Sarežģītās pārmaiņus lineārā funkcija tiek saukta par formas funkciju, kur A un 6 tiek sniegti sarežģīti numuri, un F 0. Lineārā funkcija tiek noteikta visām neatkarīgas mainīgā g, nepārprotamām un kopš Apgrieztā funkcija ir nepārprotama, univocked visā plaknē z. Lineārā funkcija ir analītiska visā sarežģītajā plaknē, un to atvasinājums tiek īstenots ar kartēšanu kopumā visā plaknē. Frakcionālā lineārā funkcija ir sugas funkcija - norādītie sarežģīti skaitļi, un frakcionētā lineārā funkcija ir definēta visām neatkarīgā mainīgā zy, izņemot Z \u003d - | nepārprotamu, un, tā kā apgrieztās funkcijas elementārās funkcijas sarežģītu Mainīgas frakcionētās racionālas funkcijas Strāvas funkcija ir indikatīva funkcija Logaritmiskā funkcija Trigonometriskās un hiperboliskās funkcijas ir nepārprotamas, viena kuģa visa kompleksā plaknē, izņemot z \u003d - šajā jomā, funkcija (3) ir analītiska un tā atvasinājums tādēļ tiek īstenota ar kartēšanu. Mēs nodrošinām funkciju (3) punktā z \u003d - \\, bezgalīgi attālajā vietā W \u003d OO, kas ievietots saskaņā ar Z (OO) \u003d tad frakcionētā lineārā funkcija būs viena paplašinātā kompleksā plaknē z. Piemērs 1. Apsveriet sadales lineāro funkciju no vienlīdzības nozīmē, ka moduļi sarežģīto numuru r un un "ir konfidenciāli ar attiecībām, un šie skaitļi paši atrodas uz stariem, kas rodas no punkta o un simetrisks attiecībā pret faktisko asi. Jo īpaši viena apļa punkts Z | \u003d 1 Dodieties uz vienu apļa punktu; \u003d 1. Šajā gadījumā integrētais numurs tiek veikts saskaņā ar konjugāta numuru (11. att.). Mēs arī atzīmējam, ka funkcija iet \u003d -G parāda bezgalīgi attālinātu G - OO uz nulli - 0. 2.2. Strāvas funkcija ir jaudas funkcija, kur n ir dabisks skaitlis analītisks visā sarežģītajā plaknē; Tā atvasinājums \u003d NZN ~] ar p\u003e 1 atšķiras no nulles visos punktos, izņemot Z \u003d 0. Atgādinot formulā (4) W un z indikatīvajā formā, mēs to iegūstam no formulas (5), to var redzēt Kompleksie numuri Z un Z2, kur K ir vesels skaitlis, dodieties uz vienu punktu w. Tātad, pie n\u003e 1, kartēšana (4) nav viena kuģa uz Z plaknes. Vienkāršākais piemērs reģionam, kurā kartēšana ir hy \u003d Zn ir viens, ir nozare, kurā ir kāds reāls skaitlis. Reģionā (7) kartēšana (4) atbilstoši. - daudzvērtīgi, jo par katru integrēto numuru Z \u003d Ge1b F 0 var norādīt dažādos integrētos numuros, piemēram, to n-i grāds Z: Ņemiet vērā, ka to sauc par sarežģīta mainīgā z polinomu pakāpi, funkciju, kurā tiek saukta par sarežģītiem skaitļiem, un AS F 0. Polinoms ir vai nu analītiskā funkcija visa sarežģītā plaknē. 2.3. Frakcionālo racionālu funkciju frakcionētu-racionālu funkciju sauc funkcija formā, kur) - polinomi sarežģītu mainīgo z. Frakcionālā racionālā funkcija ir analītiska visā plaknē, izņemot tos punktus, kuros kanāls Q (z) attiecas uz nulli. 3. Piemērs Zhukovsky__ analītiskā funkcija visā plaknē r, izņemot punktu γ \u003d 0. Mēs uzzināsim nosacījumus uz laukuma kompleksā plaknes, kurā funkcija Zhukschoe, kas tiek uzskatīta šajā jomā, būs būt vienveidīgam. M ļaujiet punktiem z) un ZJ funkcija (8) pārvēršas vienā punktā. Tad, kad mēs saņemam to, ko nozīmē, ka Savienības funkcijas savienībai ir nepieciešams pietiekams nosacījums ar piemēru domēna, kas atbilst Savienības stāvoklim (9), ir apļa izskats | Z | z | \u003e 1. Kopš relivatūras funkcijas Zhukovsky elementārās funkcijas sarežģītās mainīgās frakcionētās racionālās funkcijas Spēcīga funkcija indikatīvā funkcija ir logaritmiskā funkcija trigonometriskās un hiperboliskās funkcijas atšķiras no nulles visur, izņemot punktus, displeja apgabala veikts ar šo funkciju, tiks konforme (13. att.). Ņemiet vērā, ka viens apļa interjers I ir arī Zhukovskas funkcijas savienības joma. Fig. 13 2.4. Orientējošā funkcija ir indikatīvā funkcija EZ Mēs definējam jebkuru sarežģītu numuru Z \u003d X + Gu kā šādu attiecību: pie x \u003d 0 Mēs iegūstam Euler Formula: Mēs aprakstām indikatīvās funkcijas pamatīpašības: 1. derīgai Z Šī definīcija Sakrīt ar parasto. To var redzēt tieši, liekot formulu (10) y \u003d 0. 2. EZ funkcija ir analītiska visā sarežģītajā plaknē, un parastā diferenciācijas formula ir saglabāta tā. 3. Turklāt teorēma tiek saglabāta. Ievietojiet 4. EZ funkciju - periodiski ar iedomātu galveno 2XI periodu. Faktiski, jebkurā veselumā, no otras puses, ja pēc definīcijas (10) izriet, ko no tā izriet, vai kur n ir vesels skaitlis. Bārā nav viena pāris punktu, kas saistīti ar saikni (12), tāpēc no pētījuma izriet, ka kartēšana W \u003d E "viens l ir sloksnē (14. att.). Uzbrukumus kā atvasinājumu, tad Tas ir konformālais displejs. NIV Ja šo daudzvērtīgo funkciju sauc par logaritmisku, un tas ir norādīts šādi Arg Z sauc par galveno vērtību logaritmu un formulu 2.6 iegūst LN Z, trigonometrisko un hiperbolisko funkciju no Euler Formula (11) par derīgu y mēs esam Iegūstiet, no kurām trigonometriskās funkcijas grēka Z un COS Z jebkuram sarežģītam skaitam Z ir šādas formulas: sinusa un kompleksā argumentu ir interesantas īpašības.. Mēs uzskaitām galvenos. Funkcijas Sinz un Cos Z: 1) par derīgs z-x sakrīt ar parasto sinusa un kosines; 2) analītiskā visa sarežģītā plaknē; 3) Ievērojiet parastās diferenciācijas formulas: 4) periodisku ar periodu 2TG; 5) grēks Z ir nepāra funkcija, A COS Z - pat; 6) tiek saglabāti parastie trigonometriskie rādītāji. Visas uzskaitītās īpašības ir viegli iegūtas no formulām (15). TGZ un CTGZ funkcijas sarežģītajā reģionā nosaka formulas un hiperboliskās funkcijas - Formulas "Hiperboliskās funkcijas ir cieši saistītas ar trigonometriskām funkcijām. Šo savienojumu izsaka šādas vienādības: sarežģītā argumenta sinusa un kosīnā ir vēl viens svarīgs Īpašums: uz kompleksā plaknes | liek sevi lielas pozitīvas vērtības. Mēs to parādīsim. Izmantojot īpašības 6 un formulas (18), mēs iegūstam, ka elementārās funkcijas sarežģītu mainīgu frakcionētu racionālu funkciju funkciju indikatīvā funkcija ir logaritmiskā funkcija Trigonometrisko un hiperbolisko funkciju no kurienes mēs pieņemam, mums ir piemērs 4. Nav grūti pārbaudīt, vai -4 faktiski ir.
, 6. lpp.11 Kompleksa mainīgā pamatfunkcijas
Atgādināt sarežģītu izstāžu definīciju. Tad
Sadalīšanās pēc kārtas MacLogen. Šīs sērijas konverģences rādiuss ir vienāds ar + ∞, kas nozīmē integrētu Eksponenta analītisko analītisko visu komplekso plakni un
(exp z) "\u003d exp z; exp 0 \u003d 1. (2)
Pirmā vienlīdzība šeit seko, piemēram, no teorēma par barošanas sērijas augsnes diferenciāciju.
11.1 Trigonometriskās un hiperboliskās funkcijas
Sinusa komplekss mainīgais sauc par funkciju
Kompleksa mainīgā kosinings Ir funkcija
Hiperbolisks sinusa komplekss pārmaiņus noteikts šādā veidā:
Hiperbolisks Kosms ar sarežģītu mainīgo - Šī ir funkcija
Atzīmējiet dažas jaunizveidoto funkciju īpašības.
A.Ja x∈ ℝ, tad cos x, sin x, ch x, sh x∈ ℝ.
B.Notiek šādas trigonometriskās un hiperbolisko funkciju attiecības:
cos iz \u003d ch z; Sin Iz \u003d ISH Z, CH Iz \u003d COS Z; SH Iz \u003d ISIN Z.
B. Pamata trigonometriskā un hiperboliskā identitāte:
cos 2 z + sin 2 z \u003d 1; CH2 Z-SH 2 Z \u003d 1.
Pierādījums par galveno hiperbolisko identitāti.
Galvenā trigonometriskā identitāte izriet no onow hiperboliskās identitātes, ņemot vērā trigonometriskās un hiperbolisko funkciju obligācijas (skatīt īpašumu b)
G. Formulas papildinājums:
It īpaši,
D. Lai aprēķinātu trigonometriskās un hiperbolisko funkciju atvasinājumus, jums ir jāpiemēro teorēma par barošanas rindas augsnes diferenciāciju. Mēs saņemam:
(COS Z) "\u003d - grēks Z; (grēks Z)" \u003d COS Z; (Ch z) "\u003d sh z; (sh z)" \u003d ch z.
E.Funkcijas Cos Z, CH Z ir pat, un grēka Z, SH Z funkcijas ir nepāra.
J. (periodiskums) Funkcija E Z ir periodisks ar 2π i. COS Z, SIN Z funkcijas ir periodiskas ar 2π periodu, un funkcija CH Z, SH z ir periodisks ar 2πi periodu. Turklāt,
Izmantojot formulas, mēs saņemam
Z.. Sadalīšanās uz derīgām un iedomātām daļām:
Ja nepārprotamā analītiskā funkcija f (z) ir dejoši reģions D reģionam, tad D sauc par vienas bāzes laukumu.
UN.Reģions d k \u003d (x + iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .
Pierādījumi. No saiknes (5), injekcijas displeja ekspluatācija: d k → ℂ. Ļaujiet w būt jebkuram beztās sarežģītajam skaitlim. Tad, risinot vienādojumus e x \u003d | W | un e iy \u003d w / | w | ar derīgiem mainīgajiem lielumiem x un y (y izvēlēties no pusi studijas)
