Összetett integrálok

Ez a cikk kitölti a bizonytalan integrálok tárgyát, és benne az integrálok, amelyeket meglehetősen bonyolultnak tartok. A leckét azokat a látogatók ismételt kéréseire hozták létre, akik kifejezték a kívánságokat, hogy nehezebb példákat bontják le a helyszínen.

Feltételezzük, hogy a szöveg olvasója jól felkészült, és tudja, hogyan kell alkalmazni az integráció fő technikáit. A teáskannákat és azokat az embereket, akiknek nem nagyon magabiztosan foglalkoznak az integrálokkal az első leckére - Bizonytalan integrált. Példák megoldásokraahol szinte nulla módon elsajátíthatja a témát. A tapasztalt diákok megismerhetik magukat az integráció technikáival és módszereivel, amelyek cikkemben még nem találkoztak.

Milyen integrálokat fognak figyelembe venni?

Először is, a gyökerekre vonatkozó integrálokat fogjuk megvizsgálni, hogy megoldják, hogy következetesen használják a változó cseréje és integráció az alkatrészekben. Ez egy példában két fogadást kombinálunk. És még inkább.

Aztán megismerjük érdekes és eredeti módszerinformációk integrálni magadnak. Ez a módszer nem olyan kevés integrált.

A program harmadik száma integrálódik az összetett frakciókból, amelyek a korábbi cikkek készpénz-nyilvántartásait repültek.

Negyedszer, a trigonometrikus funkciók további integrálása szétszerelhető. Különösen olyan módszerek vannak, amelyek lehetővé teszik, hogy elkerüljék az univerzális trigonometrikus helyettesítés időigényét.

(2) Az integrand funkcióban a denominátor számlálója.

(3) Használja a határozatlan integrált linearitási tulajdonságát. Az utolsó integrált azonnal söpörje meg a funkciót a differenciál jele alatt.

(4) Vegye meg a fennmaradó integrálokat. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a Logaritmusban a zárójeleket, nem egy modulot használhat.

(5) Csere, a "TE" közvetlen cseréjéről kifejezve:

A mazochiai diákok közömbösek lehetnek a választ, és megkaphatják az eredeti integrand funkciót, ahogy csak én tettem. Nem, nem, teljesítettem az ellenőrzést a megfelelő értelemben \u003d)

Amint láthatja, a határozat során még több mint két döntést kellett használnom a megoldás, így a hasonló integrálokkal rendelkező megtorlás érdekében magabiztos integrációs készségekre van szükséged, és nem a legkisebb tapasztalat.

A gyakorlatban természetesen a négyzetgyökön gyakoribb, itt három példa egy független megoldásra:

2. példa.

Megtalálni bizonytalan integrált

3. példa.

Keressen egy határozatlan integrált

4. példa.

Keressen egy határozatlan integrált

Ezek az azonos típusú példák, így a termék végén a teljes megoldás csak a 2. példában, a 3-4. Példákban. Milyen helyettesítést kell alkalmazni a döntések elején, azt hiszem, nyilvánvalóan. Miért vettem fel ugyanazt a példákat? Gyakran megtalálható a szerepedben. Gyakrabban, talán csak valami ilyesmi .

De nem mindig, amikor az Arctgennes alatt, a sinus, a koszinusz, exponenciális stb. Jellemzők a lineáris függvény gyökere, számos módszert kell alkalmazni. Bizonyos esetekben lehetséges, hogy "megszabaduljon", vagyis a csere után, egy egyszerű integrált, amely elemi veszi. A javasolt feladatok legegyszerűbbek a 4. példa, a csere után viszonylag egyszerű integrál.

Módszerinformációk integrálni magadnak

Szellemes és szép módszer. Azonnal fontolja meg a műfaj klasszikusait:

5. példa.

Keressen egy határozatlan integrált

A gyökér alatt van egy négyzet alakú csípő, és amikor megpróbálja integrálni ezt a példát, a vízforraló órákig szenvedhet. Az ilyen integrált részekbe kerülnek, és önmagára kerül. Elvileg nem nehéz. Ha tudod, hogyan.

A latin levél integrálja, és megkezdi a megoldást:

Az alkatrészekbe integrálunk:

(1) Készítsünk egy cserefüggvényt a talajosztály számára.

(2) A csere funkciót osztjuk. Talán nem minden világos, részletesebben írok:

(3) Használja a határozatlan integrált linearitási tulajdonságát.

(4) Vegyük az utolsó integrál ("hosszú" logaritmus).

Most megnézzük a döntés kezdetét:

És a végén:

Mi történt? Manipulációink eredményeként az integrált magához jutott!

Az elejét és a végét megegyezik:

A jel változásával a bal oldalra továbbítjuk:

És demo demolose a jobb oldalon. Ennek eredményeként:

Az állandó, szigorúan beszélő, korábban hozzá kell adni, de a végén tulajdonítható. Határozottan ajánlom olvasni, hogy mi van itt egy szigorú:

Jegyzet: A megoldás szigorúbb végső szakasza így néz ki:

Ily módon:

Az állandó újrafelhasználható. Miért adhat újra? Mert még mindig veszi bármi Értékeket, és ebben az értelemben állandók között, és nincs különbség.
Ennek eredményeként:

Egy ilyen trükköt az újrafeldolgozott állandóval széles körben használják differenciál egyenletek. És ott lesz szigorú. És itt egy ilyen szabadság által megengedett nekem csak azért, hogy ne keverjék össze az Ön számára felesleges dolgokat, és elsősorban az integrációs módszer maga.

6. példa.

Keressen egy határozatlan integrált

Egy másik tipikus integrál az önálló döntések számára. Teljes megoldás és válasz a lecke végén. A különbség az előző példa válaszával lesz!

Ha alatta van négyzetgyök Van egy négyzet alakú háromágyas, a megoldás bármilyen esetben két szétszerelt példa.

Például, vegye figyelembe az integrált . Mindössze annyit kell tennie, hogy elő- válassza ki a teljes négyzetet:
.
Ezután egy lineáris helyettesítést végeznek, ami "következményekkel járna":
Ennek eredményeként az integrált kapható. Valami ismerős, igaz?

Vagy egy ilyen példa, a négyzet felbomlott:
Kiemeljük a teljes négyzetet:
És egy lineáris csere után integrálunk, amelyet a már figyelembe vett algoritmus is megold.

Tekintsünk még kettőt tipikus példa A vételi információt magában foglalja:
- a sinus által megszorozva;
- A kibocsátástól a koszinussal megszorozva.

A felsorolt \u200b\u200bintegrálokban az alkatrészeket kétszer kell integrálni:

7. példa.

Keressen egy határozatlan integrált

Az integrand funkció egy kiállító, szorozva sinus.

Ösztönösen integrálunk az alkatrészekbe, és hozza magának az integrálját:

A kétszoros integráció eredményeként az integrált önmagához jutott. A kezdet- és befejezési megoldásokat megegyezik:

A bal oldalra továbbítjuk a jel változását, és kifejezzük integrálunk:

Kész. Szintén kívánatos a jobb oldal elleni küzdelem, azaz Ahhoz, hogy exponens a zárójelben, és zárójelben, hogy a sinus koszinus a "szép" sorrendben.

Most menjünk vissza a példa elejére, vagy inkább - az alkatrészekbe való integrációra:

Mert kijelöltük a kiállítót. A kérdés merül fel, mindig szükség van a kiállítóra? Nem szükséges. Tény, hogy a vizsgált integrált elv semmi különbségMit kell utalni, lehetett más módon menni:

Miért lehetséges? Mivel a kiállító önmagában (és a differenciálódás alatt, az integráció során), a koszinuszos sinus kölcsönösen egymásnak válik (ismét - mind a differenciálódás, mind az integráció során).

Ez az, hogy a trigonometrikus funkciót jelölhetjük. De a vizsgált példában kevésbé racionális, mivel a frakciók megjelennek. Ha szeretné, megpróbálhatja megoldani ezt a példát a második módon, a válaszokat meg kell egyezni.

8. példa.

Keressen egy határozatlan integrált

Ez egy független megoldás példája. Mielőtt eldöntené, gondoljon rá, hogy nyereségesebb ebben az esetben, hogy kijelölje, exponens vagy trigonometrikus funkciót? Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

És természetesen ne felejtsük el, hogy a lecke válaszainak többsége meglehetősen könnyű ellenőrizni a differenciálódást!

A példákat nem tekintették a legnehezebbnek. A gyakorlatban az integrálok gyakrabban találhatók, ahol az exponens indikátorban és a trigonometrikus függvény argumentumában van, például :. A hasonló integrált gondolatnak sokan meg kell tennie, gyakran összezavarom. Az a tény, hogy megoldani a frakciók megjelenésének valószínűségét, és nagyon egyszerűen valami intenzív. Ezenkívül a jelek hibáinak valószínűsége nagyszerű, kérjük, vegye figyelembe, hogy az exponens mutatójában van egy mínusz jel, és ez további nehézséget okoz.

A végső szakaszban gyakran a következőket kapják:

Még a határozat végén is rendkívül figyelmesnek kell lennie és kompetensen foglalkoznia kell a frakciókkal:

A komplex frakciók integrálása

Lassan eljutunk a leckeegyenleghez, és elkezdjük megfontolni az integrálokat a frakciókból. Ismét nem mindegyik Superswit, csak egy oknál fogva, vagy egy másik példa egy kicsit "nem a témában" más cikkekben.

Folytatjuk a gyökerek témáját

9. példa.

Keressen egy határozatlan integrált

A denominátorban a gyökér alatt van egy négyzet alakú, a "IKSA" formájában lévő "javítás". Az ilyen típusú integrált szabványos csere segítségével oldódik meg.

Mi döntünk:

A csere itt egyszerű:

A csere után az életet vizsgáljuk:

(1) A szubsztitúció után adjuk meg a gyökér alatt a teljes nevezőre.
(2) elviseljük a gyökérből.
(3) A számláló és a denominátor csökkenti. Ugyanakkor a gyökér alatt a komponenseket kényelmes sorrendben átrendeztem. Bizonyos kísérlet esetén az (1) lépés (1) lépései kihagyhatók a kommentált műveletek elvégzésével.
(4) az ebből eredő integrált, amint emlékszel a leckétől Egyes frakciók integrálása, dönt a teljes négyzet elosztási módja. Válasszon egy teljes négyzetet.
(5) Az integráció egy "hosszú" logaritmust kapunk.
(6) Végezzen cserét. Ha kezdetben, akkor vissza :.
(7) A végleges fellépés célja az eredmény frizurája: a gyökér alatt újra hozzák az összetevőket a teljes nevezethez és a gyökérből.

10. példa.

Keressen egy határozatlan integrált

Ez egy független megoldás példája. Itt a konstans hozzá lett adva a magányos "icsu" -hoz, és a csere szinte ugyanaz:

Az egyetlen dolog, amit hozzá kell tennie, az "X" kifejezés a csere:

Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Néha ilyen integrált a gyökér alatt lehet egy négyzet alakú, nem változtatja meg a megoldást, hogy megoldja, még könnyebb lesz. Érezd a különbséget:

11. példa.

Keressen egy határozatlan integrált

12. példa.

Keressen egy határozatlan integrált

Rövid döntések és válaszok a lecke végén. Meg kell jegyezni, hogy a 11. példa pontosan binomiális integrál, akinek döntését figyelembe vették a leckében Intracionális funkciókból származó integrálok.

Integrálva a 2. fokozat 2 fokos diploma szerinti feltételezhető polinomából

(Polinomiális a nevezőben)

Ritkább, de mindazonáltal találkozik gyakorlati példák Az integráció típusa.

13. példa.

Keressen egy határozatlan integrált

De jöjjön vissza például boldog szám 13 (őszintén, nem illik). Ez az integrált is olyan kategóriából származik, amelyekkel eléggé eléggé lehet, ha nem tudod megoldani.

A döntés mesterséges átalakítással kezdődik:

Hogyan osztja meg a számát a nevezőnek, azt hiszem, mindent megértenek.

Az ebből eredő integrált részben van:

A nézet integrál (- természetes szám) eltávolítva visszatérő Fokcsökkentő formula:
hol - Az integrált fokozat alacsonyabb.

Meg fogom győződni arról, hogy ennek a képletnek az igazságosság a prófétított integrált.
Ebben az esetben: a képletet használjuk:

Amint láthatja, a válaszok egybeesnek.

14. példa.

Keressen egy határozatlan integrált

Ez egy független megoldás példája. Az oldat mintájában a fent említett képlet kétszer volt.

Ha a fokozat alatt található független a szorzókon Négyzet alakú négyzet, akkor a megoldás leereszkedik, hogy kiemeli a teljes négyzetet, például:

Mi van, ha a számlálón van, van egy polinom? Ebben az esetben a határozatlan együtthatók módszerét használják, és az integrált függvényt a frakciók mennyiségében írják le. De az ilyen példa gyakorlatában nem találkoztam, így hiányzott ez az eset A cikkben A frakcionált racionális funkció integrálásaHiányzik és most. Ha ilyen integrál még mindig találkozik, lásd a tankönyv - Minden egyszerű. Nem tartom célszerűnek, hogy az anyagot (még egyszerű), az ülés valószínűségét, amellyel nulla.

A komplex trigonometrikus funkciók integrálása

A legtöbb példa "komplex" melléknév sokféleképpen feltételes. Kezdjük tangensekkel és kotangénokkal magas fokú. A szempontból a megoldási módjainak Érintő és Kotangent, szinte ugyanaz a dolog, úgyhogy még beszélni Tangent, utalva arra, hogy a bemutatott befogadása a megoldás az integrál valós és kotangensét is.

A fenti lecke alapján figyelembe vettük univerzális trigonometrikus helyettesítés A trigonometrikus funkciók konkrét típusának megoldása. Az univerzális trigonometrikus szubsztitúció hiánya az, hogy amikor alkalmazzák, a nehéz számításokkal rendelkező terjedelmes integrálások gyakran előfordulnak. És egyes esetekben egy univerzális trigonometrikus helyettesítés elkerülhető!

Tekintsünk egy másik kanonikus példát, a szinuszba osztott egységből származó integrált:

17. példa.

Keressen egy határozatlan integrált

Itt egy univerzális trigonometrikus szubsztitúciót használhat, és válaszolhat, de van egy racionálisabb út. Minden egyes lépésnél teljes körű megoldást kapok:

(1) Használja a kettős szögű szinusz trigonometrikus képletét.
(2) Mesterséges átalakulást végezünk: a nevezőben osztunk és szaporodunk.
(3) Az ismert képlet szerint a denominátorban frakciót fordítunk a tangensre.
(4) söpörje meg a funkciót a differenciál jele alatt.
(5) vegye be az integrál.

Párosít egyszerű példák Az önmegoldásokhoz:

18. példa.

Keressen egy határozatlan integrált

Megjegyzés: A legfontosabb műveletet a képletnek kell használni És Óvatosan végezzen hasonló az akció előző példájához.

19. példa.

Keressen egy határozatlan integrált

Nos, ez egy nagyon egyszerű példa.

Teljes megoldások és válaszok a lecke végén.

Azt hiszem, most senki sem rendelkezik problémával az integrálokkal:
stb.

