Bol lenivý. Aby deti dlho zamestnal a sám si zdriemol, požiadal ich, aby sčítali čísla od 1 do 100.
Gauss rýchlo odpovedal: 5050. Tak rýchlo? Učiteľ neveril, ale mladý génius mal pravdu. Sčítanie všetkých čísel od 1 do 100 je pre slabotov! Gauss našiel vzorec:
$$\sum_(1)^(n)=\frac(n(n+1))(2)$$
$$\sum_(1)^(100)=\frac(100(100+1))(2)=50\cdot 101=5050 $$
ako sa mu to podarilo? Pokúsme sa pochopiť príklad súčtu od 1 do 10.
Prvý spôsob: rozdeľte čísla do dvojíc
Zapíšme si čísla od 1 do 10 ako maticu s dvoma riadkami a piatimi stĺpcami:
$$\vľavo(\začiatok(pole)(c)1&2&3&4&5\\ 10&9&8&7&6 \koniec(pole)\vpravo)$$
Zaujímavé je, že súčet každého stĺpca je 11, čiže $n+1$. A existuje 5 takýchto dvojíc čísel alebo $\frac(n)(2)$. Dostaneme náš vzorec:
$$Number\ columns\cdotSum\numbers\in\ columns=\frac(n)(2)\cdot(n+1)$$
Ak nepárny počet termínov?
Čo ak sčítate čísla od 1 do 9? Nemáme jedno číslo na vytvorenie piatich párov, ale môžeme vziať nulu:
$$\left(\begin(pole)(c)0&1&2&3&4\\ 9&8&7&6&5 \end(pole)\right)$$
Súčet stĺpcov je teraz 9 alebo presne $n$. Ako je to s počtom stĺpcov? Stále päť stĺpcov (vďaka nule!), ale teraz je počet stĺpcov definovaný ako $\frac(n+1)(2)$ (y má $n+1$ čísel a o polovicu menej stĺpcov).
$$Number\ columns\cdotSum\numbers\in\ columns=\frac(n+1)(2)\cdot n$$
Druhý spôsob: zdvojnásobte a napíšte do dvoch riadkov
V týchto dvoch prípadoch vypočítame súčet čísel mierne odlišne.
Možno existuje spôsob, ako vypočítať sumu rovnako pre párny a nepárny počet termínov?
Namiesto vytvárania „slučky“ z čísel ich napíšme do dvoch riadkov, pričom počet čísel vynásobíme dvoma:
$$\left(\begin(pole)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\10&9&8&7&6&5&4&3&2&1 \end(pole)\right)$$
Pre zvláštny prípad:
$$\left(\begin(pole)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end(pole)\right)$$
Je možné vidieť, že v oboch prípadoch je súčet stĺpcov $n+1$ a počet stĺpcov je $n$.
$$Number\ columns\cdotSum\numbers\in\ columns=n\cdot(n+1)$$
Potrebujeme však iba súčet jedného riadku, takže:
$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$
Tretí spôsob: vytvorte obdĺžnik
Existuje ďalšie vysvetlenie, skúsme pridať krížiky, povedzme, že máme krížiky:
Vyzerá to ako iné znázornenie druhého spôsobu - každý nasledujúci riadok pyramídy má viac krížikov a menej núl. Počet všetkých krížikov a núl je plocha obdĺžnika.
$$Area=Výška\cdotWidth=n\cdot(n+1)$$
Potrebujeme však súčet krížikov, takže:
$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$
Štvrtý spôsob: aritmetický priemer
Známe: $Priemer\aritmetický=\frac(Súčet)(Počet\členov)$
Potom: $Sum = priemer\aritmetický\počet_cdot\členovia$
Poznáme počet členov – $n$. Ako vyjadriť aritmetický priemer?
Všimnite si, že čísla sú rovnomerne rozdelené. Pre každé veľké číslo je na druhom konci jedno malé.
1 2 3, priemer 2
1 2 3 4, priemer 2,5
V tomto prípade je aritmetický priemer aritmetickým priemerom čísel 1 a $n$, t.j. $Mean\aritmetický=\frac(n+1)(2)$
$$Sum = \frac(n+1)(2)\cdot n$$
Piaty spôsob: integrál
Všetci vieme, že určitý integrál počíta súčet. Vypočítajme súčet od 1 do 100 ako integrál? Áno, ale najprv nájdime aspoň súčet od 1 do 3. Nech sú naše čísla funkciou y(x). Nakreslíme obrázok:
Výšky troch obdĺžnikov sú len čísla od 1 do 3. Nakreslíme priamku cez stredy „čiapok“:
Bolo by pekné nájsť rovnicu tejto priamky. Prechádza bodmi (1.5;1) a (2.5;2). $y=k\cdot x+b$.
$$\začiatok(prípady)2,5k + b = 2\\1,5k + b = 1\koniec (prípady)\šípka doprava k=1; b = -0,5 $ $
Teda rovnica priamky, s ktorou môžeme aproximovať naše obdĺžniky $y=x-0,5$
Z obdĺžnikov odreže žlté trojuholníky, ale zhora k nim „pridá“ modré. Žltá sa rovná modrej. Najprv sa uistite, že použitie integrálu vedie k Gaussovmu vzorcu:
$$\int_(1)^(n+1) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2 ))(|)^(n+1)_(1)=\frac((n+1)^(2))(2)-\frac(n+1)(2)=\frac(n^( 2)+2n+1-n-1)(2)=\frac(n^(2)+n)(2)$$
Teraz vypočítajme súčet od 1 do 3, zoberme X od 1 do 4, aby všetky naše tri obdĺžniky spadali do integrálu:
$$\int_(1)^(4) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(4)_(1)=\frac(4^(2))(2)-2-(0,5-0,5)=6$$
$$\int_(1)^(101) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(101)_(1)=\frac(101^(2))(2)-50,5-(0,5-0,5)=5100,5-50,5=5050 $$
A prečo je toto všetko potrebné?
$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)$$
Prvý deň prišiel na vašu stránku jeden človek, druhý deň dvaja ľudia... Každý deň sa počet návštev zvýšil o 1. Koľko návštev získa stránka do konca 1000. dňa?
$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)=\frac(1000^(2))(2) +\frac(1000)(2) = 500000+500=500500 $$
Cyklus „Zábavná matematika“ je venovaný deťom, ktoré majú radi matematiku a rodičom, ktorí venujú čas rozvoju svojich detí, „hádžu“ ich zaujímavými a zábavnými úlohami, hádankami.
Prvý článok tejto série je venovaný Gaussovmu pravidlu.
Trochu histórie
Slávny nemecký matematik Carl Friedrich Gauss (1777-1855) sa od svojich rovesníkov odlišoval už od raného detstva. Napriek tomu, že bol z chudobnej rodiny, naučil sa čítať, písať a počítať pomerne skoro. V jeho životopise je dokonca zmienka, že vo veku 4-5 rokov dokázal opraviť chybu v nesprávnych výpočtoch svojho otca, a to jednoduchým sledovaním.
Jeden z jeho prvých objavov urobil vo veku 6 rokov na hodine matematiky. Učiteľ potreboval zaujať deti na dlhší čas a navrhol nasledujúci problém:
Nájdite súčet všetkých prirodzených čísel od 1 do 100.
Mladý Gauss sa s touto úlohou vyrovnal pomerne rýchlo, keď našiel zaujímavý vzor, ktorý sa rozšíril a stále sa používa v mentálnom počítaní.
Skúsme tento problém vyriešiť ústne. Najprv si však zoberme čísla od 1 do 10:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
Pozrite sa pozorne na túto sumu a skúste uhádnuť, čo bolo na Gaussovi nezvyčajné? Ak chcete odpovedať, musíte dobre rozumieť zloženiu čísel.
Gauss zoskupil čísla takto:
(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)
Malý Karl tak dostal 5 párov čísel, z ktorých každý jednotlivo dáva spolu 11. Potom, aby ste vypočítali súčet prirodzených čísel od 1 do 10, potrebujete
Vráťme sa k pôvodnému problému. Gauss si všimol, že pred sčítaním je potrebné zoskupiť čísla do párov, a tak vynašiel algoritmus, vďaka ktorému môžete rýchlo sčítať čísla od 1 do 100:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
Nájdite počet párov v rade prirodzených čísel. V tomto prípade je ich 50.
Spočítajte prvé a posledné číslo tejto série. V našom príklade sú to 1 a 100. Dostaneme 101.
Výsledný súčet prvého a posledného člena radu vynásobíme počtom párov tohto radu. Dostaneme 101 * 50 = 5050
Preto súčet prirodzených čísel od 1 do 100 je 5050.
Úlohy na použitie Gaussovho pravidla
A teraz je vaša pozornosť pozvaná na problémy, v ktorých sa v tej či onej miere používa Gaussovo pravidlo. Tieto hádanky sú celkom schopné pochopiť a vyriešiť štvrták.
Môžete dať dieťaťu príležitosť uvažovať pre seba, aby toto pravidlo „vynašiel“ sám. A môžete ho rozobrať a uvidíte, ako ho dokáže využiť. Medzi nižšie uvedenými úlohami sú príklady, v ktorých musíte pochopiť, ako upraviť Gaussovo pravidlo, aby ste ho mohli aplikovať na danú sekvenciu.
V každom prípade, aby s tým dieťa mohlo vo svojich výpočtoch operovať, je potrebné pochopiť Gaussov algoritmus, teda schopnosť správne sa deliť do párov a počítať.
Dôležité! Ak sa vzorec zapamätá bez pochopenia, veľmi rýchlo sa naň zabudne.
Úloha 1
Nájdite súčet čísel:
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.
Riešenie.
Najprv môžete dať dieťaťu možnosť, aby si prvý príklad vyriešilo samo, a ponúknuť mu, že nájde spôsob, ako to ľahko zvládne v mysli. Ďalej analyzujte tento príklad s dieťaťom a ukážte, ako to Gauss urobil. Pre prehľadnosť je najlepšie zapísať si sériu a spojiť dvojice čísel čiarami, ktorých súčet tvorí rovnaké číslo. Je dôležité, aby dieťa pochopilo, ako sa tvoria dvojice - zo zostávajúcich čísel berieme najmenšie a najväčšie za predpokladu, že počet čísel v rade je párny.
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050
Úloha2
K dispozícii je 9 závaží s hmotnosťou 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g. Dajú sa tieto závažia rozdeliť na tri kôpky rovnakej hmotnosti?
Riešenie.
Pomocou Gaussovho pravidla nájdeme súčet všetkých váh:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (g)
Ak teda dokážeme závažia zoskupiť tak, že každá kôpka obsahuje závažia s celkovou hmotnosťou 15g, tak je problém vyriešený.
Jedna z možností:
- 9 g, 6 g
- 8 g, 7 g
- 5 g, 4 g, 3 g, 2 g, 1 g
Nájdite ďalšie možné možnosti sami so svojím dieťaťom.
Pozor na dieťa, že keď sa takéto problémy riešia, je lepšie vždy začať zoskupovať s väčšou váhou (číslom).
Úloha 3
Je možné rozdeliť ciferník na dve časti priamou čiarou tak, aby súčty čísel v každej časti boli rovnaké?
Riešenie.
Na začiatok použite Gaussovo pravidlo na sériu čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: nájdite súčet a zistite, či je deliteľný 2:
Takže môžete zdieľať. Teraz sa pozrime ako.
Preto je potrebné na ciferníku nakresliť čiaru tak, aby do jednej polovice padali 3 páry a do druhej tri.
Odpoveď: Čiara bude prechádzať medzi číslami 3 a 4 a potom medzi číslami 9 a 10.
Úloha4
Je možné nakresliť dve rovné čiary na ciferníku tak, aby súčet čísel v každej časti bol rovnaký?
Riešenie.
Na začiatok použijeme Gaussovo pravidlo na sériu čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: nájdite súčet a zistite, či je deliteľný 3:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78
78 je bezo zvyšku deliteľné 3, takže deliť môžete. Teraz sa pozrime ako.
Podľa Gaussovho pravidla dostaneme 6 párov čísel, z ktorých každý dáva dohromady 13:
1 a 12, 2 a 11, 3 a 10, 4 a 9, 5 a 8, 6 a 7.
Preto je potrebné na ciferníku nakresliť čiary tak, aby do každej časti padali 2 páry.
Odpoveď: prvý riadok prejde medzi číslami 2 a 3 a potom medzi číslami 10 a 11; druhý riadok je medzi číslami 4 a 5 a potom medzi 8 a 9.
Úloha 5
Letí kŕdeľ vtákov. Vpredu je jeden vták (vodca), za ním nasledujú dvaja, potom traja, štyria atď. Koľko vtákov je v kŕdli, ak ich je v poslednom rade 20?
Riešenie.
Dostaneme, že musíme sčítať čísla od 1 do 20. A na výpočet takéhoto súčtu môžeme použiť Gaussovo pravidlo:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.
Úloha 6
Ako usadiť 45 králikov do 9 klietok tak, aby všetky klietky mali iný počet králikov?
Riešenie.
Ak sa dieťa rozhodlo a pochopilo príklady z úlohy 1 s porozumením, potom si okamžite zapamätá, že 45 je súčet čísel od 1 do 9. Preto králikov položíme takto:
- prvá bunka - 1,
- druhý - 2,
- tretina - 3,
- ôsmy - 8,
- deviaty - 9.
Ale ak na to dieťa nevie prísť hneď, skúste mu vnuknúť myšlienku, že takéto problémy sa dajú vyriešiť hrubou silou a treba začať s minimálnym počtom.
Úloha 7
Vypočítajte súčet pomocou Gaussovho triku:
- 31 + 32 + 33 + … + 40;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.
Riešenie.
- 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.
Úloha 8
K dispozícii je sada 12 závaží s hmotnosťou 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g, 10g, 11g, 12g. Zo súpravy boli odstránené 4 závažia, ktorých celková hmotnosť sa rovná tretine celkovej hmotnosti celej súpravy závaží. Môžu sa zvyšné závažia umiestniť na dve misky, 4 kusy na každú misku, aby boli v rovnováhe?
Riešenie.
Na zistenie celkovej hmotnosti závaží použijeme Gaussovo pravidlo:
1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (g)
Vypočítame hmotnosť odstránených závaží:
Zvyšné závažia (s celkovou hmotnosťou 78-26 \u003d 52 g) sa preto musia umiestniť 26 g na každú misku váhy, aby boli v rovnováhe.
Nevieme, ktoré závažia boli odstránené, takže musíme zvážiť všetky možné možnosti.
Pomocou Gaussovho pravidla môžete závažia rozdeliť do 6 párov s rovnakou hmotnosťou (každý 13 g):
1 g a 12 g, 2 g a 11 g, 3 g a 10, 4 g a 9 g, 5 g a 8 g, 6 g a 7 g.
Potom je najlepšou možnosťou pri odoberaní 4 závaží, dva páry vyššie uvedených sa odstránia. V tomto prípade nám ostanú 4 páry: 2 páry na jednej stupnici a 2 páry na druhej.
Najhorší prípad je, keď 4 odstránené závažia rozbijú 4 páry. Budeme mať 2 nerozbité páry s celkovou hmotnosťou 26g, to znamená, že ich položíme na jednu misku s váhou a zvyšné závažia môžeme položiť na inú misku a budú mať tiež 26g.
Veľa šťastia vo vývoji vašich detí.
Dnes sa budeme zaoberať jedným z matematických problémov, ktoré som musel vyriešiť so svojím synovcom. A potom to implementujeme cez PHP. A zvážte niekoľko možností riešenia tohto problému.
Úloha:
Je potrebné rýchlo jedno po druhom sčítať všetky čísla od 1 do 100 a zistiť súčet všetkých čísel.
Riešenie problému:
V skutočnosti, keď sme prvýkrát vyriešili tento problém, vyriešili sme ho nesprávne! O nesprávnom riešení tohto problému ale písať nebudeme.
A riešenie je také jednoduché a triviálne – treba sčítať 1 a 100 a vynásobiť 50. (Karl Gaus mal také riešenie, keď bol veľmi malý...)
(1 + 100)*50.
Ako môžem vyriešiť tento problém pomocou php?
Vypočítajte súčet všetkých čísel od 1 do 100 pomocou PHP.
Keď sme už tento problém vyriešili, rozhodli sme sa pozrieť, čo o tomto probléme píšu na „internetoch“! A našiel som nejakú formu, kde mladé talenty nedokázali vyriešiť tento problém a skúsil som to urobiť cez cyklus.
Ak neexistuje žiadna špeciálna podmienka na to, aby ste to urobili v cykle, potom nemá zmysel robiť to v cykle!
A áno! Nezabudnite, že v php môžete problém vyriešiť mnohými spôsobmi! jeden.
Tento kód môže pridať ľubovoľnú postupnosť čísel od jednej do nekonečna.
Poďme implementovať naše riešenie v jeho najjednoduchšej forme:
$end = $_POST["premenná"];
$res = $koniec/2*($i + $koniec);
