Մաթեմատիկայի խնդիրների լուծումը հաճախ ուղեկցվում է բազմաթիվ դժվարություններով ուսանողների համար: Օգնել ուսանողին հաղթահարել այդ դժվարությունները, ինչպես նաև սովորեցնել նրանց կիրառել իրենց առկա տեսական գիտելիքները «Մաթեմատիկա» առարկայի դասընթացի բոլոր բաժիններում կոնկրետ խնդիրներ լուծելիս մեր կայքի հիմնական նպատակն է:

Թեմայի շուրջ խնդիրներ լուծելիս ուսանողները պետք է կարողանան հարթության վրա կառուցել կետ՝ օգտագործելով դրա կոորդինատները, ինչպես նաև գտնել տվյալ կետի կոորդինատները:

Հարթության վրա վերցված A(x A; y A) և B(x B; y B) երկու կետերի միջև հեռավորության հաշվարկը կատարվում է բանաձևով. d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), որտեղ d-ը հարթության այս կետերը միացնող հատվածի երկարությունն է։

Եթե ​​հատվածի ծայրերից մեկը համընկնում է կոորդինատների սկզբնավորման հետ, իսկ մյուսն ունի կոորդինատներ M(x M; y M), ապա d-ի հաշվարկման բանաձևը կունենա OM = √(x M 2 + y M 2 ձևը. )

1. Այս կետերի տրված կոորդինատների հիման վրա երկու կետերի միջև հեռավորության հաշվարկ

Օրինակ 1.

Գտե՛ք կոորդինատային հարթության վրա A(2; -5) և B(-4; 3) կետերը միացնող հատվածի երկարությունը (նկ. 1):

Լուծում.

Խնդրի հայտարարության մեջ նշվում է. x A = 2; x B = -4; y A = -5 և y B = 3. Գտեք d.

Կիրառելով d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2 բանաձևը՝ ստանում ենք.

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10:

2. Տրված երեք կետերից հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետի կոորդինատների հաշվարկ

Օրինակ 2.

Գտե՛ք O 1 կետի կոորդինատները, որը հավասար է երեք A(7; -1) և B(-2; 2) և C(-1; -5) կետերից:

Լուծում.

Խնդրի պայմանների ձևակերպումից հետևում է, որ O 1 A = O 1 B = O 1 C: Թող ցանկալի O 1 կետը ունենա կոորդինատներ (a; b): Օգտագործելով d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) բանաձևը մենք գտնում ենք.

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2):

Եկեք ստեղծենք երկու հավասարումների համակարգ.

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2):

Հավասարումների ձախ և աջ կողմերը քառակուսուցելուց հետո գրում ենք.

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((ա – 7) 2 + (բ + 1) 2 = (ա + 1) 2 + (բ + 5) 2.

Պարզեցնելով՝ գրենք

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Համակարգը լուծելով՝ մենք ստանում ենք՝ a = 2; b = -1.

O 1 կետը (2; -1) հավասար է այն երեք կետերից, որոնք նշված են պայմանում, որոնք չեն գտնվում նույն ուղիղ գծի վրա: Այս կետը երեք տրված կետերով անցնող շրջանագծի կենտրոնն է (նկ. 2).

3. Այն կետի աբսցիսայի (օրդինատի) հաշվարկը, որը գտնվում է աբսցիսայի (օրդինատների) առանցքի վրա և գտնվում է տվյալ կետից տրված հեռավորության վրա.

Օրինակ 3.

B(-5; 6) կետից Ox առանցքի վրա ընկած A կետի հեռավորությունը 10 է: Գտե՛ք A կետը:

Լուծում.

Խնդրի պայմանների ձևակերպումից հետևում է, որ A կետի օրդինատը հավասար է զրոյի և AB = 10։

A կետի աբսցիսան a-ով նշանակելով գրում ենք A(a; 0):

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36):

Ստանում ենք √((a + 5) 2 + 36) = 10 հավասարումը։ Պարզեցնելով այն՝ ունենք.

a 2 + 10a – 39 = 0:

Այս հավասարման արմատներն են 1 = -13; և 2 = 3:

Մենք ստանում ենք երկու միավոր A 1 (-13; 0) և A 2 (3; 0):

Փորձաքննություն:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10:

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10:

Ստացված երկու միավորներն էլ հարմար են խնդրի պայմաններին համապատասխան (նկ. 3):

4. Այն կետի աբսցիսայի (օրդինատի) հաշվարկը, որը գտնվում է աբսցիսայի (օրդինատների) առանցքի վրա և գտնվում է երկու տրված կետերից նույն հեռավորության վրա.

Օրինակ 4.

Գտե՛ք Oy առանցքի մի կետ, որը գտնվում է A (6, 12) և B (-8, 10) կետերից նույն հեռավորության վրա:

Լուծում.

Խնդրի պայմաններով պահանջվող կետի կոորդինատները, որոնք ընկած են Oy առանցքի վրա, լինեն O 1 (0; b) (Oy առանցքի վրա ընկած կետում աբսցիսան զրո է): Այն պայմանից հետևում է, որ O 1 A = O 1 B:

Օգտագործելով d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) բանաձևը մենք գտնում ենք.

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2):

Մենք ունենք √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) կամ 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 հավասարումը:

Պարզեցումից հետո ստանում ենք՝ b – 4 = 0, b = 4:

Խնդրի պայմաններով պահանջվող O 1 (0; 4) կետ (նկ. 4):

5. Կետի կոորդինատների հաշվարկ, որը գտնվում է կոորդինատային առանցքներից և որոշակի կետից նույն հեռավորության վրա.

Օրինակ 5.

Գտեք M կետը, որը գտնվում է կոորդինատային հարթության վրա կոորդինատային առանցքներից նույն հեռավորության վրա և A(-2; 1) կետից:

Լուծում.

Պահանջվող M կետը, ինչպես A(-2; 1) կետը, գտնվում է երկրորդ կոորդինատային անկյունում, քանի որ այն հավասար է A, P 1 և P 2 կետերից: (նկ. 5). M կետի հեռավորությունները կոորդինատային առանցքներից նույնն են, հետևաբար նրա կոորդինատները կլինեն (-a; a), որտեղ a > 0:

Խնդրի պայմաններից հետևում է, որ MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

դրանք. |-ա| = ա.

Օգտագործելով d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) բանաձևը մենք գտնում ենք.

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Կազմենք հավասարում.

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Քառակուսուց և պարզեցնելուց հետո ունենք՝ a 2 – 6a + 5 = 0: Լուծե՛ք հավասարումը, գտե՛ք a 1 = 1; և 2 = 5:

Մենք ստանում ենք երկու միավոր M 1 (-1; 1) և M 2 (-5; 5), որոնք բավարարում են խնդրի պայմանները:

6. Մի կետի կոորդինատների հաշվարկ, որը գտնվում է աբսցիսայի (օրդինատների) առանցքից և տվյալ կետից նույն նշված հեռավորության վրա.

Օրինակ 6.

Գտեք այնպիսի M կետ, որ նրա հեռավորությունը օրդինատների առանցքից և A կետից (8; 6) հավասար լինի 5-ի:

Լուծում.

Խնդրի պայմաններից հետևում է, որ MA = 5, իսկ M կետի աբսցիսան հավասար է 5-ի: Թող M կետի օրդինատը հավասար լինի b, ապա M(5; b) (նկ. 6):

Ըստ d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) բանաձևի ունենք.

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Կազմենք հավասարում.

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Պարզեցնելով այն՝ ստանում ենք՝ b 2 – 12b + 20 = 0. Այս հավասարման արմատներն են b 1 = 2; b 2 = 10. Հետևաբար, կա երկու կետ, որը բավարարում է խնդրի պայմանները. M 1 (5; 2) և M 2 (5; 10):

Հայտնի է, որ շատ ուսանողներ խնդիրներն ինքնուրույն լուծելիս կարիք ունեն մշտական ​​խորհրդատվության՝ դրանց լուծման տեխնիկայի և մեթոդների վերաբերյալ։ Հաճախ առանց ուսուցչի օգնության աշակերտը չի կարողանում գտնել խնդիրը լուծելու միջոց: Խնդիրները լուծելու վերաբերյալ անհրաժեշտ խորհրդատվություն ուսանողը կարող է ստանալ մեր կայքում։

Դեռ ունե՞ք հարցեր: Չգիտե՞ք ինչպես գտնել հարթության երկու կետերի միջև հեռավորությունը:
Կրկնուսույցից օգնություն ստանալու համար գրանցվեք։
Առաջին դասն անվճար է։

կայքը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում աղբյուրին:

Հեռավորությունը կետից կետտվյալ սանդղակի վրա այս կետերը միացնող հատվածի երկարությունն է: Այսպիսով, երբ խոսքը վերաբերում է հեռավորության չափմանը, դուք պետք է իմանաք այն սանդղակը (երկարության միավորը), որով կկատարվեն չափումները: Հետևաբար, կետից կետ հեռավորությունը գտնելու խնդիրը սովորաբար դիտարկվում է կամ կոորդինատային գծի վրա կամ ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգում հարթության վրա կամ եռաչափ տարածության մեջ։ Այլ կերպ ասած, ամենից հաճախ պետք է հաշվարկել կետերի միջև հեռավորությունը՝ օգտագործելով դրանց կոորդինատները:

Այս հոդվածում մենք նախ կհիշենք, թե ինչպես է որոշվում կոորդինատային գծի կետից կետ հեռավորությունը: Այնուհետև մենք ստանում ենք հարթության կամ տարածության երկու կետերի միջև հեռավորությունը ըստ տրված կոորդինատների հաշվելու բանաձևերը: Եզրափակելով, մենք մանրամասնորեն կքննարկենք բնորոշ օրինակների և խնդիրների լուծումները:

Էջի նավարկություն.

Կոորդինատային գծի երկու կետերի միջև հեռավորությունը:

Եկեք նախ սահմանենք նշումը. A կետից B կետ հեռավորությունը կնշենք որպես .

Այստեղից կարելի է եզրակացնել, որ հեռավորությունը կոորդինատով A կետից մինչև կոորդինատով B կետը հավասար է կոորդինատների տարբերության մոդուլին, այն է, կոորդինատային գծի կետերի ցանկացած տեղակայման համար:

Հեռավորությունը հարթության վրա կետից կետ, բանաձև.

Մենք ստանում ենք կետերի միջև հեռավորությունը հաշվարկելու բանաձև և տրված հարթության վրա ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգում:

Կախված A և B կետերի գտնվելու վայրից, հնարավոր են հետևյալ տարբերակները.

Եթե ​​A և B կետերը համընկնում են, ապա նրանց միջև հեռավորությունը զրո է:

Եթե ​​A և B կետերը գտնվում են աբսցիսայի առանցքին ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա, ապա կետերը համընկնում են, և հեռավորությունը հավասար է հեռավորությանը: Նախորդ պարբերությունում պարզեցինք, որ կոորդինատային գծի երկու կետերի միջև հեռավորությունը հավասար է դրանց կոորդինատների տարբերության մոդուլին, հետևաբար. . Հետևաբար, .

Նմանապես, եթե A և B կետերը գտնվում են օրդինատների առանցքին ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա, ապա A կետից մինչև B կետ հեռավորությունը հայտնաբերվում է որպես .

Այս դեպքում ABC եռանկյունը կառուցվածքով ուղղանկյուն է, և Եվ . Ըստ Պյութագորասի թեորեմմենք կարող ենք գրել հավասարությունը, որտեղից .

Եկեք ամփոփենք ստացված բոլոր արդյունքները. հարթության կետից մինչև հարթության կետ հեռավորությունը հայտնաբերվում է կետերի կոորդինատների միջոցով՝ օգտագործելով բանաձևը .

Կետերի միջև հեռավորությունը գտնելու արդյունքում ստացված բանաձևը կարող է օգտագործվել, երբ A և B կետերը համընկնում են կամ գտնվում են կոորդինատային առանցքներից մեկին ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա: Իսկապես, եթե A-ն և B-ն համընկնում են, ապա . Եթե ​​A և B կետերը ընկած են Ox առանցքին ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա, ապա. Եթե ​​A և B-ն ընկած են Oy առանցքին ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա, ապա .

Տարածության կետերի միջև հեռավորությունը, բանաձևը:

Եկեք տիեզերքում ներկայացնենք Oxyz ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը: Ստացնենք կետից հեռավորությունը գտնելու բանաձևը դեպի կետ .

Ընդհանուր առմամբ, A և B կետերը չեն գտնվում կոորդինատային հարթություններից մեկին զուգահեռ հարթությունում: Եկեք գծենք A և B կետերով հարթություններ, որոնք ուղղահայաց են Ox, Oy և Oz կոորդինատային առանցքներին: Այս հարթությունների հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ մեզ կտան A և B կետերի կանխատեսումներ այս առանցքների վրա: Մենք նշում ենք կանխատեսումները .

A և B կետերի միջև պահանջվող հեռավորությունը նկարում ներկայացված ուղղանկյուն զուգահեռանիստի անկյունագիծն է: Ըստ կառուցման՝ այս զուգահեռականի չափերը հավասար են Եվ . Ավագ դպրոցի երկրաչափության դասընթացում ապացուցվեց, որ խորանարդի անկյունագծի քառակուսին հավասար է նրա երեք չափերի քառակուսիների գումարին, հետևաբար, . Այս հոդվածի առաջին բաժնի տեղեկությունների հիման վրա մենք կարող ենք գրել հետևյալ հավասարումները, հետևաբար.

որտեղի՞ց ենք վերցնում Տարածության կետերի միջև հեռավորությունը գտնելու բանաձևը .

Այս բանաձևը վավեր է նաև, եթե A և B կետերը

• համապատասխանեցնել;
• պատկանում է կոորդինատային առանցքներից մեկին կամ կոորդինատային առանցքներից մեկին զուգահեռ գծի.
• պատկանում են կոորդինատային հարթություններից մեկին կամ կոորդինատային հարթություններից մեկին զուգահեռ հարթության:

Գտեք կետից կետ հեռավորությունը, օրինակներ և լուծումներ:

Այսպիսով, մենք ստացել ենք կոորդինատային գծի, հարթության և եռաչափ տարածության վրա երկու կետերի միջև հեռավորությունը գտնելու բանաձևեր: Ժամանակն է դիտարկել բնորոշ օրինակների լուծումները:

Խնդիրների թիվը, որոնցում վերջին քայլը երկու կետերի միջև հեռավորությունն ըստ դրանց կոորդինատների գտնելն է, իսկապես հսկայական է: Նման օրինակների ամբողջական վերանայումը դուրս է այս հոդվածի շրջանակներից: Այստեղ մենք կսահմանափակվենք օրինակներով, որոնցում հայտնի են երկու կետերի կոորդինատները և անհրաժեշտ է հաշվարկել դրանց միջև եղած հեռավորությունը։

Օգտագործելով կոորդինատները՝ որոշվում է երկրագնդի վրա օբյեկտի գտնվելու վայրը։ Կոորդինատները նշվում են ըստ լայնության և երկայնության: Լայնությունները չափվում են երկու կողմերի հասարակածի գծից: Հյուսիսային կիսագնդում լայնությունները դրական են, Հարավային կիսագնդում՝ բացասական։ Երկայնությունը չափվում է հիմնական միջօրեականից՝ արևելյան կամ արևմտյան, համապատասխանաբար, ստացվում է արևելյան կամ արևմտյան երկայնությունը:

Համաձայն ընդհանուր ընդունված դիրքի՝ հիմնական միջօրեական է համարվում այն, որն անցնում է Գրինվիչի հին Գրինվիչի աստղադիտարանի միջով։ Տեղադրության աշխարհագրական կոորդինատները կարելի է ձեռք բերել GPS նավիգատորի միջոցով: Այս սարքը ստանում է արբանյակային դիրքորոշման համակարգի ազդանշաններ WGS-84 կոորդինատային համակարգում, որը միատեսակ է ողջ աշխարհի համար:

Navigator մոդելները տարբերվում են արտադրողի, ֆունկցիոնալության և ինտերֆեյսի վրա: Ներկայումս ներկառուցված GPS նավիգատորները հասանելի են նաև բջջային հեռախոսների որոշ մոդելներում: Բայց ցանկացած մոդել կարող է գրանցել և պահպանել կետի կոորդինատները։

GPS կոորդինատների միջև հեռավորությունը

Որոշ ճյուղերում գործնական և տեսական խնդիրներ լուծելու համար անհրաժեշտ է կարողանալ կետերի միջև եղած հեռավորությունները որոշել դրանց կոորդինատներով։ Կան մի քանի եղանակներ, որոնք դուք կարող եք դա անել: Աշխարհագրական կոորդինատների ներկայացման կանոնական ձևը՝ աստիճաններ, րոպեներ, վայրկյաններ:

Օրինակ՝ կարող եք որոշել հեռավորությունը հետևյալ կոորդինատների միջև՝ թիվ 1 կետ - լայնություն 55°45′07″ N, երկայնություն 37°36′56″ E; կետ թիվ 2 - լայնություն 58°00′02″ հյուսիսային, երկայնություն 102°39′42″ արևելյան։

Ամենահեշտ ձևը երկու կետերի միջև երկարությունը հաշվարկելու համար հաշվիչ օգտագործելն է: Բրաուզերի որոնման համակարգում դուք պետք է սահմանեք որոնման հետևյալ պարամետրերը. առցանց - երկու կոորդինատների միջև հեռավորությունը հաշվարկելու համար: Առցանց հաշվիչում լայնության և երկայնության արժեքները մուտքագրվում են հարցման դաշտերում առաջին և երկրորդ կոորդինատների համար: Հաշվարկելիս առցանց հաշվիչը տվել է արդյունքը՝ 3,800,619 մ.

