Առաջադրանք 5.

Վիճակը:Սարքը կարելի է հավաքել բարձրորակ դետալներից և սովորական որակի դետալներից։ Սարքերի 40%-ը հավաքվում է բարձրորակ մասերից։

Բարձրորակ սարքի համար դրա հուսալիությունը t ժամանակային միջակայքում 0,95 է, սովորական սարքերի համար՝ 0,7: Սարքը փորձարկվել է t ժամանակի համար և աշխատել է անթերի:

Գտեք հավանականությունը, որ այն հավաքվել է բարձրորակ մասերից։

Լուծում H 1 - սարքը հավաքվում է բարձրորակ մասերից,

H 2 - սարքը հավաքվում է սովորական որակի մասերից:

Այս վարկածների հավանականությունը փորձից առաջ.

Փորձի արդյունքում նկատվել է իրադարձություն Ա՝ սարքը աշխատել է անթերի տ ժամանակի ընթացքում։

H 1 և H 2 վարկածներով այս իրադարձության պայմանական հավանականությունները հետևյալն են.

Փորձից հետո մենք գտնում ենք H 1 վարկածի հավանականությունը.

հավանականության արմատի միջին քառակուսի շեղումը մաթեմատիկական

Մաթեմատիկայի վիճակագրություն

Վարժություն 1.

Վիճակը:Կազմեք դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը X, հաշվարկեք պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը, շեղումը և ստանդարտ շեղումը։

Որսորդը կրակում է խաղը այնքան ժամանակ, մինչև այն խփի, բայց կարող է կրակել ոչ ավելի, քան երեք կրակոց: Յուրաքանչյուր կրակոց խփելու հավանականությունը 0,6 է։ Կազմեք X պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը՝ կրակողի կողմից արձակված կրակոցների քանակը: Հաշվարկել պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը, շեղումը և ստանդարտ շեղումը:

Լուծում:Հավանականությունը, որ բաց թողնվածների թիվը 0 է, 0,6 է

• - հավանականությունը, որ բաց թողնված թիվը հավասար է 1-ի, հավասար է 0,4-ի 0,6 = 0,24-ի (առաջինում բաց թողած, երկրորդում հարվածել)
• - հավանականությունը, որ բաց թողնվածների թիվը 2 է, հավասար է 0,4 0,4 ​​0,6 = 0,096 (առաջին երկուսում չի խփել, երրորդում խփել)
• - հավանականությունը, որ բաց թողնվածների թիվը 3 է, հավասար է 0,4 0,4 ​​0,4 ​​= 0,064 (առաջին երեքում չի հարվածել)

Մաթեմատիկական ակնկալիքն է 0 0.6+1 0.24+2 0.096+3 0.064 = 0.624

M(x*x)=0.24 +0.384+0.576=1.2

D(x)=1.2-0.389376=0.810624

Առաջադրանք 2.

Վիճակը:Պատահական արժեք Xտրված է բաշխման ֆունկցիայի միջոցով F(X).

Հավանականությունների տեսության ամենակարևոր հասկացություններից մեկը հայեցակարգն է պատահական փոփոխական.

Պատահականկանչեց արժեքը, որը թեստերի արդյունքում վերցնում է որոշակի հնարավոր արժեքներ, որոնք նախապես հայտնի չեն և կախված են պատահական պատճառներից, որոնք հնարավոր չէ նախապես հաշվի առնել:

Պատահական փոփոխականները նշվում են մեծատառերԼատինական այբուբեն X, Յ, Զև այլն կամ լատինատառ այբուբենի մեծատառերով՝ ճիշտ ենթագրով, և այն արժեքները, որոնք կարող են վերցնել պատահական փոփոխականներ՝ լատինական այբուբենի համապատասխան փոքր տառերով։ x, y, զև այլն:

Պատահական փոփոխական հասկացությունը սերտորեն կապված է պատահական իրադարձության հասկացության հետ: Կապը պատահական իրադարձության հետկայանում է նրանում, որ պատահական փոփոխականի կողմից որոշակի թվային արժեքի ընդունումը պատահական իրադարձություն է, որը բնութագրվում է հավանականությամբ. .

Գործնականում կան պատահական փոփոխականների երկու հիմնական տեսակ.

