Noktadan noktaya mesafe belirli bir ölçekte bu noktaları birleştiren doğru parçasının uzunluğudur. Bu nedenle mesafe ölçümü söz konusu olduğunda ölçümün yapılacağı ölçeği (uzunluk birimi) bilmeniz gerekir. Bu nedenle, noktadan noktaya mesafeyi bulma problemi genellikle bir koordinat çizgisi üzerinde veya bir düzlem üzerinde veya üç boyutlu uzayda dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sisteminde ele alınır. Başka bir deyişle, çoğu zaman noktalar arasındaki mesafeyi koordinatlarını kullanarak hesaplamanız gerekir.

Bu yazımızda öncelikle koordinat doğrusu üzerinde bir noktadan diğerine uzaklığın nasıl belirlendiğini hatırlatacağız. Daha sonra, bir düzlemin veya uzayın iki noktası arasındaki mesafeyi verilen koordinatlara göre hesaplamak için formüller elde ederiz. Sonuç olarak, tipik örneklerin ve sorunların çözümlerini ayrıntılı olarak ele alacağız.

Sayfada gezinme.

Koordinat çizgisi üzerindeki iki nokta arasındaki mesafe.

İlk önce gösterimi tanımlayalım. A noktasından B noktasına olan mesafeyi olarak göstereceğiz.

Bundan şu sonuca varabiliriz Koordinatlı A noktasından koordinatlı B noktasına olan mesafe, koordinatlardaki farkın modülüne eşittir, yani, Koordinat çizgisi üzerindeki noktaların herhangi bir konumu için.

Düzlemde noktadan noktaya mesafe, formül.

Noktalar arasındaki mesafeyi hesaplamak için bir düzlem üzerinde dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde verilen bir formül elde ediyoruz.

A ve B noktalarının konumuna bağlı olarak aşağıdaki seçenekler mümkündür.

A ve B noktaları çakışırsa aralarındaki mesafe sıfırdır.

A ve B noktaları apsis eksenine dik bir düz çizgi üzerinde yer alıyorsa, bu noktalar çakışır ve mesafe mesafeye eşittir. Önceki paragrafta, bir koordinat çizgisi üzerindeki iki nokta arasındaki mesafenin, koordinatları arasındaki farkın modülüne eşit olduğunu bulmuştuk, dolayısıyla, . Buradan, .

Benzer şekilde, A ve B noktaları ordinat eksenine dik bir doğru üzerinde yer alıyorsa, A noktasından B noktasına olan mesafe şu şekilde bulunur:

Bu durumda ABC üçgeni dikdörtgen şeklindedir ve Ve . İle Pisagor teoremi eşitliği yazabiliriz, dolayısıyla .

Elde edilen tüm sonuçları özetleyelim: bir noktadan düzlem üzerindeki bir noktaya olan mesafe, aşağıdaki formül kullanılarak noktaların koordinatları aracılığıyla bulunur .

Noktalar arasındaki mesafeyi bulmak için elde edilen formül, A ve B noktaları çakıştığında veya koordinat eksenlerinden birine dik bir düz çizgi üzerinde yer aldığında kullanılabilir. Aslında, eğer A ve B çakışırsa, o zaman . A ve B noktaları Ox eksenine dik bir düz çizgi üzerinde yer alıyorsa, o zaman. A ve B Oy eksenine dik bir doğru üzerinde yer alıyorsa, o zaman .

Uzaydaki noktalar arasındaki mesafe, formül.

Uzayda Oxyz dikdörtgen koordinat sistemini tanıtalım. Bir noktaya olan mesafeyi bulmak için bir formül bulalım diyeceğim şey şu ki .

Genel olarak A ve B noktaları koordinat düzlemlerinden birine paralel bir düzlemde yer almaz. Ox, Oy ve Oz koordinat eksenlerine dik A ve B noktalarından düzlemler çizelim. Bu düzlemlerin koordinat eksenleriyle kesişim noktaları bize A ve B noktalarının bu eksenlere izdüşümlerini verecektir. Projeksiyonları belirtiyoruz .

A ve B noktaları arasındaki gerekli mesafe, şekilde gösterilen dikdörtgen paralelyüzün köşegenidir. İnşaat gereği, bu paralel borunun boyutları eşittir Ve . Bir lise geometri dersinde, bir küboidin köşegeninin karesinin üç boyutunun karelerinin toplamına eşit olduğu kanıtlandı, dolayısıyla . Bu makalenin ilk bölümündeki bilgilere dayanarak aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz, dolayısıyla,

onu nereden alıyoruz Uzaydaki noktalar arasındaki mesafeyi bulma formülü .

Bu formül aynı zamanda A ve B noktalarının

• eşleştir;
• Koordinat eksenlerinden birine veya koordinat eksenlerinden birine paralel bir çizgiye ait olan;
• koordinat düzlemlerinden birine veya koordinat düzlemlerinden birine paralel bir düzleme aittir.

Noktadan noktaya mesafeyi bulma, örnekler ve çözümler.

Böylece bir koordinat çizgisi, düzlem ve üç boyutlu uzay üzerindeki iki nokta arasındaki mesafeyi bulmak için formüller elde ettik. Tipik örneklerin çözümlerine bakmanın zamanı geldi.

Son adımın iki nokta arasındaki mesafeyi koordinatlarına göre bulmak olduğu problemlerin sayısı gerçekten çok fazladır. Bu tür örneklerin tam olarak incelenmesi bu makalenin kapsamı dışındadır. Burada kendimizi iki noktanın koordinatlarının bilindiği ve aralarındaki mesafenin hesaplanmasının gerekli olduğu örneklerle sınırlayacağız.

Koordinatlar kullanılarak bir nesnenin dünya üzerindeki konumu belirlenir. Koordinatlar enlem ve boylamla gösterilir. Enlemler ekvator çizgisinin her iki yanından ölçülür. Kuzey Yarımküre'de enlemler pozitif, Güney Yarımküre'de ise negatiftir. Boylam, başlangıç ​​meridyeninden sırasıyla doğu veya batı olarak ölçülür, doğu veya batı boylamı elde edilir.

Genel kabul gören görüşe göre başlangıç ​​meridyeni, Greenwich'teki eski Greenwich Gözlemevi'nden geçen meridyen olarak kabul edilir. Konumun coğrafi koordinatları bir GPS navigatörü kullanılarak elde edilebilir. Bu cihaz, tüm dünya için aynı olan WGS-84 koordinat sisteminde uydu konumlandırma sistemi sinyallerini alır.

Navigatör modelleri üretici, işlevsellik ve arayüz açısından farklılık gösterir. Şu anda bazı cep telefonu modellerinde yerleşik GPS navigasyon cihazları da mevcuttur. Ancak herhangi bir model bir noktanın koordinatlarını kaydedebilir ve kaydedebilir.

GPS koordinatları arasındaki mesafe

Bazı endüstrilerdeki pratik ve teorik problemleri çözmek için noktalar arasındaki mesafeleri koordinatlarına göre belirleyebilmek gerekir. Bunu yapmanın birkaç yolu vardır. Coğrafi koordinatları temsil etmenin kanonik biçimi: derece, dakika, saniye.

Örneğin, aşağıdaki koordinatlar arasındaki mesafeyi belirleyebilirsiniz: 1 numaralı nokta - 55°45′07″ K enlemi, 37°36′56″ E boylamı; 2 numaralı nokta - 58°00′02″ K enlemi, 102°39′42″ E boylamı.

En kolay yol, iki nokta arasındaki uzunluğu hesaplamak için bir hesap makinesi kullanmaktır. Tarayıcı arama motorunda aşağıdaki arama parametrelerini ayarlamanız gerekir: çevrimiçi - iki koordinat arasındaki mesafeyi hesaplamak için. Çevrimiçi hesap makinesinde birinci ve ikinci koordinatlar için sorgu alanlarına enlem ve boylam değerleri girilir. Hesaplarken çevrimiçi hesap makinesi sonucu verdi - 3.800.619 m.

Bir sonraki yöntem daha emek yoğun ama aynı zamanda daha görsel. Mevcut herhangi bir harita veya navigasyon programını kullanmalısınız. Koordinatları kullanarak noktalar oluşturabileceğiniz ve aralarındaki mesafeleri ölçebileceğiniz programlar aşağıdaki uygulamaları içerir: BaseCamp (MapSource programının modern bir benzeri), Google Earth, SAS.Planet.

Yukarıdaki programların tümü herhangi bir ağ kullanıcısı tarafından kullanılabilir. Örneğin Google Earth'te iki koordinat arasındaki mesafeyi hesaplamak için birinci noktanın ve ikinci noktanın koordinatlarını gösteren iki etiket oluşturmanız gerekir. Daha sonra "Cetvel" aracını kullanarak birinci ve ikinci işaretleri bir çizgiyle bağlamanız gerekir, program otomatik olarak ölçüm sonucunu gösterecek ve yolu Dünya'nın uydu görüntüsünde gösterecektir.

Yukarıda verilen örnekte, Google Earth programı sonucu döndürdü - 1 No'lu nokta ile 2 No'lu nokta arasındaki mesafenin uzunluğu 3,817,353 m'dir.

Mesafeyi belirlerken neden bir hata var?

Koordinatlar arasındaki mesafeye ilişkin tüm hesaplamalar yay uzunluğunun hesaplanmasına dayanmaktadır. Yayın uzunluğunun hesaplanmasında Dünya'nın yarıçapı rol oynar. Ancak Dünya'nın şekli yassı bir elipsoide yakın olduğundan, Dünya'nın yarıçapı belirli noktalarda değişiklik gösterir. Koordinatlar arasındaki mesafeyi hesaplamak için Dünya'nın yarıçapının ortalama değeri alınır, bu da ölçümde hata verir. Ölçülen mesafe ne kadar büyük olursa hata da o kadar büyük olur.

Matematik

§2. Düzlemdeki bir noktanın koordinatları

3. İki nokta arasındaki mesafe.

Artık sen ve ben, sayıların dilinde noktalar hakkında konuşabiliriz. Örneğin artık açıklama yapmamıza gerek yok: eksenin üç birim sağında ve eksenin beş birim altında olan bir noktayı alın. Basitçe söylemek yeterli: konuyu ele alın.

Bunun belli avantajlar yarattığını daha önce söylemiştik. Yani noktalardan oluşan bir çizimi telgrafla iletebilir, çizimi hiç anlamayan ama sayıları iyi anlayan bir bilgisayara iletebiliriz.

Önceki paragrafta sayılar arasındaki ilişkileri kullanarak düzlemdeki bazı nokta kümelerini tanımladık. Şimdi diğer geometrik kavramları ve gerçekleri tutarlı bir şekilde sayıların diline çevirmeye çalışalım.

Basit ve ortak bir görevle başlayacağız.

Düzlemdeki iki nokta arasındaki mesafeyi bulun.

Çözüm:
Her zaman olduğu gibi, noktaların koordinatlarına göre verildiğini varsayıyoruz ve ardından görevimiz, koordinatlarını bilerek noktalar arasındaki mesafeyi hesaplayabileceğimiz bir kural bulmak. Bu kuralı türetirken elbette bir çizime başvurmaya izin verilir, ancak kuralın kendisi çizime herhangi bir referans içermemeli, yalnızca verilen sayılar - koordinatlar üzerinde hangi eylemlerin ve hangi sırayla gerçekleştirilmesi gerektiğini göstermelidir. noktaların - istenilen sayıyı elde etmek için - noktalar arasındaki mesafe.

Belki bazı okuyucular sorunu çözmeye yönelik bu yaklaşımı tuhaf ve abartılı bulacaktır. Daha basit olanı, noktaların koordinatlarla bile verildiğini söyleyeceklerdir. Bu noktaları çizin, bir cetvel alın ve aralarındaki mesafeyi ölçün.

Bu yöntem bazen o kadar da kötü değildir. Ancak yine de bir bilgisayarla uğraştığınızı hayal edin. Cetveli yok ve çizim yapmıyor ama o kadar hızlı sayabiliyor ki bu onun için hiç sorun değil. Sorunumuzun, iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplama kuralının bir makine tarafından yürütülebilecek komutlardan oluşacak şekilde formüle edildiğine dikkat edin.

Bu noktalardan birinin koordinatların orijininde yer alması durumunda ilk önce özel durum için ortaya çıkan problemi çözmek daha iyidir. Birkaç sayısal örnekle başlayın: noktaların başlangıç ​​noktasına olan uzaklığını bulun; Ve .

Not. Pisagor teoremini kullanın.

Şimdi bir noktanın orijinden uzaklığını hesaplamak için genel bir formül yazın.

Bir noktanın orijinden uzaklığı aşağıdaki formülle belirlenir:

Açıkçası, bu formülle ifade edilen kural yukarıda belirtilen koşulları karşılamaktadır. Özellikle sayıları çarpabilen, toplayabilen ve karekök çıkarabilen makinelerde yapılan hesaplamalarda kullanılabilir.

Şimdi genel sorunu çözelim

Düzlem üzerinde iki nokta verildiğinde aralarındaki mesafeyi bulunuz.

Çözüm:
Noktaların ve koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümlerini , , ile gösterelim.

Doğruların harfle kesiştiği noktayı gösterelim. Pisagor teoremini kullanarak bir dik üçgenden şunu elde ederiz:

Ancak parçanın uzunluğu parçanın uzunluğuna eşittir. ve , noktaları eksen üzerinde yer alır ve sırasıyla ve koordinatlarına sahiptir. 2. paragrafın 3. paragrafında elde edilen formüle göre aralarındaki mesafe eşittir.

Benzer şekilde tartışarak parçanın uzunluğunun eşit olduğunu buluyoruz. Bulunan değerleri ve elde ettiğimiz formüle yerleştiriyoruz.

Noktalar arasındaki mesafeleri düzlemdeki koordinatlarına göre hesaplamak basit bir işlemdir; Dünya yüzeyinde biraz daha karmaşıktır: projeksiyon dönüşümleri olmadan noktalar arasındaki mesafeyi ve başlangıç ​​azimutunu ölçmeyi ele alacağız. Öncelikle terminolojiyi anlayalım.

giriiş

Büyük daire yay uzunluğu- bir kürenin yüzeyinde bulunan herhangi iki nokta arasındaki, bu iki noktayı birleştiren çizgi boyunca ölçülen (böyle bir çizgiye ortodromi denir) ve kürenin yüzeyinden veya başka bir dönme yüzeyinden geçen en kısa mesafe. Küresel geometri normal Öklid geometrisinden farklıdır ve uzaklık denklemleri de farklı bir biçim alır. Öklid geometrisinde iki nokta arasındaki en kısa mesafe düz bir çizgidir. Küre üzerinde düz çizgiler yoktur. Küre üzerindeki bu çizgiler, merkezleri kürenin merkeziyle çakışan büyük dairelerin parçalarıdır. İlk azimut- azimut, A noktasından hareket etmeye başladığınızda, B noktasına en kısa mesafe için büyük bir daireyi takip ederek bitiş noktası B noktası olacaktır. Büyük daire çizgisi boyunca A noktasından B noktasına hareket ederken, azimut B bitiş noktasına kadar mevcut konum sabittir ve değişmektedir. Başlangıç ​​azimutu sabit olandan farklıdır, sonrasında mevcut noktadan son noktaya olan azimut değişmez, ancak izlenen rota iki nokta arasındaki en kısa mesafe değildir.

Bir kürenin yüzeyindeki herhangi iki noktadan, eğer birbirlerinin tam karşısında değillerse (yani antipod değillerse), benzersiz bir büyük daire çizilebilir. İki nokta büyük bir daireyi iki yaya böler. Kısa yayın uzunluğu iki nokta arasındaki en kısa mesafedir. İki antipodal nokta arasına sonsuz sayıda büyük daire çizilebilir, ancak aralarındaki mesafe herhangi bir dairede aynı olacak ve dairenin çevresinin yarısına veya π*R'ye eşit olacaktır; burada R, kürenin yarıçapıdır.

Bir düzlemde (dikdörtgen bir koordinat sisteminde), yukarıda belirtildiği gibi büyük daireler ve bunların parçaları, büyük dairelerin düz çizgiler olduğu gnomonik projeksiyon dışındaki tüm projeksiyonlarda yayları temsil eder. Uygulamada bu, uçakların ve diğer hava taşımacılığının yakıt tasarrufu sağlamak için her zaman noktalar arasındaki minimum mesafeyi kullanan rotayı kullandığı, yani uçuşun yay gibi görünen bir düzlem üzerinde büyük bir daire mesafesi boyunca gerçekleştirildiği anlamına gelir.

Dünyanın şekli bir küre olarak tanımlanabilir, bu nedenle büyük daire mesafe denklemleri, Dünya yüzeyindeki noktalar arasındaki en kısa mesafeyi hesaplamak için önemlidir ve genellikle navigasyonda kullanılır. Bu yöntemle mesafenin hesaplanması, öngörülen koordinatlar (dikdörtgen koordinat sistemlerinde) için hesaplamaktan daha verimli ve çoğu durumda daha doğrudur, çünkü ilk olarak coğrafi koordinatların dikdörtgen bir koordinat sistemine dönüştürülmesini gerektirmez (projeksiyon dönüşümlerini gerçekleştirin) ve ikinci olarak, yanlış seçilirse birçok projeksiyon, projeksiyon distorsiyonlarının doğasından dolayı önemli uzunluk distorsiyonlarına yol açabilir. Dünyanın şeklini daha doğru tanımlayanın küre değil elipsoid olduğu biliniyor ancak bu makalede küre özelinde mesafelerin hesaplanması ele alınıyor; hesaplamalar için yarıçapı 6.372.795 metre olan bir küre kullanılıyor. bu da mesafelerin hesaplanmasında %0,5 düzeyinde hataya neden olabilir.

Formüller

Büyük dairenin küresel mesafesini hesaplamanın üç yolu vardır. 1. Küresel kosinüs teoremi Uzaklıkların ve hesaplama derinliğinin (ondalık basamak sayısı) küçük olması durumunda formülün kullanılması önemli yuvarlama hatalarına yol açabilir. φ1, λ1; φ2, λ2 - radyan cinsinden iki noktanın enlemi ve boylamı Δλ - boylamdaki koordinat farkı Δδ - açısal fark Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Açısal mesafeyi metriğe dönüştürmek için şunları yapmanız gerekir: açısal farkı Dünya yarıçapı (6372795 metre) ile çarpın, son mesafenin birimleri yarıçapın ifade edildiği birimlere (bu durumda metre) eşit olacaktır. 2. Haversine formülü Kısa mesafelerde sorun yaşamamak için kullanılır. 3. Antipodların modifikasyonuÖnceki formül aynı zamanda antipodal noktalar problemine de tabidir; bunu çözmek için aşağıdaki modifikasyon kullanılır.

PHP'deki uygulamam

// Dünya yarıçapı define("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * İki nokta arasındaki mesafe * $φA, $λA - 1. noktanın enlemi, boylamı, * $φB, $λB - 2. noktanın enlemi, boylamı * http://gis-lab.info/ temel alınarak yazılmıştır. qa/great-circles.html * Mihail Kobzarev< >* */ function hesaplaTheDistance ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // koordinatları radyana dönüştürün $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // enlem ve boylam farklarının kosinüs ve sinüsleri $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($lat2); $sl1 = sin($lat1) ) ; $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // büyük daire uzunluğu hesaplamaları $y = sqrt(pow) ( $cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $cl1 * $cl2 * $cdelta; / / $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) İşlev çağrısı örneği: $lat1 = 77.1539; $uzun1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $uzun2 = -139,55; echo hesaplaTheDistance($enlem1, $uzun1, $enlem2, $uzun2) . "metre"; // "17166029 metre" değerini döndür

Siteden alınan makale