Հաջորդ մեթոդն ավելի աշխատատար է, բայց նաև ավելի տեսողական։ Դուք պետք է օգտագործեք ցանկացած հասանելի քարտեզագրման կամ նավիգացիոն ծրագիր: Ծրագրերը, որոնցում դուք կարող եք միավորներ ստեղծել՝ օգտագործելով կոորդինատները և չափել նրանց միջև հեռավորությունը, ներառում են հետևյալ հավելվածները՝ BaseCamp (MapSource ծրագրի ժամանակակից անալոգը), Google Earth, SAS.Planet:

Վերոնշյալ բոլոր ծրագրերը հասանելի են ցանցի ցանկացած օգտագործողի համար: Օրինակ՝ Google Earth-ում երկու կոորդինատների միջև հեռավորությունը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է ստեղծել երկու պիտակ՝ նշելով առաջին կետի և երկրորդ կետի կոորդինատները: Այնուհետև, օգտագործելով «Քանոն» գործիքը, դուք պետք է միացնեք առաջին և երկրորդ նշանները գծով, ծրագիրը ավտոմատ կերպով կցուցադրի չափման արդյունքը և ցույց կտա ուղին Երկրի արբանյակային պատկերի վրա:

Վերը բերված օրինակի դեպքում Google Earth ծրագիրը վերադարձրեց արդյունքը՝ թիվ 1 կետի և թիվ 2 կետի միջև հեռավորության երկարությունը 3,817,353 մ է։

Ինչու է սխալվում հեռավորությունը որոշելիս

Կոորդինատների միջև տարածության բոլոր հաշվարկները հիմնված են աղեղի երկարության հաշվարկի վրա: Երկրի շառավիղը ներգրավված է աղեղի երկարության հաշվարկում: Բայց քանի որ Երկրի ձևը մոտ է թեքաձև էլիպսոիդին, Երկրի շառավիղը որոշակի կետերում տատանվում է: Կոորդինատների միջև հեռավորությունը հաշվարկելու համար վերցվում է Երկրի շառավիղի միջին արժեքը, որը սխալ է տալիս չափման մեջ։ Որքան մեծ է չափվող հեռավորությունը, այնքան մեծ է սխալը:

Մաթեմատիկա

§2. Ինքնաթիռի կետի կոորդինատները

3. Հեռավորությունը երկու կետերի միջև:

Ես և դու հիմա կարող ենք թվերի լեզվով խոսել կետերի մասին: Օրինակ, մենք այլևս բացատրելու կարիք չունենք. վերցրեք մի կետ, որը գտնվում է առանցքի աջ կողմում երեք միավոր և առանցքից ցածր հինգ միավոր: Բավական է պարզապես ասել. վերցրեք կետը:

Մենք արդեն ասել ենք, որ դա որոշակի առավելություններ է ստեղծում։ Այսպիսով, մենք կարող ենք հեռագրով փոխանցել կետերից կազմված նկարը, այն փոխանցել համակարգչին, որն ընդհանրապես չի հասկանում գծագրերը, բայց լավ է հասկանում թվերը։

Նախորդ պարբերությունում մենք սահմանեցինք հարթության վրա գտնվող կետերի մի քանի խմբեր՝ օգտագործելով թվերի միջև փոխհարաբերությունները: Այժմ փորձենք հետևողականորեն թարգմանել այլ երկրաչափական հասկացություններ և փաստեր թվերի լեզվով:

Մենք կսկսենք պարզ և ընդհանուր առաջադրանքից.

Գտեք հարթության երկու կետերի միջև հեռավորությունը:

Լուծում:
Ինչպես միշտ, մենք ենթադրում ենք, որ կետերը տրված են իրենց կոորդինատներով, և այնուհետև մեր խնդիրն է գտնել կանոն, որով կարող ենք հաշվարկել կետերի միջև եղած հեռավորությունը՝ իմանալով դրանց կոորդինատները։ Այս կանոնը բխեցնելիս, իհարկե, թույլատրվում է դիմել գծագրին, բայց կանոնն ինքնին չպետք է պարունակի որևէ հղում գծագրին, այլ պետք է միայն ցույց տա, թե ինչ գործողություններ և ինչ հերթականությամբ պետք է կատարվեն տվյալ թվերի վրա՝ կոորդինատները: կետերից - ցանկալի թիվը ստանալու համար - կետերի միջև հեռավորությունը:

Թերևս որոշ ընթերցողների համար տարօրինակ և անհասկանալի կլինի խնդրի լուծման այս մոտեցումը: Ինչն է ավելի պարզ, կասեն՝ միավորները տրված են, թեկուզ կոորդինատներով։ Գծե՛ք այս կետերը, վերցրե՛ք քանոն և չափե՛ք դրանց միջև եղած հեռավորությունը։

Այս մեթոդը երբեմն այնքան էլ վատ չէ: Այնուամենայնիվ, նորից պատկերացրեք, որ գործ ունեք համակարգչի հետ։ Նա քանոն չունի և չի նկարում, բայց կարող է այնքան արագ հաշվել, որ դա նրա համար ամենևին էլ խնդիր չէ: Նկատի ունեցեք, որ մեր խնդիրը ձևակերպված է այնպես, որ երկու կետերի միջև հեռավորությունը հաշվարկելու կանոնը բաղկացած է հրամաններից, որոնք կարող են կատարվել մեքենայի կողմից:

Ավելի լավ է նախ լուծել հատուկ դեպքի համար առաջադրված խնդիրը, երբ այդ կետերից մեկը գտնվում է կոորդինատների սկզբնաղբյուրում: Սկսեք մի քանի թվային օրինակներից. գտե՛ք կետերի սկզբնակետից հեռավորությունը. Եվ .

Նշում. Օգտագործեք Պյութագորասի թեորեմը:

Այժմ գրեք ընդհանուր բանաձև՝ սկզբից կետի հեռավորությունը հաշվարկելու համար:

Կետի հեռավորությունը սկզբնակետից որոշվում է բանաձևով.

Ակնհայտ է, որ այս բանաձեւով արտահայտված կանոնը բավարարում է վերը նշված պայմաններին։ Մասնավորապես, այն կարող է օգտագործվել այն մեքենաների հաշվարկներում, որոնք կարող են թվեր բազմապատկել, գումարել և քառակուսի արմատներ հանել։

Հիմա լուծենք ընդհանուր խնդիրը

Տրված հարթության վրա երկու կետ՝ գտե՛ք նրանց միջև եղած հեռավորությունը:

Լուծում:
Նշանակենք , , , կետերի և կոորդինատային առանցքների ելուստները:

Նշենք տառի հետ տողերի հատման կետը։ Ուղղանկյուն եռանկյունից՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը, ստանում ենք.

Բայց հատվածի երկարությունը հավասար է հատվածի երկարությանը: Կետերը և , ընկած են առանցքի վրա և ունեն կոորդինատներ և համապատասխանաբար: Համաձայն 2-րդ կետի 3-րդ կետում ստացված բանաձևի, նրանց միջև հեռավորությունը հավասար է .

Նմանապես վիճելով՝ մենք գտնում ենք, որ հատվածի երկարությունը հավասար է . Գտնված արժեքները փոխարինելով և բանաձևով ստանում ենք.

Այս հոդվածում մենք կդիտարկենք տեսականորեն կետից կետ հեռավորությունը որոշելու ուղիները և օգտագործելով կոնկրետ առաջադրանքների օրինակը: Սկզբից ներկայացնենք որոշ սահմանումներ։

Սահմանում 1

Կետերի միջև հեռավորությունըդրանք միացնող հատվածի երկարությունն է՝ առկա սանդղակի վրա։ Չափման համար երկարության միավոր ունենալու համար անհրաժեշտ է սանդղակ սահմանել։ Հետևաբար, հիմնականում կետերի միջև հեռավորությունը գտնելու խնդիրը լուծվում է՝ օգտագործելով դրանց կոորդինատները կոորդինատային գծի վրա, կոորդինատային հարթությունում կամ եռաչափ տարածության մեջ։

Սկզբնական տվյալներ. կոորդինատային O x ուղիղ և դրա վրա ընկած կամայական A կետ: Ուղղի ցանկացած կետ ունի մեկ իրական թիվ. թող դա լինի որոշակի թիվ A կետի համար: x A,այն նաև Ա կետի կոորդինատն է։

Ընդհանուր առմամբ, կարելի է ասել, որ որոշակի հատվածի երկարությունը գնահատվում է տվյալ սանդղակի երկարության միավոր վերցված հատվածի համեմատությամբ։

Եթե ​​A կետը համապատասխանում է ամբողջ իրական թվին, ապա հաջորդաբար O կետից դեպի կետ ուղիղ գծի երկայնքով O A հատվածները՝ երկարության միավորները, մենք կարող ենք որոշել O A հատվածի երկարությունը առանձնացված միավորի հատվածների ընդհանուր քանակից:

Օրինակ, կետը համապատասխանում է 3 թվին. O կետից դրան հասնելու համար ձեզ հարկավոր է անջատել երեք միավոր հատված: Եթե ​​A կետն ունի կոորդինատ - 4, ապա միավորի հատվածները դասավորվում են նույն ձևով, բայց այլ, բացասական ուղղությամբ: Այսպիսով, առաջին դեպքում O A հեռավորությունը հավասար է 3-ի; երկրորդ դեպքում O A = 4:

Եթե ​​A կետը որպես կոորդինատ ունի ռացիոնալ թիվ, ապա սկզբնաղբյուրից (կետ O) գծագրում ենք միավորի հատվածների ամբողջ թիվ, ապա դրա անհրաժեշտ մասը։ Բայց երկրաչափական առումով միշտ չէ, որ հնարավոր է չափումներ կատարել։ Օրինակ, դժվար է թվում 4 111 կոտորակը գծագրել կոորդինատային գծի վրա:

Օգտագործելով վերը նշված մեթոդը, ամբողջովին անհնար է իռացիոնալ թիվ պատկերել ուղիղ գծի վրա: Օրինակ, երբ A կետի կոորդինատը 11 է։ Այս դեպքում կարելի է դիմել աբստրակցիային. եթե A կետի տրված կոորդինատը մեծ է զրոյից, ապա O A = x A (թիվը ընդունվում է որպես հեռավորություն); եթե կոորդինատը զրոյից փոքր է, ապա O A = - x A . Ընդհանուր առմամբ, այս պնդումները ճշմարիտ են ցանկացած իրական թվի համար x A:

Ամփոփելու համար. հեռավորությունը սկզբնակետից մինչև այն կետը, որը համապատասխանում է իրական թվին կոորդինատային գծի վրա, հավասար է.

• 0, եթե կետը համընկնում է ծագման հետ;

• x A, եթե x A > 0;

• - x A, եթե x A< 0 .

Այս դեպքում ակնհայտ է, որ հատվածի երկարությունն ինքնին չի կարող բացասական լինել, հետևաբար, օգտագործելով մոդուլի նշանը, մենք կոորդինատով գրում ենք O կետից մինչև A կետ հեռավորությունը. xA O A = x A

Հետևյալ հայտարարությունը ճիշտ կլինի. հեռավորությունը մի կետից մյուսը հավասար կլինի կոորդինատների տարբերության մոդուլին:Նրանք. A և B կետերի համար, որոնք ընկած են ցանկացած տեղանքի նույն կոորդինատային գծի վրա և ունեն համապատասխան կոորդինատներ xAԵվ x B: A B = x B - x A:

Սկզբնական տվյալներ՝ A և B կետերը, որոնք ընկած են հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում O x y տրված կոորդինատներով՝ A (x A, y A) և B (x B, y B):

Եկեք A և B կետերով ուղղահայացներ գծենք O x և O y կոորդինատային առանցքներին և արդյունքում ստանանք պրոյեկցիոն կետերը՝ A x, A y, B x, B y: Ելնելով A և B կետերի գտնվելու վայրից, հնարավոր են հետևյալ տարբերակները.

Եթե ​​A և B կետերը համընկնում են, ապա նրանց միջև հեռավորությունը զրո է.

Եթե ​​A և B կետերը ընկած են O x առանցքին ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա (աբսցիսային առանցք), ապա կետերը համընկնում են, և | Ա Բ | = | A y B y | . Քանի որ կետերի միջև հեռավորությունը հավասար է դրանց կոորդինատների տարբերության մոդուլին, ապա A y B y = y B - y A, և, հետևաբար, A B = A y B y = y B - y A:

Եթե ​​A և B կետերը գտնվում են O y առանցքին (օրդինատների առանցք) ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա, ապա նախորդ պարբերության անալոգիայով. A B = A x B x = x B - x A.

Եթե ​​A և B կետերը չեն գտնվում կոորդինատային առանցքներից մեկին ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա, մենք կգտնենք դրանց միջև եղած հեռավորությունը՝ ստանալով հաշվարկման բանաձևը.

Մենք տեսնում ենք, որ A B C եռանկյունը կառուցվածքով ուղղանկյուն է: Այս դեպքում A C = A x B x և B C = A y B y: Օգտվելով Պյութագորասի թեորեմից՝ մենք ստեղծում ենք հավասարություն՝ A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , այնուհետև այն փոխակերպում ենք՝ A B = A x B x 2 + A y B: y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Ստացված արդյունքից եզրակացություն անենք՝ հարթության վրա A կետից մինչև B կետ հեռավորությունը որոշվում է այս կետերի կոորդինատների օգտագործմամբ բանաձևի միջոցով։

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Ստացված բանաձևը նաև հաստատում է նախկինում ձևավորված հայտարարությունները կետերի համընկնման դեպքերի կամ իրավիճակների համար, երբ կետերը գտնվում են առանցքներին ուղղահայաց ուղիղ գծերի վրա: Այսպիսով, եթե A և B կետերը համընկնում են, ապա ճիշտ կլինի հետևյալ հավասարությունը. A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Այն իրավիճակի համար, երբ A և B կետերը գտնվում են x առանցքին ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Այն դեպքում, երբ A և B կետերը գտնվում են օրդինատների առանցքին ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Սկզբնական տվյալներ՝ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ O x y z, որի վրա ընկած են կամայական կետեր՝ տրված A (x A, y A, z A) և B (x B, y B, z B) կոորդինատներով: Անհրաժեշտ է որոշել այդ կետերի միջև եղած հեռավորությունը։

Դիտարկենք ընդհանուր դեպքը, երբ A և B կետերը չեն գտնվում կոորդինատային հարթություններից մեկին զուգահեռ հարթությունում։ Եկեք A և B կետերով գծենք կոորդինատային առանցքներին ուղղահայաց հարթություններ և ստացենք համապատասխան պրոյեկցիայի կետերը՝ A x, A y, A z, B x, B y, B z:

A և B կետերի միջև հեռավորությունը ստացված զուգահեռականի անկյունագիծն է: Այս զուգահեռականի չափումների կառուցման համաձայն՝ A x B x , A y B y և A z B z

Երկրաչափության դասընթացից մենք իմանում ենք, որ զուգահեռականի անկյունագծի քառակուսին հավասար է նրա չափերի քառակուսիների գումարին։ Այս հայտարարության հիման վրա մենք ստանում ենք հավասարություն՝ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Օգտագործելով ավելի վաղ ստացված եզրակացությունները, մենք գրում ենք հետևյալը.

A x B x = x B - x A, A y B y = y B - y A, A z B z = z B - z A

Փոխակերպենք արտահայտությունը.

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Վերջնական Տարածության կետերի միջև հեռավորությունը որոշելու բանաձևըկունենա հետևյալ տեսքը.

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Ստացված բանաձևը գործում է նաև այն դեպքերում, երբ.

Կետերը համընկնում են;

Նրանք ընկած են մեկ կոորդինատային առանցքի կամ կոորդինատային առանցքներից մեկին զուգահեռ ուղիղ գծի վրա:

Կետերի միջև հեռավորությունը գտնելու խնդիրների լուծման օրինակներ

Օրինակ 1

Նախնական տվյալներ. տրված են կոորդինատային գիծ և դրա վրա ընկած կետերը տրված A (1 - 2) և B (11 + 2) կոորդինատներով: Անհրաժեշտ է գտնել O սկզբնակետից մինչև A կետ և A և B կետերի միջև եղած հեռավորությունը:

Լուծում

1. Հղման կետից մինչև կետ հեռավորությունը հավասար է այս կետի կոորդինատի մոդուլին, համապատասխանաբար O A = 1 - 2 = 2 - 1:
2. Մենք սահմանում ենք A և B կետերի միջև հեռավորությունը որպես այս կետերի կոորդինատների տարբերության մոդուլ. A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2:

Պատասխան՝ O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Օրինակ 2

Նախնական տվյալներ՝ տրված են ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ և դրա վրա ընկած երկու կետ՝ A (1, - 1) և B (λ + 1, 3): λ-ն իրական թիվ է: Անհրաժեշտ է գտնել այս թվի բոլոր արժեքները, որոնց դեպքում A B հեռավորությունը հավասար կլինի 5-ի:

Լուծում

A և B կետերի միջև հեռավորությունը գտնելու համար դուք պետք է օգտագործեք A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 բանաձևը:

Իրական կոորդինատների արժեքները փոխարինելով՝ ստանում ենք՝ A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16.

Մենք նաև օգտագործում ենք գոյություն ունեցող պայմանը, որ A B = 5, և ապա հավասարությունը ճիշտ կլինի.

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Պատասխան՝ A B = 5, եթե λ = ± 3:

Օրինակ 3

Նախնական տվյալներ. O x y z ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում և դրանում ընկած A (1, 2, 3) և B - 7, - 2, 4 կետերում նշվում է եռաչափ տարածություն:

Լուծում

Խնդիրը լուծելու համար մենք օգտագործում ենք A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2 բանաձևը.

Իրական արժեքները փոխարինելով՝ ստանում ենք՝ A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Պատասխան՝ | Ա Բ | = 9

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter