Matematikte problem çözmek çoğu zaman öğrenciler için pek çok zorluğu da beraberinde getirir. Öğrencinin bu zorluklarla başa çıkmasına yardımcı olmanın yanı sıra, “Matematik” dersinin tüm bölümlerinde belirli problemleri çözerken onlara mevcut teorik bilgilerini uygulamayı öğretmek sitemizin temel amacıdır.

Konuyla ilgili problemleri çözmeye başlarken öğrencilerin düzlem üzerinde koordinatlarını kullanarak bir nokta oluşturabilmeleri ve verilen bir noktanın koordinatlarını bulabilmeleri gerekir.

Düzlemde alınan iki A(x A; y A) ve B(x B; y B) noktası arasındaki mesafenin hesaplanması aşağıdaki formül kullanılarak yapılır. d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) burada d, düzlemdeki bu noktaları birleştiren parçanın uzunluğudur.

Segmentin uçlarından biri koordinatların kökeni ile çakışıyorsa ve diğeri M(x M; y M) koordinatlarına sahipse, o zaman d'yi hesaplama formülü OM = √(x M 2 + y M 2) formunu alacaktır. ).

1. Bu noktaların verilen koordinatlarına göre iki nokta arasındaki mesafenin hesaplanması

örnek 1.

Koordinat düzleminde A(2; -5) ve B(-4; 3) noktalarını birleştiren doğru parçasının uzunluğunu bulun (Şekil 1).

Çözüm.

Problem ifadesinde şunu belirtir: x A = 2; x B = -4; y A = -5 ve y B = 3. d'yi bulun.

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formülünü uygulayarak şunu elde ederiz:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Verilen üç noktaya eşit uzaklıktaki bir noktanın koordinatlarının hesaplanması

Örnek 2.

A(7; -1) ve B(-2; 2) ve C(-1; -5) noktalarına eşit uzaklıkta olan O 1 noktasının koordinatlarını bulun.

Çözüm.

Problem koşullarının formülasyonundan şu sonuç çıkar: O 1 A = O 1 B = O 1 C. İstenilen O 1 noktasının (a; b) koordinatları olsun. d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formülünü kullanarak şunu buluruz:

Ö 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

Ö 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

Ö 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

İki denklemden oluşan bir sistem oluşturalım:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Denklemlerin sol ve sağ taraflarının karesini aldıktan sonra şunu yazarız:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Basitleştirelim, yazalım

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Sistemi çözdükten sonra şunu elde ederiz: a = 2; b = -1.

O 1 (2; -1) noktası, aynı düz çizgi üzerinde olmaması koşuluyla belirtilen üç noktaya eşit uzaklıktadır. Bu nokta verilen üç noktadan geçen çemberin merkezidir. (İncir. 2).

3. Apsis (koordinat) ekseni üzerinde bulunan ve belirli bir noktadan belirli bir mesafede bulunan bir noktanın apsisinin (koordinat) hesaplanması

Örnek 3.

B(-5; 6) noktasından Ox ekseni üzerinde bulunan A noktasına olan mesafe 10'dur. A noktasını bulun.

Çözüm.

Problem koşullarının formülasyonundan, A noktasının ordinatının sıfıra eşit olduğu ve AB = 10 olduğu sonucu çıkar.

A noktasının apsisini a ile göstererek A(a; 0) yazarız.

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

√((a + 5) 2 + 36) = 10 denklemini elde ederiz. Bunu basitleştirirsek, şunu elde ederiz:

a 2 + 10a – 39 = 0.

Bu denklemin kökleri a 1 = -13; ve 2 = 3.

A 1 (-13; 0) ve A 2 (3; 0) olmak üzere iki puan alıyoruz.

Muayene:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Elde edilen her iki nokta da problemin koşullarına göre uygundur. (Şek. 3).

4. Apsis (koordinat) ekseni üzerinde bulunan ve verilen iki noktadan aynı uzaklıkta olan bir noktanın apsisinin (koordinat) hesaplanması

Örnek 4.

Oy ekseni üzerinde A (6, 12) ve B (-8, 10) noktalarından aynı uzaklıkta olan bir nokta bulun.

Çözüm.

Sorunun koşullarının gerektirdiği Oy ekseni üzerinde bulunan noktanın koordinatları O 1 (0; b) olsun (Oy ekseni üzerinde bulunan noktada apsis sıfırdır). O 1 A = O 1 B koşulundan çıkar.

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formülünü kullanarak şunu buluruz:

Ö 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

Ö 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

√(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) veya 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 denklemine sahibiz.

Sadeleştirmeden sonra şunu elde ederiz: b – 4 = 0, b = 4.

Sorunun koşullarının gerektirdiği O 1 (0; 4) noktası (Şekil 4).

5. Koordinat eksenlerine aynı mesafede bulunan bir noktanın ve belirli bir noktanın koordinatlarının hesaplanması

Örnek 5.

Koordinat düzleminde, koordinat eksenlerine ve A(-2; 1) noktasına aynı uzaklıkta bulunan M noktasını bulun.

Çözüm.

Gerekli M noktası, A(-2; 1) noktası gibi, A, P 1 ve P 2 noktalarından eşit uzaklıkta olduğundan ikinci koordinat açısında bulunur. (Şekil 5). M noktasının koordinat eksenlerine olan uzaklıkları aynıdır, dolayısıyla a > 0 olmak üzere koordinatları (-a; a) olacaktır.

Sorunun koşullarına göre MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

onlar. |-a| = a.

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formülünü kullanarak şunu buluruz:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Bir denklem kuralım:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Karesi alındıktan ve sadeleştirildikten sonra elimizde: a 2 – 6a + 5 = 0. Denklemi çözün, a 1 = 1'i bulun; ve 2 = 5.

Problemin koşullarını sağlayan iki M 1 (-1; 1) ve M 2 (-5; 5) noktası elde ediyoruz.

6. Apsis (koordinat) ekseninden ve verilen noktadan aynı uzaklıkta bulunan bir noktanın koordinatlarının hesaplanması

Örnek 6.

Ordinat ekseninden ve A(8; 6) noktasından uzaklığı 5'e eşit olacak bir M noktası bulun.

Çözüm.

Problemin koşullarına göre MA = 5 ve M noktasının apsisi 5'e eşittir. M noktasının ordinatı b'ye eşit olsun, o zaman M(5; b) (Şekil 6).

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formülüne göre elimizde:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Bir denklem kuralım:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Basitleştirirsek şunu elde ederiz: b 2 – 12b + 20 = 0. Bu denklemin kökleri b 1 = 2; b 2 = 10. Sonuç olarak problemin koşullarını sağlayan iki nokta vardır: M 1 (5; 2) ve M 2 (5; 10).

Birçok öğrencinin problemleri bağımsız olarak çözerken, bunları çözme teknikleri ve yöntemleri konusunda sürekli istişarelere ihtiyaç duyduğu bilinmektedir. Çoğu zaman öğrenci, öğretmenin yardımı olmadan bir sorunu çözmenin yolunu bulamaz. Öğrenci problemlerin çözümü konusunda gerekli tavsiyeleri web sitemizden alabilir.

Hala sorularınız mı var? Bir uçaktaki iki nokta arasındaki mesafeyi nasıl bulacağınızı bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
İlk ders ücretsiz!

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Noktadan noktaya mesafe belirli bir ölçekte bu noktaları birleştiren doğru parçasının uzunluğudur. Bu nedenle mesafe ölçümü söz konusu olduğunda ölçümün yapılacağı ölçeği (uzunluk birimi) bilmeniz gerekir. Bu nedenle, noktadan noktaya mesafeyi bulma problemi genellikle bir koordinat çizgisi üzerinde veya bir düzlem üzerinde veya üç boyutlu uzayda dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sisteminde ele alınır. Başka bir deyişle, çoğu zaman noktalar arasındaki mesafeyi koordinatlarını kullanarak hesaplamanız gerekir.

Bu yazımızda öncelikle koordinat doğrusu üzerinde bir noktadan diğerine uzaklığın nasıl belirlendiğini hatırlatacağız. Daha sonra, bir düzlemin veya uzayın iki noktası arasındaki mesafeyi verilen koordinatlara göre hesaplamak için formüller elde ederiz. Sonuç olarak, tipik örneklerin ve sorunların çözümlerini ayrıntılı olarak ele alacağız.

Sayfada gezinme.

Koordinat çizgisi üzerindeki iki nokta arasındaki mesafe.

İlk önce gösterimi tanımlayalım. A noktasından B noktasına olan mesafeyi olarak göstereceğiz.

Bundan şu sonuca varabiliriz Koordinatlı A noktasından koordinatlı B noktasına olan mesafe, koordinatlardaki farkın modülüne eşittir, yani, Koordinat çizgisi üzerindeki noktaların herhangi bir konumu için.

Düzlemde noktadan noktaya mesafe, formül.

Noktalar arasındaki mesafeyi hesaplamak için bir düzlem üzerinde dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde verilen bir formül elde ediyoruz.

A ve B noktalarının konumuna bağlı olarak aşağıdaki seçenekler mümkündür.

A ve B noktaları çakışırsa aralarındaki mesafe sıfırdır.

A ve B noktaları apsis eksenine dik bir düz çizgi üzerinde yer alıyorsa, bu noktalar çakışır ve mesafe mesafeye eşittir. Önceki paragrafta, bir koordinat çizgisi üzerindeki iki nokta arasındaki mesafenin, koordinatları arasındaki farkın modülüne eşit olduğunu bulmuştuk, dolayısıyla, . Buradan, .

Benzer şekilde, A ve B noktaları ordinat eksenine dik bir doğru üzerinde yer alıyorsa, A noktasından B noktasına olan mesafe şu şekilde bulunur:

Bu durumda ABC üçgeni dikdörtgen şeklindedir ve Ve . İle Pisagor teoremi eşitliği yazabiliriz, dolayısıyla .

Elde edilen tüm sonuçları özetleyelim: bir noktadan düzlem üzerindeki bir noktaya olan mesafe, aşağıdaki formül kullanılarak noktaların koordinatları aracılığıyla bulunur .

Noktalar arasındaki mesafeyi bulmak için elde edilen formül, A ve B noktaları çakıştığında veya koordinat eksenlerinden birine dik bir düz çizgi üzerinde yer aldığında kullanılabilir. Aslında, eğer A ve B çakışırsa, o zaman . A ve B noktaları Ox eksenine dik bir düz çizgi üzerinde yer alıyorsa, o zaman. A ve B Oy eksenine dik bir doğru üzerinde yer alıyorsa, o zaman .

Uzaydaki noktalar arasındaki mesafe, formül.

Uzayda Oxyz dikdörtgen koordinat sistemini tanıtalım. Bir noktaya olan mesafeyi bulmak için bir formül bulalım diyeceğim şey şu ki .

Genel olarak A ve B noktaları koordinat düzlemlerinden birine paralel bir düzlemde yer almaz. Ox, Oy ve Oz koordinat eksenlerine dik A ve B noktalarından düzlemler çizelim. Bu düzlemlerin koordinat eksenleriyle kesişim noktaları bize A ve B noktalarının bu eksenlere izdüşümlerini verecektir. Projeksiyonları belirtiyoruz .

A ve B noktaları arasındaki gerekli mesafe, şekilde gösterilen dikdörtgen paralelyüzün köşegenidir. İnşaat gereği, bu paralel borunun boyutları eşittir Ve . Bir lise geometri dersinde, bir küboidin köşegeninin karesinin üç boyutunun karelerinin toplamına eşit olduğu kanıtlandı, dolayısıyla . Bu makalenin ilk bölümündeki bilgilere dayanarak aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz, dolayısıyla,

onu nereden alıyoruz Uzaydaki noktalar arasındaki mesafeyi bulma formülü .

Bu formül aynı zamanda A ve B noktalarının

• eşleştir;
• Koordinat eksenlerinden birine veya koordinat eksenlerinden birine paralel bir çizgiye ait olan;
• koordinat düzlemlerinden birine veya koordinat düzlemlerinden birine paralel bir düzleme aittir.

Noktadan noktaya mesafeyi bulma, örnekler ve çözümler.

Böylece bir koordinat çizgisi, düzlem ve üç boyutlu uzay üzerindeki iki nokta arasındaki mesafeyi bulmak için formüller elde ettik. Tipik örneklerin çözümlerine bakmanın zamanı geldi.

Son adımın iki nokta arasındaki mesafeyi koordinatlarına göre bulmak olduğu problemlerin sayısı gerçekten çok fazladır. Bu tür örneklerin tam olarak incelenmesi bu makalenin kapsamı dışındadır. Burada kendimizi iki noktanın koordinatlarının bilindiği ve aralarındaki mesafenin hesaplanmasının gerekli olduğu örneklerle sınırlayacağız.

Koordinatlar kullanılarak bir nesnenin dünya üzerindeki konumu belirlenir. Koordinatlar enlem ve boylamla gösterilir. Enlemler ekvator çizgisinin her iki yanından ölçülür. Kuzey Yarımküre'de enlemler pozitif, Güney Yarımküre'de ise negatiftir. Boylam, başlangıç ​​meridyeninden sırasıyla doğu veya batı olarak ölçülür, doğu veya batı boylamı elde edilir.

Genel kabul gören görüşe göre başlangıç ​​meridyeni, Greenwich'teki eski Greenwich Gözlemevi'nden geçen meridyen olarak kabul edilir. Konumun coğrafi koordinatları bir GPS navigatörü kullanılarak elde edilebilir. Bu cihaz, tüm dünya için aynı olan WGS-84 koordinat sisteminde uydu konumlandırma sistemi sinyallerini alır.

Navigatör modelleri üretici, işlevsellik ve arayüz açısından farklılık gösterir. Şu anda bazı cep telefonu modellerinde yerleşik GPS navigasyon cihazları da mevcuttur. Ancak herhangi bir model bir noktanın koordinatlarını kaydedebilir ve kaydedebilir.

GPS koordinatları arasındaki mesafe

Bazı endüstrilerdeki pratik ve teorik problemleri çözmek için noktalar arasındaki mesafeleri koordinatlarına göre belirleyebilmek gerekir. Bunu yapmanın birkaç yolu vardır. Coğrafi koordinatları temsil etmenin kanonik biçimi: derece, dakika, saniye.

Örneğin, aşağıdaki koordinatlar arasındaki mesafeyi belirleyebilirsiniz: 1 numaralı nokta - enlem 55°45′07″ K, boylam 37°36′56″ E; 2 numaralı nokta - 58°00′02″ K enlemi, 102°39′42″ E boylamı.

En kolay yol, iki nokta arasındaki uzunluğu hesaplamak için bir hesap makinesi kullanmaktır. Tarayıcı arama motorunda aşağıdaki arama parametrelerini ayarlamanız gerekir: çevrimiçi - iki koordinat arasındaki mesafeyi hesaplamak için. Çevrimiçi hesap makinesinde birinci ve ikinci koordinatlar için sorgu alanlarına enlem ve boylam değerleri girilir. Hesaplarken çevrimiçi hesap makinesi sonucu verdi - 3.800.619 m.

Bir sonraki yöntem daha emek yoğun ama aynı zamanda daha görsel. Mevcut herhangi bir harita veya navigasyon programını kullanmalısınız. Koordinatları kullanarak noktalar oluşturabileceğiniz ve aralarındaki mesafeleri ölçebileceğiniz programlar aşağıdaki uygulamaları içerir: BaseCamp (MapSource programının modern bir benzeri), Google Earth, SAS.Planet.

Yukarıdaki programların tümü herhangi bir ağ kullanıcısı tarafından kullanılabilir. Örneğin Google Earth'te iki koordinat arasındaki mesafeyi hesaplamak için birinci noktanın ve ikinci noktanın koordinatlarını gösteren iki etiket oluşturmanız gerekir. Daha sonra "Cetvel" aracını kullanarak birinci ve ikinci işaretleri bir çizgiyle bağlamanız gerekir, program otomatik olarak ölçüm sonucunu gösterecek ve yolu Dünya'nın uydu görüntüsünde gösterecektir.

Yukarıda verilen örnekte, Google Earth programı sonucu döndürdü - 1 No'lu nokta ile 2 No'lu nokta arasındaki mesafenin uzunluğu 3,817,353 m'dir.

Mesafeyi belirlerken neden bir hata var?

Koordinatlar arasındaki mesafeye ilişkin tüm hesaplamalar yay uzunluğunun hesaplanmasına dayanmaktadır. Yayın uzunluğunun hesaplanmasında Dünya'nın yarıçapı rol oynar. Ancak Dünya'nın şekli yassı bir elipsoide yakın olduğundan, Dünya'nın yarıçapı belirli noktalarda değişiklik gösterir. Koordinatlar arasındaki mesafeyi hesaplamak için Dünya'nın yarıçapının ortalama değeri alınır, bu da ölçümde hata verir. Ölçülen mesafe ne kadar büyük olursa hata da o kadar büyük olur.

Matematik

§2. Düzlemdeki bir noktanın koordinatları

3. İki nokta arasındaki mesafe.

Artık sen ve ben, sayıların dilinde noktalar hakkında konuşabiliriz. Örneğin artık açıklama yapmamıza gerek yok: eksenin üç birim sağında ve eksenin beş birim altında olan bir noktayı alın. Basitçe söylemek yeterli: konuyu ele alın.

Bunun belli avantajlar yarattığını daha önce söylemiştik. Yani noktalardan oluşan bir çizimi telgrafla iletebilir, çizimi hiç anlamayan ama sayıları iyi anlayan bir bilgisayara iletebiliriz.

Önceki paragrafta sayılar arasındaki ilişkileri kullanarak düzlemdeki bazı nokta kümelerini tanımladık. Şimdi diğer geometrik kavramları ve gerçekleri tutarlı bir şekilde sayıların diline çevirmeye çalışalım.

Basit ve ortak bir görevle başlayacağız.

Düzlemdeki iki nokta arasındaki mesafeyi bulun.

Çözüm:
Her zaman olduğu gibi, noktaların koordinatlarına göre verildiğini varsayıyoruz ve ardından görevimiz, koordinatlarını bilerek noktalar arasındaki mesafeyi hesaplayabileceğimiz bir kural bulmak. Bu kuralı türetirken elbette bir çizime başvurmaya izin verilir, ancak kuralın kendisi çizime herhangi bir referans içermemeli, yalnızca verilen sayılar - koordinatlar üzerinde hangi eylemlerin ve hangi sırayla gerçekleştirilmesi gerektiğini göstermelidir. noktaların - istenilen sayıyı elde etmek için - noktalar arasındaki mesafe.

Belki bazı okuyucular sorunu çözmeye yönelik bu yaklaşımı tuhaf ve abartılı bulacaktır. Daha basit olanı, noktaların koordinatlarla bile verildiğini söyleyeceklerdir. Bu noktaları çizin, bir cetvel alın ve aralarındaki mesafeyi ölçün.

Bu yöntem bazen o kadar da kötü değildir. Ancak yine de bir bilgisayarla uğraştığınızı hayal edin. Cetveli yok ve çizim yapmıyor ama o kadar hızlı sayabiliyor ki bu onun için hiç sorun değil. Sorunumuzun, iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplama kuralının bir makine tarafından yürütülebilecek komutlardan oluşacak şekilde formüle edildiğine dikkat edin.

Bu noktalardan birinin koordinatların orijininde yer alması durumunda ilk önce özel durum için ortaya çıkan problemi çözmek daha iyidir. Birkaç sayısal örnekle başlayın: noktaların başlangıç ​​noktasına olan uzaklığını bulun; Ve .

Not. Pisagor teoremini kullanın.

Şimdi bir noktanın orijinden uzaklığını hesaplamak için genel bir formül yazın.

Bir noktanın orijinden uzaklığı aşağıdaki formülle belirlenir:

Açıkçası, bu formülle ifade edilen kural yukarıda belirtilen koşulları karşılamaktadır. Özellikle sayıları çarpabilen, toplayabilen ve karekök çıkarabilen makinelerde yapılan hesaplamalarda kullanılabilir.

Şimdi genel sorunu çözelim

Düzlem üzerinde iki nokta verildiğinde aralarındaki mesafeyi bulunuz.

Çözüm:
Noktaların ve koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümlerini , , ile gösterelim.

Doğruların harfle kesiştiği noktayı gösterelim. Pisagor teoremini kullanarak bir dik üçgenden şunu elde ederiz:

Ancak parçanın uzunluğu parçanın uzunluğuna eşittir. ve , noktaları eksen üzerinde yer alır ve sırasıyla ve koordinatlarına sahiptir. 2. paragrafın 3. paragrafında elde edilen formüle göre aralarındaki mesafe eşittir.

Benzer şekilde tartışarak parçanın uzunluğunun eşit olduğunu buluyoruz. Bulunan değerleri ve elde ettiğimiz formüle yerleştiriyoruz.

Bu yazıda teorik olarak noktadan noktaya mesafeyi belirlemenin yollarına ve belirli görev örneklerine bakacağız. Başlangıç ​​olarak bazı tanımları tanıtalım.

Tanım 1

Noktalar arasındaki mesafe mevcut ölçekte bunları bağlayan segmentin uzunluğudur. Uzunluk biriminin ölçülebilmesi için skalanın ayarlanması gerekir. Bu nedenle, temel olarak noktalar arasındaki mesafeyi bulma problemi, noktaların koordinatlarının bir koordinat doğrusu üzerinde, bir koordinat düzleminde veya üç boyutlu uzayda kullanılmasıyla çözülür.

Başlangıç ​​verileri: O x koordinat çizgisi ve onun üzerinde bulunan rastgele bir A noktası. Doğru üzerindeki herhangi bir noktanın bir gerçek sayısı vardır: A noktası için belirli bir sayı olsun x Bir, aynı zamanda A noktasının koordinatıdır.

Genel olarak belirli bir parçanın uzunluğunun, belirli bir ölçekte uzunluk birimi olarak alınan parçayla karşılaştırılarak değerlendirildiğini söyleyebiliriz.

A noktası bir tamsayı gerçek sayıya karşılık geliyorsa, O noktasından O A doğru parçası - uzunluk birimleri boyunca sırayla bir noktaya kadar uzanarak, ayrılan birim parçaların toplam sayısından O A parçasının uzunluğunu belirleyebiliriz.

Örneğin, A noktası 3 sayısına karşılık gelir - O noktasından ona ulaşmak için üç birim bölüm bırakmanız gerekecektir. A noktasının koordinatı -4 ise, birim segmentler benzer şekilde ancak farklı, negatif yönde düzenlenir. Böylece, ilk durumda O A mesafesi 3'e eşittir; ikinci durumda O A = 4.

A noktasının koordinat olarak rasyonel bir sayısı varsa, o zaman orijinden (O noktasından) tam sayıda birim parça ve ardından gerekli kısmını çizeriz. Ancak geometrik olarak ölçüm yapmak her zaman mümkün değildir. Örneğin 4 111 kesrini koordinat doğrusuna çizmek zor görünüyor.

Yukarıdaki yöntemi kullanarak irrasyonel bir sayıyı düz bir çizgiye çizmek tamamen imkansızdır. Örneğin A noktasının koordinatı 11 olsun. Bu durumda soyutlamaya dönmek mümkündür: A noktasının verilen koordinatı sıfırdan büyükse, O A = x A (sayı mesafe olarak alınır); koordinat sıfırdan küçükse O A = - x A . Genel olarak bu ifadeler herhangi bir x A gerçek sayısı için doğrudur.

Özetlemek gerekirse: Orijinden koordinat doğrusu üzerinde bir gerçel sayıya karşılık gelen noktaya kadar olan mesafe şuna eşittir:

• Nokta orijinle çakışıyorsa 0;

• x A, eğer x A > 0 ise;

• - x A eğer x A< 0 .

Bu durumda, parçanın uzunluğunun negatif olamayacağı açıktır, bu nedenle modül işaretini kullanarak O noktasından A noktasına kadar olan mesafeyi koordinatla yazıyoruz. xA: O Bir = x Bir

Aşağıdaki ifade doğru olacaktır: bir noktadan diğerine olan mesafe koordinat farkının modülüne eşit olacaktır. Onlar. Herhangi bir konum için aynı koordinat çizgisi üzerinde bulunan ve karşılık gelen koordinatlara sahip A ve B noktaları için xA Ve x B: Bir B = x B - x A .

Başlangıç ​​verileri: A (x A, y A) ve B (x B, y B) koordinatları ile O x y dikdörtgen koordinat sisteminde bir düzlem üzerinde yer alan A ve B noktaları.

A ve B noktalarından Ox ve O y koordinat eksenlerine dik çizgiler çizelim ve sonuç olarak projeksiyon noktalarını elde edelim: A x, A y, B x, B y. A ve B noktalarının konumuna bağlı olarak aşağıdaki seçenekler mümkündür:

A ve B noktaları çakışırsa aralarındaki mesafe sıfırdır;

A ve B noktaları O x eksenine (apsis ekseni) dik bir düz çizgi üzerinde yer alıyorsa, bu durumda noktalar çakışır ve | AB | = | A y B y | . Noktalar arasındaki mesafe koordinatları farkının modülüne eşit olduğundan, A y B y = y B - y A ve dolayısıyla A B = A y B y = y B - y A.

A ve B noktaları O y eksenine (koordinat ekseni) dik bir düz çizgi üzerinde yer alıyorsa - önceki paragrafa benzer şekilde: A B = A x B x = x B - x A

A ve B noktaları koordinat eksenlerinden birine dik bir düz çizgi üzerinde yer almıyorsa, hesaplama formülünü türeterek aralarındaki mesafeyi bulacağız:

A B C üçgeninin dikdörtgen olduğunu görüyoruz. Bu durumda A C = A x B x ve B C = A y B y. Pisagor teoremini kullanarak şu eşitliği yaratırız: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 ve sonra bunu dönüştürürüz: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Elde edilen sonuçtan bir sonuç çıkaralım: Düzlemde A noktasından B noktasına olan mesafe, bu noktaların koordinatlarını kullanan formül kullanılarak hesaplanır.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Ortaya çıkan formül aynı zamanda noktaların çakışması durumları veya noktaların eksenlere dik düz çizgiler üzerinde yer aldığı durumlar için önceden oluşturulmuş ifadeleri de doğrular. Yani A ve B noktaları çakışırsa aşağıdaki eşitlik doğru olacaktır: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

A ve B noktalarının x eksenine dik bir doğru üzerinde olduğu bir durum için:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

A ve B noktalarının ordinat eksenine dik bir doğru üzerinde yer alması durumunda:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Başlangıç ​​verileri: üzerinde verilen A (x A, y A, z A) ve B (x B, y B, z B) koordinatlarıyla üzerinde rastgele noktalar bulunan dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y z. Bu noktalar arasındaki mesafeyi belirlemek gerekir.

A ve B noktalarının koordinat düzlemlerinden birine paralel bir düzlemde yer almadığı genel durumu ele alalım. A ve B noktalarından koordinat eksenlerine dik düzlemler çizelim ve karşılık gelen projeksiyon noktalarını elde edelim: A x , A y , A z , B x , B y , Bz

A ve B noktaları arasındaki mesafe, ortaya çıkan paralel borunun köşegenidir. Bu paralelyüzlü ölçülerin yapımına göre: A x Bx , A y B y ve A z Bz

Geometri dersinden, bir paralelyüzün köşegeninin karesinin, boyutlarının karelerinin toplamına eşit olduğunu biliyoruz. Bu ifadeye dayanarak şu eşitliği elde ederiz: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Daha önce elde edilen sonuçları kullanarak aşağıdakileri yazıyoruz:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

İfadeyi dönüştürelim:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Final Uzaydaki noktalar arasındaki mesafeyi belirlemek için formülşöyle görünecek:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Ortaya çıkan formül aşağıdaki durumlarda da geçerlidir:

Noktalar çakışıyor;

Bir koordinat ekseni üzerinde veya koordinat eksenlerinden birine paralel bir düz çizgi üzerinde uzanırlar.

Noktalar arasındaki mesafeyi bulma konusunda problem çözme örnekleri

örnek 1

İlk veriler: bir koordinat çizgisi ve üzerinde verilen A (1 - 2) ve B (11 + 2) koordinatlarına sahip noktalar verilmiştir. O başlangıç ​​noktasından A noktasına ve A ile B noktaları arasındaki mesafeyi bulmak gerekir.

Çözüm

1. Referans noktasından noktaya olan mesafe, bu noktanın koordinat modülüne eşittir, sırasıyla O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. A ve B noktaları arasındaki mesafeyi bu noktaların koordinatları arasındaki farkın modülü olarak tanımlıyoruz: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Cevap: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Örnek 2

İlk veriler: dikdörtgen bir koordinat sistemi ve üzerinde bulunan iki nokta A (1, - 1) ve B (λ + 1, 3) verilmiştir. λ bir reel sayıdır. Bu sayının A B mesafesinin 5'e eşit olacağı tüm değerlerini bulmak gerekir.

Çözüm

A ve B noktaları arasındaki mesafeyi bulmak için A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 formülünü kullanmalısınız.

Gerçek koordinat değerlerini değiştirerek şunu elde ederiz: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Ayrıca A B = 5 şeklindeki mevcut koşulu da kullanırsak eşitlik doğru olacaktır:

λ2 + 16 = 5 λ2 + 16 = 25 λ = ± 3

Cevap: λ = ± 3 ise A B = 5.

Örnek 3

İlk veriler: O x y z dikdörtgen koordinat sisteminde ve içinde yer alan A (1, 2, 3) ve B - 7, - 2, 4 noktalarında üç boyutlu bir alan belirtilir.

Çözüm

Sorunu çözmek için A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2 formülünü kullanıyoruz.

Gerçek değerleri yerine koyarsak şunu elde ederiz: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Cevap: | AB | = 9

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.