A irracionális funkciót a változó egy olyan funkció, amely képződik változó, és tetszőleges állandók segítségével véges számú műveletek összeadás, kivonás, szorzás (erekciót egész szám fok), a szétválás és kibontása gyökerek. Az irracionális funkció különbözik a racionális abban, hogy az irracionális funkció gyökér kitermelési műveleteket tartalmaz.
Három fő típus van irracionális funkciók, határozatlan integrálok, amelyekből a racionális funkciók integrálódásai vannak. Ezek azok az integrálok, amelyek az önkényes egész számok gyökereit tartalmazzák a frakcionális lineáris függvényből (a gyökerek különböző fokúak, de ugyanabból a frakcionális lineáris függvényből); Integrálja a differenciális binoma és integrálja a négyzet alakú három lövés négyzetgyökével.
Fontos megjegyzés. A gyökerek értelmesek!
A gyökereket tartalmazó integrálok kiszámításakor gyakran megtalálhatók az űrlap faja, ahol van valamilyen funkció az integrációs változó. Ezt szem előtt kell tartani. Ez a t\u003e 0, | t | \u003d T. . T.< 0, | t | \u003d - t. Ezért az ilyen integrálok kiszámításakor külön kell tartania az eseteket t\u003e 0 és T.< 0 . Ez megtörténhet, ha jeleket írsz, vagy ahol szükséges. Azt jelenti, hogy a felső jel az esetre vonatkozik 0 , és az alsó - az eset t< 0 . További konverzióval ezek a jelek általában kölcsönösen csökkentek.
Második megközelítés lehetséges, amelyben az integrált függvény és az integráció eredménye lehet megtekinteni komplex funkciók komplex változókból. Ezután nem követheti a leválasztott kifejezések jeleit. Ez a megközelítés akkor alkalmazható, ha az integrált függvény analitikus, vagyis egy komplex változó differenciált funkciója. Ebben az esetben az integrált funkció és az integrált a többértékű funkciók. Ezért az integráció után, a numerikus értékek helyettesítése során ki kell választani az integrand funkció egyértelmű ágát (riemanniai felületét), és kiválaszthatja az integrációs eredmény megfelelő ágát.
Lineáris irracionalitás
Ezek az integrálok ugyanabból a frakcionált lineáris függvényből:
,
ahol R jelentése racionális funkció - racionális számok, m 1, n 1, ..., M S, N S az egész számok, α, β, γ, δ érvényes számok.
Az ilyen integrálok a racionális funkció függvényének szerves részére csökkentek:
ahol n az R 1, ..., R S számok közös denominátora.
A gyökerek nem feltétlenül lehetnek frakcionális lineáris funkcióból, de lineáris (γ \u003d 0, Δ \u003d 1), vagy az X integrációs változóból (α \u003d 1, β \u003d 0, γ \u003d 0, Δ \u003d 1).
Íme példák az ilyen integrálokra:
,
.
A differenciálbordákból származó integrálok
A differenciálbordákból származó integrálok formája:
,
ahol m, n, p racionális szám, a, b - érvényes számok.
Az ilyen integrálok három esetben a racionális funkciókból származó integrálokra csökkentek.
1) Ha p egész szám. Az x \u003d t n szubsztitúció, ahol n értéke az M és N frakciók teljes megnevezője.
2) Ha - az egész. Az X n + b \u003d t m helyettesítése, ahol m a számok száma p.
3) Ha - egész. A + B X - N \u003d T M szubsztitúció, ahol m a P szám nevezője.
Más esetekben az ilyen integrálok nem az elemi funkciók révén fejeződnek ki.
Néha az ilyen integrálok egyszerűsíthetők a képletekkel:
;
.
A négyzet alakú négyzetgyököt tartalmazó integrálok
Az ilyen integrálok a következők:
,
ahol r racionális funkció. Minden ilyen integrált esetében számos megoldási módszer létezik.
1)
Az átalakítások segítségével egyszerűbb integrálokhoz vezetnek.
2)
Trigonometrikus vagy hiperbolikus szubsztitúciók alkalmazása.
3)
Alkalmazza az Euler szubsztitúcióit.
Tekintsük ezeket a módszereket részletesebben.
1) Az integrand funkció átalakítása
A képlet alkalmazásával és az algebrai transzformációk végrehajtásával hozza létre az újraindítási funkciót:
,
ahol φ (x), ω (x) racionális funkciók.
gépelek
Az űrlap integrálja:
,
ahol p n (x) egy polinom fok.
Az ilyen integrálok a bizonytalan együtthatók módszere az identitást alkalmazva:
.
Ennek az egyenletnek megkülönböztetése és a bal és a jobb részek egyenlésével megtaláljuk az I. koefficienseket.
II típus
Az űrlap integrálja:
,
ahol a p m (x) polinomiális diploma m.
Helyettesítési t \u003d. (X - α) -1 Ez az integrált az előző típushoz vezet. Ha m ≥ n, akkor a frakciót az egész részre kell osztani.
III típus
Itt helyettesítjük:
.
Ezután az integrált az űrlapot veszi:
.
Ezután a következő, állandó α, β, akkor választani kell, hogy a nevezőben a t-ben lévő együtthatók nulla értékre fordultak:
B \u003d 0, b 1 \u003d 0.
Ezután az integrált szétesik a két típus integráljainak összegét:
,
,
amelyek a helyettesítések által integráltak:
u 2 \u003d A 1 T 2 + C 1,
v 2 \u003d 1 + C 1 T -2.
2) Trigonometrikus és hiperbolikus szubsztitúciók
Az űrlap integrálása érdekében a > 0
,
Három fő helyettesítésünk van:
;
;
;
Az integrálok esetében a > 0
,
A következő helyettesítésünk van:
;
;
;
És végül az integrálokért, a > 0
,
A szubsztitúciók a következők:
;
;
;
3) Euler szubsztitúciók
Az integrálok szintén csökkenthetők az Euler három szubsztitúciójának ésszerű funkcióinak az integrálódására:
, a\u003e 0;
, c\u003e 0;
ahol az x 1 az egy x 2 + b x + c \u003d 0 egyenlet gyökere. Ha ez az egyenlet érvényes gyökerei vannak.
Elliptikai integrálok
Összefoglalva, fontolja meg az űrlap integráljait:
,
ahol r racionális funkció ,. Az ilyen integrálokat elliptikusnak nevezik. Általánosságban elmondható, hogy nincsenek elemi funkciók révén. Vannak azonban olyan esetek, amikor az A, B, C, D, E koefficiensek közötti kapcsolatok vannak az ilyen integrálokkal az elemi funkciók révén.
Az alábbi példa a visszatérő polinomokhoz kapcsolódik. Az ilyen integrálok kiszámítását helyettesítéssel végezzük:
.
Példa
Kiszámítja az integrált:
.
Döntés
Cseréljen.
.
Itt x\u003e 0
(U\u003e. 0
) A felső jel "+". X.< 0
(U.< 0
) - Alsó '-'.
.
Válasz
Referenciák:
N.m. Gunter, R.O. Kuzmin, a magasabb matematika feladatainak gyűjtése, "LAN", 2003.
F funkció (x), differenciálható ebben a szakadékban, hívják tökéletes a funkcióhoz F (x), vagy az F (x) -ból származó integrált, ha bármilyen x ∈x esetében az egyenlőség igaz:
F "(x) \u003d f (x). (8.1)
Az összes elsődleges megtalálása ehhez a funkcióhoz hívják integráció. Bizonytalan integrált funkcióf (x) Ezen a résen az F (x) függvény összes primitív funkciójának halmaza; Megnevezés -
Ha f (x) valamilyen funkcionális funkció f (x), akkor ∫ f (x) dx \u003d f (x) + c, (8,2)
ahol tetszőleges állandó van.
Asztali integrálok
Közvetlenül a definícióból az alapvető tulajdonságokat nem kapjuk meg bizonyos integrált és a táblázatos integrálok listája:
1) d∫f (x) dx \u003d f (x)
2) ∫df (x) \u003d f (x) + c
3) ∫af (x) dx \u003d a∫f (x) dx (A \u003d CONST)
4) ∫ (f (x) + g (x)) dx \u003d ∫f (x) dx + ∫g (x) dx
A táblázatos integrálok listája
1. ∫x m dx \u003d X M + 1 / (M + 1) + C; (M ≠ -1)
3.∫A X DX \u003d A X / LN A + C (A\u003e 0, A ≠ 1)
4.∫e x dx \u003d e x + c
5.∫sin x dx \u003d cosx + c
6.∫COS X DX \u003d - SIN X + C
7. \u003d Arctg X + C
8. \u003d Arcsin X + C
10. \u003d - CTG X + C
A változó cseréje
A sok funkció integrációjához a változó vagy a változó cseréjének módja helyettesítéslehetővé téve, hogy integrálja a táblázatos formát.
Ha az F (z) függvény folyamatos [α, β], akkor a z \u003d g (x) függvény folyamatos származékos és α ≤ g (x) ≤ β
∫ F (g (x)) g "(x) dx \u003d ∫f (z) dz, (8.3)
ráadásul az integráció után a Z \u003d G (x) szubsztitúciót a jobb oldalon kell elvégezni.
Bizonyítani, hogy elegendő a forrás integrált írása formában:
∫ F (g (x)) g "(x) dx \u003d ∫ f (g (x)) DG (X).
Például:
Integrációs módszer részben
Legyen u \u003d f (x) és v \u003d g (x) funkciók, amelyek folyamatosak. Ezután a munka,
d (UV)) \u003d UDV + VDU vagy UDV \u003d D (UV) - VDU.
A D (UV) kifejezés esetében az első, nyilvánvalóan UV lesz, így a képlet:
∫ UDV \u003d UV - ∫ VDU (8.4.)
Ez a képlet a szabályt fejezi ki integráció az alkatrészekben. Ez eredményezi az UDV \u003d UV "DX expresszió integrálását a VDU \u003d VU" DX expressziójának integrálásához.
Legyen például megtalálni a ∫xcosx DX-t. Tedd u \u003d x, dv \u003d cosxdx, így a du \u003d dx, v \u003d sinx. Azután
∫xcosxdx \u003d ∫x d (sin x) \u003d x sin x - ∫sin x dx \u003d x sin x + cosx + c.
Az alkatrészek integrációs szabályának korlátozottabb hatályú, mint a változó cseréje. De vannak az egész integrációs osztályok, például,
∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k ex és mások, amelyeket az alkatrészek integrációjával számítanak ki.
Bizonyos integrált
A konkrét integrált fogalmát a következőképpen növelik. Hagyja, hogy az F (x) függvény meghatározza a szegmenst. Megszakítjuk az [a, b] szegmenst n. Alkatrészek pontok a \u003d x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 ,
x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i)
Δx i где
Δ x i \u003d x I - X I-1. Az F (ξ i) δ x i formanyomtatvány összege integrált összeg, és annak korlátja λ \u003d maxΔx i → 0, ha létezik és véges, hívott Bizonyos integráltf funkciók f (x) a. előtt b. És jelzett:
F (ξ i) Δx i (8.5).
Az f (x) funkció ebben az esetben hívják integrálható a vágásraaz A és B számokat hívják alsó és felső integrált határ.
Egy specifikus integrált, a következő tulajdonságok érvényesek:
4), (K \u003d CONST, K∈ CR);
5)
6)
7) f (ξ) (b - a) (ξ∈).
Az utolsó tulajdonságot hívják Az átlagos jelentése.
Legyen f (x) folyamatos. Ezután határozatlan integrál van ezen a szegmensen
∫f (x) dx \u003d f (x) + c
És megtörténik formula Newton Labitsa, Kötelezve a konkrét integrált bizonytalanságot:
F (b) - f (a). (8.6)
Geometriai értelmezés: Egy bizonyos integrált a görbületi trapézium területe, a Y \u003d F (x), egyenes X \u003d A és X \u003d B és a tengely szegmense ÖKÖR..
Érvénytelen integrálok
A végtelen határértékekkel való integrálok és a nem érintett (korlátlan) funkciók integrálása összeegyeztethetetlen. Összeférhetetlen integrálok Ezek olyan integrálok, amelyek a következőképpen meghatározva vannak:
(8.7)
Ha ez a határérték létezik és véges, akkor hívják az f (x) az [A, + ∞) intervallumon, és az f (x) függvényt hívják integrált végtelen időközönként[A, + ∞). Ellenkező esetben az integrálról azt mondják nem létezik vagy eltér.
Ugyanígy határozzák meg ugyanúgy (-∞, B) és (-∞, + ∞) érthetetlen integrálokat:
Meghatározzuk a korlátlan függvények integrált fogalmát. Ha f (x) folyamatos minden értékre x. Kivéve a C pontot, amelyben f (x) végtelen rés van Nem kompatibilis integrált II nemzetség F (x) az A-tól B-ig terjedő tartományban Az összeget hívják:
ha ezek a határértékek léteznek és végesek. Kijelölés:
Példák az integrálok kiszámítására
3.30. Példa. Kiszámítja a ∫dx / (x + 2).
Döntés. Jelentése t \u003d x + 2, majd dx \u003d dt, ∫dx / (x + 2) \u003d ∫dt / t \u003d ln | t | + C \u003d LN | x + 2 | + C.
3.31. Példa.. Keresse meg ∫ tgxdx.
Döntés.∫ tgxdx \u003d ∫sinx / cosxdx \u003d - ∫dcosx / cosx. Legyen t \u003d cosx, akkor ∫ tgxdx \u003d -∫ dt / t \u003d - ln | t | + C \u003d -LN | COSX | + C.
Példa3.32 . Keresse meg ∫dx / sinxDöntés.
Példa3.33. Megtalálni .
Döntés. = .
Példa3.34 . Keresse meg a ∫ARCTGXDX-t.
Döntés. Az alkatrészekbe integrálunk. Jelentése u \u003d arctgx, dv \u003d dx. Majd du \u003d dx / (x 2 +1), v \u003d x, ahonnan ∫arctgxdx \u003d xarctgx - ∫ xdx / (x 2 +1) \u003d xarctgx + 1/2 ln (x 2 +1) + C; mint
∫xdx / (x 2 +1) \u003d 1/2 ∫D (x 2 +1) / (x 2 +1) \u003d 1/2 ln (x 2 +1) + c.
Példa3.35 . Számítsa ki a ∫lnxdx-t.
Döntés. Az integrációs képlet alkalmazásával az alábbiakban kapunk:
U \u003d lnx, dv \u003d dx, du \u003d 1 / x dx, v \u003d x. Majd ∫lnxdx \u003d xlnx - ∫x 1 / x dx \u003d
\u003d Xlnx - ∫dx + c \u003d xlnx - x + C.
Példa3.36 . Számítsa ki a ∫E x sinxdx-t.
Döntés. U \u003d e x, dv \u003d sinxdx, majd du \u003d e x dx, v \u003d ∫sinxdx \u003d - cosx → ∫ e x sinxdx \u003d - e x cosx + ∫ e x cosxdx. A szerves ∫E X COSXDX is integrálható részein: u \u003d e x, dv \u003d cosxdx, du \u003d e x dx, v \u003d sinx. Nekünk van:
∫ e x cosxdx \u003d e x sinx - ∫ e x sinxdx. Kapott ∫e x sinxdx \u003d - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, ahonnan 2∫e x sinx dx \u003d - e x cosx + e x sinx + s
Példa 3.37. Számítsa ki J \u003d ∫COS (LNX) DX / X.
Döntés.Mivel DX / X \u003d DLNX, majd J \u003d ∫COS (LNX) d (lnx). Az LNX-t t cserébe t, az integrált J \u003d ∫ CostDt \u003d Sint + C \u003d Sin (LNX) + C.
Példa 3.38 . Számítsa ki J \u003d.
Döntés. Tekintettel arra, hogy \u003d d (lnx), előállítjuk az LNX \u003d T helyettesítést. Ezután J \u003d. 
.
Példa 3.39
. Kiszámítja az integrált j \u003d 
.
Döntés.Nekünk van: 
. Ezért \u003d.
=
\u003d. Ez így van beírva SQRT (TAN (X / 2)).
És ha rákattint a jobb felső sarokban található megjelenítési lépésekre, akkor kap egy részletes megoldást.
Összetett integrálok
Ez a cikk kitölti a bizonytalan integrálok tárgyát, és benne az integrálok, amelyeket meglehetősen bonyolultnak tartok. A leckét azokat a látogatók ismételt kéréseire hozták létre, akik kifejezték a kívánságokat, hogy nehezebb példákat bontják le a helyszínen.
Feltételezzük, hogy a szöveg olvasója jól felkészült, és tudja, hogyan kell alkalmazni az integráció fő technikáit. A teáskannákat és azokat az embereket, akiknek nem nagyon magabiztosan foglalkoznak az integrálokkal az első leckére - Bizonytalan integrált. Példák megoldásokraahol szinte nulla módon elsajátíthatja a témát. A tapasztalt diákok megismerhetik magukat az integráció technikáival és módszereivel, amelyek cikkemben még nem találkoztak.
Milyen integrálokat fognak figyelembe venni?
Először is, a gyökerekre vonatkozó integrálokat fogjuk megvizsgálni, hogy megoldják, hogy következetesen használják a változó cseréje és integráció az alkatrészekben. Ez egy példában két fogadást kombinálunk. És még inkább.
Aztán megismerjük érdekes és eredeti módszerinformációk integrálni magadnak. Ez a módszer nem olyan kevés integrált.
A program harmadik száma integrálódik az összetett frakciókból, amelyek a korábbi cikkek készpénz-nyilvántartásait repültek.
Negyedszer, a trigonometrikus funkciók további integrálása szétszerelhető. Különösen olyan módszerek vannak, amelyek lehetővé teszik, hogy elkerüljék az univerzális trigonometrikus helyettesítés időigényét.
(2) Az integrand funkcióban a denominátor számlálója.
(3) Használja a határozatlan integrált linearitási tulajdonságát. Az utolsó integrált azonnal söpörje meg a funkciót a differenciál jele alatt.
(4) Vegye meg a fennmaradó integrálokat. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a Logaritmusban a zárójeleket, nem egy modulot használhat.
(5) Csere, a "TE" közvetlen cseréjéről kifejezve:
A mazochiai diákok közömbösek lehetnek a választ, és megkaphatják az eredeti integrand funkciót, ahogy csak én tettem. Nem, nem, teljesítettem az ellenőrzést a megfelelő értelemben \u003d)
Amint láthatja, a határozat során még több mint két döntést kellett használnom a megoldás, így a hasonló integrálokkal rendelkező megtorlás érdekében magabiztos integrációs készségekre van szükséged, és nem a legkisebb tapasztalat.
A gyakorlatban természetesen a négyzetgyökön gyakoribb, itt három példa egy független megoldásra:
2. példa.
Keressen egy határozatlan integrált
3. példa.
Keressen egy határozatlan integrált
4. példa.
Keressen egy határozatlan integrált
Ezek az azonos típusú példák, így a termék végén a teljes megoldás csak a 2. példában, a 3-4. Példákban. Milyen helyettesítést kell alkalmazni a döntések elején, azt hiszem, nyilvánvalóan. Miért vettem fel ugyanazt a példákat? Gyakran megtalálható a szerepedben. Gyakrabban, talán csak valami ilyesmi 
.
De nem mindig, amikor az Arctgennes alatt, a sinus, a koszinusz, exponenciális stb. Jellemzők a lineáris függvény gyökere, számos módszert kell alkalmazni. Bizonyos esetekben lehetséges, hogy "megszabaduljon", vagyis a csere után, egy egyszerű integrált, amely elemi veszi. A javasolt feladatok legegyszerűbbek a 4. példa, a csere után viszonylag egyszerű integrál.
Módszerinformációk integrálni magadnak
Szellemes és szép módszer. Azonnal fontolja meg a műfaj klasszikusait:
5. példa.
Keressen egy határozatlan integrált
A gyökér alatt van egy négyzet alakú csípő, és amikor megpróbálja integrálni ezt a példát, a vízforraló órákig szenvedhet. Az ilyen integrált részekbe kerülnek, és önmagára kerül. Elvileg nem nehéz. Ha tudod, hogyan.
A latin levél integrálja, és megkezdi a megoldást: 
Az alkatrészekbe integrálunk: 
(1) Készítsünk egy cserefüggvényt a talajosztály számára.
(2) A csere funkciót osztjuk. Talán nem minden világos, részletesebben írok:
(3) Használja a határozatlan integrált linearitási tulajdonságát.
(4) Vegyük az utolsó integrál ("hosszú" logaritmus).
Most megnézzük a döntés kezdetét: 
És a végén: 
Mi történt? Manipulációink eredményeként az integrált magához jutott!
Az elejét és a végét megegyezik: 
A jel változásával a bal oldalra továbbítjuk: 
És demo demolose a jobb oldalon. Ennek eredményeként: 
Az állandó, szigorúan beszélő, korábban hozzá kell adni, de a végén tulajdonítható. Határozottan ajánlom olvasni, hogy mi van itt egy szigorú:
Jegyzet:
A megoldás szigorúbb végső szakasza így néz ki:
Ily módon:
Az állandó újrafelhasználható. Miért adhat újra? Mert még mindig veszi bármi Értékeket, és ebben az értelemben állandók között, és nincs különbség.
Ennek eredményeként:
Egy ilyen trükköt az újrafeldolgozott állandóval széles körben használják differenciál egyenletek. És ott lesz szigorú. És itt egy ilyen szabadság által megengedett nekem csak azért, hogy ne keverjék össze az Ön számára felesleges dolgokat, és elsősorban az integrációs módszer maga.
6. példa.
Keressen egy határozatlan integrált
Egy másik tipikus integrál az önálló döntések számára. Teljes megoldás és válasz a lecke végén. A különbség az előző példa válaszával lesz!
Ha a négyzetgyökér négyzet alakú, akkor az oldat bármelyik esetben két szétszerelt példa.
Például, vegye figyelembe az integrált 
. Mindössze annyit kell tennie, hogy elő- válassza ki a teljes négyzetet:
.
Ezután egy lineáris helyettesítést végeznek, ami "következményekkel járna":
Ennek eredményeként az integrált kapható. Valami ismerős, igaz?
Vagy egy ilyen példa, a négyzet felbomlott:
Kiemeljük a teljes négyzetet:
És egy lineáris csere után integrálunk, amelyet a már figyelembe vett algoritmus is megold.
Tekintsünk két tipikusabb példát a magukra integrált információ beérkezéséről:
- a sinus által megszorozva;
- A kibocsátástól a koszinussal megszorozva.
A felsorolt \u200b\u200bintegrálokban az alkatrészeket kétszer kell integrálni:
7. példa.
Keressen egy határozatlan integrált
Az integrand funkció egy kiállító, szorozva sinus.
Ösztönösen integrálunk az alkatrészekbe, és hozza magának az integrálját: 
A kétszoros integráció eredményeként az integrált önmagához jutott. A kezdet- és befejezési megoldásokat megegyezik:
A bal oldalra továbbítjuk a jel változását, és kifejezzük integrálunk: 
Kész. Szintén kívánatos a jobb oldal elleni küzdelem, azaz Ahhoz, hogy exponens a zárójelben, és zárójelben, hogy a sinus koszinus a "szép" sorrendben.
Most menjünk vissza a példa elejére, vagy inkább - az alkatrészekbe való integrációra: 
Mert kijelöltük a kiállítót. A kérdés merül fel, mindig szükség van a kiállítóra? Nem szükséges. Tény, hogy a vizsgált integrált elv semmi különbségMit kell utalni, lehetett más módon menni: 
Miért lehetséges? Mivel a kiállító önmagában (és a differenciálódás alatt, az integráció során), a koszinuszos sinus kölcsönösen egymásnak válik (ismét - mind a differenciálódás, mind az integráció során).
Ez az, hogy a trigonometrikus funkciót jelölhetjük. De a vizsgált példában kevésbé racionális, mivel a frakciók megjelennek. Ha szeretné, megpróbálhatja megoldani ezt a példát a második módon, a válaszokat meg kell egyezni.
8. példa.
Keressen egy határozatlan integrált
Ez egy független megoldás példája. Mielőtt eldöntené, gondoljon rá, hogy nyereségesebb ebben az esetben, hogy kijelölje, exponens vagy trigonometrikus funkciót? Teljes megoldás és válasz a lecke végén.
És természetesen ne felejtsük el, hogy a lecke válaszainak többsége meglehetősen könnyű ellenőrizni a differenciálódást!
A példákat nem tekintették a legnehezebbnek. A gyakorlatban az integrálok gyakrabban találhatók, ahol az exponens indikátorban és a trigonometrikus függvény argumentumában van, például :. A hasonló integrált gondolatnak sokan meg kell tennie, gyakran összezavarom. Az a tény, hogy megoldani a frakciók megjelenésének valószínűségét, és nagyon egyszerűen valami intenzív. Ezenkívül a jelek hibáinak valószínűsége nagyszerű, kérjük, vegye figyelembe, hogy az exponens mutatójában van egy mínusz jel, és ez további nehézséget okoz.
A végső szakaszban gyakran a következőket kapják:
Még a határozat végén is rendkívül figyelmesnek kell lennie és kompetensen foglalkoznia kell a frakciókkal: 
A komplex frakciók integrálása
Lassan eljutunk a leckeegyenleghez, és elkezdjük megfontolni az integrálokat a frakciókból. Ismét nem mindegyik Superswit, csak egy oknál fogva, vagy egy másik példa egy kicsit "nem a témában" más cikkekben.
Folytatjuk a gyökerek témáját
9. példa.
Keressen egy határozatlan integrált
A denominátorban a gyökér alatt van egy négyzet alakú, a "IKSA" formájában lévő "javítás". Az ilyen típusú integrált szabványos csere segítségével oldódik meg.
Mi döntünk: 
A csere itt egyszerű: 
A csere után az életet vizsgáljuk: 
(1) A szubsztitúció után adjuk meg a gyökér alatt a teljes nevezőre.
(2) elviseljük a gyökérből.
(3) A számláló és a denominátor csökkenti. Ugyanakkor a gyökér alatt a komponenseket kényelmes sorrendben átrendeztem. Bizonyos kísérlet esetén az (1) lépés (1) lépései kihagyhatók a kommentált műveletek elvégzésével.
(4) az ebből eredő integrált, amint emlékszel a leckétől Egyes frakciók integrálása, dönt a teljes négyzet elosztási módja. Válasszon egy teljes négyzetet.
(5) Az integráció egy "hosszú" logaritmust kapunk.
(6) Végezzen cserét. Ha kezdetben, akkor vissza :.
(7) A végleges fellépés célja az eredmény frizurája: a gyökér alatt újra hozzák az összetevőket a teljes nevezethez és a gyökérből.
10. példa.
Keressen egy határozatlan integrált 
Ez egy független megoldás példája. Itt a konstans hozzá lett adva a magányos "icsu" -hoz, és a csere szinte ugyanaz: 
Az egyetlen dolog, amit hozzá kell tennie, az "X" kifejezés a csere: 
Teljes megoldás és válasz a lecke végén.
Néha ilyen integrált a gyökér alatt lehet egy négyzet alakú, nem változtatja meg a megoldást, hogy megoldja, még könnyebb lesz. Érezd a különbséget:
11. példa.
Keressen egy határozatlan integrált
12. példa.
Keressen egy határozatlan integrált
Rövid döntések és válaszok a lecke végén. Meg kell jegyezni, hogy a 11. példa pontosan binomiális integrál, akinek döntését figyelembe vették a leckében Intracionális funkciókból származó integrálok.
Integrálva a 2. fokozat 2 fokos diploma szerinti feltételezhető polinomából
(Polinomiális a nevezőben)
Ritkább, de mégis, a gyakorlati példák, a kilátás az integrál.
13. példa.
Keressen egy határozatlan integrált
De térjünk vissza például egy boldog számmal 13 (őszintén, nem illik). Ez az integrált is olyan kategóriából származik, amelyekkel eléggé eléggé lehet, ha nem tudod megoldani.
A döntés mesterséges átalakítással kezdődik: 
Hogyan osztja meg a számát a nevezőnek, azt hiszem, mindent megértenek.
Az ebből eredő integrált részben van: 
A nézet integrál (- természetes szám) eltávolítva visszatérő Fokcsökkentő formula:
hol 
- Az integrált fokozat alacsonyabb.
Meg fogom győződni arról, hogy ennek a képletnek az igazságosság a prófétított integrált.
Ebben az esetben: a képletet használjuk: 
Amint láthatja, a válaszok egybeesnek.
14. példa.
Keressen egy határozatlan integrált
Ez egy független megoldás példája. Az oldat mintájában a fent említett képlet kétszer volt.
Ha a fokozat alatt található független a szorzókon Négyzet alakú négyzet, akkor a megoldás leereszkedik, hogy kiemeli a teljes négyzetet, például:
Mi van, ha a számlálón van, van egy polinom? Ebben az esetben a határozatlan együtthatók módszerét használják, és az integrált függvényt a frakciók mennyiségében írják le. De az ilyen példa gyakorlatában nem találkoztam, így hiányzott az ügyben a cikkben A frakcionált racionális funkció integrálásaHiányzik és most. Ha ilyen integrál még mindig találkozik, lásd a tankönyv - Minden egyszerű. Nem tartom célszerűnek, hogy az anyagot (még egyszerű), az ülés valószínűségét, amellyel nulla.
A komplex trigonometrikus funkciók integrálása
A legtöbb példa "komplex" melléknév sokféleképpen feltételes. Kezdjük tangensekkel és kotangénokkal magas fokú. A szempontból a megoldási módjainak Érintő és Kotangent, szinte ugyanaz a dolog, úgyhogy még beszélni Tangent, utalva arra, hogy a bemutatott befogadása a megoldás az integrál valós és kotangensét is.
A fenti lecke alapján figyelembe vettük univerzális trigonometrikus helyettesítés A trigonometrikus funkciók konkrét típusának megoldása. Az univerzális trigonometrikus szubsztitúció hiánya az, hogy amikor alkalmazzák, a nehéz számításokkal rendelkező terjedelmes integrálások gyakran előfordulnak. És egyes esetekben egy univerzális trigonometrikus helyettesítés elkerülhető!
Tekintsünk egy másik kanonikus példát, a szinuszba osztott egységből származó integrált:
17. példa.
Keressen egy határozatlan integrált
Itt egy univerzális trigonometrikus szubsztitúciót használhat, és válaszolhat, de van egy racionálisabb út. Minden egyes lépésnél teljes körű megoldást kapok:
(1) Használja a kettős szögű szinusz trigonometrikus képletét.
(2) Mesterséges átalakulást végezünk: a nevezőben osztunk és szaporodunk.
(3) Az ismert képlet szerint a denominátorban frakciót fordítunk a tangensre.
(4) söpörje meg a funkciót a differenciál jele alatt.
(5) vegye be az integrál.
Néhány egyszerű példa egy független megoldásra:
18. példa.
Keressen egy határozatlan integrált
Megjegyzés: A legfontosabb műveletet a képletnek kell használni 
És Óvatosan végezzen hasonló az akció előző példájához.
19. példa.
Keressen egy határozatlan integrált
Nos, ez egy nagyon egyszerű példa.
Teljes megoldások és válaszok a lecke végén.
Azt hiszem, most senki sem rendelkezik problémával az integrálokkal: 
stb.
Mi a módszer ötlete? Az elképzelés az, hogy segítségével az átalakulások, trigonometrikus képletek szervezni az integrandus csak érintők és az érintő-származék. Ez az, hogy a helyettesítés: 
. A példákban 17-19, mi ténylegesen alkalmazott és a csere, de az integrálás olyan egyszerű, hogy a költségek egy azonos hatású - összefoglalni a funkció jegyében a különbség.
Hasonló argumentumok, amint már megállapítottam, a cotangentre költözhet.
A fenti csere használatának formális előfeltétele van:
A koszinusz és a sinus foka teljes negatív szám, például:
az integrált - egész negatív szám.
! jegyzet : Ha a integrandust funkciót tartalmaz csak sinus, vagy csak cosinus, akkor az integrál vett negatív páratlan fokú (a legegyszerűbb esetekben példákban No. 11, 18).
Tekintsünk egy pár informatív feladatot erre a szabályra:
20. példa.
Keressen egy határozatlan integrált
A összege fokú sinus és cosinus: 2-6 \u003d -4 közötti egész negatív szám, amely azt jelenti, hogy az integrál lehet csökkenteni az érintők és származéka: 
(1) A nevezőt átalakítjuk.
(2) A híres képlet szerint kapunk.
(3) A nevezőt átalakítjuk.
(4) A képletet használjuk 
.
(5) Adja át a funkciót a különbség jele alatt.
(6) Cseréljük. A tapasztaltabb diákok nem cserélhetők ki, de még mindig jobb, ha a tangenelt egy betűvel helyettesíti - kevesebb kockázat zavaros.
21. példa.
Keressen egy határozatlan integrált
Ez egy független megoldás példája.
Tartsa be a bajnok körét \u003d)
Gyakran az integrand funkcióban "Solyanka":
22. példa.
Keressen egy határozatlan integrált 
Ebben az integrált, a tangens kezdetben jelen van, ami azonnal a már ismerős gondolatra törekszik:
Mesterséges átalakulás a kezdetektől kezdve és megmaradt lépések megjegyzése nélkül, mivel mindent fent említettünk.
Egy pár kreatív példa egy független megoldásra:
23. példa.
Keressen egy határozatlan integrált 
24. példa.
Keressen egy határozatlan integrált 
Igen, természetesen csökkenthető a sinus, a koszinusz mértékének csökkentése, univerzális trigonometrikus helyettesítés, de a döntés sokkal hatékonyabb és rövidebb lesz, ha az érintőkön keresztül végzik. Teljes megoldás és válaszok a lecke végén
Az ötödik században BC, az ókori görög filozófus Zenon Elayky megfogalmazta híres Ariorrials, a leghíresebbek achilles és a Turtle Aritia. Így hangzik:Tegyük fel, hogy az Achilles tízszer gyorsabban fut, mint a teknős, és ezer lépcsőn múlva mögött van. Az idő érdekében, hogy az Achilles ezen a távolságon keresztül fut, egy száz lépés ugyanabban az oldalon fog ütközni. Amikor Achilles száz lépést fut, a teknős körülbelül tíz lépést fog feltérképezni, és így tovább. A folyamat folytatódik a végtelenségig, az Achilles soha nem fog elkapni a teknősbe.
Ez az érvelés logikus sokk lett az összes későbbi generáció számára. Arisztotelész, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... Mindegyikük valahogy a Zenon Apriológiájának tekinthető. A sokk olyan erősnek bizonyult, hogy " ... Beszélgetések folytatódnak és jelenleg, hogy az általános véleményre kerüljön a paradoxonok lényegéről a tudományos közösségnek, még nem lehetséges ... matematikai elemzés, a készletek elmélete, az új fizikai és filozófiai megközelítések vettek részt a a probléma tanulmányozása; Egyikük sem vált a kérdés általánosan elfogadott kérdés ..."[Wikipedia," Yenon Apriya "]. Mindenki megérti, hogy blokkolva vannak, de senki sem érti, hogy milyen megtévesztés van.
A matematika szempontjából a Zeno apróriájában egyértelműen bemutatta az értéket az értékről. Ez az átmenet az állandó helyett alkalmazza az alkalmazást. Amennyire értem, a mérési egységek változók használata matematikai berendezése még még nem fejlett, vagy nem alkalmazták a Zenon előírására. A szokásos logika használata csapdába vezet. Mi, a gondolkodás tehetetlenségével, használjon állandó időmérő egységet a frekvenciaváltóhoz. Fizikai szempontból úgy néz ki, mintha az idő múlásával lassuljon, amikor az Achilles teknőspel töltött. Ha az idő megszakad, az Achilles már nem tudja elvégezni a teknős.
Ha a logikát általában megfordítja, minden a helyén lesz. Achilles állandó sebességgel működik. Az utat minden későbbi szegmense tízszer rövidebb, mint az előző. Ennek megfelelően az idő leküzdésére fordított idő, tízszer kevesebb, mint az előző. Ha a "végtelen" fogalmát alkalmazza ebben a helyzetben, akkor helyesen mondja: "Achilles végtelenül gyorsan fel fogja fogni a teknős."
Hogyan lehet elkerülni ezt a logikai csapdát? Maradjon állandó időmérő egységekben, és ne lépjen vissza a fordított értékekre. Zenon nyelvén ez így néz ki:
Ehhez az időre, hogy az Achilles ezer lépcsőn fut, egy száz lépés megreped a teknős ugyanazon oldalra. A következő időintervallumnál az első, az Achilles újabb lépcsőn fog működni, és a teknős száz lépést fog tenni. Most Achilles egy nyolcszáz lépés a teknős előtt.
Ez a megközelítés megfelelően leírja a valóságot logikai paradoxon nélkül. De ez nem teljes megoldás a problémára. A Zenonian Agrac Achilles és a Turtle nagyon hasonlít az Einstein nyilatkozatához a fénysebesség ellenállhatatlanságára. Még mindig meg kell vizsgálnunk ezt a problémát, átgondoljuk és megoldjuk. És a döntést nem végtelenül nagy számban, hanem mérési egységben kell keresni.
Egy másik érdekes Yenon Aproria elmondja a repülő nyilakat:
A repülő nyíl még mindig, mivel minden pillanatban nyugszik, és mivel minden pillanatban nyugszik, mindig nyugszik.
Ebben a kastélyban a logikai paradoxon nagyon egyszerű - elegendő tisztázni, hogy minden pillanatban a repülő nyíl pihenjen a különböző helyeken, amelyek valójában a mozgás. Itt meg kell jegyezned egy másik pillanatot. Az autó egyik fotója szerint lehetetlen meghatározni a mozgás tényét, sem a távolságot. Az autó mozgásának tényének meghatározásához két képre van szükség egy pontból különböző pontokon, de lehetetlen meghatározni a távolságot. Ahhoz, hogy meghatározzuk az autó távolságot, két képet különböző helyekből egy ponton egy időben, de lehetetlen meghatározni a mozgás tényét (természetesen további adatokra van szükség a számításokhoz, a trigonometria, hogy segítsen). Amit én szeretnék, hogy fordítsanak különös figyelmet, hogy két időpont és két térbeli pont két különböző dolog, amit nem szabad összekeverni, mert azok különböző lehetőségeket kínál a kutatás.
2018. július 4. szerda
A sok és multiset közötti nagyon jó különbségeket a Wikipédiában ismertetjük. Nézzük.
Amint láthatja: "Nem lehet két azonos elem egy készletben", de ha az azonos elemek a készletben vannak, akkor egy ilyen készletet "keveréknek" nevezik. Az abszurd ésszerű lények hasonló logikája soha nem érti. Ez a beszélő papagájok és képzett majmok szintje, amelyek hiányzik a "egyáltalán." A matematika rendes oktatóként jár el, prédikálja az abszurd ötleteinket.
Miután a híd tesztjei során épített mérnökök a híd alatt a hajó alatt voltak. Ha a híd összeomlott, a tehetséges mérnök meghalt a teremtés roncsok alatt. Ha a híd a terhelés ellenállt, egy tehetséges mérnök épített más hidakat.
Mivel a matematika nem rejtette el a "Chur, én egy házban" kifejezést, pontosabban, "matematikai tanulmányok absztrakt fogalmak", van egy köldökzsinór, amely elválaszthatatlanul kötődik a valósággal. Ez a köldökzsinór pénz. Matematikai elméletet alkalmazzanak a matematikára.
Nagyon jól tanítottuk a matematikát, és most a pénztárnál ülünk, fizetést adunk. Ez jön hozzánk a pénzed matematikus. Számítunk rá a teljes összegre, és az asztalra különböző halomra helyezzük, amelyben egy méltóságjegyeket adunk hozzá. Aztán mindegyik veremből egy számlát veszünk, és a "matematikai fizetés matematikáját". Magyarázza meg a matematika, hogy a többi számlák kap csak, ha bizonyítja, hogy a beállított nélkül ugyanazokat az elemeket nem egyenlő a sorozatot azonos elemeket. Itt kezdődik a legérdekesebb lesz.
Először is, a képviselők logikája fog működni: "Lehet alkalmazni másoknak, nekem - alacsony!". További biztosítékok lesznek számunkra, hogy különböző számok vannak az egyenlő méltóság számláin, ami azt jelenti, hogy nem tekinthetők ugyanazok az elemek. Nos, számolja a fizetést érmékkel - nincsenek számok az érméken. Itt a matematikus elkezdi elkezdeni a fizikát: különböző érméken van egy másik mennyiségű szennyeződés, a kristályszerkezet és az atomok helye minden érme egyedülálló ...
És most már a legérdekesebb kérdésem van: hol van a vonal, amely mögött a multisal elemek a készlet elemei, és fordítva? Egy ilyen arc nem létezik - mindenki megoldja a sámánokat, a tudományot itt, és nem fekszik.
Itt néznek. A labdarúgó-stadionokat ugyanazon a területen veszjük el. A mezőterület ugyanaz - ez azt jelenti, hogy van egy multipartunk. De ha figyelembe vesszük az azonos stadionok nevét - sokan vannak, mert a nevek eltérőek. Amint láthatja, ugyanazok az elemek mindegyike és multiset. Milyen helyes? És itt a matematikus-sámán-shuller kihúzza a Trump Ace-t a hüvelyből, és elkezdi elmondani nekünk, hogy a készletről vagy a multisetről. Mindenesetre meg fogja győzni bennünket.
Megérteni, hogy a modern sámánok hogyan működtetik a készletek elméletét, kössön a valóságra, elegendő válaszolni egy kérdésre: Hogyan különböznek az egyik készlet elemei egy másik készlet elemétől? Megmutatom neked, anélkül, hogy "elképzelhető, mint egyetlen egész" vagy "nem átgondolt egésze."
2018. március 18. vasárnap
A számok mennyisége a sámánok tánca egy tambourinnal, amely nem rendelkezik a matematikával. Igen, a matematika leckéiben azt tanítjuk, hogy megtaláljuk a számok számának összegét, és használják, de a sámánok, hogy edzenek leszármazottai a képességeikre és a bölcsességükre, különben a sámánok egyszerűen tisztíthatók.
Szüksége van bizonyítékra? Nyissa meg a Wikipédiát, és próbálja meg megtalálni a számok számát. Nem létezik. Nincs olyan matematika képlet, amelyen megtalálhatja a számok számát. Végtére is, a számok grafikai szimbólumok, amellyel számokat és matematikai nyelvet írunk, a feladat úgy hangzik, mint ez: "Keresse meg a számot ábrázoló grafikai karakterek összegét". A matematika nem oldhatja meg ezt a feladatot, de a sámánok elemek.
Foglaljunk azzal, amit és hogyan csinálunk annak érdekében, hogy megtaláljuk a megadott szám számának összegét. És így van, legyen számunkra 12345. Mit kell tenni annak érdekében, hogy megtaláljuk a számok számát? Fontolja meg az összes lépést.
1. Jegyezze fel a számot a papírlapra. Mit csináltunk? A számot a szám grafikus szimbólumában átalakítottuk. Ez nem egy matematikai akció.
2. Egy olyan képet vágunk, amely több képet tartalmaz, amely egyedi számokat tartalmaz. A képek vágása nem matematikai akció.
3. Az egyes grafikus karaktereket számokba konvertáljuk. Ez nem egy matematikai akció.
4. A számokat hajtjuk végre. Ez már matematika.
A 12345 számok összege 15. Ezek a "vágók és varró tanfolyamok" a sámánok alkalmazzák a matematikusokat. De ez nem minden.
A matematika szempontjából nem számít, hogy melyik számrendszerben írjuk a számot. Tehát különböző számrendszerekben az azonos számú számok száma eltérő lesz. A matematikában a számrendszer az alsó index formájában jelenik meg a szám jobb oldalán. Nagyszámú 12345, nem akarom becsapni a fejem, fontolja meg a cikk 26. számát. Ezt a számot bináris, oktális, decimális és hexadecimális számrendszerekbe írjuk. Nem fogjuk figyelembe venni a mikroszkóp alatt minden lépés, amit már megtettünk. Nézzük meg az eredményt.
Amint láthatja, különböző számrendszerekben az azonos szám számának összege különböző. Ez a matematika eredménye semmi köze. Olyan, mintha a téglalap területének meghatározása méterben és centiméterben, akkor teljesen más eredményeket kapna.
A nulla minden túlfeszültség-rendszerben ugyanúgy néz ki, és a számok száma nem rendelkezik. Ez egy másik érv, hogy milyen. Kérdés a matematikusoknak: Hogyan jelzik a matematika, hogy nem szám? Mi a matematikusok számára, semmi, mint a számok nem léteznek? A sámánok számára megengedhetem, de a tudósok számára - nem. A valóság nem csak számokból áll.
A kapott eredményt bizonyítéknak kell tekinteni, hogy a számrendszerek számok egységei. Végtére is, nem hasonlítható össze a különböző mérési egységekkel rendelkező számokat. Ha ugyanazt az értéket ugyanazon értékű mérési egységekkel hasonlítsa össze az összehasonlításuk után különböző eredményekhez, ez azt jelenti, hogy semmi köze a matematikához.
Mi az igazi matematika? Ez az, amikor a matematikai akció eredménye nem függ a mérési egység által használt szám értékétől, és aki végrehajtja ezt a műveletet.
Oh! Nem egy női WC?
- Lány! Ez egy laboratórium a lelkek felfedezett szentségének tanulmányozására a mennybe való felemelkedésben! Nimbi felülről és nyílról. Mi más WC?
Nő ... Nimbi felett és arrogáns le - ez egy férfi.
Ha a szemed előtt többször naponta villog, ez a tervező művészet munkája,
Akkor nem meglepő, hogy az autóban hirtelen furcsa ikonot találsz:
Személy szerint, erőfeszítést teszek magamnak, hogy egy mandzsetta személy (egy kép), hogy egy mínusz négy fokot (több kép összetétele: egy mínusz jel, egy négyzet, a négy szám, a diplomák megnevezése). És nem hiszem, hogy ez a lány egy bolond, aki nem ismeri a fizikát. Ez egyszerűen a grafikus képek érzékelésének ív sztereotípiája. És matematika, amit folyamatosan tanítottunk. Itt van egy példa.
Az 1a nem "mínusz négy fok" vagy "egy". Ez egy "mandzsetta személy" vagy a "huszonhat" számú hexadecimális számrendszerben. Azok az emberek, akik folyamatosan dolgoznak ebben a számrendszerben, automatikusan érzékelik az ábrát és a betűt, mint egy grafikus szimbólumot.
