Razmotrite Beta distribuciju, izračunajte njeno matematičko očekivanje, varijansu i mod. Koristeći MS EXCEL BETA.DIST () funkciju, iscrtaćemo grafike funkcije distribucije i gustine vjerovatnoće. Hajde da generišemo niz slučajnih brojeva i procenimo parametre distribucije.
Beta distribucijaBeta-
distribucija)
zavisi od 2 parametra: α ( alfa)> 0(određuje oblik distribucije) i b (beta)> 0(određuje skalu).
Za razliku od mnogih drugih kontinuiranih distribucija, raspon varijacije slučajne varijable ima Beta distribucija, ograničen je segmentom. Izvan ovog segmenta gustina distribucije jednako 0. Granice ovog segmenta postavlja istraživač u zavisnosti od problema. Ako je A = 0 i B = 1, onda je takav Beta distribucija naziva se standardnim.
Beta distribucija ima oznaku Beta(alfa; beta).
Bilješka: Ako su parametri alfa i beta= 1, onda Beta distribucija pretvara u, tj. Beta (1; 1; A; B) = U (A; B).
Uglavnom funkcija distribucije ne može se izraziti u elementarnim funkcijama, stoga se izračunava numeričkim metodama, na primjer, pomoću funkcije MS EXCEL BETA.DIST ().
Bilješka: Za praktičnost pisanja formula u datoteku primjera za parametre distribucije alfa i beta prikladno.
Datoteka primjera također sadrži grafikone gustina vjerovatnoće i funkcije distribucije sa označenim vrednostima srednji, i .
Generisanje slučajnih brojeva i procjena parametara
Koristeći inverzna funkcija distribucije(ili kvantilne vrijednosti ( str-
kvantil),
vidite) možete generirati vrijednosti slučajne varijable koja ima Beta distribucija... Da biste to učinili, trebate koristiti formulu:
BETA.OBR (RAND (); alfa; beta; A; B)
SAVJET: Jer nasumični brojevi se generišu pomoću funkcije RAND (), a zatim pritiskom na tipku F9, moguće je svaki put dobiti novi uzorak i, shodno tome, novu procjenu parametara.
Funkcija RAND () generiše od 0 do 1, što tačno odgovara opsegu varijacije verovatnoće (vidi. primjer lista datoteka Generacija).
Sada imamo niz slučajnih brojeva generiran sa datim parametrima distribucije alfa i beta(neka je 200), procijenimo parametre distribucije.
Procjena parametara alfa i beta može se uraditi sa metoda momenata(pretpostavlja se da su parametri A i B poznati):
Tačan link na ovaj članak:
Oleinikova S.A. - Aproksimacija zakona distribucije zbira slučajnih varijabli distribuiranih prema beta zakonu // Kibernetika i programiranje. - 2015. - br. 6. - Str. 35 - 54. DOI: 10.7256 / 2306-4196.2015.6.17225 URL: https://nbpublish.com/library_read_article.php?id=17225
Aproksimacija zakona distribucije zbira slučajnih varijabli distribuiranih prema beta zakonu
| Oleinikova Svetlana Aleksandrovna Doktor tehničkih nauka Vanredni profesor, Voronješki državni tehnički univerzitet 394026, Rusija, Voronjež, Moskovski prospekt, 14 Oleinikova Svetlana Aleksandrovna Doktor tehničkih nauka Vanredni profesor, Katedra za automatizovane i računarske sisteme, Voronješki državni tehnički univerzitet 394026, Rusija, g. Voronjež, Moskovskii prospekt, 14 Datum slanja članka uredniku: 14-12-2015
Datum recenzije članka: 15-12-2015
Anotacija. Predmet istraživanja u ovom radu je gustina distribucije slučajne varijable, koja je zbir konačnog broja beta vrijednosti, od kojih je svaka raspoređena u svom intervalu sa svojim parametrima. Ovaj zakon je široko rasprostranjen u teoriji vjerojatnosti i matematičkoj statistici, jer se može koristiti za opisivanje dovoljno velikog broja slučajnih pojava ako su vrijednosti odgovarajuće kontinuirane slučajne varijable koncentrirane u određenom intervalu. Budući da se traženi zbir beta vrijednosti ne može izraziti ni jednim od poznatih zakona, nastaje problem procjene njegove gustine distribucije. Cilj rada je pronaći takvu aproksimaciju za gustinu distribucije zbira beta vrijednosti koja bi se razlikovala u najmanjoj grešci. Da bi se postigao ovaj cilj, izveden je računski eksperiment, kao rezultat kojeg je za dati broj beta vrijednosti upoređena numerička vrijednost gustine distribucije sa aproksimacijom željene gustine. Normalna i beta distribucija su korištene kao aproksimacije. Kao rezultat eksperimentalne analize dobijeni su rezultati koji ukazuju na preporučljivost aproksimacije traženog zakona raspodjele beta zakonom. Kao jedno od područja primjene dobijenih rezultata razmatra se problem upravljanja projektima sa slučajnim trajanjem, pri čemu ključnu ulogu ima procjena vremena izvršenja projekta, što zbog specifičnosti predmetne oblasti, predstavlja jednu od područja primjene dobijenih rezultata. može se opisati zbirom beta vrijednosti.
Ključne riječi:
slučajna varijabla, beta distribucija, gustina distribucije, zakon normalne distribucije, zbir slučajnih varijabli, računski eksperiment, rekurzivni algoritam, aproksimacija, greška, PERT
10.7256/2306-4196.2015.6.17225
Datum objave: 19-01-2016
Sažetak. Predmet istraživanja u ovom radu je funkcija gustoće vjerovatnoće (PDF) slučajne varijable, koja je zbir konačnog broja beta vrijednosti. Ovaj zakon je široko rasprostranjen u teoriji vjerovatnoće i matematičkoj statistici, jer se pomoću njega može opisati dovoljno veliki broj slučajnih događaja, ako je vrijednost odgovarajuće kontinuirane slučajne varijable koncentrisana u određenom rasponu. Budući da se traženi zbir beta vrijednosti ne može izraziti ni jednim od poznatih zakona, javlja se problem procjene njegove distribucije gustine. Cilj je pronaći takvu aproksimaciju za PDF sume beta vrijednosti koja bi imala najmanju grešku. Da bi se postigao ovaj cilj, proveden je računski eksperiment u kojem je za dati broj beta vrijednosti upoređivana numerička vrijednost PDF-a sa aproksimacijom željene gustoće. Kao aproksimacije korištene su normalna i beta distribucija. Kao zaključak eksperimentalne analize dobijeni su rezultati koji ukazuju na prikladnost aproksimacije željenog zakona uz pomoć beta distribucije. Kao jedno od područja primjene rezultata razmatra se problem upravljanja projektima sa slučajnim trajanjem radova. Ovdje je ključno pitanje procjene vremena implementacije projekta, koje se, zbog specifičnosti predmetne oblasti, može opisati zbirom beta vrijednosti.
Ključne riječi: Slučajna vrijednost, beta distribucija, funkcija gustoće, normalna distribucija, zbir slučajnih varijabli, računski eksperiment, rekurzivni algoritam, aproksimacija, greška, PERT Uvod Razmatra se problem procjene zakona distribucije zbira beta vrijednosti. Ovo je univerzalni zakon koji se može koristiti za opisivanje većine slučajnih pojava sa kontinuiranim zakonom distribucije. Konkretno, u ogromnom broju slučajeva istraživanja slučajnih pojava koje se mogu opisati unimodalnim kontinuiranim slučajnim varijablama koje leže u određenom rasponu vrijednosti, takva vrijednost se može aproksimirati beta zakonom. S tim u vezi, problem pronalaženja zakona raspodjele za sumu beta-vrijednosti nije samo naučne prirode, već i od određenog praktičnog interesa. Štaviše, za razliku od većine zakona o distribuciji, beta zakon nema jedinstvena svojstva koja omogućavaju analitički opis željene količine. Štaviše, specifičnost ovog zakona je takva da je izuzetno teško izdvojiti višestruki definitivan integral neophodan za određivanje gustine sume slučajnih varijabli, a rezultat je prilično glomazan izraz čak i za n = 2, a sa povećanjem u broju pojmova, složenost konačnog izraza se višestruko povećava. S tim u vezi, javlja se problem aproksimacije gustine distribucije sume beta vrijednosti sa minimalnom greškom.
Ovaj rad predstavlja pristup pronalaženju aproksimacije za željeni zakon pomoću računarskog eksperimenta koji omogućava da se u svakom konkretnom slučaju uporedi greška dobijena procjenom gustine interesa koristeći najprikladnije zakone: normalne i beta. Kao rezultat toga, zaključeno je da je preporučljivo procijeniti zbir beta vrijednosti koristeći beta distribuciju. 1. Izjava o problemu i njegovim karakteristikama Općenito, beta zakon je određen gustinom specificiranom u intervalu kako slijedi:
`f_ (xi_ (i)) (x) = ((0,; t<0), ((t^(p_(i)-1)(1-t)^(q_(i)-1))/(B(p_(i),q_(i))(b_(i)-a_(i))^(p_(i)+q_(i)-1)), ; 0<=t<=1;),(0, ; t>1):} (1)`
Međutim, od praktičnog interesa su, po pravilu, beta vrijednosti određene u proizvoljnom intervalu. To je prvenstveno zbog činjenice da je raspon praktičnih problema u ovom slučaju mnogo širi, a drugo, pri pronalaženju rješenja za opštiji slučaj neće biti moguće dobiti rezultat za određeni slučaj, koji će biti određen slučajnom varijablom (1) ne predstavlja poteškoće. Stoga ćemo u nastavku razmatrati slučajne varijable definirane na proizvoljnom intervalu. U ovom slučaju, problem se može formulirati na sljedeći način.
Razmatramo problem procjene zakona distribucije slučajne varijable, koja je zbir slučajnih varijabli `xi_ (i),` i = 1, ..., n, od kojih je svaki raspoređen prema beta zakonu u intervalu sa parametrima p i i q i. Gustina distribucije pojedinačnih pojmova biće određena formulom:
Problem pronalaženja zakona zbira beta vrijednosti je djelomično riješen ranije. Konkretno, dobijene su formule za procjenu sume dvije beta vrijednosti, od kojih je svaka određena pomoću (1). U predloženom pristupu se traži zbir dvije slučajne varijable sa zakonom raspodjele (2).
Međutim, u opštem slučaju, prvobitni problem nije rešen. Ovo je prvenstveno zbog specifičnosti formule (2), koja ne dozvoljava da se dobiju kompaktne i pogodne formule za pronalaženje gustine iz zbira slučajnih varijabli. Zaista, za dvije količine `xi_1` i` xi_2` potrebna gustina će se odrediti na sljedeći način:
`f_ (eta) (z) = int_-prop ^ propf_ (xi_1) (x) f_ (xi_2) (z-x) dx (3)`
U slučaju sabiranja n slučajnih varijabli, dobija se višestruki integral. Istovremeno, za ovaj problem postoje poteškoće povezane sa specifičnostima beta distribucije. Konkretno, čak i za n = 2, upotreba formule (3) dovodi do prilično glomaznog rezultata, koji je definiran u terminima hipergeometrijskih funkcija. Ponovno uzimanje integrala dobijene gustine, koje se mora uraditi već pri n = 3 i više, izuzetno je teško. Istovremeno, nisu isključene greške koje će se neizbježno pojaviti prilikom zaokruživanja i izračunavanja ovako složenog izraza. U tom smislu postaje neophodno tražiti aproksimaciju za formulu (3), koja omogućava primjenu dobro poznatih formula sa minimalnom greškom.
2. Računski eksperiment za aproksimaciju gustine zbira beta vrijednosti Da bi se analizirale specifičnosti željene gustine distribucije, sproveden je eksperiment koji omogućava prikupljanje statističkih informacija o slučajnoj promenljivoj, koja je zbir unapred određenog broja slučajnih varijabli sa beta distribucijom sa datim parametrima. Eksperimentalna postavka je detaljnije opisana u. Variranjem parametara pojedinih beta vrijednosti, kao i njihovog broja, kao rezultat velikog broja sprovedenih eksperimenata, došli smo do sljedećih zaključaka.
1. Ako pojedinačne slučajne varijable uključene u zbir imaju simetrične gustine, tada histogram konačne distribucije ima oblik blizak normalnom. Oni su takođe bliski normalnom zakonu vrednovanja numeričkih karakteristika konačne vrednosti (matematičko očekivanje, varijansa, asimetrija i eksces).
2. Ako su pojedinačne slučajne varijable asimetrične (sa pozitivnim i negativnim asimetrijama), ali je ukupna asimetrija 0, onda je sa stanovišta grafičkog prikaza i numeričkih karakteristika dobijeni zakon raspodjele također blizak normalnom.
3. U drugim slučajevima, traženi zakon je vizuelno blizak beta zakonu. Konkretno, zbir pet asimetričnih slučajnih varijabli prikazan je na slici 1.
Slika 1 – Zbir pet jednako asimetričnih slučajnih varijabli
Dakle, na osnovu provedenog eksperimenta moguće je postaviti hipotezu o mogućoj aproksimaciji gustine sume beta vrijednosti normalnom ili beta raspodjelom.
Da bismo potvrdili ovu hipotezu i odabrali jedini zakon za aproksimaciju, izvešćemo sledeći eksperiment. Nakon davanja broja slučajnih varijabli sa beta distribucijom, kao i njihovih parametara, nalazimo numeričku vrijednost tražene gustine i upoređujemo je sa gustinom odgovarajuće normalne ili beta distribucije. Ovo će zahtijevati:
1) razviti algoritam koji vam omogućava da numerički procenite gustinu zbira beta vrednosti;
2) sa datim parametrima i brojem početnih vrednosti odrediti parametre konačne raspodele pod pretpostavkom normalne ili beta raspodele;
3) odrediti grešku aproksimacije normalnom distribucijom ili beta distribucijom.
Razmotrimo ove zadatke detaljnije. Numerički algoritam za pronalaženje gustine zbira beta vrijednosti baziran je na rekurziji. Zbir n proizvoljnih slučajnih varijabli može se odrediti na sljedeći način:
`eta_ (n) = xi_ (1) + ... + xi_ (n) = eta_ (n-1) + xi_ (n)` , (4)
`eta_ (n-1) = xi_ (1) + ... + xi_ (n-1)` . (5)
Slično, možete opisati gustinu distribucije slučajne varijable `eta_ (n-1)`:
`eta_ (n-1) = xi_ (1) + ... + xi_ (n-1) = eta_ (n-2) + xi_ (n-1)` , (6)
Nastavljajući slična razmišljanja i koristeći formulu (3), dobijamo:
`f_ (eta_ (n)) (x) = int_-prop ^ prop (f_ (xi_ (n-1)) (x-x_ (n-1)) * int_-prop ^ prop (f_ (xi_ (n- 2)) (x_ (n-1) -x_ (n-2)) ... int_-prop ^ propf_ (xi_ (2)) (x_ (2) -x_ (1)) dx_ (1) ... ) dx_ (n-2)) dx_ (n-1). (7) `
Ova razmatranja, kao i specifičnosti određivanja gustine za količine sa beta distribucijom, detaljnije su data u.
Parametri konačnog zakona raspodjele određuju se na osnovu pretpostavke nezavisnosti slučajnih varijabli. U ovom slučaju, matematičko očekivanje i varijansa njihovog sume će biti određeni formulama:
`Meta_ (n) = Mxi_ (1) + ... + Mxi_ (n), (8)`
Za normalni zakon, parametri a i `sigma` će biti direktno određeni formulama (8) i (9). Za beta distribuciju, prvo morate izračunati donju i gornju granicu. Mogu se definirati na sljedeći način:` `
`a = suma_ (i = 1) ^ na_ (i)`; (10)
,,, b = suma_ (i = 1) ^ nb_ (i) `. (jedanaest)
Ovdje su a i i b i granice intervala pojedinačnih članova. Zatim ćemo sastaviti sistem jednadžbi koje uključuju formule za matematičko očekivanje i varijansu beta vrijednosti:
`((Mxi = a + (ba) p / (p + q)), (Dxi = (ba) ^ (2) (pq) / ((p + q) ^ 2 (p + q + 1))) : ) (12) `
Ovdje je `xi` slučajna varijabla koja opisuje traženi zbir. Njegovo matematičko očekivanje i varijansa određuju se formulama (8) i (9); parametri a i b dati su formulama (10) i (11). Nakon što smo riješili sistem (12) s obzirom na parametre p i q, imat ćemo:
`p = ((b-Mxi) (Mxi-a) ^ 2-Dxi (Mxi-a)) / (Dxi (b-a))` . (13)
`q = ((b-Mxi) ^ 2 (Mxi-a) -Dxi (b-Mxi)) / (Dxi (b-a))` . (14)
`E = int_a ^ b | hatf (x) -f_ (eta) (x) | dx. (15) `
Ovdje je `hatf (x)` aproksimacija zbira beta vrijednosti; `f_ (eta) (x)` - zakon raspodjele zbira beta vrijednosti.
Mi ćemo uzastopno mijenjati parametre pojedinačnih beta vrijednosti da bismo procijenili greške. Posebno će biti interesantna sljedeća pitanja:
1) koliko brzo zbir beta vrijednosti konvergira normalnoj distribuciji i da li je moguće procijeniti zbir drugim zakonom koji će imati minimalnu grešku u odnosu na pravi zakon distribucije zbira beta vrijednosti;
2) koliko se povećava greška sa povećanjem asimetrije beta-vrednosti;
3) kako će se greška promijeniti ako se intervali distribucije beta vrijednosti razlikuju.
Opća šema algoritma eksperimenta za svaku pojedinačnu vrijednost beta vrijednosti može se predstaviti na sljedeći način (slika 2).
Slika 2 - Opća šema algoritma eksperimenta
PogBeta - greška koja proizlazi iz aproksimacije konačnog zakona beta distribucijom u intervalu;
PogNorm - greška koja proizlazi iz aproksimacije konačnog zakona normalnom distribucijom u intervalu;
ItogBeta - konačna vrijednost greške koja proizlazi iz aproksimacije konačne distribucije beta zakonom;
ItogNorm - ukupna vrijednost greške koja proizlazi iz aproksimacije konačne distribucije normalnim zakonom. 3. Eksperimentalni rezultati Analizirajmo rezultate ranije opisanog eksperimenta.
Dinamika smanjenja grešaka sa povećanjem broja pojmova prikazana je na slici 3. Apscisa pokazuje broj pojmova, a ordinata veličinu greške. U daljem tekstu serija "Norma" prikazuje promenu greške po normalnoj distribuciji, serija "Beta" - beta - distribucija.
Slika 3 - Smanjenje grešaka sa smanjenjem broja termina
Kao što se vidi iz ove slike, za dva člana, greška aproksimacije po beta zakonu je oko 4 puta manja od greške aproksimacije po normalnom zakonu distribucije. Očigledno, kako se članovi povećavaju, greška aproksimacije po normalnom zakonu opada mnogo brže od beta zakona. Takođe se može pretpostaviti da će za veoma veliki broj članova aproksimacija po normalnom zakonu imati manju grešku od aproksimacije beta distribucijom. Međutim, uzimajući u obzir veličinu greške u ovom slučaju, može se zaključiti da je sa stanovišta broja pojmova poželjnija beta distribucija.
Slika 4 prikazuje dinamiku promjena grešaka s povećanjem asimetrije slučajnih varijabli. Bez gubitka općenitosti, parametar p svih početnih beta vrijednosti je fiksiran sa vrijednošću 2, a dinamika promjene parametra q + 1 prikazana je na osi apscise. Osa ordinata na grafovima pokazuje grešku aproksimacije. Rezultati eksperimenta s drugim vrijednostima parametara općenito su slični.
U ovom slučaju je također očigledno da je poželjno aproksimirati zbir beta vrijednosti beta distribucijom.
Slika 4 - Promjena aproksimacijskih grešaka sa povećanjem asimetrije veličina
Zatim smo analizirali promjenu grešaka pri promjeni raspona početnih beta vrijednosti. Na slici 5 prikazani su rezultati mjerenja greške za zbir četiri beta vrijednosti, od kojih su tri raspoređene u intervalu, a raspon četvrte se uzastopno povećava (iscrtan je na apscisi).
Slika 5 - Promjena u greškama pri promjeni intervala distribucije slučajnih varijabli
Na osnovu grafičkih ilustracija prikazanih na slikama 3-5, kao i uzimajući u obzir podatke dobijene kao rezultat eksperimenta, može se zaključiti da je preporučljivo koristiti beta distribuciju za aproksimaciju sume beta vrijednosti.
Kao što pokazuju dobijeni rezultati, u 98% slučajeva greška u aproksimaciji istraživane vrednosti beta zakonom će biti manja nego u aproksimaciji normalne distribucije. Prosječna vrijednost greške beta aproksimacije će prvenstveno zavisiti od širine intervala u kojima je svaki član raspoređen. U ovom slučaju, ova procjena (za razliku od normalnog zakona) vrlo malo zavisi od simetrije slučajnih varijabli, kao i od broja članova. 4. Prijave Jedno od područja primjene dobijenih rezultata je zadatak upravljanja projektima. Projekat je skup međusobno zavisnih serijsko-paralelnih poslova sa nasumičnim trajanjem usluge. U ovom slučaju, trajanje projekta će biti slučajna vrijednost. Očigledno je da je procjena zakona raspodjele ove količine od interesa ne samo u fazama planiranja, već iu analizi mogućih situacija povezanih s neblagovremenim dovršetkom svih radova. Uzimajući u obzir činjenicu da kašnjenje projekta može dovesti do raznih nepovoljnih situacija, uključujući novčane kazne, procjena zakona raspodjele slučajne varijable koja opisuje trajanje projekta čini se izuzetno važnim praktičnim zadatkom.
Trenutno se za ovu procjenu koristi PERT metoda. Prema njegovim pretpostavkama, trajanje projekta je normalno raspoređena slučajna varijabla `eta` sa parametrima:
`a = suma_ (i = 1) ^ k Meta_ (i)`, (16)
`sigma = sqrt (suma_ (i = 1) ^ k D eta_ (i))` . (17)
Ovdje je k broj poslova na kritičnom putu projekta; `eta_ (1)`, ..., `eta_ (k)` - trajanje ovih radova.
Razmotrimo korekciju PERT metode, uzimajući u obzir dobijene rezultate. U ovom slučaju ćemo pretpostaviti da je trajanje projekta raspoređeno prema beta zakonu sa parametrima (13) i (14).
Probajmo dobijene rezultate u praksi. Razmotrite projekat definisan mrežnim dijagramom prikazanim na slici 6.
Slika 6 - Primjer mrežnog dijagrama
Ovdje ivice grafa označavaju poslove, težine ivica označavaju brojeve poslova; vrhovi u kvadratima - događaji koji označavaju početak ili kraj rada. Neka su radovi dati trajanjem datim u tabeli 1.
Tabela 1 - Vremenske karakteristike projektnih radova
| Rad br. |
min |
max |
Mat. pričekaj |
| 1
|
5
|
10
|
9
|
| 2
|
3
|
6
|
4
|
| 3
|
6
|
8
|
7
|
| 4
|
4
|
7
|
6
|
| 5
|
4
|
7
|
7
|
| 6
|
2
|
5
|
3
|
| 7
|
4
|
8
|
6
|
| 8
|
4
|
6
|
5
|
| 9
|
6
|
8
|
7
|
| 10
|
2
|
6
|
4
|
| 11
|
9
|
13
|
12
|
| 12
|
2
|
6
|
3
|
| 13
|
5
|
7
|
6
|
U gornjoj tabeli, min je najkraće vrijeme u kojem se ovaj posao može završiti; max - najduže vrijeme; Mat. pričekaj je matematičko očekivanje beta distribucije, koje pokazuje očekivano vrijeme za završetak datog posla.
Mi ćemo simulirati proces izvođenja projekta koristeći posebno razvijen sistem simulacionog modeliranja. Detaljnije je opisano u. Kao izlaz, trebate dobiti:
Projektni histogrami;
Procjena vjerovatnoće realizacije projekta u datom intervalu na osnovu statističkih podataka simulacionog sistema;
Procjena vjerovatnoća korištenjem normalne i beta distribucije.
Tokom simulacije izvođenja projekta 10.000 puta dobijen je uzorak trajanja usluge čiji je histogram prikazan na slici 7.
Slika 7 - Histogram trajanja projekta
Očigledno je da se izgled histograma prikazanog na slici 7 razlikuje od grafika gustine zakona normalne distribucije.
Koristićemo formule (8) i (9) da pronađemo konačno matematičko očekivanje i varijansu. Dobijamo:
`M eta = 27; D eta = 1,3889.`
Vjerovatnoća pogađanja zadanog intervala izračunat će se korištenjem dobro poznate formule:
`P (l (18)
gdje je `f_ (eta) (x)` zakon raspodjele slučajne varijable `eta`, l i r- granice interesnog intervala.
Izračunajmo parametre za konačnu beta distribuciju. Za to koristimo formule (13) i (14). Dobijamo:
p = 13,83; q = 4,61.
Granice beta distribucije određene su formulama (10) i (11). imat će:
Rezultati studije dati su u tabeli 2. Bez gubitka opštosti, izaberemo broj pokretanja modela jednak 10000. U koloni „Statistika“ izračunava se verovatnoća dobijena na osnovu statističkih podataka. Kolona "Normalno" prikazuje vjerovatnoću izračunatu prema zakonu normalne distribucije, koji se sada koristi za rješavanje problema. Beta kolona sadrži vrijednost vjerovatnoće izračunate iz beta distribucije.
Tabela 2 – Rezultati probabilističkih procjena
Na osnovu rezultata prikazanih u tabeli 2, kao i sličnih rezultata dobijenih tokom modeliranja procesa izvođenja drugih projekata, može se zaključiti da su dobijene procjene aproksimacije zbira slučajnih varijabli (2) beta distribucija omogućava da se dobije rešenje ovog problema sa većom preciznošću u poređenju sa postojećim kolegama. Cilj ovog rada bio je pronaći takvu aproksimaciju zakona raspodjele zbira beta vrijednosti koja bi se razlikovala u najmanjoj grešci u poređenju sa drugim analogama. Dobijeni su sljedeći rezultati.
1. Eksperimentalno je postavljena hipoteza o mogućnosti aproksimacije sume beta vrijednosti pomoću beta distribucije.
2. Razvijen je softverski alat koji omogućava da se dobije numerička vrijednost greške koja proizlazi iz aproksimacije željene gustine zakonom normalne distribucije i beta zakonom. Ovaj program se temelji na rekurzivnom algoritmu koji vam omogućava da numerički odredite gustinu zbira beta vrijednosti sa datom gustinom, što je detaljnije opisano u.
3. Postavljen je računski eksperiment čija je svrha bila da se uporednom analizom grešaka u različitim uslovima utvrdi najbolja aproksimacija. Eksperimentalni rezultati su pokazali izvodljivost korištenja beta distribucije kao najbolje aproksimacije gustine distribucije zbira beta vrijednosti.
4. Dat je primjer u kojem su dobijeni rezultati od praktičnog značaja. Ovo su zadaci upravljanja projektima s nasumičnim vremenom izvršenja za pojedinačne poslove. Važan problem za takve zadatke je procjena rizika povezanih sa kasnim dovršetkom projekta. Dobijeni rezultati omogućavaju da se dobiju preciznije procjene željenih vjerovatnoća i kao posljedica toga da se smanji vjerovatnoća grešaka u planiranju.
Bibliografija
|
|
Ti nisi rob!
Zatvoreni edukativni kurs za djecu elite: "Pravo uređenje svijeta."
http://noslave.org
Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije
Beta distribucija
Gustoća vjerovatnoće
Funkcija gustoće vjerovatnoće za Beta distribuciju |
Funkcija distribucije
Kumulativna funkcija distribucije za Beta distribuciju |
| Oznaka
|
texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku / README za pomoć pri postavljanju.): \ Text (Be) (\ alpha, \ beta)
|
| Parametri
|
Nije moguće raščlaniti izraz (izvršni texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku / README - referenca za podešavanje.): \ Alpha> 0
Nije moguće raščlaniti izraz (izvršni texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku / README za pomoć za konfiguraciju.): \ Beta> 0
|
| Carrier
|
Nije moguće raščlaniti izraz (izvršni texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku / README za pomoć pri konfiguraciji.): X \ in
|
| Gustoća vjerovatnoće
|
Nije moguće raščlaniti izraz (izvršni texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku / README za pomoć pri postavljanju.): \ Frac (x ^ (\ alpha-1) (1-x) ^ (\ beta-1)) (\ mathrm (B) (\ alpha, \ beta))
|
| Funkcija distribucije
|
Nije moguće raščlaniti izraz (izvršni texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku / README za pomoć u konfiguraciji.): I_x (\ alpha, \ beta)
|
| Očekivana vrijednost
|
Nije moguće raščlaniti izraz (izvršni texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku / README za pomoć pri podešavanju.): \ Frac (\ alpha) (\ alpha + \ beta)
|
| Medijan
|
|
| Moda
|
Nije moguće raščlaniti izraz (izvršni texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku / README za pomoć pri podešavanju.): \ Frac (\ alpha-1) (\ alpha + \ beta-2) za Nije moguće raščlaniti izraz (izvršni texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku / README za pomoć pri podešavanju.): \ Alpha> 1, \ beta> 1
|
| Disperzija
|
Nije moguće raščlaniti izraz (izvršni texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku / README za pomoć pri postavljanju.): \ Frac (\ alpha \ beta) ((\ alpha + \ beta) ^ 2 (\ alpha + \ beta + 1))
|
| Koeficijent asimetrije
|
Nije moguće raščlaniti izraz (izvršni texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku / README za pomoć pri postavljanju.): \ Frac (2 \, (\ beta- \ alpha) \ sqrt (\ alpha + \ beta + 1)) ((\ alpha + \ beta + 2) \ sqrt (\ alpha \ beta))
|
| Kurtosis koeficijent
|
Nije moguće raščlaniti izraz (izvršni texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku / README za pomoć pri postavljanju.): 6 \, \ frac (\ alpha ^ 3- \ alpha ^ 2 (2 \ beta-1) + \ beta ^ 2 (\ beta + 1) -2 \ alpha \ beta ( \ beta + 2)) (\ alpha \ beta (\ alpha + \ beta + 2) (\ alpha + \ beta + 3))
|
| Diferencijalna entropija
|
|
| Generirajuća funkcija momenata
|
Nije moguće raščlaniti izraz (izvršni texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku / README za pomoć pri postavljanju.): 1 + \ sum_ (k = 1) ^ (\ infty) \ lijevo (\ prod_ (r = 0) ^ (k-1) \ frac (\ alpha + r) (\ alfa + \ beta + r) \ desno) \ frac (t ^ k) (k
!}
|
| Karakteristična funkcija
|
Nije moguće raščlaniti izraz (izvršni texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku / README za pomoć pri postavljanju.): () _1F_1 (\ alpha; \ alpha + \ beta; i \, t)
|
Beta distribucija u teoriji vjerovatnoće i statistici, dvoparametarska porodica apsolutno kontinuiranih distribucija. Koristi se za opisivanje slučajnih varijabli čije su vrijednosti ograničene na konačni interval.
Definicija
|
| 90px |
Distribucije vjerovatnoće |
|---|
| Jednodimenzionalni |
Multidimenzionalno |
|---|
| diskretno:
|
Bernoulli | Binom | Geometrijski | Hipergeometrijski | Logaritamski | Negativan binom | Poisson | Diskretna uniforma |
Multinomijalna |
|---|
| Apsolutno kontinuirano:
|
Beta| Weibulla | Gama | Hipereksponencijalna | Gompertz Distribution | Kolmogorov | Cauchy | Laplace | Lognormal | | | Kopula |
|---|
Izvod koji karakteriše Beta distribuciju
Suze su mi blistale u očima... I nisam se nimalo stidio toga. Dao bih mnogo da sretnem jednog od njih živog!.. Posebno Magdalenu. Kakva je čudesna, drevna magija gorjela u duši ove nevjerovatne žene kada je stvorila svoje čarobno kraljevstvo?! Kraljevstvo u kojem su vladali Znanje i Razumevanje, a čija je okosnica bila Ljubav. Samo ne ljubav o kojoj je vikala "sveta" crkva, istrošivši ovu čudesnu riječ do te mjere da je više nisam htio čuti, nego ona lijepa i čista, prava i hrabra, jedina i zadivljujuća LJUBAV sa čijom ime su rođene moći ... i sa čijim imenom su drevni ratnici jurnuli u bitku ... sa čijim imenom se rodio novi život ... po čijem se imenu naš svet promenio i postao bolji ... Ovu ljubav je nosila Zlatna Marija. I baš ovoj Mariji bih se poklonio... Za sve što je nosila, za njen čisti, svijetli ŽIVOT, za njenu hrabrost i hrabrost, i za Ljubav.
Ali, nažalost, to je bilo nemoguće učiniti... Živjela je prije nekoliko stoljeća. I nisam mogao biti taj koji je poznaje. Neverovatno duboka, lagana tuga odjednom mi je preplavila glavu, a gorke suze su se slile...
- Pa šta si, prijatelju!.. Čekaju te druge tuge! - iznenađeno je uzviknuo Sever. - Molim te, smiri se...
Nežno je dodirnuo moju ruku i tuga je postepeno nestala. Ostala je samo gorčina, kao da sam izgubio nešto lagano i skupo...
- Ne možeš se opustiti... Rat te čeka, Isidora.
- Reci mi, Sever, da li se učenje Katara zvalo Učenje ljubavi zbog Magdalene?
- Ovde nisi sasvim u pravu, Isidora. Neupućeni su ga zvali Učenje ljubavi. Za one koji su razumjeli, to je imalo sasvim drugo značenje. Poslušaj zvuk riječi, Isidora: ljubav na francuskom zvuči - amor - zar ne? A sada skinite ovu riječ, odvajajući slovo "a" od nje... Ispašće a'mor ("mort) - bez smrti... Ovo je pravo značenje Magdaleninog učenja - Učenje besmrtnika .Kao što sam ti već rekao - sve jednostavno Isidora, samo da gledaš i slušaš kako treba... Pa, a za one koji ne čuju - neka ostane Učenje ljubavi... i to je lijepo.
Stajao sam potpuno zapanjen. Učenje besmrtnika!.. Daariya... Dakle, šta je bilo učenje Radomira i Magdalene!.. Sever me je mnogo puta iznenadio, ali nikada ranije nisam bio tako šokiran!.. Učenje Katara me je privuklo njegova moćna, magična moć, i nisam mogao sebi oprostiti što ranije nisam razgovarao o tome sa Sjeverom.
- Reci mi, Severe, je li ostalo nešto od katarskih zapisa? Nešto je sigurno preživjelo, zar ne? Čak i ako ne sami Savršeni, onda barem samo učenici? Mislim nešto o njihovom stvarnom životu i podučavanju?
- Nažalost - ne, Isidora. Inkvizicija je uništila sve, svuda. Njeni vazali su, po papinoj naredbi, čak slani u druge zemlje da unište svaki rukopis, svaki preostali komad brezove kore koji su mogli pronaći... Tražili smo barem nešto, ali nismo uspjeli ništa spasiti.
- Pa, šta je sa samim ljudima? Zar ne bi moglo ostati nešto za ljude koji će to čuvati kroz vekove?
- Ne znam, Isidora... Mislim, čak i da je neko imao zapis, vremenom se menjao. Uostalom, prirodno je da čovjek sve preoblikuje na svoj način... A pogotovo bez razumijevanja. Tako da je malo vjerovatno da je išta opstalo kao što je bilo. Šteta... Istina, sačuvali smo dnevnike Radomira i Magdalene, ali to je bilo prije nastanka katara. Mada, mislim da se nastava nije promenila.
- Izvini na mojim zbrkanim mislima i pitanjima, Sever. Vidim da sam mnogo izgubio a da nisam došao kod tebe. Ali još uvek sam živ. I dok dišem, još mogu da te pitam, zar ne? Možete li mi reći kako je završio Svetodarov život? Izvinite na smetnji.
Sever se iskreno nasmešio. Svidjelo mu se moje nestrpljenje i žeđ da „imam vremena“ da saznam. I nastavio je sa zadovoljstvom.
Nakon povratka, Svetodar je samo dvije godine živio i učio u Oksitaniji, Isidora. Ali ove godine su postale najskuplje i najsretnije godine njegovog lutalačkog života. Njegovi dani, obasjani veselim Belojarovim smehom, prolazili su u njegovom voljenom Montseguru, okruženi Savršenima, kojima se Svetodar iskreno i iskreno trudio da prenese ono čemu ga je daleki Lutalica godinama učio.
- Bernulijeva formula.
Sebe distribucija
su pozvani binom.
Parametri binomne distribucije su vjerovatnoća uspjeha p (q = 1 - p) i broj pokušaja n. Binomna distribucija je korisna za opisivanje distribucije binomnih događaja, kao što je broj muškaraca i žena u slučajno odabranim kompanije. Upotreba binomne distribucije u problemima igara je od posebne važnosti.
Tačna formula za vjerovatnoću m uspjeha u n pokušaja je napisana na sljedeći način:
gdje je p vjerovatnoća uspjeha; q je 1-p, q> = 0, p + q = 1; n - broj testova, m = 0,1 ... m
Glavne karakteristike binomske distribucije:
6. Poissonova formula i Poissonova distribucija.
Neka je broj pokušaja n veliki, vjerovatnoća p mala, i
np je mali. Tada se vjerovatnoća m uspjeha u n pokušaja može približno odrediti pomoću Poissonova formula:
.
Slučajna varijabla sa nizom distribucije m,
ima Poissonovu distribuciju. Što je više n, to je Poissonova formula preciznija. Za grube proračune, formula se koristi za n = 10,
0 - 2, za n = 100
0 - 3. U inženjerskim proračunima, formula se primjenjuje kada je n = 20,
0 - 3, n = 100,
0 - 7. Za tačne proračune, formula se primjenjuje kada je n = 100,
0 - 7, n = 1000,
0
– 15.
Izračunajmo matematičko očekivanje i varijansu slučajne varijable s Poissonovom distribucijom.
Glavne karakteristike Poissonove slučajne varijable:
Grafikon Poissonove distribucije:
7. Geometrijska raspodjela.
Razmotrimo Bernoullijevu šemu. Označimo X - broj pokušaja prije prvog uspjeha, ako je vjerovatnoća uspjeha u jednom pokušaju p. Ako je prvi test uspješan, tada je X = 0. Stoga,
... Ako je X = 1, tj. prvi test je neuspješan, a drugi uspješan, zatim po teoremi množenja
... Slično, ako je X = n, tada su svi testovi do n-tog testa neuspješni i
... Hajde da sastavimo seriju distribucije slučajne varijable X
Slučajna varijabla s takvim nizom raspodjele ima geometrijska distribucija.
Provjerimo stanje normalizacije:
8. Hipergeometrijska raspodjela.
Ovo je diskretna distribucija vjerovatnoće slučajne varijable X koja uzima cjelobrojne vrijednosti m = 0, 1,2, ..., n sa vjerovatnoćama:
gdje su N, M i n nenegativni cijeli brojevi i M< N, n < N.
Matematičko očekivanje hipergeometrijske distribucije ne zavisi od N i poklapa se sa matematičkim očekivanjem µ = np odgovarajuće binomske distribucije.
Disperzija hipergeometrijske distribucije 
ne prelazi varijansu binomne distribucije npq. Instance bilo kojeg reda hipergeometrijske distribucije teže odgovarajućim vrijednostima momenata binomne distribucije.
9. Beta distribucija.
Beta distribucija ima gustinu oblika:
Standardna beta distribucija koncentrirana je u rasponu od 0 do 1. Primjenom linearnih transformacija, beta vrijednost se može transformirati tako da će poprimiti vrijednosti u bilo kojem rasponu.
Glavne numeričke karakteristike veličine sa beta distribucijom:
Imenica, Broj sinonima: 1 distribucija (62) ASIS rečnik sinonima. V.N. Trishin. 2013 ... Rečnik sinonima
beta distribucija- 1.45. beta distribucija Distribucija vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X, koja može imati bilo koje vrijednosti od 0 do 1, uključujući granice, i čija je gustina distribucije na 0 £ x £ 1 i parametri m1> 0, m2> 0, gdje je G .. ... Rječnik-priručnik pojmova normativne i tehničke dokumentacije
beta distribucija- Distribucija vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable koja uzima vrijednosti na segmentu, čija je gustina data formulom, gdje je, a, b> 0 i gama funkcija. Bilješka. Njegovi posebni slučajevi su u širokoj upotrebi ... ... Rječnik sociološke statistike
Pogledajte plan... Rečnik sinonima
U teoriji vjerovatnoće i matematičkoj statistici, Dirichletova distribucija (nazvana po Johannu Peteru Gustave Lejeuneu Dirichletu) koja se često označava kao Dir (α) je porodica kontinuiranih multivarijantnih distribucija vjerovatnoće parametriziranih vektorom α ... ... Wikipedia
Beta: Vikirečnik ima unos "beta" Beta (slovo) (β) je drugo slovo grčkog alfabeta. Beta testiranje Beta koeficijent Beta funkcija (matematika) Beta distribucija (teorija vjerovatnoće ... Wikipedia
Gustoća vjerovatnoće ... Wikipedia
Distribucija vjerojatnosti je zakon koji opisuje raspon vrijednosti slučajne varijable i vjerovatnoću njihovog prihvatanja. Sadržaj 1 Definicija 2 Načini definiranja distribucija ... Wikipedia
Distribucija. Pearsonova distribucija Gustoća vjerovatnoće ... Wikipedia
Knjige
- Poređenje upisa u obrazovne programe na univerzitetu na osnovu rezultata olimpijada i rezultata USE, O. V. Poldin. U članku se za poređenje kvalitete prijema na univerzitete za različite obrazovne programe predlaže korištenje prilagođenih krivulja potražnje dobivenih iz rezultata USE onih upisanih u ...
