გამოთვალეთ ყველა რიცხვის ჯამი. გამოთვალეთ ყველა რიცხვის ჯამი t 0-დან 100-მდე რიცხვების ჯამი

ზარმაცი ვიყავი. იმისთვის, რომ ბავშვები დიდხანს დაეკავებინათ და თვითონ დაეძინა, სთხოვა, 1-დან 100-მდე დაემატებინათ რიცხვები.

გაუსმა სწრაფად უპასუხა: 5050. ასე სწრაფად? მასწავლებელს არ დაუჯერა, მაგრამ ახალგაზრდა გენიოსი მართალი იყო. ყველა რიცხვის დამატება 1-დან 100-მდე არის ვიმპებისთვის! გაუსმა იპოვა ფორმულა:

$$ \ sum_ (1) ^ (n) = \ ფრაკი (n (n + 1)) (2) $$

$$ \ sum_ (1) ^ (100) = \ ფრაკი (100 (100 + 1)) (2) = 50 \ cdot 101 = 5050 $$

როგორ გააკეთა მან ეს? შევეცადოთ გავარკვიოთ 1-დან 10-მდე თანხის მაგალითის გამოყენებით.

მეთოდი პირველი: რიცხვების დაყოფა წყვილებად

მოდით დავწეროთ რიცხვები 1-დან 10-მდე, როგორც მატრიცა ორი მწკრივით და ხუთი სვეტით:

$$ \ მარცხნივ (\ დასაწყისი (მასივი) (c) 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 10 & 9 & 8 & 7 & 6 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) $$

საინტერესოა, რომ თითოეული სვეტის ჯამი არის 11 ან $ n + 1 $. და არის 5 ასეთი წყვილი რიცხვი ან $ \ frac (n) (2) $. ჩვენ ვიღებთ ჩვენს ფორმულას:

$$ ნომერი \ სვეტები \ cdot ჯამი \ ნომრები \ \ სვეტებში = \ ფრაკ (n) (2) \ cdot (n + 1) $$

თუ კენტი რაოდენობის ტერმინები?

რა მოხდება, თუ დააგროვებთ რიცხვებს 1-დან 9-მდე? ხუთი წყვილის შესაქმნელად ერთი რიცხვი გვაკლია, მაგრამ შეგვიძლია ავიღოთ ნული:

$$ \ მარცხნივ (\ დასაწყისი (მასივი) (c) 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 9 & 8 & 7 & 6 & 5 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) $$

სვეტების ჯამი ახლა არის 9 ან ზუსტად $ n $. და სვეტების რაოდენობა? ჯერ კიდევ არის ხუთი სვეტი (ნულის წყალობით!), მაგრამ ახლა სვეტების რაოდენობაა $ \ frac (n + 1) (2) $ (y გვაქვს $ n + 1 $ და სვეტების რაოდენობის ნახევარი).

$$ ნომერი \ სვეტები \ cdotSum \ ნომრები \ \ სვეტებში = \ ფრაკი (n + 1) (2) \ cdot n $$

მეორე გზა: გააორმაგე და ჩაწერე ორ სტრიქონზე

რიცხვების ჯამს ამ ორ შემთხვევაში ცოტა განსხვავებულად ვიანგარიშებთ.
იქნებ არის გზა ლუწი და კენტი რიცხვების ჯამის ერთნაირად გამოთვლა?

იმის მაგივრად, რომ რიცხვებისგან ერთგვარი „მარყუჟი“ გავაკეთოთ, დავწეროთ ისინი ორ სტრიქონში, ხოლო რიცხვების რაოდენობა ორზე გავამრავლოთ:

$$ \ მარცხნივ (\ იწყება (მასივი) (c) 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \ ბოლოს (მასივი) \ მარჯვნივ) $$

უცნაური შემთხვევისთვის:

$$ \ მარცხნივ (\ იწყება (მასივი) (c) 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) $$

ჩანს, რომ ორივე შემთხვევაში სვეტების ჯამი არის $ n + 1 $, ხოლო სვეტების რაოდენობა არის $ n $.

$$ ნომერი \ სვეტები \ cdot ჯამი \ ნომრები \ \ სვეტებში = n \ cdot (n + 1) $$

მაგრამ ჩვენ გვჭირდება მხოლოდ ერთი რიგის ჯამი, ასე რომ:

$$ \ frac (n \ cdot (n + 1)) (2) $$

მესამე გზა: გააკეთეთ მართკუთხედი

არის კიდევ ერთი ახსნა, ვცადოთ ჯვრების დაკეცვა, ვთქვათ გვაქვს ჯვრები:

როგორც ჩანს, მეორე გზის უბრალოდ განსხვავებული წარმოდგენაა - პირამიდის ყოველ მომდევნო ხაზს აქვს მეტი ჯვარი და ნაკლები ნულები. ყველა ჯვრისა და ნულის რიცხვი არის მართკუთხედის ფართობი.

$$ ფართობი = სიმაღლე \ cdot სიგანე = n \ cdot (n + 1) $$

მაგრამ ჩვენ გვჭირდება ჯვრების ჯამი, ასე რომ:

$$ \ frac (n \ cdot (n + 1)) (2) $$

მეოთხე გზა: საშუალო არითმეტიკული

ცნობილია: $ საშუალო \ არითმეტიკა = \ ფრაკი (ჯამობა) (თვლა \ წევრები) $
შემდეგ: $ ჯამი = საშუალო \ არითმეტიკა \ cdot ნომერი \ წევრები $

ჩვენ ვიცით წევრების რაოდენობა - $ n $. როგორ გამოვხატოთ საშუალო არითმეტიკული?

ყურადღება მიაქციეთ, რომ რიცხვები თანაბრად ნაწილდება. ყოველი დიდი რიცხვისთვის არის პატარა მეორე ბოლოში.

1 2 3, საშუალოდ 2

1 2 3 4, საშუალოდ 2.5

ამ შემთხვევაში, საშუალო არითმეტიკული არის რიცხვების არითმეტიკული საშუალო 1 და $ n $, ანუ $ საშუალო \ არითმეტიკა = \ ფრაკი (n + 1) (2) $

$$ ჯამი = \ ფრაკი (n + 1) (2) \ cdot n $$

მეხუთე გზა: ინტეგრალური

ყველამ ვიცით, რომ განსაზღვრული ინტეგრალი ითვლის ჯამს. გამოვთვალოთ ჯამი 1-დან 100-მდე ინტეგრალით? დიახ, მაგრამ ჯერ მაინც ვიპოვოთ ჯამი 1-დან 3-მდე. მოდით, ჩვენი რიცხვები იყოს y (x) ფუნქცია. მოდით დავხატოთ სურათი:

სამი მართკუთხედის სიმაღლე ზუსტად არის რიცხვები 1-დან 3-მდე. მოდით გავავლოთ სწორი ხაზი „ქუდების“ შუაში:

კარგი იქნებოდა ამ წრფის განტოლების პოვნა. ის გადის წერტილებს (1.5; 1) და (2.5; 2). $ y = k \ cdot x + b $.

$$ \ დასაწყისი (შემთხვევები) 2.5k + b = 2 \\ 1.5k + b = 1 \ დასასრული (ქეისები) \ Rightarrow k = 1; b = -0,5 $$

ამრიგად, სწორი ხაზის განტოლება, რომლითაც შეგვიძლია მივახლოთ ჩვენი ოთხკუთხედები, არის $ y = x-0,5 $

მართკუთხედებს ყვითელ სამკუთხედებს ჭრის, ზემოდან კი ლურჯს „უმატებს“. ყვითელი უდრის ლურჯს. პირველ რიგში, დავრწმუნდეთ, რომ ინტეგრალის გამოყენება მივყავართ გაუსის ფორმულამდე:

$$ \ int_ (1) ^ (n + 1) (x- \ frac (1) (2)) \, dx = (\ frac (x ^ (2)) (2) - \ frac (x) (2 )) (|) ^ (n + 1) _ (1) = \ ფრაკი ((n + 1) ^ (2)) (2) - \ ფრაკი (n + 1) (2) = \ ფრაკი (n ^ ( 2) + 2n + 1-n-1) (2) = \ ფრაკი (n ^ (2) + n) (2) $$

ახლა გამოვთვალოთ ჯამი 1-დან 3-მდე, x-ით ვიღებთ 1-დან 4-მდე, ისე რომ ჩვენი სამივე მართკუთხედი მოხვდება ინტეგრალში:

$$ \ int_ (1) ^ (4) (x- \ frac (1) (2)) \, dx = (\ frac (x ^ (2)) (2) - \ frac (x) (2)) (|) ^ (4) _ (1) = \ ფრაკი (4 ^ (2)) (2) -2- (0.5-0.5) = 6 $$

$$ \ int_ (1) ^ (101) (x- \ frac (1) (2)) \, dx = (\ frac (x ^ (2)) (2) - \ frac (x) (2)) (|) ^ (101) _ (1) = \ ფრაკი (101 ^ (2)) (2) -50,5- (0,5-0,5) = 5100,5-50,5 = 5050 $$

და რატომ არის ეს ყველაფერი საჭირო?

$$ \ ფრაკი (n (n + 1)) (2) = \ ფრაკი (n ^ (2)) (2) + \ ფრაკი (n) (2) $$

პირველ დღეს თქვენს საიტზე მოვიდა ერთი ადამიანი, მეორე დღეს ორი... ყოველდღე 1-ით იზრდებოდა ვიზიტების რაოდენობა. რამდენ ვიზიტს მოიპოვებს საიტი მე-1000 დღის ბოლომდე?

$$ \ ფრაკი (n (n + 1)) (2) = \ ფრაკი (n ^ (2)) (2) + \ ფრაკი (n) (2) = \ ფრაკი (1000 ^ (2)) (2) + \ ფრაკი (1000) (2) = 500000 + 500 = 500500 $$

ციკლი „გასართობი მათემატიკა“ ეძღვნება მათემატიკის მოყვარულ ბავშვებს და მშობლებს, რომლებიც დროს უთმობენ შვილების განვითარებას, „უყრიან“ მათ საინტერესო და გასართობ დავალებებსა და თავსატეხებს.

ამ სერიის პირველი სტატია ეძღვნება გაუსის წესს.

ცოტა ისტორია

ცნობილი გერმანელი მათემატიკოსი კარლ ფრიდრიხ გაუსი (1777-1855) თანატოლებისგან ადრეული ბავშვობიდან განსხვავდებოდა. მიუხედავად იმისა, რომ ის ღარიბი ოჯახიდან იყო, მან ადრე ისწავლა კითხვა, წერა და თვლა. მის ბიოგრაფიაში ნახსენებია კიდეც ის ფაქტი, რომ 4-5 წლის ასაკში მხოლოდ მასზე დაკვირვებით შეძლო მამის არასწორ გამოთვლებში არსებული შეცდომის გამოსწორება.

მისი ერთ-ერთი პირველი აღმოჩენა 6 წლის ასაკში მათემატიკის გაკვეთილზე გაკეთდა. მასწავლებელს სჭირდებოდა ბავშვების მოხიბვლა დიდი ხნის განმავლობაში და მან შესთავაზა შემდეგი პრობლემა:

იპოვეთ ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი 1-დან 100-მდე.

ახალგაზრდა გაუსმა საკმაოდ სწრაფად გაართვა თავი ამ ამოცანას, იპოვა საინტერესო ნიმუში, რომელიც ფართოდ გავრცელდა და დღემდე გამოიყენება ზეპირ დათვლაში.

შევეცადოთ ზეპირად მოვაგვაროთ ეს პრობლემა. მაგრამ ჯერ ავიღოთ რიცხვები 1-დან 10-მდე:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

დააკვირდით ამ რაოდენობას და შეეცადეთ გამოიცნოთ, რა უჩვეულოს ხედავდა გაუსს? პასუხის გასაცემად, თქვენ უნდა გქონდეთ კარგი წარმოდგენა რიცხვების შემადგენლობაზე.

გაუსმა დააჯგუფა რიცხვები შემდეგნაირად:

(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)

ამრიგად, პატარა კარლმა მიიღო 5 წყვილი რიცხვი, რომელთაგან თითოეული ინდივიდუალურად აგროვებს 11-ს. შემდეგ, ნატურალური რიცხვების ჯამის გამოსათვლელად 1-დან 10-მდე, საჭიროა.

დავუბრუნდეთ საწყის პრობლემას. გაუსმა შენიშნა, რომ შეჯამებამდე საჭირო იყო რიცხვების წყვილებად დაჯგუფება და ამით გამოიგონა ალგორითმი, რომლის წყალობითაც შეგიძლიათ სწრაფად დაამატოთ რიცხვები 1-დან 100-მდე:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

იპოვეთ წყვილთა რაოდენობა ნატურალური რიცხვების სერიებში. ამ შემთხვევაში 50 მათგანია.

ჩვენ ვაჯამებთ ამ სერიის პირველ და ბოლო ნომრებს. ჩვენს მაგალითში ეს არის 1 და 100. ვიღებთ 101-ს.

სერიის პირველი და ბოლო წევრის მიღებულ ჯამს ვამრავლებთ ამ სერიების წყვილების რაოდენობაზე. ჩვენ ვიღებთ 101 * 50 = 5050

მაშასადამე, ნატურალური რიცხვების ჯამი 1-დან 100-მდე არის 5050.

გაუსის წესის გამოყენების პრობლემები

ახლა კი შემოგთავაზებთ პრობლემებს, რომლებშიც გაუსის წესი ამა თუ იმ ხარისხით გამოიყენება. მეოთხეკლასელს საკმაოდ შეუძლია ამ პრობლემების გაგება და გადაჭრა.

თქვენ შეგიძლიათ მისცეთ ბავშვს საკუთარი თავის მსჯელობის საშუალება, რათა თავად „გამოიგონოს“ ეს წესი. ან შეგიძლიათ დაშალოთ იგი და ნახოთ, როგორ შეუძლია გამოიყენოს იგი. ქვემოთ მოყვანილ ამოცანებს შორის არის მაგალითები, რომლებშიც თქვენ უნდა გესმოდეთ, როგორ შეცვალოთ გაუსის წესი, რომ გამოიყენოთ იგი მოცემულ თანმიმდევრობაზე.

ნებისმიერ შემთხვევაში, იმისათვის, რომ ბავშვმა ამით იმუშაოს თავის გამოთვლებში, აუცილებელია გაიგოს გაუსის ალგორითმი, ანუ წყვილებად სწორად დაყოფისა და დათვლის უნარი.

Მნიშვნელოვანი!თუ ფორმულა დაიმახსოვრეთ გაგების გარეშე, ის ძალიან სწრაფად დაივიწყება.

პრობლემა 1

იპოვნეთ რიცხვების ჯამი:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

გამოსავალი.

პირველ რიგში, თქვენ შეგიძლიათ მისცეთ ბავშვს შესაძლებლობა, თავად გადაწყვიტოს პირველი მაგალითი და შესთავაზოთ იპოვოთ გზა, რომლითაც ამის გაკეთება ადვილი იქნება გონებაში. შემდეგ გააანალიზეთ ეს მაგალითი ბავშვთან ერთად და აჩვენეთ როგორ გააკეთა გაუსმა ეს. უმჯობესია ჩამოწეროთ სერია სიცხადისთვის და დააკავშიროთ რიცხვების წყვილი ხაზებით, რომლებიც ერთსა და იმავე რიცხვს ემატება. მნიშვნელოვანია, რომ ბავშვმა გაიგოს, თუ როგორ იქმნება წყვილები - ვიღებთ დარჩენილი რიცხვებიდან ყველაზე პატარა და უდიდეს, იმ პირობით, რომ მწკრივში რიცხვების რაოდენობა ლუწია.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050

დავალება2

არსებობს 9 წონა 1გ, 2გრ, 3გრ, 4გრ, 5გ, 6გრ, 7გ, 8გ, 9გ. შესაძლებელია თუ არა ამ წონების დაყოფა თანაბარი წონის სამ გროვად?

გამოსავალი.

გაუსის წესის გამოყენებით, ჩვენ ვიპოვით ყველა წონის ჯამს:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (დ)

ასე რომ, თუ ჩვენ შეგვიძლია დავაჯგუფოთ წონები ისე, რომ თითოეული გროვა შეიცავდეს წონებს, რომელთა საერთო წონაა 15 გ, მაშინ პრობლემა მოგვარებულია.

ერთ-ერთი ვარიანტი:

9გრ, 6გრ
8გრ, 7გრ
5გრ, 4გრ, 3გრ, 2გ, 1გრ

იპოვეთ სხვა შესაძლო ვარიანტები საკუთარ შვილთან ერთად.

ბავშვის ყურადღება მიაქციეთ, რომ ასეთი პრობლემების გადაჭრისას უმჯობესია დაჯგუფება ყოველთვის უფრო დიდი წონით (რიცხვით) დაიწყოთ.

პრობლემა 3

შესაძლებელია თუ არა საათის გვერდი სწორი ხაზით გავყოთ ორ ნაწილად ისე, რომ თითოეული ნაწილის რიცხვების ჯამები ტოლი იყოს?

გამოსავალი.

დასაწყისისთვის გამოიყენეთ გაუსის წესი 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 რიცხვების სერიებზე: იპოვეთ ჯამი და ნახეთ, იყოფა თუ არა ის 2-ზე:

ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ გაყოფა. ახლა ვნახოთ როგორ.

ამიტომ ციფერბლატზე აუცილებელია ხაზი გავუსვათ ისე, რომ 3 წყვილი ერთ ნახევარში მოხვდეს, ხოლო სამი მეორეში.

პასუხი: ხაზი გაივლის 3 და 4 რიცხვებს შორის, შემდეგ კი 9 და 10 რიცხვებს შორის.

დავალება4

შესაძლებელია თუ არა საათის ციფერბლატზე ორი სწორი ხაზის დახატვა ისე, რომ თითოეულ ნაწილში რიცხვების ჯამი ერთნაირი იყოს?

გამოსავალი.

დასაწყისისთვის გამოიყენეთ გაუსის წესი 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 რიცხვების სერიაზე: იპოვეთ ჯამი და ნახეთ, იყოფა თუ არა ის 3-ზე:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

78 იყოფა სამზე ნაშთის გარეშე, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ გაყოთ. ახლა ვნახოთ როგორ.

გაუსის წესით ვიღებთ 6 წყვილ რიცხვს, რომელთაგან თითოეული ჯამდება 13-მდე:

1 და 12, 2 და 11, 3 და 10, 4 და 9, 5 და 8, 6 და 7.

ამიტომ ციფერბლატზე აუცილებელია ხაზების დახატვა ისე, რომ თითოეულ ნაწილში 2 წყვილი მოხვდეს.

პასუხი: პირველი ხაზი გაივლის 2 და 3 რიცხვებს შორის, შემდეგ კი 10 და 11 რიცხვებს შორის; მეორე ხაზი არის 4 და 5 რიცხვებს შორის, შემდეგ კი 8-სა და 9-ს შორის.

პრობლემა 5

ფრინველთა ფარა დაფრინავს. წინ არის ერთი ფრინველი (ლიდერი), რომელსაც მოსდევს ორი, შემდეგ სამი, ოთხი და ა.შ. რამდენი ფრინველია ფარაში, თუ ბოლო რიგში 20 ფრინველია?

გამოსავალი.

მივიღებთ, რომ ჩვენ უნდა დავამატოთ რიცხვები 1-დან 20-მდე. და ასეთი ჯამის გამოსათვლელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ გაუსის წესი:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.

პრობლემა 6

როგორ მოვათავსოთ 45 კურდღელი 9 გალიაში ისე, რომ ყველა გალიაში იყოს სხვადასხვა რაოდენობის კურდღელი?

გამოსავალი.

თუ ბავშვმა გადაწყვიტა და გაგებით გაიგო მაგალითები 1-დან ამოცანის შემდეგ, მაშინვე ახსოვს, რომ 45 არის რიცხვების ჯამი 1-დან 9-მდე. ამიტომ კურდღლებს ვრგავთ ასე:

პირველი უჯრედი არის 1,
მეორე - 2,
მესამე - 3,
მერვე - 8,
მეცხრე - 9.

მაგრამ თუ ბავშვს ამის გარკვევა დაუყოვნებლივ არ შეუძლია, მაშინ შეეცადეთ აიძულოთ იგი იმ აზრამდე, რომ ასეთი პრობლემების მოგვარება შესაძლებელია უხეში ძალით და უნდა დაიწყოს მინიმალური რაოდენობით.

პრობლემა 7

გამოთვალეთ ჯამი გაუსის ხრიკის გამოყენებით:

31 + 32 + 33 + … + 40;
5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
4 + 6 + 8 + 10 + 12;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.

გამოსავალი.

31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.

პრობლემა 8

არის 12 წონის ნაკრები 1გ, 2გრ, 3გრ, 4გრ, 5გრ, 6გრ, 7გ, 8გ, 9გრ, 10გრ, 11გრ, 12გრ. კომპლექტიდან ამოღებულ იქნა 4 წონა, რომელთა ჯამური მასა უდრის მთელი სიმძიმის მთლიანი მასის მესამედს. შესაძლებელია თუ არა დარჩენილი სიმძიმეების დადება ორ სასწორზე 4 ცალი თითოეულ ტაფაზე ისე, რომ ისინი წონასწორობაში იყვნენ?

გამოსავალი.

ჩვენ ვიყენებთ გაუსის წესს წონების საერთო მასის საპოვნელად:

1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (დ)

ჩვენ ვიანგარიშებთ ამოღებული წონების მასას:

მაშასადამე, დარჩენილი წონები (მთლიანი მასით 78-26 = 52 გ) უნდა განთავსდეს 26 გ ბალანსის თითოეულ ტაფაზე ისე, რომ ისინი წონასწორობაში იყვნენ.

ჩვენ არ ვიცით რომელი წონები ამოიღეს, ამიტომ ყველა შესაძლო ვარიანტი უნდა განვიხილოთ.

გაუსის წესის გამოყენებით, წონა შეიძლება დაიყოს თანაბარი წონის 6 წყვილად (თითოეული 13 გ):

1d და 12d, 2d და 11d, 3d და 10, 4d and 9d, 5d and 8d, 6d and 7d.

მაშინ საუკეთესო ვარიანტია, როცა 4 წონის მოხსნისას ზემოდან ორი წყვილი მოიხსნება. ამ შემთხვევაში გვექნება 4 წყვილი: 2 წყვილი ერთ სასწორზე და 2 წყვილი მეორეზე.

ყველაზე ცუდი სცენარია, როდესაც 4 ამოღებული წონა არღვევს 4 წყვილს. გვექნება 2 გაუტეხელი წყვილი, საერთო წონით 26გრ, რაც ნიშნავს, რომ ერთ სასწორზე ვათავსებთ, დარჩენილი წონები კი შეიძლება მეორე სასწორზე და ისინიც იქნება 26გრ.

წარმატებებს გისურვებთ თქვენი შვილების განვითარებაში.

დღეს განვიხილავთ ერთ-ერთ მათემატიკურ ამოცანას, რომელიც ჩემს ძმისშვილთან ერთად უნდა გადამეჭრა. და შემდეგ ჩვენ განვახორციელებთ მას PHP-ის საშუალებით. და ჩვენ განვიხილავთ ამ პრობლემის გადაჭრის რამდენიმე ვარიანტს.

Ამოცანა:

თქვენ სწრაფად უნდა დაამატოთ ყველა რიცხვი 1-დან 100-მდე ერთმანეთის მიყოლებით და გაიგოთ ყველა რიცხვის ჯამი.

პრობლემის გადაწყვეტა:

ფაქტობრივად, როცა ეს პრობლემა პირველად მოვაგვარეთ, სწორად ვერ მოვაგვარეთ! მაგრამ ჩვენ არ დავწერთ ამ პრობლემის არასწორ გადაწყვეტაზე.

და გამოსავალი ისეთი მარტივი და ტრივიალურია - თქვენ უნდა დაამატოთ 1 და 100 და გაამრავლოთ 50-ზე. (კარლ გაუსს ჰქონდა ასეთი გამოსავალი, როდესაც ის ძალიან ახალგაზრდა იყო ...)

(1 + 100)*50.

როგორ მოვაგვაროთ ეს პრობლემა php-ის საშუალებით?

გამოთვალეთ ყველა რიცხვის ჯამი 1-დან 100-მდე PHP-ით.

როცა უკვე მოვაგვარეთ ეს პრობლემა, გადავწყვიტეთ გვენახა, რას წერენ ინტერნეტში ამ საკითხზე! და მე ვიპოვე ფორმა, სადაც ახალგაზრდა ნიჭიერები ვერ წყვეტდნენ ამ პრობლემას და ვცდილობდი ამის გაკეთებას ციკლით.

თუ არ არსებობს სპეციალური პირობა, რომ გავაკეთოთ ეს მარყუჟის მეშვეობით, მაშინ აზრი არ აქვს ამის გაკეთებას მარყუჟის მეშვეობით!

Და კი! არ დაგავიწყდეთ, რომ php-ში პრობლემის გადაჭრა მრავალი გზით შეგიძლიათ! ერთი.

ამ კოდს შეუძლია ზოგადად რიცხვების ნებისმიერი თანმიმდევრობის დამატება, დაწყებული ერთიდან უსასრულობამდე.

მოდით განვახორციელოთ ჩვენი გადაწყვეტა მისი უმარტივესი ფორმით:

$ end = $ _POST ["peremennaya"];

$ res = $ end / 2 * ($ i + $ end);

შედეგი: