Távolság ponttól pontig az ezeket a pontokat összekötő szakasz hossza egy adott léptékben. Így a távolság mérésénél ismernie kell azt a skálát (hosszúság mértékegységét), amelyben a méréseket végzik. Ezért a pont és a pont közötti távolság megtalálásának problémáját általában vagy koordinátaegyenesen, vagy derékszögű derékszögű koordinátarendszerben síkon vagy háromdimenziós térben vizsgálják. Más szóval, leggyakrabban a pontok közötti távolságot a koordinátáik alapján kell kiszámítani.

Ebben a cikkben először is felidézzük, hogyan határozzuk meg a koordinátavonalon lévő pont és pont közötti távolságot. Ezután képleteket kapunk egy sík vagy tér két pontja közötti távolság kiszámítására adott koordináták szerint. Végezetül részletesen megvizsgáljuk a tipikus példák és problémák megoldásait.

Oldalnavigáció.

Egy koordináta egyenes két pontja közötti távolság.

Először határozzuk meg a jelölést. Az A pont és B pont távolságát jelöljük.

Ebből arra következtethetünk a koordinátával rendelkező A pont és a koordinátával rendelkező B pont távolsága egyenlő a koordinátakülönbség modulusával, vagyis pontok bármely helyére a koordinátavonalon.

Egy sík pontja közötti távolság, képlet.

Kapunk egy képletet a pontok közötti távolság kiszámítására és egy síkon egy derékszögű derékszögű koordinátarendszerben megadva.

Az A és B pont elhelyezkedésétől függően a következő lehetőségek lehetségesek.

Ha az A és B pont egybeesik, akkor a köztük lévő távolság nulla.

Ha az A és B pont az abszcissza tengelyére merőleges egyenesen fekszik, akkor a pontok egybeesnek, és a távolság egyenlő a távolsággal. Az előző bekezdésben azt találtuk, hogy egy koordinátaegyenesen két pont távolsága egyenlő a koordinátáik különbségének modulusával, ezért . Ennélfogva, .

Hasonlóképpen, ha az A és B pont az ordináta tengelyére merőleges egyenesen fekszik, akkor az A pont és a B pont távolsága a következőképpen alakul.

Ebben az esetben az ABC háromszög téglalap alakú, és És . Által Pitagorasz tétel felírhatjuk az egyenlőséget, honnan .

Összefoglaljuk az összes kapott eredményt: egy pont és egy sík pont közötti távolságot a pontok koordinátáin keresztül találjuk meg a képlet segítségével .

Az eredményül kapott képlet a pontok közötti távolság meghatározására akkor használható, ha az A és B pont egybeesik, vagy az egyik koordinátatengelyre merőleges egyenesen fekszik. Valóban, ha A és B egybeesik, akkor . Ha az A és B pont az Ox tengelyére merőleges egyenesen fekszik, akkor. Ha A és B az Oy tengelyre merőleges egyenesen fekszik, akkor .

A tér pontjai közötti távolság, képlet.

Vezessünk be egy téglalap alakú Oxyz koordinátarendszert a térben. Adjunk egy képletet egy pont távolságának meghatározására lényegre törő .

Általában az A és B pontok nem egy koordinátasíkkal párhuzamos síkban helyezkednek el. Rajzoljunk át az A és B pontokon az Ox, Oy és Oz koordinátatengelyekre merőleges síkokat. Ezen síkok és a koordinátatengelyek metszéspontjai az A és B pontok vetületeit adják ezekre a tengelyekre. A vetületeket jelöljük .

Az A és B pontok közötti szükséges távolság az ábrán látható téglalap alakú paralelepipedon átlója. A felépítés szerint ennek a paralelepipedonnak a méretei egyenlőek És . Egy középiskolai geometria tanfolyamon bebizonyosodott, hogy egy téglatest átlójának négyzete egyenlő a három dimenziójának négyzetösszegével, ezért . A cikk első részében található információk alapján a következő egyenlőségeket írhatjuk fel, ezért:

honnan szerezzük be képlet a tér pontjai közötti távolság meghatározásához .

Ez a képlet akkor is érvényes, ha az A és B pont

• egyeznek meg;
• az egyik koordinátatengelyhez vagy az egyik koordinátatengellyel párhuzamos egyeneshez tartozik;
• az egyik koordinátasíkhoz vagy az egyik koordinátasíkkal párhuzamos síkhoz tartoznak.

Ponttól pont távolságának meghatározása, példák és megoldások.

Tehát képleteket kaptunk két pont távolságának meghatározására egy koordinátaegyenesben, síkban és háromdimenziós térben. Ideje megnézni a tipikus példák megoldásait.

Valóban óriási azoknak a problémáknak a száma, amelyekben az utolsó lépés két pont távolságának meghatározása a koordinátáik alapján. Az ilyen példák teljes áttekintése túlmutat e cikk keretein. Itt olyan példákra szorítkozunk, amelyekben két pont koordinátái ismertek, és ki kell számítani a köztük lévő távolságot.

A koordináták segítségével meghatározzák egy objektum helyét a földgömbön. A koordinátákat szélességi és hosszúsági fokok jelzik. A szélességeket mindkét oldalon az egyenlítő vonalától mérjük. Az északi féltekén a szélességi fokok pozitívak, a déli féltekén negatívak. A hosszúságot az elsődleges meridiántól mérjük keleti vagy nyugati irányban, vagy keleti vagy nyugati hosszúságot kapunk.

Az általánosan elfogadott álláspont szerint az elsődleges meridián az, amelyik áthalad Greenwichben a régi Greenwich Obszervatóriumon. A hely földrajzi koordinátái GPS-navigátor segítségével szerezhetők be. Ez a készülék a műholdas helymeghatározó rendszer jeleit a WGS-84 koordinátarendszerben veszi, egységesen az egész világon.

A Navigátor modellek gyártója, funkcionalitása és interfésze különbözik. Jelenleg egyes mobiltelefon-modellekben beépített GPS-navigátorok is elérhetők. De bármely modell rögzítheti és mentheti egy pont koordinátáit.

GPS koordináták közötti távolság

Egyes iparágakban gyakorlati és elméleti problémák megoldásához szükséges a pontok közötti távolságok koordinátái alapján történő meghatározása. Ezt többféleképpen is megteheti. A földrajzi koordináták kanonikus ábrázolási formája: fok, perc, másodperc.

Például meghatározhatja a távolságot a következő koordináták között: 1. pont - szélesség 55°45′07″ É, hosszúság 37°36′56″ K; 2. pont – é. sz. 58°00′02″, keleti hosszúság 102°39′42″.

A legegyszerűbb, ha egy számológépet használunk a két pont közötti hossz kiszámításához. A böngésző keresőjében a következő keresési paramétereket kell beállítania: online - két koordináta távolságának kiszámításához. Az online számológépben a szélességi és hosszúsági értékek az első és a második koordináta lekérdezési mezőibe kerülnek. A számítás során az online számológép az eredményt adta - 3 800 619 m.

A következő módszer munkaigényesebb, de vizuálisabb is. Használnia kell minden elérhető térképező vagy navigációs programot. Azok a programok, amelyekben koordináták segítségével pontokat hozhat létre, és mérheti a köztük lévő távolságokat, a következő alkalmazások közé tartoznak: BaseCamp (a MapSource program modern analógja), Google Earth, SAS.Planet.

A fenti programok mindegyike elérhető bármely hálózati felhasználó számára. Például két koordináta távolságának kiszámításához a Google Föld programban létre kell hoznia két címkét, amelyek az első és a második pont koordinátáit jelzik. Ezután a „Vonalzó” eszközzel össze kell kötni az első és a második jelet egy vonallal, a program automatikusan megjeleníti a mérési eredményt és megmutatja az utat a Föld műholdképen.

A fenti példa esetében a Google Earth program az eredményt adta vissza - az 1. számú pont és a 2. pont közötti távolság hossza 3 817 353 m.

Miért van hiba a távolság meghatározásakor

A koordináták közötti távolság minden számítása az ívhossz számításán alapul. A Föld sugara részt vesz az ív hosszának kiszámításában. De mivel a Föld alakja közel van egy lapos ellipszoidhoz, a Föld sugara bizonyos pontokon változik. A koordináták közötti távolság kiszámításához a Föld sugarának átlagos értékét veszik, ami hibát ad a mérésben. Minél nagyobb a mért távolság, annál nagyobb a hiba.

Matematika

§2. Egy pont koordinátái a síkon

3. Két pont távolsága.

Te és én most a számok nyelvén beszélhetünk pontokról. Például már nem kell magyaráznunk: vegyünk egy pontot, amely három egységgel jobbra van a tengelytől és öt egységgel a tengely alatt. Elég egyszerűen azt mondani: vedd a lényeget.

Már említettük, hogy ez bizonyos előnyökkel jár. Tehát egy pontokból álló rajzot távíróval továbbíthatunk, közölhetünk egy számítógéppel, amely a rajzokat egyáltalán nem, de a számokat jól érti.

Az előző bekezdésben számok közötti kapcsolatok segítségével definiáltunk néhány ponthalmazt a síkon. Most próbáljunk meg következetesen lefordítani más geometriai fogalmakat és tényeket a számok nyelvére.

Egy egyszerű és általános feladattal kezdjük.

Keresse meg a sík két pontja közötti távolságot.

Megoldás:
Mint mindig, most is feltételezzük, hogy a pontokat a koordinátáik adják meg, majd az a feladatunk, hogy találjunk egy szabályt, amivel a koordinátáik ismeretében ki tudjuk számítani a pontok közötti távolságot. Ennek a szabálynak a levezetésénél természetesen szabad rajzhoz folyamodni, de maga a szabály ne tartalmazzon hivatkozást a rajzra, hanem csak azt mutassa meg, hogy milyen műveleteket és milyen sorrendben kell végrehajtani az adott számokon - a koordinátákon pontokból - a kívánt szám eléréséhez - a pontok közötti távolságot.

Talán néhány olvasó furcsának és távolinak találja a probléma megoldásának ezt a megközelítését. Mi az egyszerűbb, azt mondják, a pontokat még koordinátákkal is megadják. Rajzolja le ezeket a pontokat, vegyen egy vonalzót és mérje meg a távolságot közöttük.

Ez a módszer néha nem is olyan rossz. Képzelje el azonban újra, hogy számítógéppel van dolgunk. Nincs vonalzója, és nem is rajzol, de olyan gyorsan tud számolni, hogy ez egyáltalán nem probléma. Vegyük észre, hogy a problémánk úgy van megfogalmazva, hogy a két pont távolságának kiszámításának szabálya gép által végrehajtható parancsokból áll.

Jobb először megoldani azt a speciális esetre feltett problémát, amikor ezen pontok egyike a koordináták origójában van. Kezdje néhány numerikus példával: keresse meg a távolságot a pontok origójától; És .

Jegyzet. Használja a Pitagorasz-tételt.

Most írjon egy általános képletet egy pont origótól való távolságának kiszámításához.

Egy pont távolságát az origótól a következő képlet határozza meg:

Nyilvánvaló, hogy az ezzel a képlettel kifejezett szabály megfelel a fentebb megfogalmazott feltételeknek. Különösen olyan gépeken használható számításokhoz, amelyek képesek számokat szorozni, összeadni és négyzetgyököket kivonni.

Most oldjuk meg az általános problémát

Adott két pont egy síkon, keresse meg a köztük lévő távolságot.

Megoldás:
Jelöljük , , , pontok vetületeit és a koordinátatengelyekre.

Jelöljük a vonalak metszéspontját a betűvel. Egy derékszögű háromszögből a Pitagorasz-tétel segítségével kapjuk:

De a szakasz hossza megegyezik a szakasz hosszával. A pontok és , a tengelyen fekszenek, és koordinátái vannak, ill. A (2) bekezdés 3. bekezdésében kapott képlet szerint a köztük lévő távolság egyenlő.

Hasonlóan érvelve azt találjuk, hogy a szakasz hossza egyenlő . A talált értékeket behelyettesítve a kapott képletbe.

A pontok közötti távolság kiszámítása a koordináták alapján síkon elemi, a Föld felszínén kicsit bonyolultabb: megfontoljuk a pontok közötti távolság és kezdeti azimut mérését vetületi transzformációk nélkül. Először is értsük meg a terminológiát.

Bevezetés

Nagy körív hosszúság– a gömb felületén elhelyezkedő bármely két pont közötti legrövidebb távolság, a két pontot összekötő egyenes mentén mérve (az ilyen egyenest ortodromiának nevezzük), és a gömb felületén vagy más forgásfelületen áthaladva. A gömbgeometria eltér a normál euklideszi geometriától, és a távolságegyenletek is más formát öltenek. Az euklideszi geometriában két pont közötti legrövidebb távolság egy egyenes. Egy gömbön nincsenek egyenes vonalak. Ezek a vonalak a gömbön nagy körök részei – olyan köröknek, amelyek középpontja egybeesik a gömb középpontjával. Kezdeti azimut- azimut, amelyet az A pontból való mozgás megkezdésekor egy nagykört követve a legrövidebb távolságra B pontig a végpont B pont lesz. Amikor A pontból B pontba haladunk a nagykör mentén, az azimut az aktuális pozíció a B végpontig állandó változik. A kezdeti irányszög eltér egy állandótól, amelyet követve az aktuális ponttól a végpontig tartó irányszög nem változik, de a követett útvonal nem a legrövidebb távolság két pont között.

Egy gömb felületének bármely két pontján keresztül, ha azok nincsenek egymással közvetlenül szemben (vagyis nem antipódok), egyedi nagykör rajzolható. Két pont egy nagy kört két ívre oszt. A rövid ív hossza a két pont közötti legrövidebb távolság. Két antipodális pont közé végtelen számú nagy kör húzható, de a köztük lévő távolság bármely körön azonos lesz, és egyenlő a kör kerületének felével, vagy π*R, ahol R a gömb sugara.

Egy síkon (téglalap alakú koordinátarendszerben) a nagy körök és töredékeik, amint azt fentebb említettük, minden vetületben íveket képviselnek, kivéve a gnomonikust, ahol a nagy körök egyenesek. Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy a repülõgépek és egyéb légiközlekedési eszközök mindig a pontok közötti minimális távolság útvonalát használják üzemanyag-megtakarítás céljából, vagyis a repülést nagy körtávolság mentén hajtják végre, síkon ívnek néz ki.

A Föld alakja gömbként írható le, ezért a nagy körtávolság egyenletek fontosak a Föld felszínén lévő pontok közötti legrövidebb távolság kiszámításához, és gyakran használják a navigációban. A távolság kiszámítása ezzel a módszerrel hatékonyabb és sok esetben pontosabb, mint a vetített koordináták kiszámítása (téglalap alakú koordinátarendszerekben), mivel egyrészt nem szükséges a földrajzi koordinátákat téglalap alakú koordináta-rendszerré konvertálni (vetítési transzformációkat végrehajtani), ill. , másodszor, sok vetítés, ha helytelenül van kiválasztva, jelentős hossztorzulásokhoz vezethet a vetítési torzítások természete miatt. Köztudott, hogy nem gömb, hanem ellipszoid írja le pontosabban a Föld alakját, azonban ez a cikk a távolságok kiszámítását kifejezetten egy gömbön tárgyalja, a számításokhoz egy 6 372 795 méter sugarú gömböt használnak. , ami 0,5%-os nagyságrendű hibához vezethet a távolságok kiszámításakor.

Képletek

A nagykör gömbtávolságát háromféleképpen lehet kiszámítani. 1. Szférikus koszinusz tétel Kis távolságok és kis számítási mélység (tizedesjegyek száma) esetén a képlet használata jelentős kerekítési hibákhoz vezethet. φ1, λ1; φ2, λ2 - két pont szélessége és hosszúsága radiánban Δλ - koordináták különbsége a hosszúságban Δδ - szögkülönbség Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) A szögtávolság metrikussá való konvertálásához szorozzuk meg a szögkülönbséget a Föld sugarával (6372795 méter), a végső távolság mértékegységei megegyeznek azokkal az egységekkel, amelyekben a sugár kifejeződik (ebben az esetben méter). 2. Haversine képlet A rövid távolságokkal kapcsolatos problémák elkerülésére szolgál. 3. Az antipódok módosítása Az előző képletre is vonatkozik az antipodális pontok problémája, ennek megoldására a következő módosítást alkalmazzuk.

Saját implementációm PHP-n

// Föld sugara define("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Két pont távolsága * $φA, $λA - az 1. pont szélessége, hosszúsága, * $φB, $λB - a 2. pont szélessége, hosszúsága * http://gis-lab.info/ alapján írva qa/great-circles.html * Mihail Kobzarev< >* */ függvény számítja ki a távolságot ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // koordináták átalakítása radiánra $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $hosszú1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // szélességi és hosszúsági különbségek koszinuszai és szinuszai $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($lat2); $sl1 = sin($lat1 ) ; $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // nagy kör hosszának számítása $y = sqrt(pow ( $cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $cl1 * $cl2 * $cdelta; / / $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) Példa függvényhívásra: $lat1 = 77.1539; $hosszú1 = -139,398; $ lat2 = -77,1804; $hosszú2 = -139,55; echo számítja ki a távolságot($lat1, $hosszú1, $hossz2, $hosszú2) . "méter"; // "17166029 méter" visszaküldése

A cikk az oldalról származik