Mi a módszer ötlete? Az ötlet az, hogy átalakulások, trigonometrikus képletek segítségével szervezzük az integrand csak érintő és egy érintőszármazékot. Ez az, hogy a helyettesítés: . A 17-19. Példákban ténylegesen alkalmaztuk ezt a cserét, de az integrálok olyan egyszerűek voltak, hogy ekvivalens hatást gyakorolnak - hogy összefoglalja a funkciót a differenciál jele alatt.

Hasonló argumentumok, amint már megállapítottam, a cotangentre költözhet.

A fenti csere használatának formális előfeltétele van:

A koszinusz és a sinus foka teljes negatív szám, például:

az integrált - egész negatív szám.

! jegyzet : Ha az integrand funkció csak sinusot vagy csak koszint tartalmaz, akkor az integrált negatív furcsa mértékben történik (a 11., 18. példa legegyszerűbb esetei).

Tekintsünk egy pár informatív feladatot erre a szabályra:

20. példa.

Keressen egy határozatlan integrált

A sinus és a koszinusz mértékének összege: 2 - 6 \u003d -4 egy teljes negatív szám, ami azt jelenti, hogy az integrált az érintőkre és származékára csökkenthető:

(1) A nevezőt átalakítjuk.
(2) A híres képlet szerint kapunk.
(3) A nevezőt átalakítjuk.
(4) A képletet használjuk .
(5) Adja át a funkciót a különbség jele alatt.
(6) Cseréljük. A tapasztaltabb diákok nem cserélhetők ki, de még mindig jobb, ha a tangenelt egy betűvel helyettesíti - kevesebb kockázat zavaros.

21. példa.

Keressen egy határozatlan integrált

Ez egy független megoldás példája.

Tartsa be a bajnok körét \u003d)

Gyakran az integrand funkcióban "Solyanka":

22. példa.

Keressen egy határozatlan integrált

Ebben az integrált, a tangens kezdetben jelen van, ami azonnal a már ismerős gondolatra törekszik:

Mesterséges átalakulás a kezdetektől kezdve és megmaradt lépések megjegyzése nélkül, mivel mindent fent említettünk.

Egy pár kreatív példa egy független megoldásra:

23. példa.

Keressen egy határozatlan integrált

24. példa.

Keressen egy határozatlan integrált

Igen, természetesen csökkenthető a sinus, a koszinusz mértékének csökkentése, univerzális trigonometrikus helyettesítés, de a döntés sokkal hatékonyabb és rövidebb lesz, ha az érintőkön keresztül végzik. Teljes megoldás és válaszok a lecke végén

A fő integrálok, amelyeket minden tanulónak tudnia kell

A felsorolt \u200b\u200bintegrálok az alap, az alapító alap. Ezeket a képleteket emlékezni kell. A bonyolultabb integrálok kiszámításakor folyamatosan kell használni őket.

Különös figyelmet fordítson a (5), (7), (9), (12), (13), (17) és (19) képletekre. Ne felejtsük el, ha az integrálás hozzáadódik a válasz tetszőleges állandóval!

Integrált Constanta

∫ d x \u003d A x + c (1)

Az energiafunkció integrálása

Valójában csak a (5) és (7) képletekkel korlátozódhatott, de az e csoportból származó integrálok többi része olyan gyakran fordul elő, hogy érdemes egy kicsit figyelmet fordítani rájuk.

∫ x d x \u003d x 2 2 + c (2)
∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + c (3)
∫ 1 x d x \u003d 2 x + c (4)
∫ 1 x d x \u003d ln | X | | + C (5)
∫ 1 x 2 d x \u003d - 1 x + c (6)
∫ X N D X \u003d X N + 1 N + 1 + C (N ≠ - 1) (7)

Integrálja az indikatív funkciót és a hiperbolikus funkciókat

Természetesen a (8) képlet (talán a memorizáció legmegfelelőbb) tekinthető privát eset Formulák (9). A hiperbolikus sinus és a hiperbolikus koszinus integrált képletei (10) és (11) könnyen származnak a (8) képletből, de jobb, ha csak emlékeznek ezekekre a kapcsolatokra.

∫ E X D X \u003d E X + C (8)
∫ A X D X \u003d A X LN A + C (A\u003e 0, A ≠ 1) (9)
∫ S H X D X \u003d C H X + C (10)
∫ C H X D X \u003d S H X + C (11)

Trigonometrikus funkciók alapvető integrálása

Hiba történt, hogy a diákok gyakran készítenek: összetéveszti a képleteket (12) és (13). Azáltal, hogy emlékezve arra, hogy a sinusszármazék megegyezik a Cosine-szel, sokan valamilyen oknál fogva úgy vélik, hogy a SinX funkcióból származó integrált a Cosx. Ez nem igaz! A szinusz integrálja egyenlő a "mínusz koszinus", de a Cosx integrálja "csak sinus":

∫ SIN X D X \u003d - COS X + C (12)
∫ COS X D X \u003d SIN X + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x \u003d t g x + c (14)
∫ 1 SIN 2 x D X \u003d - C T G X + C (15)

Integrálták az inverz trigonometrikus funkciókra

A (16) képlet, amely az Arctangenthez vezet, természetesen egy (17) képletű speciális eset a \u003d 1-en. Hasonlóképpen, (18) - különleges eset (19).

∫ 1 1 + x 2 D X \u003d A R C T G X + C \u003d - AR C C T G X + C (16)
∫ 1 x 2 + A 2 \u003d 1 A AR C T G X A + C (A ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - X 2 D X \u003d ARCSIN X + C \u003d - Arccos X + C (18)
∫ 1 A 2 - X 2 D X \u003d ARCSIN X A + C \u003d - ArcCOS X A + C (A\u003e 0) (19)

Összetettebb integrálok

Ezek a képletek szintén kívánatosak arra, hogy emlékezzenek. Ők is gyakran használják őket, és a következtetésük elég unalmas.

∫ 1 x 2 + A 2 D X \u003d LN | x + x 2 + A 2 | + C (20)
∫ 1 x 2 - A 2 D x \u003d ln | X + x 2 - A 2 | + C (21)
∫ A 2 - X 2 D X \u003d X 2 A 2 - X 2 + A 2 2 ARCSIN X A + C (A\u003e 0) (22)
∫ x 2 + A 2 D X \u003d X 2 x 2 + A 2 + A 2 2 LN | x + x 2 + A 2 | + C (A\u003e 0) (23)
∫ x 2 - A 2 D x \u003d x 2 x 2 - A 2 - A 2 2 LN | X + x 2 - A 2 | + C (A\u003e 0) (24)

Általános integrációs szabályok

1) A két funkció összegének integrálja megegyezik az adott integrálok összegével: ∫ (f (x) + g (x)) d x \u003d ∫ f (x) dx + ∫ g (x) dx (25 )

2) A két funkció különbségének integrálja megegyezik a megfelelő integrálok közötti különbséggel: ∫ (f (x) - g (x)) d x \u003d ∫ f (x) d x - ∫ g (x) dx ( 26)

3) Az állandó kivehető az integrált jelből: ∫ c f (x) d x \u003d c ∫ f (x) d x (27)

Könnyű észrevenni, hogy a tulajdonság (26) csak a tulajdonságok (25) és (27) kombinációja.

4) BESZERELÉSEK BESZERELÉSBEN, Ha a belső funkció lineáris: ∫ F (A x + b) d x \u003d 1 A f (A x + b) + c (A ≠ 0) (28)

Itt f (x) primitív az f (x) függvény esetében. MEGJEGYZÉS: Ez a képlet csak akkor alkalmas, ha egy belső funkciónak van egy oldala AX + B.

Fontos: nincs univerzális képlet a két funkció termékétől, valamint a frakciótól való integráltból:

∫ f (x) g (x) d x \u003d? ∫ f (x) g (x) d x \u003d? (harminc)

Ez természetesen nem jelenti azt, hogy a frakciót vagy a munkát nem lehet integrálni. Csak minden alkalommal, látva egy integrált típusát (30), meg kell találnod a "harc" vele. Bizonyos esetekben képes lesz integrálni az alkatrészekbe, valahol cserélni kell a változót, és néha segíthet még "Iskola" képletek Algebra vagy trigonometria.

Egy egyszerű példa a bizonytalan integrált kiszámítására

1. példa Keressen egy integrált: ∫ (3 x 2 + 2 sin X - 7 E x + 12) d x

Használjuk a (25) és (26) képleteket (a függvények mennyisége vagy különbsége megegyezik a megfelelő integrálok összegével vagy különbségével. Szerkünk: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x - ∫ 7 E X D X + ∫ 12 D X

Emlékezzünk vissza, hogy az állandó az integrált jele (képlet (27)). Az elme felé átalakított kifejezés

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ SIN X D X - 7 ∫ E X D X + 12 ∫ 1 D X

És most egyszerűen használja a fő integrálok tábláját. A képleteket (3), (12), (8) és (1) alkalmazzuk. Integrálja a hálózati funkció, sinus, exponenciális és folyamatos 1. Ne felejtsük el, add, hogy a végén egy tetszőleges konstans:

3 x 3 3 - 2 COS X - 7 E X + 12 X + C

Az elemi átalakítások után megkapjuk a végső választ:

X 3 - 2 COS X - 7 E X + 12 X + C

Ellenőrizze magát a differenciálódással: vegye a funkcióból származó származék És győződjön meg róla, hogy ez egyenlő a kezdeti kifejezésekkel.

Összefoglaló integrált asztal

∫ d x \u003d A x + c

∫ x d x \u003d x 2 2 + c

∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + c

∫ 1 x d x \u003d 2 x + c

∫ 1 x d x \u003d ln | X | | + C.

∫ 1 x 2 d x \u003d - 1 x + c

∫ X N D X \u003d X N + 1 N + 1 + C (N ≠ - 1)

∫ e x d x \u003d e x + c

∫ A X D X \u003d A X LN A + C (A\u003e 0, A ≠ 1)

∫ S H X D X \u003d C H X + C

∫ C H X D X \u003d S H X + C

∫ SIN X D X \u003d - COS X + C

∫ cos x d x \u003d sin x + c

∫ 1 cos 2 x d x \u003d t g x + c

∫ 1 SIN 2 x D X \u003d - C T G X + C

∫ 1 1 + x 2 D X \u003d A R C T G X + C \u003d - AR C C T G X + C

∫ 1 x 2 + A 2 \u003d 1 A A R C T G X A + C (A ≠ 0)

∫ 1 1 - X 2 D X \u003d ARCSIN X + C \u003d - Arccos X + C

∫ 1 A 2 - X 2 D X \u003d ARCSIN X A + C \u003d - ArcCOS X A + C (A\u003e 0)

∫ 1 x 2 + A 2 D X \u003d LN | x + x 2 + A 2 | + C.

∫ 1 x 2 - A 2 D x \u003d ln | X + x 2 - A 2 | + C.

∫ A 2 - X 2 D X \u003d X 2 A 2 - X 2 + A 2 2 ARCSIN X A + C (A\u003e 0)

∫ x 2 + A 2 D X \u003d X 2 x 2 + A 2 + A 2 2 LN | x + x 2 + A 2 | + C (A\u003e 0)

∫ x 2 - A 2 D x \u003d x 2 x 2 - A 2 - A 2 2 LN | X + x 2 - A 2 | + C (A\u003e 0)

Töltse le az integrált táblát (II. Rész) ezen a linken

Ha az egyetemen tanul, ha nehézségei vannak a legmagasabb matematika (matematikai analízis, lineáris algebra, valószínűségi elmélet, statisztika), ha képzett tanár szolgáltatásaira van szüksége, menj az oldalra tutor a legmagasabb matematika . Megoldjuk a problémáit együtt!

Talán érdekel