Պայմանական ծայրահեղության որոշման մեթոդը սկսվում է Լագրանժի օժանդակ ֆունկցիայի կառուցմամբ, որն իրագործելի լուծումների շրջանում հասնում է առավելագույնի փոփոխականների նույն արժեքների համար x 1 , x 2 , ..., x n որպես օբյեկտիվ գործառույթ զ ... Թող լուծվի ֆունկցիայի պայմանական ծայրահեղության որոշման խնդիրը z = f (X) սահմանափակումներով φ ես ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, ես = 1, 2, ..., մ , մ < n

Եկեք կազմենք գործառույթը

որը կոչվում է Լագրանժի գործառույթը. X , - հաստատուն գործոններ ( Լագրանժի բազմապատկիչներ): Նշենք, որ Լագրանժի բազմապատկիչներին կարելի է տալ տնտեսական նշանակություն: Եթե f (x 1 , x 2 , ..., x n ) - պլանին համապատասխան եկամուտ X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) և գործառույթը φ ես (x 1 , x 2 , ..., x n ) - այս պլանին համապատասխանող i-րդ ռեսուրսի ծախսերը, ապա X , i-րդ ռեսուրսի գինն է (նախահաշիվը), որը բնութագրում է օբյեկտիվ գործառույթի ծայրահեղ արժեքի փոփոխությունը `կախված i-րդ ռեսուրսի չափի փոփոխությունից (սահմանային գնահատական): L (X) - գործառույթը n + մ փոփոխականներ (x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) ... Այս ֆունկցիայի ստացիոնար կետերի որոշումը հանգեցնում է հավասարումների համակարգի լուծմանը

Դա հեշտ է տեսնել ... Այսպիսով, ֆունկցիայի պայմանական ծայրահեղությունը գտնելու խնդիրը z = f (X) կրճատվում է ֆունկցիայի տեղական ծայրահեղությունը գտնելու համար L (X) ... Եթե ​​ստացիոնար կետ է հայտնաբերվում, ապա ամենապարզ դեպքերում ծայրահեղության առկայության հարցը լուծվում է ծայրահեղության համար բավարար պայմանների հիման վրա `երկրորդ դիֆերենցիալի նշանի հետաքննություն դ 2 L (X) ստացիոնար կետում, պայմանով, որ փոփոխականն ավելանում է Δx ես - փոխկապակցված են հարաբերություններով

ստացված կապի հավասարումները տարբերակելով:

Երկու անհայտի մեջ ոչ գծային հավասարումների համակարգի լուծում ՝ գտնելով լուծման գործիքը

Անհատականացում Լուծում գտնելըթույլ է տալիս գտնել երկու անհայտ ունեցող ոչ գծային հավասարումների համակարգի լուծում.

որտեղ
- փոփոխականների ոչ գծային գործառույթ x եւ յ ,
կամայական հաստատուն է:

Հայտնի է, որ զույգը ( x , յ ) հավասարումների համակարգի լուծում է (10), եթե և միայն այն դեպքում, երբ լուծում է երկու անհայտ ունեցող հետևյալ հավասարման.

ՀԵՏՄյուս կողմից, համակարգի լուծումը (10) երկու կորերի հատման կետերն են. զ ] (x, յ) = Գ եւ զ 2 (x, y) = C 2 մակերեսի վրա ԱԱՅ.

Սա ենթադրում է համակարգի արմատները գտնելու մեթոդ: ոչ գծային հավասարումներ.

Որոշեք (առնվազն մոտավորապես) հավասարումների համակարգին (10) կամ հավասարման (11) լուծման գոյության միջակայքը: Այստեղ անհրաժեշտ է հաշվի առնել համակարգում ընդգրկված հավասարումների ձևը, դրանցից յուրաքանչյուրի հավասարումների սահմանման տիրույթը և այլն: Երբեմն օգտագործվում է լուծման նախնական մոտարկման ընտրությունը.

Ընտրված միջակայքի վրա x և y փոփոխականների աղյուսակի լուծումը (11) կամ կառուցել գործառույթների գրաֆիկներ զ 1 (x, յ) = C և զ 2 (x, y) = C 2 (համակարգ (10)):

Տեղայնացրեք հավասարումների համակարգի ենթադրյալ արմատները. Գտեք հավասարման արմատները (11) աղյուսակից մի քանի նվազագույն արժեքներ կամ որոշեք համակարգում ընդգրկված կորերի հատման կետերը (10):

4. Գտեք հավասարումների համակարգի արմատները (10) `օգտագործելով հավելումը Որոնեք լուծում:

Մաթեմատիկական ծրագրավորման խնդիրների դասակարգում

PROՐԱԳՐԱՎՈՐՈՄ

ՈՉ ՈLIN ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈVՄԱՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐ

Անվտանգության հարցեր 4 -րդ բաժնի համար

Տրանսպորտային խնդիրների լուծման սխեմա

Թվարկենք տրանսպորտային խնդրի լուծման հիմնական փուլերը:

1. Ստուգեք փակ վիճակը: Եթե ​​առաջադրանքը բաց է, տրանսպորտային աղյուսակը լրացվում է կամ սպառված սպառման կետի սյունակով կամ մատակարարների մտացածին տողով:

2. Կառուցեք տեղեկատու ծրագիր:

3. Ստուգեք տեղեկամատյան ոչ դեգեներացիայի համար: Եթե ​​չբավարարված բջիջը բավարար չէ ոչ սերունդային պայմանը բավարարելու համար, տրանսպորտային սեղանի բջիջներից մեկը լցված է զրոյին հավասար առաքմամբ: Անհրաժեշտության դեպքում թույլատրելի է մի քանի խցերում գրանցել զրո առաքումներ:

4. Theրագիրը ստուգվում է օպտիմալության համար:

5. Եթե օպտիմալության պայմանները չեն համապատասխանում, անցեք հաջորդ ծրագրին `մատակարարումների վերաբաշխմամբ: Հաշվարկային գործընթացը կրկնվում է մինչև օպտիմալ պլանի ձեռքբերումը:

1. Ո՞րն է օբյեկտիվ գործառույթի նշանակությունը տրանսպորտի խնդրի մաթեմատիկական մոդելում:

2. Ո՞րն է սահմանափակումների իմաստը տրանսպորտի խնդրի մաթեմատիկական մոդելում:

3. Հնարավո՞ր է ներուժի մեթոդը կիրառել բաց (ոչ փակ) տրանսպորտային խնդրի լուծման համար:

4. Ի՞նչ փոփոխություններ պետք է կատարվեն սկզբնական տրանսպորտի սեղանի վրա, որպեսզի խնդիրը լուծվի պոտենցիալ մեթոդով:

5. Ո՞րն է նվազագույն տարրերի մեթոդի էությունը: Տրանսպորտային խնդրի լուծման ո՞ր փուլը կավարտվի այս մեթոդի կիրառման արդյունքում:

6. Ինչպե՞ս գիտեք, որ փոխադրման ծրագիրն օպտիմալ է:

7. Ե՞րբ և ինչպե՞ս է անհրաժեշտ մատակարարումների վերաբաշխում փոխադրումների առումով:

8. Ենթադրենք կառուցված տրանսպորտային ծրագիրը այլասերված է: Հնարավո՞ր է շարունակել խնդրի լուծումը պոտենցիալների մեթոդով և ի՞նչ պետք է անել դրա համար:

Մաթեմատիկական ծրագրավորման ընդհանուր խնդիրը ձևակերպված է 1.1 բաժնում: Կախված (1.1) - (1.3) մոդելում ներառված գործառույթների տեսակից, խնդիրը վերաբերում է մաթեմատիկական ծրագրավորման այս կամ այն ​​տեսակին: Տարբերակել գծային ծրագրավորման (բոլոր գործառույթները գծային են), ամբողջական (լուծումը ներկայացված է ամբողջ թվերով), քառակուսային (օբյեկտիվ գործառույթը քառակուսի ձև է), ոչ գծային (խնդրի գործառույթներից առնվազն մեկը ոչ գծային է) և ստոխաստիկ ծրագրավորման միջև պարունակվում են հավանականության բնույթի պարամետրերը):

Ոչ գծային ծրագրավորման խնդիրների դասը ավելի լայն է, քան գծային մոդելների դասը: Օրինակ, արտադրության ծախսերը շատ դեպքերում համամասնական չեն արտադրանքի ծավալին, այլ կախված են դրանից ոչ գծային, արտադրական արտադրանքի վաճառքից ստացված եկամուտը դառնում է գների ոչ գծային գործառույթ և այլն: Պլանավորման օպտիմալ խնդիրների չափանիշները հաճախ առավելագույն շահույթն են, նվազագույն արժեքը և նվազագույն կապիտալ ծախսերը: Որպես փոփոխական օգտագործվում են տարբեր տեսակի արտադրանքի թողարկման ծավալները: Սահմանափակումների թիվը ներառում է արտադրական գործառույթներ, որոնք բնութագրում են արտադրանքի արտադրանքի և աշխատանքի և նյութական ռեսուրսների արժեքի միջև փոխհարաբերությունները, որոնց ծավալը սահմանափակ է:

Ի տարբերություն գծային ծրագրավորման, որն օգտագործում է ունիվերսալ լուծման մեթոդ (պարզեցված մեթոդ), ոչ գծային խնդիրների լուծման մեթոդների մի ամբողջ շարք կա ՝ կախված մոդելում ներառված գործառույթների ձևից: Մեթոդների ամբողջ բազմազանությունից մենք կքննարկենք միայն երկուսը `Լագրանժի մեթոդը և ծրագրավորման դինամիկ մեթոդը:

ՀԵՏԼագրանժի մեթոդի էությունն այն է, որ պայմանական էքստրեմումի համար խնդիրը կրճատվի մինչև անվերապահ ծայրահեղության խնդրի լուծումը: Մտածեք ծրագրավորման ոչ գծային մոդելի մասին.

(5.2)

որտեղ - հայտնի գործառույթներ,

ա - հաշվի առնելով գործակիցները:

Նկատի ունեցեք, որ խնդրի այս ձևակերպման մեջ սահմանափակումները տրվում են հավասարություններով, փոփոխականների ոչ բացասական լինելու պայման չկա: Բացի այդ, մենք ենթադրում ենք, որ գործառույթները շարունակական են իրենց առաջին մասնակի ածանցյալներով:

Մենք պայմանները (5.2) փոխակերպում ենք այնպես, որ հավասարությունների ձախ կամ աջ կողմերում լինի զրո:

(5.3)

Եկեք կազմենք Lagrange գործառույթը: Այն ներառում է օբյեկտիվ գործառույթը (5.1) և սահմանափակումների աջ կողմը (5.3) `համապատասխանաբար համապատասխան գործակիցներով ... Լագրանժի այնքան գործակիցներ կլինեն, որքան խնդրի սահմանափակումներ կան:

Ֆունկցիայի ծայրահեղ կետերը (5.4) սկզբնական խնդրի ծայրահեղ կետերն են և հակառակը. Խնդրի օպտիմալ պլանը (5.1) - (5.2) Լագրանժի գործառույթի գլոբալ ծայրահեղ կետն է:

Իրոք, թող լուծումը գտնվի խնդրի (5.1) - (5.2), ապա պայմանները (5.3) բավարարված են: Փոխարինեք պլանը գործարկել (5.4) և ստուգել հավասարության վավերականությունը (5.5):

Այսպիսով, սկզբնական խնդրի օպտիմալ պլանը գտնելու համար անհրաժեշտ է ուսումնասիրել Lagrange գործառույթը ծայրահեղության համար: Ֆունկցիան ծայրահեղ արժեքներ ունի այն կետերում, որտեղ նրա մասնակի ածանցյալները հավասար են զրո... Նման կետերը կոչվում են ստացիոնար

Եկեք սահմանենք գործառույթի մասնակի ածանցյալները (5.4)

,

.

Հավասարվելուց հետո զրոածանցյալներ, մենք ստանում ենք համակարգը մ + նհետ հավասարումներ մ + նանհայտ

, (5.6)

Ընդհանուր դեպքում համակարգը (5.6) - (5.7) կունենա մի քանի լուծում, որոնք կներառեն Լագրանժի գործառույթի բոլոր առավելագույնը և նվազագույնը: Գլոբալ առավելագույնը կամ նվազագույնը ընդգծելու համար օբյեկտիվ գործառույթի արժեքները հաշվարկվում են գտնված բոլոր կետերում: Այս արժեքներից ամենամեծը կլինի գլոբալ առավելագույնը, իսկ ամենափոքրը `գլոբալ նվազագույնը: Որոշ դեպքերում պարզվում է հնարավոր օգտագործումը բավարար պայմաններ խիստ ծայրահեղության համարշարունակական գործառույթներ (տես Խնդիր 5.2 ստորև).

թող ֆունկցիան լինի անընդհատ և կրկնակի տարբերակելի `իր ստացիոնար կետի որոշ հարևանությամբ (այսինքն)): Հետո.

ա) եթե,(5.8)

ապա գործառույթի խիստ առավելագույնի կետն է.

