Դա կօգնի ոչ միայն թեյնիկներին, այլ նույնիսկ նրանց, ովքեր առաջին անգամ լսել են «որոշիչ» բառը։ Երկու տարի է անցել, երբ կայքը ուներ ընդամենը տասը էջ, և այժմ, իմ երկար ու երկար ճանապարհորդությունից հետո դեպի մատանի աշխարհ, ամեն ինչ վերադարձել է իր բնականոն հունին:

Պատկերացրեք, որ դուք պետք է հաշվարկեք երրորդ կարգի որոշիչ՝ ընդլայնելով այն տողի (սյունակի) տարրերի վրա: Չնայած այն, ինչ կա ներկայացնելու համար, պետք է =) Դուք կարող եք նստել դրա վրա 5 րոպե, կամ կարող եք նստել 2-3 րոպե: Կամ նույնիսկ մեկ րոպեի սահմաններում: Ձեր ծախսած ժամանակը կախված է ոչ միայն ձեր փորձից, այլ նաև որոշիչների հատկությունների իմացությունից: Հազվադեպ չէ, երբ լուծման գործընթացը միանգամայն իրատեսական է, այն կրճատվում է մի քանի վայրկյանի ընթացքում, և երբեմն դուք կարող եք անմիջապես տեսնել արդյունքը: «Անհեթեթություն, ինչո՞ւ խնայել խաղերը, և այդպես մենք ամեն ինչ կորոշենք»,- կասեն ոմանք։ Ասենք. Իսկ սխալներ թույլ չենք տա ;-) Իսկ ի՞նչ կասեք գործնականում բավականին տարածված 4-րդ կարգի որոշիչի մասին։ Այս պղպեղի հետ պայքարելու համար կպահանջվի 10-20 րոպե։ Եվ դա նույնիսկ կռիվ չի լինի, այլ կոտորած, քանի որ հաշվողական սխալի հավանականությունը շատ մեծ է, ինչը ձեզ «կփաթաթի» որոշման երկրորդ փուլի մեջ։ Իսկ եթե հինգերորդ կարգի որոշիչ. Պահպանեք միայն որոշիչի կարգը իջեցնելով: Այո, նման օրինակներ կան նաև հսկիչ փաստաթղթերում։

Այս էջի նյութերը զգալիորեն կբարելավեն որոշիչները լուծելու ձեր տեխնիկան և կհեշտացնեն բարձրագույն մաթեմատիկայի հետագա զարգացումը:

Որոշիչի հաշվարկման արդյունավետ մեթոդներ

Նախ, մենք չենք անդրադառնա որոշիչի հատկություններին, այլ պարզապես դրա ռացիոնալ հաշվարկի մեթոդներին: Լուծման այս մեթոդները գտնվում են մակերեսի վրա և պարզ են շատերի համար, բայց, այնուամենայնիվ, մենք ավելի մանրամասն կանդրադառնանք դրանց վրա: Ենթադրվում է, որ ընթերցողն արդեն գիտի, թե ինչպես վստահորեն բացահայտել երրորդ կարգի որոշիչը։ Ինչպես հայտնի է, այս որոշիչը կարող է ընդլայնվել 6 ստանդարտ ձևերովցանկացած տողի կամ սյունակի վրա: Թվում է, թե դա նշանակություն չունի, քանի որ պատասխանը նույնն է լինելու։ Բայց արդյո՞ք բոլոր մեթոդները հավասարապես հեշտ են:Ոչ Շատ դեպքերում կա պակաս շահավետ ուղիներև ավելի շահավետ ուղիներլուծումներ։

Դիտարկենք որոշիչը, որը ես առատորեն պատել եմ դաջվածքներով առաջին դասին։ Այդ հոդվածում մենք այն մանրամասնորեն, նկարներով, առաջին տողում շարեցինք։ Առաջին տողը լավն է ու ակադեմիական, բայց հնարավո՞ր է ավելի արագ արդյունքի հասնել։ Որոշիչում կա զրո, և այն ընդլայնելով երկրորդ շարքով կամ երկրորդ սյունակով, հաշվարկները նկատելիորեն կնվազեն:

Եկեք ընդլայնենք երկրորդ սյունակի որոշիչը.

Գործնականում զրոյական տարրերը անտեսվում են, և լուծումը ստանում է ավելի կոմպակտ ձև.

Վարժություն 1

Ընդարձակի՛ր տրված որոշիչը երկրորդ տողի երկայնքով՝ օգտագործելով կրճատված նշումը:

Լուծում դասի վերջում.

Եթե ​​անընդմեջ (կամ սյունակում) երկու զրո կա, ապա սա ընդհանուր առմամբ իսկական նվեր է: Դիտարկենք որոշիչը. Երրորդ տողում կա երկու զրո, և մենք այն բացում ենք դրա վրա.

Սա է ամբողջ լուծումը:

Հատուկ դեպքը, երբ որոշիչն ունի այսպես կոչված քայլեցկամ եռանկյուն տեսքՕրինակ՝ - նման որոշիչում ստորև տեղադրված բոլոր թվերը հիմնական անկյունագիծ, հավասար են զրոյի։

Եկեք ընդլայնենք այն առաջին սյունակով.

Գործնական առաջադրանքներում հարմար է առաջնորդվել հետևյալ կանոնով. քայլի որոշիչը հավասար է նրա հիմնական անկյունագծի թվերի արտադրյալին:

Նմանատիպ սկզբունքը գործում է նաև այլ կարգերի փուլային որոշիչների համար, օրինակ.

Եռանկյունի որոշիչները հայտնվում են գծային հանրահաշվի որոշ խնդիրներում, և դրանց լուծումը առավել հաճախ ձևակերպվում է այս ձևով:

Իսկ եթե որոշիչի շարքը (սյունակը) պարունակում է միայն զրոներ? Պատասխանը, կարծում եմ, պարզ է. Այս հարցին մենք կանդրադառնանք որոշիչի հատկությունների մեջ:

Հիմա պատկերացնենք, որ Ամանորի նվերի մեջ ներառված չեն երկար սպասված թխուկները։ Այնպես որ, եկեք փորոտեք վատ Ձմեռ պապին:

Այստեղ զրոներ չկան, բայց դեռ կա կյանքդ հեշտացնելու միջոց։ Այս որոշիչը լավագույնս ընդլայնվում է երրորդ սյունակում, քանի որ կան ամենափոքր թվերը: Այս դեպքում լուծման մուտքագրումը շատ հակիրճ ձև է ստանում.

Ամփոփելով պարբերությունը՝ մենք ձևակերպում ենք հաշվարկների ոսկե կանոնը.

Ավելի ձեռնտու է որոշիչը բացել ԱՅԴ տողով (սյունակով), որտեղ.

1) ավելի շատ զրոներ;
2) փոքր թվեր.

Բնականաբար, դա ճիշտ է նաև ավելի բարձր կարգի որոշիչների համար:

Փոքր օրինակ նյութը համախմբելու համար.

Առաջադրանք 2

Հաշվիր որոշիչը՝ ընդլայնելով այն տողով կամ սյունակով՝ օգտագործելով ամենառացիոնալ եղանակը

Սա ինքդ ինքդ լուծման օրինակ է, օպտիմալ լուծումիսկ պատասխանը՝ դասի վերջում։

Եվ ևս մեկ կարևոր խորհուրդ: մի կոմպլեքսավորվեք! Առաջին տողով կամ առաջին սյունակով ավանդական ընդլայնման մեջ կարիք չկա «շրջել ցիկլերով»: Մի խոսքով, այդպես լինի:

Որոշիչ հատկություններ

Դիտարկենք առաջին դասի հին ծանոթները՝ մատրիցան և դրա որոշիչը .

Ամեն դեպքում, կրկնում եմ հասկացությունների տարրական տարբերությունը. մատրիցը տարրերի աղյուսակ է, ա որոշիչը թիվ է.

Մատրիցա փոխադրելիս դրա որոշիչի արժեքը չի փոխվում

Մենք փոխադրում ենք մատրիցը.

