Lineárna funkcia komplexného striedavého Z sa nazýva funkcia formy, kde A a 6 sú uvedené komplexné čísla, a F 0. Lineárna funkcia je určená pre všetky hodnoty nezávislého variabilného g, jednoznačného a od Inverzná funkcia je tiež jednoznačná, jednoznačná v celej rovine z. Lineárna funkcia je analytická v celej komplexnej rovine a jeho derivát je preto implementovaný mapovaním konvekčne v celej rovine. Frakčná lineárna funkcia je funkcia druhu - špecifikované komplexné čísla a frakčná lineárna funkcia je definovaná pre všetky hodnoty nezávislej premennej ZY, s výnimkou Z \u003d - |, jednoznačne a, pretože inverzné funkcie elementárnych funkcií komplexu Variabilné frakčné-racionálne funkcie Power Function je indikatívna funkcia Logaritmická funkcia Trigonometrické a hyperbolické funkcie sú jednoznačné, jednobunkové v celej komplexnej rovine, s výnimkou bodu Z \u003d - v tejto oblasti je funkcia (3) analytická a jej derivácia sa preto implementuje kontrolným mapovaním. Poskytujeme funkciu (3) v bode z \u003d -, uvedenie £) \u003d oo a v nekonečne vzdialenom bode w \u003d OO vložte v súlade s bodom Z (oO) \u003d potom bude frakčná-lineárna funkcia jednoduchá V rozšírenej komplexnej rovine Z. Príklad 1. Zvážte, že frakčné lineárne funkcie z rovnosti znamená, že moduly komplexných čísel R a "sú dôverné podľa vzťahu, a tieto čísla sa nachádzajú na lúčoch, ktoré sa objavujú z bodu o a symetrické vzhľadom na skutočnú osi. Najmä bod jedného kruhu | Z | \u003d 1 Prejdite na bod jedného kruhu; \u003d 1. V tomto prípade je integrované číslo vykonané v súlade s číslom konjugátu (obr. 11). Všimli sme tiež, že funkcia Go \u003d -G zobrazuje nekonečne vzdialený bod G - oo na nulu - 0. 2.2. Funkcia napájania je funkcia výkonu, kde n je prirodzené číslo analytické v celej komplexnej rovine; Jeho derivát \u003d nzn ~] s p\u003e 1 sa líši od nuly vo všetkých bodoch, okrem Z \u003d 0. Pripomínanie vo vzorci (4) W a Z na indikatívnej forme získavame, že zo vzorca (5) to môže byť videné Komplexné čísla Z2 tak, že kde K je celé číslo, choďte do jedného bodu w. Takže, pri n\u003e 1, mapovanie (4) nie je jednoduchá doska na rovine Z. Najjednoduchší príklad regiónu, v ktorom je mapovanie HY \u003d ZN, je sektor, kde A je akékoľvek skutočné číslo. V regióne (7) mapovanie (4) konmoš. - Multi-ceneed, pretože pre každé integrované číslo Z \u003d GE1B F 0 môže byť špecifikovaná v rôznych integrovaných číslach, ako je ich n-I titul Z: Všimnite si, že sa nazýva polynómový stupeň komplexnej premennej Z, funkcia, kde sa nazýva špecifikované komplexné čísla a JSC F 0. Polynóm je buď analytická funkcia v celej komplexnej rovine. 2.3. Frakčná racionálna funkcia frakčnej racionálnej funkcie sa nazýva funkcia formy, kde) - polynómy zložitej variabilného Z. Frakčná racionálna funkcia je analytická v celej rovine, s výnimkou tých bodov, v ktorých kanál Q (Z) označuje nulu. Príklad 3. Funkcia Zhukovssky__ Analytické v celej rovine R, s výnimkou bodu γ \u003d 0 zistíme podmienky na plochu komplexnej roviny, v ktorej funkcia Zhukschoe, uvažovaná v tejto oblasti, bude byť jednotná. M Nechajte body z) a funkciu ZJ (8) premieta do jedného bodu. Potom, keď dostaneme to, čo to znamená, pre Úniu funkcie Zhukovského je potrebné mať dostatočné splnenie stavu podľa príkladu domény, ktorá spokojná podmienkou Únie (9), je vzhľad kruhu | Z | 1. Keďže derivát funkcií Zhukovskej základnej funkcie komplexných variabilných frakčných-racionálnych funkcií Výkonná funkcia Orientačná funkcia je logaritmická funkcia trigonometrických a hyperbolických funkcií sa líši od nuly všade, s výnimkou bodov, zobrazenie oblasti Touto funkciou bude konformná (obr. 13). Všimnite si, že interiér jedného kruhu je tiež oblasťou Únie funkcie Zhukovského. Obr. 13 2.4. Indikatívna funkcia je orientačná funkcia EZ definujeme pre akékoľvek komplexné číslo Z \u003d X + GA ako nasledujúci pomer: AT X \u003d 0 Získame EULER Formula: popisujeme základné vlastnosti indikatívnej funkcie: 1. Pre platné Z táto definícia Sa zhoduje s obvyklými. To možno vidieť priamo, uvedenie vo vzorci (10) y \u003d 0. 2. Funkcia EZ je analytická v celej komplexnej rovine a obvyklý vzorec diferenciácie sa zachováva. 3. Udržiava sa prídavok. Dajte 4. EZ funkcie - periodické s imaginárnym hlavným 2XI obdobím. V skutočnosti, pre ktorýkoľvek celok na druhej strane, ak potom z definície (10) vyplýva, čo z toho vyplýva, alebo kde n je celé číslo. Bar neobsahuje jeden pár bodov spojených s vzťahom (12), preto vyplýva zo štúdie, že mapovanie w \u003d E "jedno L je v páse (obr. 14). ATTAPTS Ako derivát, potom Toto je konformný displej. NIV. FUNKCIA GG Jedno-doska v akomkoľvek pásme 2.5. Započíta sa logaritmická funkcia z rovnice je zadaná, neznáma, získavame odtiaľto, čím je funkcia, inverzná funkcia je definovaná pre akúkoľvek skupinu Tam, kde sa táto viacúčená funkcia nazýva logaritmická a je indikovaná nasledovne Arg Z sa nazýva hlavná hodnota logaritmu a vzorec 2.6 sa získa LN Z, trigonometrické a hyperbolické funkcie z EULER vzorca (11) pre platné Y my získať, z ktorých trigonometrické funkcie hriechu Z a COS Z pre akékoľvek komplexné číslo Z sú nasledovné vzorcami: sínus a kosínus komplexného argumentu majú zaujímavé vlastnosti., Uvádzame hlavné. Funkcie Sinz a COS Z: 1) platný Z-X sa zhoduje s konvenčným sínusom a kosínom; 2) Analytické v celej komplexnej rovine; 3) dodržiavať obvyklé diferenciácie vzorcov: 4) periodické s obdobím 2TG; 5) hriech Z je nepárna funkcia, cos z - dokonca; 6) Konzervované konvenčné trigonometrické pomery. Všetky uvedené vlastnosti sa ľahko získavajú z vzorcov (15). Funkcie TGZ a CTGZ v komplexnej oblasti sú určené vzorcami a hyperbolickými funkciami - formulára "Hyperbolické funkcie úzko súvisia s trigonometrickými funkciami. Toto spojenie je vyjadrené nasledujúcimi rovnosť: Sinus a Cosine z komplexného argumentu majú ďalšie dôležité Nehnuteľnosť: V komplexnom lietadle | sami veľkých pozitívnych hodnôt. Ukážeme to. Používanie vlastností 6 a vzorcov (18) Získame, že základné funkcie komplexných variabilných frakčných racionálnych funkcií funkcie Power Orientačná funkcia je logaritmická funkcia Trigonometrické a hyperbolické funkcie, odkiaľ predpokladáme, máme príklad 4. Nie je ťažké skontrolovať, že -4 je v skutočnosti.

11 Základné funkcie komplexnej premennej

Pripomeňme definíciu komplexných vystavovateľov. Potom

Rozklad v rade macogogénu. Polomer konvergencie tejto série je rovný + ∞, čo znamená integrovaný analytický vystavovateľ v celej komplexnej rovine a

(exp z) "\u003d exp z; exp 0 \u003d 1. (2)

Prvá rovnosť tu nasleduje napríklad z teorem na diferenciáciu pôdy série Power.

11.1 Trigonometrické a hyperbolické funkcie

Sinus komplexná premenná Funkcia

Cosine z komplexnej premennej Existuje funkcia

Hyperbolic Sine Complex Alterning takto:

Hyperbolická kosívanie zložitej premennej - Toto je funkcia

Všimnite si niektoré vlastnosti novo zadaných funkcií.

A.Ak X∈ ℝ, potom COS X, SIN X, CH X, SH X∈ ℝ.

B.Koná sa tento vzťah trigonometrických a hyperbolických funkcií:

cOS IZ \u003d CH Z; SIN IZ \u003d ISH Z, CH IZ \u003d COS Z; sh iz \u003d Isin Z.

B. Základná trigonometrická a hyperbolická identita:

cOS 2 Z + SIN 2 Z \u003d 1; CH2 Z-SH 2 Z \u003d 1.

Dôkaz o hlavnej hyperbolickej identite.

Hlavná trigonometrická identita vyplýva z onow hyperbolickej identity pri zohľadnení dlhopisov trigonometrických a hyperbolických funkcií (pozri vlastnosť B)

G. Prídavok formulárov:

Najmä, \\ t

D. Na výpočet derivátov trigonometrických a hyperbolických funkcií by ste mali aplikovať teorem o diferenciácii pôdy power riadku. Dostaneme:

(cos z) "\u003d - hriech z; (hriech z)" \u003d cos z; (CH Z) "\u003d SH Z; (SH Z)" \u003d CH Z.

E.Funkcie COS Z, CH Z sú dokonca, a funkcie hriechu Z, sh z sú nepárne.

J. (Periodicita) Funkcia E Z je periodická s obdobím 2π i. COS Z, funkcie hriechu Z sú periodické s obdobím 2π, a funkcia CH Z, sh Z je periodicky s obdobím 2πi. Okrem toho,

Aplikácia vzorcov, dostaneme

Z.. Rozklad na platné a imaginárne časti:

Ak jednoznačná analytická funkcia F (Z) zobrazuje bijektívne oblasť D do oblasti G, potom D sa nazýva oblasť jednej bázy.

A.Región D K \u003d (X + IY | 2π K≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .

Dôkazov. Zo vzťahu (5), injektivita displeja využíva: D K → ℂ. Nech w je akékoľvek nenulové komplexné číslo. Potom riešenie rovníc e x \u003d | w | a e iy \u003d w / | w | s platnými premennými X a Y (Y Vyberte si z polovice Studio)