Matemātikas uzdevumu risināšana skolēniem bieži vien ir saistīta ar daudzām grūtībām. Mūsu vietnes galvenais mērķis ir palīdzēt studentam tikt galā ar šīm grūtībām, kā arī iemācīt pielietot esošās teorētiskās zināšanas, risinot konkrētas problēmas visās kursa sadaļās priekšmetā “Matemātika”.

Uzsākot problēmas risināšanu par tēmu, skolēniem jāprot konstruēt punktu plaknē, izmantojot tā koordinātas, kā arī atrast dotā punkta koordinātas.

Attāluma aprēķins starp diviem punktiem A(x A; y A) un B(x B; y B), kas uzņemts plaknē, tiek veikts, izmantojot formulu d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), kur d ir segmenta garums, kas savieno šos plaknes punktus.

Ja viens no segmenta galiem sakrīt ar koordinātu sākumpunktu, bet otram ir koordinātas M(x M; y M), tad d aprēķināšanas formula būs OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Attāluma starp diviem punktiem aprēķins, pamatojoties uz šo punktu dotajām koordinātām

1. piemērs.

Atrodiet nogriežņa garumu, kas koordinātu plaknē savieno punktus A(2; -5) un B(-4; 3) (1. att.).

Risinājums.

Problēmas formulējums nosaka: x A = 2; x B = -4; y A = -5 un y B = 3. Atrodiet d.

Izmantojot formulu d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2, iegūstam:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Koordinātu aprēķins punktam, kas atrodas vienādā attālumā no trim dotajiem punktiem

2. piemērs.

Atrodiet koordinātas punktam O 1, kas atrodas vienādā attālumā no trim punktiem A(7; -1) un B(-2; 2) un C(-1; -5).

Risinājums.

No uzdevuma nosacījumu formulējuma izriet, ka O 1 A = O 1 B = O 1 C. Lai vēlamajam punktam O 1 ir koordinātes (a; b). Izmantojot formulu d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) mēs atrodam:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Izveidosim divu vienādojumu sistēmu:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Pēc vienādojumu kreisās un labās puses kvadrātošanas mēs rakstām:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Vienkāršojot, rakstīsim

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Atrisinot sistēmu, iegūstam: a = 2; b = -1.

Punkts O 1 (2; -1) atrodas vienādā attālumā no trīs nosacījumā norādītajiem punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes. Šis punkts ir apļa centrs, kas iet cauri trim dotiem punktiem (2. att.).

3. Abscisu (ordinātu) aprēķins punktam, kas atrodas uz abscisu (ordinātu) ass un atrodas noteiktā attālumā no dotā punkta.

3. piemērs.

Attālums no punkta B(-5; 6) līdz punktam A, kas atrodas uz Vērša ass, ir 10. Atrodiet punktu A.

Risinājums.

No uzdevuma nosacījumu formulējuma izriet, ka punkta A ordināta ir vienāda ar nulli un AB = 10.

Apzīmējot punkta A abscisu ar a, rakstām A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0–6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Mēs iegūstam vienādojumu √((a + 5) 2 + 36) = 10. Vienkāršojot, mēs iegūstam

a 2 + 10a – 39 = 0.

Šī vienādojuma saknes ir a 1 = -13; un 2 = 3.

Iegūstam divus punktus A 1 (-13; 0) un A 2 (3; 0).

Pārbaude:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0–6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0–6) 2) = 10.

Abi iegūtie punkti ir piemēroti atbilstoši uzdevuma nosacījumiem (3. att.).

4. Abscisu (ordinātu) aprēķins punktam, kas atrodas uz abscisu (ordinātu) ass un atrodas vienādā attālumā no diviem dotajiem punktiem.

4. piemērs.

Atrodiet uz Oy ass punktu, kas atrodas vienādā attālumā no punktiem A (6, 12) un B (-8, 10).

Risinājums.

Uzdevuma nosacījumos prasītā punkta koordinātas, kas atrodas uz Oy ass, ir O 1 (0; b) (punktā, kas atrodas uz Oy ass, abscisa ir nulle). No nosacījuma izriet, ka O 1 A = O 1 B.

Izmantojot formulu d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) mēs atrodam:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Mums ir vienādojums √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) vai 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Pēc vienkāršošanas iegūstam: b – 4 = 0, b = 4.

