Karmaşık şekle sahip herhangi bir dalga, basit dalgaların toplamı olarak temsil edilebilir.

Joseph Fourier, ısının katı cisimlerden nasıl geçtiğini matematiksel terimlerle açıklamaya hevesliydi ( santimetre. Isı değişimi). Belki de sıcağa olan ilgisi Kuzey Afrika'dayken alevlendi: Fourier, Napolyon'a Mısır'a bir Fransız seferinde eşlik etti ve bir süre orada yaşadı. Amacına ulaşmak için Fourier yeni matematiksel yöntemler geliştirmek zorunda kaldı. Araştırmasının sonuçları 1822'de "Analitik Isı Teorisi" çalışmasında yayınlandı ( Teori analytique de la chaleur), burada karmaşık fiziksel problemlerin bir dizi daha basit probleme ayrıştırılarak nasıl analiz edileceğini anlattı.

Analiz yöntemi, sözde Fourier serisi. Girişim ilkesine uygun olarak, seri, karmaşık bir şeklin basit olanlara ayrışmasıyla başlar - örneğin, dünya yüzeyindeki bir değişiklik bir depremden kaynaklanır, bir kuyruklu yıldızın yörüngesindeki bir değişiklik, etkiden kaynaklanır. Birkaç gezegenin çekiciliğine bağlı olarak, ısı akışındaki bir değişiklik, ısı yalıtımlı malzemeden yapılmış düzensiz şekilli bir engelin içinden geçmesinden kaynaklanmaktadır. Fourier, karmaşık bir dalga biçiminin basit dalgaların toplamı olarak temsil edilebileceğini gösterdi. Kural olarak, klasik sistemleri tanımlayan denklemler, bu basit dalgaların her biri için kolayca çözülür. Fourier, bir bütün olarak karmaşık soruna bir çözüm vermek için bu basit çözümlerin nasıl özetlenebileceğini göstermeye devam etti. (Matematiksel olarak konuşursak, bir Fourier serisi bir fonksiyonu harmoniklerin toplamı olarak temsil etmenin bir yöntemidir - sinüs ve kosinüs, bu nedenle Fourier analizi harmonik analiz olarak da biliniyordu.)

Yirminci yüzyılın ortalarında bilgisayarların ortaya çıkışına kadar, Fourier yöntemleri ve benzerleri, doğanın karmaşıklığına saldırırken bilimsel cephanelikteki en iyi silahlardı. Karmaşık Fourier yöntemlerinin ortaya çıkışından bu yana, bilim adamları bunları yalnızca Newton'un mekanik yasalarının ve diğer temel denklemlerin doğrudan uygulanmasıyla çözülebilecek basit problemleri çözmek için kullanabildiler. Newtoncu bilimin 19. yüzyıldaki büyük başarılarının çoğu, aslında ilk olarak Fourier tarafından önerilen yöntemler kullanılmasaydı imkansız olurdu. Gelecekte, bu yöntemler astronomiden makine mühendisliğine kadar çeşitli alanlardaki problemlerin çözümünde kullanıldı.

Jean-Baptiste Joseph Fourier
Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830

Fransız matematikçi. Auxerre'de doğdu; dokuz yaşında yetim kaldı. Zaten genç yaşta matematik için yetenek gösterdi. Fourier bir kilise okulunda ve bir askeri okulda eğitim gördü, ardından matematik öğretmeni olarak çalıştı. Hayatı boyunca aktif olarak siyasetin içinde yer aldı; 1794'te terör mağdurlarını korumaktan tutuklandı. Robespierre'in ölümünden sonra hapishaneden serbest bırakıldı; Paris'te ünlü Politeknik Okulu'nun (Ecole Polytechnique) kuruluşunda yer aldı; konumu ona Napolyon rejimi altında ilerlemek için bir sıçrama tahtası sağladı. Napolyon'a Mısır'a eşlik etti, Aşağı Mısır'a vali olarak atandı. 1801'de Fransa'ya döndükten sonra eyaletlerden birinin valisi olarak atandı. 1822'de Fransa'nın bilim dünyasında etkili bir konum olan Fransız Bilimler Akademisi'nin daimi sekreteri oldu.

Girişe Genel Bakış bölümü, spektral analizin doğasını ve sonuçların yorumunu göstermek için çok basit iki örneği (Shumway, 1988'den alınmıştır) tartışır. Bu yönteme aşina değilseniz, önce bu bölümün bu bölümünü incelemeniz önerilir.

İnceleme ve veri dosyası. Sunspot.sta dosyası, 1749'dan 1924'e kadar bilinen güneş lekesi sayılarının (Wolfer) bir kısmını içerir (Anderson, 1971). Aşağıda, örnek dosyadaki ilk birkaç verinin bir listesi bulunmaktadır.

Güneş lekelerinin sayısının yeryüzündeki havanın yanı sıra tarım, telekomünikasyon vb.'yi de etkilediği varsayılmaktadır. Bu analizi kullanarak, güneş lekesi aktivitesinin doğada gerçekten döngüsel olup olmadığını bulmaya çalışabilirsiniz (aslında öyledir, bu veriler literatürde geniş çapta tartışılmaktadır; örneğin bakınız, Bloomfield, 1976 veya Shumway, 1988).

Analiz tanımı. Analizi çalıştırdıktan sonra Sunspot.sta veri dosyasını açın. Değişkenler düğmesini tıklayın ve Spots değişkenini seçin (Sunspot.sta veri dosyası o anda açık olan veri dosyasıysa ve Spots değişkeni bu dosyadaki tek değişkense, Zaman Serisi Analizi iletişim kutusu açıldığında Spotlar otomatik olarak seçilecektir). açılır). Şimdi Fourier (spektral) analiz iletişim kutusunu açmak için Fourier (spektral) analiz düğmesine tıklayın.

Spektral analizi uygulamadan önce, güneş lekelerinin sayısını çizin. Sunspot.sta dosyasının gözlem adları olarak karşılık gelen yılları içerdiğine dikkat edin. Bu adları çizgi grafiklerinde kullanmak için, Serileri Görüntüle sekmesine tıklayın ve Etiket Noktaları altında Vaka Adları'nı seçin. Ayrıca, x ekseni ölçeğini manuel olarak ayarla ve Min. = 1 ve Adım = 10. Ardından Önizleme vurgu düğmesinin yanındaki Grafik düğmesini tıklayın. değişken.

Güneş lekelerinin sayısı döngüsel bir model izliyor gibi görünüyor. Eğilim yok, bu nedenle Spektral Analiz penceresine geri dönün ve İlk Seriyi Dönüştür grubundaki Doğrusal Trendi Kaldır seçeneğinin seçimini kaldırın.

Açıkçası, serinin ortalaması 0'dan (sıfır) büyüktür. Bu nedenle, Ortalamayı Çıkar seçeneğini seçili bırakın [aksi takdirde periodogram 0 (sıfır) frekansında çok büyük bir tepe noktasıyla "tıkanacaktır"].

Artık analize başlamaya hazırsınız. Şimdi Fourier Spektral Analiz Sonuçları iletişim kutusunu getirmek için Tamam'a (Tek Boyutlu Fourier Analizi) tıklayın.

Sonuçları Görüntüle. İletişim kutusunun üst kısmındaki bilgi bölümü, dizi için bazı özet istatistikleri gösterir. Aynı zamanda en büyük beş periodogram tepe noktasını (frekansa göre) gösterir. En büyük üç tepe noktası 0.0852, 0.0909 ve 0.0114 frekanslarındadır. Bu bilgi, tek bir çizimde kolayca çizilemeyen çok büyük serileri (örneğin, 100.000'den fazla gözlemi olan serileri) analiz ederken genellikle yararlıdır. Ancak bu durumda periodogram değerlerini görmek kolaydır; Periodogram ve Spektral Yoğunluk Grafikleri altındaki Periodogram düğmesine tıklayarak.

Periyotogram grafiği iki farklı tepe noktası gösterir. Maksimum, yaklaşık 0,9'luk bir frekanstadır. Sonuçlar tablosundaki tüm periodogram değerlerini (ve diğer sonuçları) görmek için Spektral Analiz Sonuçları penceresine dönün ve Özet düğmesine tıklayın. Aşağıda, periodogramdan alınan en büyük pikin yer aldığı sonuçlar tablosunun bir bölümü gösterilmektedir.

Giriş Genel Bakış bölümünde tartışıldığı gibi, Sıklık, zaman birimi başına döngü sayısıdır (burada her gözlem bir zaman birimidir). Bu nedenle, 0.0909'luk bir Frekans, 11 Periyot değerine (tam bir döngü için gerekli zaman birimi sayısı) karşılık gelir. Sunspot.sta'daki güneş lekesi verileri yıllık gözlemler olduğundan, güneş lekesi aktivitesinde belirgin bir 11 yıllık (belki de 11 yıldan biraz daha uzun) bir döngü olduğu sonucuna varılabilir.

Spektral yoğunluk. Genellikle, spektral yoğunluk tahminlerini hesaplamak için, rastgele dalgalanmaları ortadan kaldırmak için periodogram düzleştirilir. Ağırlıklı hareketli ortalama türü ve pencere genişliği, Spektral Pencereler bölümünde seçilebilir. Girişe Genel Bakış bölümünde bu seçenekler ayrıntılı olarak tartışılır. Örneğimiz için varsayılan pencereyi seçili bırakalım (Hamming genişliği 5) ve Spektral Yoğunluk grafiğini seçelim.

İki zirve şimdi daha da net. Dönem boyunca periodogramın değerlerine bakalım. Grafik bölümündeki Dönem alanını vurgulayın. Şimdi Spektral Yoğunluk grafiğini seçin.

Yine güneş lekesi aktivitesinde belirgin bir 11 yıllık döngü vardır; dahası, yaklaşık 80-90 yıllık daha uzun bir döngünün işaretleri var.

FOURIER TRANSFORM VE KLASİK DİJİTAL SPEKRAL ANALİZ.
Medvedev S.Yu., Ph.D.

Tanıtım

Spektral analiz, ölçülen sinyalin frekans bileşiminin karakterize edilmesini sağlayan sinyal işleme yöntemlerinden biridir. Fourier dönüşümü, zamansal veya uzaysal bir sinyali (veya bu sinyalin bir modelini) frekans alanındaki temsiliyle ilişkilendiren matematiksel bir çerçevedir. İstatistiksel yöntemler, spektral analizde önemli bir rol oynar, çünkü sinyaller yayılım veya ölçüm sırasında genellikle rastgele veya gürültülüdür. Bir sinyalin temel istatistiksel özellikleri tam olarak biliniyorsa veya bu sinyalin sonlu aralığından belirlenebilseydi, o zaman spektral analiz "kesin bilimin" bir dalı olurdu. Bununla birlikte, gerçekte, bir sinyal segmentinden sadece spektrumunun bir tahmini elde edilebilir. Bu nedenle, spektral analiz pratiği, oldukça öznel nitelikte bir tür zanaat (veya sanat?) Aynı sinyal segmentinin farklı yöntemlerle işlenmesi sonucunda elde edilen spektral tahminler arasındaki fark, verilere ilişkin yapılan varsayımların farklı olması, ortalama alma yöntemlerinin farklı olması vb. ile açıklanabilir. Sinyalin özellikleri önceden bilinmiyorsa, tahminlerden hangisinin daha iyi olduğunu söylemek mümkün değildir.

Fourier dönüşümü - spektral analizin matematiksel temeli
Fourier dönüşümünün farklı türlerini kısaca tartışalım (daha fazla ayrıntı için bkz. ).
Zaman-sürekli bir sinyalin Fourier dönüşümü ile başlayalım.

, (1)

bazı keyfi salınımların ayrıştırıldığı bu karmaşık sinüzoidlerin (üstel) frekanslarını ve genliklerini tanımlar.
Ters dönüşüm

. (2)

İleri ve ters Fourier dönüşümünün (sürekli zamanlı Fourier dönüşümü - CTFT olarak adlandıracağız) varlığı bir dizi koşul tarafından belirlenir. Yeterli - mutlak sinyal entegrasyonu

. (3)

Daha az kısıtlayıcı bir yeterli koşul, sinyal enerjisinin sonluluğudur.

. (4)

Fourier dönüşümünün bir takım temel özelliklerini ve aşağıda kullanılan fonksiyonları, dikdörtgen pencerenin şu ifadeyle tanımlandığına dikkat ederek sunuyoruz.

(5)

ve sinc işlevi bir ifadedir

(6)

Örneklerin zaman alanındaki işlevi, ifade ile belirlenir.

(7)

Bu fonksiyon bazen periyodik devam fonksiyonu olarak da adlandırılır.

Tablo 1. NVPF'nin ana özellikleri ve işlevleri

Özellik, işlev	İşlev	dönüşüm
doğrusallık	ag(t) + bh(t)	aG(f) + bH(f)
Vardiya	h (t - t0)	H(f)exp(-j2pf t 0)
Frekans kayması (modülasyon)	h (t)exp(j2pf0 t)	H(f - f0)
ölçekleme	(1 / |a|)h(t / a)	H(af)
Zaman alanı evrişim teoremi	g(t)*h(t)	G(f)H(f)
Frekans alanında evrişim teoremi	g(t) h(t)	G(f)*H(f)
pencere işlevi	Aw(t / T)	2ATsinc(2Tf)
günah fonksiyonu	2AFsinc(2Ft)	Ah(f / F)
dürtü fonksiyonu	reklam(t)
sayar işlevi	T(f)	FF(f), F=1/T

Bir başka önemli özellik, Parseval teoremi tarafından iki fonksiyon g(t) ve h(t) için belirlenir:

. (8)

g(t) = h(t) koyarsak, Parseval teoremi enerji teoremine indirgenir.

. (9)

İfade (9), özünde, iki alanda (zaman ve frekans) enerjinin korunumu yasasının sadece bir formülasyonudur. (9)'da, sinyalin toplam enerjisi soldadır, dolayısıyla fonksiyon

(10)

deterministik bir sinyal h(t) için enerjinin frekans dağılımını tanımlar ve bu nedenle enerji spektral yoğunluğu (SPD) olarak adlandırılır. İfade

(11)

h(t) sinyalinin genliği ve faz spektrumları hesaplanabilir.

Ayrıklaştırma ve ağırlıklandırma işlemleri

Bir sonraki bölümde, İki temel sinyal işleme işlemini kullanarak Sürekli Zaman Fourier Dönüşümünün (CTFT) özel bir durumu olarak Ayrık Zamanlı Fourier Serisini (DTFT) veya başka bir şekilde Ayrık Fourier Dönüşümünü (DFT) tanıtacağız - örnekleme ( ayrıştırma) ve tartmak bir pencere kullanarak. Burada bu işlemlerin sinyal ve dönüşümü üzerindeki etkisini ele alıyoruz. Tablo 2, ağırlıklandırma ve ayrıklaştırma gerçekleştiren işlevleri listeler.

T saniyelik aralıklarla tek tip okumalarda, örnekleme frekansı F, 1 /T Hz'ye eşittir. Zaman alanındaki ağırlıklandırma işlevi ve örnekleme işlevinin sırasıyla TW (zaman pencereleme) ve TS (zaman örnekleme) ile ve frekans alanında FW (frekans pencereleme) ve FS (frekans örnekleme) ile gösterildiğine dikkat edin.

Tablo 2. Ağırlıklandırma ve ayrıklaştırma fonksiyonları

Operasyon	zaman fonksiyonu	dönüşüm
Zaman alanı ağırlığı (pencere genişliği NT sn)	TW=w(2t / NT - 1)	F(TW)=NTsinc(NTf)•exp(-jpNTf)
Frekans alanı ağırlığı (pencere genişliği 1/T Hz)		FW=w(2Tf)
Zaman okumaları (aralık T sn)	TS=TT (t)
Frekans örneklemesi (1/NT Hz aralığı)

Üst frekansı F0'a eşit olan sınırlı bir spektruma sahip sürekli bir gerçek sinyal x(t)'den örnekler alındığını varsayalım. Gerçek bir sinyalin NITF'si her zaman toplam genişliği 2F0 olan simetrik bir fonksiyondur, bkz. Şekil 1.
Sinyal örnekleri x(t), bu sinyali örneklerin fonksiyonu ile çarparak elde edilebilir:

(12)

Şekil 1, gerçek bir spektrum sınırlı sinyal için zaman alanındaki örnekleme teoreminin bir gösterimidir:
a - zamanın orijinal işlevi ve Fourier dönüşümü;
b - zaman içindeki okumaların işlevi ve Fourier dönüşümü;
c - orijinal fonksiyonun zaman okumaları ve Fo durumu için periyodik olarak genişletilmiş Fourier dönüşümü<1/2T;
d - frekans penceresi (ideal düşük geçiş filtresi) ve Fourier dönüşümü (sinc işlevi);
d, sinc işleviyle bir evrişim işlemi aracılığıyla geri yüklenen orijinal zaman işlevidir.

Frekans alanı evrişim teoremine göre, x(t) sinyalinin CTF'si, x(t) sinyalinin spektrumunun evrişimi ve zaman örneği (TS) fonksiyonunun Fourier dönüşümüdür:

. (13)

F(TS)=Y1/T(f) örnekleme fonksiyonunun Fourier dönüşümü ile evrişim X(f), X(f)'yi 1/T Hz frekans aralığı ile periyodik olarak devam ettirir. Bu nedenle, XS(f), X(f)'nin periyodik olarak genişletilmiş bir spektrumudur. Genel durumda, bir bölgedeki (örneğin, zaman) örnekler, dönüşüm bölgesinde (örneğin, frekans) periyodik bir sürekliliğe yol açar. Örnekleme frekansı yeterince düşük seçilirse (F< 2Fo), то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название эффекта наложения в частотной области.
Orijinal zaman sinyalini okumalarından geri yüklemek için, yani. bu örnekler arasında bazı değerler sürekliliğini enterpolasyon yapmak için, örneklenen verileri dikdörtgen frekans yanıtına sahip ideal bir alçak geçiren filtreden geçirmek mümkündür (Şekil 1d)

. (14)

Sonuç olarak (bkz. Şekil 1 e) orijinal Fourier dönüşümü geri yüklenir. Zaman ve frekans alanlarındaki evrişim teoremlerini kullanarak,

. (15)

İfade (15) matematiksel bir gösterimdir zaman alanında örnekleme teoremleri(Whittaker, Kotelnikov, Shannon - UKSH teoremleri), enterpolasyon formülü (15) yardımıyla, sınırlı bir spektruma sahip gerçek bir sinyalin tam olarak geri yüklenebileceğini belirtir. sonsuz sayıda F і 2F0 frekansı ile alınan bilinen zaman okumaları. (15) ikili teoremi teoremdir frekans alanındaki örnekler sınırlı süreli sinyaller için.
(14)'e benzer zaman alanındaki işlemler ifade ile tanımlanır.

, (16)

ve karşılık gelen dönüşümler - ifadelerle

Bu nedenle, sınırlı bir süreye sahip belirli bir sinyalin NITF X(f), seçilen frekans örnek aralığı F1/2T 0 Hz koşulunu karşılıyorsa, bu tür bir sinyalin spektrumunun eşit uzaklık örneklerinden açık bir şekilde geri yüklenebilir, burada T 0'dır. sinyal süresi.

Sürekli ve ayrık dönüşümler arasındaki ilişkiler

Bir N noktasının Ayrık Fourier Dönüşümünün (DFT) olağan tanımı için bir çift dönüşüm zaman sırası x[n] ve karşılık gelen N noktası Fourier dönüşüm dizileri X[k] ifadeleri ile verilir

, (18)
. (19)

Karşılık gelen enerji veya güç birimlerindeki veri örneklerinden spektral tahminler elde etmek için, sürekli zamanlı Fourier dönüşümünün (CTFT) bir tahmini olarak kabul edilebilecek ayrık zamanlı Fourier serisini (DTFT) yazıyoruz. sınırlı sayıda veri örneğinin kullanılması:

dvrf'ye yapılan yazışmaların niteliğini göstermek için ( ayrık hem zaman hem de frekans alanlarındaki fonksiyonlar) ve CTF (zaman ve frekans alanlarındaki sürekli fonksiyonlar), dört lineer komütasyon işlemi dizisine ihtiyacımız var: zaman ve frekans alanlarında ağırlıklandırma ve örnekleme veya örnekleme Hem zaman hem de frekans alanlarında. Bu alanlardan birinde ağırlıklandırma işlemi yapılırsa evrişim teoremine göre sinc fonksiyonu ile başka bir alanda filtreleme (evrişim) işleminin yürütülmesine karşılık gelecektir. Benzer şekilde, bir bölgede ayrıklaştırma yapılırsa, diğerinde periyodik devam işlemi gerçekleştirilir. Tartım ve numune alma doğrusal ve değişmeli işlemler olduğundan, bunları sıralamanın ve farklı ara sonuçlarla aynı nihai sonucu vermenin çeşitli yolları vardır. Şekil 2, bu dört işlem için iki olası diziyi göstermektedir.

Pirinç. 2. NIPF ve DTRF'yi birbirine bağlayan iki tartım işlemi ve iki numune alma işleminin olası iki dizisi: FW - frekans alanında bir pencere uygulaması; TW - zaman alanında bir pencerenin uygulanması; FS - frekans alanında örnekleme; TS - zaman alanında örnekleme.
1 - Sürekli zamanla Fourier dönüşümü, denklem (1);
4 - Ayrık zamanlı Fourier dönüşümü, denklem (22);
5 - Sürekli zamanlı Fourier serisi, denklem (25);
8 - Ayrık zamanlı Fourier serisi, denklem (27)

1, 4, 5 ve 8 nolu düğümlerde tartım ve numune alma işlemlerinin yapılması sonucunda dört farklı Fourier ilişkisi türü olacaktır. İşlevin içinde bulunduğu düğümler frekans alanı süreklidir, bakın dönüşümler Fourier ve fonksiyonun frekans alanında olduğu düğümler ayrık başvurmak Fourier serisi(daha fazla ayrıntı için bkz.).
Böylece 4. düğümde, frekans alanında ağırlıklandırma ve zaman alanında örnekleme, ayrık zamanlı dönüşüm 1/T Hz periyodu ile frekans alanındaki spektrumun periyodik bir fonksiyonu ile karakterize edilen Fourier dönüşümü (DTFT):

(22)

(23)

İfadenin (22) yalnızca -1/2T ila 1/2T Hz frekans aralığında düğüm 1'de belirtilen orijinal dönüştürülmüş işlevle çakışan belirli bir periyodik işlevi tanımladığını unutmayın. İfade (22) bağıntı ile x[n] ayrık dizisinin Z-dönüşümüne bağlıdır.

(24)

Yani DTFT sadece birim çemberde hesaplanan ve T ile çarpılan Z-dönüşümüdür.
Şekil 2'deki düğüm 1'den düğüm 8'e alt dal boyunca hareket edersek, düğüm 5'te zaman alanındaki ağırlıklandırma (sinyal süresini sınırlama) ve frekans alanındaki örnekleme işlemleri sürekli zamanlı bir Fourier serisi oluşturur ( CTSF). Tablo 1 ve 2'de verilen fonksiyonların özelliklerini ve tanımlarını kullanarak aşağıdaki dönüşüm çiftini elde ederiz.
(25)
(26)

İfadenin (26) yalnızca 0 ile NT arasındaki zaman aralığında orijinal olanla (1. düğümde) çakışan belirli bir periyodik işlevi tanımladığını unutmayın.
Dört işlemin iki dizisinden hangisi seçilirse seçilsin, düğüm 8'deki nihai sonuç aynı olacaktır - ayrık zamanlı Fourier serisi, Tablo 1'de belirtilen özellikler kullanılarak elde edilen aşağıdaki dönüşüm çiftine karşılık gelir.

, (27)

burada k=-N/2, . . . ,N/2-1

, (28)

burada n=0, . . . ,N-1 ,
Bu WWRF için enerji teoremi:

, (29)

ve bir dizi N veri örneğinin enerjisini karakterize eder. Her iki dizi x[n] ve X[k] periyodik modulo N'dir, bu nedenle (28) şeklinde yazılabilir.

, (30)

burada 0 n N. (27) - (30)'daki T faktörü gereklidir, böylece (27) ve (28) aslında entegrasyon alanındaki integral dönüşümün bir yaklaşımıdır

.(31)

Sıfır dolgu

denilen bir süreçle sıfır dolgu, ayrık zamanlı Fourier serisi, orijinal dönüşümün N değerleri arasında enterpolasyon yapmak için değiştirilebilir. Mevcut veri örnekleri x,...,x sıfır değerleri x[N],...X ile tamamlansın. Bu sıfır dolgulu 2N noktalı veri dizisinin TDRF'si şu şekilde verilecektir:

(32)

burada sağdaki üst toplam limit boş veriyi barındıracak şekilde değiştirilir. k=2m olsun

, (33)

burada m=0,1,...,N-1, X[k]'nin çift değerlerini tanımlar. Bu, k indeksinin çift değerleri için 2N noktalı ayrık zamanlı Fourier serisinin N noktalı ayrık zaman serisine düştüğünü gösterir. K indeksinin tek değerleri, orijinal N-noktası TDGF'nin değerleri arasında yer alan enterpolasyonlu TDGF değerlerine karşılık gelir. Orijinal N-nokta dizisine gittikçe daha fazla sıfır eklendikçe, daha fazla enterpolasyonlu veri elde edilebilir. Girilen sıfırların sonsuz sayıda olduğu sınırlayıcı durumda, DTRF bir N-nokta veri dizisinin ayrık zamanlı Fourier dönüşümü olarak düşünülebilir:

. (34)

Dönüşüm (34) Şekil 2'deki düğüm 6'ya karşılık gelir.
Sıfır doldurmanın, veri dizisinin uzunluğunu artırdığı için çözünürlüğü iyileştirdiğine dair bir yanlış kanı vardır. Bununla birlikte, Şekil 3'te gösterildiği gibi, sıfırlarla doldurma gelişmez verilen sonlu veri dizisinden elde edilen dönüşümün çözünürlüğü. Sıfır dolgu, basitçe enterpolasyonlu bir dönüşüm elde etmenizi sağlar daha düzleştirilmiş şekil. Ek olarak, frekansları orijinal TPDF'nin tahmini frekanslarına karşılık gelen N noktaları arasında yer alan dar bant sinyal bileşenlerinin varlığından kaynaklanan belirsizlikleri ortadan kaldırır. Sıfırlarla doldurulduğunda, spektral tepelerin frekansını tahmin etme doğruluğu da artar. Spektral çözünürlük terimiyle, iki harmonik sinyalin spektral tepkilerini ayırt etme yeteneğini kastediyoruz. Spektral analizde sıklıkla kullanılan genel kabul görmüş bir kural, ayırt edilebilir sinüzoidlerin frekans ayrımının eşdeğer pencere bant genişliği, bu sinüzoidlerin hangi segmentleri (segmentleri) gözlenir.

Şekil 3. Sıfırlarla doldurarak enterpolasyon:
a - Sıfır doldurma olmadan üç sinüzoid içeren 16 noktalı veri kaydı için DPRF modülü (belirsizlikler görülebilir: sinyalde kaç sinüzoid olduğunu söylemek imkansızdır - iki, üç veya dört);
b - 16 sıfır eklenmesi nedeniyle okuma sayısını iki katına çıkardıktan sonra aynı dizinin TDWF modülü (üç sinüzoidin tümü ayırt edilebilir olduğundan belirsizlikler giderilir;
c - sıfırların eklenmesi nedeniyle okuma sayısında dört kat artıştan sonra aynı dizinin TDWF modülü.

Eşdeğer pencere bant genişliği şu şekilde tanımlanabilir:
burada W(f), pencere fonksiyonunun ayrık zamanlı Fourier dönüşümüdür, örneğin dikdörtgen (5). Benzer şekilde, girebilirsiniz eşdeğer pencere süresi

Bir pencerenin (veya başka bir sinyalin) eşdeğer süresinin ve dönüşümünün eşdeğer bant genişliğinin karşılıklı olarak karşılıklı olduğu gösterilebilir: TeBe=1.

Hızlı Fourier Dönüşümü

Hızlı Fourier Dönüşümü (FFT), Fourier dönüşümünün yalnızca başka bir varyasyonu değil, daha çok bir dizi verimli dönüşümün adıdır. algoritmalar, ayrık zamanlı Fourier serisinin hızlı hesaplanması için tasarlanmıştır. WWRF'nin pratik uygulamasında ortaya çıkan ana sorun, N2 ile orantılı çok sayıda hesaplama işleminde yatmaktadır. Bilgisayarların ortaya çıkışından çok önce olmasına rağmen, hesaplama işlemlerinin sayısını önemli ölçüde azaltabilecek birkaç verimli hesaplama şeması önerildi, ancak 1965'te Cooley (Cooly) ve Tukey (Tukey) tarafından pratik bir makalenin yayınlanmasıyla gerçek bir devrim yapıldı. TDWF'nin hızlı (işlem sayısı Nlog 2 N) hesaplaması için algoritma . Bundan sonra, hızlı Fourier dönüşümü olarak bilinen algoritma sınıfını oluşturan temel fikre birçok varyant, iyileştirme ve ekleme geliştirildi. Bir FFT'nin temel fikri, bir N-noktası TDGF'yi, her biri ayrı ayrı hesaplanabilen ve daha sonra orijinal N-nokta dizisinin bir TDGF'sini elde etmek için diğerleriyle doğrusal olarak toplanabilen daha küçük uzunluktaki iki veya daha fazla TDGF'ye bölmektir. .
Ayrık Fourier dönüşümünü (DTFT) şu şekilde temsil ediyoruz:

, (35)

burada W N =exp(-j2 /N) değeri döndürme faktörü olarak adlandırılır (bundan sonra bu bölümde örnekleme periyodu T=1'dir). Çift ve tek sayılarla x[n] öğeleri dizisinden seçin

. (36)

Ama o zamandan beri
. Bu nedenle, (36) olarak yazılabilir

, (37)

burada terimlerin her biri N/2 uzunluğunun bir dönüşümüdür

(38)

(WN/2) nk dizisinin, N/2 periyodu ile k cinsinden periyodik olduğuna dikkat edin. Bu nedenle ifadedeki (37) k sayısı 0'dan N-1'e kadar değerler alsa da, toplamların her biri 0'dan N/2-1'e kadar k değerleri için hesaplanır. (37)-(38) algoritmasına göre Fourier dönüşümünü hesaplamak için gereken karmaşık çarpma ve toplama işlemlerinin sayısı tahmin edilebilir. Formüllere (38) göre iki N/2-nokta Fourier dönüşümü, 2(N/2)2 çarpma ve yaklaşık olarak aynı sayıda ekleme gerektirir. (37) formülüne göre iki N/2-nokta dönüşümünün birleşimi, N tane daha fazla çarpma ve N tane ekleme gerektirir. Bu nedenle, k'nin tüm N değerleri için Fourier dönüşümünü hesaplamak için N+N 2/2 çarpma ve toplama yapmak gerekir. Aynı zamanda, formül (35) ile doğrudan hesaplama, N2 çarpma ve toplama gerektirir. Zaten N>2 için, N+N 2 /2 eşitsizliği< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:

, (39)
(40)

Bu durumda, N/4 periyodu ile k cinsinden W nk N/4 dizisinin periyodikliği nedeniyle, toplamlar (40) sadece 0 ile N/4-1 arasındaki k değerleri için hesaplanmalıdır. Bu nedenle, formül (37), (39) ve (40) ile X[k] dizisinin hesaplanması, hesaplanması kolay olduğu için zaten 2N+N 2/4 çarpma ve toplama işlemlerini gerektirir.
Bu yolu izleyerek, X[k] hesaplamalarının miktarı giderek daha fazla azaltılabilir. m=log 2 N açılımlarından sonra, formun iki noktalı Fourier dönüşümlerine ulaşırız.

(41)

burada "tek nokta dönüşümleri" X 1 basitçe x[n] sinyal örnekleridir:

X 1 = x[q]/N, q=0,1,...,N-1. (42)

Sonuç olarak, bariz nedenlerden dolayı adlandırılan FFT algoritmasını yazabiliriz. zaman inceltme algoritması :

X 2 \u003d (x[p] + W k 2 x) / N,

burada k=0.1, p=0.1,...,N/2 -1;

X 2N/M =X N/M + W k 2N/M X N/M ,

burada k=0.1,...,2N/M-1, p=0.1,...,M/2 -1;

X[k] = X N [k] =X N/2 + W k N X N/2 , (43)

burada k=0,1,...,N-1

Hesaplamaların her aşamasında, N karmaşık çarpma ve toplama yapılır. Ve orijinal dizinin yarım uzunluktaki altdizilere ayrıştırma sayısı log 2 N'ye eşit olduğundan, FFT algoritmasındaki toplam çarpma-toplama işlemlerinin sayısı Nlog 2 N'dir. Büyük N için, önemli bir tasarruf vardır. DFT'nin doğrudan hesaplanmasına kıyasla hesaplama işlemleri. Örneğin, N = 2 10 = 1024'te işlem sayısı 117 kat azalır.
Tarafımızdan ele alınan zaman kırımına sahip FFT algoritması, x[n] giriş dizisinin alt dizilerini oluşturarak Fourier dönüşümünün hesaplanmasına dayanmaktadır. Bununla birlikte, Fourier dönüşümü X[k]'nin ardışık ayrıştırması da kullanılabilir. Bu prosedüre dayanan FFT algoritmasına FFT algoritması denir. frekansta azalma. Hızlı Fourier dönüşümü hakkında daha fazla bilgi edinebilirsiniz, örneğin, in.

Rastgele Süreçler ve Güç Spektral Yoğunluğu

Kesikli rastgele süreç x, her biri bazı deneylerin (n - zaman indeksi, i - gözlem sayısı) sonucunda gözlemlenebilen gerçek veya karmaşık ayrık zamansal (veya uzamsal) dizilerin bir seti veya topluluğu olarak düşünülebilir. Gözlemlerden birinin sonucu olarak elde edilen dizi x[n] ile gösterilecektir. Topluluk ortalama alma işlemi (örn. istatistiksel ortalama) operatör tarafından belirtilecektir<>. Böylece, - n zamanındaki rastgele x[n] işleminin ortalama değeri. otokorelasyon n1 ve n2 olmak üzere iki farklı zamanda rastgele süreç r xx = ifadesi ile belirlenir .

Rastgele bir sürece durağan denir geniş anlam, ortalama değeri sabitse (zamana bağlı değilse) ve otokorelasyon sadece m=n1-n2 zaman indekslerinin farkına bağlıdır (zaman kayması veya numuneler arasındaki gecikme). Bu nedenle, büyük ölçüde durağan bir kesikli rastgele süreç x[n], sabit bir ortalama değer ile karakterize edilir. =ve otokorelasyon dizisi(AKP)

r xx [m] =< xx*[n] >. (44)

ACP'nin aşağıdaki özelliklerine dikkat edin:

r xx |r xx [m]| , r xx [-m] = r* xx [m] , (45)

tüm m için geçerlidir.
Güç spektral yoğunluğu (PSD), otokorelasyon dizisinin ayrık zamanlı Fourier dönüşümü (DTFT) olarak tanımlanır.

. (46)

Genişliği ±1/2T Hz ile sınırlı olduğu varsayılan PSD, 1/T Hz periyodu ile frekansın periyodik bir fonksiyonudur. PSD işlevi, rastgele bir işlemin gücünün frekans dağılımını tanımlar. Bunun için seçilen adı doğrulamak için ters DTFT'yi düşünün.

(47)

m=0'da hesaplandı

(48)

Sıfır vardiyada otokorelasyon karakterize eder ortalama güç rastgele süreç. (48)'e göre, P xx (f) eğrisinin altındaki alan ortalama gücü karakterize eder, bu nedenle P xx (f), gücün frekans üzerinden dağılımını karakterize eden yoğunluğun (frekans ölçüm birimi başına güç) bir fonksiyonudur. (46) ve (47) dönüşüm çifti genellikle Wiener-Khinchin teoremi ayrık zaman durumu için. r xx [-m]=r* xx [m] olduğundan, PSD kesinlikle gerçek bir pozitif fonksiyon olmalıdır. AFC kesinlikle gerçek bir fonksiyon ise, o zaman r xx [-m]=r xx [m] ve PSD, Fourier kosinüs dönüşümü şeklinde yazılabilir.

,

bu aynı zamanda P xx (f) = P xx (-f), yani SPM eşit bir fonksiyondur.
Şimdiye kadar, rastgele bir sürecin ortalama değerini, korelasyonunu ve güç spektral yoğunluğunu belirlerken, topluluk üzerinden istatistiksel ortalamayı kullandık. Bununla birlikte, pratikte, bu istatistiksel özelliklerin hesaplanabileceği gerekli işlemin bir uygulama grubunu elde etmek genellikle mümkün değildir. Tüm istatistiksel özelliklerin, y yerine x(t) bir örnek gerçekleştirmesinden tahmin edilmesi arzu edilir. zaman ortalamasına göre topluluk ortalaması. Böyle bir değişikliğin yapılmasına izin veren özelliğe ergodiklik denir. Bire eşit bir olasılıkla, tüm istatistiksel özellikleri, zaman ortalamasını kullanarak topluluktan bir uygulamadan tahmin edilebiliyorsa, rastgele bir sürecin ergodik olduğu söylenir. Başka bir deyişle, sürecin neredeyse tüm olası gerçekleşmelerinin zaman içindeki ortalama değerleri, bir ila aynı sabit değer olasılığı ile birleşir - topluluk üzerindeki ortalama değer

. (49)

Bu sınır, eğer varsa, gerçek ortalamaya ancak ve ancak zaman ortalamasının varyansı sıfıra giderse yakınsar, bu da aşağıdaki koşulun karşılandığı anlamına gelir:

. (50)

Burada c xx [m], x[n] işleminin kovaryansının gerçek değeridir.
Benzer şekilde, zaman içinde iki noktada x[n] proses numunelerinin ürününün değerini gözlemleyerek, ortalama değerin şuna eşit olacağını bekleyebiliriz.

(51)

Ergodiklik varsayımı, yalnızca zaman ortalaması yoluyla ortalama ve otokorelasyon için tanımların getirilmesine değil, aynı zamanda güç spektral yoğunluğu için benzer bir tanım verilmesine de izin verir.

. (52)

PSD'nin bu eşdeğer biçimi, numune sayısının sonsuza kadar arttığı durumda, ağırlıklı veri kümesinin DTFT modülünün veri kaydının uzunluğuna bölünmesiyle istatistiksel olarak ortalaması alınarak elde edilir. İstatistiksel ortalama burada gereklidir çünkü DTFT'nin kendisi her x[n] uygulaması için değişen rastgele bir değişkendir. (52)'nin Wiener-Khinchin teoremine eşdeğer olduğunu göstermek için, DTFT modülünün karesini iki serinin bir ürünü olarak temsil ediyoruz ve toplama ve istatistiksel ortalama alma işlemlerinin sırasını değiştiriyoruz:

(53)

Bilinen ifadeyi kullanma

, (54)

(53) ilişkisi aşağıdakilere indirgenebilir:

(55)

(55)'in türetilmesinin son aşamasında, otokorelasyon dizisinin 'çürüdüğü' varsayımını kullandığımıza dikkat edin, böylece

. (56)

SPM (46) ve (52)'nin iki tanımı arasındaki ilişki, Şekil 4'te gösterilen diyagramda açıkça gösterilmektedir.
Eğer (52) ifadesi matematiksel beklentinin işleyişini hesaba katmıyorsa, o zaman PSD tahminini elde ederiz.

, (57)

hangi denir seçici spektrum.

Pirinç. 4. Güç spektral yoğunluğunu tahmin etmek için iki yöntem arasındaki ilişki

Spektral tahminin periodogram yöntemi

Yukarıda, güç spektral yoğunluğunu (PSD) belirlemek için iki resmi eşdeğer yöntemi tanıttık. Dolaylı yöntem, Fourier dönüşümü istenen PSD'yi veren bir otokorelasyon dizisini hesaplamak için sonsuz bir veri dizisinin kullanımına dayanır. PSD'yi belirlemek için doğrudan yöntem, uygun istatistiksel ortalamayı kullanarak sonsuz bir veri dizisi için Fourier dönüşümünün modülünün karesinin hesaplanmasına dayanır. Böyle bir ortalama alma olmadan elde edilen PSD, böyle bir tahminin ortalama karekök hatası ortalama değeri ile karşılaştırılabilir olduğundan, yetersiz olduğu ortaya çıkıyor. Şimdi, sınırlı sayıda örnek üzerinde düzgün ve istatistiksel olarak kararlı spektral tahminler sağlayan ortalama alma yöntemlerini ele alacağız. Doğrudan veri dönüşümüne ve müteakip ortalamaya dayalı PSD tahminlerine periodogramlar denir. İlk olarak ilk verilerden korelasyon tahminlerinin oluşturulduğu JMP tahminlerine denir. korelogram. Herhangi bir PSD tahmin yöntemini kullanırken, kullanıcı, sonlu sayıda örnekten mümkün olan en yüksek çözünürlükle istatistiksel olarak kararlı spektral tahminler elde etmek için birçok uzlaşma kararı vermek zorundadır. Bu değiş tokuşlar, özellikle, veri ve korelasyon tahminlerinin ağırlıklandırılması için bir pencerenin seçimini ve ağırlıklandırma nedeniyle yan lob azaltımı için gereksinimleri dengeleyen zaman ve frekans alanlarındaki bu tür ortalama alma parametrelerini, verimli ortalamayı gerçekleştirmeyi ve sağlamayı içerir. kabul edilebilir spektral çözünürlük Şek. 5 ana aşamaları gösteren bir diyagramdır periodogram yöntem

Pirinç. 5. Periyodogram yöntemini kullanarak PSD tahmininin ana aşamaları

Yöntemin uygulanması, numune başına T saniye aralıklarla alınan N veri numunesinin toplanmasıyla başlar ve ardından (isteğe bağlı olarak) bir eğilim giderme adımı gelir. İstatistiksel olarak kararlı bir spektral tahmin elde etmek için, mevcut veriler örtüşen (mümkünse) bölümlere bölünmelidir ve ardından, bu tür her bir bölüm için elde edilen numune spektrumlarının ortalaması alınmalıdır. Bu ortalama almanın parametreleri, segment başına numune sayısının (NSAMP) ve sonraki segmentin başlangıcını kaydırmak için numune sayısının (NSHIFT) uygun seçimiyle değiştirilir, bkz. şek. 6. Segmentlerin sayısı, spektral tahminin gereken düzgünlük (dağılım) derecesine ve gerekli spektral çözünürlüğe bağlı olarak seçilir. NSAMP parametresinin küçük bir değeri ile, ortalaması alınacak daha fazla segment vardır ve bu nedenle daha az dağılım ve aynı zamanda daha az frekans çözünürlüğü ile tahminler elde edilecektir. Segment uzunluğunun (NSAMP parametresi) arttırılması, doğal olarak daha az ortalama nedeniyle tahmin varyansının artması pahasına çözünürlüğü arttırır. Şekil 5'teki geri ok, incelenen süreç hakkında daha fazla bilgi edinmenizi sağlayan farklı uzunluklarda ve segmentlerdeki verilerden birkaç tekrarlı geçişe duyulan ihtiyacı gösterir.

Şekil 6. Bir Periodogramı Hesaplamak için Verileri Segmentlere Bölme

pencere

Tüm klasik spektral tahmin yöntemlerinde ortak olan önemli konulardan biri veri ağırlıklandırma ile ilgilidir. Pencereleme, spektral tahminlerde yan lobların etkilerini kontrol etmek için kullanılır. Mevcut sonlu veri kaydını, uygulanan pencereden görülebilen karşılık gelen sonsuz dizinin bir parçası olarak düşünmenin uygun olduğuna dikkat edin. Bu nedenle, N numuneden gözlemlenen veri x 0 [n] dizisi, sonsuz bir x[n] dizisinin ve bir dikdörtgen pencere fonksiyonunun ürünü olarak matematiksel olarak yazılabilir.

X 0 [n]=x[n]doğru[n].
Bu, durumun gerçekten böyle olup olmadığına bakılmaksızın, tüm gözlemlenmemiş sayıların sıfır olduğu varsayımını varsayar. Ağırlıklı bir dizinin ayrık zamanlı Fourier dönüşümü, x[n] dizi dönüşümlerinin evrişimine ve dikdörtgen pencere rect[n]'ye eşittir.

X 0 (f)=X(f)*D N (f) , burada
D N (f)= Texp(-j2pfT)sin(pfTN)/sin(pfT).

Ayrık sinc işlevi veya Dirichlet çekirdeği olarak adlandırılan D N (f) işlevi, dikdörtgen bir işlevin DTFT'sidir. Gözlemlenebilir sonlu dizi dönüşümü, sonsuz dizi dönüşümünün çarpık bir versiyonudur. Bir dikdörtgen pencerenin frekansı f 0 olan ayrık zamanlı bir sinüzoid üzerindeki etkisi Şekil 7'de gösterilmektedir.

Şekil 7. Ayrık zamanlı Fourier dönüşümünün veri ağırlıklandırması nedeniyle sızıntı nedeniyle yer değiştirmesinin gösterimi: a, c - orijinal ve ağırlıklı diziler; b, d - onların Fourier dönüşümleri.

Şekilden, sonsuz sinüzoidal dizinin DTFT'sinin keskin spektral tepelerinin, pencere dönüşümü ile evrişim nedeniyle genişlediği görülebilir. Böylece, pencere ağırlıklı bir dizinin spektral tepelerinin minimum genişliği, bu pencerenin dönüşümünün ana lobunun genişliği tarafından belirlenir ve verilere bağlı değildir. Pencere dönüşümünün yan lobları, bitişik spektral tepelerin (bazen sızıntı olarak anılır) genliklerini değiştirecektir. DTFT periyodik bir fonksiyon olduğundan, yan lobların komşu periyotlardan örtüşmesi ek sapmaya neden olabilir. Örnekleme frekansının arttırılması, yan lob süperpozisyonunun etkisini azaltır. Sinüsoidal olmayan sinyallerde de benzer bozulmalar gözlemlenecektir. Sızıntı, yalnızca ayrı sinyallerin spektrumlarında genlik hatalarının ortaya çıkmasına neden olmakla kalmaz, aynı zamanda zayıf sinyallerin varlığını da maskeleyebilir. Dikdörtgen bir pencereye kıyasla yan lobların seviyesini azaltabilen bir dizi başka pencere işlevi önerilebilir. Yan lobların seviyesini azaltmak, spektral tahminin sapmasını azaltacaktır, ancak bu, doğal olarak çözünürlükte bir bozulmaya yol açan pencere spektrumunun ana lobunu genişletme pahasına gelir. Bu nedenle burada da ana lobun genişliği ile yan lobların seviyesi arasında bir miktar uzlaşma sağlanmalıdır. Pencerelerin kalitesini değerlendirmek için çeşitli parametreler kullanılır. Geleneksel ölçü, yarı güçte ana lobun bant genişliğidir. İkinci ölçü, yukarıda girilen eşdeğer bant genişliğidir. Yan lobların özelliklerini değerlendirmek için iki gösterge de kullanılır. Birincisi maksimum seviyeleri, ikincisi ise yan lobların ana lobdan uzaklaştıkça azalan hızlarını karakterize eden bozulma oranıdır. Tablo 3, yaygın olarak kullanılan bazı ayrık zamanlı pencere işlevleri için tanımlar sağlar ve Tablo 4 bunların özelliklerini açıklar.
Tablo 3 Tipik N Noktalı Ayrık Zaman Penceresinin Tanımları Maks. yan lob seviyesi, dB -31,5

. (46)

korelogram yöntemi PSD'nin tahmini, otokorelasyon tahmininin sonlu bir değer dizisinin ifadesinde (46) bir ikamedir ( korelogramlar) bilinmeyen gerçek otokorelasyon değerlerinin sonsuz dizisi yerine. Spektral tahminin korelogram yöntemi hakkında daha fazla bilgi bulunabilir.

Edebiyat

1. Rabiner L., Gould B. Sayısal sinyal işleme teorisi ve uygulaması. M.: Mir, 1978.

2. Marple Jr. S.L. Dijital spektral analiz ve uygulamaları: Per. İngilizceden. -M.: Mir, 1990.

3. Goldberg L.M., Matyushkin B.D., Polyak M.N., Dijital sinyal işleme - M.: Radyo ve iletişim, 1990.

4. Otnes R., Enokson L. Zaman serilerinin uygulamalı analizi.- M.: Mir, 1982.

Fourier dönüşümü- bu, zamanın orijinal sürekli fonksiyonunun çeşitli frekans, genlik ve fazlardan oluşan bir dizi temel harmonik fonksiyona (sinüzoidal fonksiyonlar olan) ayrıştırılmasına dayanan bir matematiksel yöntemler ailesidir. Tanımdan, dönüşümün ana fikrinin, herhangi bir fonksiyonun, her biri genliği, frekansı ve başlangıç ​​aşaması ile karakterize edilecek sonsuz bir sinüzoid toplamı olarak temsil edilebilmesi olduğu görülebilir.

Fourier dönüşümü, spektral analizin kurucusudur. Spektral analiz, ölçülen sinyalin frekans içeriğini karakterize etmenizi sağlayan bir sinyal işleme yöntemidir. Sinyalin nasıl temsil edildiğine bağlı olarak, farklı Fourier dönüşümleri kullanılır. Fourier dönüşümünün birkaç türü vardır:

– Sürekli Fourier Dönüşümü (İngiliz literatüründe Continue Time Fourier Dönüşümü – CTFT veya kısaca, FT);

– Ayrık Fourier Dönüşümü (İngiliz literatüründe Ayrık Fourier Dönüşümü – DFT);

– Hızlı Fourier dönüşümü (İngiliz literatüründe Hızlı Fourier dönüşümü – FFT).

Sürekli Fourier Dönüşümü

Fourier dönüşümü, çeşitli bilimsel alanlarda kullanılan matematiksel bir araçtır. Bazı durumlarda, elektrik, termal veya ışık enerjisinin etkisi altında meydana gelen dinamik süreçleri tanımlayan karmaşık denklemleri çözmenin bir yolu olarak kullanılabilir. Diğer durumlarda, astronomi, tıp ve kimyadaki deneysel gözlemleri doğru bir şekilde yorumlayabilmeniz için karmaşık bir salınım sinyalindeki normal bileşenleri vurgulamanıza olanak tanır. Sürekli bir dönüşüm, genişletilmiş fonksiyonun periyodunun sonsuza gitme eğiliminde olması şartıyla, aslında Fourier serisinin bir genellemesidir. Böylece, klasik Fourier dönüşümü, değişkenin varlığının tüm aralığı boyunca alınan sinyalin spektrumu ile ilgilenir.

Sürekli Fourier dönüşümünü yazmanın, integralin önündeki katsayı değerine göre birbirinden farklı olan birkaç yazma türü vardır (iki yazı biçimi):

veya

nerede ve fonksiyonun Fourier görüntüsü veya fonksiyonun frekans spektrumu;

- dairesel frekans.

Bilim ve teknolojinin çeşitli alanlarında farklı kayıt türlerinin bulunduğuna dikkat edilmelidir. Normalizasyon faktörü, sinyalin frekans alanından zaman alanına doğru ölçeklenmesi için gereklidir. Normalleştirme faktörü, ters dönüşümün çıkışındaki sinyalin genliğini, orijinal sinyalin genliği ile eşleşecek şekilde azaltır. Matematik literatüründe, doğrudan ve ters Fourier dönüşümleri faktör ile çarpılırken, fizikte çoğu zaman faktör doğrudan dönüşüm için ayarlanmaz, ancak faktör tersi için ayarlanır. Belirli bir sinyalin doğrudan Fourier dönüşümünü sırayla hesaplar ve ardından ters Fourier dönüşümünü alırsak, ters dönüşümün sonucu orijinal sinyalle tamamen örtüşmelidir.

Eğer fonksiyon (−∞, +∞) aralığında tek ise, o zaman Fourier dönüşümü sinüs fonksiyonu cinsinden gösterilebilir:

Eğer fonksiyon (−∞, +∞) aralığında çift ise, o zaman Fourier dönüşümü kosinüs fonksiyonu cinsinden temsil edilebilir:

Böylece, sürekli Fourier dönüşümü, periyodik olmayan bir işlevi, her noktasında periyodik olmayan bir işlev için Fourier serisinin katsayısını temsil eden bir işlevin integrali olarak temsil etmemize izin verir.

Fourier dönüşümü tersine çevrilebilir, yani Fourier görüntüsü fonksiyondan hesaplanmışsa, orijinal fonksiyon Fourier görüntüsünden benzersiz bir şekilde geri yüklenebilir. Ters Fourier dönüşümü, formun bir integrali olarak anlaşılır (iki yazı biçimi):

veya

fonksiyonun Fourier görüntüsü veya fonksiyonun frekans spektrumu nerede;

- dairesel frekans.

Eğer fonksiyon (−∞, +∞) aralığında tek ise, o zaman ters Fourier dönüşümü sinüs fonksiyonu cinsinden temsil edilebilir:

Eğer fonksiyon (−∞, +∞) aralığında çift ise, o zaman ters Fourier dönüşümü kosinüs fonksiyonu cinsinden temsil edilebilir:

Örnek olarak, aşağıdaki işlevi göz önünde bulundurun . İncelenen üstel fonksiyonun grafiği aşağıda sunulmuştur.

Fonksiyon çift fonksiyon olduğundan, sürekli Fourier dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlanacaktır:

Sonuç olarak, çalışılan üstel fonksiyondaki değişimin frekans aralığına bağımlılığını elde ettik (aşağıya bakınız).

Sürekli Fourier dönüşümü genellikle teoride verilen fonksiyonlara göre değişen sinyaller göz önüne alındığında kullanılır, ancak pratikte genellikle ayrı verileri temsil eden ölçüm sonuçlarıyla ilgilenirler. Ölçüm sonuçları, örneğin 16000 Hz veya 22000 Hz gibi belirli bir örnekleme frekansıyla düzenli aralıklarla kaydedilir. Bununla birlikte, genel durumda, ayrık okumalar eşit olmayan bir şekilde gidebilir, ancak bu, matematiksel analiz aygıtını karmaşıklaştırır, bu nedenle genellikle pratikte kullanılmaz.

Kotelnikov'un önemli bir teoremi vardır (yabancı literatürde “Nyquist-Shannon teoremi”, “örnek teoremi” adı vardır), sonlu (genişliği sınırlı) spektrumlu bir analog periyodik sinyalin (0 ... fmax), spektrumun üst frekansının iki katına eşit veya daha büyük bir frekansla alınan ayrık okumalarında bozulma ve kayıp olmadan benzersiz bir şekilde geri yüklenebilir - örnekleme frekansı (fdisc >= 2*fmax). Başka bir deyişle, 1000 Hz'lik bir örnekleme hızında, bir analog periyodik sinyalden 500 Hz'e kadar frekansa sahip bir sinyal kurtarılabilir. Bir fonksiyonun zaman içinde ayrıklaştırılmasının, spektrumunun dönemselleşmesine yol açtığı ve spektrumun frekansta ayrıklaştırılmasının, işlevin dönemselleşmesine yol açtığı belirtilmelidir.

Bu, dijital sinyal işleme algoritmalarında yaygın olarak kullanılan Fourier dönüşümlerinden biridir.

Doğrudan ayrık Fourier dönüşümü, belirli bir zaman aralığında N-ölçüm noktaları tarafından tanımlanan bir zaman fonksiyonunu, bir frekans aralığında tanımlanan başka bir fonksiyonla ilişkilendirir. Zaman aralığındaki fonksiyonun N-örnekleri kullanılarak belirtildiğine ve frekans alanındaki fonksiyonun K-katlama spektrumu kullanılarak belirtildiğine dikkat edilmelidir.

k ˗ frekans indeksi.

kth sinyalinin frekansı, ifade ile belirlenir.

burada T, girdi verilerinin alındığı zaman periyodudur.

Doğrudan ayrık dönüşüm, gerçek ve sanal bileşenler açısından yeniden yazılabilir. Gerçek bileşen, kosinüs bileşenlerinin değerlerini içeren bir dizidir ve hayali bileşen, sinüs bileşenlerinin değerlerini içeren bir dizidir.

Son ifadelerden, dönüşümün sinyali, frekansları periyot başına bir salınımdan periyot başına N salınımlarına kadar olan sinüzoidal bileşenlere (harmonikler olarak adlandırılır) ayrıştırdığı görülebilir.

Ayrık Fourier dönüşümünün bir özelliği vardır, çünkü harmonik sinyalin farklı bileşimine sahip fonksiyonların toplamı ile ayrık bir dizi elde edilebilir. Başka bir deyişle, ayrı bir dizi, belirsiz bir şekilde harmonik değişkenlere ayrıştırılır. Bu nedenle, ayrık bir Fourier dönüşümü kullanılarak ayrık bir işlevi ayrıştırırken, spektrumun ikinci yarısında orijinal sinyalde olmayan yüksek frekanslı bileşenler görünür. Bu yüksek frekans spektrumu, spektrumun ilk bölümünün (frekans, faz ve genlik açısından) ayna görüntüsüdür. Genellikle spektrumun ikinci yarısı dikkate alınmaz ve spektrumun ilk bölümünün sinyal genlikleri ikiye katlanır.

Sürekli bir fonksiyonun genişlemesinin bir ayna etkisinin ortaya çıkmasına yol açmadığına dikkat edilmelidir, çünkü sürekli bir fonksiyon benzersiz bir şekilde harmonik değişkenlere ayrıştırılır.

DC bileşeninin genliği, seçilen bir süre boyunca fonksiyonun ortalama değeridir ve aşağıdaki gibi belirlenir:

Sinyalin frekans bileşenlerinin genlikleri ve fazları aşağıdaki ilişkilerle belirlenir:

Ortaya çıkan genlik ve faz değerlerine polar notasyon denir. Ortaya çıkan sinyal vektörü aşağıdaki gibi tanımlanacaktır:

Ayrık olarak verilen bir fonksiyonu belirli bir aralıkta (belirli bir periyotta) başlangıç ​​noktalarının sayısıyla dönüştürmek için algoritmayı düşünün.

D kıvılcım Fourier dönüşümü

Dönüşüm sonucunda frekans aralığında tanımlanan fonksiyonun gerçek ve sanal değerlerini elde ederiz.

Ters ayrık Fourier dönüşümü, frekans alanında K-katlı spektrum ile tanımlanan bir frekans fonksiyonunu, zaman alanında tanımlanan başka bir fonksiyonla ilişkilendirir.

N ˗ frekans spektrumunun çokluğunun yanı sıra periyot başına ölçülen sinyal değerlerinin sayısı;

k ˗ frekans indeksi.

Daha önce bahsedildiği gibi, ayrık Fourier dönüşümü, ayrı bir sinyalin N noktalarını, sinyalin N-karmaşık spektral örneklerine eşler. Bir spektral örneğin hesaplanması, N sayıda karmaşık çarpma ve toplama işlemi gerektirir. Bu nedenle, ayrık Fourier dönüşüm algoritmasının hesaplama karmaşıklığı ikinci derecedendir, başka bir deyişle karmaşık çarpma ve toplama işlemleri gereklidir.

1

Video gözetim kameraları, trafik yoğunluğunun yüksek olduğu otoyollarda trafik durumunu kontrol etmek için yaygın olarak kullanılmaktadır. Video kameralardan gelen bilgiler, sistemin görüş alanındaki araçların uzamsal konumlarındaki geçici değişiklikle ilgili verileri içerir. Bu bilgilerin televizyon ölçüm sistemlerinde (TIS) kullanılan algoritmalar bazında işlenmesi, araçların hızlarının belirlenmesini ve trafik akış kontrolünün sağlanmasını mümkün kılmaktadır. Ulaşım yollarının televizyondan izlenmesine artan ilgiyi açıklayan bu faktörlerdir.

Araçların görüntülerini gürültünün arka planına karşı filtrelemek için yöntemler geliştirmek için ana parametrelerini ve özelliklerini bilmek gerekir. Daha önce, yazarlar, doğal ve kentsel arka planların Fourier ve dalgacık spektrumları üzerine bir çalışma yürüttüler. Bu çalışma, araçların benzer spektrumlarının incelenmesine ayrılmıştır.

• bir dijital kamera kullanılarak, çeşitli türdeki araçların monokrom görüntülerinin orijinal .bmp dosyalarının bir bankası oluşturuldu (arabalar ve kamyonlar, otobüsler, her grup için farklı açılarda ve aydınlatma koşullarında görüntü sayısı 20-40 idi); görüntüler yatay olarak 400 piksel ve dikey olarak 300 pikseldi; 0 ila 255 birim arasında parlaklık aralığı;
• görüntüler araca ek olarak bir arka plan bileşeni içerdiğinden, sonuca etkisini önlemek için yapay olarak sıfır seviyesine bastırıldı;
• araç görüntülerinin özellikleri Fourier ve dalgacık analiz yöntemleri ile analiz edilmiştir.

MATLAB ortamında geliştirilen program, ortalama parlaklığı (yani, görüntü parlaklığının matematiksel beklentisi), parlaklık dağılımını, bireysel ve toplam görüntü çizgilerinin Fourier spektrumunu, spektrogramları ve bilinen çeşitli dalgacıkları (Haar, Daubechies) kullanarak dalgacık spektrumlarını hesaplamanıza olanak tanır. , Simlet vb.). Analizin sonuçları, iki boyutlu ve 3 boyutlu görüntü spektrumları şeklinde yansıtılır.

Araştırma sonuçlarına dayanarak, aşağıdaki sonuçlar çıkarılabilir:

• farklı araçların görüntülerinin ortalama parlaklık özellikleri (ortalama parlaklık, dağılım) tüm türler için benzer değerlere sahiptir; arabanın pencerelerinden ve yüzeylerinden gelen güneş parlamasının parlaklık özellikleri üzerinde önemli bir etkisi vardır; aydınlatmanın yoğunluğuna ve yönüne bağlı olarak siyah arabalar, hafif arabalara benzer parlaklık özelliklerine sahip olabilir;
• araç türünden bağımsız olarak Fourier ve dalgacık spektrumları benzer bir yapıya sahiptir;
• Araç spektrumunun Fourier genişliği zayıf bir şekilde araç tipine bağlıdır; spektrum, aydınlatma ve araç yönelimindeki değişikliklerle değişen, önemli ölçüde homojen olmayan bir yapıya sahiptir; yatay düzlemdeki spektrum, dikey olandan daha düzensiz bir yapıya sahiptir; yarı kamyonların ve otobüslerin spektral özellikleri, yüzeylerindeki çizimler ve yazılardan (reklam) büyük ölçüde etkilenir;
• arabaları döndürürken, yatay düzlemdeki görüntülerin spektrumundaki değişiklik önemlidir, dikey düzlemdeki spektrum oldukça sabit kalır; bu özellikle dalgacık spektrumlarında iyi görülmektedir;
• bireysel bir aracın ve bir aracın spektrumunun parazit arka planına karşı analizi, bunların spektral bileşenlerin genlik seviyelerinde farklılık gösterdiğini gösterir; bir arka planın yokluğunda, dikey spektrum çok daha tekdüzedir; arka planı olmayan arabaların görüntüleri için, spektrumdaki derin düşüşlerin olasılığı daha yüksektir (daha yüksek düzensizlik), arka planı olan görüntü spektrumunun zarfı, arka planı olmayandan daha tekdüzedir;
• yürütülen çalışmalar, çok sayıda faktörün güçlü etkisi nedeniyle, araçların spektral özelliklerinin (hem Fourier analizi hem de dalgacık analizi kullanılarak elde edilmiştir) araç görüntülerinin kararlı spektral özelliklerini belirlememize izin vermediğini göstermiştir; bu, arka plan bastırma için spektral görüntü filtrelemenin etkinliğini azaltır;
• otomatik trafik kontrol sistemlerinde, araçları parazit arka planına karşı ayırt etmek için renk, spektrum, nesnelerin geometrik parametreleri (boyutlar ve boyut oranları) ve dinamik özellikler gibi bir dizi özelliğin kullanılması gerekir.

KAYNAKÇA

1. Makaretsky E.A., Nguyen L.Kh. Doğal ve kentsel arka plan görüntülerinin özelliklerinin incelenmesi // Izv. Tulsk. Belirtmek, bildirmek. Üniversite. Radyo mühendisliği ve radyo optiği. - Tula, 2005. - T. 7.- S. 97-104.

bibliyografik bağlantı

Makaretsky E.A. ARAÇ GÖRÜNTÜLERİNİN FOURİER VE WAVELET SPECTRA'NIN ÇALIŞMASI // Temel Araştırma. - 2006. - No. 12. - S. 80-81;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=5557 (erişim tarihi: 01/15/2020). "Doğa Tarihi Akademisi" yayınevinin yayınladığı dergileri dikkatinize sunuyoruz.