բ)եթե,(5.9)

ապա գործառույթի խիստ նվազագույնի կետն է.

Գ ) եթե,

ապա ծայրահեղության առկայության հարցը բաց է մնում:

Բացի այդ, համակարգի (5.6) - (5.7) որոշ լուծումներ կարող են բացասական լինել: Ինչն անհամապատասխան է փոփոխականների տնտեսական նշանակությանը: Այս դեպքում դուք պետք է հաշվի առնեք բացասական արժեքները զրոյով փոխարինելու հնարավորությունը:

Լագրանժի բազմապատկիչների տնտեսական իմաստը:Օպտիմալ բազմապատկիչ արժեք ցույց է տալիս, թե որքանով է չափանիշի արժեքը փոխվելու Զռեսուրսների ավելացման կամ նվազման ժամանակ ժմեկ միավորով, քանի որ

Լագրանժի մեթոդը կարող է կիրառվել նաև այն դեպքում, երբ սահմանափակումները անհավասարություններ են: Այսպիսով, գտնելով գործառույթի ծայրահեղությունը պայմաններով

,

կատարել մի քանի փուլով.

1. Որոշեք օբյեկտիվ ֆունկցիայի ստացիոնար կետերը, որոնց համար նրանք լուծում են հավասարումների համակարգը

.

2. Ստացիոնար կետերից ընտրեք նրանց, ում կոորդինատները բավարարում են պայմանները

3. Լագրանժի մեթոդը օգտագործվում է խնդիրը հավասարության սահմանափակումներով լուծելու համար (5.1) - (5.2):

4. Ուսումնասիրեք գլոբալ առավելագույնի երկրորդ և երրորդ փուլերում հայտնաբերված կետերը. Համեմատեք այս կետերում օբյեկտիվ գործառույթի արժեքները. Ամենաբարձր արժեքը համապատասխանում է օպտիմալ պլանին:

Առաջադրանք 5.1Եկեք լուծենք 1.3 -րդ խնդիրը, որը դիտարկվում է առաջին բաժնում, Լագրանժի մեթոդով: Resourcesրային ռեսուրսների օպտիմալ բաշխումը նկարագրված է մաթեմատիկական մոդելով

.

Եկեք կազմենք Lagrange գործառույթը

Եկեք գտնենք այս գործառույթի անվերապահ առավելագույնը: Դա անելու համար մենք հաշվարկում ենք մասնակի ածանցյալները և դրանք հավասարեցնում զրոյի

,

Այսպիսով, մենք ստացել ենք ձևի գծային հավասարումների համակարգ

Հավասարումների համակարգի լուծումը ներկայացնում է ոռոգվող տարածքներում ջրային ռեսուրսների բաշխման օպտիմալ պլանը:

Արժեքները չափվում են հարյուր հազարավոր խորանարդ մետրերով: - ոռոգման ջրի հարյուր հազար խորանարդ մետրի դիմաց զուտ եկամտի չափը: Հետեւաբար, ոռոգման ջրի 1 մ 3 սահմանային գինը հավասար է որջ միավորներ

Ոռոգումից առավելագույն լրացուցիչ զուտ եկամուտը կլինի

160 12.26 2 + 7600 12.26-130 8.55 2 + 5900 8.55-10 16.19 2 + 4000 16.19 =

172391.02 (դրամական միավոր)

Առաջադրանք 5.2Լուծել ծրագրավորման ոչ գծային խնդիր

Մենք ներկայացնում ենք սահմանափակումը հետևյալ տեսքով.

.

Եկեք կազմենք Lagrange գործառույթը և սահմանենք դրա մասնակի ածանցյալները

.

Լագրանժի ֆունկցիայի ստացիոնար կետերը որոշելու համար դրա մասնակի ածանցյալները պետք է հավասարվեն զրոյի: Արդյունքում մենք ստանում ենք հավասարումների համակարգ

ՀԵՏԼագրանժի մեթոդի էությունն այն է, որ պայմանական էքստրեմումի համար խնդիրը կրճատվի մինչև անվերապահ ծայրահեղության խնդրի լուծումը: Մտածեք ծրագրավորման ոչ գծային մոդելի մասին.

(5.2)

որտեղ
- հայտնի գործառույթներ,

ա
- հաշվի առնելով գործակիցները:

Նկատի ունեցեք, որ խնդրի այս ձևակերպման մեջ սահմանափակումները տրվում են հավասարություններով, փոփոխականների ոչ բացասական լինելու պայման չկա: Բացի այդ, մենք ենթադրում ենք, որ գործառույթները
շարունակական են իրենց առաջին մասնակի ածանցյալներով:

Մենք պայմանները (5.2) փոխակերպում ենք այնպես, որ հավասարությունների ձախ կամ աջ կողմերում լինի զրո:

(5.3)

Եկեք կազմենք Lagrange գործառույթը: Այն ներառում է օբյեկտիվ գործառույթը (5.1) և սահմանափակումների աջ կողմը (5.3) `համապատասխանաբար համապատասխան գործակիցներով
... Լագրանժի այնքան գործակիցներ կլինեն, որքան խնդրի սահմանափակումներ կան:

Ֆունկցիայի ծայրահեղ կետերը (5.4) սկզբնական խնդրի ծայրահեղ կետերն են և հակառակը. Խնդրի օպտիմալ պլանը (5.1) - (5.2) Լագրանժի գործառույթի գլոբալ ծայրահեղ կետն է:

Իրոք, թող լուծումը գտնվի
խնդրի (5.1) - (5.2), ապա պայմանները (5.3) բավարարված են: Փոխարինեք պլանը
գործարկել (5.4) և ստուգել հավասարության վավերականությունը (5.5):

Այսպիսով, սկզբնական խնդրի օպտիմալ պլանը գտնելու համար անհրաժեշտ է ուսումնասիրել Lagrange գործառույթը ծայրահեղության համար: Ֆունկցիան ծայրահեղ արժեքներ ունի այն կետերում, որտեղ նրա մասնակի ածանցյալները հավասար են զրո... Նման կետերը կոչվում են ստացիոնար

Եկեք սահմանենք գործառույթի մասնակի ածանցյալները (5.4)

,

.

Հավասարվելուց հետո զրոածանցյալներ, մենք ստանում ենք համակարգը մ + նհետ հավասարումներ մ + նանհայտ

,(5.6)

Ընդհանուր դեպքում, համակարգը (5.6) - (5.7) կունենա մի քանի լուծում, որոնք կներառեն Լագրանժի ֆունկցիայի բոլոր առավելագույնը և նվազագույնը: Գլոբալ առավելագույնը կամ նվազագույնը ընդգծելու համար օբյեկտիվ գործառույթի արժեքները հաշվարկվում են գտնված բոլոր կետերում: Այս արժեքներից ամենամեծը կլինի գլոբալ առավելագույնը, իսկ ամենափոքրը `գլոբալ նվազագույնը: Որոշ դեպքերում հնարավոր է օգտագործել բավարար պայմաններ խիստ ծայրահեղության համարշարունակական գործառույթներ (տես Խնդիր 5.2 ստորև).

թող գործառույթը
շարունակական և երկու անգամ տարբերակելի `իր ստացիոնար կետի որոշ հարևանությամբ (դրանք
)). Հետո.

ա ) եթե
, (5.8)

ապա Ֆունկցիայի խիստ առավելագույնի կետն է
;

բ) եթե
, (5.9)

ապա Ֆունկցիայի խիստ նվազագույնի կետն է
;

Գ ) եթե
,

ապա ծայրահեղության առկայության հարցը բաց է մնում:

Բացի այդ, համակարգի (5.6) - (5.7) որոշ լուծումներ կարող են բացասական լինել: Ինչն անհամապատասխան է փոփոխականների տնտեսական նշանակությանը: Այս դեպքում դուք պետք է հաշվի առնեք բացասական արժեքները զրոյով փոխարինելու հնարավորությունը:

Լագրանժի բազմապատկիչների տնտեսական իմաստը:Օպտիմալ բազմապատկիչ արժեք
ցույց է տալիս, թե որքանով է չափանիշի արժեքը փոխվելու Զ ռեսուրսների ավելացման կամ նվազման ժամանակ ժմեկ միավորով, քանի որ

Լագրանժի մեթոդը կարող է կիրառվել նաև այն դեպքում, երբ սահմանափակումները անհավասարություններ են: Այսպիսով, գտնելով գործառույթի ծայրահեղությունը
պայմաններում

,

կատարել մի քանի փուլով.

1. Որոշեք օբյեկտիվ ֆունկցիայի ստացիոնար կետերը, որոնց համար նրանք լուծում են հավասարումների համակարգը

.

2. Ստացիոնար կետերից ընտրեք նրանց, ում կոորդինատները բավարարում են պայմանները

3. Լագրանժի մեթոդը օգտագործվում է հավասարության սահմանափակումներով խնդիրը լուծելու համար (5.1) - (5.2):

4. Ուսումնասիրեք գլոբալ առավելագույնի երկրորդ և երրորդ փուլերում հայտնաբերված կետերը. Համեմատեք այս կետերում օբյեկտիվ գործառույթի արժեքները. Ամենաբարձր արժեքը համապատասխանում է օպտիմալ պլանին:

Առաջադրանք 5.1Եկեք լուծենք 1.3 -րդ խնդիրը, որը դիտարկվում է առաջին բաժնում, Լագրանժի մեթոդով: Resourcesրային ռեսուրսների օպտիմալ բաշխումը նկարագրված է մաթեմատիկական մոդելով

.

Եկեք կազմենք Lagrange գործառույթը

Եկեք գտնենք այս գործառույթի անվերապահ առավելագույնը: Դա անելու համար մենք հաշվարկում ենք մասնակի ածանցյալները և դրանք հավասարեցնում զրոյի

,

Այսպիսով, մենք ստացել ենք ձևի գծային հավասարումների համակարգ

Հավասարումների համակարգի լուծումը ներկայացնում է ոռոգվող տարածքներում ջրային ռեսուրսների բաշխման օպտիմալ պլանը:

, .

Քանակները
չափվում է հարյուր հազարավոր խորանարդ մետրերով:
- ոռոգման ջրի հարյուր հազար խորանարդ մետրի դիմաց զուտ եկամտի չափը: Հետեւաբար, ոռոգման ջրի 1 մ 3 սահմանային գինը հավասար է
որջ միավորներ

Ոռոգումից առավելագույն լրացուցիչ զուտ եկամուտը կլինի

160 12.26 2 + 7600 12.26-130 8.55 2 + 5900 8.55-10 16.19 2 + 4000 16.19 =

172391.02 (դրամական միավոր)

Առաջադրանք 5.2Լուծել ծրագրավորման ոչ գծային խնդիր

Մենք ներկայացնում ենք սահմանափակումը հետևյալ տեսքով.

.

Եկեք կազմենք Lagrange գործառույթը և սահմանենք դրա մասնակի ածանցյալները

.

Լագրանժի ֆունկցիայի ստացիոնար կետերը որոշելու համար դրա մասնակի ածանցյալները պետք է հավասարվեն զրոյի: Արդյունքում մենք ստանում ենք հավասարումների համակարգ

.

Առաջին հավասարումից հետևում է

. (5.10)

Արտահայտություն փոխարինել երկրորդ հավասարման մեջ

,

որտեղից հետևում է երկու լուծում :

եւ
. (5.11)

Այս լուծումները փոխարինելով երրորդ հավասարման մեջ ՝ մենք ստանում ենք

,
.

Լագրանժի բազմապատկիչի և անհայտի արժեքները մենք հաշվարկում ենք արտահայտություններ (5.10) - (5.11):

,
,
,
.

Այսպիսով, մենք ստացանք երկու ծայրահեղ միավոր.

;
.

Այս կետերը առավելագույն կամ նվազագույն միավորներ պարզելու համար մենք օգտագործում ենք բավարար պայմաններ խիստ ծայրահեղության համար (5.8) - (5.9): -Ի համար նախաարտահայտություն , ստացված մաթեմատիկական մոդելի սահմանափակումից, մենք փոխարինում ենք օբյեկտիվ գործառույթում

,

. (5.12)

Խիստ ծայրահեղության պայմանները ստուգելու համար մենք պետք է որոշենք ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալի նշանը (5.11) մեր գտած ծայրահեղական կետերում
եւ
.

,
;

.

Այսպիսով, (·)
սկզբնական խնդրի նվազագույն կետն է (
), a (·)
- առավելագույն միավոր:

Օպտիմալ պլան:

,
,
,

.

• Ուսուցողական

Բարի օր բոլորին: Այս հոդվածում ես ուզում եմ ցույց տալ մեկը գրաֆիկական մեթոդներկառուցում մաթեմատիկական մոդելներդինամիկ համակարգերի համար, որը կոչվում է Բոնդային գրաֆիկ(«Բոնդ» - հղումներ, «գրաֆ» - գրաֆիկ): Ռուսական գրականության մեջ այս մեթոդի նկարագրությունները ես գտա միայն Տոմսկի պոլիտեխնիկական համալսարանի դասագրքում, A.V. Վորոնին «ՄԵԽԱՏՐՈՆԱԿԱՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐԻ ՄՈԴԵԼՈՄ» 2008 Alsoույց տվեք նաև դասական մեթոդը երկրորդ տեսակի Լագրանժի հավասարման միջոցով:

Լագրանժի մեթոդը

Ես չեմ նկարագրելու տեսությունը, ես ցույց կտամ հաշվարկների փուլերը և մի քանի մեկնաբանությամբ: Անձամբ ես ավելի հեշտ եմ սովորում օրինակներից, քան տեսություն կարդալ 10 անգամ: Ինչպես ինձ թվաց, ռուս գրականության մեջ այս մեթոդի և, ընդհանրապես, մաթեմատիկայի կամ ֆիզիկայի բացատրությունը շատ հագեցած է բարդ բանաձևերով, ինչը համապատասխանաբար պահանջում է լուրջ մաթեմատիկական նախապատմություն: Լագրանժի մեթոդը ուսումնասիրելիս (սովորում եմ Թուրինի Պոլիտեխնիկական համալսարանում, Իտալիա), ես սովորել եմ ռուս գրականություն `համեմատելու հաշվարկման մեթոդները, և ինձ համար դժվար էր հետևել այս մեթոդի լուծման առաջընթացին: Նույնիսկ հիշելով Խարկովի ավիացիոն ինստիտուտի մոդելավորման դասընթացները, նման մեթոդների ածանցումը շատ ծանր էր, և ոչ ոք իրեն չէր անհանգստացնում ՝ փորձելով հասկանալ այս հարցը: Սա այն է, ինչ ես որոշեցի գրել, մաթեմատիկական մոդելներ ըստ Լագրանժի կառուցման, քանի որ պարզվեց, որ դա ամենևին էլ դժվար չէր, բավական է իմանալ, թե ինչպես հաշվարկել ժամանակի ածանցյալները և մասնակի ածանցյալները: Ավելի բարդ մոդելների համար ավելացվում են պտտման մատրիցներ, բայց դրանք նույնպես բարդ չեն:

Մոդելավորման մեթոդների առանձնահատկությունները.

• Նյուտոն-Էյլերվեկտորային հավասարումներ `հիմնված դինամիկ հավասարակշռության վրա ուժեւ պահեր
• Լագրանժ. սանդղակային հավասարումներ, որոնք հիմնված են կինետիկ և պոտենցիալների հետ կապված պետական ​​գործառույթների վրա էներգիա (էներգիա)
• Բոնդ Էրլընթացիկ մեթոդ ուժհամակարգի տարրերի միջև

Սկսենք նրանից պարզ օրինակ... Քաշը գարնանով և կափույրով: Մենք անտեսում ենք ձգողականությունը:

Նկար 1... Քաշը գարնանով և կափույրով

Առաջին հերթին մենք նշանակում ենք.

• նախնական կոորդինատային համակարգ(NSK) կամ ֆիքսված սկ R0 (i0, j0, k0)... Որտե՞ղ: Դուք կարող եք ձեր մատը խոթել երկինք, բայց ուղեղում նեյրոնների ծայրերին ձգելով ՝ միտքն այն է, որ NSC- ն դնի M1 մարմնի շարժման գծում:
• համակարգել զանգվածները յուրաքանչյուր մարմնի համար զանգվածով(մենք ունենք M1 R1 (i1, j1, k1)), կողմնորոշումը կարող է լինել կամայական, բայց ինչու՞ բարդացնել մեր կյանքը, մենք դա դնում ենք ԱԱԽ -ից նվազագույն տարբերությամբ
• ընդհանրացված կոորդինատներ q_i(փոփոխականների նվազագույն թիվը, որոնցով կարելի է նկարագրել շարժումը), այս օրինակում ՝ մեկ ընդհանրացված կոորդինատ, շարժում միայն j առանցքի երկայնքով

Նկար 2... Մենք հանձնարարում ենք կոորդինատային համակարգեր և ընդհանրացված կոորդինատներ

Նկար 3... Մարմնի դիրքն ու արագությունը M1

Այնուհետև մենք գտնում ենք կինետիկ (C) և պոտենցիալ (P) էներգիաները և դամպերի համար ցրող գործառույթը (D) բանաձևերով.

Նկար 4... Կինետիկ էներգիայի ամբողջական բանաձև

Մեր օրինակում պտույտ չկա, երկրորդ բաղադրիչը 0 է:

Նկար 5... Կինետիկ, պոտենցիալ էներգիայի և ցրող գործառույթի հաշվարկ

Լագրանժի հավասարումը ունի հետևյալ ձևը.

Նկար 6... Լագրանժի հավասարումը և Լագրանգյանը

Դելտա W_iսա վիրտուալ աշխատանքկատարյալ է կիրառվող ուժերով և պահերով: Եկեք գտնենք.

Նկար 7... Վիրտուալ աշխատանքի հաշվարկ

Որտեղ դելտա q_1վիրտուալ շարժում.

Մենք ամեն ինչ փոխարինում ենք Լագրանժի հավասարման մեջ.

Նկար 8... Ստացված զանգվածային մոդելը ՝ զսպանակով և կափույրով

Այստեղ ավարտվեց Լագրանժի մեթոդը: Ինչպես տեսնում եք, դա այնքան էլ դժվար չէ, բայց սա դեռ շատ պարզ օրինակ է, որի համար Նյուտոն-Էյլերի մեթոդը, ամենայն հավանականությամբ, նույնիսկ ավելի պարզ կլիներ: Ավելի բարդ համակարգերի դեպքում, որտեղ կլինեն տարբեր անկյուններում միմյանց համեմատ պտտվող մի քանի մարմիններ, Լագրանժի մեթոդը ավելի հեշտ կլինի:

Պարտատոմսերի գրաֆիկի մեթոդը

Ես անմիջապես ցույց կտամ, թե ինչպես է մոդելը կապի գրաֆիկում նայում օրինակ ՝ զսպանակի և կափույրի զանգվածով.

Նկար 9... Բոնդ-գրաֆիկ զանգվածներ ՝ գարնան և կափույրով

Այստեղ դուք պետք է պատմեք մի փոքր տեսություն, որը բավական է կառուցելու համար պարզ մոդելներ... Եթե ​​որևէ մեկին հետաքրքրում է, կարող եք կարդալ գիրքը ( Bond Graph մեթոդաբանություն) կամ ( Վորոնին Ա.Վ. Մեխատրոնիկ համակարգերի մոդելավորում. Ձեռնարկ: - Տոմսկ. Տոմսկի պոլիտեխնիկական համալսարանի հրատարակչություն, 2008).

Եկեք նախ սահմանենք, որ բարդ համակարգերը բաղկացած են մի քանի տիրույթներից: Օրինակ, էլեկտրական շարժիչը բաղկացած է էլեկտրական և մեխանիկական մասերից կամ տիրույթներից:

Բոնդային գրաֆիկայս տիրույթների, ենթահամակարգերի միջև իշխանության փոխանակման հիման վրա: Նկատի ունեցեք, որ ցանկացած ձևի իշխանության փոխանակումը միշտ որոշվում է երկու փոփոխականով ( փոփոխական հզորություն), որի օգնությամբ մենք կարող ենք ուսումնասիրել տարբեր ենթահամակարգերի փոխազդեցությունը ՝ որպես դինամիկ համակարգի մաս (տես աղյուսակը):

Ինչպես տեսնում եք աղյուսակից, հզորության արտահայտությունն ամենուր գրեթե նույնն է: Արդյունքում, Ուժ- Այս աշխատանքը " հոսք - զ" վրա " ջանք - ե».

Effortանք(անգլ. ջանք) էլեկտրական տիրույթում սա լարումն է (ե), մեխանիկական տիրույթում ՝ ուժը (F) կամ պահը (T), իսկ հիդրավլիկայում ՝ ճնշումը (p):

Հոսք(անգլ. հոսք) էլեկտրական տիրույթում սա հոսանքն է (i), մեխանիկական տիրույթում ՝ արագությունը (v) կամ անկյունային արագությունը (օմեգա), հիդրավլիկայում ՝ հեղուկի հոսքի կամ հոսքի արագությունը (Q):

Այս նշումները վերցնելով ՝ մենք ուժի արտահայտություն ենք ստանում.

Նկար 10... Հզորության բանաձևը հզորության փոփոխականների առումով

Կապ-գրաֆիկական լեզվով երկու ենթահամակարգերի միջև կապը, որոնք փոխանակում են ուժը, ներկայացված է կապով (անգլ. կապ): Դրա համար էլ կոչվում է այս մեթոդը կապ-գրաֆիկկամ r raf- կապեր, միացված գրաֆիկ... Հաշվի առեք բլոկ սխեմաէլեկտրական շարժիչով մոդելի միացումներ (սա դեռ կապի գրաֆիկ չէ).

Նկար 11... Արգելափակել տիրույթի միջև էներգիայի հոսքի դիարամը

Եթե ​​մենք ունենք լարման աղբյուր, ապա, համապատասխանաբար, այն առաջացնում է լարում և տալիս այն շարժիչին `լիցքաթափվելու համար (հետևաբար, սլաքը ուղղված է դեպի շարժիչը), կախված ոլորուն դիմադրությունից, հոսանք է հայտնվում Օհմի օրենքի համաձայն (ուղղված շարժիչից մինչև աղբյուր): Ըստ այդմ, մեկ փոփոխականը մուտք է ենթահամակարգին, իսկ երկրորդը պետք է լինի ելքենթահամակարգից: Այստեղ լարումը ( ջանք) - մուտքագրում, ընթացիկ ( հոսք) - ելք:

Եթե ​​դուք օգտագործում եք ընթացիկ աղբյուր, ինչպե՞ս կփոխվի դիագրամը: Ճիշտ. Հոսանքը կուղղվի շարժիչին, իսկ լարումը ՝ աղբյուրին: Այնուհետև ընթացիկ ( հոսք) - մուտք, լարում ( ջանք) - ելք:

Մտածեք մեխանիկայի օրինակ: Forceանգվածի վրա ազդող ուժ:

Նկար 12... Forceանգվածի նկատմամբ կիրառվող ուժը

Արգելափակման դիագրամը կլինի հետևյալը.

Նկար 13... Բլոկ սխեմա

Այս օրինակում Ուժ ( ջանք) Արդյո՞ք զանգվածի համար մուտքային փոփոխական է: (Զանգվածի նկատմամբ կիրառվող ուժ)
Ըստ Նյուտոնի երկրորդ օրենքի.

Massանգվածը համապատասխանում է արագությանը.

Այս օրինակում, եթե մեկ փոփոխական ( ուժ - ջանք) ան է մուտքըմեխանիկական տիրույթում, այնուհետև էներգիայի մեկ այլ փոփոխական ( արագություն - հոսք) - ինքնաբերաբար դառնում է ելք.

Տարբերելու համար, թե որտեղ է մուտքը և որտեղ է ելքը, տարրերի միջև սլաքի (կապի) վերջում օգտագործվում է ուղղահայաց գիծ, ​​այս տողը կոչվում է պատճառահետեւանքային կապի նշան կամ պատճառականություն (պատճառականություն): Ստացվում է, որ գործադրված ուժն է պատճառը, իսկ արագությունը `հետևանքը: Այս նշանը շատ կարևոր է համակարգի մոդելի ճիշտ կառուցման համար, քանի որ պատճառականությունը ֆիզիկական վարքի և երկու ենթահամակարգերի ուժերի փոխանակման հետևանք է, հետևաբար, պատճառահետեւանքային նշանի վայրի ընտրությունը չի կարող կամայական լինել:

Նկար 14... Պատճառական նշում

Այս ուղղահայաց գիծը ցույց է տալիս, թե որ ենթահամակարգն է ջանքեր ստանում ( ջանք) և, որպես հետևանք, հոսք արտադրել ( հոսք): Massանգվածային օրինակով դա կլինի այսպես.

Նկար 14... Cանգվածի վրա ազդող ուժի պատճառահետեւանքային հարաբերությունները

Սլաքից պարզ է դառնում, որ զանգվածի մուտքի մոտ - ուժև ելքն է արագություն... Դա արվում է, որպեսզի դիագրամը չլցվի սլաքներով և չդասակարգի մոդելի կառուցվածքը:

Հաջորդը կարևոր կետ. Ընդհանուր իմպուլս(շարժման չափը) և շարժվող(էներգիայի փոփոխականներ).

Տարբեր տիրույթներում էներգիայի և էներգիայի փոփոխականների աղյուսակ

Վերոնշյալ աղյուսակը ներկայացնում է երկու լրացուցիչ ֆիզիկական մեծություններ, որոնք օգտագործվում են կապի գրաֆիկի մեթոդով: Նրանք կոչված են ընդհանրացված ազդակ (Ռ) և ընդհանրացված շարժում (ք) կամ էներգիայի փոփոխականներ, և դրանք կարելի է ձեռք բերել ՝ ժամանակի ընթացքում էներգիայի փոփոխականները ինտեգրելով.

Նկար 15... Ուժի և էներգիայի փոփոխականների միջև փոխհարաբերությունները

Էլեկտրական տիրույթում :

Ֆարադեյի օրենքի հիման վրա ՝ Լարմանդիրիժորի ծայրերում հավասար է այս հաղորդիչի միջոցով մագնիսական հոսքի ածանցյալին:

Ա Ընթացիկ ուժ- ֆիզիկական մեծություն, որը հավասար է լիցքի չափի հարաբերությանը, որը որոշ ժամանակ անցել է t դիրիժորի խաչմերուկից այս ժամանակի միջակայքի արժեքին:

Մեխանիկական տիրույթ.

Նյուտոնի 2 օրենքներից, Ուժ- իմպուլսի ժամանակային ածանցյալ

Եվ համապատասխանաբար, արագություն- տեղաշարժի ժամանակային ածանցյալ.

Եկեք ամփոփենք:

Հիմնական տարրեր

Դինամիկ համակարգերի բոլոր տարրերը կարելի է բաժանել երկբևեռ և քառաբևեռ բաղադրիչների:
Հաշվի առեք երկբևեռ բաղադրիչներ:

-Ի աղբյուրները
Աղբյուրները գալիս են և՛ ջանքերի, և՛ հոսքերի մեջ: Էլեկտրական տիրույթի անալոգիա. ջանքերի աղբյուր – լարման աղբյուր, հոսքի աղբյուր – ընթացիկ աղբյուրը... Աղբյուրների պատճառահետևանքային նշանները պետք է նման լինեն:

Նկար 16... Պատճառահետեւանքային հարաբերություններ և աղբյուրների նշում

R բաղադրիչ - ցրող տարր

Բաղադրիչ I - իներցիոն տարր

Բաղադրիչ Գ - տարողունակ տարր

Ինչպես երևում է թվերից, նույնի տարբեր տարրեր տեսակ R, C, Iնկարագրված է նույն հավասարումներով: Կա միայն էլեկտրական հզորության տարբերություն, պարզապես պետք է հիշել:

Չորս բևեռային բաղադրիչներ:

Երկու բաղադրիչ համարեք տրանսֆորմատոր և գիրատոր:

Կապ-գրաֆիկ մեթոդի վերջին կարևոր բաղադրիչներն են կապերը: Կան երկու տեսակի հանգույցներ.

Սա լրացնում է բաղադրիչները:

Պարտատոմսերի գծապատկեր կառուցելուց հետո պատճառահետեւանքային կապերը քանդելու հիմնական քայլերը.

1. Բոլորին պատճառաբանություն տվեք աղբյուրները
2. Անցեք բոլոր հանգույցների միջով և 1 -ին կետից հետո դադարեցրեք պատճառահետեւանքային կապերը
3. Համար բաղադրիչներ Iնշանակել մուտքային պատճառահետեւանքային կապ (ջանքերը ներառված են այս բաղադրիչում), for բաղադրիչներ Գնշանակել ելքային պատճառականությունը (ջանքերը դուրս են գալիս այս բաղադրիչից)
4. Կրկնել 2 -րդ քայլը
5. Տրամադրել պատճառահետեւանքային կապեր բաղադրիչներ Ռ

Սա ավարտում է տեսության մինի դասընթացը: Այժմ մենք ունենք այն ամենը, ինչ անհրաժեշտ է մեր մոդելները կառուցելու համար:
Եկեք լուծենք մի քանի օրինակ: Սկսենք նրանից էլեկտրական միացում, ավելի լավ է հասկանալ կապ-գրաֆ կառուցելու անալոգիան:

Օրինակ 1

Եկեք սկսենք կապի գրաֆիկի կառուցումը լարման աղբյուրով: Պարզապես գրեք Se և սլաք դրեք:

Դուք տեսնում եք, որ ամեն ինչ պարզ է: Մենք ավելի հեռուն ենք նայում, R- ն և L- ը միացված են շարքով, ինչը նշանակում է, որ դրանց մեջ հոսանքները նույնն են, եթե խոսում ենք ուժային փոփոխականների մասին `նույն հոսքը: Ո՞ր հանգույցն ունի նույն հոսքը: Answerիշտ պատասխանը 1-հանգույց է: Աղբյուրը, դիմադրությունը (բաղադրիչ - R) և ինդուկտիվությունը (բաղադրիչ - I) մենք միացնում ենք 1 -հանգույցին:

Հաջորդը, մենք ունենք հզորություն և դիմադրություն զուգահեռ, ինչը նշանակում է, որ նրանք ունեն նույն լարումը կամ ջանքերը: 0-հանգույցը կկատարի իր աշխատանքը, ինչպես ոչ մեկը: Մենք կապում ենք հզորությունը (բաղադրիչ C) և դիմադրությունը (բաղադրիչ R) 0-հանգույցին:

Մենք նաև 1 և 0 հանգույցները կապում ենք միմյանց: Սլաքների ուղղությունը ընտրվում է կամայականորեն, հարաբերությունների ուղղությունը ազդում է միայն հավասարումների նշանի վրա:

Ստացեք հետևյալ հղման գրաֆիկը.

Այժմ դուք պետք է դադարեցնեք պատճառահետեւանքային կապերը: Հետեւելով դրանց ամրացման հաջորդականության հրահանգներին ՝ սկսենք սկզբնաղբյուրից:

1. Մենք ունենք լարվածության (ջանքերի) աղբյուր, այդպիսի աղբյուրն ունի միայն մեկ պատճառահետեւանքային տարբերակ `ելքը: Մենք դրեցինք:
2. Հետո կա I բաղադրիչը, տեսեք, թե ինչ է առաջարկվում: Մենք դնում ենք
3. Մենք դնում ենք 1-հանգույցի համար: Կա
4. 0-հանգույցը պետք է ունենա մեկ մուտք և բոլոր ելքային պատճառահետեւանքային հարաբերություններ: Մինչ այժմ մենք ունենք մեկ հանգստյան օր: Մենք փնտրում ենք C կամ I. բաղադրիչներ: Գտնված: Մենք դնում ենք
5. Մենք վայր ենք դնում այն, ինչ մնացել է

Վերջ: Bond-graph- ը կառուցված է: Ուռա, ընկերներ:

Մնում է գրել մեր համակարգը նկարագրող հավասարումները: Դա անելու համար եկեք աղյուսակ ստեղծենք 3 սյունակով: Առաջինը պարունակում է համակարգի բոլոր բաղադրիչները, երկրորդը ՝ յուրաքանչյուր տարրի մուտքային փոփոխական, իսկ երրորդը ՝ նույն բաղադրիչի ելքային փոփոխական: Մենք արդեն իսկ պատճառահետեւանքային կապով սահմանել ենք մուտքն ու ելքը: Այսպիսով, որևէ խնդիր չպետք է լինի:

Մակարդակները գրանցելու հարմարության համար մենք համարակալելու ենք յուրաքանչյուր միացում: Յուրաքանչյուր տարրի հավասարումները վերցված են C, R, I բաղադրիչների ցանկից:

Աղյուսակ կազմելուց մենք սահմանում ենք վիճակի փոփոխականները, այս օրինակում դրանք 2, p3 և q5 են: Հաջորդը, դուք պետք է գրեք վիճակի հավասարումները.

Այսքանը մոդելն արդեն պատրաստ է:

Օրինակ 2. Անմիջապես ուզում եմ ներողություն խնդրել լուսանկարի որակի համար, գլխավորն այն է, որ դուք կարող եք կարդալ

Եկեք լուծենք ևս մեկ օրինակ մեխանիկական համակարգի համար, նույնը, որը լուծեցինք Լագրանժի մեթոդով: Ես լուծումը ցույց կտամ առանց մեկնաբանության: Եկեք ստուգենք, թե այս մեթոդներից որն է ավելի պարզ, ավելի հեշտ:

Մատբալում կազմվել են նույն պարամետրերով գորգերի երկու մոդելները, որոնք ստացվել են Լագրանժի մեթոդով և կապ-գրաֆիկով: Ստորև բերված արդյունքը. Ավելացնել պիտակներ

Պարամետրի անվանումը	Իմաստը
Հոդվածի թեման.	Լագրանժի մեթոդը:
Ռուբրիկա (թեմատիկ կատեգորիա)	Մաթեմատիկա

Բազմանդամ գտնելը նշանակում է որոշել նրա գործակցի արժեքները ... Դա անելու համար, օգտագործելով միջաստղման պայմանը, կարող եք կազմել գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ (SLAE):

Այս SLAE- ի որոշիչը սովորաբար կոչվում է Vandermonde որոշիչ: Vandermonde- ի որոշիչը ոչ -ի համար է, այսինքն, երբ որոնման աղյուսակում չկան համապատասխանող հանգույցներ: Այսպիսով, կարելի է պնդել, որ SLAE- ն ունի լուծում, և այս լուծումը եզակի է: SLAE- ի լուծում և անհայտ գործակիցների որոշում կարող եք կառուցել միջաստղման բազմանդամ:

Ինտերպոլացիայի պայմանները բավարարող բազմանդամը, Լագրանժի մեթոդով միջամտելիս, կառուցվում է 9 -րդ աստիճանի բազմանդամների գծային համադրության տեսքով.

Բազմանդամները սովորաբար կոչվում են հիմնականբազմանդամներ. Դեպի Լագրանժի բազմանդամբավարարում է ինտերպոլացիայի պայմանները, չափազանց կարևոր է, որ դրա բազմանդամ բազմանդամների համար բավարարվեն հետևյալ պայմանները.

համար .

Եթե ​​այս պայմանները բավարարված են, ապա ցանկացածի համար մենք ունենք.

ᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, հիմնական պայմանների բազմանդամների համար սահմանված պայմանների կատարումը նշանակում է, որ բավարարված են նաև միջերկրածովյան պայմանները:

Եկեք որոշենք հիմնական բազմանդամների ձևը `ելնելով դրանց վրա դրված սահմանափակումներից:

1 -ին պայման.ժամը

2 -րդ պայման. .

Վերջապես, հիմնական բազմանդամի համար կարող եք գրել.

Այնուհետև ստացված արտահայտությունը հիմնական բազմանդամների փոխարեն փոխարինելով սկզբնական բազմանդամին, մենք ստանում ենք Լագրանժի բազմանդամի վերջնական ձևը.

Լագրանժի բազմանդամի հատուկ ձևը սովորաբար կոչվում է գծային միջերեսման բանաձև.

.

Լագրանժի բազմանդամը, որը ընդունված է, սովորաբար կոչվում է քառակուսի միջերեսման բանաձև.

Լագրանժի մեթոդը: - հայեցակարգը և տեսակները: «Լագրանժի մեթոդը» կատեգորիայի դասակարգումը և առանձնահատկությունները: 2017, 2018 թթ.

- Լագրանժի մեթոդ (կամայական հաստատունի տատանումների մեթոդ):

Գծային հեռակառավարման վահանակներ: Սահմանում. DU ձևի այսինքն. անհայտ ֆունկցիայի և դրա ածանցյալի գծայինը կոչվում է գծային: Այս տեսակի լուծման համար ur-th- ը հաշվի առեք երկու մեթոդ ՝ Լագրանժի մեթոդը և Բերնուլիի մեթոդը: Հաշվի առեք միատարր DE Սա ur-e է ՝ տարանջատելի փոփոխականներով: Ur-th լուծում Ընդհանուր…

- Գծային կարգավորիչներ ՝ միատարր և տարասեռ: Ընդհանուր լուծման հայեցակարգը: Լագրանժի արտադրանքի հաստատունների տատանումների մեթոդը:

Սահմանում. DU կոչվում է միատարր, եթե f-I- ը կարող է ներկայացվել որպես իր փաստարկների f-I հարաբերություն Օրինակ: F-I- ը կոչվում է միատարր f- րդ հարթությունեթե Օրինակներ ՝ 1) - համասեռության 1 -ին կարգ. 2) - համասեռության 2 -րդ կարգ: 3) - զրո կարգի համասեռություն (պարզապես միատարր ....

- Դասախոսություն 8. Մասնակի ածանցյալների կիրառում. Ծայրահեղական խնդիրներ: Լագրանժի մեթոդը:

Economicայրահեղ խնդիրները մեծ նշանակություն ունեն տնտեսական հաշվարկներում: Սա, օրինակ, առավելագույն եկամտի, շահույթի, նվազագույն արժեքի հաշվարկն է `կախված մի քանի փոփոխականներից` ռեսուրսներ, արտադրական ակտիվներ և այլն: Ֆունկցիաների ծայրահեղությունների հայտնաբերման տեսությունը ...

- Տ .2.3. DU բարձր կարգի: Ընդհանուր դիֆերենցիալների հավասարումը: Տ .2.4. Երկրորդ կարգի գծային DE ՝ հաստատուն գործակիցներով: Լագրանժի մեթոդը:

3. 2. 1. DE բաժանվող փոփոխականներով SR. 3. Բնագիտության, տեխնոլոգիայի և տնտեսագիտության մեջ հաճախ պետք է զբաղվել էմպիրիկ բանաձևերով, այսինքն. վիճակագրական տվյալների մշակման կամ ...