Punkts O 1 (0; 4), ko prasa uzdevuma nosacījumi (4. att.).

5. Koordinātu aprēķins punktam, kas atrodas vienādā attālumā no koordinātu asīm un kāda dotā punkta

5. piemērs.

Atrodiet punktu M, kas atrodas koordinātu plaknē vienādā attālumā no koordinātu asīm un no punkta A(-2; 1).

Risinājums.

Nepieciešamais punkts M, tāpat kā punkts A(-2; 1), atrodas otrajā koordinātu leņķī, jo atrodas vienādā attālumā no punktiem A, P 1 un P 2 (5. att.). Punkta M attālumi no koordinātu asīm ir vienādi, tāpēc tā koordinātas būs (-a; a), kur a > 0.

No uzdevuma nosacījumiem izriet, ka MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

tie. |-a| = a.

Izmantojot formulu d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) mēs atrodam:

MA = √((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Izveidosim vienādojumu:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Pēc kvadrātošanas un vienkāršošanas mums ir: a 2 – 6a + 5 = 0. Atrisiniet vienādojumu, atrodiet a 1 = 1; un 2 = 5.

Iegūstam divus punktus M 1 (-1; 1) un M 2 (-5; 5), kas atbilst uzdevuma nosacījumiem.

6. Koordinātu aprēķināšana punktam, kas atrodas vienā noteiktā attālumā no abscisu (ordinātu) ass un no dotā punkta.

6. piemērs.

Atrodiet punktu M, lai tā attālums no ordinātu ass un punkta A(8; 6) būtu vienāds ar 5.

Risinājums.

No uzdevuma nosacījumiem izriet, ka MA = 5 un punkta M abscisa ir vienāda ar 5. Lai punkta M ordināta ir vienāda ar b, tad M(5; b) (6. att.).

Saskaņā ar formulu d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) mums ir:

MA = √((5–8) 2 + (b–6) 2).

Izveidosim vienādojumu:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Vienkāršojot, iegūstam: b 2 – 12b + 20 = 0. Šī vienādojuma saknes ir b 1 = 2; b 2 = 10. Līdz ar to ir divi punkti, kas atbilst uzdevuma nosacījumiem: M 1 (5; 2) un M 2 (5; 10).

Zināms, ka daudziem skolēniem, patstāvīgi risinot problēmas, nepieciešamas pastāvīgas konsultācijas par to risināšanas paņēmieniem un metodēm. Bieži vien skolēns nevar atrast veidu, kā atrisināt problēmu bez skolotāja palīdzības. Mūsu mājaslapā skolēns var saņemt nepieciešamos padomus problēmu risināšanā.

Vai joprojām ir jautājumi? Vai nezināt, kā atrast attālumu starp diviem plaknes punktiem?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja, reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!

tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.

Attālums no punkta līdz punktam ir segmenta garums, kas savieno šos punktus noteiktā mērogā. Tādējādi, kad runa ir par attāluma mērīšanu, jums jāzina skala (garuma mērvienība), kurā tiks veikti mērījumi. Tāpēc problēmu atrast attālumu no punkta līdz punktam parasti aplūko vai nu uz koordinātu līnijas, vai taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmā plaknē vai trīsdimensiju telpā. Citiem vārdiem sakot, visbiežāk jums ir jāaprēķina attālums starp punktiem, izmantojot to koordinātas.

Šajā rakstā mēs vispirms atgādināsim, kā tiek noteikts attālums no punkta līdz punktam uz koordinātu līnijas. Tālāk mēs iegūstam formulas attāluma aprēķināšanai starp diviem plaknes vai telpas punktiem pēc dotajām koordinātām. Noslēgumā mēs detalizēti apsvērsim tipisku piemēru un problēmu risinājumus.

Lapas navigācija.

Attālums starp diviem punktiem uz koordinātu līnijas.

Vispirms definēsim apzīmējumu. Attālumu no punkta A līdz punktam B apzīmēsim kā .

No tā mēs varam secināt, ka attālums no punkta A ar koordinātu līdz punktam B ar koordinātu ir vienāds ar koordinātu starpības moduli, tas ir, jebkurai punktu atrašanās vietai uz koordinātu līnijas.

Attālums no punkta līdz punktam plaknē, formula.

Iegūstam formulu attāluma starp punktiem aprēķināšanai un dota taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmā plaknē.

Atkarībā no punktu A un B atrašanās vietas ir iespējamas šādas iespējas.

Ja punkti A un B sakrīt, tad attālums starp tiem ir nulle.

Ja punkti A un B atrodas uz taisnas līnijas, kas ir perpendikulāra abscisu asij, tad punkti sakrīt un attālums ir vienāds ar attālumu . Iepriekšējā rindkopā mēs noskaidrojām, ka attālums starp diviem punktiem koordinātu taisnē ir vienāds ar to koordinātu starpības moduli, tāpēc . Līdz ar to,.

Līdzīgi, ja punkti A un B atrodas uz taisnes, kas ir perpendikulāra ordinātu asij, tad attālums no punkta A līdz punktam B tiek atrasts kā .

Šajā gadījumā trīsstūrim ABC ir taisnstūrveida konstrukcija un Un . Autors Pitagora teorēma mēs varam pierakstīt vienādību, no kurienes .

Apkoposim visus iegūtos rezultātus: attālumu no punkta līdz punktam plaknē nosaka caur punktu koordinātām, izmantojot formulu .

Iegūto formulu attāluma starp punktiem noteikšanai var izmantot, ja punkti A un B sakrīt vai atrodas uz taisnes, kas ir perpendikulāra vienai no koordinātu asīm. Patiešām, ja A un B sakrīt, tad . Ja punkti A un B atrodas uz taisnes, kas ir perpendikulāra Vērša asij, tad. Ja A un B atrodas uz taisnes, kas ir perpendikulāra Oy asij, tad .

Attālums starp punktiem telpā, formula.

Ieviesīsim telpā Oxyz taisnstūra koordinātu sistēmu. Iegūsim formulu attāluma no punkta atrašanai līdz punktam .

Kopumā punkti A un B neatrodas plaknē, kas ir paralēla vienai no koordinātu plaknēm. Nozīmēsim caur punktiem A un B plaknes, kas ir perpendikulāras koordinātu asīm Ox, Oy un Oz. Šo plakņu krustošanās punkti ar koordinātu asīm dos mums punktu A un B projekcijas uz šīm asīm. Mēs apzīmējam projekcijas .

Nepieciešamais attālums starp punktiem A un B ir attēlā redzamā taisnstūra paralēlskaldņa diagonāle. Pēc konstrukcijas šī paralēlskaldņa izmēri ir vienādi Un . Vidusskolas ģeometrijas kursā tika pierādīts, ka kuboīda diagonāles kvadrāts ir vienāds ar tā trīs dimensiju kvadrātu summu, tāpēc . Pamatojoties uz informāciju šī raksta pirmajā sadaļā, mēs varam uzrakstīt šādas vienādības, tāpēc

no kurienes mēs to ņemam formula attāluma noteikšanai starp punktiem telpā .

Šī formula ir derīga arī tad, ja punkti A un B

• saskaņot;
• pieder pie vienas no koordinātu asīm vai taisnes, kas ir paralēla vienai no koordinātu asīm;
• pieder vienai no koordinātu plaknēm vai plaknei, kas ir paralēla vienai no koordinātu plaknēm.

Attāluma atrašana no punkta līdz punktam, piemēri un risinājumi.

Tātad, mēs esam ieguvuši formulas attāluma noteikšanai starp diviem punktiem koordinātu taisnē, plaknē un trīsdimensiju telpā. Ir pienācis laiks apskatīt tipisku piemēru risinājumus.

Problēmu skaits, kurās pēdējais solis ir atrast attālumu starp diviem punktiem pēc to koordinātām, ir patiešām milzīgs. Pilnīgs šādu piemēru apskats ir ārpus šī raksta darbības jomas. Šeit mēs aprobežosimies ar piemēriem, kuros ir zināmas divu punktu koordinātas un ir nepieciešams aprēķināt attālumu starp tiem.

Izmantojot koordinātas, tiek noteikta objekta atrašanās vieta uz zemeslodes. Koordinātas norāda ar platuma un garuma grādiem. Platuma grādus mēra no ekvatora līnijas abās pusēs. Ziemeļu puslodē platuma grādi ir pozitīvi, dienvidu puslodē tie ir negatīvi. Garumu mēra no galvenā meridiāna attiecīgi austrumu vai rietumu garumā, iegūst austrumu vai rietumu garumu.

Saskaņā ar vispārpieņemto nostāju par galveno meridiānu tiek uzskatīts tas, kas iet caur veco Griničas observatoriju Griničā. Atrašanās vietas ģeogrāfiskās koordinātas var iegūt, izmantojot GPS navigatoru. Šī ierīce uztver satelīta pozicionēšanas sistēmas signālus WGS-84 koordinātu sistēmā, kas ir vienota visai pasaulei.

Navigatoru modeļi atšķiras pēc ražotāja, funkcionalitātes un interfeisa. Pašlaik iebūvētie GPS navigatori ir pieejami arī dažos mobilo tālruņu modeļos. Bet jebkurš modelis var ierakstīt un saglabāt punkta koordinātas.

Attālums starp GPS koordinātām

Lai atrisinātu praktiskas un teorētiskas problēmas atsevišķās nozarēs, ir jāprot noteikt attālumus starp punktiem pēc to koordinātām. Ir vairāki veidi, kā to izdarīt. Ģeogrāfisko koordinātu attēlošanas kanoniskā forma: grādi, minūtes, sekundes.

Piemēram, jūs varat noteikt attālumu starp šādām koordinātām: punkts Nr. 1 - platums 55°45′07″ N, garums 37°36′56″ E; punkts Nr. 2 — platums 58°00′02″ N, garums 102°39′42″ A.

Vienkāršākais veids ir izmantot kalkulatoru, lai aprēķinātu garumu starp diviem punktiem. Pārlūka meklētājprogrammā ir jāiestata šādi meklēšanas parametri: tiešsaistē - lai aprēķinātu attālumu starp divām koordinātām. Tiešsaistes kalkulatorā pirmās un otrās koordinātas vaicājuma laukos tiek ievadītas platuma un garuma vērtības. Aprēķinot, tiešsaistes kalkulators deva rezultātu - 3 800 619 m.

Nākamā metode ir darbietilpīgāka, bet arī vizuālāka. Jums ir jāizmanto jebkura pieejamā kartēšanas vai navigācijas programma. Programmas, kurās varat izveidot punktus, izmantojot koordinātas un izmērīt attālumus starp tiem, ietver šādas lietojumprogrammas: BaseCamp (moderns MapSource programmas analogs), Google Earth, SAS.Planet.

Visas iepriekš minētās programmas ir pieejamas jebkuram tīkla lietotājam. Piemēram, lai aprēķinātu attālumu starp divām koordinātām programmā Google Earth, jums ir jāizveido divas etiķetes, kas norāda pirmā un otrā punkta koordinātas. Pēc tam, izmantojot rīku “Lineāls”, pirmā un otrā atzīme jāsavieno ar līniju, programma automātiski parādīs mērījumu rezultātu un parādīs ceļu Zemes satelītattēlā.

Iepriekš dotā piemēra gadījumā programma Google Earth atgrieza rezultātu - attāluma garums starp punktu Nr.1 ​​un punktu Nr.2 ir 3 817 353 m.

Kāpēc, nosakot attālumu, rodas kļūda

Visi aprēķini par attālumu starp koordinātām ir balstīti uz loka garuma aprēķinu. Zemes rādiuss ir iesaistīts loka garuma aprēķināšanā. Bet, tā kā Zemes forma ir tuvu izliektam elipsoīdam, Zemes rādiuss noteiktos punktos mainās. Lai aprēķinātu attālumu starp koordinātām, tiek ņemta Zemes rādiusa vidējā vērtība, kas dod kļūdu mērījumā. Jo lielāks attālums tiek mērīts, jo lielāka ir kļūda.

Matemātika

§2. Punkta koordinātas plaknē

3. Attālums starp diviem punktiem.

Mēs ar jums tagad varam runāt par punktiem skaitļu valodā. Piemēram, mums vairs nav jāpaskaidro: ņemiet punktu, kas atrodas trīs vienības pa labi no ass un piecas vienības zem ass. Pietiek pateikt vienkārši: uztveriet punktu.

Mēs jau teicām, ka tas rada noteiktas priekšrocības. Tātad no punktiem veidotu zīmējumu varam pārsūtīt pa telegrāfu, nosūtīt to datoram, kurš zīmējumus nemaz nesaprot, bet skaitļus saprot labi.

Iepriekšējā rindkopā mēs definējām dažas plaknes punktu kopas, izmantojot attiecības starp skaitļiem. Tagad mēģināsim konsekventi tulkot citus ģeometriskos jēdzienus un faktus skaitļu valodā.

Sāksim ar vienkāršu un kopīgu uzdevumu.

Atrodiet attālumu starp diviem plaknes punktiem.

Risinājums:
Kā vienmēr, mēs pieņemam, ka punkti ir doti pēc to koordinātām, un tad mūsu uzdevums ir atrast likumu, pēc kura mēs varam aprēķināt attālumu starp punktiem, zinot to koordinātas. Atvasinot šo noteikumu, protams, ir atļauts ķerties pie zīmējuma, taču pašā noteikumā nedrīkst būt nekādas atsauces uz zīmējumu, bet tikai jāparāda, kādas darbības un kādā secībā ir jāveic uz dotajiem cipariem - koordinātām. no punktiem - lai iegūtu vēlamo skaitli - attālums starp punktiem.

Iespējams, dažiem lasītājiem šī pieeja problēmas risināšanai šķitīs dīvaina un tālejoša. Kas ir vienkāršāk, viņi teiks, punkti tiek doti, pat pēc koordinātām. Uzzīmējiet šos punktus, paņemiet lineālu un izmēriet attālumu starp tiem.

Šī metode dažreiz nav tik slikta. Tomēr vēlreiz iedomājieties, ka jums ir darīšana ar datoru. Viņai nav lineāla, un viņa nezīmē, bet viņa prot skaitīt tik ātri, ka viņai tas nemaz nav problēma. Ņemiet vērā, ka mūsu problēma ir formulēta tā, ka noteikums attāluma starp diviem punktiem aprēķināšanai sastāv no komandām, kuras var izpildīt mašīna.

Labāk ir vispirms atrisināt problēmu, kas uzdota īpašajam gadījumam, kad viens no šiem punktiem atrodas koordinātu sākumpunktā. Sāciet ar dažiem skaitliskiem piemēriem: atrodiet attālumu no punktu sākuma; Un .

Piezīme. Izmantojiet Pitagora teorēmu.

Tagad uzrakstiet vispārīgu formulu, lai aprēķinātu punkta attālumu no sākuma.

Punkta attālumu no sākuma nosaka pēc formulas:

Acīmredzot ar šo formulu izteiktais noteikums atbilst iepriekš minētajiem nosacījumiem. Jo īpaši to var izmantot aprēķinos mašīnās, kuras var reizināt skaitļus, saskaitīt tos un iegūt kvadrātsaknes.

Tagad atrisināsim vispārējo problēmu

Doti divi punkti plaknē, atrodiet attālumu starp tiem.

Risinājums:
Apzīmēsim ar , , , punktu projekcijas un uz koordinātu asīm.

Apzīmēsim līniju krustošanās punktu ar burtu . No taisnleņķa trīsstūra, izmantojot Pitagora teorēmu, iegūstam:

Bet segmenta garums ir vienāds ar segmenta garumu. Punkti un , atrodas uz ass, un tiem ir attiecīgi koordinātas un . Saskaņā ar 2. punkta 3. punktā iegūto formulu attālums starp tiem ir vienāds ar .

Līdzīgi argumentējot, mēs atklājam, ka segmenta garums ir vienāds ar . Atrastās vērtības aizstājot ar formulu, ko iegūstam.

Šajā rakstā aplūkosim veidus, kā teorētiski un izmantojot konkrētu uzdevumu piemēru noteikt attālumu no punkta līdz punktam. Sākumā ieviesīsim dažas definīcijas.

1. definīcija

Attālums starp punktiem ir tos savienojošā segmenta garums esošajā mērogā. Lai mērīšanai būtu garuma vienība, ir jāiestata skala. Tāpēc pamatā attāluma starp punktiem atrašanas problēma tiek atrisināta, izmantojot to koordinātas uz koordinātu līnijas, koordinātu plaknē vai trīsdimensiju telpā.

Sākotnējie dati: koordinātu taisne O x un uz tās esošais patvaļīgs punkts A. Jebkuram taisnes punktam ir viens reāls skaitlis: lai tas ir noteikts skaitlis punktam A x A, tā ir arī punkta A koordināte.

Kopumā var teikt, ka noteikta segmenta garums tiek novērtēts salīdzinājumā ar segmentu, kas tiek ņemts par garuma vienību noteiktā mērogā.

Ja punkts A atbilst veselam reālam skaitlim, secīgi no punkta O līdz punktam pa taisnes O A segmentus - garuma vienības, varam noteikt nogriežņa O A garumu no kopējā atdalīto vienību segmentu skaita.

Piemēram, punkts A atbilst skaitlim 3 - lai nokļūtu tajā no punkta O, jums būs jāatlaiž trīs vienības segmenti. Ja punktam A ir koordināte - 4, vienības segmenti tiek izkārtoti līdzīgi, bet citā, negatīvā virzienā. Tādējādi pirmajā gadījumā attālums O A ir vienāds ar 3; otrajā gadījumā O A = 4.

Ja punktam A kā koordināte ir racionāls skaitlis, tad no sākuma (punkta O) uzzīmējam veselu vienību segmentu skaitu un pēc tam tā nepieciešamo daļu. Bet ģeometriski ne vienmēr ir iespējams veikt mērījumus. Piemēram, šķiet grūti uzzīmēt daļskaitli 4 111 uz koordinātu līnijas.

Izmantojot iepriekš minēto metodi, ir pilnīgi neiespējami uzzīmēt iracionālu skaitli uz taisnas līnijas. Piemēram, ja punkta A koordināta ir 11. Šajā gadījumā var pāriet uz abstrakciju: ja punkta A dotā koordināte ir lielāka par nulli, tad O A = x A (skaitlis tiek ņemts par attālumu); ja koordināte ir mazāka par nulli, tad O A = - x A . Kopumā šie apgalvojumi ir patiesi jebkuram reālajam skaitlim x A.

Rezumējot: attālums no sākuma līdz punktam, kas atbilst reālam skaitlim uz koordinātu līnijas, ir vienāds ar:

• 0, ja punkts sakrīt ar izcelsmi;

• x A, ja x A > 0;

• - x A, ja x A< 0 .

Šajā gadījumā ir acīmredzams, ka paša segmenta garums nevar būt negatīvs, tāpēc, izmantojot moduļa zīmi, mēs ar koordinātu ierakstām attālumu no punkta O līdz punktam A xA: O A = x A

Šis apgalvojums būs patiess: attālums no viena punkta līdz otram būs vienāds ar koordinātu starpības moduli. Tie. punktiem A un B, kas atrodas uz vienas koordinātu līnijas jebkurai vietai un kuriem ir atbilstošas ​​koordinātas xA Un x B: A B = x B - x A .

Sākotnējie dati: punkti A un B, kas atrodas uz plaknes taisnstūra koordinātu sistēmā O x y ar dotām koordinātām: A (x A, y A) un B (x B, y B).

Novelkam perpendikulu caur punktiem A un B uz koordinātu asīm O x un O y un rezultātā iegūstam projekcijas punktus: A x, A y, B x, B y. Pamatojoties uz punktu A un B atrašanās vietu, ir iespējamas šādas iespējas:

Ja punkti A un B sakrīt, tad attālums starp tiem ir nulle;

Ja punkti A un B atrodas uz taisnes, kas ir perpendikulāra O x asij (abscisu ass), tad punkti sakrīt un | A B | = | A y B y | . Tā kā attālums starp punktiem ir vienāds ar to koordinātu starpības moduli, tad A y B y = y B - y A, un līdz ar to A B = A y B y = y B - y A.

Ja punkti A un B atrodas uz taisnes, kas ir perpendikulāra O y asij (ordinātu ass), pēc analoģijas ar iepriekšējo rindkopu: A B = A x B x = x B - x A

Ja punkti A un B neatrodas uz taisnes, kas ir perpendikulāra vienai no koordinātu asīm, attālumu starp tiem atradīsim, atvasinot aprēķina formulu:

Redzam, ka trijstūrim A B C ir taisnstūrveida konstrukcija. Šajā gadījumā A C = A x B x un B C = A y B y. Izmantojot Pitagora teorēmu, izveidojam vienādību: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 un pēc tam to pārveidojam: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

No iegūtā rezultāta izdarīsim secinājumu: attālumu no punkta A līdz punktam B uz plaknes nosaka aprēķini, izmantojot formulu, izmantojot šo punktu koordinātas

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Rezultātā iegūtā formula apstiprina arī iepriekš izveidotos apgalvojumus punktu sakritības gadījumiem vai situācijām, kad punkti atrodas uz taisnēm, kas ir perpendikulāras asīm. Tātad, ja punkti A un B sakrīt, būs patiesa šāda vienādība: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Situācijai, kad punkti A un B atrodas uz taisnas līnijas, kas ir perpendikulāra x asij:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Gadījumā, ja punkti A un B atrodas uz taisnes, kas ir perpendikulāra ordinātu asij:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Sākotnējie dati: taisnstūra koordinātu sistēma O x y z ar patvaļīgiem punktiem, kas atrodas uz tās ar dotām koordinātām A (x A, y A, z A) un B (x B, y B, z B). Ir nepieciešams noteikt attālumu starp šiem punktiem.

Apskatīsim vispārīgo gadījumu, kad punkti A un B neatrodas plaknē, kas ir paralēla vienai no koordinātu plaknēm. Nozīmēsim plaknes, kas ir perpendikulāras koordinātu asīm caur punktiem A un B un iegūstam atbilstošos projekcijas punktus: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Attālums starp punktiem A un B ir iegūtā paralēlskaldņa diagonāle. Saskaņā ar šī paralēlskaldņa mērījumu konstrukciju: A x B x , A y B y un A z B z

No ģeometrijas kursa mēs zinām, ka paralēlskaldņa diagonāles kvadrāts ir vienāds ar tā izmēru kvadrātu summu. Pamatojoties uz šo apgalvojumu, mēs iegūstam vienādību: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Izmantojot iepriekš iegūtos secinājumus, mēs rakstām sekojošo:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Pārveidosim izteiksmi:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Fināls formula attāluma noteikšanai starp punktiem telpā izskatīsies šādi:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Iegūtā formula ir derīga arī gadījumos, kad:

Punkti sakrīt;

Tie atrodas uz vienas koordinātu ass vai taisnas līnijas, kas ir paralēla vienai no koordinātu asīm.

Problēmu risināšanas piemēri attāluma starp punktiem noteikšanai

1. piemērs

Sākotnējie dati: dota koordinātu līnija un punkti, kas atrodas uz tās ar dotām koordinātām A (1 - 2) un B (11 + 2). Ir jāatrod attālums no sākuma punkta O līdz punktam A un starp punktiem A un B.

Risinājums

1. Attālums no atskaites punkta līdz punktam ir vienāds ar šī punkta koordinātes moduli, attiecīgi O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Mēs definējam attālumu starp punktiem A un B kā šo punktu koordinātu starpības moduli: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Atbilde: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

2. piemērs

Sākotnējie dati: dota taisnstūra koordinātu sistēma un divi uz tās esošie punkti A (1, - 1) un B (λ + 1, 3). λ ir kāds reāls skaitlis. Ir jāatrod visas šī skaitļa vērtības, pie kurām attālums A B būs vienāds ar 5.

Risinājums

Lai atrastu attālumu starp punktiem A un B, jāizmanto formula A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Aizvietojot reālās koordinātu vērtības, iegūstam: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Mēs izmantojam arī esošo nosacījumu, ka A B = 5 un tad vienādība būs patiesa:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Atbilde: A B = 5, ja λ = ± 3.

3. piemērs

Sākotnējie dati: taisnstūra koordinātu sistēmā O x y z ir noteikta trīsdimensiju telpa un tajā atrodas punkti A (1, 2, 3) un B - 7, - 2, 4.

Risinājums

Lai atrisinātu problēmu, mēs izmantojam formulu A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Aizvietojot reālās vērtības, mēs iegūstam: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Atbilde: | A B | = 9

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter