Itt továbbra is elindulunk a műveletek első részében a mátrixokon keresztül, és csodálkozunk a példák párjában, amelyben egyszerre több műveletet kell alkalmaznia.
A mátrix építése a fokig.
Legyen k nem negatív szám. Bármely négyzetmátrix $ A_ (N \\ Times n) $ van: $$ a ^ k \u003d \\ undebrace (A \\ CDOT A \\ CDOT \\ ldots \\ cdot A) _ (k \\; idők) $$
Ebben az esetben azt feltételezzük, hogy $ a ^ 0 \u003d e $, ahol $ e $ a megfelelő sorrend egyetlen mátrixa.
4. példa 4.
A MATRIX $ A \u003d \\ BALT (IN BEIN (tömb) (cc) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ end (tömb) \\ end (tömb) \\ end (tömb) Keresse meg a $ a ^ 2 $ és $ a ^ $ 6 mátrixokat.
A $ a ^ 2 \u003d a \\ cdot egy $, azaz A $ A ^ $ 2 $ megtalálásához csak meg kell szüntetnünk a $ A $ Matrix-t. A mátrixok szorzási működését a téma első részében vették figyelembe, így itt egyszerűen írjuk a megoldási folyamatot részletes magyarázatok nélkül:
$$ a ^ 2 \u003d a \\ cdot A \u003d \\ ti (megjelölés (tömb) (cc) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ end (tömb) \\ jobbra) \\ CDOT \\ Bal (\\ Kezdje (tömb) (Cc) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ end (tömb) \\ end (tömb) \\ jobbra) \u003d \\ ti (megjel) (CC) 1 \\ CDOT 1 + 2 \\ CDOT (-1) & 1 \\ CDOT 2 +2 \\ CDOT (-3) \\\\ -1 \\ CDOT 1 + (- 3) \\ CDOT (-1) & -1 \\ CDOT 2 + (- 3) \\ CDOT (-3) \\ Vége (tömb) \\ Jobb ) \u003d \\ ti maradt (kezdő (tömb) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 vég (tömb) \\ jobbra). $$.
A $ a ^ $ 6 mátrix megtalálásához két lehetőség van. Opció Először: Tritely továbbra is többszörözni $ A ^ $ 2 egy $ A $ Matrix:
$$ A ^ 6 \u003d A ^ 2 CDOT A \\ CDOT A \\ CDOT A. $$
Azonban lehetőség van arra, hogy valamivel egyszerűbb legyen, a mátrixok szorzásának asszociativitásának tulajdonságaival. A backeteket a $ a ^ $ 6 kifejezésre helyezzük:
$$ a ^ 6 \u003d a ^ 2 \\ cdot A \\ cdot A \\ cdot A \u003d A ^ 2 \\ cdot (a \\ cdot a) \\ cdot (a \\ cdot a) \u003d a ^ 2 \\ cdot A ^ 2 \\ Cdot A ^ 2. $$.
Ha az első módszer megoldásakor négy szorzási művelet lenne, akkor a második módszerhez - csak kettő. Tehát menjünk a második módon:
$$ a ^ 6 \u003d a ^ 2 cdot A ^ 2 \u003d bal (megjelölés (tömb) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 vég (tömb) \\ jobbra) \\ CDOOT \\ BALL (\\ BEGIN (tömb) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 vég (tömb) \\ jobb) \\ CDOT \\ Bal (\\ Begin (tömb) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 vég (tömb) \\ jobbra) \u003d \\\\ \u003d \\ ti maradt (\\ BEIN (tömb) (cc) -1 \\ cdot (-1) + (- 4) \\ CDOT 2 & -1 \\ CDOT (-4 ) + (- 4) \\ CDOT 7 \\\\ 2 \\ CDOT (-1) +7 \\ CDOT 2 & 2 \\ CDOT (-4) +7 CDOT 7 \\ VÉG (tömb) \\ jobb) \\ CDOT \\ Kezdődik (tömb) (CC) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 vég (tömb) \\ jobbra) \u003d \\ balra (megjelölés (sor (tömb) (cc) -7 & -24 \\\\ 12 & 41 vége ( Tömb) \\ jobbra) \\ CDOT \\ Bal (megkezdő (tömb) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 vég (tömb) \\ jobbra) \u003d \\\\ \u003d \\ t ) -7 \\ CDOT (-1) + (- 24) \\ CDOT 2 & -7 \\ CDOT (-4) + (- 24) \\ CDOT 7 \\\\ 12 \\ CDOT (-1) +41 \\ CDOT 2 és 12 \\ CDOT (-4) +41 \\ CDOT 7 \\ Vége (tömb) \\ jobbra) \u003d \\ bal (megjelölés (sor (tömb) (cc) -41 & -140 \\\\ 0 & 239 \\ end (tömb) \\ Jobb). $$.
Válasz: $ A ^ 2 \u003d \\ maradt (kezdő (tömb) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 vég (tömb) \\ jobbra) $, $ a ^ 6 \u003d \\ maradt (\\ Begin (tömb) (Cc) -41 & -140 \\\\ 0 & 239 \\ end (tömb) \\ jobb) $.
