Štátna polytechnická univerzita v Petrohrade

Fakulta technickej kybernetiky

Katedra automatizácie a počítačovej techniky

SPRÁVA

za laboratórnu prácu č.3

Výskum rekurentných digitálnych filtračných algoritmov

signálov metódou spriemerovania.

Vyplnil študent gr. 4081/1 Volykhin A.N.

Kontroloval: V.D. Yarmiychuk

Saint Petersburg

1. Ciele práce

Účelom práce je zoznámiť sa s rôznymi algoritmami digitálnej filtrácie signálov metódou priemerovania a študovať efektivitu ich práce v podmienkach, keď na užitočný signál pôsobí rušenie typu "biely šum" s nulovým matematickým očakávaním.

riadený rozptyl.

2. Metodológia výskumu

Skúmajú sa filtre založené na nasledujúcich algoritmoch:

jeden). Algoritmus opakovaného spriemerovania s nekonečnou pamäťou.

Účelom filtra je izolovať konštantnú zložku užitočného signálu na pozadí rušenia.

Výraz pre to v opakujúcej sa forme:

Keď poskytuje .

2). Algoritmus opakovaného spriemerovania s konštantným korekčným faktorom.

Účelom filtra je izolovať nízkofrekvenčné zložky vstupného užitočného signálu na pozadí šumu.

Ak súhlasíte, môžete túto rovnicu napísať v tvare:

Odkiaľ pri prechode na spojitý čas získame prenosovú funkciu filtra:

To znamená, že filter skonštruovaný podľa tohto algoritmu je ekvivalentný pre malé hodnoty

analógový dolnopriepustný filter prvého rádu.

3). Opakujúci sa algoritmus spriemerovania konečnej pamäte.

Účelom filtra je zvýrazniť nízkofrekvenčné zložky vstupného signálu

pomocou spriemerovania len obmedzeného počtu svojich najnovších meraní.

Účinnosť digitálneho filtrovania, teda miera zníženia úrovne hluku na výstupe filtra v porovnaní s úrovňou šumu na vstupe, sa bude odhadovať takto:

Kde: - zašumený signál na vstupe filtra

Užitočný signál na vstupe filtra

Výstupný signál filtra

Užitočný signál na výstupe filtra

3. Schéma experimentu (pozri prílohu 1)

4. Výsledky experimentu

4.1. Algoritmus opakovaného spriemerovania s nekonečnou pamäťou

Štúdie sa uskutočňovali s konštantnou periódou vzorkovania rovnajúcou sa 100 ms.

Zvážte, ako sa mení účinnosť filtra od veľkosti konštantného vstupného signálu (X).

Algoritmy pre analytické odstupňovanie, digitálne filtrovanie využívajúce metódy exponenciálneho vyhladzovania a kĺzavého priemeru. Robustné, vysokopriepustné, pásmové a vrubové filtre. Diskrétna diferenciácia, integrácia a priemerovanie nameraných hodnôt.

Filter je systém alebo sieť, ktorá selektívne mení tvar signálu (amplitúdovo-frekvenčnú alebo fázovo-frekvenčnú odozvu). Hlavným cieľom filtrovania je zlepšenie kvality signálu (napríklad eliminácia alebo zníženie rušenia), extrakcia informácií zo signálov alebo oddelenie niekoľkých signálov, ktoré boli predtým kombinované, napríklad na efektívne využitie dostupného komunikačného kanála.

Digitálny filter - akýkoľvek filter, ktorý spracováva digitálny signál s cieľom izolovať a/alebo potlačiť určité frekvencie tohto signálu.

Na rozdiel od digitálneho filtra sa analógový filter zaoberá analógovým signálom, jeho vlastnosti sú nediskrétne (spojité), respektíve prenosová funkcia závisí od vnútorných vlastností jeho základných prvkov.

Zjednodušená bloková schéma digitálneho filtra v reálnom čase s analógovým vstupom a výstupom je znázornená na obr. 8a. Úzkopásmový analógový signál je periodicky vzorkovaný a konvertovaný na sadu digitálnych vzoriek, x (n), n = 0,1, Digitálny procesor filtruje, pričom vstupnú sekvenciu x (n) mapuje na výstup y (n) podľa výpočtového filtra algoritmus. DAC prevádza digitálne filtrovaný výstup na analógové hodnoty, ktoré sú potom analógovo filtrované, aby sa vyhladili a odstránili nežiaduce vysokofrekvenčné zložky.

Ryža. 8a. Zjednodušená bloková schéma digitálneho filtra

Činnosť digitálnych filtrov je zabezpečená predovšetkým softvérovými prostriedkami, preto sa v porovnaní s analógovými ukázali ako oveľa flexibilnejšie v aplikácii. Pomocou digitálnych filtrov je možné realizovať také prenosové funkcie, ktoré je veľmi ťažké získať konvenčnými metódami. Digitálne filtre však zatiaľ nemôžu nahradiť analógové filtre vo všetkých situáciách, takže stále existuje potreba najpopulárnejších analógových filtrov.

Aby sme pochopili podstatu digitálneho filtrovania, je potrebné najskôr určiť matematické operácie, ktoré sa vykonávajú so signálmi v digitálnom filtrovaní (DF). Na to je užitočné zapamätať si definíciu analógového filtra.

Lineárny analógový filter je štvorportová sieť, v ktorej sa realizuje lineárna transformácia vstupného signálu na výstupný signál. Matematicky je táto transformácia opísaná obyčajnou lineárnou diferenciálna rovnica N- poradie

kde a sú koeficienty, ktoré sú buď konštantami alebo funkciami času t; - poradie filtra.

Lineárny diskrétny filter je diskrétna verzia analógového lineárneho filtra, v ktorom je kvantovaná (vzorkovaná) nezávislá premenná - čas (je krokom vzorkovania). V tomto prípade možno celočíselnú premennú považovať za "diskrétny čas" a signály za funkcie "diskrétneho času" (takzvané mriežkové funkcie).

Matematicky je funkcia lineárneho diskrétneho filtra opísaná lineárnou diferenčná rovnica druhu

kde a sú hodnoty vstupných a výstupných signálov; a - koeficienty filtračného algoritmu, ktoré sú buď konštantami alebo funkciami "diskrétneho času" n.

Algoritmus filtrovania (2.2) môže byť implementovaný pomocou analógovej alebo digitálnej technológie. V prvom prípade hodnoty vstupných a výstupných signálov podľa úrovne nie sú kvantované a môžu nadobúdať ľubovoľné hodnoty v rozsahu ich variácií (t. j. mať silu kontinua). V druhom prípade sú vzorky signálov a sú kvantované podľa úrovne, a preto môžu nadobúdať iba „povolené“ hodnoty určené bitovou hĺbkou digitálnych zariadení. Okrem toho sú vzorky kvantovaného signálu kódované, preto aritmetické operácie vykonávané vo výraze (2.2) sa nevykonávajú na samotných signáloch, ale na ich binárnych kódoch. Kvôli kvantizácii z hľadiska úrovne signálu a koeficientov a rovnosti v algoritme (2.2) nemôže byť presná a je splnená len približne.

Lineárny digitálny filter je teda digitálne zariadenie, ktoré približne implementuje algoritmus filtrovania (2.2).

Hlavnou nevýhodou analógových a diskrétnych filtrov je, že pri zmene prevádzkových podmienok (teplota, tlak, vlhkosť, napájacie napätie, starnutie prvkov atď.) sa menia ich parametre. To vedie k nekontrolovane chyby výstupného signálu, t.j. na nízku presnosť spracovania.

Chyba výstupného signálu v digitálnom filtri nezávisí od prevádzkových podmienok (teplota, tlak, vlhkosť, napájacie napätia a pod.), ale je určená len krokom kvantovania signálu a algoritmom samotného filtra, t.j. vnútorné dôvody. Táto chyba je kontrolované môže byť znížená zvýšením počtu bitov reprezentujúcich vzorky digitálnych signálov. Práve táto okolnosť určuje hlavné výhody digitálnych filtrov oproti analógovým a diskrétnym (vysoká presnosť spracovania signálu a stabilita DF charakteristík).

DF podľa typu algoritmu spracovania signálu sa ďalej delia na stacionárne a nestacionárne, rekurzívne a nerekurzívne, lineárne a nelineárne.

Hlavnou charakteristikou CF je algoritmus filtrovania, podľa ktorého sa vykonáva realizácia KF. Algoritmus filtrovania popisuje činnosť CF akejkoľvek triedy bez obmedzení, zatiaľ čo iné charakteristiky majú obmedzenia na triedu CF, napríklad niektoré z nich sú vhodné na popis iba stacionárnych lineárnych CF.

Ryža. 11. Klasifikácia CF

Na obr. 11 je znázornená klasifikácia digitálnych filtrov (DF). Klasifikácia je založená na funkčnom princípe, t.j. Digitálne filtre sú rozdelené na základe algoritmov, ktoré implementujú, a nezohľadňujú žiadne funkcie obvodov.

DF výberu frekvencie. Ide o najznámejší, preštudovaný a v praxi vyskúšaný typ CF. Z algoritmického hľadiska riešia DF frekvenčné výbery nasledujúce problémy:

· Pridelenie (potlačenie) jedného a priori špecifikovaného frekvenčného pásma; podľa toho, ktoré frekvencie sú potlačené a ktoré nie, sa rozlišuje dolnopriepustný filter (LPF), hornopriepustný filter (HPF), pásmový filter (PF) a zádržný filter (RF);

· Oddelenie spektrálnych zložiek signálu čiarovým spektrom na samostatných frekvenčných kanáloch, rovnomerne a rovnomerne rozložených v celom frekvenčnom rozsahu; rozlišovať medzi CF s decimáciou v čase a decimáciou vo frekvencii; a keďže hlavnou metódou znižovania nákladov na hardvér je kaskádovanie s nižšou selektivitou ako pôvodné sady PF, potom sa získaná viacstupňová pyramídová štruktúra ako výsledok nazývala „preselektor-selektor“ DF;

· Separácia spektrálnych zložiek signálu do samostatných frekvenčných kanálov, ktorých spektrum pozostáva z čiastkových pásiem rôznej šírky, nerovnomerne rozložených v pracovnom rozsahu filtra.

Rozlišuje sa medzi filtrom s konečnou impulznou odozvou (FIR filter) alebo filtrom s nekonečnou impulznou odozvou (IIR filter).

Optimálne (kvázi optimálne) CF. Tento typ filtrov sa používa, keď je potrebné vyhodnocovať určité fyzikálne veličiny charakterizujúce stav systému vystaveného náhodným poruchám. Súčasným trendom je využívanie výdobytkov teórie optimálneho filtrovania a implementácia zariadení, ktoré minimalizujú strednú druhú mocninu chyby odhadu. Delia sa na lineárne a nelineárne, podľa toho, ktoré rovnice popisujú stav systému.

Ak sú stavové rovnice lineárne, potom sa použije optimálny Kalmanov CF, ak sú stavové rovnice systému nelineárne, potom sa použijú rôzne viackanálové CF, ktorých kvalita sa zlepšuje s nárastom počtu kanálov.

Existujú rôzne špeciálne prípady, kedy je možné algoritmy implementované optimálnymi (kvázi optimálnymi) CF zjednodušiť bez výraznej straty presnosti: toto je po prvé prípad lineárneho stacionárneho systému vedúceho k známemu Wienerovmu CF; po druhé, prípad pozorovania iba v jednom pevnom časovom okamihu, čo vedie k DF, ktoré je optimálne podľa kritéria maximálneho pomeru signálu k šumu (SNR); po tretie, prípad stavových rovníc systému blízkych lineárnym vedúcim k nelineárnym filtrom prvého a druhého rádu atď.

Dôležitým problémom je aj zabezpečenie necitlivosti všetkých vyššie uvedených algoritmov na odchýlky štatistických charakteristík systému od vopred určených; syntéza takýchto DF, nazývaná robustná.

Adaptívne CF. Podstata adaptívneho digitálneho filtrovania je nasledovná: na spracovanie vstupného signálu (zvyčajne sú adaptívne DF zostavené s jedným kanálom) sa používa konvenčný FIR filter; IR tohto filtra však nezostane raz a navždy nastavené, ako to bolo pri zvažovaní výberu frekvencie DF; nemení sa ani podľa a priori daného zákona, ako tomu bolo pri posudzovaní Kalmanovho CF; Sú korigované s príchodom každej novej vzorky takým spôsobom, aby sa minimalizovala stredná kvadratická chyba filtrovania v danom kroku. Adaptívny algoritmus sa chápe ako opakujúci sa postup na prepočítanie vektora vzoriek IH v predchádzajúcom kroku na vektor „nových“ vzoriek IH pre ďalší krok.

Heuristické CF. Sú možné situácie, keď je použitie matematicky správnych postupov spracovania nepraktické, pretože to vedie k neodôvodnene vysokým nákladom na hardvér. Heuristický prístup je (z gréčtiny a lat. Evrica- „hľadanie“, „objavovanie“) pri využívaní vedomostí, štúdiu tvorivého, nevedomého myslenia človeka. Heuristika je spojená s psychológiou, fyziológiou vyššej nervovej aktivity, kybernetikou a inými vedami. Heuristický prístup je „generovaný“ túžbou vývojárov znížiť náklady na hardvér a stal sa rozšíreným napriek absencii prísneho matematického zdôvodnenia. Ide o takzvané CF s autorskými obvodovými riešeniami, jedným z najznámejších príkladov je tzv. stredný filter.

Fyzicky realizovateľné digitálne filtre, ktoré pracujú v reálnom čase, môžu na generovanie výstupného signálu v diskrétnom časovom okamihu použiť nasledujúce údaje: a) hodnotu vstupného signálu v okamihu vzorkovania, ako aj určitý počet „minulých“ vstupné vzorky určitý počet predchádzajúcich vzoriek výstupného signálu Celé čísla typ určuje poradie CF. Klasifikácia CF sa vykonáva rôznymi spôsobmi v závislosti od toho, ako sa používajú informácie o minulých stavoch systému.

Transverzálne CF.

Toto je názov pre filtre, ktoré fungujú v súlade s algoritmom.

kde je postupnosť koeficientov.

Číslo je poradie priečneho digitálneho filtra. Ako je možné vidieť zo vzorca (15.58), priečny filter vykonáva vážený súčet predchádzajúcich vzoriek vstupného signálu a nepoužíva minulé vzorky výstupného signálu. Aplikovaním z-transformácie na obe strany výrazu (15.58) sa presvedčíme, že to

Z toho vyplýva, že systém funguje

je zlomková racionálna funkcia z s viacnásobným pólom a nulami, ktorej súradnice sú určené koeficientmi filtra.

Algoritmus fungovania transverzálneho DF je znázornený na blokovej schéme znázornenej na obr. 15.7.

Ryža. 15.7. Schéma konštrukcie priečneho digitálneho filtra

Hlavnými prvkami filtra sú bloky oneskorenia vzorkovacích hodnôt pre jeden vzorkovací interval (obdĺžniky so symbolmi), ako aj škálovacie bloky, ktoré vykonávajú digitálne násobenie zodpovedajúcimi koeficientmi. Z výstupov váhových blokov idú signály do sčítačky, kde po sčítaní tvoria vzorku výstupného signálu.

Forma tu prezentovaného diagramu vysvetľuje význam pojmu "priečny filter" (z anglického transverse - priečny).

Softvérová implementácia transverzálnej digitálnej funkcie.

Treba mať na pamäti, že bloková schéma znázornená na obr. 15.7 nie je schematický diagram elektrického obvodu, ale slúži len ako grafické znázornenie algoritmu spracovania signálu. Pomocou prostriedkov jazyka FORTRAN uvažujme o fragmente programu, ktorý implementuje priečne digitálne filtrovanie.

Nech sa v RAM počítača vytvoria dve jednorozmerné polia M buniek: pole s názvom X, v ktorom sú uložené hodnoty vstupného signálu, a pole s názvom A, ktoré obsahuje hodnoty filtračné koeficienty.

Obsah buniek v poli X sa zmení vždy, keď sa prijme nová vzorka vstupného signálu.

Predpokladajme, že toto pole je vyplnené predchádzajúcimi vzorkami vstupnej sekvencie a zvážte situáciu, ktorá nastane v momente príchodu ďalšej vzorky, ktorá má v programe názov S. Táto vzorka by sa mala nachádzať v bunke číslo 1, ale až po posunutí predchádzajúceho záznamu o jednu pozíciu doprava, teda smerom k oneskorenej strane.

Takto vytvorené prvky poľa X sa po členoch vynásobia prvkami poľa A a výsledok sa vloží do bunky s názvom Y, kde sa akumuluje vzorová hodnota výstupného signálu. Nižšie je uvedený text programu priečneho digitálneho filtrovania:

Impulzná odozva. Vráťme sa k vzorcu (15.59) a vypočítajme impulznú odozvu priečneho CF vykonaním inverznej z-transformácie. Je ľahké vidieť, že každý člen funkcie má príspevok rovný zodpovedajúcemu koeficientu, posunutému o pozície smerom k oneskoreniu. Takže tu

K tomuto záveru možno dospieť priamo, ak vezmeme do úvahy blokovú schému filtra (pozri obr. 15.7) a za predpokladu, že na jeho vstup je privedený „jediný impulz“.

Je dôležité poznamenať, že impulzná odozva priečneho filtra obsahuje konečný počet členov.

Frekvenčná odozva.

Ak zmeníme premennú vo vzorci (15.59), dostaneme koeficient prenosu frekvencie

Pre daný vzorkovací krok A je možné realizovať širokú škálu foriem frekvenčnej odozvy vhodnou voľbou váh filtrov.

Príklad 15.4. Preskúmajte frekvenčné charakteristiky priečneho digitálneho filtra druhého rádu, ktorý spriemeruje aktuálnu hodnotu vstupného signálu a dvoch predchádzajúcich vzoriek podľa vzorca

Systémová funkcia tohto filtra

Ryža. 15.8. Frekvenčné charakteristiky priečneho DF z príkladu 15.4: a - frekvenčná charakteristika; b - PFC

odkiaľ nájdeme koeficient prenosu frekvencie

Elementárne transformácie vedú k nasledujúcim výrazom pre frekvenčnú odozvu vo fázovej odozve tohto systému:

Príslušné grafy sú znázornené na obr. 15.8, a, b, kde je hodnota vynesená pozdĺž horizontálnych osí - fázový uhol vzorkovacieho intervalu pri aktuálnej hodnote frekvencie.

Predpokladajme napríklad, že na jednu periódu kmitania harmonického vstupu pripadá šesť vzoriek. V tomto prípade bude mať vstupná sekvencia tvar

(absolútne hodnoty vzoriek nie sú dôležité, pretože filter je lineárny). Pomocou algoritmu (15.62) nájdeme výstupnú sekvenciu:

Je vidieť, že tomu zodpovedá harmonický výstupný signál rovnakej frekvencie ako na vstupe, s amplitúdou rovnou amplitúde vstupného kmitania a s počiatočnou fázou posunutou o 60° smerom k oneskoreniu.

Rekurzívne DF.

Tento typ digitálnych filtrov sa vyznačuje tým, že na vytvorenie výstupnej vzorky sa používajú predchádzajúce hodnoty nielen vstupných a výstupných signálov:

(15.63)

navyše koeficienty, ktoré určujú rekurzívnu časť filtračného algoritmu, nie sú súčasne rovné nule. Aby sa zdôraznil rozdiel medzi štruktúrami týchto dvoch typov digitálnych filtrov, transverzálne filtre sa tiež nazývajú nerekurzívne filtre.

Systémová funkcia rekurzívnej digitálnej funkcie.

Vykonaním z-transformácie oboch strán rekurentného vzťahu (15.63) zistíme, že funkcia systému

opisujúci frekvenčné vlastnosti rekurzívneho CF, má póly v rovine z. Ak sú koeficienty rekurzívnej časti algoritmu reálne, potom tieto póly ležia buď na reálnej osi, alebo tvoria komplexne konjugované páry.

Štrukturálny diagram rekurzívneho digitálneho filtra.

Na obr. 15.9 je znázornená schéma algoritmu výpočtov vykonaných podľa vzorca (15.63). Horná časť blokového diagramu zodpovedá priečnej (nerekurzívnej) časti filtračného algoritmu. Na jeho implementáciu sú vo všeobecnosti potrebné veľké bloky (operácie multiplikácie) a pamäťové bunky, v ktorých sú uložené vstupné vzorky.

Spodná časť blokového diagramu zodpovedá rekurzívnej časti algoritmu. Používa postupné výstupné hodnoty, ktoré sa počas prevádzky filtra posúvajú z bunky do bunky.

Ryža. 15.9. Štrukturálny diagram rekurzívneho digitálneho filtra

Ryža. 15.10. Štrukturálny diagram kanonického rekurzívneho digitálneho filtra 2. rádu

Nevýhodou tohto implementačného princípu je potreba veľkého počtu pamäťových buniek, oddelene pre rekurzívnu a nerekurzívnu časť. Dokonalejšie sú kanonické schémy rekurzívnych digitálnych funkcií, v ktorých sa používa minimálny možný počet pamäťových buniek rovný najväčšiemu z čísel. Ako príklad možno uviesť Obr. 15.10 ukazuje blokovú schému kanonického rekurzívneho filtra druhého rádu, ktorý zodpovedá funkcii systému

Aby ste sa uistili, že tento systém implementuje danú funkciu, zvážte pomocný diskrétny signál na výstupe sčítačky 1 a napíšte dve zrejmé rovnice:

(15.67)

Vykonaním -transformácie rovnice (15.66) zistíme, že

Na druhej strane, v súlade s výrazom (15.67)

Spojením vzťahov (15.68) a (15.69) dospejeme k danej systémovej funkcii (15.65).

Stabilita rekurzívnych digitálnych funkcií.

Rekurzívna digitálna funkcia je diskrétny analóg systému dynamickej spätnej väzby, pretože hodnoty jej predchádzajúcich stavov sú uložené v pamäťových bunkách. Ak sú dané nejaké počiatočné podmienky, to znamená súbor hodnôt, potom pri absencii vstupného signálu filter vytvorí prvky nekonečnej sekvencie, ktorá hrá úlohu voľných oscilácií.

Digitálny filter sa nazýva stabilný, ak voľný proces, ktorý v ňom vzniká, je nerastúca sekvencia, t.j. hodnoty at nepresahujú určité kladné číslo M, bez ohľadu na výber počiatočných podmienok.

Voľné oscilácie v rekurzívnej digitálnej funkcii založenej na algoritme (15.63) sú riešením lineárnej diferenčnej rovnice

Analogicky s princípom riešenia lineárnych diferenciálnych rovníc budeme hľadať riešenie (15.70) vo forme exponenciálnej funkcie

so zatiaľ neznámou hodnotou. Dosadením (15,71) do (15,70) a zrušením spoločným faktorom vidíme, že a je koreňom charakteristickej rovnice

Na základe (15.64) sa táto rovnica presne zhoduje s rovnicou, ktorú spĺňajú póly systémovej funkcie rekurzívneho CF.

Nech nájdeme koreňový systém rovnice (15.72). Potom bude mať všeobecné riešenie diferenčnej rovnice (15.70) tvar

Koeficienty by sa mali zvoliť tak, aby boli splnené počiatočné podmienky.

Ak všetky póly systému fungujú, tj čísla nepresahujú jednu v absolútnej hodnote, keďže sú umiestnené vo vnútri jednotkovej kružnice so stredom v bode, potom na základe (15.73) bude každý voľný proces v CF opísaný pomocou v podmienkach klesajúcej geometrickej progresie a filter bude stabilný. Je jasné, že prakticky sa dajú aplikovať iba stabilné digitálne filtre.

Príklad 15.5. Preskúmajte stabilitu rekurzívneho digitálneho filtra 2. rádu so systémovou funkciou

Charakteristická rovnica

má korene

Krivka opísaná rovnicou na rovine koeficientov je hranicou, nad ktorou sú póly systémovej funkcie reálne a pod ktorou sú komplexne konjugované.

V prípade komplexne konjugovaných pólov je preto jednou z hraníc oblasti stability priamka 1.

Ryža. 15.11. Oblasť stability rekurzívneho filtra 2. rádu (póly filtra sú komplexne konjugované vo farebne odlíšenej oblasti)

Vzhľadom na skutočné póly máme vo formulári podmienku stability

Fyzicky realizovateľné digitálne filtre, ktoré pracujú v reálnom čase, môžu na generovanie výstupného signálu v i-tom diskrétnom časovom okamihu použiť nasledujúce údaje: a) hodnotu vstupného signálu v okamihu i-tej vzorky, ako napr. ako aj určitý počet "minulých" vstupných vzoriek, b) určitý počet predchádzajúcich vzoriek výstupného signálu Celé čísla m a n definujú poradie CF. Klasifikácia CF sa vykonáva rôznymi spôsobmi v závislosti od toho, ako sa používajú informácie o minulých stavoch systému.

Traisverse CF. Toto je názov pre filtre, ktoré fungujú v súlade s algoritmom.

kde -postupnosť koeficientov.

číslo T je poradie priečneho digitálneho filtra. Ako je možné vidieť zo vzorca (2.138), priečny filter vykonáva vážený súčet predchádzajúcich vzoriek vstupného signálu a nepoužíva minulé vzorky výstupného signálu. Aplikovaním z-transformácie na obe strany výrazu (2.138) to vidíme

Z toho vyplýva, že systém funguje

je zlomková racionálna funkcia z , majúci m-násobný pól pri z = 0 a T nuly, ktorých súradnice sú určené koeficientmi filtra.

Algoritmus fungovania transverzálneho DF je znázornený na blokovej schéme znázornenej na obr. 2.17.

Ryža. 2.17. Schéma konštrukcie priečneho digitálneho filtra

Hlavnými prvkami filtra sú bloky oneskorenia vzorkovacích hodnôt pre jeden vzorkovací interval (obdĺžniky so symbolmi z -1), ako aj škálovacie bloky, ktoré vykonávajú digitálne násobenie zodpovedajúcimi koeficientmi. Z výstupov váhových blokov idú signály do sčítačky, kde po sčítaní tvoria vzorku výstupného signálu.

Forma tu prezentovaného diagramu vysvetľuje význam pojmu "priečny filter" (z anglického transverse).

Impulzná odozva. Vráťme sa k vzorcu (2.139) a vypočítajme impulznú odozvu priečneho CF vykonaním inverznej z-transformácie. Je ľahké vidieť, že každý člen funkcie H (z) má príspevok rovný zodpovedajúcemu koeficientu , vysídlený o P pozície smerom k zaostávajúcej strane. Takže tu

K tomuto záveru možno dospieť priamo, ak vezmeme do úvahy blokovú schému filtra (pozri obr. 2.17) a za predpokladu, že na jeho vstup je privedený „jediný impulz“ (1, 0, 0, 0, ...).

Je dôležité poznamenať, že impulzná odozva priečneho filtra obsahuje konečný počet členov.

Frekvenčná odozva. Ak vo vzorci (2.139) zmeníme premennú , potom dostaneme koeficient prenosu frekvencie

Pre daný odberový krok A je možné realizovať širokú škálu foriem frekvenčnej odozvy vhodným výberom hmotností filtrov.

Metódy syntézy digitálnych filtrov. Najrozšírenejšie v praxi syntézy digitálnych filtrov sú tri metódy opísané nižšie.

Metóda invariantných impulzných odoziev.

Táto metóda je založená na predpoklade, že syntetizovaný digitálny filter by mal mať impulznú odozvu, ktorá je výsledkom vzorkovania impulznej odozvy zodpovedajúceho prototypu analógového filtra. Znamená syntézu fyzikálne realizovateľných systémov, pri ktorých mizne impulzná odozva t<0 , získame nasledujúci výraz pre impulznú odozvu CF:

kde T krok vzorkovania času.

Je potrebné poznamenať, že počet jednotlivých členov vo výraze pre impulznú odozvu CF môže byť konečný alebo nekonečný. To určuje štruktúru syntetizovaného filtra: priečny filter zodpovedá impulznej odozve s konečným počtom vzoriek, zatiaľ čo rekurzívny DF je potrebný na implementáciu nekonečne dlhej impulznej odozvy.

Vzťah medzi koeficientom impulznej odozvy a štruktúrou DF je obzvlášť jednoduchý pre priečny filter. Vo všeobecnom prípade sa syntéza filtračnej štruktúry uskutočňuje aplikáciou z-konverzia na sekvenciu vyššie uvedeného tvaru. Nájdením funkcie systému H (z) filter, mali by ste ho porovnať so všeobecným výrazom a určiť koeficienty priečnej a rekurzívnej časti. Stupeň priblíženia amplitúdovo-frekvenčnej charakteristiky syntetizovaného digitálneho filtra charakteristike analógového prototypu závisí od zvoleného kroku vzorkovania. V prípade potreby by ste mali vypočítať koeficient prenosu frekvencie digitálneho filtra vykonaním funkcie systému H (z) zmeniť premennú podľa vzorca
a potom porovnajte výsledok s frekvenčným ziskom analógového obvodu.

DF syntéza založená na diskretizácii diferenciálnej rovnice

analógový obvod.

Štruktúru digitálneho filtra, ktorá približne zodpovedá známemu analógovému obvodu, možno dospieť k diskretizácii diferenciálnej rovnice opisujúcej analógový prototyp. Ako príklad použitia tejto metódy uvažujme syntézu CF zodpovedajúceho oscilačnému dynamickému systému druhého rádu, pre ktorý platí vzťah medzi výstupnou osciláciou y (t) a vstupné kolísanie x (t) je stanovená diferenciálnou rovnicou

(2.142)

Predpokladajme, že krok vzorkovania je  t a zvážiť zber samostatných vzoriek  pri 1  a  X 1  ... Ak sú deriváty vo vzorci nahradené ich výrazmi konečných rozdielov, potom sa diferenciálna rovnica zmení na diferenčnú rovnicu

Preusporiadaním podmienok dostaneme:

(2.144)

Diferenčná rovnica definuje algoritmus rekurzívneho filtra 2. rádu, ktorý simuluje analógový oscilačný systém a nazýva sa digitálny rezonátor. Pri vhodnej voľbe koeficientov môže digitálny rezonátor pôsobiť ako frekvenčne selektívny filter, podobne ako oscilačný obvod.

Metóda invariantných frekvenčných charakteristík .

Je v podstate nemožné vytvoriť digitálny filter, ktorého frekvenčná charakteristika by presne opakovala frekvenčnú charakteristiku nejakého analógového obvodu. Dôvodom je, že, ako viete, koeficient prenosu frekvencie DF je periodická funkcia frekvencie s periódou určenou krokom vzorkovania.

Keď už hovoríme o podobnosti (invariantnosti) frekvenčných charakteristík analógových a digitálnych filtrov, môžeme len požadovať, aby sa celý nekonečný interval frekvencií ω a, súvisiaci s analógovým systémom, previedol na frekvenčný segment ω q digitálneho filtra. uspokojenie nerovnosti
pri zachovaní celkového pohľadu na frekvenčnú charakteristiku.

Nechaj K a (R) prenosová funkcia analógového filtra špecifikovaná zlomkovým racionálnym vyjadrením v mocninách p... Ak použijete vzťah medzi premennými z a p, potom môžeme napísať:

. (2.145)

S týmto zákonom sa vzťah medzi p a z je nemožné získať fyzicky realizovateľnú funkciu systémového filtra, pretože substitúcia do výrazu K a (R) dá systémovú funkciu, ktorá nie je vyjadrená ako podiel dvoch polynómov. Preto je pre syntézu dolnopriepustných filtrov spojenie formy

, (2.146)

ktorý zároveň mapuje body jednotkovej kružnice v rovine z do bodov imaginárnej osi na rovine p. Potom

, (2.147)

z čoho vyplýva vzťah medzi frekvenčnými premennými  analógové a digitálne systémy:

. (2.148)

Ak je vzorkovacia frekvencia dostatočne vysoká ( c T<<1), potom, ako je ľahko vidieť zo vzorca (2.147),  a  c... Pri nízkych frekvenciách sú teda charakteristiky analógových a digitálnych filtrov prakticky rovnaké. Vo všeobecnosti je potrebné vziať do úvahy transformáciu stupnice pozdĺž frekvenčnej osi digitálneho filtra.

V praxi postup syntézy CF spočíva v tom, že vo funkcii K a (R) analógový obvod je nahradený premennou podľa vzorca (2.145). Výsledná systémová funkcia DF sa ukáže ako zlomkovo-racionálna a preto umožňuje priamo zapisovať algoritmus digitálneho filtrovania.

Samotestovacie otázky

Ktorý filter sa nazýva zhodný.

Aká je impulzná odozva filtra.

Aký je signál na výstupe prispôsobeného filtra.

Aké filtre sa nazývajú digitálne.

Aký je rozdiel medzi algoritmami pre prevádzku rekurzívnych a transverzálnych filtrov.

Aké sú hlavné metódy syntézy digitálnych filtrov? .

Aké sú hlavné vlastnosti diskrétnej Fourierovej transformácie.

LABORATÓRNE PRÁCE

ALGORITHMY FILTRACIE SIGNÁLUV systéme riadenia procesov

Cieľ. Oboznámenie sa s algoritmami na filtrovanie nameraných náhodných signálov, najbežnejších v systéme riadenia procesov, vykonaním porovnávacej analýzy ich presnosti a implementačných vlastností v počítači.

Cvičenie

1) pre dané charakteristiky náhodných signálov vypočítajte optimálne parametre filtra,

2) simulujte filtračný systém na počítači a vypočítajte chybu filtrácie pre každú z uvažovaných metód,

3) vykonať porovnávaciu analýzu účinnosti uvažovaných algoritmov.

Základné ustanovenia. 1 Vyhlásenie problému optimálnej filtrácie. Signály z meracích prístrojov často obsahujú náhodnú chybu – rušenie. Úlohou filtrovania je oddeliť užitočnú zložku signálu od rušenia do tej či onej miery. Spravidla sa predpokladá, že užitočný signál aj rušenie sú stacionárne náhodné procesy, pre ktoré sú známe ich štatistické charakteristiky: matematické očakávanie, rozptyl, korelačná funkcia, spektrálna hustota. Pri znalosti týchto charakteristík je potrebné nájsť filter v triede lineárnych dynamických systémov alebo v užšej triede lineárnych systémov s danou štruktúrou tak, aby sa signál na výstupe filtra čo najmenej líšil od užitočného signálu.

Obr. Na vyjadrenie problému filtrácie

Zavedme notáciu a presnejšie sformulujme problém filtrácie. Nechajte vstup filtra s impulznou odozvou Komu (t) a zodpovedajúca (v dôsledku Fourierovej transformácie) 0

AFH W(iω) prijímajú užitočné signály X(t) a rušenie, ktoré s tým nesúvisí z(t) (obr. 1). Korelačné funkcie a spektrálne hustoty užitočného signálu a interferencie sú označené R X (t), S X (t), R z (t) a S z (t) ... Je potrebné nájsť charakteristiky filtra k (t) alebo W (t), aby bola efektívna hodnota rozdielu ε medzi signálom na výstupe filtra a užitočným signálom x bol minimálny. Ak je charakteristika filtra známa s presnosťou jedného alebo viacerých parametrov, potom je potrebné zvoliť optimálne hodnoty týchto parametrov.

Chyba ε obsahuje dve zložky. Prvý ( ε 1 ) súvisí so skutočnosťou, že určitá časť hluku stále prejde cez filter a druhá ( ε 2 ) - takže tvar užitočného signálu sa pri prechode cez filter zmení. Stanovenie optimálnej charakteristiky filtra je teda hľadaním kompromisného riešenia, ktoré minimalizuje celkovú chybu.

Znázornime frekvenčnú odozvu filtra v tvare:

W (iω) = A (ω) exp.

Pomocou vzorcov spájajúcich spektrálne hustoty náhodných procesov na vstupe a výstupe lineárneho systému s jeho frekvenčnou charakteristikou vypočítame spektrálne hustoty každej z chybových zložiek.

Pre chybu spojenú s preskočením šumu získame

S ε1 (ω) = S z (ω ) A 2 (ω )

Spektrálna hustota chyby spojenej so skreslením užitočného signálu je

S ε2 (ω) = S X (ω )|1 – W(iω)| 2

Súčet týchto zložiek S ε má spektrálnu hustotu

S ε (ω ) = S ε1 (ω ) + S ε2 (ω )

Zvažujem to

|1 – W(iω)| 2 = 2 + A 2 (ω ) hriech 2 f(ω ),

S ε (ω ) = S z (ω) A 2 (ω) + S X (ω) A 2 (ω ) + S X (ω) - 2S X (ω) A(ω) cosf(ω) . (1)

Stredná kvadratická chyba súvisí so spektrálnou hustotou vyjadrením

Minimalizáciou S ε (ω ) na f(ω) a A (ω), dostávame sa k rovniciam

cosf * (ω ) = 1
f *(ω ) = 0

2S z (ω ) A (ω) - 2S X (ω) = 0

(2)

Zistené charakteristiky optimálneho filtra zodpovedajú hustote spektrálnej chyby

Minimálna kvadratická chyba

(3)

Žiaľ, nájdený filter nie je realizovateľný, keďže podmienka rovnosti nuly na všetkých frekvenciách fázovo-frekvenčnej odozvy znamená, že impulzná odozva filtra je rovnomerná funkcia, je nenulová nielen pre t>0 , ale aj pri t(Obrázok 2, a).

Pre každý fyzicky realizovateľný filter platí nasledujúca požiadavka: Komu (t) = 0 pri t (obr. 2, b). Táto požiadavka by mala byť zavedená do vyhlásenia o probléme. Prirodzene, dosiahnuteľná chyba σ zároveň by sa zvýšil. Problém optimálneho filtrovania zohľadňujúci fyzickú realizovateľnosť bol vyriešený.

Ryža. 2. Impulzné charakteristiky nerealizovateľných (a) a realizovateľných (b) filtrov

Ryža. 3. Spektrálne hustoty užitočného signáluS X (ω) a hlukS z (ω) a amplitúdovo-frekvenčná charakteristika optimálneho filtra A * (ω) s neprekrývajúcimi sa (a) a prekrývajúcimi sa (b)S X (ω) aS z (ω)

N. Wiener. Jeho riešenie je oveľa zložitejšie ako vyššie uvedené, preto v tejto práci budeme hľadať fyzikálne realizovateľné filtre len v triede filtrov, ktorých charakteristiky sú špecifikované presne na hodnoty parametrov. Množstvo vypočítaný podľa vzorca (3) môže slúžiť ako nižší odhad dosiahnuteľnej chyby filtrovania.

Fyzikálny význam vzťahu (2, b) je znázornený na obr. 3. Ak sa spektrá užitočného signálu a interferencie neprekrývajú, tak A (ω) by sa mala rovnať nule, ak je spektrálna hustota interferencie iná ako nula, a rovná jednej pre všetky frekvencie, na ktorých S X (ω)>0 ... Na obr. 3, b znázorňuje znak A * (ω) v prípade, keď sa spektrálne hustoty signálu a interferencie navzájom prekrývajú.

Medzi filtrami s danou štruktúrou sú najrozšírenejšie filtre založené na operácii kĺzavého priemeru, ako aj exponenciálny filter a takzvaný štatistický filter nultého rádu. Exponenciálny filter je aperiodický filter prvého rádu a štatistický filter nultého rádu je zosilňujúci článok. Pozrime sa podrobnejšie na každý z uvedených filtrov.

Filter kĺzavého priemeru. Výstup filtra súvisí s jeho vstupom pomerom

Impulzná prechodová funkcia filtra je znázornená na obr. 4, a. Frekvenčné charakteristiky sú rovnaké

Impulznú odozvu možno vyjadriť pomocou Heavisideovej funkcie 1(t)

k(t) = k.

Nastaviteľné parametre filtra sú zisk k a pamäť T.

Exponenciálny filter(obr. 4, b). Výstupný signál je určený diferenciálnou rovnicou

r/ γ + r = kg

Impulzná odozva je:

Frekvenčné charakteristiky

Parametre filtra sú zisk k a časová konštanta inverzná k γ .

Ryža. 4. Impulzné prechodné funkciek(t) a amplitúdovo-frekvenčné charakteristiky А (ω) typických filtrov: а - priemer prúdu; b - exponenciálny; c) statický nultý rád

Štatistický filter nultého rádu. Tento filter, ako je uvedené vyššie, je zosilňujúci odkaz. Jeho vlastnosti

r(t) = kg(t) ; A(ω) = k; f(ω) = 0

Hmotnosť uvedených filtrov neumožňuje dosiahnuť ideálne filtrovanie ani pri disjunktných signálových a interferenčných spektrách. Minimalizujte chybu σ ε môžete si vybrať parametre k, T, y... To si vyžaduje vlastnosti filtra A (ω) a f(ω) ako funkciu frekvencie a parametrov dosaďte do vzorca (1), vezmite integrál výsledného výrazu, ktorý bude funkciou parametrov filtra, a nájdite minimum tohto integrálu nad parametrami.

Napríklad pre štatistický filter Coulombovho rádu bude mať spektrálna hustota chyby tvar:

S ε (ω ) = S z (ω ) k 2 + S X ω (1 – k 2 )

Integrálne S ε sa rovná rozptylu interferencie vynásobenému π ... Dostaneme

Zoberme si, že integrály na pravej strane tejto rovnosti sa rovnajú rozptylom užitočného signálu a šumu, takže

Podmienka pre minimum tohto výrazu vzhľadom na k vedie k rovnosti

Po nahradení zistenej hodnoty k do výrazu pre rozptyl chyby dostaneme:

Filtre aktuálneho priemeru a exponenciály majú po dva nastaviteľné parametre a ich optimálne hodnoty sa nedajú tak jednoducho vyjadriť charakteristikami užitočného signálu a šumu, ale tieto hodnoty možno nájsť numerickými metódami na nájdenie minimálne funkcie v dvoch premenných.

Obr. 5 Bloková schéma počítačovej simulácie systému filtrovania náhodných signálov

2. Popis simulovaného systému. Práca sa vykonáva modelovaním na počítači systému pozostávajúceho z nasledujúcich blokov (obr. 5).

1. Generátor vstupného signálu I vrátane generátora náhodného signálu (GSS) a dvoch tvarovacích filtrov so špecifikovanými charakteristikami W X (iω) a W z (iω) , na výstupe ktorého sa prijíma užitočný signál X(t) a prekážka z(t) ... Medzi generátorom náhodného signálu a tvarovacím filtrom W z obsahoval oneskorovací spoj Δ, poskytujúci posun dvoch až troch hodinových cyklov. V tomto prípade vstup filtra, ktorý tvorí rušenie, a vstup filtra, ktorý tvorí užitočný signál, spolu nekorelujú.

2. Blok na výpočet korelačných funkcií
.

3. Filtračná jednotka (II) vrátane vlastného filtra
a blok na výpočet chyby filtrovania
.

Užitočný signál generovaný v systéme X(t) a prekážka z(t) sú stacionárne náhodné procesy, ktorých korelačné funkcie možno približne aproximovať exponentmi tvaru (obr. 6)

(6)

kde

Odhady rozptylu signálu a vypočítané pomocou bloku (pri τ = 0); parametre α a α z nastavuje učiteľ.

3. Diskrétna implementácia kontinuálnych filtrov. Používame diskrétne implementácie spojitých filtrov opísaných vyššie. Krok diskrétnosti t o trvať podstatne kratšie, než je čas rozpadu korelačných funkcií užitočného signálu a šumu. Preto vyššie uvedené výrazy (1) na výpočet σ ε prostredníctvom spektrálnych charakteristík vstupného signálu a šumu možno použiť v diskrétnom prípade.

Najprv nájdime diskrétne analógy filtrov, ktoré tvoria náhodné procesy s korelačnými funkciami zo signálu prijatého z GSS (6). Spektrálne hustoty zodpovedajúce týmto korelačným funkciám majú tvar

(7)

Prenosové funkcie tvarovacích filtrov pre prípad, keď sa disperzia signálu na výstupe GSS rovná jednej, sú

Nie je ťažké to vidieť

Ak je signál na vstupe každého z tvarovacích filtrov označený ξ , potom majú diferenciálne rovnice zodpovedajúce vyššie napísaným prenosovým funkciám tvar

Zodpovedajúce rozdielové analógy budú napísané vo forme;

Algoritmus pre prevádzku filtra, ktorý tvorí užitočný signál, má teda tvar:

(8a)

Rovnako tak pre filter na tvarovanie šumu

(8b)

Analógy kontinuálnych filtrov určených na izoláciu rušenia sú tieto:

pre filter kĺzavého priemeru

(9)

kde je hodnota l vyberte si z podmienky (l + 1) t O = T;

pre exponenciálny filter

(10)

pre štatistický filter nultého rádu

pri i = kg i (11)

Exekučný príkaz. 1. Vytvorte a odlaďte podprogramy bloku na filtrovanie aktuálnych informácií a výpočet chýb filtrovania.

2. Získajte realizácie náhodných procesov na výstupe tvarovacích filtrov a použite ich na nájdenie odhadov rozptylov užitočného signálu a šumu, ako aj korelačných funkcií R X (τ) a R z (τ) ... Približne definujte α X a α z a porovnajte s vypočítanými.

3. Vypočítajte podľa S X (ω) a S z (ω) analyticky alebo na počítači dolná hranica pre chybu filtrovania rms.

4. Pomocou vzorca (4) nájdite optimálny zisk štatistického filtra nultého rádu a zodpovedajúcu hodnotu porovnať s.

5. Na nájdenie optimálnych parametrov kĺzavého priemeru a exponenciálnych filtrov a koreňových chýb filtrovania používam jednu zo známych metód hľadania minima funkcie dvoch premenných a vopred zostavený program. V tomto prípade špecifická kombinácia parametrov filtra zodpovedá hustote spektrálnej chyby S ε (ω) definovaný vzorcom (1) a z neho nájdite hodnotu po numerickej integrácii.

6. Zadajte filtračný program do počítača, experimentálne určte odmocninu pre optimálne a neoptimálne parametre filtra, porovnajte výsledky s vypočítanými.

7. Vykonajte porovnávaciu analýzu účinnosti rôznych filtračných algoritmov pre nasledujúce ukazovatele: a) minimálna dosiahnuteľná efektívna chyba; b) požadované množstvo pamäte RAM; c) počítačový čas počítania.

Správa by mala obsahovať: 1) blokovú schému systému (pozri obr. 5);

2) podprogramy tvarovania a syntetizovaných filtrov;

3) výpočet optimálnych parametrov filtrov a zodpovedajúcich hodnôt strednej kvadratúry chyby;

4) výsledky analýzy uvažovaných algoritmov a záverov.

Stánok 6.2. Vytvorenie projektu 6.3. Štúdium APCS na školení laboratórium... istý Ciele ich činnosti. Ciele aktivity...

I.O. Priezvisko "" 20 g

dokument

Režim práca);. … […) [Názov režimu práca] ... podľa laboratórium analýzy; 5) ... požiadavky na APCS... Technologické procesy ... spracovanie a analýza informácií ( signály, správy, dokumenty atď... algoritmy filtrácia a algoritmy eliminovať hluk z cieľ ...

Inteligentná automatizácia v semestrálnych a diplomových projektoch

abstraktné

Drôt. cieľ... produkt... signál HART pre integráciu do systémov APCS ... filtrácia Existujú rôzne typy prachových senzorov. DT400G pracovné ... algoritmus... chemický priemysel. Technické prostriedky a laboratórium práca/ G.I. Lapshenkov, L.M. ...

Pracovný program disciplíny "automatizácia technologických procesov"

Pracovný program

... CIELE A CIELE UČENIA DISCIPLÍNY Účel... hlavné zložky APCS- ovládače ... pohľady signály c ... opravy chýb, filtrácia správy,... algoritmy a programy, diskusie, výkon kontroly Tvorba. Laboratórium triedy. Laboratórium ...