Šeit mēs turpināsim uzsākt pirmajā daļā operāciju pār matricām un brīnīties pāris piemēriem, kuros jums būs nepieciešams piemērot vairākas darbības uzreiz.

Matricas būvniecība līdz grādam.

Ļaujiet k būt negatīvs skaitlis. Jebkurai kvadrātveida matrica $ a_ (n rys n) $ mums ir: $$ a ^ k \u003d apakšbikses (A \\ pret a

Šajā gadījumā mēs pieņemam, ka $ a ^ 0 \u003d e $, kur $ e $ ir viena attiecīgā pasūtījuma matrica.

4. piemērs 4.

Matrix $ A \u003d \\ pa kreisi (sākt (masīvs) (CC) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ t (masīvs) labo) $ ir iestatīts. Atrodiet matricas $ a ^ 2 $ un $ a ^ $ 6.

Saskaņā ar definīciju $ a ^ 2 \u003d a \\ cdot a $, t.e. Lai atrastu $ a ^ $ 2 $ Mums vienkārši ir nepieciešams, lai reizinātu $ A $ matricu sev. Matricu pavairošanas darbība tika izskatīta pirmajā daļā tēmu, tāpēc šeit mēs vienkārši uzrakstīt risinājumu procesu bez detalizētiem paskaidrojumiem:

$$ a ^ 2 \u003d a \\ cdot a \u003d \\ pa kreisi (sākt (masīvs) (cc) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ galdati (masīvs) labo) \\ t cdot \\ pa kreisi (sākt (masīvs) (CC) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ BEND (ARRAY) labā) \u003d \\ pa kreisi (sākt (masīvs) (cc) 1 \\ cdot 1 + 2 \\ cdot (-1) & 1 \\ T +2 \\ cdot (-3) \\ t -1 \\ cdot 1 + (- 3) \\ cdot (-1) & -1 \\ cdot 2 + (- 3) \\ cdot (-3) \\ galdati (masīvs) \\ t ) \u003d \\ T pa kreisi (sākt (masīvs) (CC) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ BEND (masīvs) labā). $$.

Lai atrastu $ ^ $ 6 matricu, mums ir divas iespējas. Iespēja vispirms: TRITELY turpiniet reizināt $ A ^ $ 2 par $ A $ matricu:

$$ a ^ 6 \u003d a ^ 2 \\ cdot a \\ cdot a \\ cdot a \\ cdot A. $$

Tomēr ir iespējams iet nedaudz vienkāršāk, izmantojot matricas vairošanās īpašības. Mēs ievietojam kronšteinus izteiksmē par $ ^ $ 6:

$$ a ^ 6 \u003d a ^ 2 \\ cdot a cdot a \\ cdot a \\ cdot a \u003d a ^ 2 \\ cdot (a \\ cdot a) \\ cdot (a \\ cdot a) \u003d a ^ 2 \\ cdot a ^ 2 Cdot a ^ 2. $$.

Ja, risinot pirmo metodi, būtu četras reizināšanas operācijas, tad otrajai metodei - tikai divi. Tātad, iet cauri otrajam virzienam:

$$ a ^ 6 \u003d a ^ 2 \\ cdot a ^ 2 \\ cdot a ^ 2 \u003d \\ pa kreisi (sākt (masīvs) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ _bija (masīvs) labajā) \\ t CDOT \\ pa kreisi (sākt (masīvs) (CC) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ TEND (ARRAY) labajā) \\ TDOT \\ T pa Sākt (masīvs) (CC) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ TEND (masīvs) \\ T pa kreisi (sākiet (masīvs) (CC) -1 \\ CDOT (-1) + (- 4) \\ cdot 2 & -1 \\ TDOT (-4) ) + (- 4) \\ t cdot 7 \\\\ 2 \\ cdot (-1) +7 \\ cdot 2 & 2 \\ cdot (-4) +7 \\ cdot 7 \\ galdati (masīvs) labo) \\ cdot \\ pa kreisi (\\ t Sākas (masīvs) (CC) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ BEND (masīvs) labajā) \u003d \\ pa kreisi (sākt (masīvs) (CC) -7 & -24 \\\\ 12 & 41 \\ BEND ( Array) \\ T pa labi (masīvs) (CC) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ _bija (masīvs) \\ t pa labi) \u003d \\\\ \u003d \\ t pa kreisi (sākt (masīvs) (CC ) -7 \\ CDOT (-1) + (- 24) \\ cdot 2 & -7 \\ cdot 7 \\\\ 12 \\ CDOT (-1) +41 \\ CDOT 2 & 12 CDOT (-4) +41 \\ T CDOT 7 \\ BEND (masīvs) \\ Tiesības) \u003d \u200b\u200b\\ pa kreisi (sākt (masīvs) (CC) -41 & -140 \\\\ 0 & 239 \\ BEND (masīvs) \\ t $$.

Atbildēt: $ A ^ 2 \u003d \\ pa kreisi (sākt (masīvs) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ _bija (masīvs) labajā) $, $ a ^ 6 \u003d \\ pa kreisi (sākt (masīvs) (CC) -41 & -140 \\ tExt (masīvs) \\ t

Numurs 5.

Matrica $ A \u003d \\ pa kreisi (sākt (masīvs) (CCCC) 1 & 0 & -1 & 2 \\\\ 3 & 4 & 5 & 0 \\ ed (masīvs) \\ t pa labi) $, $ b \u003d \\ T pa Sākt (ARRAY) (CCC) -9 & 1 & 0 \\\\ 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & -2 & 3 \\\\ 1 & 5 \\\\ 0 end (masīvs) \\ t pa labi) $, $ C \u003d \\ T pa kreisi (Sākt (masīvs) (CCC) -5 & -20 & 13 \\\\ 10 un 12 & 9 \\\\ 3 & -15 & 8 \\ TEND (masīvs) labo) $. Atrodiet matricu $ d \u003d 2AB-3C ^ t + 7e $.

Aprēķināšana Matrica no $ D $ sāksies ar atrast rezultātu produkta $ AB $. Matricas $ A $ un $ B $ var reizināt, jo kolonnu skaits $ A $ matricas kolonnā ir vienāds ar skaitu līniju matricas $ b $. Apzīmējiet par $ f \u003d ab $. Šajā gadījumā matrica $ F būs trīs kolonnas un trīs līnijas, ti. Tas būs kvadrātveida (ja šis produkts šķiet neskaidrs, skatiet matricu vairošanās aprakstu šīs tēmas pirmajā daļā). Mēs atrodam $ F $ matricu, aprēķina visus tās elementus:

$$ f \u003d a \\ cdot b \u003d \\ pa kreisi (sākt (masīvs) (CCCC) 1 & 0 & -1 & 2 \\\\ 3 & -2 & 5 & 0 \\\\ -1 & 4 & -3 & 6 \\\\ Beigas (masīvs) labajā) \\ T CDOT \\ pa kreisi (sākt (masīvs) (CCC) -9 & 1 & 0 \\\\ 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & -2 & 3 \\\\ 1 & 5 & 0 \\\\ Beigas (masīvs) labajā) \\ sākas (saskaņots) & f_ (11) \u003d 1 \\ cdot (-9) +0 \\ cdot 2 + (- 1) \\ cdot 0 + 2 \\ cdot 1 \u003d -7; \\\\ un f_ (12) \u003d 1 \\ cdot 1 + 0 \\ cdot (-1) + (- 1) \\ cdot (-2) +2 \\ cdot 5 \u003d 13; \\\\ un f_ (13) \u003d 1 \\ cdot 0 + 0 \\ cdot 4 + (- 1) \\ cdot 3 + 2 \\ cdot 0 \u003d -3; \\\\ & f_ (21) \u003d 3 \\ cdot (-9 ) + (- 2) cdot 2 + 5 \\ cdot 0 + 0 \\ cdot 1 \u003d -31; \\\\ un f_ (22) \u003d 3 \\ cdot 1 + (- 2) \\ cdot (-1) +5 \\ cdot (-2) +0 \\ cdot 5 \u003d -5; \\\\ un f_ (23) \u003d 3 \\ cdot 0 + (- 2) \\ cdot 4 + 5 \\ cdot 3 + 0 \\ cdot 0 \u003d 7; \\\\ \\\\ \\ t & F_ (31) \u003d - 1 \\ CDOT (-9) +4 \\ cdot 2 + (- 3) \\ cdot 0 + 6 \\ cdot 1 \u003d 23; \\\\ un f_ (32) \u003d - 1 \\ cdot 1 + 4 \\ cdot (-1) + (- 3) \\ cdot (-2) +6 \\ cdot 5 \u003d 31; \\\\ un f_ (33) \u003d - 1 Cdot 0 + 4 \\ cdot 4 + (- 3) \\ cdot 3 + 6 \\ cdot 0 \u003d 7. End (saskaņots) $$

Tātad, $ F \u003d \\ pa kreisi (sākt (masīvs) (CCC) -7 un 13 & -3 \\\\ -31 & -5 & 7 \\\\ 23 un 31 un 7 \\ BEND (masīvs) labo) $. Ejam tālāk. Matrica $ c ^ t $ - transponēta matrica par $ c $ matricu, t.i. $ C ^ T \u003d \\ T pa Sākt (masīvs) (CCC) -5 & 10 & 3 \\\\ -20 & 12 & -15 \\\\ 13 un 9 & 8 \\ TEND (masīvs) labo) $. Kas attiecas uz matricu $ e $, tad tas ir viens matrica. Iebildums Šis gadījums Šīs matricas rīkojums ir trīs, ti.e. $ E \u003d \\ pa kreisi (sākt (masīvs) (CCC) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\ BEND (masīvs) labo) $.

Principā mēs varam turpināt soli pa solim, bet atlikušā izteiksme ir labāk apsvērt pilnīgi bez traucējumiem ar palīgdarbībām. Faktiski mums ir tikai operācijas, lai reizinātu matricas par numuru, kā arī papildus un atņemšanu.

$$ d \u003d 2Ab-3c ^ t + 7e \u003d 2 \\ cdot \\ pa kreisi (sākt (masīvs) (CCC) -7 & 13 & -3 \\\\ -31 & -5 & 7 \\\\ 23 un 31 & 7 \\ t Beigas (masīvs) labajā) -3 \\ cdot \\ pa kreisi (sākt (masīvs) (CCC) -5 & 10 & 3 \\\\ - 20 & 12 & -15 \\\\ 13 un 9 & 8 \\ TEND (masīvs) \\ t Pa labi) +7 \\ T CDOT \\ pa kreisi (sākt (masīvs) (CCC) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\ BEND (masīvs) labo) $$

Pavairojiet matricas labajā vienlīdzības daļā uz attiecīgajiem numuriem (I.E., 2., 3. un 7.):

$$ 2 \\ CDOT \\ pa kreisi (sākt (masīvs) (CCC) -7 & 13 & -3 \\\\ -31 & -5 & 7 \\\\ 23 & 31 & 7 \\ BEND (masīvs) labo) -3 \\ t CDOT \\ pa kreisi (sākt (masīvs) (CCC) -5 & 10 & 3 \\\\ -20 & 12 & -15 \\\\ 13 un 9 & 8 \\ TEND (ARRY) \\ T pa labi) +7 \\ CDOT \\ pa kreisi (\\ t Sākt (masīvs) (CCC) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 \u003d \\\\ \u003d \\ T pa Sākt (masīvs) (CCC) - 14 un 26 un 14 \\\\ -62 & -10 & 14 \\\\ 46 & 62 & 14 \\ T pa kreisi (sākt (masīvs) (CCC) -15 & 13 & 9 \\\\ - \\ t 60 & 36 & -45 \\\\ 39 & 27 & 24 \\ T pa kreisi (sākt (masīvs) (CCC) 7 & 0 & 0 \\\\ 0 & 7 & 0 \\\\ 0 & 0 & 7 end (masīvs) labais) $$

Veikts jaunākās darbības: Atņemšana un papildinājums:

$$ gadi (sākt (masīvs) (CCC) -14 un 26 & -6 \\\\ -62 & -10 & 14 \\\\ 6 & 62 & 14 \\ TEND (ARRAY) \\ Tiesības) - \\ pa kreisi (sākt (ARRAY) (CCC) -15 un 30 & 9 \\\\ -60 & 36 un -45 \\\\ 39 & 27 & 24 \\ T PASTER (Sākt (masīvs) (CCC) 7 & 0 & 0 \\\\ 0 & 7 \\ TEND (ARRAY) \\ T Sākt (masīvs) (CCC) -14 - (- 15) +7 & 26-30 + 0 & -6- 9 + 0 \\\\ -62 - (- 60) +0 & -10-36 + 7 & 14 - (- 45) +0 \\\\ 46-39 + 0 & 62-27 +0 & 14-24 + 7 \\ t Beigas (masīvs) \\ tEx) \u003d \\ pa kreisi (sāk (masīvs) (CCC) 8 & -4 & -15 \\\\ -2 & -39 & 59 \\\\ 7 & 35 & -3 \\ galdati (masīvs) labajā ). $$.

Uzdevums ir atrisināts, $ d \u003d \\ pa kreisi (sākt (masīvs) (CCC) 8 & -4 & -15 \\\\ -2 & -39 & 59 \\\\ 7 un 35 & -3 \\ BEND (masīvs) labajā ) $.

Atbildēt: $ D \u003d \\ T pa kreisi (sākt (masīvs) (CCC) 8 & -4 & -15 \\\\ -2 & -39 & 59 \\\\ 7 & 35 & -3 \\ TEND (masīvs) labo) $.

6. piemērs.

Ļaujiet $ F (x) \u003d 2x ^ 2 + 3x-9 $ un matricas $ A \u003d \\ pa kreisi (sākt (masīvs) (CC) -3 un 1 \\\\ 5 & 0 \\ TEND (ARRAY) labo) $ . Atrodiet $ F (A) $ vērtību.

Ja $ F (x) \u003d 2x ^ 2 + 3x-9 $, tad zem $ f (a) $ saprast matricu:

$$ f (a) \u003d 2a ^ 2 + 3a-9e. $$.

Tas ir tas, kā polinoms tiek noteikts no matricas. Tātad, mums ir nepieciešams, lai aizstātu matricas $ A $ izteiksmē par $ f (a) $ un iegūt rezultātu. Tā kā visas darbības tika detalizēti demontētas agrāk, tad es tikai pieņemšu lēmumu. Ja process izpildes operācijas $ a ^ 2 \u003d a \\ cdot a $ nav skaidrs jums, es ieteiktu jums apskatīt dalīšanas matrices pirmajā daļā šo tēmu.

$$ f (a) \u003d 2a ^ 2 + 3A-9e \u003d 2a \\ t uz + 3a-9e \u003d 2 \\ pa kreisi (sākt (masīvs) (CC) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ galdati (masīvs) \\ Tiesvedis \\ T Sākt (masīvs) (CC) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ BEND (masīvs) labajā) +3 \\ T pa Sākt (masīvs) (CC) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ TEND (START (START (ARRAY) (CC) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ BEND (masīvs) labajā) \u003d \\\\ \u003d 2 \\ pa kreisi ( Sāks (masīvs) (CC) (-3) \\ cdot (-3) +1 \\ cdot 5 & (-3) \\ cdot 1 + 1 \\ cdot 0 \\\\ 5 \\ t cdot (-3) +0 \\ t cdot 5 & 5 \\ CDOT 1 + 0 \\ CDOT 0 \\ BEND (masīvs) labajā) +3 \\ T pa Sākt (masīvs) (CC) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ BEND (masīvs) \\ t pa labi) -9 LEFT (Sākt (masīvs) (CC) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ BEND (masīvs) labajā) \u003d \\\\ \u003d 2 \\ pa kreisi (sākt (masīvs) (CC) 14 & -3 \\\\ - 15 un 5 \\ T pa kreisi (sākt (masīvs) (CC) -3 un 1 \\\\ 5 & 0 \\ BEND (masīvs) labajā) -9 \\ T pa Sākt (masīvs) ) (CC) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ BEND (ARRAY) \\ PĒJĀ) \u003d \\ T pa Sākt (masīvs) (CC) 28 & -6 \\\\ -30 & 10 \\ T + \\ Pa kreisi (sākt (masīvs) (CC) -9 un 3 \\\\ 15 & 0 \\ BED (STARD (ARRAY) (CC) 9 & 0 \\\\ 0 & 9 \\ t Beigas (masīvs) \\ tEx) \u003d \\ pa kreisi (sākt (masīvs) (CC) 10 & -3 \\\\ -15 & 1 \\ BEND (masīvs) \\ t $$.

Atbildēt: $ F (a) \u003d \\ pa kreisi (sākt (masīvs) (CC) 10 & -3 \\\\ -15 & 1 \\ BEND (masīvs) labo) $.

Matrix A -1 tiek saukta par apgriezto matricu attiecībā pret matricu A, ja A * A -1 \u003d E, kur e ir viena matrica N-secība. Reverse matrica var pastāvēt tikai kvadrātveida matricām.

Pakalpojuma iecelšana. Caur Šis pakalpojums Tiešsaistes režīmā jūs varat atrast algebrisko piedevu, transponētu matricu T, Allied matricu un apgrieztā matricu. Lēmums tiek veikts tieši uz vietas (tiešsaistes režīmā) un ir bezmaksas. Aprēķinu rezultāti tiek izsniegti vārda formāta ziņojumā un excel formāts (I.E. Ir iespējams pārbaudīt lēmumu). Skatīt reģistrācijas piemēru.

Instrukcija. Lai iegūtu risinājumu, jums jānorāda matricas dimensija. Tālāk jaunajā dialoglodziņā aizpildiet matricu a.

Skatīt arī apgriezto matricu ar Jordan-Gauss

Algoritms atgriešanās matricai

1. Atrast transponētu matricu a t.
2. Algebrisko papildinājumu definīcija. Nomainiet katru matrica elementu ar algebrisko papildinājumu.
3. Apkopošana apgrieztā matrica No algebriskiem papildinājumiem: katrs no iegūtā matricas elements ir sadalīts par oriģinālā matricas noteicošo faktoru. Iegūtā matrica ir pretējs sākotnējam matricai.

Sekojošs algoritms atgriešanās matricai Līdzīgi kā iepriekšējā gadījumā, izņemot dažus soļus: pirmkārt, algebrisko papildinājumi tiek aprēķināti, un pēc tam tiek noteikts Allied Matrix C.

1. Nosakiet, vai kvadrātveida matrica. Ja nē, apgrieztā matrica to nepastāv.
2. Aprēķināšana noteicošā matricas a. Ja tas nav vienāds ar nulli, mēs turpinām risinājumu, pretējā gadījumā nav apgrieztās matricas.
3. Algebrisko papildinājumu definīcija.
4. Savienības aizpildīšana (savstarpēja pievienota) matrica C.
5. Apgrieztā algebrisko papildinājumu apgrieztā matrica sastādīšana: katrs pievienotās matricas c elements ir sadalīts sākotnējā matrica noteicošajā daļā. Iegūtā matrica ir pretējs sākotnējam matricai.
6. Pārbaudiet: pārvietojiet oriģinālu un iegūto matricu. Rezultātā jāsaņem viena matrica.

1. piemērs. Mēs rakstām matricu formā:

Algebriskās papildinājumi. Δ 1.2 \u003d - (2 · 4 - (- 2 · (-2))) \u003d -4 Δ 2.1 \u003d - (2 · 4-5 · 3) \u003d 7 Δ 2,3 \u003d - (- 1 · 5 - (- 2 · 2)) \u003d 1 Δ 3.2 \u003d - (- 1 · (-2) -2 · 3) \u003d 4

A -1 \u003d.

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Vēl viens algoritms, lai atrastu reverso matricu

Mēs dodam citu diagrammu atrast atgriešanās matricu.

1. Mēs atrodam šīs kvadrātveida matricas noteicošo faktoru.
2. Mēs atrodam algebriskos papildinājumus visiem matricas elementiem.
3. REKLARĀCIJAS ALGEBRISK PAPILDINĀJUMI rindu elementu kolonnās (transponēšana).
4. Mēs sadalām katru no iegūto matricas elementu līdz noteicošajam matricas a.

Kā mēs redzam, transposulu darbību var izmantot gan sākumā, virs sākotnējā matrica, gan beigās, pār iegūtajiem algebriskajiem papildinājumiem.

Īpašs gadījums: Reverss, attiecībā uz vienu matricu e, ir viena matrica E.

Dažas operāciju īpašības pār matricām.
Matricas izteiksmes

Un tagad turpinājums tēmu, kurā mēs apsvērsim ne tikai jauns materiāls, bet arī darbs darbības ar matricām.

Dažas darbības īpašības virs matricām

Ir diezgan daudz īpašību, kas attiecas uz darbībām ar matricām, tajā pašā wikipedia jūs varat apbrīnot tievās rindas attiecīgajiem noteikumiem. Tomēr praksē daudzas īpašības zināmā nozīmē "mirušo", jo tikai daži no tiem tiek izmantoti reālu uzdevumu atrisināšanā. Mans mērķis ir apsvērt piemērotu īpašību piemēroto piemērošanu konkrētiem piemēriem, un, ja jums ir nepieciešama stingra teorija, lūdzu, izmantojiet citu informācijas avotu.

Apsveriet dažus izņēmumi no noteikumakas būs nepieciešams, lai veiktu praktiskus uzdevumus.

Ja kvadrātveida matricai ir apgrieztā matrica , tad to reizināšana Commutative:

Viena matrica sauc par kvadrātveida matricu, kas galvenā diagonāle Vienības atrodas, un atlikušie elementi ir nulle. Piemēram :, utt.

Kur Godīgi šādu īpašumu: Ja patvaļīga matrica reizināšana pa kreisi vai pa labi Par vienu piemērotu izmēru matricu rezultāts ir sākotnējā matrica:

Kā redzat, arī notiek matricas vairošanās komutācija.

Ņemiet kādu matricu, labi, teiksim, matricu no iepriekšējā uzdevuma: .

Tie, kas vēlas pārbaudīt un pārliecināties, ka:

Viena matrica matricas ir skaitliskās vienības analogs skaitļiem, kas ir īpaši skaidri redzams no piemēriem tikko apsvērti.

Skaitliskā faktora komutativitāte attiecībā pret matricu vairošanos

Matricām un faktiskajam skaitlim šāds īpašums ir godīgs:

Tas ir, ciparu reizinātājs var (un nepieciešams) turpināt, lai viņš "netraucētu" vairo matricu.

Piezīme : Vispārīgi runājot, īpašuma formulējums ir nepilnīgs - "Lambda" var novietot jebkur starp matricām, pat beigās. Noteikums joprojām ir taisnīgs, ja tiek reizinātas trīs vai vairāk matricas.

4. piemērs.

Aprēķināt darbu

Lēmums:

(1) Saskaņā ar īpašumu Pārvietojiet skaitlisko faktoru uz priekšu. Jūs nevarat pārkārtot matricas!

(2) - (3) veic matricas reizināšanu.

(4) Šeit jūs varat dalīties katrā skaitā 10, bet tad decimālās frakcijas parādīsies starp matricas elementiem, kas nav labi. Tomēr mēs pamanām, ka visi no matricu skaits ir sadalīts 5, tāpēc jūs reiziniet katru elementu.

Atbildēt:

Little Charade sevis risinājumiem:

5. piemērs.

Aprēķināt, ja

Risinājums un atbilde stundas beigās.

Kāda tehniskā uzņemšana ir svarīga šādu piemēru risināšanas laikā? Ar numuru, ko mēs saprotam visbeidzot .

Ieeja lokomotīvei Vēl viens auto:

Kā reizināt trīs matricas?

Pirmkārt, kas notiks trīs matricu reizināšanas rezultātā? Kaķis nedos dzemdību peli. Ja matricas reizināšana ir iespējama, tad galu galā matrica darbosies arī. M-jā, labi, mans skolotājs Algebra neredz, kā es izskaidroju algebriskās struktūras slēgšanu attiecībā uz tās elementiem \u003d)

Trīs matricu darbu var aprēķināt divos veidos:

1) atrast un pēc tam reiziniet uz "CE" matricu:;

2) vai nu vispirms atrast, pēc tam veiciet reizināšanu.

Rezultāti noteikti sakrīt, un teorētiski Šo īpašumu sauc par matricas reizināšanas asociāciju:

6. piemērs.

Reiziniet matricu divos veidos

Algoritms risinājumi Divi mati: mēs atrodam divu matricu produktu, tad mēs atkal atrodam divu matricu produktu.

1) Mēs izmantojam formulu

Darbība vispirms:

Darbība Otrais:

2) Mēs izmantojam formulu

Darbība vispirms:

Darbība Otrais:

Atbildēt:

Protams, vairāk pieradis un standarts, pirmais veids, kā atrisināt, tur "neatkarīgi no tā, kā viss ir kārtībā." Starp citu, par pasūtījumu. Attiecīgajā uzdevumā, ilūzija bieži rodas, ka mēs runājam par dažiem matricu permutācijas. Tie nav šeit. Es to atkal atceros kopumā Pārkārtot matricas nevar. Tātad, otrajā punktā, otrajā posmā, mēs veicam reizināšanu, bet nekādā gadījumā. Ar parastiem skaitļiem, šāds skaitlis pagājis, un ar matricām - nē.

Reizināšanas asociācijas īpašums ir derīgs ne tikai kvadrātveida, bet arī patvaļīgām matricām - ja tikai tie tiks reizināti:

7. piemērs.

Atrodiet trīs matricu darbu

Tas ir piemērs neatkarīgam risinājumam. Izlasē aprēķinu risinājumi tika veikti divos veidos, analizē, kurš ceļš ir izdevīgāks un īsāks.

Matricas reizināšanas asociācijas īpašības notiek, lai būtu vairāk reizinātāji.

Tagad ir pienācis laiks atgriezties matricu grādos. Matricas laukums tiek uzskatīts par paša sākuma un darba kārtības:

Kā veidot matricu kubā un augstākos grādos?

Šīs darbības ir definētas tikai kvadrātveida matricām. Lai paaugstinātu kvadrātveida matricu kubā, jums ir nepieciešams, lai aprēķinātu darbu:

Patiesībā privātais gadījums Reiziniet trīs matricas, saskaņā ar matricas reizināšanas asociācijas īpašumu :. Un matrica reizināta ar sevi, ir matricas laukums:

Tādējādi mēs saņemam darba formulu:

Tas ir, uzdevums tiek veikts divos posmos: vispirms matricai jābūt paceltam laukumā, un tad iegūtā matrica reizina matricu.

8. piemērs.

Veidot matricu uz kubu.

Tas ir neliels uzdevums neatkarīgam risinājumam.

Matricas būvniecību ceturtajā pakāpē veic dabisks veids:

Izmantojot matricas reizināšanas asociāciju, izņemiet divas darba formulas. Pirmkārt: - tas ir trīs matricu darbs.

viens). Citiem vārdiem sakot, mēs vispirms atradām, tad mēs esam dominējuši "būt" - mēs saņemam kubu, un, visbeidzot, mēs veicam reizināšanu atkal - ceturtais grāds būs.

2), bet solī ir risinājums :. Tas ir, pirmajā posmā mēs atrodam kvadrātu un apejot kubu, veiciet reizināšanu

Papildu uzdevums, piemēram, 8. piemērs:

Novērtējiet matricu ceturtajā pakāpē.

Tiklīdz atzīmēts, to var izdarīt divos veidos:

1) Tā kā kubs ir zināms drīz, tad mēs veicam reizināšanu.

2) Tomēr, ja pēc uzdevuma nosacījums ir nepieciešams, lai izveidotu matricu tikai ceturtajā pakāpē, ceļš ir izdevīgs, lai samazinātu - atrast matricas laukumu un izmantot formulu.

Gan risinājumi, gan reakcija - nodarbības beigās.

Tāpat matrica tiek uzcelta piektajā un augstākajā grādos. No praktiskās pieredzes es varu teikt, ka dažkārt ir piemēri no 4. līmeņa būvniecības, bet es neesmu atcerējies piekto grādu. Bet tikai gadījumā, ja es sniegšu optimālu algoritmu:

1) Mēs atrodam;
2) mēs atrodam;
3) Mēs veidojam matricu līdz piektajai grādam :.

Šeit, iespējams, visas pamatīpašības matricas darbībām, kas var būt noderīgas praktiskos uzdevumos.

Nodarbības otrajā daļā nav paredzama ne mazāk uzticīga partija.

Matricas izteiksmes

Mēs atkārtojam parastās skolas izteicienus ar cipariem. Skaitliskā izteiksme sastāv no skaitļiem, matemātisko darbību pazīmēm un iekavām, piemēram: . Aprēķinot, pazīstama algebriskā prioritāte: vispirms ņemts vērā kronšteinipēc tam izpildīts eTEND pakāpi sakņu pakāpivēlāk reizināšana / nodaļa Un pēdējo reizi - papildinājums / atņemšana.

Ja skaitliskā izteiksme ir jēga, tad tās aprēķina rezultāts ir numurs, piemēram:

Matricas izteiksmes Organizēja gandrīz to pašu! Ar atšķirību, ka galvenie dalībnieki ir matricas. Plus, dažas konkrētas matricas darbības, piemēram, transponēšana un apgrieztā matrica.

Apsveriet matricas izteiksmi kur - dažas matricas. Šajā matricas izteiksmē ir pilnībā izpildīti trīs komponenti un papildinājumu / atņemšanas papildinājumi.

Pirmajā termiņā vispirms ir nepieciešams transponēt "būt" matricu:, pēc tam veikt reizināšanu un padarīt "deuce" uz iegūto matricu. pieraksti to darbības transponēšanai ir vairāk augsta prioritātenekā reizinot. Kronšteini, tāpat kā skaitliskās izteiksmēs, maina procedūru: - Šeit reizinājums tiek veikts vispirms, tad iegūtā matrica tiek transponēta un reizināta ar 2.

Otrajā termiņā matricas reizināšana tiek veikta galvenokārt, un apgrieztā matrica jau ir no darba. Ja kronšteini ir noņemti: vispirms ir nepieciešams atrast apgrieztā matricu un pēc tam reizināt matricu :. Atklājot apgrieztā matrica ir arī prioritāte pirms reizinot.

Viss ir acīmredzams ar trešo termiņu: mēs veidosim matricu kubā un padarīsim "piecus" iegūto matricu.

Ja matricas izteiksmē ir jēga, tās aprēķina rezultāts ir matrica.

Visi uzdevumi būs no reālā testa darbā, un mēs sāksim ar vienkāršāko:

9. piemērs.

Dana matrica . Atrast:

Lēmums: Procedūra ir acīmredzama, pirmā reizināšana tiek veikta, tad papildinājums.

Turklāt nav iespējams veikt dažādu izmēru matricas.

Nav pārsteigts, acīmredzami neiespējamas darbības bieži tiek piedāvātas šāda veida uzdevumos.

Mēs cenšamies aprēķināt otro izteiksmi:

Viss ir labi šeit.

Atbildēt: Darbība nav iespējama, .

Linear algebra par tējkannu

Lai izpētītu lineāru algebru, jūs varat izlasīt un ienirt grāmatā I. V. Belousov "matricas un deterpetes". Tomēr tas ir rakstīts ar stingru un sausu matemātisko valodu, ko cilvēki ar vidējo prātu ir grūti. Tāpēc es izdarīju retelling no visgrūtāk izprast šīs grāmatas vietas, mēģinot norādīt materiālu pēc iespējas skaidrāku, izmantojot zīmējumus, cik vien iespējams. Iorēmu, ko es pazemināju. Atzīt, es pats to nesapratu. Ticiet Belousovam! Spriežot pēc viņa darba, viņš ir kompetents un saprātīgs matemātiķis. Jūs varat lejupielādēt savu grāmatu http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/belousov2006ru.pdf.Ja jūs gatavojaties ienest savā darbā, tas ir jādara, jo es bieži atsaucos uz Belousovu.

Sāksim ar definīcijām. Kas ir matrica? Tas ir taisnstūra tabula skaitļu, funkciju vai algebrisko izteiksmē. Kāpēc jums ir nepieciešams matricas? Tie ievērojami atvieglo sarežģītus matemātiskus aprēķinus. Matrica izmanto virknes un kolonnas (1. att.).

Rindas un kolonnas ir numurētas, sākot pa kreisi

no augšas (1-1. Att.). Kad viņi saka: tiek ieviesta izmēra m n (vai m uz n) matrica m virkneun zem n kolonnu skaits. Piemēram, matricai 1-1 attēlā ir lielums "4 līdz 3", nevis "3 līdz 4".

Skatīt 1. attēlā. 1-3, kādas ir matricas. Ja matrica sastāv no vienas līnijas, to sauc par virkņu matricu, un, ja no vienas kolonnas, tad kolonnas matrica. Matricu sauc par kvadrātveida n-th kārtību, ja rindu skaits ir vienāds ar kolonnu skaitu un vienāds ar N. Ja visi matricas elementi ir nulle, tad tas ir nulles matrica. Kvadrātveida matricu sauc diagonāli, ja nulle ir vienāds ar visiem tās elementiem, izņemot tos, kas atrodas galvenajā diagonālajā.

Nekavējoties izskaidrojiet, kas ir galvenais diagonāls. IT Numuru rindas un kolonnas ir vienādas. Tas iet no kreisās uz labo pusi no augšas uz leju. (3. att.) Elements sauc diagonāli, ja tie atrodas uz galvenā diagonāli. Ja visi diagonāli elementi ir vienādi ar vienu (un atlikušo nulli), matricu sauc par vienu vienu. Divas matricas a un b tas pats izmērs Sauc par vienādu, ja visi viņu elementi ir vienādi.

2 darbības uz matricām un to īpašībām

Matricas darbs uz numuru x ir tāda paša izmēra matrica. Lai iegūtu šo produktu, jums ir nepieciešams, lai reizinātu katru elementu šim skaitlim (4. att.). Lai iegūtu divu vienāda izmēra matricu summu, jums ir jāpievieno atbilstošie elementi (4. att.). Lai iegūtu atšķirību A - B no divām matricām ar tāda paša izmēra, jums ir nepieciešams, lai reizinātu matricas B līdz -1 un pievienot iegūto matricu ar matricu A (4. att.). Par darbībām matricas, īpašības ir spēkā: a + b \u003d b + a (commutatīvs īpašums).

(A + B) + C \u003d A + (B + C) (asociācijas īpašums). Vienkārši, runājot, summa nemainās no vietu maiņas. Par darbībām matricās un skaitļos, īpašumi ir spēkā:

(Apzīmē ar burtu skaitu x un y, un matricas burti A un B) x (ya) \u003d (xy) a

Šīs īpašības ir līdzīgas īpašībām, kas darbojas operācijās virs skaitļiem. Redzēt

piemēri 5. attēls skatīt arī piemērus 2.4 - 2.6 Belousov par 9. lpp.

Matricas reizināšana.

Divu matricu reizināšana tiek definēta tikai tad (tulkots krievu valodā: matricas var tikt reizināta tikai tad), kad pirmās matricas kolonnu skaits ir vienāds ar otrā virkņu skaitu (7. att., augšējie, zilie kronšteini). Lai labāk atceraties: 1. attēls ir vairāk kā kolonna.Reizināšanas rezultātā tiek iegūta izmēra matrica (sk. 6. attēlu). Lai atvieglotu to, kas jums ir nepieciešams, lai reizinātu, es ierosinu šādu algoritmu: mēs skatāmies 7. attēlā. Mēs reizināt matricu A uz matricas B.

matrica divas kolonnas,

matrix B divās līnijās - jūs varat vairoties.

1) Mēs nodarbosimies ar Matrix B kolonnu (tai tikai tā ir tikai). Mēs rakstām šo kolonnu virknē (mēs transponējam

kolonnā, par transponēšanu tieši zemāk).

2) Kopēt šo virkni, lai mums būtu matrica ar matricu A.

3) Reiziniet šīs matricas elementus līdz attiecīgajiem matricas elementiem A.

4) Salocīt iegūtos darbus katrā rindā un saņemdivu līniju matrica darbs un viena kolonna.

7-1. Attēlā redzams piemēri, reizinot matricas, kas ir vairāk nekā baltāks.

1) Šeit pirmajā matricā trīs kolonnās tas nozīmē, ka otrajam jābūt trīs līnijām. Algoritms ir tieši tāds pats, kas iepriekšējā piemērā tikai šeit katrā rindā trīs terminos, nevis divi.

2) Šeit otrajā matricā ir divas kolonnas. Pirmkārt, mēs darām algoritmu ar pirmo kolonnu, tad ar otro, un mēs saņemam "divas divas" matricas.

3) Šeit otrajā matricā kolonna sastāv no viena elementa, kolonna nemainīsies no transponēšanas. Un tas nav nepieciešams, lai kaut ko, jo pirmajā matricā tikai vienā kolonnā. Mēs darām algoritmu trīs reizes un saņem "trīs trīs" matricas.

Notiek šādas īpašības:

1. Ja pastāv B + C un AB produkta summa, tad A (B + C) \u003d AB + AC

2. Ja AB produkts pastāv, X (AB) \u003d (XA) B \u003d A (XB).

3. Ja darbojas AB un BC darbi, tad A (BC) \u003d (AB) C.

Ja pastāv AB matricu produkts, tad produkts BA var nepastāvēt. Pat AB un BA darbi pastāv, tie var būt dažādu izmēru matricas.

Abi AB un BA darbi pastāv un ir vienāda lieluma matricas tikai tad, ja kvadrātveida matricas A un B no tāda paša pasūtījuma. Tomēr pat šajā gadījumā AB nevar būt vienāds ar BA.

Uzrāda grādu

Matricas būvniecība pakāpē ir jēga tikai par kvadrātmetru matricām (padomājiet par to, kāpēc?). Tad visa pozitīvā pakāpe M matrica A ir produkts M matrices ir vienāds ar A. Tāpat kā numuri. Saskaņā ar nulles pakāpi kvadrātveida matricas A ir viena matrica tāda paša pasūtījuma kā A. Ja aizmirsu, kas ir viena matrica ir, apskatīt 1. attēlā. 3.

Arī kā skaitļos notiek šādi rādītāji:

A ma k \u003d m + k (m) k \u003d mk

Skatiet Belousova piemērus 20. lpp.

Transponējot matricas

Transponēšana - šī matricas A pārveidošana Matricā, \\ t

kādos matricas virknes tiek ierakstītas kolonnās, saglabājot pasūtījumu. (8. att.). Jūs varat teikt citādi:

matrix a kolonnas tiek ierakstītas Matrix rindās ar pasūtījuma saglabāšanu. Ņemiet vērā, ka, transponējot matricas lieluma izmaiņas, tas ir, rindu un kolonnu skaits. Ņemiet vērā arī to, ka pirmās rindas elementi, pirmā kolonna un pēdējā rinda, pēdējā kolonna paliek vietā.

Notiek šādas īpašības: (AT) T \u003d a (transponderis

matrix divreiz - jūs saņemsiet to pašu matricu)

(Xa) t \u003d xat (zem X nozīmēja numuru, zem A, protams, matricas) (ja jums ir nepieciešams, lai reizinātu matricu uz numuru un transponēt, jūs varat vispirms reizināt, tad transponēt, un jūs varat otrādi)

(A + B) T \u003d AT + BT (AB) T \u003d BT AT

Simetriskas un antisimetriskas matricas

9. attēlā kreisās malas augšpusē ir simetriska matrica. Tās elementi, simetriski salīdzinājumā ar galveno diagonāli, ir vienādi. Un tagad definīcija: kvadrātveida matrica

A tiek saukts par simetrisku, ja at \u003d a. Tas ir, simetriskā matrica transponēšanas laikā nemainās. Jo īpaši simetriskā ir jebkura diagonālā matrica. (Šāda matrica ir attēlota 2. attēlā).

Tagad skatieties uz antisimetrisko matricu (9. att., Apakšā). Ko tas atšķiras no simetriskiem? Lūdzu, ņemiet vērā, ka visi tā diagonāli elementi ir nulle. Antisimetriskās matricās visi diagonāli elementi ir nulle. Padomā, kāpēc? Definīcija: Square matrica A tiek saukts

antisimetriski, ja atrodas \u003d -a. Atzīmējiet dažas operāciju īpašības, kas ir simetriskas un antisimetriskas

matrieši. 1. Ja A un B ir simetriskas (antisimetriskas) matricas, tad A + B ir simetriska (antisimetriska) matrica.

2.Ja - simetriska (antisimetriska) matrica, tad XA ir arī simetriska (antisimetriska) matrica. (Faktiski, ja jūs reizināt matricu no 9. attēla uz kādu numuru, simetrija joprojām tiks saglabāts)

3. AB no diviem simetriskiem vai diviem antisimetriskiem matriciem A un B ir matrica simetrisks ar ab \u003d ba un antisimetrisku ar ab \u003d-Ba.

4. Ja A ir simetriska matrica, tadm (m \u003d 1, 2, 3, ...) - simetriskā matrica. Ja.

Antisimetriska matrica, tad esmu (m \u003d 1, 2, 3, ...) tas ir simetrisks matrica ar pat m un antisimetrisku - ar nepāra.

5. Patvaļīgu kvadrātveida matricu var attēlot kā divu matricu summu. (Zvanīsim uz šīm matricām, piemēram, A (s) un a (a))

A \u003d a (s) + a (a)