیه.

به عنوان مثال، می توانید فاصله بین مختصات زیر را تعیین کنید: نقطه شماره 1 - عرض جغرافیایی 55°45′07″ شمالی، طول جغرافیایی 37°36′56″ شرقی. نقطه شماره 2 - عرض جغرافیایی 58°00′02″ شمالی، طول جغرافیایی 102°39′42″ شرقی.

ساده ترین راه استفاده از ماشین حساب برای محاسبه طول بین دو نقطه است. در موتور جستجوی مرورگر، باید پارامترهای جستجوی زیر را تنظیم کنید: آنلاین - برای محاسبه فاصله بین دو مختصات. در ماشین حساب آنلاین، مقادیر طول و عرض جغرافیایی در فیلدهای درخواست مختصات اول و دوم وارد می شود. هنگام محاسبه، ماشین حساب آنلاین نتیجه را داد - 3،800،619 متر.

روش بعدی کار فشرده تر، اما بصری تر است. شما باید از هر برنامه نقشه برداری یا ناوبری موجود استفاده کنید. برنامه هایی که در آنها می توانید نقاطی را با استفاده از مختصات ایجاد کنید و فواصل بین آنها را اندازه گیری کنید شامل برنامه های زیر است: BaseCamp (یک آنالوگ مدرن از برنامه MapSource)، Google Earth، SAS.Planet.

تمامی برنامه های فوق برای هر کاربر شبکه در دسترس است. به عنوان مثال، برای محاسبه فاصله بین دو مختصات در Google Earth، باید دو برچسب ایجاد کنید که مختصات نقطه اول و نقطه دوم را نشان دهد. سپس با استفاده از ابزار "Ruler" باید علامت های اول و دوم را با یک خط وصل کنید، برنامه به طور خودکار نتیجه اندازه گیری را نمایش می دهد و مسیر را روی تصویر ماهواره ای زمین نشان می دهد.

در مورد مثال بالا، برنامه Google Earth نتیجه را برگرداند - طول فاصله بین نقطه شماره 1 و نقطه شماره 2 3,817,353 متر است.

چرا هنگام تعیین فاصله خطا وجود دارد

تمام محاسبات وسعت بین مختصات بر اساس محاسبه طول قوس است. شعاع زمین در محاسبه طول قوس نقش دارد. اما از آنجایی که شکل زمین نزدیک به یک بیضی مایل است، شعاع زمین در نقاط خاصی متفاوت است. برای محاسبه فاصله بین مختصات، مقدار متوسط ​​شعاع زمین گرفته می شود که در اندازه گیری خطا می دهد. هر چه فاصله اندازه گیری شده بیشتر باشد، خطا بیشتر می شود.

ریاضیات

§2. مختصات یک نقطه در هواپیما

3. فاصله بین دو نقطه.

من و شما اکنون می توانیم در مورد نقاط به زبان اعداد صحبت کنیم. به عنوان مثال، دیگر نیازی به توضیح نیست: نقطه ای را در نظر بگیرید که سه واحد در سمت راست محور و پنج واحد در زیر محور قرار دارد. کافی است به سادگی بگوییم: نکته را در نظر بگیرید.

قبلاً گفتیم که این مزیت های خاصی ایجاد می کند. بنابراین، می‌توانیم نقاشی‌ای که از نقطه‌ها تشکیل شده است را با تلگراف منتقل کنیم، آن را به رایانه‌ای که اصلاً نقاشی‌ها را نمی‌فهمد، اما اعداد را به خوبی می‌فهمد، مخابره کنیم.

در پاراگراف قبل، مجموعه‌ای از نقاط روی صفحه را با استفاده از روابط بین اعداد تعریف کردیم. اکنون بیایید سعی کنیم مفاهیم و حقایق هندسی را به طور مداوم به زبان اعداد ترجمه کنیم.

ما با یک کار ساده و معمول شروع خواهیم کرد.

فاصله بین دو نقطه در هواپیما را پیدا کنید.

راه حل:
مثل همیشه، ما فرض می کنیم که نقاط با مختصات آنها داده می شود، و سپس وظیفه ما این است که قاعده ای را پیدا کنیم که به وسیله آن بتوانیم فاصله بین نقاط را با دانستن مختصات آنها محاسبه کنیم. هنگام استخراج این قاعده، البته، مجاز است به یک نقاشی متوسل شود، اما خود قانون نباید هیچ ارجاعی به نقاشی داشته باشد، بلکه فقط باید نشان دهد که چه اقدامات و به چه ترتیبی باید روی اعداد داده شده - مختصات - انجام شود. از نقاط - برای به دست آوردن عدد مورد نظر - فاصله بین نقاط.

شاید برخی از خوانندگان این رویکرد برای حل مشکل را عجیب و دور از ذهن بیابند. آنچه ساده تر است، آنها می گویند، امتیاز داده می شود، حتی با مختصات. این نقاط را بکشید، یک خط کش بردارید و فاصله بین آنها را اندازه بگیرید.

این روش گاهی اوقات چندان بد نیست. با این حال، دوباره تصور کنید که با یک کامپیوتر سر و کار دارید. او خط کش ندارد و نقاشی نمی کشد، اما می تواند آنقدر سریع بشمارد که اصلا برایش مشکلی ایجاد نمی کند. توجه داشته باشید که مشکل ما طوری فرموله شده است که قانون محاسبه فاصله بین دو نقطه شامل دستوراتی است که می تواند توسط یک ماشین اجرا شود.

بهتر است ابتدا مشکل مطرح شده برای مورد خاصی که یکی از این نقاط در مبدا مختصات قرار دارد حل شود. با چند مثال عددی شروع کنید: فاصله از مبدا نقاط را پیدا کنید. و .

توجه داشته باشید. از قضیه فیثاغورث استفاده کنید.

حالا یک فرمول کلی برای محاسبه فاصله یک نقطه از مبدا بنویسید.

فاصله یک نقطه از مبدا با فرمول تعیین می شود:

بدیهی است که قاعده بیان شده توسط این فرمول شرایط ذکر شده در بالا را برآورده می کند. به ویژه، می توان از آن در محاسبات روی ماشین هایی استفاده کرد که می توانند اعداد را ضرب کنند، آنها را جمع کنند و ریشه های مربع را استخراج کنند.

حالا بیایید مشکل کلی را حل کنیم

با توجه به دو نقطه در یک هواپیما، فاصله بین آنها را پیدا کنید.

راه حل:
اجازه دهید با , , , پیش بینی نقاط و محورهای مختصات را نشان دهیم.

اجازه دهید نقطه تلاقی خطوط را با حرف مشخص کنیم. از یک مثلث قائم الزاویه با استفاده از قضیه فیثاغورث به دست می آوریم:

اما طول قطعه برابر با طول قطعه است. نقاط و، روی محور قرار دارند و به ترتیب دارای مختصات و . طبق فرمول به دست آمده در بند 3 بند 2 فاصله بین آنها برابر است.

با استدلال مشابه، متوجه می شویم که طول قطعه برابر است با . با جایگزینی مقادیر یافت شده و به فرمولی که دریافت می کنیم.

محاسبه فواصل بین نقاط بر اساس مختصات آنها در یک صفحه ابتدایی است؛ در سطح زمین کمی پیچیده تر است: ما اندازه گیری فاصله و آزیموت اولیه بین نقاط را بدون تبدیل طرح ریزی در نظر خواهیم گرفت. ابتدا بیایید اصطلاحات را درک کنیم.

معرفی

طول قوس دایره بزرگ- کوتاهترین فاصله بین هر دو نقطه واقع در سطح یک کره که در امتداد خطی که این دو نقطه را به هم متصل می کند اندازه گیری می شود (به چنین خطی ارتودرومی می گویند) و از امتداد سطح کره یا سایر سطح چرخش می گذرد. هندسه کروی با هندسه معمولی اقلیدسی متفاوت است و معادلات فاصله نیز شکل متفاوتی به خود می گیرند. در هندسه اقلیدسی کوتاهترین فاصله بین دو نقطه یک خط مستقیم است. روی یک کره، هیچ خط مستقیمی وجود ندارد. این خطوط روی کره بخشی از دایره های بزرگ هستند - دایره هایی که مرکز آنها با مرکز کره منطبق است. آزیموت اولیه- آزیموت، با گرفتن آن هنگام شروع حرکت از نقطه A، دنبال کردن یک دایره بزرگ برای کوتاهترین فاصله تا نقطه B، نقطه پایانی نقطه B خواهد بود. هنگامی که از نقطه A به نقطه B در امتداد خط دایره بزرگ حرکت می کنیم، آزیموت از موقعیت فعلی به نقطه پایانی B ثابت است در حال تغییر است. آزیموت اولیه با یک ثابت متفاوت است که به دنبال آن آزیموت از نقطه فعلی تا نقطه نهایی تغییر نمی کند، اما مسیر طی شده کوتاه ترین فاصله بین دو نقطه نیست.

از طریق هر دو نقطه روی سطح یک کره، اگر مستقیماً مخالف یکدیگر نباشند (یعنی پادپای نباشند)، می توان یک دایره بزرگ منحصر به فرد رسم کرد. دو نقطه یک دایره بزرگ را به دو قوس تقسیم می کنند. طول یک قوس کوتاه کوتاه ترین فاصله بین دو نقطه است. بی نهایت دایره بزرگ را می توان بین دو نقطه پادپای رسم کرد، اما فاصله بین آنها در هر دایره یکسان و برابر با نصف محیط دایره خواهد بود، یا π*R که در آن R شعاع کره است.

در یک صفحه (در یک سیستم مختصات مستطیلی)، دایره‌های بزرگ و تکه‌های آن‌ها، همانطور که در بالا ذکر شد، نشان‌دهنده کمان‌ها در همه برجستگی‌ها هستند، به‌جز گنومونیک، که در آن دایره‌های بزرگ خطوط مستقیم هستند. در عمل، این بدان معنی است که هواپیماها و سایر حمل و نقل هوایی همیشه از مسیر حداقل فاصله بین نقاط برای صرفه جویی در سوخت استفاده می کنند، یعنی پرواز در امتداد یک فاصله دایره ای بزرگ انجام می شود، در هواپیما مانند یک قوس به نظر می رسد.

شکل زمین را می توان به عنوان یک کره توصیف کرد، بنابراین معادلات فاصله دایره بزرگ برای محاسبه کوتاه ترین فاصله بین نقاط روی سطح زمین مهم هستند و اغلب در ناوبری استفاده می شوند. محاسبه فاصله با این روش کارآمدتر و در بسیاری موارد دقیق‌تر از محاسبه آن برای مختصات پیش‌بینی‌شده (در سیستم‌های مختصات مستطیلی) است، زیرا اولاً نیازی به تبدیل مختصات جغرافیایی به یک سیستم مختصات مستطیلی (انجام تبدیل‌های طرح‌ریزی) نیست. ثانیاً، بسیاری از برجستگی‌ها، در صورت انتخاب نادرست، می‌توانند به دلیل ماهیت اعوجاج‌های برآمدگی منجر به اعوجاج طول قابل توجهی شوند. مشخص است که این یک کره نیست، بلکه یک بیضی است که شکل زمین را با دقت بیشتری توصیف می کند، با این حال، این مقاله محاسبه فواصل را به طور خاص روی یک کره مورد بحث قرار می دهد؛ برای محاسبات، از کره ای با شعاع 6372795 متر استفاده می شود. ، که می تواند منجر به خطا در محاسبه فواصل در حد 0.5٪ شود.

فرمول ها

سه راه برای محاسبه فاصله کروی دایره بزرگ وجود دارد. 1. قضیه کسینوس کرویدر مورد فواصل کوچک و عمق محاسباتی کوچک (تعداد ارقام اعشاری)، استفاده از فرمول می تواند منجر به خطاهای گرد کردن قابل توجهی شود. φ1, λ1; φ2, λ2 - طول و عرض جغرافیایی دو نقطه بر حسب رادیان Δλ - تفاوت مختصات در طول جغرافیایی Δδ - اختلاف زاویه ای Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) برای تبدیل فاصله زاویه ای به متریک باید اختلاف زاویه را در شعاع زمین ضرب کنید (6372795 متر)، واحدهای فاصله نهایی برابر با واحدهایی که شعاع در آنها بیان می شود (در این مورد متر) خواهد بود. 2. فرمول هاورسینبرای جلوگیری از مشکلات در مسافت های کوتاه استفاده می شود. 3. اصلاح برای آنتی پادهافرمول قبلی نیز مشمول مشکل نقاط پادپای است که برای حل آن از اصلاح زیر استفاده می شود.

پیاده سازی من در PHP

// شعاع زمین define("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * فاصله بین دو نقطه * $φA، $λA - عرض جغرافیایی، طول جغرافیایی نقطه 1، * $φB، $λB - عرض جغرافیایی، طول جغرافیایی نقطه دوم * نوشته شده بر اساس http://gis-lab.info/ qa/great-circles.html * میخائیل کوبزارف< >* */ تابع محاسبهTheDistance ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // تبدیل مختصات به رادیان $lat1 = $φA * M_PI / 180؛ $lat2 = $φB * M_PI / 180؛ $long1 = $λA * M_PI / 180؛ $long2 = $λB * M_PI / 180؛ // کسینوس و سینوس تفاوت‌های طول و عرض جغرافیایی $cl1 = cos($lat1)؛ $cl2 = cos($lat2)؛ $sl1 = sin($lat1) ) ؛ $sl2 = sin($lat2)؛ $delta = $long2 - $long1؛ $cdelta = cos($delta)؛ $sdelta = sin($delta)؛ // محاسبات طول دایره بزرگ $y = sqrt(pow ( $cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2))؛ $x = $sl1 * $sl2 + $cl1 * $cl2 * $cdelta؛ / / $ad = atan2($y، $x)؛ $dist = $ad * EARTH_RADIUS؛ return $dist؛ ) مثالی از فراخوانی تابع: $lat1 = 77.1539; $long1 = -139.398; $lat2 = -77.1804; $long2 = -139.55; echo accountTheDistance($lat1، $long1، $lat2، $long2). "متر"؛ // بازگشت "17166029 متر"

مقاله برگرفته از سایت