Ըստ հատկության, փոխադրված մատրիցայի որոշիչը հավասար է նույն արժեքին. . Ցանկացողները կարող են դա հաստատել իրենց համար։

Օգտագործվում է նաև այս հատկության ավելի պարզ ձևակերպումը. եթե որոշիչը փոխադրվի, ապա դրա արժեքը չի փոխվի:

Մենք գրում ենք երկու որոշիչները կողք կողքի և վերլուծում մեկը կարևոր կետ:

Փոխադրման արդյունքում առաջին շարքը դարձավ առաջին սյունակ, երկրորդ շարքը դարձավ երկրորդ սյունակ, իսկ երրորդ տողը դարձավ երրորդ սյունակ։ Տողերը դարձան սյունակներ, բայց արդյունքը չփոխվեց։ Որից բխում է մի կարևոր փաստ. որոշիչի տողերն ու սյունակները հավասար են. Այլ կերպ ասած, եթե հատկությունը ճշմարիտ է տողի համար, ապա նմանատիպ հատկությունը ճշմարիտ է սյունակի համար: Իրականում, մենք վաղուց արդեն հանդիպել ենք դրան. ի վերջո, որոշիչը կարող է ընդլայնվել ինչպես անընդմեջ, այնպես էլ հավասարապես սյունակում:

Չե՞ք սիրում լարային թվերը: Փոխադրի՛ր որոշիչը։ Միայն մեկ հարց կա՝ ինչո՞ւ։ Դիտարկվող հատկության գործնական նշանակությունը փոքր է, բայց օգտակար է այն գցել գիտելիքների բեռնախցիկի մեջ՝ ավելի լավ հասկանալու համար բարձրագույն մաթեմատիկայի մյուս խնդիրները։ Օրինակ, անմիջապես պարզ է դառնում, թե ինչու վեկտորների ուսումնասիրություն համակողմանիության համարդրանց կոորդինատները կարող են գրվել ինչպես որոշիչի տողերում, այնպես էլ սյունակներում:

Եթե ​​որոշիչի երկու տող (կամ երկու սյունակ) փոխանակվում են,
ապա որոշիչը փոխում է նշանը

! Հիշիր , մենք խոսում ենք որոշիչի մասին։ Դուք չեք կարող որևէ բան վերադասավորել մատրիցայում:

Եկեք Ռուբիկի խորանարդը խաղանք որոշիչով .

Փոխանակենք առաջին և երրորդ տողերը.

Որոշիչը փոխել է նշանը.

Այժմ, ստացված որոշիչում, վերադասավորեք երկրորդ և երրորդ տողերը.

Որոշիչը նորից փոխեց նշանը։

Վերադասավորեք երկրորդ և երրորդ սյունակները.

այսինքն. տողերի (սյունակների) ցանկացած զույգ փոխակերպում ենթադրում է որոշիչի նշանի փոփոխություն դեպի հակառակը..

Խաղերը խաղեր են, բայց գործնականում նման գործողություններն ավելի լավն են չեն օգտագործում. Նրանցից շատ իմաստ չկա, բայց դժվար չէ շփոթվել ու սխալվել։ Այնուամենայնիվ, ես կտամ այն ​​քիչ իրավիճակներից մեկը, որտեղ դա իսկապես իմաստ ունի: Ենթադրենք, որ ինչ-որ օրինակ լուծելու ընթացքում դուք մինուս նշանով որոշիչ եք նկարել.

Ընդարձակենք, ասենք, առաջին տողով.

Ակնհայտ անհարմարությունն այն է, որ ես ստիպված էի անհարկի կուրսիաներ կատարել՝ դնել մեծ փակագծեր, այնուհետև բացեք դրանք (ի դեպ, ես կտրականապես խորհուրդ չեմ տալիս նման գործողություններ կատարել «մեկ նիստով» բանավոր):

«Մինուսից» ազատվելու համար ավելի ռացիոնալ է փոխանակել ցանկացած երկու տող կամ երկու սյունակ: Եկեք վերադասավորենք, օրինակ, առաջին և երկրորդ տողերը.

Նորաոճ տեսք ունի, բայց շատ դեպքերում ավելի նպատակահարմար է այլ կերպ վարվել բացասական նշանի հետ (շարունակեք կարդալ)։

Դիտարկված գործողությունը կրկին օգնում է ավելի լավ հասկանալ, օրինակ, որոշ հատկություններ վեկտորների խաչաձև արտադրյալկամ վեկտորների խառը արտադրյալ։

Հիմա սա ավելի հետաքրքիր է.

Որոշիչի տողից (սյունակից) կարող եք հանել ընդհանուր գործակիցը

!!! Ուշադրություն. Կանոնը վերաբերում է ՄԵԿտող կամ մոտ ՄԵԿորոշիչ սյունակ. Խնդրում եմ չշփոթել հետ մատրիցներ, մատրիցայում բազմապատկիչը դուրս է բերվում / ներմուծվում ԲՈԼՈՐթվերը միանգամից.

Սկսենք կանոնի հատուկ դեպքից՝ «մինուս մեկ»-ի կամ պարզապես «մինուս»-ի հեռացումից։

Մենք հանդիպում ենք մեկ այլ հիվանդի.

Այս որոշիչի մինուսները չափազանց շատ են, և լավ կլիներ կրճատել դրանց թիվը:

Առաջին տողից հանեք -1.

Կամ ավելի կարճ.

Որոշիչի դիմաց մինուսը, ինչպես արդեն ցույց է տրվել, հարմար չէ։ Մենք նայում ենք որոշիչի երկրորդ տողին և նկատում, որ այնտեղ չափազանց շատ մինուսներ կան։

Երկրորդ տողից հանում ենք «մինուսը».

Էլ ի՞նչ կարելի է անել։ Երկրորդ սյունակի բոլոր թվերը առանց մնացորդի բաժանվում են 4-ի։ Երկրորդ սյունակից հանեք 4-ը.

Ճիշտ է նաև հակառակ կանոնը. բազմապատկիչ կարող էոչ միայն դիմանալ, այլեւ աջակցել, ընդ որում՝ որոշիչի ՑԱՆԿԱՑԱԾ տողում կամ ՑԱՆԿԱՑԱԾ սյունակում։

Զվարճանքի համար եկեք 4-ով բազմապատկենք որոշիչի երրորդ տողը.

Բծախնդիր մտքերը կարող են ստուգել սկզբնական և ստացված որոշիչների հավասարությունը (ճիշտ պատասխան՝ -216):

Գործնականում մինուսի ներդրումը հաճախ կատարվում է: Դիտարկենք որոշիչը. Բացասական նշանը որոշիչից առաջ կարող է մուտքագրվել ՑԱՆԿԱՑԱԾ տողում կամ ՑԱՆԿԱՑԱԾ սյունակում: Լավագույն թեկնածուն երրորդ սյունակն է, և մենք դրան կավելացնենք մինուս.

Նաև նկատում ենք, որ առաջին սյունակի բոլոր թվերը առանց մնացորդի բաժանվում են 2-ի, բայց արժե՞ «երկուսը» հանել։ Եթե ​​դուք պատրաստվում եք իջեցնել որոշիչի կարգը (որը կքննարկվի վերջնական բաժնում), ապա դա միանշանակ արժե: Բայց եթե դուք անընդմեջ բացեք որոշիչը (սյունակ), ապա առջևի «երկուսը» միայն կերկարացնի լուծման գրառումը:

Սակայն, եթե բազմապատկիչը մեծ է, օրինակ՝ 13, 17 և այլն, ապա, իհարկե, ավելի ձեռնտու է այն հանել։ Եկեք ծանոթանանք փոքրիկ հրեշի հետ. Առաջին տողից հանում ենք -11, երկրորդ տողից հանում ենք -7.

Ասում եք՝ հաշվարկներն արդեն այդքան արագ են սեղմում սովորական հաշվիչի վրա։ Ճիշտ է. Բայց, նախ, դա կարող է ձեռքի տակ չլինել, և երկրորդը, եթե տրված է մեծ թվերով 3-րդ կամ 4-րդ կարգի որոշիչ, ապա դուք իսկապես չեք ցանկանում կոճակները թակել:

Առաջադրանք 3

Հաշվեք որոշիչը՝ գործակցելով տողերն ու սյունակները

Սա ինքդ քո օրինակն է:

Եվս մի քանի օգտակար կանոն.

Եթե ​​որոշիչի երկու տող (սյունակ) համաչափ են
(որպես հատուկ դեպք՝ դրանք նույնն են), ապա այս որոշիչը հավասար է զրոյի

Այստեղ առաջին և երկրորդ շարքերի համապատասխան տարրերը համաչափ են.

Երբեմն ասում են, որ որոշիչի տողերը գծային կախված. Քանի որ փոխադրման ժամանակ որոշիչի արժեքը չի փոխվում, ուրեմն սյունակների գծային կախվածությունը բխում է տողերի գծային կախվածությունից։

Օրինակի մեջ կարող եք երկրաչափական իմաստ դնել, եթե ենթադրենք, որ կոորդինատները գրված են տողերում վեկտորներտարածություն, ապա համամասնական կոորդինատներով առաջին երկու վեկտորները կլինեն համագիծ, ինչը նշանակում է, որ բոլոր երեք վեկտորները՝ գծային կախված, այսինքն՝ համակողմանի։

Հետևյալ օրինակում երեք սյունակները համաչափ են (և, ի դեպ, երեք տող նույնպես).

Այստեղ երկրորդ և երրորդ սյունակները նույնն են, սա հատուկ դեպք է, երբ համամասնության գործակիցը հավասար է մեկին.

Այս հատկությունները կարող են օգտագործվել գործնականում: Բայց հիշեք, որ գիտելիքների մակարդակի բարձրացումը երբեմն պատժելի է ;-) Հետևաբար, գուցե ավելի լավ լինի նման որոշիչները բացահայտել սովորական ձևով (նախապես իմանալով, որ այն կստացվի զրոյական):

Հարկ է նշել, որ հակառակն ընդհանրապես ճիշտ չէ- եթե որոշիչը հավասար է զրոյի, ապա սրանից դեռ չլինիոր նրա տողերը (սյունակները) համաչափ են։ Այսինքն՝ տողերի/սյունակների գծային կախվածությունը կարող է բացահայտ չլինել:

Կա նաև ավելի ակնհայտ նշան, երբ կարող եք անմիջապես ասել, որ որոշիչը զրո է.

Զրոյական տողով (սյունակով) որոշիչը զրո է

«Սիրողական» ստուգումը տարրական է, եկեք ընդլայնենք որոշիչը առաջին սյունակով.

Այնուամենայնիվ, արդյունքը չի փոխվի, եթե որոշիչն ընդլայնվի որևէ տողի կամ սյունակի վրա:

Քամեք երկրորդ բաժակ նարնջի հյութը.

Որոշիչների ո՞ր հատկություններն են օգտակար իմանալը:

1) փոխադրելիս որոշիչի արժեքը չի փոխվում. Մենք հիշում ենք գույքը.

2) Տողերի (սյունակների) ցանկացած զույգ փոխակերպում փոխում է որոշիչի նշանը հակառակի։. Մենք նաև հիշում ենք գույքը և փորձում ենք չօգտագործել այն՝ շփոթությունից խուսափելու համար։

3) Որոշիչի տողից (սյունակից) կարող եք հանել բազմապատկիչը (և հետ բերել). Մենք այն օգտագործում ենք այնտեղ, որտեղ դա ձեռնտու է:

4) Եթե որոշիչի տողերը (սյունակները) համաչափ են, ապա այն հավասար է զրոյի։ Զրոյական տողով (սյունակով) որոշիչը հավասար է զրոյի։

Դասի ընթացքում բազմիցս նկատվել է տարրական օրինաչափություն՝ որքան շատ զրոներ անընդմեջ (սյունակում), այնքան հեշտ է հաշվարկել որոշիչը: Հարց է առաջանում՝ հնարավո՞ր է զրոները հատուկ կազմակերպել ինչ-որ կերպափոխության միջոցով։ Կարող է Ծանոթանանք ևս մեկ շատ հզոր հատկության.

Որոշիչի հերթականության կրճատում

Դա շատ լավ է, եթե դուք արդեն զբաղվել Գաուսի մեթոդև լուծելու փորձ գծային հավասարումների համակարգերայս կերպ. Փաստորեն, ստորև ձևակերպված գույքը կրկնօրինակում է դրանցից մեկը տարրական փոխակերպումներ.

Ախորժակը զարգացնելու համար եկեք մի փոքր գորտ ճզմենք.

Որոշիչ տողի վրա կարող եք ավելացնել ևս մեկ տող՝ բազմապատկված ոչ զրոյական թվով: Այս դեպքում որոշիչի արժեքը չի փոխվի

Օրինակ՝ որոշիչում վերևի ձախ մասում ստանում ենք զրո:

Դա անելու համար երկրորդ տողը մտավոր կամ զորակոչի մեջբազմապատկել 3-ով (–3, 6) և երկրորդ շարքը ավելացրեք 3-ով բազմապատկած առաջին շարքին:

Մենք գրում ենք արդյունքը դեպի առաջին գիծ:

Փորձաքննություն:

Այժմ նույն որոշիչում մենք ստանում ենք զրո ներքևի աջ մասում: Սրա համար երկրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը՝ բազմապատկած (մտավոր) -2-ով):

Մենք գրում ենք արդյունքը դեպի երկրորդ գիծ:

ՆշումԵրբ տարրական փոխակերպումը փոխվում է ԹԱայն տողը, որին մենք ավելացնում ենք UT.

Եկեք ձևակերպենք հայելային կանոն սյունակների համար.

Որոշիչ սյունակում կարող եք ավելացնել ևս մեկ սյունակ՝ բազմապատկված ոչ զրոյական թվով: Այս դեպքում որոշիչի արժեքը չի փոխվի

Եկեք վերցնենք կենդանուն թաթերից և, օգտագործելով այս փոխակերպումը, վերևի ձախ մասում ստանում ենք զրո: Դա անելու համար մտովի կամ սևագրի վրա երկրորդ սյունակը բազմապատկեք -3-ով և առաջին սյունակին ավելացրեք երկրորդ սյունակը՝ բազմապատկելով -3-ով:

Մենք գրում ենք արդյունքը դեպի առաջին սյունակ:

Եվ, վերջապես, որոշիչում մենք ստանում ենք զրո ներքևի աջ մասում: Սրա համար Երկրորդ սյունակում մենք ավելացնում ենք առաջին սյունակը, որը բազմապատկվում է (մտավոր) 2-ով(նայեք և հաշվեք աջից ձախ):

Արդյունքը տեղադրված է դեպի երկրորդ սյունակ:

Տարրական փոխակերպման պայմաններում այն ​​փոխվում է ԱՅԴսյունակը, որին մենք ավելացնում ենք UT.

Փորձեք որակապես մարսել հետեւյալ օրինակը.

Եկեք աճեցված երկկենցաղին ուղարկենք ապուր.

Խնդիրն այն է նվազեցնել որոշիչի կարգը՝ օգտագործելով տարրական փոխակերպումներմինչև երկրորդ կարգը։

Որտեղի՞ց սկսել: Նախ, որոշիչում անհրաժեշտ է ընտրել թիվը՝ «թիրախ»: «Թիրախը» գրեթե միշտ մեկն է կամ -1: Մենք նայում ենք որոշիչին և նկատում, որ այստեղ նույնիսկ ընտրություն կա։ Թող տարրը լինի «թիրախային» թիվը.

Նշում Կրկնակի բաժանորդագրությունների իմաստը կարելի է գտնել հոդվածում Կրամերի կանոն. Մատրիցային մեթոդ. AT այս դեպքըտարրի ինդեքսները մեզ ասում են, որ այն գտնվում է երկրորդ շարքում՝ երրորդ սյունակում:

Գաղափարը երրորդ սյունակում երկու զրո ստանալն է.

Կամ երկրորդ տողում ստացեք երկու զրո.

Երկրորդ տողում թվերն ավելի փոքր են (մի մոռացեք ոսկե կանոնը), ուստի ավելի ձեռնտու է այն վերցնել։ Իսկ երրորդ սյունակը «նպատակային» համարով կմնա անփոփոխ.

Երկրորդ սյունակում ավելացրեք երրորդ սյունակ:

Ոչինչ բազմապատկելու կարիք չկար։

Արդյունքը գրված է երկրորդ սյունակում.

Առաջին սյունակին ավելացնում ենք երրորդ սյունակը՝ բազմապատկած (մտավոր) -2-ով:

Մենք արդյունքը գրում ենք առաջին սյունակում, ընդլայնում ենք որոշիչը երկրորդ տողի երկայնքով.

Ինչպե՞ս ենք իջեցնում որոշիչի կարգը: Երկրորդ տողում ստացվեց երկու զրո:

Օրինակը լուծենք երկրորդ եղանակով, զրոները կազմակերպենք երրորդ սյունակում.

«Թիրախային» համարով երկրորդ տողը կմնա անփոփոխ.

Առաջին տողին ավելացրեք երկրորդ տողը՝ բազմապատկած (մտավոր) -4-ով.

Երրորդ տողին ավելացրեք երկրորդ տողը՝ բազմապատկած (մտավոր) 3-ով (նայեք և հաշվեք ներքևից վեր):

Արդյունքը գրում ենք երրորդ տողում, երրորդ սյունակում ընդլայնում ենք որոշիչը.

Ուշադրություն դարձրեք, որ կարիք չկա տողեր կամ սյունակներ վերադասավորելու. Տարրական փոխակերպումները լավ են աշխատում ինչպես ձախից աջ, այնպես էլ աջից ձախ: Ե՛վ վերևից ներքև, և՛ ներքևից վերև:

Առաջադրանք 4

Հաշվեք նույն որոշիչը՝ ընտրելով տարրը որպես «նպատակային» թիվ: Իջեցրեք դրա կարգը երկու եղանակով՝ երկրորդ շարքում զրոներ ստանալով և երկրորդ սյունակում զրոներ ստանալով։

Սա ինքդ քո օրինակն է: Ամբողջական լուծում և կարճ մեկնաբանություններ դասի վերջում։

Երբեմն որոշիչում չկա միավոր կամ -1, օրինակ՝ . Այս դեպքում «թիրախը» պետք է կազմակերպվի՝ օգտագործելով լրացուցիչ տարրական փոխակերպում։ Ամենից հաճախ դա կարելի է անել մի քանի եղանակներով. Օրինակ՝ առաջին տողին ավելացրեք երկրորդ տողը, բազմապատկելով -1-ով.

Արդյունքը գրված է առաջին տողում.

! Ուշադրություն : ՈՉ ԱՆՀՐԱԺԵՇՏառաջին տողից հանելերկրորդ տող, սա մեծապես մեծացնում է սխալի հավանականությունը: Մենք պարզապես ծալում ենք: Այսպիսով, առաջին տողին մենք ավելացնում ենք երկրորդ տողը, որը բազմապատկվում է -1-ով: Ճիշտ!

Ստացվեց ստորաբաժանումը, ինչին պետք էր հասնել։ Այնուհետեւ դուք կարող եք ստանալ երկու զրո առաջին շարքում կամ առաջին սյունակում: Ցանկացողները կարող են լրացնել լուծումը (ճիշտ պատասխան՝ -176)։

Հարկ է նշել, որ պատրաստի «թիրախը» ամենից հաճախ առկա է սկզբնական որոշիչում, իսկ 4-րդ և ավելի բարձր կարգի որոշիչի համար լրացուցիչ փոխակերպումը չափազանց քիչ հավանական է:

Եկեք մի քանի խոշոր դոդոշ կտրատենք գուլաշի մեջ.

Առաջադրանք

Լուծել համակարգը գծային հավասարումներըստ Քրամերի բանաձեւերի

Լավ է, եթե դեռ չեք կարդացել: Կրամերի մեթոդը, այս դեպքում ուղղակի կարելի է տեսնել, թե ինչպես է նվազում «չորս չորսով» որոշիչի հերթականությունը։ Իսկ կանոնն ինքնին պարզ կդառնա, եթե մի փոքր խորանաք որոշման ընթացքի մեջ։

ՈրոշումՆախ հաշվարկեք հիմնական որոշիչհամակարգեր:

Ստանդարտ ճանապարհով կարելի է գնալ՝ ընդլայնելով տրված որոշիչը տողով կամ սյունակով։ Հիշելով առաջին դասի ալգորիթմը և օգտագործելով իմ հորինած նշանների մատրիցը, եկեք ընդլայնենք որոշիչը, օրինակ, «դասական» առաջին տողով.

Չեմ տեսնում քո էնտուզիազմը =) Իհարկե, կարող ես տասը րոպե նստել ու ուշադիր ու զգույշ ծնել ճիշտ պատասխանը։ Բայց խնդիրն այն է, որ ապագայում մենք պետք է հաշվարկենք չորրորդ կարգի ևս 4 որոշիչ։ Հետևաբար, միակ ողջամիտ ելքը որոշիչի կարգի իջեցումն է։

Որոշիչում կան բազմաթիվ միավորներ, և մեր խնդիրն է ընտրություն կատարել լավագույն միջոցը. Հիշում ենք ոսկե կանոնը՝ անընդմեջ (սյունակում) պետք է ավելի շատ զրոներ և ավելի քիչ թվեր լինեն: Այդ իսկ պատճառով երկրորդ շարքը կամ չորրորդ սյունակը բավականին հարմար է։ Չորրորդ սյունակն ավելի գրավիչ է թվում, ընդ որում՝ երկուսն են։ Որպես «թիրախ» ընտրեք տարրը.

Առաջին տողը չի փոխվի. Եվ երկրորդը նույնպես՝ արդեն անհրաժեշտ զրո կա.

Երրորդ շարքին ավելացրեք առաջին շարքը՝ բազմապատկած -1-ով (նայեք և հաշվեք ներքևից վեր):

! Կրկին ուշադրություն : Ոչ անհրաժեշտերրորդ տողից հանելառաջին տող. Մենք պարզապես ծալում ենք:

Արդյունքը գրված է երրորդ տողում.

Չորրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը, որը բազմապատկվում է 3-ով (նայեք և հաշվեք ներքևից վեր):

Արդյունքը չորրորդ տողում գրված է.

(1) Չորրորդ սյունակում ընդլայնել որոշիչը: Մի մոռացեք, որ տարրին պետք է ավելացնել «մինուս» (տե՛ս նշանների մատրիցը):

(2) Որոշիչի կարգը իջեցվում է 3-րդի: Սկզբունքորեն, այն կարող է քայքայվել շարքի (սյունակի), բայց ավելի լավ է մշակել որոշիչի հատկությունները: Երկրորդ տողում մուտքագրում ենք մինուս։

(3) Երկրորդ շարքին ավելացնում ենք 3-ով բազմապատկած առաջին շարքը: Երրորդ շարքին ավելացնում ենք 7-ով բազմապատկած առաջին շարքը:

(4) Մենք ընդլայնում ենք որոշիչը երկրորդ սյունակով, դրանով իսկ ավելի իջեցնելով դրա կարգը երկուսի:

Ուշադրություն դարձրեք, թե ինչպես է լուծումը կրճատվել: Հիմնական բանը տարրական վերափոխումների մի փոքր «ձեռքի տակ» լինելն է, և նման հնարավորությունը կհայտնվի հենց հիմա։ Բացի այդ, ձեր տրամադրության տակ կա հաշվիչ, որը հաշվում է որոշիչները (մասնավորապես, այն կարելի է գտնել էջում Մաթեմատիկական բանաձևեր և աղյուսակներ): Հաշվիչի օգնությամբ հեշտ է կառավարել կատարված գործողությունները։ Ստացա որոշիչ առաջին քայլին - և անմիջապես ստուգեց, թե արդյոք այն հավասար է սկզբնական որոշիչին:

(1) Ընդարձակեք որոշիչը երրորդ տողով: Որոշիչի կարգը կրճատվում է երեքի:

(2) Առաջին սյունակում մուտքագրեք «մինուս»:

(3) Երկրորդ շարքին ավելացնում ենք 3-ով բազմապատկած առաջին շարքը: Երրորդ շարքին ավելացնում ենք 5-ով բազմապատկած առաջին շարքը:

(4) Ընդարձակեք որոշիչը երկրորդ սյունակով՝ իջեցնելով որոշիչի կարգը երկուսի:

Մենք զարմանալի ենք դառնում համալիրճաշ, և ժամանակն է դեսերտ.

Դա արդեն նույնիսկ դոդոշ չէ, դա ինքը Գոդզիլան է: Վերցնենք պատրաստի մի բաժակ նարնջի հյութ և տեսնենք, թե ինչպես է նվազում որոշիչի հերթականությունը։ Ալգորիթմը, կարծում եմ, պարզ է՝ հինգերորդ կարգից այն իջեցնում ենք չորրորդ, չորրորդից երրորդ, իսկ երրորդից՝ երկրորդ.

(1) Առաջին, երրորդ, չորրորդ և հինգերորդ տողերին ավելացնել երկրորդ տողը:

(2) Ընդարձակի՛ր 3-րդ սյունակի որոշիչը: Որոշիչի հերթականությունն իջել է չորսի։

(3) 4-րդ սյունակից հանում ենք 2-ը, առաջին շարքը բազմապատկում ենք -1-ով, և որպեսզի որոշիչը չփոխվի, դիմացը դնում ենք «մինուս»: Այս փոխակերպումըիրականացվել է հետագա հաշվարկները պարզեցնելու նպատակով:

(4) Առաջին տողը ավելացրեք երկրորդ և երրորդ տողերին: Չորրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը, որը բազմապատկվում է 3-ով:

(5) Ընդարձակի՛ր 4-րդ սյունակի որոշիչը: Պատվերը իջեցվել է երեքի:

(6) Ընդարձակի՛ր 2-րդ սյունակի որոշիչը: Պատվերը իջեցվել է երկուսի:

(7) 1-ին սյունակից հանում ենք «մինուսը»:

Ամեն ինչ պարզվեց ավելի հեշտ, քան թվում էր, բոլոր հրեշներն ունեն թույլ կողմեր:

Անխոնջ ընթերցողները կարող են փորձել լուծել հինգերորդ կարգի որոշիչն այլ կերպ, բարեբախտաբար, դրա մեջ շատ միավորներ կան:

Առաջին սյունակում ավելացվել է 2-ով բազմապատկած երկրորդ սյունակը, իսկ երրորդ սյունակը ավելացվել է երկրորդ սյունակը: Երկրորդ գծի վրա բացվեց որոշիչը։

Իջեցրե՛ք որոշիչի կարգը՝ երկրորդ սյունակում ստանալով զրոներ.

Առաջին տողին ավելացվեց երկրորդ տողը՝ բազմապատկելով -2-ով։ Երկրորդ շարքը, բազմապատկած 2-ով, ավելացվել է երրորդ շարքին, որոշիչը բացվել է ըստ երկրորդ սյունակի։

Առաջադրանք 5: Որոշում:


(1) Առաջին շարքին ավելացնում ենք 3-ով բազմապատկած երրորդ շարքը: Երկրորդ շարքին ավելացնում ենք 5-ով բազմապատկած երրորդ շարքը: 4-րդ շարքին ավելացնում ենք 2-ով բազմապատկած երրորդ շարքը:
(2) Ընդարձակեք որոշիչը առաջին սյունակով:
(3) Երկրորդ սյունակում ավելացրեք երրորդ սյունակը բազմապատկված 9-ով: Առաջին սյունակում ավելացրեք երրորդ սյունակը:
(4) Ընդարձակեք որոշիչը երրորդ տողով:

(1) Առաջին սյունակում ավելացրեք երկրորդ սյունակը: Երկրորդ սյունակը ավելացրեք երրորդ սյունակին
(2) Ընդարձակեք որոշիչը երրորդ տողով:
(3) Առաջին տողում մուտքագրեք «մինուս»:
(4) Երկրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկված 6-ով: Երրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը
(5) Ընդարձակեք որոշիչն առաջին սյունակով:

Ընդհանուր դեպքում $n$-րդ կարգի որոշիչները հաշվարկելու կանոնը բավականին դժվար է: Երկրորդ և երրորդ կարգի որոշիչների համար կան դրանք հաշվարկելու ռացիոնալ եղանակներ:

Երկրորդ կարգի որոշիչների հաշվարկներ

Երկրորդ կարգի մատրիցայի որոշիչը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է հիմնական անկյունագծի տարրերի արտադրյալից հանել երկրորդական անկյունագծի տարրերի արտադրյալը.

$$\ մնացել| \սկիզբ(զանգված)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\վերջ(զանգված)\աջ|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$

Օրինակ

Զորավարժություններ.Հաշվեք երկրորդ կարգի որոշիչ $\left| \ սկիզբ(զանգված)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\վերջ(զանգված)\աջ|$

Որոշում.$\ձախ| \սկիզբ(զանգված)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\վերջ(զանգված)\աջ|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14 =69$

Պատասխանել.$\ձախ| \սկիզբ(զանգված)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\վերջ(զանգված)\աջ|=69$

Երրորդ կարգի որոշիչները հաշվարկելու մեթոդներ

Կան երրորդ կարգի որոշիչները հաշվարկելու կանոններ:

եռանկյունի կանոն

Սխեմատիկորեն այս կանոնը կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

Առաջին որոշիչի այն տարրերի արտադրյալը, որոնք միացված են գծերով, վերցվում է գումարած նշանով. նմանապես, երկրորդ որոշիչի համար համապատասխան արտադրյալները վերցվում են մինուս նշանով, այսինքն.

$$\ մնացել| \սկիզբ(զանգված)(ccc)(a_(11)) & (a_(12)) & (a_(13)) \\ (a_(21)) & (a_(22)) & (a_(23)) \\ (a_(31)) & (a_(32)) & (a_(33))\վերջ (զանգված)\right|=a_(11) a_(22) a_(33)+a_(12) a_( 23) a_(31)+a_(13) a_(21) a_(32)-$$

$$-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)-a_(13) a_(22) a_(31)$$

Օրինակ

Զորավարժություններ.Հաշվեք $\ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\վերջ (զանգված)\right|$ եռանկյունու մեթոդով:

Որոշում.$\ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\վերջ (զանգված)\աջ|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

Պատասխանել.

Սարուսի կանոն

Որոշիչի աջ կողմում ավելացվում են առաջին երկու սյունակները, և հիմնական անկյունագծի և դրան զուգահեռ անկյունագծերի տարրերի արտադրյալները վերցվում են գումարած նշանով. իսկ երկրորդական շեղանկյունի և դրան զուգահեռ շեղանկյունների տարրերի արտադրյալները՝ մինուս նշանով.

$$-a_(13) a_(22) a_(31)-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)$$

Օրինակ

Զորավարժություններ.Հաշվեք $\ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\վերջ (զանգված)\right|$ օգտագործելով Sarrus կանոնը:

Որոշում.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)= 54 $ $

Պատասխանել.$\ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\վերջ (զանգված)\աջ|=54$

Որոշիչի տողի կամ սյունակի ընդլայնում

Որոշիչը հավասար է որոշիչի շարքի տարրերի և դրանց հանրահաշվական լրացումների արտադրյալների գումարին։ Սովորաբար ընտրեք այն տողը/սյունակը, որում/րդում կան զրոներ: Այն տողը կամ սյունը, որի վրա կատարվում է տարրալուծումը, կնշվի սլաքով:

Օրինակ

Զորավարժություններ.Ընդլայնվելով առաջին տողի վրա՝ հաշվարկեք $\left| որոշիչը \ սկիզբ (զանգված) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\ վերջ (զանգված) \իրավունք|$

Որոշում.$\ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\ վերջ (զանգված) \ճիշտ| \lefttarrow=a_(11) \cdot A_(11)+a_(12) \cdot A_(12)+a_(13) \cdot A_(13)=$

$1 \cdot(-1)^(1+1) \cdot \ձախ| \սկիզբ(զանգված)(cc)(5) & (6) \\ (8) & (9)\վերջ(զանգված)\աջ|+2 \cdot(-1)^(1+2) \cdot \ձախ | \սկիզբ(զանգված)(cc)(4) & (6) \\ (7) & (9)\վերջ(զանգված)\աջ|+3 \cdot(-1)^(1+3) \cdot \ձախ | \սկիզբ(զանգված)(cc)(4) & (5) \\ (7) & (8)\վերջ(զանգված)\աջ|=-3+12-9=0$

Պատասխանել.

Այս մեթոդը թույլ է տալիս որոշիչի հաշվարկը կրճատել ավելի ցածր կարգի որոշիչի հաշվարկի:

Օրինակ

Զորավարժություններ.Հաշվեք $\ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\ վերջ (զանգված) \իրավունք|$

Որոշում.Որոշիչի տողերի վրա կատարենք հետևյալ փոխակերպումները՝ երկրորդ շարքից հանում ենք առաջին չորսը, իսկ երրորդից առաջին շարքը՝ բազմապատկելով յոթով, արդյունքում, ըստ որոշիչի հատկությունների, ստանում ենք որոշիչ։ տրվածին հավասար։

$$\ մնացել| \ սկիզբ (զանգված) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\վերջ (զանգված) \աջ|=\ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (4-4 \cdot 1) & (5-4 \cdot 2) & (6-4 \cdot 3) \\ ( 7-7 \cdot 1) & (8-7 \cdot 2) & (9-7 \cdot 3)\ end (array)\ right|=$$

$$=\ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (rrr) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12)\ վերջ(զանգված)\աջ|=\ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \cdot (-3)) & (2 \cdot(-6))\վերջ (զանգված)\աջ|=0$$

Որոշիչը զրո է, քանի որ երկրորդ և երրորդ շարքերը համաչափ են:

Պատասխանել.$\ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\ վերջ (զանգված) \իրավունք|=0$

Չորրորդ և ավելի բարձր կարգի որոշիչները հաշվարկելու համար օգտագործվում է կա՛մ տող/սյունակի ընդլայնում, կա՛մ կրճատում մինչև եռանկյուն ձևի, կա՛մ օգտագործելով Լապլասի թեորեմը:

Որոշիչի տարրալուծումը տողի կամ սյունակի տարրերով

Օրինակ

Զորավարժություններ.Հաշվեք $\ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (llll) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|$ , այն ընդլայնելով որոշ տողի կամ սյունակի տարրերի մեջ:

Որոշում.Եկեք նախ կատարենք տարրական փոխակերպումներ որոշիչի տողերի վրա՝ հնարավորինս շատ զրոներ կազմելով տողում կամ սյունակում: Դա անելու համար նախ առաջին տողից հանում ենք ինը երրորդ, երկրորդից հինգ երրորդ, իսկ չորրորդից երեք երրորդ, ստանում ենք.

$$\ մնացել| \ սկիզբ (զանգված) (cccc) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\վերջ (զանգված)\աջ|=\ձախ| \սկիզբ(զանգված)(cccc)(9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\վերջ (զանգված)\աջ|=\ ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (rrrr) (0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\վերջ (զանգված)\աջ|$$

Մենք ընդլայնում ենք ստացված որոշիչը առաջին սյունակի տարրերով.

$$\ մնացել| \ սկիզբ (զանգված) (rrrr) (0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\վերջ (զանգված)\աջ|=0+0+1 \cdot(-1)^( 3+1) \cdot \ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (rrr) (8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ վերջ(զանգված)\աջ|+0$$

Ստացված երրորդ կարգի որոշիչն ընդլայնվում է նաև տողի և սյունակի տարրերով՝ նախկինում ձեռք բերելով զրոներ, օրինակ՝ առաջին սյունակում։ Դա անելու համար մենք առաջին տողից հանում ենք երկու երկրորդ տող, իսկ երրորդից երկրորդը.

$$\ մնացել| \ սկիզբ (զանգված) (rrr) (8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ վերջ(զանգված)\աջ|=\ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (rrr) (0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8)\ վերջ ( զանգված)\աջ|=4 \cdot(-1)^(2+2) \cdot \ձախ| \սկիզբ(զանգված)(ll)(2) & (4) \\ (4) & (8)\վերջ(զանգված)\աջ|=$$

$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$

Պատասխանել.$\ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (cccc) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\վերջ (զանգված)\աջ|=0$

Մեկնաբանություն

Վերջին և նախավերջին որոշիչները չեն կարող հաշվարկվել, բայց անմիջապես եզրակացնել, որ դրանք հավասար են զրոյի, քանի որ դրանք պարունակում են համամասնական տողեր:

Որոշիչը եռանկյունի ձևի բերելը

Տողերի կամ սյունակների վրա տարրական փոխակերպումների օգնությամբ որոշիչը վերածվում է եռանկյունաձև ձևի, այնուհետև նրա արժեքը, ըստ որոշիչի հատկությունների, հավասար է հիմնական անկյունագծի տարրերի արտադրյալին:

Օրինակ

Զորավարժություններ.Հաշվեք $\Delta=\left| որոշիչը \ սկիզբ (զանգված) (rrrr) (-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|$ բերելով այն եռանկյունաձև ձևի:

Որոշում.Նախ, մենք առաջին սյունակում զրոներ ենք կազմում հիմնական անկյունագծի տակ: Բոլոր փոխակերպումները ավելի հեշտ կլինեն կատարել, եթե $a_(11)$ տարրը հավասար է 1-ի: Դա անելու համար մենք փոխում ենք որոշիչի առաջին և երկրորդ սյունակները, որոնք, ըստ որոշիչի հատկությունների, կհանգեցնեն նրան. փոխել նշանը հակառակը.

$$\Delta=\ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (rrrr) (-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\վերջ (զանգված)\աջ|=-\ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3)\վերջ (զանգված)\աջ|$$

$$\Delta=-\ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\վերջ (զանգված)\աջ|$$

Հաջորդը, մենք երկրորդ սյունակում ստանում ենք զրոներ՝ հիմնական անկյունագծի տակ գտնվող տարրերի փոխարեն: Եվ կրկին, եթե անկյունագծային տարրը հավասար է $\pm 1$-ի, ապա հաշվարկներն ավելի պարզ կլինեն։ Դա անելու համար մենք փոխում ենք երկրորդ և երրորդ տողերը (և միևնույն ժամանակ փոխում ենք որոշիչի հակառակ նշանին).

$$\Delta=\ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\վերջ (զանգված)\աջ|$$

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆ 1. Որոշիչի արժեքը չի փոխվի, եթե նրա բոլոր տողերը փոխարինվեն սյունակներով, և յուրաքանչյուր տող փոխարինվի նույն թվով սյունակով, այսինքն.

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆ 2. Որոշիչի երկու սյունակ կամ երկու տող փոխելը համարժեք է այն -1-ով բազմապատկելուն: Օրինակ,

.

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆ 3. Եթե որոշիչն ունի երկու նույնական սյունակ կամ երկու նույնական տող, ապա այն հավասար է զրոյի։

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆ 4. Մեկ սյունակի կամ որոշիչի մեկ տողի բոլոր տարրերը ցանկացած k թվով բազմապատկելը համարժեք է որոշիչն այս k թվով բազմապատկելուն: Օրինակ,

.

ՀԱՏՈՒԿՈՒԹՅՈՒՆ 5. Եթե որոշ սյունակի կամ տողի բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի, ապա որոշիչն ինքնին հավասար է զրոյի։ Այս գույքն է հատուկ դեպքնախորդը (k=0-ի համար):

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆ 6. Եթե երկու սյունակի կամ որոշիչի երկու տողերի համապատասխան տարրերը համաչափ են, ապա որոշիչը հավասար է զրոյի։

ՀԱՏՈՒԿՈՒԹՅՈՒՆ 7. Եթե որոշիչի n-րդ սյունակի կամ n-րդ տողի յուրաքանչյուր տարր երկու անդամի գումար է, ապա որոշիչը կարող է ներկայացվել որպես երկու որոշիչի գումար, որոնցից մեկը n-րդ սյունակում կամ, համապատասխանաբար, n-րդում։ շարքում նշված տերմիններից առաջինն է, իսկ մյուսը՝ երկրորդը. Մնացած վայրերում տարրերը նույնն են երեք որոշիչների նշաձողերի համար: Օրինակ,

ՀԱՏՈՒԿՈՒԹՅՈՒՆ 8. Եթե ինչ-որ սյունակի (կամ տողի) տարրերին ավելացնենք մեկ այլ սյունակի (կամ մեկ այլ տողի) համապատասխան տարրերը՝ բազմապատկված որևէ ընդհանուր գործակցով, ապա որոշիչի արժեքը չի փոխվի։ Օրինակ,

.

Որոշիչների հետագա հատկությունները կապված են հանրահաշվական լրացման և մինորի հասկացության հետ։ Որոշ տարրի մինորը այն որոշիչն է, որը ստացվում է տվյալից՝ ջնջելով այն տողը և սյունակը, որոնց հատման կետում գտնվում է այս տարրը։

Որոշիչի ցանկացած տարրի հանրահաշվական լրացումը հավասար է այս տարրի մինորին` վերցված իր նշանով, եթե տողի և սյունակի թվերի գումարը, որոնց հատման կետում գտնվում է տարրը, զույգ թիվ է, իսկ հակառակը. ստորագրեք, եթե այս թիվը կենտ է:

Տարրի հանրահաշվական լրացումը կնշանակենք համանուն մեծատառով և նույն թվով, ինչ այն տառը, որը նշանակում է հենց տարրը։

ՍԵՓԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ 9. Որոշիչ

հավասար է ցանկացած սյունակի (կամ տողի) տարրերի և դրանց հանրահաշվական լրացումների արտադրյալների գումարին։

Այլ կերպ ասած, հետևյալ հավասարությունները պահպանվում են.

, ,

, .

6) Փոքր և հանրահաշվական լրացումներ.

Սահմանում. Որոշիչի փոքր տարրը th պատվերկանչեց որոշիչ-րդ կարգը, որը ստացվում է տրվածից որոշիչջնջելով -րդ տողը և -րդ սյունակը, որոնց հատման կետում գտնվում է տարրը:

Նշանակում՝ .

Սահմանում. --րդ կարգի որոշիչի տարրի հանրահաշվական լրացումը նրա մինորն է՝ վերցված գումարած նշանով, եթե՝ զույգ, իսկ հակառակ դեպքում՝ մինուս նշանով:

Նշանակում՝ .

Թեորեմ. (որոշիչի ընդլայնման մասին):

Որոշիչը հավասար է որոշիչի ցանկացած տողի (կամ սյունակի) տարրերի և դրանց հանրահաշվական լրացումների արտադրյալների գումարին.

7) Հակադարձ մատրիցա- այդպիսին մատրիցա Ա −1 , որով բազմապատկվում է սկզբնական մատրիցը Աարդյունքում տալիս է ինքնության մատրիցա Ե:

քառակուսի մատրիցաշրջելի է, եթե և միայն եթե այն ոչ այլասերված է, այսինքն՝ իր որոշիչհավասար չէ զրոյի. Ոչ քառակուսի մատրիցների համար և այլասերված մատրիցներհակադարձ մատրիցներ գոյություն չունեն: Այնուամենայնիվ, կարելի է ընդհանրացնել այս հայեցակարգը և ներկայացնել կեղծ հակադարձ մատրիցներ, շատ հատկություններով նման է հակադարձներին:

8)Մատրիցային դասակարգում- ամենաբարձր կարգը անչափահասներայս մատրիցը, ոչ զրոյական

Սովորաբար մատրիցայի աստիճանը նշվում է () կամ . Երկու նշանակումներն էլ մեզ են հասել օտար լեզուներից, և, հետևաբար, երկուսն էլ կարող են օգտագործվել:

Հատկություններ

Թեորեմ (մինորի հիման վրա). Թող r = A M տիրույթը լինի A մատրիցի հիմնական մինորը, ապա.

հիմնական տողերը և հիմնական սյունակները գծային անկախ են.

A մատրիցի ցանկացած տող (սյունակ) հիմնական տողերի (սյունակների) գծային համակցություն է:

Այստեղ կնշվեն այն հատկությունները, որոնք սովորաբար օգտագործվում են բարձրագույն մաթեմատիկայի ստանդարտ դասընթացում որոշիչները հաշվարկելու համար: Սա երկրորդական թեմա է, որին ըստ անհրաժեշտության կանդրադառնանք մնացած բաժիններից։

Այսպիսով, տրված է ինչ-որ քառակուսի մատրից $A_(n\times n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \end( զանգված )\ճիշտ)$. Յուրաքանչյուր քառակուսի մատրից ունի մի հատկանիշ, որը կոչվում է որոշիչ (կամ որոշիչ): Ես այստեղ չեմ խորանա այս հայեցակարգի էության մեջ: Եթե ​​պարզաբանում է պահանջում, ապա խնդրում եմ դրա մասին գրեք ֆորումում, ես կանդրադառնամ այս հարցըավելի մանրամասն.

$A$ մատրիցայի որոշիչը նշվում է որպես $\Delta A$, $|A|$ կամ $\det A$: Որոշիչ կարգհավասար է դրանում գտնվող տողերի (սյուների) թվին։

1. Որոշիչի արժեքը չի փոխվի, եթե նրա տողերը փոխարինվեն համապատասխան սյունակներով, այսինքն. $\Delta A=\Delta A^T$.

   ցույց տալ/թաքցնել

   Նրա մեջ գտնվող տողերը փոխարինենք սյունակներով՝ «եղավ առաջին տողը - դարձավ առաջին սյունակը», «կար երկրորդ տող - դարձավ երկրորդ սյունակը».

   Եկեք հաշվարկենք ստացված որոշիչը՝ $\left| \սկիզբ (զանգված) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \վերջ (զանգված) \աջ|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$: Ինչպես տեսնում եք, որոշիչի արժեքը չի փոխվել փոխարինումից:

2. Եթե ​​դուք փոխում եք որոշիչի երկու տող (սյունակ), ապա որոշիչի նշանը կփոխվի հակառակի:

   Այս հատկության օգտագործման օրինակ՝ show\hide

   Դիտարկենք $\ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end (զանգված) \աջ|$. Գտնենք դրա արժեքը՝ օգտագործելով թիվ 1 բանաձևը՝ երկրորդ և երրորդ կարգի որոշիչների հաշվարկի թեմայից.

   $$\ մնացել| \սկիզբ (զանգված) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \վերջ (զանգված) \աջ|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$

   Հիմա եկեք փոխենք առաջին և երկրորդ տողերը: Ստացեք $\left| որոշիչը \ սկիզբ (զանգված) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end (զանգված) \աջ|$. Եկեք հաշվարկենք ստացված որոշիչը՝ $\left| \սկիզբ (զանգված) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Այսպիսով, սկզբնական որոշիչի արժեքը եղել է (-37), իսկ տողի փոփոխված կարգով որոշիչի արժեքը $-(-37)=37$ է: Որոշիչի նշանը փոխվել է հակառակի։

3. Որոշիչը, որում տողի (սյունակի) բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի, հավասար է զրոյի:

   Այս հատկության օգտագործման օրինակ՝ show\hide

   Քանի որ $\ձախ| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ երրորդ սյունակի բոլոր տարրերը զրո են, այնուհետև որոշիչը զրո է, այսինքն. $\ձախ| \սկիզբ (զանգված) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \վերջ (զանգված) \աջ|=0$:

4. Որոշիչը, որում որոշակի տողի (սյունակի) բոլոր տարրերը հավասար են մեկ այլ տողի (սյունակի) համապատասխան տարրերին, հավասար է զրոյի:

   Այս հատկության օգտագործման օրինակ՝ show\hide

   Քանի որ $\ձախ| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|$ առաջին շարքի բոլոր տարրերը հավասար են համապատասխանին երկրորդ շարքի տարրերը, ապա որոշիչը զրո է, այսինքն. $\ձախ| \սկիզբ (զանգված) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \վերջ (զանգված) \աջ|=0$:

5. Եթե ​​որոշիչում մի շարքի (սյունակի) բոլոր տարրերը համաչափ են մյուս տողի (սյունակի) համապատասխան տարրերին, ապա այդպիսի որոշիչը հավասար է զրոյի։

   Այս հատկության օգտագործման օրինակ՝ show\hide

   Քանի որ $\ձախ| \begin(array) (cc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|$ երկրորդ և երրորդ տողերը համաչափ են, այսինքն. $r_3=-3\cdot(r_2)$, ապա որոշիչը հավասար է զրոյի, այսինքն. $\ձախ| \սկիզբ (զանգված) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \վերջ (զանգված) \աջ|=0$:

6. Եթե ​​շարքի (սյունակի) բոլոր տարրերն ունեն ընդհանուր գործակից, ապա այդ գործոնը կարելի է հանել որոշիչի նշանից։

   Այս հատկության օգտագործման օրինակ՝ show\hide

   Դիտարկենք $\ձախ| \սկիզբ (զանգված) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end (զանգված) \աջ|$. Նշենք, որ երկրորդ շարքի բոլոր տարրերը բաժանվում են 3-ի.

   $$\ մնացել| \սկիզբ(զանգված) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \վերջ (զանգված) \աջ|=\ձախ| \սկիզբ (զանգված) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \վերջ (զանգված) \աջ|$$

   Թիվ 3-ը երկրորդ շարքի բոլոր տարրերի ընդհանուր գործակիցն է: Եռյակը հանենք որոշիչ նշանից.

   $$ \ձախ| \սկիզբ(զանգված) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \վերջ (զանգված) \աջ|=\ձախ| \սկիզբ (զանգված) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \աջ|= 3\cdot \ձախ| \սկիզբ (զանգված) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \վերջ (զանգված) \աջ| $$

7. Որոշիչը չի փոխվում, եթե որոշակի տողի (սյունակի) բոլոր տարրերը գումարվում են մեկ այլ տողի (սյունակի) համապատասխան տարրերին՝ բազմապատկելով կամայական թվով։

   Այս հատկության օգտագործման օրինակ՝ show\hide

   Դիտարկենք $\ձախ| \սկիզբ (զանգված) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \վերջ (զանգված) \աջ|$. Երկրորդ տողի տարրերին գումարենք երրորդ տողի համապատասխան էլեմենտները՝ բազմապատկելով 5-ով։ Այս գործողությունը գրի՛ր հետևյալ կերպ՝ $r_2+5\cdot(r_3)$։ Երկրորդ տողը կփոխվի, մնացած տողերը կմնան անփոփոխ։

   $$ \ձախ| \սկիզբ (զանգված) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \վերջ (զանգված) \աջ| \սկիզբ(զանգված) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \ձախ| \սկիզբ (զանգված) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (զանգված) \աջ|= \ձախ| \սկիզբ (զանգված) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \վերջ (զանգված) \աջ|. $$

8. Եթե ​​որոշիչում որոշակի տող (սյունակ) այլ տողերի (սյունակների) գծային համակցություն է, ապա որոշիչը հավասար է զրոյի։

   Այս հատկության օգտագործման օրինակ՝ show\hide

   Անմիջապես կբացատրեմ, թե ինչ է նշանակում «գծային համակցություն» արտահայտությունը։ Թող ունենանք s տողեր (կամ սյունակներ)՝ $A_1$, $A_2$,..., $A_s$: Արտահայտություն

   $$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

   որտեղ $k_i\ R$-ում կոչվում է տողերի (սյունակների) գծային համակցություն $A_1$, $A_2$,..., $A_s$:

   Օրինակ, հաշվի առեք հետևյալ որոշիչը.

   $$ \ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \վերջ (զանգված)\աջ| $$

   Այս որոշիչում չորրորդ շարքը կարող է արտահայտվել որպես առաջին երեք տողերի գծային համակցություն.

   $$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$

   Հետևաբար, դիտարկվող որոշիչը հավասար է զրոյի։

9. Եթե ​​որոշիչի որոշակի k-րդ շարքի (k-րդ սյունակի) յուրաքանչյուր տարր հավասար է երկու անդամի գումարին, ապա այդպիսի որոշիչը հավասար է որոշիչների գումարին, որոնցից առաջինը k-ում ունի. րդ շարքը ( k-րդ սյունակ) ունեն առաջին անդամները, իսկ k-րդ շարքի երկրորդ որոշիչը (kth սյունակ) ունի երկրորդ անդամները: Այս որոշիչների մյուս տարրերը նույնն են:

   Այս հատկության օգտագործման օրինակ՝ show\hide

   Դիտարկենք $\ձախ| \սկիզբ (զանգված) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \վերջ (զանգված) \աջ|$. Երկրորդ սյունակի տարրերը գրենք այսպես՝ $\left| \սկիզբ (զանգված) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \վերջ (զանգված) \աջ|$. Ապա այդպիսի որոշիչը հավասար է երկու որոշիչների գումարին.

   $$ \ձախ| \սկիզբ (զանգված) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \աջ|= \ձախ| \սկիզբ (զանգված) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \վերջ (զանգված) \աջ|= \ձախ| \սկիզբ(զանգված) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(array) \աջ|+ \ձախ| \սկիզբ(զանգված) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \վերջ (զանգված) \աջ| $$

10. Նույն կարգի երկու քառակուսի մատրիցների արտադրյալի որոշիչը հավասար է այս մատրիցների որոշիչների արտադրյալին, այսինքն. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Այս կանոնից կարող եք ստանալ հետևյալ բանաձևը՝ $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$։
11. Եթե ​​$A$ մատրիցը ոչ եզակի է (այսինքն նրա որոշիչը հավասար չէ զրոյի), ապա $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$։

Դետերմինանտների հաշվարկման բանաձևեր

Երկրորդ և երրորդ կարգի որոշիչների համար ճշմարիտ են հետևյալ բանաձևերը.

\սկիզբ(հավասարում) \Դելտա A=\ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \վերջ (զանգված) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \վերջ (հավասարում) \սկիզբ (հավասարում) \սկիզբ (հավասարեցված) & \Դելտա A=\ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \վերջ (զանգված) \աջ|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21) )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33) )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11) \վերջ (հավասարեցված) \վերջ (հավասարում)

(1) և (2) բանաձևերի կիրառման օրինակները գտնվում են «Երկրորդ և երրորդ կարգի որոշիչների հաշվարկման բանաձևեր. որոշիչների հաշվարկման օրինակներ» թեմայում:

$A_(n\times n)$ մատրիցի որոշիչը կարող է ընդլայնվել ըստ i-րդ ​​տողօգտագործելով հետևյալ բանաձևը.

\սկիզբ(հավասարում)\Դելտա A=\գումար\սահմաններ_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \վերջ (հավասարում)

Այս բանաձևի անալոգը գոյություն ունի նաև սյունակների համար: j-րդ սյունակում որոշիչի ընդլայնման բանաձևը հետևյալն է.

\սկիզբ(հավասարում)\Դելտա A=\գումար\սահմաններ_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \վերջ (հավասարում)

(3) և (4) բանաձևերով արտահայտված կանոնները մանրամասն ներկայացված են օրինակներով և բացատրվում են որոշիչի հերթականության նվազեցում թեմայում։ Որոշիչի տարրալուծումը անընդմեջ (սյունակ):

Մենք նշում ենք ևս մեկ բանաձև՝ վերին և ստորին եռանկյունաձև մատրիցների որոշիչները հաշվարկելու համար (այս տերմինների բացատրությունը տե՛ս «Մատրիցներ. Մատրիցների տեսակները. Հիմնական տերմիններ» թեման): Նման մատրիցայի որոշիչը հավասար է հիմնական անկյունագծի տարրերի արտադրյալին: Օրինակներ.

\սկիզբ (հավասարեցված) &\ձախ| \սկիզբ (զանգված) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \\end (զանգված) \աջ|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\ձախ| \սկիզբ (զանգված) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \\վերջ (զանգված) \ ճիշտ|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \վերջ (հավասարեցված)