1. Դիսկրետ պատահական փոփոխականներ;

2. Շարունակական պատահական փոփոխականներ:

Պատահական փոփոխականը պատահական իրադարձությունների թվային ֆունկցիա է:

Օրինակ, պատահական փոփոխականը զառ նետելիս ընկած միավորների քանակն է կամ ուսումնասիրվող խմբից պատահականորեն ընտրված ուսանողի հասակը:

Դիսկրետ պատահական փոփոխականներկոչվում են պատահական փոփոխականներ, որոնք միմյանցից վերցնում են միայն հեռավոր արժեքներ, որոնք կարելի է նախապես թվարկել:

բաշխման օրենքը(բաշխման ֆունկցիան և բաշխման շարքը կամ հավանականության խտությունը) ամբողջությամբ նկարագրում են պատահական փոփոխականի վարքը։ Բայց մի շարք խնդիրների դեպքում բավական է իմանալ ուսումնասիրվող մեծության որոշ թվային բնութագրեր (օրինակ՝ միջին արժեքը և դրանից հնարավոր շեղումը)՝ տրված հարցին պատասխանելու համար։ Դիտարկենք դիսկրետ պատահական փոփոխականների հիմնական թվային բնութագրերը:

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքըցանկացած հարաբերակցություն կոչվում է , Պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքների և դրանց համապատասխան հավանականությունների միջև կապ հաստատելը .

Պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը կարող է ներկայացվել որպես սեղաններ:

Պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքների հավանականությունների գումարը հավասար է մեկի, այսինքն.

Բաշխման օրենքը կարող է ներկայացվել գրաֆիկորեն abscissa առանցքի վրա պատկերված են պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքները, իսկ օրդինատների առանցքի վրա՝ այդ արժեքների հավանականությունները. ստացված կետերը միացված են հատվածներով։ Կառուցված բազմագիծը կոչվում է բաշխման բազմանկյուն.

Օրինակ. 4 պտույտ ունեցող որսորդը կրակում է խաղի վրա մինչև առաջին հարվածը կամ բոլոր ռաունդները սպառվեն։ Առաջին կրակոցով հարվածելու հավանականությունը 0,7 է, ամեն հաջորդ կրակոցի հետ այն նվազում է 0,1-ով։ Կազմե՛ք որսորդի կողմից օգտագործվող պարկուճների քանակի բաշխման օրենքը:

Լուծում.Քանի որ որսորդը, ունենալով 4 պտույտ, կարող է կատարել չորս կրակոց, ապա պատահական արժեքը X- որսորդի կողմից օգտագործված փամփուշտների քանակը կարող է վերցնել 1, 2, 3, 4 արժեքները: Համապատասխան հավանականությունները գտնելու համար ներկայացնում ենք իրադարձությունները.

- «հարվածել ես-օմ կրակոց», ;

- «բաց թողեք ես- th shot», իսկ իրադարձությունները և զույգերով անկախ են:

Ըստ խնդրի պայմանի՝ ունենք.

,

Անկախ իրադարձությունների բազմապատկման թեորեմով և անհամատեղելի իրադարձությունների գումարման թեորեմով մենք գտնում ենք.

(որսորդը առաջին կրակոցով հարվածեց թիրախին);

(որսորդը երկրորդ կրակոցից հարվածեց թիրախին);

(որսորդը երրորդ կրակոցից հարվածեց թիրախին);

(որսորդը չորրորդ կրակոցից դիպել է թիրախին կամ չորս անգամ էլ բաց է թողել):

Ստուգում. - ճիշտ:

Այսպիսով, պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը Xնման է:

Օրինակ.Աշխատողը երեք մեքենա է շահագործում. Հավանականությունը, որ մեկ ժամվա ընթացքում առաջին մեքենան չի պահանջի ճշգրտում, 0,9 է, երկրորդը՝ 0,8, երրորդը՝ 0,7։ Կազմեք բաշխման օրենք մեքենաների քանակի համար, որոնք կպահանջեն ճշգրտում մեկ ժամվա ընթացքում:

Լուծում.Պատահական արժեք X- Մեկ ժամվա ընթացքում ճշգրտում պահանջող մեքենաների թիվը կարող է ընդունել 0,1, 2, 3 արժեքները: Համապատասխան հավանականությունները գտնելու համար ներկայացնում ենք իրադարձությունները.

- “ես- մեքենան կպահանջի ճշգրտում մեկ ժամվա ընթացքում», ;

- “ես- մեքենան չի պահանջի ճշգրտում մեկ ժամվա ընթացքում», .

Խնդրի պայմանով մենք ունենք.

, .