Jebkuru sarežģītas formas vilni var attēlot kā vienkāršu viļņu summu.

Džozefs Furjē vēlējās matemātiskā izteiksmē aprakstīt, kā siltums pārvietojas caur cietiem objektiem ( cm. Siltuma apmaiņa). Varbūt viņa interese par siltumu uzliesmoja, atrodoties Ziemeļāfrikā: Furjē pavadīja Napoleonu franču ekspedīcijā uz Ēģipti un kādu laiku tur dzīvoja. Lai sasniegtu savu mērķi, Furjē bija jāizstrādā jaunas matemātiskās metodes. Viņa pētījumu rezultāti tika publicēti 1822. gadā darbā "Analītiskā siltuma teorija" ( Chaleur analītiskā teorija), kur viņš aprakstīja, kā analizēt sarežģītas fiziskas problēmas, sadalot tās vairākās vienkāršākos.

Analīzes metode balstījās uz t.s Furjē sērija. Saskaņā ar interferences principu sērija sākas ar sarežģītas formas sadalīšanos vienkāršās - piemēram, zemes virsmas izmaiņas notiek zemestrīces dēļ, komētas orbītas izmaiņas izraisa vairāku planētu pievilkšanās, siltuma plūsmas maiņa, jo tā iet cauri neregulāras formas šķērslim, kas izgatavots no siltumizolējoša materiāla. Furjē parādīja, ka sarežģītu viļņu formu var attēlot kā vienkāršu viļņu summu. Parasti vienādojumi, kas apraksta klasiskās sistēmas, ir viegli atrisināmi katram no šiem vienkāršajiem viļņiem. Furjē turpināja parādīt, kā šos vienkāršos risinājumus var apkopot, lai sniegtu risinājumu sarežģītai problēmai kopumā. (Matemātiski runājot, Furjē rinda ir metode, kas attēlo funkciju kā harmoniku — sinusa un kosinusu — summu, tāpēc Furjē analīzi sauca arī par "harmonisko analīzi".)

Līdz datoru parādīšanās divdesmitā gadsimta vidum Furjē metodes un tamlīdzīgi bija labākie ieroči zinātniskajā arsenālā, uzbrūkot dabas sarežģītībām. Kopš sarežģīto Furjē metožu parādīšanās zinātnieki ir spējuši tās izmantot, lai atrisinātu ne tikai vienkāršas problēmas, kuras var atrisināt, tieši piemērojot Ņūtona mehānikas likumus un citus fundamentālos vienādojumus. Daudzi no lielajiem Ņūtona zinātnes sasniegumiem 19. gadsimtā faktiski nebūtu bijuši neiespējami bez Furjē piedāvāto metožu izmantošanas. Nākotnē šīs metodes tika izmantotas dažādu nozaru problēmu risināšanā – no astronomijas līdz mašīnbūvei.

Žans Batists Džozefs Furjē
Žans Batists Džozefs Furjē, 1768-1830

franču matemātiķis. Dzimis Auxerre; deviņu gadu vecumā viņš palika bārenī. Jau agrā vecumā viņš izrādīja spējas matemātikā. Furjē ieguva izglītību baznīcas skolā un militārajā skolā, pēc tam strādāja par matemātikas skolotāju. Visu mūžu viņš aktīvi iesaistījās politikā; 1794. gadā tika arestēts par terora upuru aizstāvēšanu. Pēc Robespjēra nāves viņš tika atbrīvots no cietuma; piedalījās slavenās Politehniskās skolas (Ecole Polytechnique) izveidē Parīzē; amats nodrošināja viņam tramplīnu, lai virzītos uz priekšu Napoleona režīma laikā. Pavadīja Napoleonu uz Ēģipti, tika iecelts par Lejasēģiptes gubernatoru. Pēc atgriešanās Francijā 1801. gadā viņš tika iecelts par vienas provinces gubernatoru. 1822. gadā viņš kļuva par Francijas Zinātņu akadēmijas pastāvīgo sekretāru, kas ir ietekmīgs amats Francijas zinātnes pasaulē.

Sadaļā Ievadpārskats ir aplūkoti divi ļoti vienkārši piemēri (ņemti no Shumway, 1988), lai ilustrētu spektrālās analīzes būtību un rezultātu interpretāciju. Ja jūs nepārzināt šo metodi, ieteicams vispirms pārskatīt šo šīs nodaļas sadaļu.

Pārskats un datu fails. Sunspot.sta failā ir daļa no zināmajiem saules plankumu skaitļiem (Wolfer) no 1749. līdz 1924. gadam (Anderson, 1971). Zemāk ir saraksts ar dažiem pirmajiem datiem no parauga faila.

Tiek pieņemts, ka saules plankumu skaits ietekmē laikapstākļus uz zemes, kā arī lauksaimniecību, telekomunikācijas u.c. Izmantojot šo analīzi, var mēģināt noskaidrot, vai saules plankumu aktivitāte patiešām ir cikliska (patiesībā tā ir, šie dati ir plaši apspriesti literatūrā; sk., piemēram, Bloomfield, 1976, vai Shumway, 1988).

Analīzes definīcija. Pēc analīzes palaišanas atveriet datu failu Sunspot.sta. Noklikšķiniet uz pogas Mainīgie un atlasiet mainīgo Spots (ņemiet vērā, ka, ja datu fails Sunspot.sta ir pašlaik atvērtais datu fails un mainīgais Spots ir vienīgais mainīgais šajā failā, Spots tiks automātiski atlasīts dialoglodziņā Time Series Analysis atveras). Tagad noklikšķiniet uz Furjē (spektrālās) analīzes pogas, lai atvērtu Furjē (spektrālās) analīzes dialoglodziņu.

Pirms spektrālās analīzes izmantošanas vispirms uzzīmējiet saules plankumu skaitu. Ņemiet vērā, ka failā Sunspot.sta ir norādīti atbilstošie gadi kā novērojumu nosaukumi. Lai šos nosaukumus izmantotu līniju diagrammās, noklikšķiniet uz cilnes Skatīt sēriju un sadaļā Label Points atlasiet Case Names. Tāpat atlasiet Iestatīt x-ass skalu manuāli un Min. = 1 un solis = 10. Pēc tam noklikšķiniet uz pogas Grafs, kas atrodas blakus priekšskatījuma izcelšanas pogai. mainīgs.

Šķiet, ka saules plankumu skaits seko cikliskam modelim. Tendences nav, tāpēc atgriezieties spektrālās analīzes logā un grupā Transform Initial Series noņemiet atzīmi no opcijas Noņemt lineāro tendenci.

Acīmredzot sērijas vidējais lielums ir lielāks par 0 (nulle). Tāpēc atstājiet atlasītu opciju Atņemt vidējo [pretējā gadījumā periodogramma "aizsērēs" ar ļoti lielu maksimumu pie frekvences 0 (nulle)].

Tagad esat gatavs sākt analīzi. Tagad noklikšķiniet uz Labi (viendimensiju Furjē analīze), lai atvērtu Furjē spektrālās analīzes rezultātu dialoglodziņu.

Skatīt rezultātus. Informācijas sadaļā dialoglodziņa augšpusē ir redzama kopsavilkuma statistika par sērijām. Tas parāda arī piecus lielākos periodogrammas maksimumus (pēc frekvences). Lielākās trīs virsotnes ir pie frekvencēm 0,0852, 0,0909 un 0,0114. Šī informācija bieži ir noderīga, analizējot ļoti lielas sērijas (piemēram, tās, kurās ir vairāk nekā 100 000 novērojumu), kuras nav viegli attēlot vienā diagrammā. Tomēr šajā gadījumā ir viegli redzēt periodogrammas vērtības; noklikšķinot uz pogas Periodogramma zem Periodogramma un spektrālā blīvuma diagrammas.

Periodogrammas diagrammā ir redzamas divas atšķirīgas virsotnes. Maksimums ir aptuveni 0,9 frekvencē. Atgriezieties spektrālās analīzes rezultātu logā un noklikšķiniet uz pogas Kopsavilkums, lai rezultātu tabulā skatītu visas periodogrammu vērtības (un citus rezultātus). Tālāk ir parādīta rezultātu tabulas daļa ar lielāko periodogrammas maksimumu.

Kā minēts sadaļā Ievada pārskats, biežums ir ciklu skaits laika vienībā (kur katrs novērojums ir viena laika vienība). Tādējādi frekvence 0,0909 atbilst vērtībai 11 Period (laika vienību skaits, kas nepieciešams pilnam ciklam). Tā kā Sunspot.sta saules plankumu dati ir ikgadēji novērojumi, var secināt, ka saules plankumu aktivitātē ir izteikts 11 gadu (varbūt nedaudz ilgāks par 11 gadiem) cikls.

Spektrālais blīvums. Parasti, lai aprēķinātu spektrālā blīvuma aplēses, periodogramma tiek izlīdzināta, lai novērstu nejaušās svārstības. Svērto slīdošo vidējo veidu un loga platumu var izvēlēties sadaļā Spectral Windows. Sadaļā Ievada pārskats šīs iespējas ir detalizēti apskatītas. Mūsu piemērā atstāsim atlasīto noklusējuma logu (Haminga platums 5) un atlasīsim spektrālā blīvuma diagrammu.

Abas virsotnes tagad ir vēl skaidrākas. Apskatīsim periodogrammas vērtības attiecīgajā periodā. Grafika sadaļā iezīmējiet lauku Periods. Tagad atlasiet spektrālā blīvuma diagrammu.

Atkal ir izteikts 11 gadu cikls saules plankumu aktivitātē; turklāt ir pazīmes par garāku ciklu apmēram 80-90 gadus.

FURĒ TRANSFORMĀCIJA UN KLASISKĀ DIGITĀLĀ SPEKTRĀLĀ ANALĪZE.
Medvedevs S.Ju., Ph.D.

Ievads

Spektrālā analīze ir viena no signālu apstrādes metodēm, kas ļauj raksturot mērītā signāla frekvences sastāvu. Furjē transformācija ir matemātiska sistēma, kas saista laika vai telpisko signālu (vai kādu šī signāla modeli) ar tā attēlojumu frekvenču domēnā. Statistiskajām metodēm ir liela nozīme spektrālajā analīzē, jo signāli parasti ir nejauši vai trokšņaini izplatīšanās vai mērīšanas laikā. Ja signāla galvenie statistiskie raksturlielumi būtu precīzi zināmi vai tos varētu noteikt no šī signāla ierobežotā intervāla, tad spektrālā analīze būtu "precīzās zinātnes" nozare. Tomēr patiesībā no signāla segmenta var iegūt tikai tā spektra novērtējumu. Tāpēc spektrālās analīzes prakse ir sava veida amatniecība (vai māksla?) ar diezgan subjektīvu raksturu. Atšķirību starp spektrālajiem novērtējumiem, kas iegūti, apstrādājot vienu un to pašu signāla segmentu ar dažādām metodēm, var izskaidrot ar atšķirību pieņēmumos, kas izdarīti attiecībā uz datiem, dažādām vidējās noteikšanas metodēm utt. Ja signāla raksturlielumi nav zināmi a priori, nav iespējams pateikt, kurš no aprēķiniem ir labāks.

Furjē transformācija - spektrālās analīzes matemātiskais pamats
Īsi apspriedīsim dažādus Furjē transformācijas veidus (sīkāku informāciju skatiet ).
Sāksim ar nepārtraukta signāla Furjē transformāciju

, (1)

kas identificē to komplekso sinusoīdu (eksponenciālo) frekvences un amplitūdas, kurās tiek sadalītas kādas patvaļīgas svārstības.
Reversā transformācija

. (2)

Tiešās un apgrieztās Furjē transformācijas (ko sauksim par nepārtrauktā laika Furjē transformāciju — CTFT) esamību nosaka vairāki nosacījumi. Pietiekami - absolūta signāla integrējamība

. (3)

Mazāk ierobežojošs pietiekams nosacījums ir signāla enerģijas ierobežotība

. (4)

Mēs piedāvājam vairākas Furjē transformācijas pamatīpašības un tālāk izmantotās funkcijas, atzīmējot, ka taisnstūra logu nosaka izteiksme

(5)

un sinc funkcija ir izteiksme

(6)

Paraugu funkciju laika domēnā nosaka izteiksme

(7)

Šo funkciju dažreiz sauc arī par periodisko turpinājuma funkciju.

1. tabula. NVPF galvenās īpašības un funkcijas

Īpašums, funkcija	Funkcija	transformācija
Linearitāte	ag(t) + bh(t)	aG(f) + bH(f)
Laika nobīde	h (t–t0)	H(f)exp(-j2pf t 0)
Frekvences maiņa (modulācija)	h(t)exp(j2pf0 t)	H(f - f0)
Mērogošana	(1/|a|)h(t/a)	H(af)
Laika apgabala konvolūcijas teorēma	g(t)*h(t)	G(f)H(f)
Konvolūcijas teorēma frekvenču jomā	g(t) h(t)	G(f)*H(f)
loga funkcija	Ak(t/T)	2ATsinc (2Tf)
sinc funkcija	2AFsinc (2 Ft)	Aw(f/F)
impulsa funkcija	Reklāma(t)
Skaitīšanas funkcija	T(f)	FF(f), F=1/T

Vēl vienu svarīgu īpašību nosaka Parseval teorēma divām funkcijām g(t) un h(t):

. (8)

Ja ieliekam g(t) = h(t), tad Parsevala teorēma reducējas līdz enerģijas teorēmai

. (9)

Izteiksme (9) būtībā ir tikai enerģijas nezūdamības likuma formulējums divās jomās (laikā un frekvencē). (9) signāla kopējā enerģija atrodas kreisajā pusē, tātad funkcija

(10)

apraksta enerģijas frekvences sadalījumu deterministiskajam signālam h(t), un tāpēc to sauc par enerģijas spektrālo blīvumu (SPD). Izteicieni

(11)

var aprēķināt signāla h(t) amplitūdas un fāzes spektrus.

Diskretizācijas un svēršanas operācijas

Nākamajā sadaļā mēs iepazīstināsim ar diskrēto Furjē sēriju (DTFT) vai citādi ar diskrēto Furjē pārveidojumu (DFT) kā īpašu nepārtrauktā laika Furjē transformācijas (CTFT) gadījumu, izmantojot divas pamata signālu apstrādes darbības - iztveršanu ( diskretizācija) un svēršana izmantojot logu. Šeit mēs aplūkojam šo darbību ietekmi uz signālu un tā pārveidošanu. 2. tabulā ir uzskaitītas funkcijas, kas veic svēršanu un diskretizāciju.

Ar vienmērīgiem rādījumiem ar T sekunžu intervālu, paraugu ņemšanas frekvence F ir vienāda ar 1 /T Hz. Ņemiet vērā, ka svēršanas funkcija un izlases funkcija laika domēnā tiek apzīmēta attiecīgi ar TW (laika logu ņemšana) un TS (laika iztveršana), bet frekvenču domēnā ar FW (frekvenču logu ņemšana) un FS (frekvenču iztveršana).

2. tabula. Svēršanas un diskretizācijas funkcijas

Darbība	Laika funkcija	transformācija
Laika domēna svēršana (loga platums NT s)	TW=w(2t / NT - 1)	F(TW)=NTsinc(NTf)•exp(-jpNTf)
Frekvences domēna svēršana (loga platums 1/T Hz)		FW=w(2Tf)
Laika rādījumi (intervāls T s)	TS=T T (t)
Frekvenču iztveršana (1/NT Hz intervāls)

Pieņemsim, ka paraugi tiek ņemti no nepārtraukta reāla signāla x(t) ar ierobežotu spektru, kura augšējā frekvence ir vienāda ar F0. Reāla signāla NITF vienmēr ir simetriska funkcija ar kopējo platumu 2F0, skatiet 1. att.
Signāla paraugus x(t) var iegūt, reizinot šo signālu ar paraugu funkciju:

(12)

1. att. ir paraugu ņemšanas teorēmas ilustrācija laika apgabalā reāla spektra ierobežotam signālam:
a - laika sākotnējā funkcija un tā Furjē transformācija;
b - rādījumu funkcija laikā un tā Furjē transformācija;
c - sākotnējās funkcijas laika rādījumi un tās periodiski paplašinātā Furjē transformācija gadījumam Fo<1/2T;
d - frekvences logs (ideāls zemas caurlaidības filtrs) un tā Furjē transformācija (sinc funkcija);
d ir sākotnējā laika funkcija, kas atjaunota, izmantojot konvolūcijas darbību ar sinc funkciju.

Saskaņā ar frekvenču domēna konvolūcijas teorēmu signāla x(t) CTF ir vienkārši signāla x(t) spektra konvolūcija un laika parauga (TS) funkcijas Furjē transformācija:

. (13)

Konvolūcija X(f) ar iztveršanas funkcijas F (TS)=Y1/T(f) Furjē transformāciju vienkārši turpinās X(f) periodiski ar frekvences intervālu 1/T Hz. Tāpēc XS (f) ir periodiski paplašināts X (f) spektrs. Vispārīgā gadījumā paraugi vienā reģionā (piemēram, laikā) noved pie periodiska turpinājuma transformācijas reģionā (piemēram, frekvence). Ja paraugu ņemšanas frekvence ir izvēlēta pietiekami zema (F< 2Fo), то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название эффекта наложения в частотной области.
Lai atjaunotu sākotnējo laika signālu no tā rādījumiem, t.i. lai interpolētu noteiktu vērtību kontinuumu starp šiem paraugiem, ir iespējams iztvertos datus izlaist caur ideālu zemas caurlaidības filtru ar taisnstūrveida frekvences raksturlielumu (1.d attēls).

. (14)

Rezultātā (skat. 1. att. e) tiek atjaunota sākotnējā Furjē transformācija. Izmantojot konvolūcijas teorēmas laika un frekvenču jomā, mēs iegūstam

. (15)

Izteiksme (15) ir matemātisks apzīmējums paraugu ņemšanas teorēmas laika jomā(Vitakera, Koteļņikova, Šenona teorēmas - UKSH), kurā teikts, ka ar interpolācijas formulas (15) palīdzību var precīzi atjaunot reālu signālu ar ierobežotu spektru. ar bezgalīgu skaitu zināmie laika rādījumi, kas ņemti ar frekvenci F і 2F0. Teorēma (15) ir teorēma paraugi frekvenču domēnā signāliem ar ierobežotu ilgumu.
Operācijas laika apgabalā, kas ir līdzīgas (14), tiek aprakstītas ar izteiksmi

, (16)

un atbilstošās pārvērtības - pēc izteiksmēm

Tādējādi noteikta signāla NITF X(f) ar ierobežotu ilgumu var viennozīmīgi atjaunot no šāda signāla spektra vienlīdz attāliem paraugiem, ja izvēlētais frekvences izlases intervāls apmierina nosacījumu F1/2T 0 Hz, kur T 0 ir signāla ilgums.

Nepārtraukto un diskrēto transformāciju attiecības

Pārveidojumu pāris parastajai N punkta diskrētās Furjē transformācijas (DFT) definīcijai laika secība x[n] un atbilstošais N-punkts Furjē transformācijas secības X[k] tiek dots ar izteiksmēm

, (18)
. (19)

Lai iegūtu spektrālos aprēķinus no datu paraugiem attiecīgajās enerģijas vai jaudas vienībās, mēs rakstām diskrēta laika Furjē sēriju (DTFT), ko var uzskatīt par nepārtraukta laika Furjē transformācijas (CTFT) tuvinājumu, pamatojoties uz ierobežota skaita datu paraugu izmantošana:

Lai parādītu korespondences raksturu dvrf ( diskrēts funkcijas gan laika, gan frekvenču domēnos) un CTF (nepārtrauktas funkcijas laika un frekvenču domēnos), mums ir nepieciešama četru lineāru komutācijas darbību secība: svēršana laika un frekvences domēnos un paraugu ņemšana vai paraugu ņemšana gan laika, gan frekvenču jomā. Ja svēršanas operācija tiek veikta kādā no šīm jomām, tad saskaņā ar konvolūcijas teorēmu tā atbildīs filtrēšanas (konvolūcijas) operācijas izpildei citā apgabalā ar sinc funkciju. Tāpat, ja diskretizācija tiek veikta vienā reģionā, tad periodiskā turpināšanas operācija tiek veikta otrā. Tā kā svēršana un paraugu ņemšana ir lineāras un komutatīvas darbības, ir dažādi veidi, kā tās sakārtot, dodot vienu un to pašu gala rezultātu ar dažādiem starprezultātiem. 2. attēlā parādītas divas iespējamās šo četru darbību secības.

Rīsi. 2. Divas iespējamās divu svēršanas operāciju un divu paraugu ņemšanas operāciju secības, kas savieno NIPF un DTRF: FW - loga pielietojums frekvenču domēnā; TW - loga pielietojums laika domēnā; FS - paraugu ņemšana frekvenču domēnā; TS - paraugu ņemšana laika domēnā.
1 - Furjē transformācija ar nepārtrauktu laiku, vienādojums (1);
4 - Furjē transformācija ar diskrētu laiku, vienādojums (22);
5 - Furjē rinda ar nepārtrauktu laiku, vienādojums (25);
8 — Furjē rinda ar diskrētu laiku, vienādojums (27)

Veicot svēršanas un paraugu ņemšanas darbības mezglos 1, 4, 5 un 8, būs četri dažādi Furjē relāciju veidi. Mezgli, kuros atrodas funkcija frekvenču domēns ir nepārtraukts, atsaukties uz pārvērtības Furjē un mezgli, kuros funkcija atrodas frekvenču domēnā diskrēts atsaukties uz Furjē sērija(sīkāku informāciju skatīt).
Tātad 4. mezglā tiek ģenerēts svērums frekvences domēnā un iztveršana laika domēnā diskrēta laika transformācija Furjē transformācija (DTFT), ko raksturo periodiska spektra funkcija frekvenču diapazonā ar periodu 1/T Hz:

(22)

(23)

Ņemiet vērā, ka izteiksme (22) definē noteiktu periodisku funkciju, kas sakrīt ar sākotnējo pārveidoto funkciju, kas norādīta mezglā 1, tikai frekvenču diapazonā no -1/2T līdz 1/2T Hz. Izteiksme (22) ir saistīta ar diskrētās secības x[n] Z-transformāciju ar relāciju

(24)

Tātad DTFT ir vienkārši Z-transformācija, kas aprēķināta uz vienības apļa un reizināta ar T.
Ja mēs virzāmies no 1. mezgla uz 8. 2. attēlā pa apakšējo atzaru, 5. mezglā, svēršanas darbības laika domēnā (ierobežojot signāla ilgumu) un iztveršanu frekvenču diapazonā ģenerē nepārtraukta laika Furjē sēriju ( CTSF). Izmantojot 1. un 2. tabulā dotās funkciju īpašības un definīcijas, iegūstam šādu pārveidojumu pāri
(25)
(26)

Ņemiet vērā, ka izteiksme (26) definē noteiktu periodisku funkciju, kas sakrīt ar sākotnējo funkciju (mezglā 1) tikai laika intervālā no 0 līdz NT.
Neatkarīgi no tā, kura no divām četru darbību secībām ir izvēlēta, gala rezultāts mezglā 8 būs vienāds - diskrēta laika Furjē sērija, kas atbilst sekojošam pārveidojumu pārim, kas iegūts, izmantojot 1. tabulā norādītās īpašības.

, (27)

kur k=-N/2, . . . ,N/2-1

, (28)

kur n=0, . . . ,N-1,
Enerģijas teorēma šim WWRF ir:

, (29)

un raksturo N datu paraugu virknes enerģiju. Abas sekvences x[n] un X[k] ir periodiskas moduļa N, tāpēc (28) var uzrakstīt formā

, (30)

kur 0 n N. Koeficients T (27) - (30) ir nepieciešams, lai (27) un (28) faktiski būtu integrālās transformācijas tuvinājums integrācijas jomā

.(31)

Nulles polsterējums

Izmantojot procesu, ko sauc nulles polsterējums, diskrētā laika Furjē sēriju var modificēt, lai interpolētu starp sākotnējās transformācijas N vērtībām. Papildināsim pieejamos datu paraugus x,...,x ar nulles vērtībām x[N],...X. Šīs nulles polsterētās 2N punktu datu secības TDRF sniegs ar

(32)

kur augšējā summas robeža labajā pusē ir modificēta, lai iekļautu nulles datus. Lai k=2m, tātad

, (33)

kur m=0,1,...,N-1, definē X[k] pāra vērtības. Tas parāda, ka vienmērīgām indeksa k vērtībām 2N punktu diskrētā laika Furjē rinda tiek samazināta līdz N punktu diskrēta laika rindai. Indeksa k nepāra vērtības atbilst interpolētajām TDGF vērtībām, kas atrodas starp sākotnējā N-punkta TDGF vērtībām. Tā kā sākotnējai N punktu secībai tiek pievienotas arvien jaunas nulles, var iegūt vēl vairāk interpolētu datu. Ierobežojošā bezgalīga skaita ievadīto nulles gadījumā DTRF var uzskatīt par N-punktu datu secības diskrēta laika Furjē transformāciju:

. (34)

Transformācija (34) atbilst 6. mezglam 2. attēlā.
Pastāv nepareizs uzskats, ka nulles polsterējums uzlabo izšķirtspēju, jo tas palielina datu secības garumu. Taču, kā izriet no 3. att., polsterējums ar nullēm neuzlabojas transformācijas izšķirtspēja, kas iegūta no dotās galīgās datu secības. Nulles polsterējums vienkārši ļauj iegūt interpolētu transformāciju plakanāka forma. Turklāt tas novērš neskaidrības, ko rada šaurjoslas signāla komponenti, kuru frekvences atrodas starp N punktiem, kas atbilst sākotnējā TPDF aplēstajām frekvencēm. Polsterējot ar nullēm, palielinās arī spektrālo pīķu frekvences novērtējuma precizitāte. Ar terminu spektrālā izšķirtspēja mēs saprotam spēju atšķirt divu harmonisko signālu spektrālās atbildes. Vispārpieņemts īkšķis, ko bieži izmanto spektrālajā analīzē, nosaka, ka atšķiramu sinusoīdu frekvences atdalīšana nevar būt mazāka par līdzvērtīgs loga joslas platums, caur kuru tiek novēroti šo sinusoīdu segmenti (segmenti).

3. att. Interpolācija, papildinot ar nullēm:
a - DPRF modulis 16 punktu datu ierakstīšanai, kas satur trīs sinusoīdus bez nulles polsterējuma (ir redzamas neskaidrības: nav iespējams pateikt, cik sinusoīdu ir signālā - divi, trīs vai četri);
b - tās pašas secības TDWF modulis pēc tā rādījumu skaita dubultošanās, pievienojot 16 nulles (nenoteiktības tiek atrisinātas, jo visi trīs sinusoīdi ir atšķirami;
c - tādas pašas secības TDWF modulis pēc četrkārtīga tā rādījumu skaita pieauguma nulles pievienošanas dēļ.

Līdzvērtīgu loga joslas platumu var definēt kā
kur W(f) ir loga funkcijas diskrēta laika Furjē transformācija, piemēram, taisnstūrveida (5). Tāpat jūs varat ievadīt līdzvērtīgs loga ilgums

Var parādīt, ka loga (vai jebkura cita signāla) ekvivalentais ilgums un tā transformācijas ekvivalentais joslas platums ir savstarpēji abpusēji: TeBe=1.

Ātrā Furjē transformācija

Ātrā Furjē transformācija (FFT) ir ne tikai vēl viena Furjē transformācijas variācija, bet gan efektīvas virknes nosaukums. algoritmi, kas paredzēts ātrai diskrēta laika Furjē sērijas aprēķināšanai. Galvenā problēma, kas rodas WWRF praktiskajā ieviešanā, ir lielais skaitļošanas operāciju skaits, kas ir proporcionāls N2. Lai gan ilgi pirms datoru parādīšanās tika piedāvātas vairākas efektīvas skaitļošanas shēmas, kas varētu ievērojami samazināt skaitļošanas operāciju skaitu, īstu revolūciju radīja 1965. gadā publicētais Kūlija (Kūls) un Tjūkija (Tukey) raksts ar praktisku algoritms ātrai TDWF aprēķināšanai (operāciju skaits Nlog 2 N). Pēc tam tika izstrādāti daudzi pamatidejas varianti, uzlabojumi un papildinājumi, kas veidoja algoritmu klasi, kas pazīstama kā ātrā Furjē transformācija. FFT pamatideja ir sadalīt N-punkta TDGF divos vai vairākos mazāka garuma TDGF, no kuriem katru var aprēķināt atsevišķi un pēc tam lineāri summēt ar pārējiem, lai iegūtu sākotnējās N-punkta secības TDGF. .
Mēs attēlojam diskrēto Furjē transformāciju (DTFT) formā

, (35)

kur vērtību W N =exp(-j2 /N) sauc par pagrieziena koeficientu (turpmāk šajā sadaļā izlases periods ir T=1). Izvēlieties no secības x[n] elementus ar pāra un nepāra skaitļiem

. (36)

Bet kopš tā laika
. Tāpēc (36) var rakstīt kā

, (37)

kur katrs no vārdiem ir transformācija ar garumu N/2

(38)

Ņemiet vērā, ka secība (WN/2) nk ir periodiska k ar periodu N/2. Tāpēc, lai gan skaitlim k izteiksmē (37) ir vērtības no 0 līdz N-1, katra no summām tiek aprēķināta k vērtībām no 0 līdz N/2-1. Var noteikt kompleksās reizināšanas un saskaitīšanas operāciju skaitu, kas nepieciešamas Furjē transformācijas aprēķināšanai saskaņā ar algoritmu (37)-(38). Divām N/2 punktu Furjē transformācijām saskaņā ar formulām (38) ir nepieciešami 2(N/2) 2 reizinājumi un aptuveni tikpat daudz saskaitījumu. Divu N/2 punktu pārveidojumu savienošanai saskaņā ar formulu (37) ir nepieciešams N vairāk reizināšanas un N saskaitīšanas. Tāpēc, lai aprēķinātu Furjē transformāciju visām k N vērtībām, ir jāveic N+N 2 /2 reizināšanas un saskaitīšanas. Tajā pašā laikā tiešajam aprēķinam pēc formulas (35) ir nepieciešams N 2 reizinājums un saskaitīšana. Jau N>2 nevienādība N+N 2 /2< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:

, (39)
(40)

Šajā gadījumā, ņemot vērā secības W nk N/4 periodiskumu k ar periodu N/4, summas (40) jāaprēķina tikai k vērtībām no 0 līdz N/4-1. Tāpēc secības X[k] aprēķināšanai pēc formulām (37), (39) un (40) ir, kā to ir viegli aprēķināt, ir vajadzīgas jau 2N+N 2 /4 reizināšanas un saskaitīšanas operācijas.
Ejot šo ceļu, aprēķinu skaitu X[k] var arvien vairāk samazināt. Pēc m=log 2 N izvērsumiem nonākam pie formas divpunktu Furjē transformācijām

(41)

kur "viena punkta transformācijas" X 1 ir vienkārši signālu paraugi x[n]:

X 1 = x[q]/N, q=0,1,...,N-1. (42)

Rezultātā mēs varam uzrakstīt FFT algoritmu, kas acīmredzamu iemeslu dēļ tiek saukts laika retināšanas algoritms :

X 2 \u003d (x[p] + W k 2 x) / N,

kur k=0,1, p=0,1,...,N/2 -1;

X 2N/M = X N/M + W k 2N/M X N/M ,

kur k=0,1,...,2N/M-1, p=0,1,...,M/2-1;

X[k] = X N [k] = X N/2 + W k N X N/2, (43)

kur k=0,1,...,N-1

Katrā aprēķinu posmā tiek veiktas N kompleksās reizināšanas un saskaitīšanas. Un tā kā sākotnējās secības sadalīšanas skaits pusgarās apakšsekvencēs ir vienāds ar log 2 N, tad kopējais reizināšanas-summēšanas operāciju skaits FFT algoritmā ir Nlog 2 N. Lielam N ir ievērojams ietaupījums skaitļošanas operācijas salīdzinājumā ar tiešu DFT aprēķinu. Piemēram, pie N = 2 10 = 1024 darbību skaits samazinās 117 reizes.
Mūsu aplūkotais FFT algoritms ar laika decimāciju ir balstīts uz Furjē transformācijas aprēķinu, veidojot ievades secības x[n] apakšsecības. Tomēr var izmantot arī Furjē transformācijas X[k] apakšsecības dekompozīcijas. FFT algoritmu, kas balstīts uz šo procedūru, sauc par FFT algoritmu. biežuma samazināšanās. Jūs varat lasīt vairāk par ātro Furjē transformāciju, piemēram, in.

Nejauši procesi un jaudas spektrālais blīvums

Diskrētu gadījuma procesu x var uzskatīt par kādu reālu vai sarežģītu diskrētu laika (vai telpisku) secību kopu vai ansambli, no kurām katru varētu novērot kāda eksperimenta rezultātā (n - laika indekss, i - novērojuma skaitlis). Viena novērojuma rezultātā iegūtā secība tiks apzīmēta ar x[n]. Ansambļa vidējā noteikšanas operācija (t.i. statistiskā vidējā aprēķināšana) apzīmē operators<>. Pa šo ceļu, - nejaušā procesa x[n] vidējā vērtība brīdī n. autokorelācija nejaušu procesu divos dažādos laikos n1 un n2 nosaka izteiksme r xx = .

Nejaušs process tiek saukts par stacionāru plašā nozīmē, ja tā vidējā vērtība ir nemainīga (nav atkarīga no laika), un autokorelācija ir atkarīga tikai no laika indeksu starpības m=n1-n2 (laika nobīde vai aizkave starp paraugiem). Tādējādi plaši stacionāram diskrētam nejaušības procesam x[n] ir raksturīga nemainīga vidējā vērtība =un autokorelācijas secība(AKP)

r xx [m] =< xx*[n] >. (44)

Ņemiet vērā šādas ACP īpašības:

r xx |r xx [m]| , r xx [-m] = r* xx [m] , (45)

kas ir spēkā visiem m.
Jaudas spektrālais blīvums (PSD) ir definēts kā autokorelācijas secības diskrēta laika Furjē transformācija (DTFT).

. (46)

PSD, kura platums tiek pieņemts ierobežots līdz ±1/2T Hz, ir periodiska frekvences funkcija ar periodu 1/T Hz. Funkcija PSD apraksta nejauša procesa jaudas frekvenču sadalījumu. Lai apstiprinātu tam izvēlēto nosaukumu, apsveriet apgriezto DTFT

(47)

aprēķināts pie m=0

(48)

Autokorelācija pie nulles nobīdes raksturo vidējā jauda nejaušs process. Saskaņā ar (48) laukums zem līknes P xx (f) raksturo vidējo jaudu, tāpēc P xx (f) ir blīvuma funkcija (jauda uz frekvences mērvienību), kas raksturo jaudas sadalījumu pa frekvenci. Pārveidojumu (46) un (47) pāri bieži sauc Vīnera-Hinčina teorēma diskrēta laika gadījumā. Tā kā r xx [-m]=r* xx [m], PSD ir jābūt stingri reālai pozitīvai funkcijai. Ja AFC ir stingri reāla funkcija, tad r xx [-m]=r xx [m] un PSD var ierakstīt Furjē kosinusa transformācijas formā.

,

kas arī nozīmē, ka P xx (f) = P xx (-f), t.i. SPM ir vienmērīga funkcija.
Līdz šim, nosakot nejauša procesa vidējo vērtību, korelāciju un jaudas spektrālo blīvumu, mēs esam izmantojuši statistisko vidējo aprēķinu visā ansamblī. Taču praksē parasti nav iespējams iegūt vajadzīgā procesa realizāciju ansambli, no kura varētu aprēķināt šos statistiskos raksturlielumus. Visas statistiskās īpašības vēlams novērtēt no vienas izlases realizācijas x(t), aizstājot y ansambļa vidējais pēc laika vidējais. Īpašību, kas ļauj veikt šādas izmaiņas, sauc par ergoditāti. Nejaušs process tiek uzskatīts par ergodisku, ja ar varbūtību, kas vienāda ar vienu, visus tā statistiskos raksturlielumus var paredzēt no vienas ansambļa realizācijas, izmantojot laika vidējo. Citiem vārdiem sakot, gandrīz visu iespējamo procesa realizāciju vidējās vērtības laika gaitā saplūst ar varbūtību no viena līdz tai pašai nemainīgajai vērtībai - vidējai vērtībai visā ansamblī.

. (49)

Šī robeža, ja tāda pastāv, tuvojas patiesajam vidējam tad un tikai tad, ja vidējā laika dispersija sasniedz nulli, kas nozīmē, ka ir izpildīts šāds nosacījums:

. (50)

Šeit c xx [m] ir procesa x[n] kovariācijas patiesā vērtība.
Līdzīgi, novērojot x[n] procesa paraugu reizinājuma vērtību divos laika punktos, varam sagaidīt, ka vidējā vērtība būs vienāda ar

(51)

Ergodicitātes pieņēmums ļauj ne tikai ieviest vidējā un autokorelācijas definīcijas, izmantojot vidējo vērtību, bet arī sniegt līdzīgu jaudas spektrālā blīvuma definīciju.

. (52)

Šo līdzvērtīgo PSD formu iegūst, statistiski vidējo svērto datu kopas DTFT moduli dalītu ar datu ieraksta garumu gadījumā, ja paraugu skaits palielinās līdz bezgalībai. Šeit ir nepieciešama statistiskā vidējā aprēķināšana, jo pats DTFT ir nejaušs mainīgais, kas mainās katrai x[n] ieviešanai. Lai parādītu, ka (52) ir ekvivalents Vīnera-Khinčina teorēmai, mēs attēlojam DTFT moduļa kvadrātu kā divu sēriju reizinājumu un mainām summēšanas un statistiskās vidējās noteikšanas darbību secību:

(53)

Izmantojot labi zināmo izteicienu

, (54)

sakarību (53) var reducēt uz šādu:

(55)

Ņemiet vērā, ka (55) atvasināšanas pēdējā posmā mēs izmantojām pieņēmumu, ka autokorelācijas secība “sairst”, lai

. (56)

Saistība starp divām SPM definīcijām (46) un (52) ir skaidri parādīta diagrammā, kas parādīta 4. attēlā.
Ja izteiksmē (52) nav ņemta vērā matemātiskās gaidas darbība, tad mēs iegūstam PSD novērtējumu

, (57)

ko sauc selektīvs spektrs.

Rīsi. 4. Saistība starp divām jaudas spektrālā blīvuma novērtēšanas metodēm

Spektrālās novērtēšanas periodogrammas metode

Iepriekš mēs ieviesām divas formālas līdzvērtīgas metodes jaudas spektrālā blīvuma (PSD) noteikšanai. Netiešā metode ir balstīta uz bezgalīgas datu secības izmantošanu, lai aprēķinātu autokorelācijas secību, kuras Furjē transformācija dod vēlamo PSD. Tiešā metode PSD noteikšanai ir balstīta uz Furjē transformācijas moduļa kvadrāta aprēķināšanu bezgalīgai datu secībai, izmantojot atbilstošu statistisko vidējo aprēķinu. PSD, kas iegūts bez šādas vidējās noteikšanas, izrādās neapmierinošs, jo šāda novērtējuma vidējā kvadrātiskā kļūda ir salīdzināma ar tā vidējo vērtību. Tagad mēs apsvērsim vidējās metodes, kas nodrošina vienmērīgus un statistiski stabilus spektra aprēķinus ierobežotam paraugu skaitam. PSD aplēses, kas balstītas uz tiešu datu transformāciju un sekojošu vidējo aprēķinu, sauc par periodogrammām. Tiek izsaukti JMP aprēķini, kuriem korelācijas aplēses vispirms tiek veidotas no sākotnējiem datiem korelogramma. Izmantojot jebkuru PSD novērtēšanas metodi, lietotājam ir jāpieņem daudzi kompromisa lēmumi, lai iegūtu statistiski stabilus spektrālos aprēķinus ar augstāko iespējamo izšķirtspēju no ierobežota skaita paraugu. Šie kompromisi jo īpaši ietver datu un korelācijas aprēķinu svēršanas loga izvēli un tādus vidējās noteikšanas parametrus laika un frekvences jomās, kas līdzsvaro prasības sānu daivas samazināšanai svēršanas dēļ, efektīvas vidējās noteikšanas veikšanu un nodrošināšanu. pieņemama spektrālā izšķirtspēja. Uz att. 5 ir diagramma, kurā parādīti galvenie posmi periodogramma metodi

Rīsi. 5. PSD novērtēšanas galvenie posmi, izmantojot periodogrammas metodi

Metodes pielietošana sākas ar N datu paraugu savākšanu, kas tiek ņemti ar T sekunžu intervālu katram paraugam, kam seko (pēc izvēles) tendences samazināšanas solis. Lai iegūtu statistiski stabilu spektrālo novērtējumu, pieejamie dati jāsadala segmentos, kas pārklājas (ja iespējams), un pēc tam katram šādam segmentam iegūto paraugu spektru vidējā vērtība. Šīs vidējās vērtības noteikšanas parametri tiek mainīti, atbilstoši izvēloties paraugu skaitu segmentā (NSAMP) un paraugu skaitu, lai novirzītu nākamā segmenta sākumu (NSHIFT), sk. 6. Segmentu skaits tiek izvēlēts atkarībā no spektrālā novērtējuma nepieciešamās gluduma (dispersijas) pakāpes un nepieciešamās spektrālās izšķirtspējas. Izmantojot nelielu NSAMP parametra vērtību, ir vairāk segmentu, kuriem jāaprēķina vidējais rādītājs, un tāpēc tiks iegūti aprēķini ar mazāku izkliedi, bet arī mazāku frekvences izšķirtspēju. Segmenta garuma palielināšana (NSAMP parametrs) palielina izšķirtspēju, protams, uz aplēses dispersijas palielināšanas rēķina, jo ir mazāks vidējo vērtību skaits. Atgriešanās bultiņa 5. attēlā norāda uz nepieciešamību veikt vairākas atkārtotas datu caurlaides dažādos garumos un segmentu skaitā, kas ļauj iegūt vairāk informācijas par pētāmo procesu.

6. att. Datu sadalīšana segmentos, lai aprēķinātu periodogrammu

Logs

Viens no svarīgākajiem jautājumiem, kas ir kopīgs visām klasiskajām spektrālās novērtēšanas metodēm, ir saistīts ar datu svēršanu. Logus izmanto, lai kontrolētu sānu daiviņu ietekmi spektrālos aprēķinos. Ņemiet vērā, ka pieejamo galīgo datu ierakstu ir ērti uzskatīt par daļu no atbilstošās bezgalīgās secības, kas redzama caur lietoto logu. Tātad novēroto datu secību x 0 [n] no N paraugiem var matemātiski uzrakstīt kā bezgalīgas secības x[n] un taisnstūra loga funkcijas reizinājumu.

X 0 [n] = x[n] taisni[n].
Tas pieņem acīmredzamu pieņēmumu, ka visi nenovērotie skaitļi ir nulle neatkarīgi no tā, vai tas tā ir. Svērtās secības diskrēta laika Furjē transformācija ir vienāda ar x[n] secības pārveidojumu un taisnstūra loga taisnstūra[n] konvolūciju.

X 0 (f)=X(f)*D N (f) , kur
D N (f) = Texp(-j2pfT)sin(pfTN)/sin(pfT).

Funkcija D N (f), ko sauc par diskrēto sinc funkciju vai Dirihleta kodolu, ir taisnstūra funkcijas DTFT. Novērojamā ierobežotās secības transformācija ir bezgalīgas secības transformācijas izkropļota versija. Taisnstūra loga ietekme uz diskrēta laika sinusoīdu ar frekvenci f 0 ir parādīta 7. attēlā.

7. att. Attēls par diskrētā laika Furjē transformācijas nobīdi datu svēršanas dēļ noplūdes dēļ.: a, c - sākotnējās un svērtās secības; b, d - to Furjē transformācijas.

No attēla var redzēt, ka bezgalīgas sinusoidālās secības DTFT asās spektrālās virsotnes ir paplašinātas, pateicoties konvolūcijai ar loga transformāciju. Tādējādi logu svērtās secības spektrālo maksimumu minimālo platumu nosaka šī loga transformācijas galvenās daivas platums un tas nav atkarīgs no datiem. Loga transformācijas sānu cilpas mainīs blakus esošo spektrālo pīķu amplitūdas (dažreiz sauktas par noplūdi). Tā kā DTFT ir periodiska funkcija, blakus periodu sānu daivu pārklāšanās var izraisīt papildu novirzes. Paraugu ņemšanas biežuma palielināšana samazina sānu daivas superpozīcijas efektu. Līdzīgi izkropļojumi, protams, tiks novēroti nesinusoidālu signālu gadījumā. Noplūde izraisa ne tikai amplitūdas kļūdu parādīšanos diskrētu signālu spektros, bet arī var maskēt vāju signālu klātbūtni. Var piedāvāt vairākas citas loga funkcijas, kas var samazināt sānu daivu līmeni salīdzinājumā ar taisnstūra logu. Samazinot sānu daivu līmeni, samazināsies spektrālā novērtējuma nobīde, taču tas nāk uz loga spektra galvenās daivas paplašināšanas rēķina, kas, protams, noved pie izšķirtspējas pasliktināšanās. Tāpēc arī šeit ir jāpiekāpjas starp galvenās daivas platumu un sānu daivu līmeni. Logu kvalitātes novērtēšanai tiek izmantoti vairāki parametri. Tradicionālais mērs ir galvenās daivas joslas platums ar pusi jaudas. Otrais rādītājs ir līdzvērtīgs joslas platums, kas ievadīts iepriekš. Sānu daivu īpašību novērtēšanai tiek izmantoti arī divi indikatori. Pirmais ir to maksimālais līmenis, otrais ir sabrukšanas ātrums, kas raksturo sānu daivu ātruma samazināšanos, tām attālinoties no galvenās daivas. 3. tabulā ir sniegtas definīcijas dažām bieži lietotām diskrēta laika loga funkcijām, un 4. tabulā ir aprakstītas to īpašības.
3. tabula Tipiskā N-punkta diskrētā laika loga definīcijas Maks. sānu daivu līmenis, dB -31,5

. (46)

Korelogrammas metode PSD novērtējums ir vienkārši aizvietošana izteiksmē (46) noteiktai autokorelācijas novērtējuma vērtību secībai ( korelogrammas) nezināmu patieso autokorelācijas vērtību bezgalīgas secības vietā. Plašāku informāciju par spektrālās novērtēšanas korelogrammas metodi var atrast.

Literatūra

1. Rabiner L., Gould B. Digitālās signālu apstrādes teorija un pielietojums. M.: Mir, 1978.

2. Mārpls jaunākais. S.L. Digitālā spektrālā analīze un tās pielietojumi: Per. no angļu valodas. -M.: Mir, 1990.

3. Goldbergs L.M., Matjuškins B.D., Poļaks M.N., Digitālā signālu apstrāde. - M.: Radio un sakari, 1990.g.

4. Otnes R., Enokson L. Laika rindu lietišķā analīze.- M.: Mir, 1982.

Furjē transformācija- šī ir matemātisko metožu grupa, kuras pamatā ir sākotnējās nepārtrauktās laika funkcijas sadalīšana dažādu frekvenču, amplitūdu un fāžu harmonisko pamatfunkciju (kas ir sinusoidālās funkcijas) komplektā. No definīcijas var redzēt, ka transformācijas galvenā ideja ir tāda, ka jebkuru funkciju var attēlot kā bezgalīgu sinusoīdu summu, no kurām katra tiks raksturota ar tās amplitūdu, frekvenci un sākuma fāzi.

Furjē transformācija ir spektrālās analīzes pamatlicējs. Spektrālā analīze ir signāla apstrādes metode, kas ļauj raksturot izmērītā signāla frekvences saturu. Atkarībā no signāla attēlojuma tiek izmantotas dažādas Furjē transformācijas. Ir vairāki Furjē transformācijas veidi:

- Nepārtraukts Furjē pārveidojums (angļu literatūrā Continue Time Furier Transform - CTFT vai, īsumā, FT);

– Diskrētā Furjē transformācija (angļu literatūrā Discrete Furier Transform – DFT);

– Ātrā Furjē transformācija (angļu literatūrā Fast Furier transformācija – FFT).

Nepārtraukta Furjē transformācija

Furjē transformācija ir matemātisks rīks, ko izmanto dažādās zinātnes jomās. Dažos gadījumos to var izmantot kā līdzekli sarežģītu vienādojumu risināšanai, kas apraksta dinamiskus procesus, kas notiek elektriskās, siltuma vai gaismas enerģijas ietekmē. Citos gadījumos tas ļauj izcelt regulārās sastāvdaļas sarežģītā svārstību signālā, lai jūs varētu pareizi interpretēt eksperimentālos novērojumus astronomijā, medicīnā un ķīmijā. Nepārtraukta transformācija faktiski ir Furjē rindas vispārinājums, ja paplašinātās funkcijas periods tiecas līdz bezgalībai. Tādējādi klasiskā Furjē transformācija attiecas uz signāla spektru, kas pārņemts visā mainīgā pastāvēšanas diapazonā.

Pastāv vairāki nepārtrauktas Furjē transformācijas rakstīšanas veidi, kas atšķiras viens no otra ar koeficienta vērtību integrāļa priekšā (divas rakstīšanas formas):

vai

kur un ir funkcijas Furjē attēls vai funkcijas frekvenču spektrs;

- apļveida frekvence.

Jāpiebilst, ka dažādās zinātnes un tehnikas jomās ir sastopami dažādi ierakstu veidi. Normalizācijas koeficients ir nepieciešams, lai pareizi mērogotu signālu no frekvences domēna uz laika domēnu. Normalizācijas koeficients samazina signāla amplitūdu apgrieztās transformācijas izejā tā, lai tas atbilstu sākotnējā signāla amplitūdai. Matemātiskajā literatūrā tiešās un apgrieztās Furjē transformācijas tiek reizinātas ar koeficientu, savukārt fizikā visbiežāk ar tiešu transformāciju koeficientu neuzliek, bet ar apgriezto – koeficientu. Ja mēs secīgi aprēķinām noteikta signāla tiešo Furjē transformāciju un pēc tam ņemam apgriezto Furjē transformāciju, tad apgrieztās transformācijas rezultātam pilnībā jāsakrīt ar sākotnējo signālu.

Ja funkcija ir nepāra intervālā (-∞, +∞), tad Furjē transformāciju var attēlot ar sinusa funkciju:

Ja funkcija ir pāra intervālā (-∞, +∞), tad Furjē transformāciju var attēlot kosinusa funkcijas izteiksmē:

Tādējādi nepārtrauktā Furjē transformācija ļauj attēlot neperiodisku funkciju kā tādas funkcijas integrāli, kas katrā tās punktā pārstāv Furjē rindas koeficientu neperiodiskai funkcijai.

Furjē transformācija ir atgriezeniska, tas ir, ja tās Furjē attēls tika aprēķināts no funkcijas, tad sākotnējo funkciju var unikāli atjaunot no Furjē attēla. Apgrieztā Furjē transformācija tiek saprasta kā formas integrālis (divas rakstīšanas formas):

vai

kur ir funkcijas Furjē attēls vai funkcijas frekvenču spektrs;

- apļveida frekvence.

Ja funkcija ir nepāra intervālā (-∞, +∞), tad apgriezto Furjē transformāciju var attēlot ar sinusa funkciju:

Ja funkcija ir pāra intervālā (-∞, +∞), tad apgriezto Furjē transformāciju var attēlot ar kosinusa funkciju:

Kā piemēru apsveriet šādu funkciju . Tālāk ir parādīts pētāmās eksponenciālās funkcijas grafiks.

Tā kā funkcija ir pāra funkcija, nepārtrauktā Furjē transformācija tiks definēta šādi:

Rezultātā ieguvām pētāmās eksponenciālās funkcijas izmaiņu atkarību no frekvences intervāla (skat. zemāk).

Nepārtrauktā Furjē transformācija teorētiski parasti tiek izmantota, apsverot signālus, kas mainās atbilstoši dotajām funkcijām, bet praksē tie parasti attiecas uz mērījumu rezultātiem, kas atspoguļo diskrētus datus. Mērījumu rezultātus reģistrē regulāri ar noteiktu paraugu ņemšanas frekvenci, piemēram, 16000 Hz vai 22000 Hz. Tomēr vispārīgā gadījumā diskrētie rādījumi var būt nevienmērīgi, taču tas sarežģī analīzes matemātisko aparātu, tāpēc praksē to parasti neizmanto.

Ir svarīga Koteļņikova teorēma (ārzemju literatūrā ir nosaukums “Nikvista-Šenona teorēma”, “izlases teorēma”), kurā teikts, ka analogais periodiskais signāls ar ierobežotu (platumā ierobežotu) spektru (0 ... fmax) var unikāli atjaunot bez kropļojumiem un zudumiem to diskrētajos rādījumos, kas iegūti ar frekvenci, kas ir lielāka par vai vienāda ar divreiz augstāko spektra frekvenci - paraugu ņemšanas frekvenci (fdisc >= 2*fmax). Citiem vārdiem sakot, ar iztveršanas frekvenci 1000 Hz signālu ar frekvenci līdz 500 Hz var atgūt no analogā periodiskā signāla. Jāņem vērā, ka funkcijas diskretizācija laikā noved pie tās spektra periodizācijas, savukārt spektra diskretizācija frekvencē noved pie funkcijas periodizācijas.

Šī ir viena no Furjē transformācijām, ko plaši izmanto digitālo signālu apstrādes algoritmos.

Tiešā diskrētā Furjē transformācija saista laika funkciju , ko definē N-mērīšanas punkti noteiktā laika intervālā, ar citu funkciju , kas ir definēta frekvences intervālā. Jāņem vērā, ka funkcija laika intervālā tiek norādīta, izmantojot N-izlases, un funkcija frekvenču domēnā ir norādīta, izmantojot K-reizes spektru.

k ˗ frekvences indekss.

Kth signāla frekvenci nosaka izteiksme

kur T ir laika periods, kurā tika ņemti ievades dati.

Tiešo diskrēto transformāciju var pārrakstīt reālo un iedomāto komponentu izteiksmē. Reālais komponents ir masīvs, kas satur kosinusa komponentu vērtības, un iedomātais komponents ir masīvs, kas satur sinusa komponentu vērtības.

No pēdējām izteiksmēm var redzēt, ka konversija sadala signālu sinusoidālās komponentēs (sauktas par harmoniskām) ar frekvencēm no vienas svārstības periodā līdz N svārstībām periodā.

Diskrētajai Furjē transformācijai ir iezīme, jo diskrētu secību var iegūt ar funkciju summu ar dažādu harmoniskā signāla sastāvu. Citiem vārdiem sakot, diskrēta secība tiek sadalīta harmoniskajos mainīgajos - neviennozīmīgi. Tāpēc, sadalot diskrētu funkciju, izmantojot diskrētu Furjē transformāciju, spektra otrajā pusē parādās augstfrekvences komponenti, kas nebija sākotnējā signālā. Šis augstfrekvences spektrs ir spektra pirmās daļas spoguļattēls (frekvences, fāzes un amplitūdas ziņā). Parasti spektra otrā puse netiek ņemta vērā, un spektra pirmās daļas signāla amplitūdas tiek dubultotas.

Jāņem vērā, ka nepārtrauktas funkcijas paplašināšana neizraisa spoguļa efekta parādīšanos, jo nepārtraukta funkcija tiek unikāli sadalīta harmoniskajos mainīgajos.

Līdzstrāvas komponenta amplitūda ir funkcijas vidējā vērtība izvēlētajā laika periodā, un to nosaka šādi:

Signāla frekvences komponentu amplitūdas un fāzes nosaka šādas attiecības:

Iegūtās amplitūdas un fāzes vērtības sauc par polāro apzīmējumu. Iegūtais signāla vektors tiks definēts šādi:

Apsveriet algoritmu diskrēti dotas funkcijas pārveidošanai noteiktā intervālā (noteiktā periodā) ar sākotnējo punktu skaitu

D dzirksteles Furjē transformācija

Transformācijas rezultātā mēs iegūstam funkcijas reālās un iedomātās vērtības, kas noteiktas frekvenču diapazonā.

Apgrieztā diskrētā Furjē transformācija saista frekvences funkciju , kuru frekvenču domēnā nosaka K reizes spektrs, ar citu funkciju , kas ir definēta laika domēnā.

N ˗ vienā periodā izmērīto signālu vērtību skaits, kā arī frekvenču spektra daudzveidība;

k ˗ frekvences indekss.

Kā jau minēts, diskrētā Furjē transformācija kartē N-punktus diskrētam signālam uz N-kompleksiem signāla spektrālajiem paraugiem. Lai aprēķinātu vienu spektrālo paraugu, ir nepieciešamas N kompleksās reizināšanas un saskaitīšanas operācijas. Tādējādi diskrētā Furjē transformācijas algoritma skaitļošanas sarežģītība ir kvadrātiska, citiem vārdiem sakot, ir nepieciešamas sarežģītas reizināšanas un saskaitīšanas darbības.

1

Videonovērošanas kameras tiek plaši izmantotas, lai kontrolētu satiksmes situāciju uz lielceļiem ar augstu satiksmes intensitāti. Informācija, kas nāk no videokamerām, satur datus par īslaicīgām transportlīdzekļu telpiskā stāvokļa izmaiņām sistēmas redzamības laukā. Šīs informācijas apstrāde, pamatojoties uz televīzijas mērīšanas sistēmās (TIS) izmantotajiem algoritmiem, ļauj noteikt transportlīdzekļu ātrumu un nodrošināt satiksmes plūsmas kontroli. Tieši šie faktori izskaidro pieaugošo interesi par transporta maršrutu televīzijas uzraudzību.

Lai izstrādātu metodes transportlīdzekļu attēlu filtrēšanai uz trokšņa fona, ir jāzina to galvenie parametri un īpašības. Iepriekš autori veica Furjē un viļņu spektru izpēti dabas un pilsētas fonā. Šis darbs ir veltīts līdzīgu transportlīdzekļu spektru izpētei.

• izmantojot digitālo fotoaparātu, tika izveidota oriģinālo .bmp failu banka ar dažāda veida transportlīdzekļu vienkrāsainiem attēliem (vieglās un kravas automašīnas, autobusi, katrai grupai attēlu skaits bija 20-40 dažādos leņķos un apgaismojuma apstākļos); attēli bija 400 pikseļi horizontāli un 300 pikseļi vertikāli; spilgtuma diapazons no 0 līdz 255 vienībām;
• tā kā attēlos papildus transportlīdzeklim bija arī fona komponents, lai novērstu tās ietekmi uz rezultātu, tas tika mākslīgi nomākts līdz nulles līmenim;
• transportlīdzekļu attēlu raksturlielumi tika analizēti ar Furjē un viļņu analīzes metodēm.

MATLAB vidē izstrādātā programma ļauj aprēķināt vidējo spilgtumu (ti, attēla spilgtuma matemātisko cerību), spilgtuma izkliedi, atsevišķu un kopējo attēla līniju Furjē spektru, spektrogrammas un viļņu spektrus, izmantojot dažādus zināmos viļņus (Haar, Daubechies , Simlet utt.). Analīzes rezultāti tiek atspoguļoti divdimensiju un 3D attēlu spektru veidā.

Pamatojoties uz pētījuma rezultātiem, var izdarīt šādus secinājumus:

• dažādu transportlīdzekļu attēlu vidējais spilgtuma raksturlielumi (vidējais spilgtums, izkliede) visiem tipiem ir līdzīgas; saules gaismas atspīdums no automašīnas logiem un virsmām būtiski ietekmē spilgtuma īpašības; atkarībā no apgaismojuma intensitātes un virziena melnajām automašīnām var būt līdzīgas spilgtuma īpašības kā vieglajām automašīnām;
• neatkarīgi no transportlīdzekļa veida Furjē un viļņu spektriem ir līdzīga struktūra;
• transportlīdzekļa spektra Furjē platums ir vāji atkarīgs no transportlīdzekļa veida; spektram ir ievērojami nevienmērīga struktūra, kas mainās, mainoties apgaismojumam un transportlīdzekļa orientācijai; spektram horizontālajā plaknē ir nevienmērīgāka struktūra nekā vertikālajā; puskravu un autobusu spektrālās īpašības lielā mērā ietekmē zīmējumi un uzraksti (reklāma) uz to virsmām;
• griežot automašīnas, attēlu spektru izmaiņas horizontālajā plaknē ir būtiskas, spektrs vertikālajā plaknē saglabājas diezgan stabils; tas ir īpaši labi redzams viļņu spektros;
• atsevišķa transportlīdzekļa un transportlīdzekļa spektru analīze uz traucējumu fona parāda, ka tie atšķiras pēc spektrālo komponentu amplitūdas līmeņiem; ja nav fona, vertikālais spektrs ir daudz vienmērīgāks; automobiļu attēliem bez fona lielāka spektra dziļu kritumu iespējamība (lielāks nevienmērīgums), attēlu spektra aploksne ar fonu ir vienmērīgāka nekā bez fona;
• veiktie pētījumi liecina, ka daudzu faktoru spēcīgas ietekmes dēļ transportlīdzekļu spektrālie raksturlielumi (gan izmantojot Furjē analīzi, gan viļņu analīzi) neļauj identificēt transportlīdzekļu attēlu stabilas spektrālās pazīmes; tas samazina spektrālo attēlu filtrēšanas efektivitāti fona slāpēšanai;
• automatizētajās satiksmes vadības sistēmās, lai atšķirtu transportlīdzekļus uz traucējumu fona, ir jāizmanto pazīmju kopums, piemēram, krāsa, spektrs, objektu ģeometriskie parametri (izmēri un izmēru attiecības) un dinamiskie raksturlielumi.

BIBLIOGRĀFIJA

1. Makaretsky E.A., Nguyen L.Kh. Dabas un pilsētas fona attēlu īpašību izpēte / / Izv. Tulska. Valsts. Universitāte. Radiotehnika un radiooptika. - Tula, 2005. - T. 7.- P. 97-104.

Bibliogrāfiskā saite

Makaretsky E.A. TRANSPORTLĪDZEKĻU FUJĒ UN VIĻŅU SPEKTRA PĒTĪJUMS // Fundamentālie pētījumi. - 2006. - Nr.12. - P. 80-81;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=5557 (piekļuves datums: 15.01.2020.). Jūsu uzmanībai piedāvājam izdevniecības "Dabas vēstures akadēmija" izdotos žurnālus