5. példa 5.
MATRIX $ A \u003d ANT (KIEGÉSZÍTÉS (CCCC) (CCCC) 1 & 0 & -1 & 2 \\\\ 3 & 4 & 5 & 0 \\ ed (tömb) \\ ed (tömb) \\ jobbra) $, $ b \u003d \\ t (Array) (CCC) -9 & 1 & 0 \\\\ 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & -2 & 3 \\\\ 1 & 5 & 0 \\ end (tömb) \\ jobb) $, $ c \u003d \\ t (Megjelölés (tömb) (CCC) -5 & -20 & 13 \\\\ 10 & 12 & 9 \\\\ 3 & -15 & 8 \\ end (tömb) \\ jobb) $. Keresse meg a MATRIX $ D \u003d 2AB-3C ^ T + 7E $.
A $ D $ mátrix kiszámítása a $ AB $ termék eredményével kezdődik. A $ A $ $ és a $ b $ mátrixok megszorozódhatnak, mivel a $ A $ Matrix oszlop oszlopainak száma megegyezik a Matrix $ b $ sorok számával. Jelentése $ f \u003d ab $. Ebben az esetben a $ f mátrix három oszlopot és három vonalat, azaz Ez lesz tér (ha ez a kimenet nem tisztázottnak tűnik, lásd a mátrixok többszörözésének leírását a téma első részében). Megtaláljuk a $ F $ mátrixot, kiszámítja az összes elemét:
$$ f \u003d a \\ cdot b \u003d \\ balra (megjelölés (tömb) (CCCC) 1 & 0 & -1 & 2 \\\\ 3 & -2 & 5 & 0 \\\\ -1 & 4 & -3 & 6 \\ Vége (tömb) \\ jobbra) \\ CDOT \\ Bal (kezdő (tömb) (CCC) -9 & 1 & 0 \\\\ 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & -2 & 3 \\\\ 1 & 5 & 0 \\ Vége (tömb) \\ jobbra) \\\\ \\ kezdő (igazítva) és f_ (11) \u003d 1 \\ cdot (-9) +0 \\ cdot 2 + (- 1) \\ CDOT 0 + 2 \\ CDOT 1 \u003d -7; \\\\ & f_ (12) \u003d 1 \\ CDOT 1 + 0 \\ CDOT (-1) + (- 1) \\ CDOT (-2) +2 \\ CDOOT 5 \u003d 13; \\\\ & f_ (13) \u003d 1 \\ CDOT 0 + 0 \\ CDOT 4 + (- 1) \\ CDOT 3 + 2 \\ CDOT 0 \u003d -3; \\\\ \\\\ & f_ (21) \u003d 3 \\ cdot (-9 ) + (- 2) \\ CDOT 2 + 5 \\ CDOT 0 + 0 \\ CDOT 1 \u003d -31; \\\\ & f_ (22) \u003d 3 \\ CDOT 1 + (- 2) \\ CDOT (-1) +5 \\ CDOT (-2) +0 \\ cdot 5 \u003d -5; \\\\ & f_ (23) \u003d 3 \\ CDOT 0 + (- 2) \\ CDOT 4 + 5 \\ CDOT 3 + 0 \\ CDOT 0 \u003d 7; \\\\ \\\\ & F_ (31) \u003d - 1 \\ CDOT (-9) +4 \\ CDOT 2 + (- 3) \\ CDOT 0 + 6 \\ CDOT 1 \u003d 23; \\\\ & f_ (32) \u003d - 1 \\ CDOT 1 + 4 \\ CDOT (-1) + (- 3) \\ CDOT (-2) +6 \\ CDOT 5 \u003d 31; \\\\ & f_ (33) \u003d - 1 \\ CDOT 0 + 4 \\ CDOT 4 + (- 3) \\ CDOT 3 + 6 \\ CDOT 0 \u003d 7. Vége (igazítva) $$
Tehát, $ f \u003d bal (kezdő (tömb) (CCC) -7 & 13 & -3 \\\\ -31 & -5 & 7 \\\\ 23 & 31 & 7 \\\\\\ 23 & 31 & 7 \\ end (tömb) \\ jobb) $. Menjünk tovább. MATRIX $ C ^ T $ - Átültetett mátrix a $ C $ mátrixhoz, azaz. $ C ^ t \u003d bal (kezdő (tömb) (CCC) -5 & 10 & 3 \\\\ -20 & 12 & -15 \\\\ 13 & 12 & 8 \\ '13 & 9 & 8 \\ end (tömb) \\ jobb) $. Ami a $ e $ mátrixot illeti, ez egy mátrix. BAN BEN ez az eset A mátrix sorrendje három, vagyis $ E \u003d ab maradt (kezdet (tömb) (CCC) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 és 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\ end (tömb) \\ jobb) $.
Elvileg továbbra is léphetünk lépésről lépésre, de a fennmaradó kifejezés jobb, ha teljes mértékben figyelembe kell venni anélkül, hogy elvonja a segédeszközöket. Valójában csak a mátrixok szaporítására szolgálunk egy számra, valamint az adagolás és a kivonás műveleteire.
$$ D \u003d 2ab-3c ^ t + 7e \u003d 2 \\ CDOT \\ Bal (\\ Begin (tömb) (CCC) -7 & 13 & -3 \\\\ -31 & -5 & 7 \\\\ 23 & 31 & 7 \\ Vége (tömb) \\ jobbra) -3 \\ CDOT \\ Bal (\\ Begin (Array) (CCC) -5 & 10 & 3 \\\\ - 20 & 12 & -15 \\\\ 13 & 12 & 8 \\ end (tömb) \\ Jobb) +7 \\ CDOT \\ Bal (megjelölés (tömb) (CCC) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\ end (tömb) \\ jobbra) $$
Szorozzuk meg a mátrixokat az egyenlőség jobb oldalán a megfelelő számokon (azaz 2, 3 és 7):
$$ 2 \\ CDOT \\ Bal (megjelzés (tömb) (CCC) -7 & 13 & -3 \\\\ -31 & -5 & 7 \\\\ 23 & 31 & 7 \\ end (tömb) \\ jobb) -3 \\ CDOOT \\ Bal (megjelölés (tömb) (CCC) -5 & 10 & 3 \\\\ -20 & 12 & -15 \\\\ 13 & 9 & 8 \\ end (tömb) \\ jobbra) +7 \\ CDOT \\ Bal (\\ Kezdje (tömb) (CCC) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\ end (tömb) \\ jobbra) \u003d \\\\ \u003d \\ ti maradt (\\ BEIN (tömb) (CCC) - 14 & 26 & 14 \\\\ -62 & -10 & 14 \\\\ 46 & 62 & 14 \\ end (tömb) \\ jobbra (tömb) \\ jobbra) - \\ maradt (megkezdődve) (CCC) -15 & 13 & 9 \\ 60 & 36 & -45 \\\\ 39 & 27 & 24 \\ end (tömb) \\ jobbra) + \\ maradt (megkezdve (sor (tömb) (CCC) 7 & 0 & 0 \\\\ 0 & 7 & 0 \\\\ 0 & 0 & 7 vég (tömb) \\ jobbra) $$
Teljesített legutóbbi műveletek: Kivonás és kiegészítés:
$$ \\ ti maradt (megjelölés (CCC) -14 & 26 & -6 \\\\ -62 & -10 & 14 \\\\ 6 & 62 & 14 \\\\ 6 & 62 & 14 \\ end (tömb) \\ jobbra) - \\ t (Array) (CCC) -15 & 30 & 9 \\\\ -60 & 36 & -45 \\\\ 39 & 27 & 24 \\ end (tömb) \\ jobbra) + \\ maradt (megkezdi (CCC) 7 & 0 & 0 \\\\ 0 & 7 vég (tömb) \\ jobbra) \u003d \\\\ \u003d \\ ti maradt (kezdő (tömb) (CCC) -14 - (- 15) +7 és 26-30 + 0 és -6- 9 + 0 \\\\ -62 - (- 60) +0 & -10-36 + 7 és 14 - (- 45) +0 \\\\ 46-39 + 0 és 62-27 +0 és 14-24 + 7 Vége (tömb) \\ jobbra) \u003d \\ ti maradt (megkezdi (sor (tömb) (CCC) 8 & -4 & -15 \\\\ -2 & -39 & 59 \\\\ 7 & 35 & -3 \\ end (tömb) \\ jobb ). $$.
A feladat megoldásra kerül, $ d \u003d bal (megjelölés (tömb) (CCC) 8 & -4 & -15 \\\\ -2 & -39 & 59 \\\\ 7 & 35 & -3 \\ vég (tömb) \\ jobbra ) $.
Válasz: $ D \u003d bal (kezdő (tömb) (CCC) 8 & -4 & -15 \\\\ -2 & -39 & 59 \\\\ 7 & 35 & -3 \\ end (tömb) \\ jobb) $.
Példa 6. szám.
Hadd $ f (x) \u003d 2x ^ 2 + 3x-9 $ és a mátrix $ a \u003d \\ tix (kezdő (tömb) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (tömb) \\ end (tömb) \\ jobb) $ . Keresse meg a $ f (a) $ értékét.
Ha $ f (x) \u003d 2x ^ 2 + 3x-9 $, akkor a $ f (a) $ alatt megérti a mátrixot:
$$ f (a) \u003d 2a ^ 2 + 3A-9E. $$.
Így van a polinom meghatározása a mátrixból. Tehát a $ A $ MATRIX-t helyettesítsük a $ f (a) $ kifejezésre, és megkapjuk az eredményt. Mivel minden intézkedést korábban részletesen lebontották, akkor csak döntést adok. Ha a művelet végrehajtásának folyamata $ a ^ 2 \u003d A $ $ A $ nem világos, azt tanácsolom, hogy nézze meg a mátrixok többszörözésének leírását a téma első részében.
$$ f (a) \u003d 2A ^ 2 + 3A-9E \u003d 2A \\ CDOT A + 3A-9E \u003d 2 \\ LEFT (\\ BEGIN (CC) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (tömb) \\ Jobb) \\ CDOT \\ Bal (\\ Begin (tömb) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (tömb) \\ jobb) +3 \\ Bal (sor (tömb) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (tömb) \\ jobbra) -9 \\ Left (\\ BEIN (tömb) (cc) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ end (tömb) \\ jobbra) \u003d \\\\ \u003d 2 \\ t Kezdő (tömb) (CC) (-3) \\ CDOT (-3) +1 \\ CDOT 5 & (-3) \\ CDOT 1 + 1 \\ CDOT 0 \\\\ 5 \\ CDOT (-3) +0 \\ CDOT 5 & 5 \\ CDOT 1 + 0 \\ CDOT 0 \\ Vége (tömb) \\ jobbra) +3 \\ Bal (megkezdődik (sor (tömb) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (tömb) \\ jobb) -9 Balra (kezdő (tömb) (cc) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ end (tömb) \\ jobbra) \u003d \\\\ \u003d 2 \\ ti maradt (kezdő (tömb) (cc) 14 & -3 \\\\ - 15 & 5 \\ end (tömb) \\ jobbra) +3 \\ ti maradt (kezdet (sor (tömb) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ vég (tömb) \\ jobbra) -9 \\ Bal (sor ) (Cc) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ end (tömb) \\ jobbra) \u003d \\ \\ ti (megjel) 28 & -6 \\\\ -30 és 10 \\ end (tömb) \\ jobbra) + \\ Maradt (kezdő (tömb) (cc) -9 & 3 \\\\ 15 és 0 \\ end (tömb) \\ jobbra) - \\ lib (megkezdve (sor (tömb) (cc) 9 & 0 \\\\ 0 & 9 \\ Vége (tömb) \\ jobbra) \u003d \\ ti maradt (megkezdi (sor (tömb) (cc) 10 & -3 \\\\ -15 & 1 \\ end (tömb) \\ jobbra). $$.
Válasz: $ F (a) \u003d bal (kezdő (tömb) (cc) 10 & -3 \\\\ -15 és 1 \\ end (tömb) \\ jobb) $.
Az A -1 mátrixot az inverz mátrixnak nevezzük az A mátrixhoz képest, ha A * A -1 \u003d E, ahol E egy mátrix n-rend. A fordított mátrix csak négyzetmátrixok esetében létezhet.
A szolgáltatás kinevezése. Keresztül ez a szolgáltatás Az online üzemmódban találhat algebrai kiegészítőket, átültetett mátrixot, a szövetséges mátrixot és a fordított mátrixot. A döntést közvetlenül a webhelyen (online módban) végzik el, és ingyenes. A számítások eredményeit a Word Format jelentés és a excel formátum (azaz a megoldás ellenőrzése). Lásd a regisztráció példáját.
Utasítás. Megoldás megszerzéséhez meg kell adnia a mátrix dimenzióját. Ezután az Új párbeszédpanelen töltse ki a mátrixot.
Lásd még a Jordan-Gauss inverz mátrixát
Algoritmus a visszatérő mátrixhoz
- Egy átültetett mátrix megtalálása.
- Az algebrai kiegészítések meghatározása. Cserélje ki a mátrix minden elemét az algebrai hozzáadásával.
- Összeállítás fordított mátrix Az algebrai kiegészítésekből: A kapott mátrix minden eleme az eredeti mátrix meghatározó meghatározójára oszlik. A kapott mátrix visszafordul az eredeti mátrixhoz.
- Határozza meg, hogy a tér mátrix. Ha nem, a fordított mátrix nem létezik.
- A mátrix meghatározó meghatározójának kiszámítása. Ha nem egyenlő nulla, folytatjuk az oldatot, különben nincs fordított mátrix.
- Az algebrai kiegészítések meghatározása.
- Az Unió kitöltése (kölcsönös csatolt) Mátrix C.
- Az algebrai kiegészítések fordított mátrixának rajzolása: A C csatlakoztatott C mátrix minden eleme az eredeti mátrix meghatározójára oszlik. A kapott mátrix visszafordul az eredeti mátrixhoz.
- Ellenőrizze: Mozgassa az eredeti és a kapott mátrixot. Ennek eredményeként egyetlen mátrixot kell beszerezni.
1. példa 1. A mátrixot az űrlapon írjuk:
| A -1 \u003d. |
|
Egy másik algoritmus a fordított mátrix megtalálásához
Adunk egy másik diagramot a visszatérő mátrix megtalálásáról.- Megtaláljuk a négyzetmátrix a meghatározóját.
- Az A mátrix összes elemére algebrai kiegészítéseket találunk.
- Rekord algebrai kiegészítők az oszlopok soraiban (átültetés).
- A kapott mátrix mindegyik elemét a mátrix meghatározóájához osztjuk.
Különleges eset: A fordított, egy E-mátrix vonatkozásában egyetlen mátrix E.
A műveletek bizonyos tulajdonságai a mátrixokon keresztül.
Mátrix kifejezések
És most a téma folytatása, amelyben nemcsak a témát fogjuk tartani Új anyag, de a munka is mátriatkozásokkal való cselekvések.
A műveletek bizonyos tulajdonságai a mátrixokon keresztül
Nagyon sok olyan tulajdonság van, amelyek a mátrixokkal kapcsolatos cselekvésekre vonatkoznak, ugyanabban a Wikipédiában megcsodálhatják a vonatkozó szabályok karcsú rangját. A gyakorlatban azonban sok tulajdonság a "halott" bizonyos értelemben, hiszen csak néhányat használnak a valódi feladatok megoldása során. Célom, hogy fontolja meg a tulajdonságok alkalmazása konkrét példákon, és ha szigorú elméletre van szüksége, kérjük, használjon másik információforrást.
Fontolja meg néhányat kivételek a szabálytólamely gyakorlati feladatok elvégzéséhez szükséges.
Ha a négyzetmátrix van inverz mátrix , akkor a szorzásuk kommutálja: 
Egyetlen mátrix négyzetmátrixnak nevezték, amely fő átlós Egységek találhatók, és a fennmaradó elemek nulla. Például :, stb
Azzal, hogy Tisztességes a következő tulajdonsággal: Ha egy tetszőleges mátrix megszorozza balra vagy jobbra Egy megfelelő méretű mátrixon az eredmény a kezdeti mátrix:
Amint láthatja, a mátrixszorzás kommutációja is megtörténik.
Vegyünk néhány mátrixot, Nos, mondjuk, a mátrix az előző feladatból: 
.
Azok, akik ellenőrizni akarják, és győződjenek meg arról, hogy: 
A mátrixok egy mátrixa egy numerikus egység analógja a számok számára, ami különösen jól látható az éppen figyelembe vett példákból.
A numerikus tényező kommutivitása a mátrixok szorzásához viszonyítva
Mátrixok és tényleges szám esetén a következő tulajdonság tisztességes: 
Vagyis egy numerikus multiplikátor (és szükséges), hogy elvegye, hogy "ne zavarja" többszörözni a mátrixot.
jegyzet : Általánosságban elmondható, hogy az ingatlan megfogalmazása hiányos - a "Lambda" a mátrixok között is elhelyezhető, még a végén is. A szabály tisztességes, ha három vagy több mátrixot szorozunk.
4. példa.
Kiszámítja a munkát 
Döntés:
(1) Az ingatlan szerint 
Mozgassa a numerikus tényezőt. Nem lehet átrendezni a mátrixokat!
(2) - (3) végezzen mátrixszorzást.
(4) Itt megoszthatja a 10-es számot, de a tizedes frakciók megjelennek a mátrix elemei között, ami nem jó. Megjegyezzük azonban, hogy a mátrixok összes számát 5-re osztják, így minden elemet meg kell szedni.
Válasz: 
Kis Charade az önmegoldásokhoz:
5. példa.
Kiszámítja, ha 
Megoldás és válasz a lecke végén.
Milyen technikai fogadás fontos az ilyen példák megoldása során? A számmal, amit értünk végül .
Belépés a mozdony egy másik autó:
Hogyan lehet három mátrixot szaporítani?
Először is, mi történhet a három mátrix megszorzásának eredményeként? A macska nem adja meg az egeret. Ha a mátrixszorzás megvalósítható, akkor a végén a mátrix is \u200b\u200bműködik. M-IGEN, Nos, az Algebra tanáraim nem látják, hogyan magyarázom az algebrai struktúra lezárását az elemeire vonatkozóan \u003d)
A három mátrix munkáját kétféleképpen lehet kiszámítani:
1) Keresse meg, majd szaporítsa a "CE" mátrixot :;
2) Először keresse meg, majd végezze el a szorzást.
Az eredmények határozottan egybeesnek, elméletileg ezt a tulajdonságot a mátrix-szorzás társíthatatlansága hívják:
6. példa.
Szorozzuk meg a mátrixot két módon 
Algoritmus megoldások Kétszőrű: Megtaláljuk a két mátrix termékét, majd újra megtaláljuk a két mátrix termékét.
1) A képletet használjuk
Először intézkedés:
Második cselekvés:
2) Használjuk a képletet
Először intézkedés:
Második cselekvés:
Válasz: 
Szabadabb és standard, természetesen az első megoldás, ott - nem számít, hogy minden rendben van. Az úton, a megrendelésről. A vizsgált feladatban az illúzió gyakran felmerül, hogy a mátrixok néhány permutációjáról beszélünk. Nem itt vannak. Emlékszem újra általánosságban A matricák átrendezése nem. Tehát a második pontban a második lépésben végezzünk szorzást, de semmiképpen sem. A szokásos számokkal ilyen számot telt el, és mátrixokkal - nem.
A sokszorosítási asszociativitás tulajdonsága nemcsak a téren, hanem önkényes mátrixok esetében is érvényes - ha csak akkor fogják megszorozni:
7. példa.
Keressen három mátrixot 
Ez egy független megoldás példája. Egy mintában a számítási megoldásokat kétféleképpen végezték el, elemezzük, hogy melyik útvonal nyereségesebb és rövidebb.
A mátrix-szorzás társulási tulajdonságai a több szorzók.
Most itt az ideje, hogy visszatérjen a mátrixok mértékéhez. A mátrix négyzetét az elején és a kérdés napirendjén tartják:
Hogyan építsünk egy mátrixot egy kocka és magasabb fokúak?
Ezeket a műveleteket csak négyzetmátrixokra is meghatározzák. A négyzetmátrixot egy kockára kell emelni, ki kell számolnia a munkát:
Valójában ez privát eset Három mátrix megszorzását a mátrixszorzás asszociativitásának tulajdonsága szerint :. És a mátrix önmagában szorozva a mátrix négyzete:
Így kapunk egy működést:
Azaz, a feladat két lépésben végezzük: először a mátrix emelni kell a térre, majd a kapott mátrix szoroz a mátrix.
8. példa.
Építsen egy mátrixot a kockára.
Ez egy kis feladat egy független megoldás számára.
A mátrix építése a negyedik fokban természetes módon történik: 
A mátrixszorzás társulásával, két munkakörülettel. Először: - Ez a három mátrix munkája.
egy). Más szóval, először találjuk meg, akkor dominánsok vagyunk, hogy "legyünk" - kapunk egy kockát, és végül végül elvégezzük a szorzást - a negyedik fokozat lesz.
2) De van egy megoldás egy lépéssel rövidebb :. Ez az első lépésben találunk egy négyzetet, és megkerüljük a kockát, elvégezzük a szorzást
További feladat például 8:
Értékelje a mátrixot a negyedik fokozatban.
Amint megjegyeztük, kétféleképpen lehet elvégezni:
1) Mivel a kocka hamarosan ismert, akkor végezünk szorzást.
2) Ha azonban a feladat feltétele, hogy egy mátrixot kell építeni csak a negyedik fokon, az útvonal előnyös a csökkentéshez - megtalálja a mátrix négyzetét, és használja a képletet.
Mind a megoldások, mind a válasz - a lecke végén.
Hasonlóképpen, a mátrix az ötödik és magasabb fokon áll. Gyakorlati tapasztalatból azt mondhatom, hogy néha példák a 4. fokozat építésére, de nem emlékszem ötödik fokig. De csak abban az esetben, ha az optimális algoritmust hozza:
1) Találunk;
2) Találunk;
3) Mátrixot építünk az ötödik fokig :.
Itt talán a mátrix műveletek alapvető tulajdonságai hasznosak lehetnek gyakorlati feladatokban.
A lecke második részében nem várható kevésbé megbízható párt.
Mátrix kifejezések
Megismételjük a szokásos iskolai kifejezéseket számokkal. A numerikus kifejezés számokból, matematikai akciók és zárójelek jeleiből áll, például: 
. A kiszámításkor egy ismerős algebrai prioritás: először figyelembe vették zárójelEzután végrehajtott a gyökerek fokának mértéke, később szorzás / osztály És utoljára - addíció / kivonás.
Ha a numerikus kifejezés értelme van, akkor a számítás eredménye a szám, például:
Mátrix kifejezések Szinte ugyanolyan elrendezve! Azzal a különbséggel, hogy a fő szereplők a mátrixok. Plusz, egyes speciális mátrix műveletek, például átültetés és inverz mátrix.
Fontolja meg a mátrix kifejezést 
hol - néhány mátrix. Ebben a mátrix expressziójában a három összetevő és az adagolás / kivonás kiegészítése teljes mértékben teljesül.
Az első ciklus, akkor először meg kell átültetniük a „BE” mátrix:, majd hajtsa végre a szorzás és egy „kettes”, hogy a kapott mátrix. vegye figyelembe, hogy az átültetési műveletnek több van magas prioritásmint sokszorosítás. Tartók, mint a numerikus kifejezések, módosítsa az eljárást: - Itt a szorzást végezzük először, majd a kapott mátrix átültetésekor és szorozva 2.
Második ciklusban a mátrixszorozást elsősorban elvégzik, és az inverz mátrix már a munkából származik. Ha a zárójeleket eltávolítják: először fordított mátrixot kell találni, majd megszorozzuk a mátrixot :. A fordított mátrix megtalálása szintén elsőbbséget élvez a sokszorosítás előtt.
Minden nyilvánvaló a harmadik kifejezéssel: Mátrixot készítünk egy kockába, és "öt" -et készítünk a kapott mátrixba.
Ha a mátrix kifejezés értelme van, a számítás eredménye mátrix.
Minden feladat a valódi tesztmunkákból származik, és a legegyszerűbbek:
9. példa.
Dana mátrix 
. Megtalálni:
Döntés: Az eljárás nyilvánvaló, először a szorzást elvégzik, majd add hozzá.
A kiegészítés lehetetlen, mert különböző méretű mátrixok.
Nem lehet meglepődni, nyilvánvalóan lehetetlen műveleteket gyakran felajánlják az ilyen típusú feladatokban.
Megpróbáljuk kiszámítani a második kifejezést:
Minden rendben van.
Válasz: A cselekvés nem lehetséges, 
.
Lineáris algebra teáskannákhoz
A lineáris algebra tanulmányozásához olvashat és átadhat az I. V. Belousov "Matrixes and Deterpetes" könyvbe. Mindazonáltal szigorú és száraz matematikai nyelvvel írva, amelyet a középső elmével az emberek keményen vesznek. Ezért reteszeltem a legnehezebbnek a legnehezebben a könyv helyeinek megértéséhez, és az anyagot a lehető legtisztább, a lehető legtöbbet használva. A leeresztett tételek bizonyítékai. Elismerni, én magam nem értettem őket. Higgy Mr. Belousov! A munkájának megítélése, illetékes és ésszerű matematikus. Letöltheti a könyvet http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/belousov2006ru.pdf.Ha meg fogsz menni a munkámba, meg kell tenni, mert gyakran utalok Belousovra.
Kezdjük a definíciókat. Mi a mátrix? Ez egy téglalap alakú számok, funkciók vagy algebrai kifejezések. Miért van szüksége mátrixokra? Nagyban megkönnyítik a komplex matematikai számításokat. A mátrix húrokat és oszlopokat használ (1. ábra).
A sorok és oszlopok száma számozott, balra kezdődően
felülről (1-1. Ábra). Amikor azt mondják: az M N méretű mátrix (vagy m / n / n) m karakterlánc számaalatta n oszlopok száma. Például az 1-1. Ábrán szereplő mátrix a "4-3" méretű, és nem "3-4".
Lásd az 1. ábrán látható 1-3, mi a mátrixok. Ha a mátrix egy vonalból áll, úgynevezett karakterlánc mátrix, és ha egy oszlopból, akkor egy oszlopmátrix. A mátrixot négyzet N-TH megrendelésnek nevezzük, ha a sorok száma megegyezik az oszlopok számával és az N. Ha az összes mátrixelem nulla, akkor ez egy nulla mátrix. A négyzetmátrixot diagonálnak, ha nulla egyenlő az összes elemével, kivéve a fő átlósokat.
Azonnal magyarázza el, mi a fő átlós. Az informatikai számokon a sorok és oszlopok megegyeznek. A balról jobbra halad felülről alulról. (3. ábra) Az elemeket diagonálisan nevezik, ha a fő átlós. Ha az összes átlós elem egyenlő (és a fennmaradó nulla), akkor a mátrixot egyetlennek nevezik. Két mátrix A és B ugyanaz a méret Úgynevezett egyenlő, ha minden eleme azonos.
2 művelet mátrixokon és tulajdonságaiban
A mátrix munkája az X számra az azonos méretű mátrix. A termék megszerzéséhez meg kell szednie az elemeket ehhez a számhoz (4. ábra). Az azonos méretű két mátrix összegének megszerzéséhez hozzá kell adnia a megfelelő elemeket (4. ábra). Annak érdekében, hogy az azonos méretű két mátrix A-B különbséget kapjunk, meg kell szüntetned a B--1 mátrixot, és adjuk hozzá a kapott mátrixot az A mátrixhoz (4. A mátrixok esetében a tulajdonságok érvényesek: A + B \u003d B + A (kommutatív tulajdonság).
(A + B) + C \u003d A + (B + C) (Associativitivity tulajdonság). Egyszerű, beszéd szerint az összeg nem változik a helyek változásából. A mátrixokra és számokra vonatkozó műveletekre a tulajdonságok érvényesek:
(Az X és Y betűk számát jelöli, és az A és B) X (YA) \u003d (xy) a
Ezek a tulajdonságok hasonlóak a számok feletti műveletekre vonatkozó tulajdonságokhoz. Lát
példák 5. ábra, lásd a 2.4 - 2.6 Belousov példákat a 9. oldalon.
Mátrixszorzás.
A két mátrix szorzását csak akkor definiáljuk, ha (oroszul lefordítva: a mátrixokat csak akkor szaporíthatjuk), ha az első mátrix oszlopainak száma megegyezik a második húrok számával (7. felső, kék zárójelek). Annak érdekében, hogy jobban emlékezzen: Az 1. ábra inkább egy oszlop.A szorzás eredményeként a méretű mátrixot kapjuk (lásd a 6. ábrát). Annak érdekében, hogy könnyebben emlékezzen arra, hogy mit kell szorozni, javasolom a következő algoritmust: Nézzük meg a 7. ábrát. A mátrix a mátrixra szaporodunk.
két oszlop mátrix,
a B két vonal mátrixában - szaporodhat.
1) A B mátrix első oszlopával foglalkozunk (csak csak van). Ezt az oszlopot a karakterláncba írjuk (átültetjük
oszlop, az átültetett átültetésről.
2) Másolja ezt a karakterláncot úgy, hogy van egy mátrixunk egy A. mátrixával.
3) Szorozzuk meg a mátrix elemeit az A mátrix megfelelő elemeihez.
4) Hajtsa be az eredményeket az egyes sorokban és kapja megkét vonal és egy oszlop mátrixja.
A 7-1. Ábra bemutatja példákat a mátrixok sokszorosítására, amelyek több mint fehérebbek.
1) Itt az első mátrix három oszlopban ez azt jelenti, hogy a másodiknak három sornak kell lennie. Az algoritmus pontosan ugyanaz, mint az előző példában, csak itt mindegyik sorban, és nem kettő.
2) Itt a második mátrixnak két oszlopa van. Először is, az algoritmust az első oszlopmal, majd a másodikval, és megkapjuk a "két két" mátrixot.
3) Itt a második mátrixban az oszlop egy elemből áll, az oszlop nem változik az átültetésből. És nem szükséges semmit tenni, mert az első mátrixban csak egy oszlopban van. Háromszor csináljuk az algoritmust, és megkapjuk a "három három" mátrixot.
A következő tulajdonságok történnek:
1. Ha a B + C összeg és az AB termék létezik, akkor a (B + C) \u003d AB + AC
2. Ha az AB termék létezik, x (ab) \u003d (xa) b \u003d a (xb).
3. Ha létezik az AB és a BC munkái, akkor a (bc) \u003d (ab) C.
Ha az AB-mátrixok terméke létezik, akkor a BA termék nem létezik. Még az AB és a BA munkái is léteznek, lehetnek különböző méretű mátrixok.
Mind az AB, mind a BA mindkét munkája létezik, és csak azonos méretű mátrixok, amelyek négyzetmátrixok esetében az A és B azonos sorrendben vannak. Azonban ebben az esetben az AB nem lehet egyenlő a BA-val.
Fokozatosan áll
A mátrix konstrukciója csak a négyzetmátrixok számára értelme (gondoljon miért?). Ezután az egész pozitív M matrix A termék az A-mátriulák terméke, amely az A.-vel egyenlő. Csakúgy, mint a számok. Az nulla fokos négyzetes mátrix egyetlen mátrixa ugyanolyan nagyságrendű, mint A., ha elfelejtette, milyen egy mátrix, megjelenés látható. 3.
A számok szerint is a következő arányok zajlanak:
Egy mA k \u003d egy m + k (A m) k \u003d egy mk
Lásd a Belousov példáit a 20. oldalon.
Mátrixok átültetése
Átültetés - A mátrix a mátrixának átalakítása a mátrixban,
amelyben az A mátrix húrjait az oszlopokban rögzíti, miközben megőrzi a megrendelést. (8. ábra). Mondhatsz másképp:
a mátrix oszlopait a Matrix sorokban rögzítik a megrendelés megőrzésével. Ne feledje, hogy a mátrix mérete átültetésekor azaz a sorok és oszlopok száma. Ne feledje, hogy az első sorban lévő elemek, az első oszlop és az utolsó sor, az utolsó oszlop a helyén marad.
A következő tulajdonságok történnek: (a) t \u003d a (transzponder)
a mátrix kétszer - ugyanazt a mátrixot kapja)
(xa) t \u003d xat (az X alatt a számot jelentette, természetesen a mátrix alatt) (ha meg kell szüntetned a mátrixot a számhoz és átültetni, akkor először szaporodhat, majd átültetheti, és fordíthatja)
(A + B) t \u003d at + bt (ab) t \u003d bt
Szimmetrikus és antiszimmetrikus mátrixok
A bal oldali 9. ábra szimmetrikus mátrixot mutat. Elemei, szimmetrikusak a fő átlóshoz képest, egyenlőek. És most definíció: négyzetmátrix
Az A-t szimmetrikusnak nevezik, ha a \u003d a. Ez az, hogy az átültetés során a szimmetrikus mátrix nem változik. Különösen a szimmetrikus bármely átlós mátrix. (Az ilyen mátrixot a 2. ábrán mutatjuk be).
Nézd meg az antiszimmetrikus mátrixot (9. ábra, alsó). Mit különbözik a szimmetrikustól? Kérjük, vegye figyelembe, hogy az összes átlós eleme nulla. Antiszimmetrikus mátrixokban minden átlós elem nulla. Szerintem miért? Meghatározás: négyzetmátrix A-t hívják
antiszimmetrikus, ha a \u003d -a. Ne feledje a műveletek bizonyos tulajdonságait szimmetrikus és antiszimmetrikus felett
matriák. 1. Ha A és B szimmetrikus (antiszimmetrikus) mátrixok, akkor az A + B egy szimmetrikus (antiszimmetrikus) mátrix.
2.Ha a - szimmetrikus (antimmetrikus) mátrix, majd az Xa szimmetrikus (antiszimmetrikus) mátrix. (Valójában, ha a mátrixot a 9. ábrán néhány számra szorítja, a szimmetria továbbra is mentésre kerül)
3. A két szimmetrikus vagy két A és B antisztimmetrikus mátrixok AB \u003d Ba és Ba és antiszimmetrikus mátrix szimmetrikus-Ba.
4. Ha A szimmetrikus mátrix, akkorm (M \u003d 1, 2, 3, ...) - szimmetrikus mátrix. Ha egy.
Antiszimmetrikus mátrix, majd am (M \u003d 1, 2, 3, ...) Ez egy szimmetrikus mátrix, még m és antiszimmetrikus - páratlan.
5. Az A tetszőleges négyzetmátrix a két mátrix összege. (Hívjuk ezeket a mátrixokat, például a (s) és a)))
A \u003d A (S) + A (A)
