Sadece çaydanlıklara değil, aynı zamanda "belirleyici" kelimesini ilk duyanlara bile yardımcı olacaktır. Sitenin sadece on sayfası olduğundan iki yıl geçti ve şimdi, benim matan dünyasına yaptığım uzun, uzun yolculuğumdan sonra her şey normale dönüyor.
Satır (sütun) öğeleri boyunca genişleterek üçüncü dereceden bir determinant hesaplamanız gerektiğini hayal edin. Her ne kadar hayal etmek için ne var - yapmanız gereken =) Üzerine 5 dakika oturabilir veya 2-3 dakika oturabilirsiniz. Veya hatta bir dakika bölgesinde. Harcadığınız zaman sadece deneyiminize değil, aynı zamanda belirleyicilerin özellikleri hakkındaki bilginize de bağlıdır. Çözüm sürecinin birkaç saniyeye indirgenmesi nadir değildir ve bazen sonucu hemen görebilirsiniz! Bazıları “Saçmalık, neden kibritlerden tasarruf edin, böylece her şeye biz karar vereceğiz” diyecek. Kabul edelim. Gözden kaçanları da kabul etmeyeceğiz ;-) Peki pratikte oldukça yaygın olan 4. mertebenin determinantı ne olacak? Bu biberle savaşmak 10-20 dakika sürecektir. Ve bu bir savaş değil, bir katliam olacak, çünkü bir hesaplama hatası olasılığı çok yüksek, bu da sizi kararın ikinci turuna "saracak". Ve eğer beşinci mertebenin determinantıysa? Sadece determinantın sırasını düşürmek tasarruf sağlayacaktır. Evet, bu tür örnekler test kağıtlarında da bulunur.
Bu sayfadaki materyaller, belirleyicileri çözme tekniğinizi önemli ölçüde geliştirecek ve yüksek matematikte daha fazla ustalaşmayı kolaylaştıracaktır.
Determinantı Hesaplamak İçin Etkili Yöntemler
Her şeyden önce, determinantın özelliklerine değil, sadece rasyonel hesaplama yöntemlerine değineceğiz. Bu karar yöntemleri yüzeyseldir ve çoğu kişi için anlaşılabilirdir, ancak yine de onlar üzerinde daha ayrıntılı olarak duralım. Okuyucunun üçüncü mertebenin determinantını oldukça güvenle ortaya koyabildiği varsayılmaktadır. Bildiğiniz gibi bu belirleyici açıklanabilir 6 standart yollar: herhangi bir satırda veya herhangi bir sütunda. Cevap aynı olacağı için fark yok gibi görünüyor. Ancak tüm yöntemler eşit derecede kolay mı? Numara. Çoğu durumda, var daha az karlı yollar ve daha karlı yollarçözümler.
İlk derste bolca dövmelerle kapladığım tanımlayıcıyı düşünün. Bu yazıda, ilk satır boyunca resimlerle ayrıntılı olarak ortaya koyduk. İlk satır iyi ve akademik ama sonuca daha hızlı ulaşmak mümkün mü? Determinantta bir sıfır var ve onu ikinci satıra veya ikinci sütuna göre genişleterek hesaplamalar gözle görülür şekilde azalacak!
Determinantı ikinci sütunla genişletelim: 
Pratikte sıfır eleman yok sayılır ve çözüm daha kompakt bir biçimde yazılır:
1. Egzersiz
Kısaltılmış gösterimi kullanarak ikinci satırda verilen niteleyiciyi genişletin.
Dersin sonundaki çözüm.
Bir satırda (veya sütunda) iki sıfır varsa, bu genellikle gerçek bir hediyedir. Belirleyiciyi düşünün. Üçüncü satırda, genişlettiğimiz iki sıfır var:
Bütün çözüm bu!
Determinantın sözde bir değerine sahip olduğu özel bir durum basamaklı veya üçgen görünüm, örneğin: - böyle bir belirleyicide, aşağıdaki tüm sayılar ana köşegen sıfıra eşittir.
İlk sütunda genişletelim: 
Pratik alıştırmalarda aşağıdaki kuralı takip etmek uygundur - kademeli determinant, ana köşegen sayılarının çarpımına eşittir:
Benzer bir ilke, diğer siparişlerin adım belirleyicileri için de geçerlidir, örneğin: 
Üçgen belirleyiciler lineer cebirin bazı problemlerinde ortaya çıkar ve çözümleri çoğunlukla bu şekilde formüle edilir.
Ve determinantın satırı (sütun) içeriyorsa sadece sıfırlar? Cevap bence açık. Bu soruya determinantın özelliklerinde geri döneceğiz.
Şimdi de uzun zamandır beklenen simitlerin yılbaşı hediyesi arasında yer almadığını düşünelim. Öyleyse kötü Noel Baba'nın içini boşaltalım!
Burada sıfır yok ama yine de hayatınızı kolaylaştırmanın bir yolu var. En küçük sayılar olduğu için bu determinantı üçüncü sütunda genişletmek daha uygundur. Bu durumda, karar kaydı çok özlü bir biçim alır:
Paragrafı özetleyerek, altın hesaplama kuralını formüle ediyoruz:
Belirleyiciyi BU satır (sütun) ile açmak daha karlı, burada:
1) daha fazla sıfır;
2) daha küçük sayılar.
Doğal olarak, bu daha yüksek derecelerin belirleyicileri için de geçerlidir.
Malzemeyi sabitlemek için küçük bir örnek:
ödev 2
Determinantı en rasyonel yolu kullanarak satır veya sütuna göre genişleterek hesaplayın
Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir, en uygun çözüm ve cevap dersin sonunda.
ve bir tane daha önemli tavsiye: karmaşık yapmayın! İlk satır veya ilk sütun tarafından geleneksel ayrıştırma üzerinde "durmaya" gerek yoktur. Ne kadar kısa olursa olsun, karar verin!
determinant özellikleri
İlk dersin eski tanıdıklarını düşünün: matris 
ve belirleyicisi 
.
Her ihtimale karşı, kavramlar arasındaki temel farkı tekrarlayacağım: matris bir element tablosudur, a determinant bir sayıdır.
Bir matris transpoze edildiğinde, determinantının değeri değişmez
Matrisi transpoze edin: 
Özelliğe göre, aktarılan matrisin determinantı aynı değere eşittir: 
... İsteyenler bunu kendileri de doğrulayabilirler.
Bu özelliğin daha basit bir formülasyonu da kullanılmaktadır: determinant aktarılırsa değeri değişmez.
Her iki belirleyiciyi de yan yana yazıyoruz ve birini analiz ediyoruz. önemli nokta:
Aktarma sonucunda ilk satır birinci sütun, ikinci satır ikinci sütun ve üçüncü satır üçüncü sütun oldu. Satırlar sütun oldu ve sonuç değişmedi. Bundan önemli bir gerçek çıkar: determinantın satırları ve sütunları eşittir... Başka bir deyişle, bir satır için bazı özellikler doğruysa, aynı özellik bir sütun için de geçerlidir! Aslında, bununla uzun zamandır karşı karşıyayız - sonuçta, determinant hem satıra göre hem de eşit olarak ve sütuna göre genişletilebilir.
Dizelerdeki sayıları sevmiyor musunuz? Determinantı transpoze edin! Tek bir soru var, neden? Ele alınan özelliğin pratik anlamı küçüktür, ancak yüksek matematiğin diğer problemlerini daha iyi anlamak için onu bilgi bagajına atmak faydalıdır. Örneğin, neden olduğu hemen anlaşılır. eş düzlemlilik için vektörlerin incelenmesi koordinatları hem tanımlayıcı satırlara hem de sütunlara yazılabilir.
Determinantın iki satırı (veya iki sütunu) değiştirilirse,
sonra determinant işaret değiştirecek
! Unutma , bir determinanttan bahsediyoruz! Matrisin kendisinde hiçbir şey yeniden düzenlenemez!
Rubik küpünü determinant ile oynayalım 
.
Birinci ve üçüncü satırları değiştirelim: 
Tanımlayıcı işaretini değiştirdi.
Şimdi, ortaya çıkan determinantta ikinci ve üçüncü satırları değiştirelim: 
Tanımlayıcı tekrar işaretini değiştirdi.
İkinci ve üçüncü sütunları değiştirelim: 
Yani, satırların (sütunların) herhangi bir ikili permütasyonu, determinantın işaretinde tersi yönde bir değişiklik gerektirir.
Oyunlar oyundur, ancak pratikte bu tür eylemler daha iyidir kullanmayın... Onlardan pek bir anlam gelmiyor, ancak kafa karıştırmak ve hata yapmak zor değil. Ancak, bunun gerçekten mantıklı olduğu birkaç durumdan birini aktaracağım. Bir örnek çözerken eksi işaretli bir determinant çizdiğinizi varsayalım:
Diyelim ki ilk satır boyunca genişletelim:
Bariz rahatsızlık, gereksiz reverans yapmak zorunda olmam - bahse girerim büyük parantez ve sonra bunları ifşa edin (bu arada, bu tür eylemleri sözlü olarak "tek oturuşta" gerçekleştirmenizi şiddetle tavsiye etmiyorum).
"Eksi" den kurtulmak için, herhangi iki satırı veya herhangi iki sütunu değiştirmek daha mantıklıdır. Örneğin, birinci ve ikinci satırları yeniden düzenleyelim: 
Şık görünüyor, ancak çoğu durumda olumsuz bir işaretle başka bir şekilde başa çıkmak daha uygundur (okumaya devam edin).
Yukarıdaki eylem, örneğin bazı özelliklerin daha iyi anlaşılmasına yardımcı olur. vektörlerin vektör çarpımı veya vektörlerin karışık bir ürünü.
Ama bu daha ilginç:
Determinantın satırından (sütunundan) ortak faktörü çıkarabilirsiniz.
!!! Dikkat! Kural hakkında BİRçizgi veya yaklaşık BİR belirleyici sütun. lütfen ile karıştırmayın matrisler, matriste faktör çıkarılır / getirilir TÜMÜ numaralar bir kerede
Kuralın özel bir durumuyla başlayalım - "eksi bir" veya sadece "eksi" yapmak.
Başka bir hastayla tanışıyoruz:
Bu determinantta çok fazla dezavantaj var ve bunların sayısını azaltmak iyi olur.
İlk satırdan -1 alın: 
Veya daha kısa: 
Niteleyicinin önündeki eksi, daha önce gösterildiği gibi, yemek için uygun değildir. Determinantın ikinci satırına bakarız ve orada çok fazla eksi olduğunu fark ederiz.
İkinci satırdan "eksi"yi çıkaralım: 
Başka ne yapabilirim? İkinci sütundaki tüm sayılar 4'e kalansız bölünür. 4'ü ikinci sütundan çıkaralım: 
Converse kuralı da doğrudur - çarpan olabilir sadece dayanmakla kalmaz, aynı zamanda Yapmak ayrıca determinantın HERHANGİ bir satırında veya HERHANGİ bir sütununda.
Eğlence olsun diye, determinantın üçüncü satırını 4 ile çarpalım: 
Titiz zihinler, orijinal ve alınan belirleyicilerin eşitliğine ikna edilebilir (doğru cevap: –216).
Uygulamada, eksi tanıtımı sıklıkla gerçekleştirilir. Belirleyiciyi düşünün. Herhangi bir satıra veya HERHANGİ bir sütuna niteleyiciden önce negatif bir işaret girilebilir. En iyi aday üçüncü sütundur ve ona bir eksi ekleyeceğiz: 
Ayrıca ilk sütundaki tüm sayıların 2'ye kalansız bölünebildiğini fark ettik, ancak "iki"yi yapmaya değer mi? Niteleyicinin sırasını düşürecekseniz (ki bu son bölümde tartışılacaktır), o zaman kesinlikle yapmalıdır. Ancak determinantı satır (sütun) ile genişletirseniz, öndeki "iki" yalnızca çözüm kaydını uzatacaktır.
Bununla birlikte, faktör büyükse, örneğin 13, 17 vb., o zaman, elbette, yine de çıkarmak daha karlı. Küçük canavarı tanıyalım: İlk satırdan –11 çıkarıyoruz, ikinci satırdan –7 çıkarıyoruz:
Normal bir hesap makinesinde hesaplamaların bu kadar hızlı yapıldığını mı söylüyorsunuz? Bu doğru. Ancak, ilk olarak, elinizin altında olmayabilir ve ikincisi, büyük sayılarla 3. veya 4. mertebeden bir belirleyici verilirse, o zaman gerçekten düğmelere basmak istemeyeceksiniz.
ödev 3
Satırları ve sütunları çarpanlara ayırarak determinantı hesaplayın
Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir.
Birkaç daha faydalı kural:
Determinantın iki satırı (sütunları) orantılıysa
(özel bir durum olarak, bunlar aynıdır), o zaman bu determinant sıfıra eşittir
Burada birinci ve ikinci satırların karşılık gelen öğeleri orantılıdır:
Bazen niteleyici satırların lineer bağımlı... Determinantın değeri yer değiştirme sırasında değişmediğinden, sütunların doğrusal bağımlılığı da satırların doğrusal bağımlılığından çıkar.
Örnekte geometrik bir anlam koyabilirsiniz - çizgilerin koordinatlar içerdiğini varsayarsak vektörler uzay, o zaman orantılı koordinatlara sahip ilk iki vektör eşdoğrusal olacaktır, bu da üç vektörün hepsinin - lineer bağımlı, yani eş düzlemli.
Aşağıdaki örnekte, üç sütun orantılıdır (ve bu arada, üç satır da): 
Burada ikinci ve üçüncü sütunlar aynıdır, bu özel bir durumdur - orantı katsayısı bire eşit olduğunda
Listelenen özellikler pratikte kullanılabilir. Ancak unutmayın, artan bir bilgi seviyesi bazen cezalandırılabilir ;-) Bu nedenle, bu tür niteleyicileri olağan şekilde ortaya çıkarmak daha iyi olabilir (sıfır çıkacağını önceden bilerek).
bu not alınmalı bunun tersi genellikle doğru değildir- determinant sıfır ise, bundan henüz değil satırlarının (sütunlarının) orantılı olduğunu. Yani satırların/sütunların doğrusal ilişkisi açık olmayabilir.
Determinantın sıfır olduğu hemen söylendiğinde daha belirgin bir belirti de vardır:
Sıfır satır (sütun) ile determinant sıfıra eşittir
"Amatör" kontrolü basit, ilk sütun için determinantı açalım: 
Ancak, niteleyiciyi herhangi bir satır veya sütun için genişletirseniz sonuç değişmez.
İkinci bardak portakal suyunu sıkın:
Belirleyicilerin hangi özelliklerini bilmek yararlıdır?
1) Determinantın değeri aktarıldığında değişmez... Varlığı hatırlıyoruz.
2) Satırların (sütunların) herhangi bir ikili permütasyonu, determinantın işaretini tersine çevirir.... Ayrıca mülkü hatırlıyoruz ve karışıklığı önlemek için kullanmamaya çalışıyoruz.
3) Determinantın satırından (sütunundan) faktörü çıkarabilir (ve tekrar ekleyebilirsiniz)... Kârlı olduğu yerde kullanırız.
4) Determinantın satırları (sütunları) orantılıysa, sıfıra eşittir. Sıfır satırlı (sütunlu) determinant sıfırdır.
Ders boyunca, tekrar tekrar temel bir model gözlemlendi - bir satırda (sütun) ne kadar çok sıfır varsa, determinantı hesaplamak o kadar kolay olur. Soru ortaya çıkıyor, bir tür dönüşüm kullanarak bilerek sıfırları organize etmek mümkün mü? Olabilmek! Bir başka çok güçlü özellik ile tanışalım:
Determinantın sırasını düşürme
Daha önce çözmüşseniz çok iyi Gauss yöntemi ve çözme deneyimine sahip lineer denklem sistemleri bu şekilde. Aslında, aşağıda formüle edilen özellik, aşağıdakilerden birini kopyalar: temel dönüşümler.
İştahımızı açmak için küçük bir kurbağa ezelim: 
Belirleyici dizeye sıfır olmayan bir sayı ile çarpılan başka bir dize ekleyebilirsiniz. Bu durumda determinantın değeri değişmez.
Örnek: determinantta sol üstte sıfır alırız.
Bunun için ikinci satır zihinsel olarak veya taslakta 3 ile çarpın: (–3, 6) ve ilk satıra ikinci satırı 3 ile çarparak ekleyin:
sonucu yazıyoruz ilk satıra:
muayene: 
Şimdi aynı determinantta sağ altta sıfır alıyoruz. Bunun için ikinci satıra ilk satırı ekleyin, (zihinsel olarak) –2 ile çarpın):
sonucu yazıyoruz ikinci satıra:
Not: temel bir dönüşümle, değişiklikler TA ekleyerek hangi dize UT.
Sütunlar için yansıtılmış bir kural formüle edelim:
Sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılarak determinant sütununa başka bir sütun eklenebilir. Bu durumda determinantın değeri değişmez.
Bir hayvanı bacaklarından alın ve bu dönüşümü kullanarak sol üstte sıfır elde ederiz. Bunu zihinsel olarak veya bir taslakta yapmak için ikinci sütunu –3 ile çarparız: ve ikinci sütunu ilk sütuna ekleyin, –3 ile çarpın:
sonucu yazacağız ilk sütuna:
Ve son olarak, determinantta sağ altta sıfır alırız. Bunun için ikinci sütuna ilk sütunu ekliyoruz, (zihinsel olarak) 2 ile çarpıyoruz(bakın ve sağdan sola doğru sayın):
sonucu yerleştiriyoruz ikinci sütuna:
Temel bir dönüşümle, değişiklikler O ekleyerek sütunu UT.
Aşağıdaki örneği niteliksel olarak sindirmeye çalışın.
Büyümüş amfibiyi çorbaya gönderelim:
Zorluk şudur: determinantın sırasını düşürmek için temel dönüşümleri kullanma ikinci sıraya kadar.
Nereden başlamalı? İlk olarak, determinantta hedef sayıyı seçmeniz gerekir. Hedef neredeyse her zaman bir veya –1'dir. Belirleyiciye bakarız ve burada bir seçimin bile olduğunu fark ederiz. Öğenin hedef sayı olmasına izin verin: 
Not : çift aboneliğin anlamı makalede bulunabilir Cramer kuralı. matris yöntemi... V bu durumda eleman indeksleri bize ikinci satır, üçüncü sütunda yer aldığını söyler.
Buradaki fikir, üçüncü sütunda iki sıfır elde etmektir: 
Veya ikinci satırda iki sıfır alın: 
İkinci satır daha küçük sayılar içeriyor (altın kuralı unutmayın), bu yüzden onu almak daha karlı. Ve "hedef" numaralı üçüncü sütun değişmeden kalacaktır: 
Üçüncü sütunu ikinci sütuna ekleyin:
Hiçbir şeyi çoğaltmaya gerek yoktu.
Sonucu ikinci sütuna yazıyoruz: 
Üçüncü sütunu ilk sütuna ekleyin, (zihinsel olarak) –2 ile çarpın:
Sonucu ilk sütuna yazıyoruz, determinantı ikinci satır boyunca genişletiyoruz: 
Niteleyicinin sırasını nasıl düşürdük? İkinci satırda iki sıfır aldık.
Örneği ikinci şekilde çözelim, üçüncü sütundaki sıfırları sıralayalım: 
Hedef numarayı içeren ikinci satır değişmeden kalacaktır: 
İlk satıra, ikinci satırı (zihinsel olarak) –4 ile çarparak ekleyin: 
Üçüncü satıra, ikinci satırı (zihinsel olarak) 3 ile çarparak ekleyin. (bakın ve aşağıdan yukarıya doğru sayın):
Sonucu üçüncü satıra yazıyoruz, determinantı üçüncü sütuna göre genişletiyoruz: 
Bunu not et satırları veya sütunları yeniden düzenlemeye gerek yok... Temel dönüşümler hem soldan sağa hem de sağdan sola harika çalışır. Hem yukarıdan aşağıya hem de aşağıdan yukarıya.
4. Ödev
"Hedef" sayı olarak bir eleman seçerek aynı determinantı hesaplayın. Sırasını iki şekilde azaltın: ikinci satırda sıfır alarak ve ikinci sütunda sıfır alarak.
Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir. Eğitimin sonunda eksiksiz çözüm ve kısa yorumlar.
Bazen tanımlayıcıda bir birim veya -1 eksik olabilir, örneğin:. Bu durumda, “hedef” ek bir temel dönüşüm kullanılarak düzenlenmelidir. Bu, çoğu zaman birkaç yolla yapılabilir. Örneğin: ilk satıra -1 ile çarpılan ikinci satırı ekleyin: 
Sonucu ilk satıra yazıyoruz: 
! Dikkat : GEREK YOK ilk satırdan çıkarmak ikinci satırda, bu hata olasılığını büyük ölçüde artırır. Sadece ekle! Bu nedenle, ilk satıra -1 ile çarpılan ikinci satırı ekliyoruz. Aynen öyle!
Birim alındı, bu da elde edilmesi gereken şeydi. Sonra ilk satırda veya ilk sütunda iki sıfır alabilirsiniz. İlgilenenler çözümü takip edebilir (doğru cevap: –176).
Hazır bir "hedefin" çoğunlukla orijinal determinantta bulunduğuna ve 4. dereceden ve daha yüksek bir determinant için ek bir dönüşümün son derece olası olmadığına dikkat edilmelidir.
Birkaç büyük kurbağayı gulaş şeklinde doğrayalım:
Görev
Çöz sistemi lineer denklemler Cramer formülleri ile 
Tanışmak için zamanın olmadıysa sorun değil Cramer yöntemi, bu durumda, “dörde dörde” determinantının sırasının nasıl azaldığını basitçe görebilirsiniz. Ve kararın gidişatına biraz daha derine inerseniz, kuralın kendisi netleşecektir.
Çözüm: ilk hesapla ana belirleyici sistemler: 
Bu determinantı satır veya sütun bazında genişleterek standart yoldan gitmek mümkündür. İlk dersin algoritmasını hatırlayarak ve benim tarafımdan icat edilen işaret matrisini kullanarak, örneğin "klasik" ilk satıra göre determinantı ortaya çıkaracağız:
Coşkunuzu göremiyorum =) Tabii ki on dakika oturabilir ve dikkatli ve dikkatli bir şekilde doğru cevabı doğurabilirsiniz. Ancak sorun şu ki, gelecekte dördüncü mertebenin 4 belirleyicisini daha hesaplamak gerekiyor. Bu nedenle, tek makul çıkış yolu determinantın sırasını düşürmektir.
Determinantta birçok birim var ve bizim görevimiz seçim yapmak. en iyi yol... Altın kuralı hatırlıyoruz: Bir satırda (sütun) daha fazla sıfır ve daha az sayı olmalıdır. Bu nedenle ikinci satır veya dördüncü sütun uygundur. Dördüncü sütun daha çekici görünüyor, ayrıca iki birim var. Öğeyi "hedef" olarak seçiyoruz: 
İlk satır değişmeyecek. Ve ikincisi de - zaten gerekli sıfır var: 
-1 ile çarpılan ilk satırı üçüncü satıra ekleyin (bakın ve aşağıdan yukarıya doğru sayın):
! tekrar dikkat : Gerek yoküçüncü satırdan çıkarmakİlk satır. Sadece ekle!
Sonucu üçüncü satıra yazıyoruz: 
3 ile çarpılan ilk satırı dördüncü satıra ekleyin (bakın ve aşağıdan yukarıya doğru sayın):
Sonucu dördüncü satıra yazıyoruz: 
(1) Dördüncü sütun için determinantı genişletin. Öğeye bir "eksi" eklemeniz gerektiğini unutmayın (işaret matrisine bakın).
(2) Niteleyicinin sıralaması 3. sıraya düşürülür. Prensip olarak, satır (sütun) tarafından ayrıştırılabilir, ancak determinantın özelliklerini çözmek daha iyidir. İkinci satıra bir eksi ekliyoruz.
(3) 3 ile çarpılan ilk satırı ikinci satıra, 7 ile çarpılan ilk satırı üçüncü satıra ekleyin.
(4) Determinantı ikinci sütunla genişletin, böylece sırasını daha da ikiye indirin.
Çözümün nasıl daraldığına dikkat edin! Ana şey, temel dönüşümler hakkında "biraz yardım almak" ve böyle bir fırsat şu anda kendini gösterecek. Ek olarak, belirleyicileri hesaplayan bir hesap makineniz var (özellikle sayfada bulunabilir). Matematiksel formüller ve tablolar). Hesap makinesi yardımıyla gerçekleştirilen eylemleri kontrol etmek kolaydır. Bir niteleyici var 
ilk adımda - ve hemen orijinal belirleyiciye eşit olup olmadığını kontrol edin.
(1) Determinantı üçüncü satırla genişletin. Niteleyici sıralama üçe düşürüldü.
(2) İlk sütuna bir "eksi" giriyoruz.
(3) İlk satırı 3 ile çarpıp ikinci satıra, ilk satırı 5 ile çarpıp üçüncü satıra ekleyin.
(4) Determinantın sırasını ikiye indirerek determinantı ikinci sütunla genişletin.
Bizimle harika oluyor karmaşıköğle yemeği ve tatlı zamanı: 
Artık bir kurbağa bile değil, Godzilla'nın kendisi. Hazırlanmış bir bardak portakal suyunu alalım ve determinantın mertebesinin nasıl düşürüldüğünü görelim. Algoritma bence açık: Beşinci sıradan dördüncüye, dördüncüden üçüncüye ve üçüncüden ikinciye indiriyoruz:
(1) İkinci satırı birinci, üçüncü, dördüncü ve beşinci satırlara ekleyin.
(2) 3. sütun için determinantı genişletin. Eleme sırası dörde düştü.
(3) 4. sütun 2'den çıkarıyoruz. İlk satır -1 ile çarpılır ve determinantın değişmemesi için önüne "eksi" koyarız. Bu dönüşüm daha fazla hesaplamayı basitleştirmek için yapılır.
(4) Birinci satırı ikinci ve üçüncü satırlara ekleyin. Dördüncü satıra 3 ile çarpılan ilk satırı ekleyin.
(5) 4. sütun için determinantı genişletin. Sıralama üçe düşürüldü.
(6) 2. sütun için determinantı genişletin. Sipariş ikiye indirildi.
(7) 1. sütundan "eksi" yi çıkarıyoruz.
Her şey göründüğünden daha kolay çıktı, tüm canavarların zayıf noktaları var!
Yorulmak bilmeyen okuyucular, beşinci mertebenin determinantını başka bir şekilde çözmeye çalışabilirler, neyse ki içinde sadece birkaç tane var.
İkinci sütun birinci sütuna eklendi, 2 ile çarpıldı. İkinci sütun üçüncü sütuna eklendi. Niteleyici ikinci satırda genişletildi.
İkinci sütunda sıfır alarak determinantın sırasını düşürelim:
–2 ile çarpılan ikinci satır ilk satıra eklendi. İkinci satır, üçüncü satıra eklendi, 2 ile çarpıldı. İkinci sütunda anahtar açıldı.
Ödev 5: Çözüm:
(1) İlk satıra 3 ile çarpılan üçüncü satırı ekleyin, ikinci satıra 5 ile çarpılan üçüncü satırı ekleyin, 4. satıra 2 ile çarpı üçüncü satırı ekleyin.
(2) İlk sütun için determinantı genişletin.
(3) Üçüncü sütun çarpı 9'u ikinci sütuna ekleyin Üçüncü sütunu birinci sütuna ekleyin.
(4) Determinantı üçüncü satırla genişletin.
(1) İkinci sütunu ilk sütuna ekleyin. İkinci sütunu üçüncü sütuna ekleyin
(2) Determinantı üçüncü satırla genişletin.
(3) İlk satıra "eksi" koyarız.
(4) İlk satırı 6 ile çarpıp ikinci satıra ekleyin İlk satırı üçüncü satıra ekleyin
(5) İlk sütun için determinantı genişletin.
Genel durumda, $ n $ -th sırasının belirleyicilerini hesaplama kuralı oldukça zahmetlidir. İkinci ve üçüncü derecenin belirleyicileri için onları hesaplamanın rasyonel yolları vardır.
İkinci dereceden belirleyicilerin hesaplanması
İkinci dereceden bir matrisin determinantını hesaplamak için, ikincil köşegenin elemanlarının çarpımını ana köşegenin elemanlarının ürününden çıkarın:
$$ \ sol | \ başlangıç (dizi) (ll) (a_ (11) & (a_ (12)) \\ (a_ (21)) & (a_ (22))) \ bitiş (dizi) \ sağ | = a_ (11) \ cdot a_ (22) -a_ (12) \ cdot a_ (21) $$
Örnek
Egzersiz yapmak.İkinci dereceden determinantı hesaplayın $ \ left | \ başlangıç (dizi) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ bitiş (dizi) \ sağ | $
Çözüm.$ \ sol | \ start (dizi) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ end (dizi) \ sağ | = 11 \ cdot 5 - (- 2) \ cdot 7 = 55 + 14 = 69 $
Yanıt vermek.$ \ sol | \ başlangıç (dizi) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ bitiş (dizi) \ sağ | = 69 $
Üçüncü dereceden belirleyicileri hesaplama yöntemleri
Üçüncü mertebenin belirleyicilerinin hesaplanması için böyle kurallar vardır.
üçgen kuralı
Şematik olarak, bu kural aşağıdaki gibi gösterilebilir:
Düz çizgilerle bağlanan birinci determinanttaki elemanların çarpımı artı işaretiyle alınır; benzer şekilde, ikinci determinant için karşılık gelen ürünler eksi işaretiyle alınır, yani.
$$ \ sol | \ start (dizi) (ccc) (a_ (11)) & (a_ (12)) & (a_ (13)) \\ (a_ (21))) & (a_ (22))) & (a_ (23))) \\ (a_ (31)) & (a_ (32)) & (a_ (33)) \ end (dizi) \ sağ | = a_ (11) a_ (22) a_ (33) + a_ (12) a_ ( 23) a_ (31) + a_ (13) a_ (21) a_ (32) - $$
$$ - a_ (11) a_ (23) a_ (32) -a_ (12) a_ (21) a_ (33) -a_ (13) a_ (22) a_ (31) $$
Örnek
Egzersiz yapmak. Determinantı hesapla $ \ left | \ start (dizi) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ end (dizi) \ sağ | $ üçgen yöntemini kullanarak.
Çözüm.$ \ sol | \ start (dizi) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ end (dizi) \ sağ | = 3 \ cdot 1 \ cdot (-2) +4 \ cdot (-2) \ cdot (-1) + $
$$ + 3 \ cdot 3 \ cdot 1 - (- 1) \ cdot 1 \ cdot 1-3 \ cdot (-2) \ cdot 3-4 \ cdot 3 \ cdot (-2) = 54 $$
Yanıt vermek.
Sarrus kuralı
Determinantın sağına ilk iki sütun eklenir ve ana köşegen ve ona paralel köşegenler üzerindeki elemanların çarpımları artı işaretiyle alınır; ve yan köşegen ve ona paralel olan köşegenlerin elemanlarının ürünleri, eksi işaretiyle:
$$ - a_ (13) a_ (22) a_ (31) -a_ (11) a_ (23) a_ (32) -a_ (12) a_ (21) a_ (33) $$
Örnek
Egzersiz yapmak. Determinantı hesapla $ \ left | \ start (dizi) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ end (dizi) \ sağ | $ Sarrus kuralı kullanılarak.
Çözüm. 
$$ + (- 1) \ cdot 4 \ cdot (-2) - (- 1) \ cdot 1 \ cdot 1-3 \ cdot 3 \ cdot (-2) -3 \ cdot 4 \ cdot (-2) = 54 $$
Yanıt vermek.$ \ sol | \ start (dizi) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ end (dizi) \ sağ | = 54 $
Bir determinantın satır veya sütuna göre ayrıştırılması
Determinant, determinant dizisinin elemanlarının cebirsel tümleyenleri ile çarpımlarının toplamına eşittir. Genellikle sıfırların bulunduğu satırı / sütunu seçin. Ayrıştırmanın gerçekleştirildiği satır veya sütun bir okla gösterilecektir.
Örnek
Egzersiz yapmak.İlk satırı genişleterek, $ \ left determinantını hesaplayın | \ start (dizi) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ end (dizi) \ sağ | $
Çözüm.$ \ sol | \ start (dizi) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ end (dizi) \ sağ | \ leftarrow = a_ (11) \ cdot A_ (11) + a_ (12) \ cdot A_ (12) + a_ (13) \ cdot A_ (13) = $
$ 1 \ cdot (-1) ^ (1 + 1) \ cdot \ sol | \ başlangıç (dizi) (cc) (5) & (6) \\ (8) & (9) \ bitiş (dizi) \ sağ | +2 \ cdot (-1) ^ (1 + 2) \ cdot \ sol | \ başlangıç (dizi) (cc) (4) & (6) \\ (7) & (9) \ bitiş (dizi) \ sağ | +3 \ cdot (-1) ^ (1 + 3) \ cdot \ sol | \ başlangıç (dizi) (cc) (4) & (5) \\ (7) & (8) \ bitiş (dizi) \ sağ | = -3 + 12-9 = 0 $
Yanıt vermek.
Bu yöntem, bir determinantın hesaplanmasının daha düşük dereceli bir determinantın hesaplanmasına indirgenmesine izin verir.
Örnek
Egzersiz yapmak. Determinantı hesapla $ \ left | \ start (dizi) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ end (dizi) \ sağ | $
Çözüm. Determinantın satırlarında aşağıdaki dönüşümleri yapalım: ikinci satırdan ilk dördü çıkarın ve üçüncü satırdan ilk satırı yedi ile çarpın, sonuç olarak determinantın özelliklerine göre determinantı eşit alıyoruz. verilen.
$$ \ sol | \ başlangıç (dizi) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ bitiş (dizi) \ sağ | = \ sol | \ start (dizi) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (4-4 \ cdot 1) & (5-4 \ cdot 2) & (6-4 \ cdot 3) \\ ( 7-7 \ cdot 1) & (8-7 \ cdot 2) & (9-7 \ cdot 3) \ bitiş (dizi) \ sağ | = $$
$$ = \ sol | \ başlangıç (dizi) (rrr) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12) \ bitiş (dizi) \ sağ | = \ sol | \ start (dizi) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \ cdot (-3)) & (2 \ cdot (-6)) \ bitiş (dizi) \ sağ | = 0 $$
Determinant sıfırdır çünkü ikinci ve üçüncü doğrular orantılıdır.
Yanıt vermek.$ \ sol | \ start (dizi) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ end (dizi) \ sağ | = 0 $
Dördüncü mertebe ve daha yüksek determinantları hesaplamak için ya satır/sütun açılımı, ya da üçgen biçime indirgeme ya da Laplace teoremi kullanılır.
Bir determinantın satır veya sütun elemanlarına göre ayrıştırılması
Örnek
Egzersiz yapmak. Determinantı hesapla $ \ left | \ start (dizi) (llll) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ end (dizi) \ right | $, onu bir satır veya bir sütunun öğelerine genişleterek.
Çözüm.İlk olarak, determinantın satırlarında ya satırda ya da sütunda mümkün olduğu kadar çok sıfır yaparak elementer dönüşümler yapalım. Bunu yapmak için, önce ilk satırdan üçte dokuzu, ikinciden üçte beşini ve dördüncüden üçüncü satırı çıkarın, şunu elde ederiz:
$$ \ sol | \ başla (dizi) (cccc) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ end (dizi) \ sağ | = \ sol | \ start (dizi) (cccc) (9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ bitiş (dizi) \ sağ | = \ sol | \ başlangıç (dizi) (rrrr) (0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ end (dizi) \ sağ | $$
Ortaya çıkan determinant, ilk sütunun öğeleri tarafından ayrıştırılır:
$$ \ sol | \ başlangıç (dizi) (rrrr) (0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ end (dizi) \ sağ | = 0 + 0 + 1 \ cdot (-1) ^ ( 3 + 1) \ cdot \ sol | \ başlangıç (dizi) (rrr) (8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0) \ bitiş (dizi) \ sağ | + 0 $$
Üçüncü mertebenin elde edilen determinantı, örneğin ilk sütunda daha önce sıfırları elde eden satır ve sütun elemanları açısından da genişletilir. Bunu yapmak için, ikinci iki satırı ilk satırdan ve ikincisini üçüncü satırdan çıkarın:
$$ \ sol | \ başlangıç (dizi) (rrr) (8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0) \ bitiş (dizi) \ sağ | = \ sol | \ başlangıç (dizi) (rrr) (0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8) \ bitiş ( dizi) \ sağ | = 4 \ cdot (-1) ^ (2 + 2) \ cdot \ sol | \ başlangıç (dizi) (ll) (2) ve (4) \\ (4) ve (8) \ bitiş (dizi) \ sağ | = $$
$$ = 4 \ cdot (2 \ cdot 8-4 \ cdot 4) = 0 $$
Yanıt vermek.$ \ sol | \ başla (dizi) (cccc) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ end (dizi) \ sağ | = 0 $
Yorum Yap
Son ve sondan bir önceki belirleyiciler hesaplanamazdı, ancak orantısal diziler içerdiklerinden hemen sıfıra eşit oldukları sonucuna varıldı.
Determinantın üçgen forma indirgenmesi
Satır veya sütunlar üzerindeki elemanter dönüşümlerin yardımıyla, determinant üçgen bir forma indirgenir ve daha sonra determinantın özelliklerine göre değeri, ana köşegen üzerindeki elemanların ürününe eşittir.
Örnek
Egzersiz yapmak.$ \ Delta = \ left determinantını hesaplayın | \ start (dizi) (rrrr) (- 2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3) \ end (dizi) \ right | $ üçgen yaparak.
Çözüm.İlk önce ana köşegenin altındaki ilk sütunda sıfırlar yapıyoruz. $ a_ (11) $ öğesi 1'e eşitse tüm dönüşümler daha kolay olacaktır. Bunu yapmak için, determinantın özelliklerine göre gerçeğe yol açacak olan determinantın birinci ve ikinci sütunlarını değiştireceğiz. işaretini tam tersine değiştireceğini:
$$ \ Delta = \ sol | \ start (dizi) (rrrr) (- 2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3) \ end (dizi) \ sağ | = - \ sol | \ start (dizi) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3) \ end (dizi) \ sağ | $$
$$ \ Delta = - \ sol | \ başla (dizi) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1) \ end (dizi) \ sağ | $$
Ardından, ikinci sütunda ana köşegenin altındaki öğelerin yerine sıfırlar alıyoruz. Yine diyagonal eleman $\pm 1 $'a eşit ise hesaplamalar daha kolay olacaktır. Bunu yapmak için ikinci ve üçüncü satırları değiştiririz (ve aynı zamanda determinantın zıt işaretini değiştiririz):
$$ \ Delta = \ sol | \ başla (dizi) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1) \ end (dizi) \ sağ | $$
ÖZELLİK 1. Tüm satırları sütunlarla değiştirilirse ve her satır aynı numaralı bir sütunla değiştirilirse, determinantın değeri değişmeyecektir, yani
ÖZELLİK 2. Bir determinantın iki sütununun veya iki satırının permütasyonu, onu -1 ile çarpmaya eşdeğerdir. Örneğin,
.
ÖZELLİK 3. Determinantın iki özdeş sütunu veya iki özdeş satırı varsa, o zaman sıfıra eşittir.
ÖZELLİK 4. Determinantın bir sütununun veya bir satırının tüm elemanlarının herhangi bir k sayısıyla çarpımı, determinantı bu k sayısıyla çarpmaya eşdeğerdir. Örneğin,
.
ÖZELLİK 5. Bir sütunun veya bir satırın tüm öğeleri sıfıra eşitse, determinantın kendisi sıfıra eşittir. Bu özellik özel durumönceki (k = 0 için).
ÖZELLİK 6. Bir determinantın iki sütununun veya iki satırının karşılık gelen öğeleri orantılıysa, determinant sıfırdır.
ÖZELLİK 7. Determinantın n'inci sütununun veya n'inci satırının her bir elemanı iki terimin toplamıysa, determinant, biri n'inci sütunda veya sırasıyla, n-inci satırda, belirtilen terimlerden birincisi ve ikincisi - ikincisi; kalan yerlerdeki unsurlar, üç belirleyicinin kilometre taşları için aynıdır. Örneğin,
ÖZELLİK 8. Bir sütunun (veya bir satırın) öğelerine, başka bir sütunun (veya başka bir satırın) karşılık gelen öğelerini herhangi bir ortak faktörle çarparak eklersek, determinantın değeri değişmez. Örneğin,
.
Determinantların diğer özellikleri, cebirsel tamamlayıcı ve küçük kavramıyla ilgilidir. Belirli bir elemanın küçüğü, belirli bir elemandan, bu elemanın kesiştiği bir satır ve bir sütun silinerek elde edilen bir belirleyicidir.
Belirleyicinin herhangi bir elemanının cebirsel tümleyeni, elemanın kesiştiği noktadaki satır ve sütunun sayılarının toplamı çift bir sayı ise, bu elemanın kendi işaretiyle alınan küçük değerine eşittir ve bu sayı tek ise zıt işaretli.
Bir elemanın cebirsel tümleyenini, elemanın kendisini belirten harfle aynı isimde ve aynı sayıda büyük harfle göstereceğiz.
ÖZELLİK 9. Belirleyici
herhangi bir sütunun (veya satırın) elemanlarının cebirsel tümleyenleri ile çarpımlarının toplamına eşittir.
Başka bir deyişle, aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:
, ,
, .
6) Küçükler ve cebirsel eklemeler.
Tanım. Determinantın küçük elemanı th'dir. Emir arandı belirleyici- verilenden elde edilen inci sıra belirleyici elemanın kesiştiği yerde -th satırını ve -th sütununu geçerek.
Tanım:.
Tanım. Düzenin determinantının bir elemanının cebirsel tümleyeni, çift sayı ise artı işaretiyle, aksi halde eksi işaretiyle alındığında küçük olarak adlandırılır.
Tanım:.
Teorem. (Determinantın genişlemesi üzerine.)
Determinant, determinantın herhangi bir satırının (veya herhangi bir sütununun) elemanlarının cebirsel tümleyenleri ile çarpımlarının toplamına eşittir:
7) ters matris- çok matris A −1 , bununla çarpıldığında, orijinal matris A sonuçlanır kimlik matrisi E:
Kare matris ancak ve ancak dejenere değilse, yani kendi belirleyici sıfır değil. Kare olmayan matrisler için ve dejenere matrisler ters matris yoktur. Ancak bu kavramı genelleştirmek ve tanıtmak mümkündür. sözde ters matrisler, birçok özellikte tersine benzer.
8)matris sıralaması- siparişlerin en yükseği küçükler bu sıfır olmayan matrisin
Genellikle bir matrisin sırası () veya ile gösterilir. Her iki atama da bize yabancı dillerden geldi, bu nedenle her ikisi de kullanılabilir.
Özellikler
Teorem (temel minör üzerinde): r = rang A M, A matrisinin temel minörü olsun, o zaman:
taban sıraları ve taban sütunları lineer olarak bağımsızdır;
A matrisinin herhangi bir satırı (sütun), temel satırların (sütunların) doğrusal bir birleşimidir.
Standart bir yüksek matematik dersinde belirleyicileri hesaplamak için yaygın olarak kullanılan özellikler şunlardır. Bu, gerektiğinde diğer bölümlerden bahsedeceğimiz ikincil bir konudur.
Öyleyse, belirli bir kare matris $ A_ (n \ çarpı n) = \ left (\ startup (dizi) (cccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1n) \\ a_ (21) olsun & a_ (22) & \ ldots & a_ (2n) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ a_ (n1) & a_ (n2) & \ ldots & a_ (nn) \\ \ end ( dizi) \ sağ) $. Her kare matrisin determinant (veya determinant) adı verilen bir özelliği vardır. Burada bu kavramın özüne girmeyeceğim. Açıklama gerektiriyorsa, forumdaki aboneliğinizi iptal etmenizi rica ediyorum ve dokunacağım. bu konu daha ayrıntılı olarak.
$ A $ matrisinin determinantı $ \ Delta A $, $ | A | $ veya $ \ det A $ olarak gösterilir. determinant sırası içindeki satır (sütun) sayısına eşittir.
- Satırları karşılık gelen sütunlarla değiştirilirse, determinantın değeri değişmeyecektir, yani. $ \ Delta A = \ Delta A ^ T $.
göster \ gizle
İçindeki satırları sütunlarla değiştirelim şu ilkeye göre: "ilk satır vardı - ilk sütun oldu", "ikinci satır vardı - ikinci sütun oldu":
Ortaya çıkan determinantı hesaplayalım: $ \ left | \ start (dizi) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \ end (dizi) \ sağ | = 2 \ cdot 4-9 \ cdot 5 = -37 $. Gördüğünüz gibi, determinantın değeri değiştirmeden değişmedi.
- Determinantın iki satırını (sütunlarını) değiştirirseniz, determinantın işareti tam tersine değişecektir.
Bu özelliğin kullanımına bir örnek: show \ hide
$ \ left | \ start (dizi) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \ end (dizi) \ sağ | $. İkinci ve üçüncü derecelerin belirleyicilerini hesaplama konusundan 1 numaralı formülü kullanarak değerini bulalım:
$$ \ sol | \ start (dizi) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \ end (dizi) \ sağ | = 2 \ cdot 4-5 \ cdot 9 = -37. $$
Şimdi birinci ve ikinci satırları değiştirelim. $ \ left determinantını alıyoruz | \ start (dizi) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \ end (dizi) \ sağ | $. Ortaya çıkan determinantı hesaplayalım: $ \ left | \ start (dizi) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \ end (dizi) \ sağ | = 9 \ cdot 5-4 \ cdot 2 = 37 $. Böylece, orijinal determinantın değeri (-37) idi ve değişen satır sırasına sahip determinant $ - (- 37) = 37 $ değerine sahip. Tanımlayıcı işareti tersine değişti.
- Bir satırın (sütun) tüm öğelerinin sıfıra eşit olduğu bir determinant, sıfıra eşittir.
Bu özelliğin kullanımına bir örnek: show \ hide
Determinant olduğu için $ \ left | \ start (dizi) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 0 \\ 2 & -3 & 0 \ end (dizi) \ right | $ üçüncü sütunun tüm elemanları sıfıra eşittir, o zaman determinant sıfıra eşittir, yani. $ \ sol | \ start (dizi) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 0 \\ 2 & -3 & 0 \ end (dizi) \ sağ | = 0 $.
- Belirli bir satırın (sütun) tüm öğelerinin, başka bir satırın (sütun) karşılık gelen öğelerine eşit olduğu bir belirleyici sıfıra eşittir.
Bu özelliğin kullanımına bir örnek: show \ hide
Determinant olduğu için $ \ left | \ start (dizi) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -7 & 10 & 0 \\ 2 & -3 & 18 \ end (dizi) \ right | $ ilk satırın tüm elemanları karşılık gelenlere eşittir ikinci satırın elemanları, daha sonra determinant sıfırdır, yani. $ \ sol | \ start (dizi) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -7 & 10 & 0 \\ 2 & -3 & 18 \ end (dizi) \ sağ | = 0 $.
- Bir determinantta, bir satırın (sütun) tüm öğeleri, başka bir satırın (sütun) karşılık gelen öğeleriyle orantılıysa, böyle bir determinant sıfıra eşittir.
Bu özelliğin kullanımına bir örnek: show \ hide
Determinant olduğu için $ \ left | \ start (dizi) (ccc) -7 & 10 & 28 \\ 5 & -3 & 0 \\ -15 & 9 & 0 \ end (dizi) \ right | $ ikinci ve üçüncü satırlar orantılıdır, yani. $ r_3 = -3 \ cdot (r_2) $, o zaman determinant sıfırdır, yani. $ \ sol | \ start (dizi) (ccc) -7 & 10 & 28 \\ 5 & -3 & 0 \\ -15 & 9 & 0 \ end (dizi) \ sağ | = 0 $.
- Bir satırın (sütun) tüm öğelerinin ortak bir çarpanı varsa, bu faktör determinantın işaretinden çıkarılabilir.
Bu özelliğin kullanımına bir örnek: show \ hide
$ \ left | \ start (dizi) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \ end (dizi) \ sağ | $. İkinci satırın tüm öğelerinin 3'e bölünebildiğine dikkat edin:
$$ \ sol | \ start (dizi) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \ end (dizi) \ sağ | = \ sol | \ start (dizi) (cc) -7 & 10 \\ 3 \ cdot (-3) & 3 \ cdot 7 \ end (dizi) \ sağ | $$
3 sayısı ikinci sıradaki tüm elemanların ortak çarpanıdır. Belirleyici işaret için üçünü çıkaralım:
$$ \ sol | \ başlangıç (dizi) (cc) -7 ve 10 \\ -9 ve 21 \ bitiş (dizi) \ sağ | = \ sol | \ start (dizi) (cc) -7 & 10 \\ 3 \ cdot (-3) & 3 \ cdot 7 \ end (dizi) \ sağ | = 3 \ cdot \ sol | \ başlangıç (dizi) (cc) -7 ve 10 \\ -3 ve 7 \ bitiş (dizi) \ sağ | $$
- Belirli bir satırın (sütun) tüm öğelerine, rastgele bir sayı ile çarpılarak başka bir satırın (sütun) karşılık gelen öğelerini eklersek, determinant değişmeyecektir.
Bu özelliğin kullanımına bir örnek: show \ hide
$ \ left | \ start (dizi) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ end (dizi) \ sağ | $. İkinci satırın elemanlarına üçüncü satırın karşılık gelen elemanlarını 5 ile çarparak ekleyelim. Bu işlem şu şekilde yazılır: $ r_2 + 5 \ cdot (r_3) $. İkinci satır değiştirilecek, kalan satırlar değişmeden kalacak.
$$ \ sol | \ start (dizi) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ end (dizi) \ sağ | \ başlangıç (dizi) (l) \ hayalet (0) \\ r_2 + 5 \ cdot (r_3) \\ \ hayalet (0) \ bitiş (dizi) = \ sol | \ start (dizi) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 + 5 \ cdot 2 & 21 + 5 \ cdot (-3) & 4 + 5 \ cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \ end (dizi) \ sağ | = \ sol | \ start (dizi) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \ end (dizi) \ sağ |. $$
- Determinanttaki belirli bir satır (sütun) diğer satırların (sütunların) doğrusal bir kombinasyonunu içeriyorsa, determinant sıfıra eşittir.
Bu özelliğin kullanımına bir örnek: show \ hide
"Doğrusal kombinasyon" ifadesinin ne anlama geldiğini hemen açıklayayım. Satırlarımız (veya sütunlarımız) olduğunu varsayalım: $ A_1 $, $ A_2 $, ..., $ A_s $. İfade
$$ k_1 \ cdot A_1 + k_2 \ cdot A_2 + \ ldots + k_s \ cdot A_s, $$
burada $ k_i \ R $'da satırların (sütunların) doğrusal bir kombinasyonu olarak adlandırılır $ A_1 $, $ A_2 $, ..., $ A_s $.
Örneğin, aşağıdaki belirleyiciyi göz önünde bulundurun:
$$ \ sol | \ başla (dizi) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0 \\ -2 & -4 & -5 & 1 \\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \ bitiş (dizi) \ sağ | $$
Bu niteleyicide dördüncü satır, ilk üç satırın doğrusal bir birleşimi olarak ifade edilebilir:
$$ r_4 = 2 \ cdot (r_1) +3 \ cdot (r_2) -r_3 $$
Bu nedenle, söz konusu determinant sıfıra eşittir.
- Determinantın belirli bir kth satırının (kth sütunu) her bir öğesi iki terimin toplamına eşitse, bu determinant, ilki kth satırında olan determinantların toplamına eşittir ( k. sütun) ilk terimleri içerir ve ikinci determinant ikinci terimleri k. satırda (k. sütun) içerir. Bu niteleyicilerin diğer unsurları aynıdır.
Bu özelliğin kullanımına bir örnek: show \ hide
$ \ left | \ start (dizi) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ end (dizi) \ sağ | $. İkinci sütunun elemanlarını şöyle yazalım: $ \ left | \ start (dizi) (ccc) -7 & 3 + 7 & 0 \\ -9 & 21 + 0 & 4 \\ 2 & 5 + (- 8) & 1 \ end (dizi) \ sağ | $. O zaman böyle bir determinant, iki determinantın toplamına eşittir:
$$ \ sol | \ başlangıç (dizi) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ end (dizi) \ sağ | = \ sol | \ start (dizi) (ccc) -7 & 3 + 7 & 0 \\ -9 & 21 + 0 & 4 \\ 2 & 5 + (- 8) & 1 \ end (dizi) \ sağ | = \ sol | \ başlangıç (dizi) (ccc) -7 & 3 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \ end (dizi) \ sağ | + \ sol | \ başlangıç (dizi) (ccc) -7 & 7 & 0 \\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \ end (dizi) \ sağ | $$
- Aynı sıradaki iki kare matrisin çarpımının determinantı, bu matrislerin determinantlarının çarpımına eşittir, yani. $ \ det (A \ cdot B) = \ det A \ cdot \ det B $. Bu kuraldan şu formülü elde edebilirsiniz: $ \ det \ left (A ^ n \ right) = \ left (\ det A \ sağ) ^ n $.
- $ A $ matrisi dejenere değilse (yani determinantı sıfır değilse), o zaman $ \ det \ left (A ^ (- 1) \ right) = \ frac (1) (\ det A) $.
Belirleyicileri hesaplamak için formüller
İkinci ve üçüncü derecelerin belirleyicileri için aşağıdaki formüller geçerlidir:
\ başla (denklem) \ Delta A = \ sol | \ başlangıç (dizi) (cc) a_ (11) & a_ (12) \\ a_ (21) & a_ (22) \ bitiş (dizi) \ sağ | = a_ (11) \ cdot a_ (22) -a_ ( 12) \ cdot a_ (21) \ bitiş (denklem) \ başlangıç (denklem) \ başlangıç (hizalı) & \ Delta A = \ sol | \ başlangıç (dizi) (ccc) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) \\ a_ (21) & a_ (22) & a_ (23) \\ a_ (31) & a_ (32) & a_ (33) \ uç (dizi) \ sağ | = a_ (11) \ cdot a_ (22) \ cdot a_ (33) + a_ (12) \ cdot a_ (23) \ cdot a_ (31) + a_ (21 ) \ cdot a_ (32) \ cdot a_ (13) - \\ & -a_ (13) \ cdot a_ (22) \ cdot a_ (31) -a_ (12) \ cdot a_ (21) \ cdot a_ (33 ) -a_ (23) \ cdot a_ (32) \ cdot a_ (11) \ bitiş (hizalanmış) \ bitiş (denklem)
Formül (1) ve (2)'yi kullanma örnekleri "İkinci ve üçüncü mertebeden determinantları hesaplamak için formüller. Determinantları hesaplama örnekleri" konusundadır.
$ A_ (n \ çarpı n) $ matrisinin determinantı şu şekilde genişletilebilir: i. satır aşağıdaki formülü kullanarak:
\ başlangıç (denklem) \ Delta A = \ toplam \ limitler_ (j = 1) ^ (n) a_ (ij) A_ (ij) = a_ (i1) A_ (i1) + a_ (i2) A_ (i2) + \ ldots + a_ (inç) A_ (inç) \ end (denklem)
Sütunlar için bu formülün bir benzeri de mevcuttur. j-th sütunundaki determinantı genişletme formülü aşağıdaki gibidir:
\ başlangıç (denklem) \ Delta A = \ toplam \ limitler_ (i = 1) ^ (n) a_ (ij) A_ (ij) = a_ (1j) A_ (1j) + a_ (2j) A_ (2j) + \ ldots + a_ (nj) A_ (nj) \ end (denklem)
Formül (3) ve (4) ile ifade edilen kurallar, örneklerle ayrıntılı olarak gösterilmiş ve Bir determinantın sırasını azaltma konusunda açıklanmıştır. Determinantın satıra (sütun) göre ayrıştırılması.
Üst üçgen ve alt üçgen matrislerin determinantlarını hesaplamak için bir formül daha belirtelim (bu terimlerin açıklaması için "Matrisler. Matris türleri. Temel terimler" konusuna bakın). Böyle bir matrisin determinantı, ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir. Örnekler:
\ başla (hizalanmış) & \ sol | \ başlangıç (dizi) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \ end (dizi) \ sağ | = 2 \ cdot 9 \ cdot 4 \ cdot (-6) = - 432. \\ & \ sol | \ start (dizi) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \ end (dizi) \ sağ | = -3 \ cdot 0 \ cdot 1 \ cdot 10 = 0. \ bitiş (hizalanmış)
