A matematikai feladatok megoldása gyakran sok nehézséggel jár a tanulók számára. Oldalunk fő célja, hogy segítsünk a hallgatóknak megbirkózni ezekkel a nehézségekkel, valamint megtanítsuk meglévő elméleti ismereteiket konkrét problémák megoldására a kurzus minden szakaszában a „Matematika” tantárgyból.

A témával kapcsolatos feladatok megoldásának megkezdésekor a tanulóknak képesnek kell lenniük egy síkon egy pontot megszerkeszteni annak koordinátái alapján, valamint meg kell találni egy adott pont koordinátáit.

Két síkon vett A(x A; y A) és B(x B; y B) pont közötti távolság kiszámítása a képlet segítségével történik d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), ahol d annak a szakasznak a hossza, amely a sík ezen pontjait összeköti.

Ha a szakasz egyik vége egybeesik a koordináták origójával, és a másik M(x M; y M) koordinátákkal rendelkezik, akkor a d kiszámításának képlete OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Két pont távolságának kiszámítása e pontok megadott koordinátái alapján

1. példa.

Határozzuk meg a koordinátasíkon az A(2; -5) és B(-4; 3) pontokat összekötő szakasz hosszát (1. ábra).

Megoldás.

A problémafelvetés a következőket mondja ki: x A = 2; x B = -4; y A = -5 és y B = 3. Keresse meg d.

A d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2 képletet alkalmazva a következőt kapjuk:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Három adott ponttól egyenlő távolságra lévő pont koordinátáinak kiszámítása

2. példa

Határozzuk meg az O 1 pont koordinátáit, amely egyenlő távolságra van három A(7; -1) és B(-2; 2) és C(-1; -5) ponttól!

Megoldás.

A feladatfeltételek megfogalmazásából következik, hogy O 1 A = O 1 B = O 1 C. Legyen a kívánt O 1 pont koordinátái (a; b). A d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) képlet segítségével megkapjuk:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Hozzunk létre egy két egyenletrendszert:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Az egyenletek bal és jobb oldalának négyzetre emelése után ezt írjuk:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Leegyszerűsítve, írjuk

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

A rendszer megoldása után a következőt kapjuk: a = 2; b = -1.

Az O 1 (2; -1) pont egyenlő távolságra van a feltételben meghatározott három ponttól, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el. Ez a pont egy három megadott ponton átmenő kör középpontja (2. ábra).

3. Az abszcissza (ordináta) tengelyén fekvő és egy adott ponttól adott távolságra lévő pont abszcissza (ordináta) kiszámítása

3. példa

A B(-5; 6) pont és az Ox tengelyen fekvő A pont távolsága 10. Keresse meg az A pontot.

Megoldás.

A feladatfeltételek megfogalmazásából az következik, hogy az A pont ordinátája egyenlő nullával és AB = 10.

Az A pont abszcisszáját a-val jelölve A(a; 0)-t írunk.

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

A √((a + 5) 2 + 36) = 10 egyenletet kapjuk. Leegyszerűsítve azt kapjuk

a 2 + 10a – 39 = 0.

Ennek az egyenletnek a gyökerei a 1 = -13; és 2 = 3.

Két A 1 (-13; 0) és A 2 (3; 0) pontot kapunk.

Vizsgálat:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0–6) 2) = 10.

Mindkét kapott pont megfelelő a feladat feltételeinek megfelelően (3. ábra).

4. Egy olyan pont abszcissza (ordináta) kiszámítása, amely az abszcissza (ordináta) tengelyen fekszik és két adott ponttól azonos távolságra van

4. példa

Keressen egy pontot az Oy tengelyen, amely azonos távolságra van az A (6, 12) és B (-8, 10) pontoktól.

Megoldás.

Legyenek a feladat feltételei által megkívánt, Oy tengelyen fekvő pont koordinátái O 1 (0; b) (az Oy tengelyen fekvő pontban az abszcissza nulla). Abból a feltételből következik, hogy O 1 A = O 1 B.

A d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) képlet segítségével megkapjuk:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

A következő egyenlet: √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) vagy 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Egyszerűsítés után a következőt kapjuk: b – 4 = 0, b = 4.

A feladat feltételei által megkövetelt O 1 (0; 4) pont (4. ábra).

5. Egy olyan pont koordinátáinak kiszámítása, amely azonos távolságra van a koordinátatengelyektől és egy adott ponttól

5. példa.

Keresse meg a koordinátasíkon a koordinátatengelyektől és az A(-2; 1) ponttól azonos távolságra lévő M pontot.

Megoldás.

A szükséges M pont az A(-2; 1) ponthoz hasonlóan a második koordinátaszögben található, mivel egyenlő távolságra van az A, P 1 és P 2 pontoktól (5. ábra). Az M pont távolsága a koordinátatengelyektől azonos, ezért koordinátái (-a; a) lesznek, ahol a > 0.

A feladat feltételeiből az következik, hogy MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

azok. |-a| = a.

A d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) képlet segítségével megkapjuk:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Készítsünk egy egyenletet:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Négyzetesítés és egyszerűsítés után a következőt kapjuk: a 2 – 6a + 5 = 0. Oldja meg az egyenletet, keresse meg a 1 = 1-et; és 2 = 5.

Két M 1 (-1; 1) és M 2 (-5; 5) pontot kapunk, amelyek kielégítik a feladat feltételeit.

6. Az abszcissza (ordináta) tengelytől és az adott ponttól azonos távolságra elhelyezkedő pont koordinátáinak kiszámítása

6. példa.

Keressünk egy M pontot, amelynek távolsága az ordináta tengelytől és az A(8; 6) ponttól egyenlő 5-tel.

Megoldás.

A feladat feltételeiből az következik, hogy MA = 5 és az M pont abszcisszája egyenlő 5-tel. Legyen M pont ordinátája b-vel, akkor M(5; b) (6. ábra).

A d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) képlet szerint a következőket kapjuk:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Készítsünk egy egyenletet:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Leegyszerűsítve a következőt kapjuk: b 2 – 12b + 20 = 0. Ennek az egyenletnek a gyökei b 1 = 2; b 2 = 10. Ebből következően két olyan pont van, amely teljesíti a feladat feltételeit: M 1 (5; 2) és M 2 (5; 10).

Ismeretes, hogy sok diáknak, amikor önállóan oldja meg a problémákat, állandó konzultációra van szüksége a megoldási technikákról és módszerekről. A tanuló gyakran nem találja meg a módját a probléma megoldásának tanári segítség nélkül. A probléma megoldásához szükséges tanácsokat honlapunkon kaphatja meg a hallgató.

Van még kérdése? Nem tudja, hogyan találja meg a távolságot egy síkon két pont között?
Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól, regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Távolság ponttól pontig az ezeket a pontokat összekötő szakasz hossza egy adott léptékben. Így a távolság mérésénél ismernie kell azt a skálát (hosszúság mértékegységét), amelyben a méréseket végzik. Ezért a pont és a pont közötti távolság megtalálásának problémáját általában vagy koordinátaegyenesen, vagy derékszögű derékszögű koordinátarendszerben síkon vagy háromdimenziós térben vizsgálják. Más szóval, leggyakrabban a pontok közötti távolságot a koordinátáik alapján kell kiszámítani.

Ebben a cikkben először is felidézzük, hogyan határozzuk meg a koordinátavonalon lévő pont és pont közötti távolságot. Ezután képleteket kapunk egy sík vagy tér két pontja közötti távolság kiszámítására adott koordináták szerint. Végezetül részletesen megvizsgáljuk a tipikus példák és problémák megoldásait.

Oldalnavigáció.

Egy koordináta egyenes két pontja közötti távolság.

Először határozzuk meg a jelölést. Az A pont és B pont távolságát jelöljük.

Ebből arra következtethetünk a koordinátával rendelkező A pont és a koordinátával rendelkező B pont távolsága egyenlő a koordinátakülönbség modulusával, vagyis pontok bármely helyére a koordinátavonalon.

Egy sík pontja közötti távolság, képlet.

Kapunk egy képletet a pontok közötti távolság kiszámítására és egy síkon egy derékszögű derékszögű koordinátarendszerben megadva.

Az A és B pont elhelyezkedésétől függően a következő lehetőségek lehetségesek.

Ha az A és B pont egybeesik, akkor a köztük lévő távolság nulla.

Ha az A és B pont az abszcissza tengelyére merőleges egyenesen fekszik, akkor a pontok egybeesnek, és a távolság egyenlő a távolsággal. Az előző bekezdésben azt találtuk, hogy egy koordinátaegyenesen két pont távolsága egyenlő a koordinátáik különbségének modulusával, ezért . Ennélfogva, .

Hasonlóképpen, ha az A és B pont az ordináta tengelyére merőleges egyenesen fekszik, akkor az A pont és a B pont távolsága a következőképpen alakul.

Ebben az esetben az ABC háromszög téglalap alakú, és És . Által Pitagorasz tétel felírhatjuk az egyenlőséget, honnan .

Összefoglaljuk az összes kapott eredményt: egy pont és egy sík pont közötti távolságot a pontok koordinátáin keresztül találjuk meg a képlet segítségével .

Az eredményül kapott képlet a pontok közötti távolság meghatározására akkor használható, ha az A és B pont egybeesik, vagy az egyik koordinátatengelyre merőleges egyenesen fekszik. Valóban, ha A és B egybeesik, akkor . Ha az A és B pont az Ox tengelyére merőleges egyenesen fekszik, akkor. Ha A és B az Oy tengelyre merőleges egyenesen fekszik, akkor .

A tér pontjai közötti távolság, képlet.

Vezessünk be egy téglalap alakú Oxyz koordinátarendszert a térben. Adjunk egy képletet egy pont távolságának meghatározására lényegre törő .

Általában az A és B pontok nem egy koordinátasíkkal párhuzamos síkban helyezkednek el. Rajzoljunk át az A és B pontokon az Ox, Oy és Oz koordinátatengelyekre merőleges síkokat. Ezen síkok és a koordinátatengelyek metszéspontjai az A és B pontok vetületeit adják ezekre a tengelyekre. A vetületeket jelöljük .

Az A és B pontok közötti szükséges távolság az ábrán látható téglalap alakú paralelepipedon átlója. A felépítés szerint ennek a paralelepipedonnak a méretei egyenlőek És . Egy középiskolai geometria tanfolyamon bebizonyosodott, hogy egy téglatest átlójának négyzete egyenlő a három dimenziójának négyzetösszegével, ezért . A cikk első részében található információk alapján a következő egyenlőségeket írhatjuk fel, ezért:

honnan szerezzük be képlet a tér pontjai közötti távolság meghatározásához .

Ez a képlet akkor is érvényes, ha az A és B pont

• egyeznek meg;
• az egyik koordinátatengelyhez vagy az egyik koordinátatengellyel párhuzamos egyeneshez tartozik;
• az egyik koordinátasíkhoz vagy az egyik koordinátasíkkal párhuzamos síkhoz tartoznak.

Ponttól pont távolságának meghatározása, példák és megoldások.

Tehát képleteket kaptunk két pont távolságának meghatározására egy koordinátaegyenesben, síkban és háromdimenziós térben. Ideje megnézni a tipikus példák megoldásait.

Valóban óriási azoknak a problémáknak a száma, amelyekben az utolsó lépés két pont távolságának meghatározása a koordinátáik alapján. Az ilyen példák teljes áttekintése túlmutat e cikk keretein. Itt olyan példákra szorítkozunk, amelyekben két pont koordinátái ismertek, és ki kell számítani a köztük lévő távolságot.

A koordináták segítségével meghatározzák egy objektum helyét a földgömbön. A koordinátákat szélességi és hosszúsági fokok jelzik. A szélességeket mindkét oldalon az egyenlítő vonalától mérjük. Az északi féltekén a szélességi fokok pozitívak, a déli féltekén negatívak. A hosszúságot az elsődleges meridiántól mérjük keleti vagy nyugati irányban, vagy keleti vagy nyugati hosszúságot kapunk.

Az általánosan elfogadott álláspont szerint az elsődleges meridián az, amelyik áthalad Greenwichben a régi Greenwich Obszervatóriumon. A hely földrajzi koordinátái GPS-navigátor segítségével szerezhetők be. Ez a készülék a műholdas helymeghatározó rendszer jeleit a WGS-84 koordinátarendszerben veszi, egységesen az egész világon.

A Navigátor modellek gyártója, funkcionalitása és interfésze különbözik. Jelenleg egyes mobiltelefon-modellekben beépített GPS-navigátorok is elérhetők. De bármely modell rögzítheti és mentheti egy pont koordinátáit.

GPS koordináták közötti távolság

Egyes iparágakban gyakorlati és elméleti problémák megoldásához szükséges a pontok közötti távolságok koordinátái alapján történő meghatározása. Ezt többféleképpen is megteheti. A földrajzi koordináták kanonikus ábrázolási formája: fok, perc, másodperc.

Például meghatározhatja a távolságot a következő koordináták között: 1. pont - szélesség 55°45′07″ É, hosszúság 37°36′56″ K; 2. pont – é. sz. 58°00′02″, keleti hosszúság 102°39′42″.

A legegyszerűbb, ha egy számológépet használunk a két pont közötti hossz kiszámításához. A böngésző keresőjében a következő keresési paramétereket kell beállítania: online - két koordináta távolságának kiszámításához. Az online számológépben a szélességi és hosszúsági értékek az első és a második koordináta lekérdezési mezőibe kerülnek. A számítás során az online számológép az eredményt adta - 3 800 619 m.

A következő módszer munkaigényesebb, de vizuálisabb is. Használnia kell minden elérhető térképező vagy navigációs programot. Azok a programok, amelyekben koordináták segítségével pontokat hozhat létre, és mérheti a köztük lévő távolságokat, a következő alkalmazások közé tartoznak: BaseCamp (a MapSource program modern analógja), Google Earth, SAS.Planet.

A fenti programok mindegyike elérhető bármely hálózati felhasználó számára. Például két koordináta távolságának kiszámításához a Google Föld programban létre kell hoznia két címkét, amelyek az első és a második pont koordinátáit jelzik. Ezután a „Vonalzó” eszközzel össze kell kötni az első és a második jelet egy vonallal, a program automatikusan megjeleníti a mérési eredményt és megmutatja az utat a Föld műholdképen.

A fenti példa esetében a Google Earth program az eredményt adta vissza - az 1. számú pont és a 2. pont közötti távolság hossza 3 817 353 m.

Miért van hiba a távolság meghatározásakor

A koordináták közötti távolság minden számítása az ívhossz számításán alapul. A Föld sugara részt vesz az ív hosszának kiszámításában. De mivel a Föld alakja közel van egy lapos ellipszoidhoz, a Föld sugara bizonyos pontokon változik. A koordináták közötti távolság kiszámításához a Föld sugarának átlagos értékét veszik, ami hibát ad a mérésben. Minél nagyobb a mért távolság, annál nagyobb a hiba.

Matematika

§2. Egy pont koordinátái a síkon

3. Két pont távolsága.

Te és én most a számok nyelvén beszélhetünk pontokról. Például már nem kell magyaráznunk: vegyünk egy pontot, amely három egységgel jobbra van a tengelytől és öt egységgel a tengely alatt. Elég egyszerűen azt mondani: vedd a lényeget.

Már említettük, hogy ez bizonyos előnyökkel jár. Tehát egy pontokból álló rajzot távíróval továbbíthatunk, közölhetünk egy számítógéppel, amely a rajzokat egyáltalán nem, de a számokat jól érti.

Az előző bekezdésben számok közötti kapcsolatok segítségével definiáltunk néhány ponthalmazt a síkon. Most próbáljunk meg következetesen lefordítani más geometriai fogalmakat és tényeket a számok nyelvére.

Egy egyszerű és általános feladattal kezdjük.

Keresse meg a sík két pontja közötti távolságot.

Megoldás:
Mint mindig, most is feltételezzük, hogy a pontokat a koordinátáik adják meg, majd az a feladatunk, hogy találjunk egy szabályt, amivel a koordinátáik ismeretében kiszámíthatjuk a pontok közötti távolságot. Ennek a szabálynak a levezetésénél természetesen szabad rajzhoz folyamodni, de maga a szabály ne tartalmazzon hivatkozást a rajzra, hanem csak azt mutassa meg, hogy milyen műveleteket és milyen sorrendben kell végrehajtani az adott számokon - a koordinátákon pontokból - a kívánt szám eléréséhez - a pontok közötti távolságot.

Talán néhány olvasó furcsának és távolinak találja a probléma megoldásának ezt a megközelítését. Mi az egyszerűbb, azt mondják, a pontokat még koordinátákkal is megadják. Rajzolja le ezeket a pontokat, vegyen egy vonalzót és mérje meg a távolságot közöttük.

Ez a módszer néha nem is olyan rossz. Képzelje el azonban újra, hogy számítógéppel van dolgunk. Nincs vonalzója, és nem is rajzol, de olyan gyorsan tud számolni, hogy ez egyáltalán nem probléma. Vegyük észre, hogy a problémánk úgy van megfogalmazva, hogy a két pont távolságának kiszámításának szabálya gép által végrehajtható parancsokból áll.

Jobb először megoldani azt a speciális esetre feltett problémát, amikor ezen pontok egyike a koordináták origójában van. Kezdje néhány numerikus példával: keresse meg a távolságot a pontok origójától; És .

Jegyzet. Használja a Pitagorasz-tételt.

Most írjon egy általános képletet egy pont origótól való távolságának kiszámításához.

Egy pont távolságát az origótól a következő képlet határozza meg:

Nyilvánvaló, hogy az ezzel a képlettel kifejezett szabály megfelel a fentebb megfogalmazott feltételeknek. Különösen olyan gépeken használható számításokhoz, amelyek képesek számokat szorozni, összeadni és négyzetgyököket kivonni.

Most oldjuk meg az általános problémát

Adott két pont egy síkon, keresse meg a köztük lévő távolságot.

Megoldás:
Jelöljük , , , pontok vetületeit és a koordinátatengelyekre.

Jelöljük a vonalak metszéspontját a betűvel. Egy derékszögű háromszögből a Pitagorasz-tétel segítségével kapjuk:

De a szakasz hossza megegyezik a szakasz hosszával. A pontok és , a tengelyen fekszenek, és koordinátái vannak, ill. A (2) bekezdés 3. bekezdésében kapott képlet szerint a köztük lévő távolság egyenlő.

Hasonlóan érvelve azt találjuk, hogy a szakasz hossza egyenlő . A talált értékeket behelyettesítve a kapott képletbe.

Ebben a cikkben megvizsgáljuk a pontok közötti távolság elméleti és konkrét feladatok példáján keresztül történő meghatározásának módjait. Kezdésként vezessünk be néhány definíciót.

1. definíció

Pontok közötti távolság az őket összekötő szakasz hossza a meglévő léptékben. Ahhoz, hogy legyen egy hosszegység a méréshez, be kell állítani egy skálát. Ezért a pontok közötti távolság megállapításának problémáját alapvetően úgy oldjuk meg, hogy koordinátáikat koordinátaegyenesen, koordinátasíkban vagy háromdimenziós térben használjuk.

Kiindulási adatok: O x koordinátaegyenes és egy tetszőleges rajta fekvő A pont Az egyenes bármely pontjának van egy valós száma: legyen ez egy bizonyos szám az A ponthoz x A, ez egyben az A pont koordinátája is.

Általánosságban elmondható, hogy egy adott szakasz hosszát egy adott skálán egy hosszegységnek vett szakaszhoz viszonyítva értékeljük.

Ha az A pont egy egész valós számnak felel meg, az O ponttól a pontig sorra lerakva az egyenes O A szakaszokat - hosszegységeket, akkor az összes félretett egységnyi szegmensből meghatározhatjuk az O A szakasz hosszát.

Például az A pont a 3-as számnak felel meg - ahhoz, hogy O pontból eljusson hozzá, három egységszegmenst kell elengednie. Ha az A pont koordinátája - 4, az egységszegmensek hasonló módon vannak elhelyezve, de eltérő, negatív irányban. Így az első esetben az O A távolság 3; a második esetben O A = 4.

Ha az A pontnak racionális szám a koordinátája, akkor az origóból (O pont) egy egész számú egységnyi szakaszt ábrázolunk, majd annak szükséges részét. De geometriailag nem mindig lehet mérést végezni. Például nehéznek tűnik a 4 111 tört ábrázolása a koordináta egyenesen.

A fenti módszerrel teljesen lehetetlen egy irracionális számot egyenesen ábrázolni. Például, ha az A pont koordinátája 11. Ebben az esetben át lehet térni az absztrakcióra: ha az A pont adott koordinátája nagyobb nullánál, akkor O A = x A (a számot veszik távolságnak); ha a koordináta kisebb, mint nulla, akkor O A = - x A . Általában ezek az állítások igazak bármely x A valós számra.

Összefoglalva: az origó és a koordináta egyenes valós számának megfelelő pont közötti távolság egyenlő:

• 0, ha a pont egybeesik az origóval;

• x A, ha x A > 0;

• - x A, ha x A< 0 .

Ebben az esetben nyilvánvaló, hogy magának a szakasznak a hossza nem lehet negatív, ezért a modulus előjel segítségével a koordinátával írjuk fel az O pont és az A pont távolságát. x A: O A = x A

A következő állítás igaz lesz: az egyik pont és a másik közötti távolság egyenlő lesz a koordináta-különbség modulusával. Azok. olyan A és B pontok esetében, amelyek bármely helyhez ugyanazon a koordinátavonalon helyezkednek el, és megfelelő koordinátákkal rendelkeznek x AÉs x B: A B = x B - x A.

Kiindulási adatok: az O x y téglalap alakú koordinátarendszer síkon fekvő A és B pontjai megadott koordinátákkal: A (x A, y A) és B (x B, y B).

Rajzoljunk merőlegeseket az A és B pontokon keresztül az O x és O y koordinátatengelyekre, és kapjuk meg ennek eredményeként a vetületi pontokat: A x, A y, B x, B y. Az A és B pont elhelyezkedése alapján a következő lehetőségek lehetségesek:

Ha az A és B pont egybeesik, akkor a köztük lévő távolság nulla;

Ha az A és B pont az O x tengelyre merőleges egyenesen (abszcissza tengely) fekszik, akkor a pontok egybeesnek, és | A B | = | A y B y | . Mivel a pontok távolsága egyenlő a koordinátáik különbségének modulusával, akkor A y B y = y B - y A, és ezért A B = A y B y = y B - y A.

Ha az A és B pont az O y tengelyre (ordináta tengelyre) merőleges egyenesen fekszik - az előző bekezdéshez hasonlóan: A B = A x B x = x B - x A

Ha az A és B pontok nem az egyik koordinátatengelyre merőleges egyenesen helyezkednek el, akkor a köztük lévő távolságot a számítási képlet levezetésével találjuk meg:

Látjuk, hogy az A B C háromszög téglalap alakú. Ebben az esetben A C = A x B x és B C = A y B y. A Pitagorasz-tétel segítségével létrehozzuk az egyenlőséget: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2, majd transzformáljuk: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

A kapott eredményből vonjuk le a következtetést: az A pont és a B pont távolságát a síkon számítással határozzuk meg a képlet segítségével, ezen pontok koordinátáinak felhasználásával.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

A kapott képlet megerősíti a korábban kialakított állításokat is pontok egybeesésének eseteire vagy olyan helyzetekre, amikor a pontok a tengelyekre merőleges egyeneseken helyezkednek el. Tehát, ha az A és B pont egybeesik, a következő egyenlőség lesz igaz: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Ha az A és B pont az x tengelyre merőleges egyenesen fekszik:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Abban az esetben, ha az A és B pont az ordináta tengelyére merőleges egyenesen fekszik:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Kiindulási adat: egy O x y z téglalap alakú koordinátarendszer, amelyen tetszőleges pontok találhatók adott A (x A, y A, z A) és B (x B, y B, z B) koordinátákkal. Meg kell határozni e pontok közötti távolságot.

Tekintsük azt az általános esetet, amikor az A és B pont nem az egyik koordinátasíkkal párhuzamos síkban van. Rajzoljunk a koordinátatengelyekre merőleges síkokat az A és B pontokon keresztül, és kapjuk meg a megfelelő vetítési pontokat: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Az A és B pontok távolsága a kapott paralelepipedon átlója. Ennek a paralelepipedonnak a méréseinek felépítése szerint: A x B x , A y B y és A z B z

A geometria tantárgyból tudjuk, hogy egy paralelepipedon átlójának négyzete egyenlő a méretei négyzeteinek összegével. Ezen állítás alapján megkapjuk az egyenlőséget: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

A korábban levont következtetéseket felhasználva a következőket írjuk:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Alakítsuk át a kifejezést:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Végső képlet a térben lévő pontok távolságának meghatározásáraígy fog kinézni:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Az eredményül kapott képlet akkor is érvényes, ha:

A pontok egybeesnek;

Egy koordinátatengelyen vagy az egyik koordinátatengellyel párhuzamos egyenesen fekszenek.

Példák a pontok közötti távolság megállapításával kapcsolatos feladatok megoldására

1. példa

Kiindulási adatok: adott A (1 - 2) és B (11 + 2) koordinátákkal egy koordináta egyenes és a rajta fekvő pontok. Meg kell találni az O kezdőpont és az A pont, valamint az A és B pontok közötti távolságot.

Megoldás

1. A referenciapont és a pont távolsága megegyezik a pont koordinátájának modulusával, illetve O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Az A és B pontok közötti távolságot a pontok koordinátái közötti különbség modulusaként határozzuk meg: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Válasz: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

2. példa

Kiindulási adatok: egy derékszögű koordinátarendszer és két azon fekvő A (1, - 1) és B (λ + 1, 3) pont adott. λ egy valós szám. Meg kell találni ennek a számnak az összes értékét, amelynél az A B távolság 5 lesz.

Megoldás

Az A és B pontok közötti távolság meghatározásához az A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 képletet kell használni.

A valós koordináta értékeket behelyettesítve a következőt kapjuk: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Használjuk azt a meglévő feltételt is, hogy A B = 5, és akkor az egyenlőség igaz lesz:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Válasz: A B = 5, ha λ = ± 3.

3. példa

Kiindulási adatok: az O x y z derékszögű koordinátarendszerben háromdimenziós teret adunk meg és a benne elhelyezkedő A (1, 2, 3) és B - 7, - 2, 4 pontokat.

Megoldás

A feladat megoldásához az A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2 képletet használjuk

A valós értékeket behelyettesítve a következőt kapjuk: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Válasz: | A B | = 9

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt