Bio je lijen. Kako bi djeca dugo bila zaokupljena, a i sam zadremao, zamolio ih je da saberu brojeve od 1 do 100.
Gauss je brzo dao odgovor: 5050. Tako brzo? Učitelj nije vjerovao, ali mladi genije je bio u pravu. Sabiranje svih brojeva od 1 do 100 je za luđake! Gauss je pronašao formulu:
$$\sum_(1)^(n)=\frac(n(n+1))(2)$$
$$\sum_(1)^(100)=\frac(100(100+1))(2)=50\cdot 101=5050$$
Kako je to uradio? Pokušajmo razumjeti primjer zbira od 1 do 10.
Prvi način: podijelite brojeve u parove
Zapišimo brojeve od 1 do 10 kao matricu sa dva reda i pet stupaca:
$$\left(\begin(niz)(c)1&2&3&4&5\\ 10&9&8&7&6 \end(niz)\desno)$$
Zanimljivo je da je zbir svake kolone 11, odnosno $n+1$. I postoji 5 takvih parova brojeva ili $\frac(n)(2)$. Dobijamo našu formulu:
$$Broj\ kolone\cdotSum\ brojevi\ in\ kolone=\frac(n)(2)\cdot(n+1)$$
Ako je neparan broj pojmova?
Šta ako zbrojite brojeve od 1 do 9? Nemamo jedan broj da bismo napravili pet parova, ali možemo uzeti nulu:
$$\left(\begin(niz)(c)0&1&2&3&4\\ 9&8&7&6&5 \end(niz)\desno)$$
Zbir kolona je sada 9 ili tačno $n$. Šta je sa brojem kolona? Još pet kolona (hvala nula!), ali sada je broj kolona definiran kao $\frac(n+1)(2)$ (y ima $n+1$ brojeva i upola manje kolona).
$$Broj\ stupci\cdotSum\ brojevi\ in\ stupci=\frac(n+1)(2)\cdot n$$
Drugi način: udvostručiti i pisati u dva reda
U ova dva slučaja zbir brojeva izračunavamo malo drugačije.
Možda postoji način da se jednako izračuna zbir za paran i neparan broj članova?
Umjesto da pravimo neku vrstu “petlje” od brojeva, zapišimo ih u dva reda, dok broj brojeva množimo sa dva:
$$\left(\begin(niz)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\10&9&8&7&6&5&4&3&2&1 \end(niz)\desno)$$
Za neparan slučaj:
$$\left(\begin(niz)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end(niz)\desno)$$
Može se vidjeti da je u oba slučaja zbir kolona $n+1$, a broj kolona $n$.
$$Broj\ kolone\cdotSum\ brojevi\ in\ kolone=n\cdot(n+1)$$
Ali potreban nam je samo zbir jednog reda, dakle:
$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$
Treći način: napravite pravougaonik
Postoji još jedno objašnjenje, hajde da pokušamo da dodamo krstove, recimo da imamo krstove:
To samo izgleda kao drugačiji prikaz drugog načina - svaka naredna linija piramide ima više križeva i manje nula. Broj svih križeva i nula je površina pravokutnika.
$$Area=Visina\cdotWidth=n\cdot(n+1)$$
Ali potreban nam je zbir krstova, dakle:
$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$
Četvrti način: aritmetička sredina
Poznato: $Mean\arithmetic=\frac(Sum)(Broj\članovi)$
Zatim: $Sum = mean\arithmetic\cdotNumber\members$
Znamo broj članova - $n$. Kako izraziti aritmetičku sredinu?
Obratite pažnju da su brojevi ravnomerno raspoređeni. Za svaki veliki broj, postoji mali na drugom kraju.
1 2 3, prosječno 2
1 2 3 4, srednja vrijednost 2.5
U ovom slučaju, aritmetička sredina je aritmetička sredina brojeva 1 i $n$, tj. $Mean\arithmetic=\frac(n+1)(2)$
$$Sum = \frac(n+1)(2)\cdot n$$
Peti način: integralni
Svi znamo da određeni integral izračunava zbir. Izračunajmo zbir od 1 do 100 kao integral? Da, ali prvo, hajde da nađemo barem zbir od 1 do 3. Neka su naši brojevi funkcija y(x). Hajde da nacrtamo sliku:
Visine tri pravougaonika su samo brojevi od 1 do 3. Povucimo pravu liniju kroz sredine "kapa":
Bilo bi lijepo pronaći jednačinu ove prave. Prolazi kroz tačke (1.5;1) i (2.5;2). $y=k\cdot x+b$.
$$\begin(cases)2.5k + b = 2\\1.5k + b = 1\end(cases)\Rightarrow k=1; b=-0,5$$
Dakle, jednadžba prave linije kojom možemo aproksimirati naše pravokutnike $y=x-0.5$
Od pravougaonika odsiječe žute trokute, ali im odozgo "dodaje" plave. Žuta je jednaka plavoj. Prvo, uvjerite se da korištenje integrala vodi do Gaussove formule:
$$\int_(1)^(n+1) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2 ))(|)^(n+1)_(1)=\frac((n+1)^(2))(2)-\frac(n+1)(2)=\frac(n^( 2)+2n+1-n-1)(2)=\frac(n^(2)+n)(2)$$
Sada izračunajmo zbir od 1 do 3, uzmimo X od 1 do 4, tako da sva naša tri pravokutnika spadaju u integral:
$$\int_(1)^(4) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(4)_(1)=\frac(4^(2))(2)-2-(0,5-0,5)=6$$
$$\int_(1)^(101) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(101)_(1)=\frac(101^(2))(2)-50,5-(0,5-0,5)=5100,5-50,5=5050$$
I zašto je sve ovo potrebno?
$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)$$
Prvog dana je jedna osoba došla na Vašu stranicu, drugog dana dvije osobe... Svakim danom broj posjeta se povećavao za 1. Koliko će posjeta stranica imati do kraja 1000. dana?
$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)=\frac(1000^(2))(2) +\frac(1000)(2) = 500000+500=500500$$
Ciklus "Zabavna matematika" posvećen je djeci koja vole matematiku i roditeljima koji posvećuju vrijeme razvoju svoje djece, "zabacujući" ih zanimljivim i zabavnim zadacima, slagalicama.
Prvi članak u ovoj seriji posvećen je Gaussovom pravilu.
Malo istorije
Čuveni njemački matematičar Carl Friedrich Gauss (1777-1855) razlikovao se od svojih vršnjaka od ranog djetinjstva. Uprkos činjenici da je bio iz siromašne porodice, prilično rano je naučio čitati, pisati i računati. U njegovoj biografiji se čak spominje da je u dobi od 4-5 godina mogao ispraviti grešku u očevim pogrešnim proračunima, samo gledajući ga.
Jedno od njegovih prvih otkrića napravio je sa 6 godina na času matematike. Učitelj je morao dugo da zaokuplja djecu i predložio je sljedeći problem:
Pronađite zbroj svih prirodnih brojeva od 1 do 100.
Mladi Gauss se prilično brzo nosio s ovim zadatkom, pronašavši zanimljiv obrazac, koji je postao široko rasprostranjen i još uvijek se koristi u mentalnom brojanju.
Pokušajmo usmeno riješiti ovaj problem. Ali prvo, uzmimo brojeve od 1 do 10:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
Pogledajte pažljivo ovu sumu i pokušajte da pogodite šta je bilo neobično kod Gausa? Da biste odgovorili, morate dobro razumjeti sastav brojeva.
Gauss je grupirao brojeve na sljedeći način:
(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)
Tako je mali Karl dobio 5 parova brojeva, od kojih svaki pojedinačno daje ukupno 11. Zatim, da biste izračunali zbir prirodnih brojeva od 1 do 10, trebate
Vratimo se originalnom problemu. Gauss je primijetio da je prije zbrajanja potrebno grupirati brojeve u parove, te je tako izmislio algoritam zahvaljujući kojem možete brzo sabirati brojeve od 1 do 100:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
Pronađite broj parova u nizu prirodnih brojeva. U ovom slučaju ima ih 50.
Zbrojite prvi i zadnji broj ovog niza. U našem primjeru, to su 1 i 100. Dobijamo 101.
Rezultirajući zbir prvog i posljednjeg člana serije množimo sa brojem parova ovog niza. Dobijamo 101 * 50 = 5050
Dakle, zbir prirodnih brojeva od 1 do 100 je 5050.
Zadaci za korištenje Gaussovog pravila
A sada je vaša pažnja pozvana na probleme u kojima se Gaussovo pravilo u jednom ili drugom stepenu koristi. Ove zagonetke je sasvim sposoban da razume i reši učenik četvrtog razreda.
Djetetu možete dati priliku da rasuđuje za sebe, tako da ono samo „izmisli“ ovo pravilo. I možete ga rastaviti i vidjeti kako ga može koristiti. Među zadacima u nastavku su primjeri u kojima morate razumjeti kako modificirati Gaussovo pravilo da biste ga primijenili na dati niz.
U svakom slučaju, da bi dijete moglo s tim operirati u svojim proračunima, potrebno je razumjeti Gaussov algoritam, odnosno sposobnost pravilnog podjele u parove i brojanja.
Bitan! Ako se formula pamti bez razumijevanja, onda će se vrlo brzo zaboraviti.
Zadatak 1
Pronađite zbir brojeva:
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.
Rješenje.
U početku možete dati djetetu priliku da samo riješi prvi primjer i ponuditi mu da pronađe način na koji je to lako učiniti u umu. Zatim analizirajte ovaj primjer s djetetom i pokažite kako je Gauss to učinio. Radi jasnoće, najbolje je zapisati niz i povezati parove brojeva linijama koje daju isti broj. Važno je da dijete razumije kako se formiraju parovi - uzimamo najmanji i najveći od preostalih brojeva, pod uslovom da je broj brojeva u redu paran.
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050
Zadatak2
Postoji 9 utega težine 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g. Mogu li se ovi utezi podijeliti na tri gomile jednake težine?
Rješenje.
Koristeći Gaussovo pravilo, nalazimo zbir svih težina:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (g)
Dakle, ako možemo grupirati utege tako da svaka hrpa sadrži utege ukupne težine 15g, onda je problem riješen.
Jedna od opcija:
- 9g, 6g
- 8g, 7g
- 5g, 4g, 3g, 2g, 1g
Pronađite druge moguće opcije sami sa svojim djetetom.
Obratite pažnju na dijete da kada se takvi problemi rješavaju, bolje je uvijek početi grupisanje sa većom težinom (brojem).
Zadatak 3
Da li je moguće podijeliti brojčanik na dva dijela ravnom linijom tako da su zbroji brojeva u svakom dijelu jednaki?
Rješenje.
Za početak, primijeni Gaussovo pravilo na niz brojeva 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: pronađi zbroj i vidi da li je djeljiv sa 2:
Tako da možete podijeliti. Sada da vidimo kako.
Stoga je potrebno povući liniju na brojčaniku tako da 3 para padaju u jednu polovicu, a tri u drugu.
Odgovor: linija će proći između brojeva 3 i 4, a zatim između brojeva 9 i 10.
Zadatak4
Da li je moguće nacrtati dvije ravne linije na brojčaniku sata tako da zbir brojeva u svakom dijelu bude isti?
Rješenje.
Za početak, primjenjujemo Gaussovo pravilo na niz brojeva 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: pronađemo zbroj i vidimo da li je djeljiv sa 3:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78
78 je djeljivo sa 3 bez ostatka, tako da možete podijeliti. Sada da vidimo kako.
Prema Gaussovom pravilu dobijamo 6 parova brojeva, od kojih svaki daje 13:
1 i 12, 2 i 11, 3 i 10, 4 i 9, 5 i 8, 6 i 7.
Stoga je potrebno povući linije na brojčaniku tako da 2 para padaju u svaki dio.
Odgovor: prvi red će proći između brojeva 2 i 3, a zatim između brojeva 10 i 11; drugi red je između brojeva 4 i 5, a zatim između 8 i 9.
Zadatak 5
Jato ptica leti. Ispred je jedna ptica (vođa), zatim dvije, zatim tri, četiri, itd. Koliko je golubova u jatu ako ih ima 20 u posljednjem redu?
Rješenje.
Dobijamo da trebamo sabrati brojeve od 1 do 20. A da bismo izračunali takav zbir, možemo primijeniti Gaussovo pravilo:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.
Zadatak 6
Kako smjestiti 45 zečeva u 9 kaveza tako da svi kavezi imaju različit broj zečeva?
Rješenje.
Ako je dijete odlučilo i razumjelo primjere iz zadatka 1, onda se odmah sjeća da je 45 zbir brojeva od 1 do 9. Stoga zečeve stavljamo ovako:
- prva ćelija - 1,
- drugi - 2,
- treći - 3,
- osmi - 8,
- deveti - 9.
Ali ako dijete to ne može odmah shvatiti, pokušajte mu dati ideju da se takvi problemi mogu riješiti grubom silom i morate početi s minimalnim brojem.
Zadatak 7
Izračunajte sumu koristeći Gauss trik:
- 31 + 32 + 33 + … + 40;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.
Rješenje.
- 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.
Zadatak 8
Postoji set od 12 utega težine 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g, 10g, 11g, 12g. Iz kompleta su uklonjena 4 utega čija je ukupna masa jednaka trećini ukupne mase cijelog kompleta utega. Da li se preostali utezi mogu staviti na dva tava za ravnotežu, po 4 komada na svakoj posudi, tako da budu u ravnoteži?
Rješenje.
Primjenjujemo Gaussovo pravilo da pronađemo ukupnu masu utega:
1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (g)
Izračunavamo masu utega koji su uklonjeni:
Stoga se preostali utezi (ukupne mase 78-26 \u003d 52 g) moraju staviti 26 g na svaku posudu vage tako da budu u ravnoteži.
Ne znamo koji su utezi uklonjeni, pa moramo razmotriti sve moguće opcije.
Primjenjujući Gaussovo pravilo, možete podijeliti utege na 6 parova jednake težine (po 13g):
1g i 12g, 2g i 11g, 3g i 10, 4g i 9g, 5g i 8g, 6g i 7g.
Tada je najbolja opcija kada uklonite 4 utega, dva para gore navedenih će biti uklonjena. U ovom slučaju će nam ostati 4 para: 2 para na jednoj skali i 2 para na drugoj.
Najgori slučaj je kada će 4 uklonjena utega prekinuti 4 para. Imat ćemo 2 neprekinuta para ukupne težine 26g, što znači da ih stavljamo na jednu posudu vage, a preostale tegove možete staviti na drugu posudu te će također biti 26g.
Sretno u razvoju vaše djece.
Danas ćemo razmotriti jedan od matematičkih problema koje sam morao riješiti sa svojim nećakom. A onda ga implementiramo kroz PHP. I razmotrite nekoliko opcija za rješavanje ovog problema.
Zadatak:
Potrebno je brzo sabrati sve brojeve od 1 do 100 jedan za drugim i saznati zbir svih brojeva.
Rješenje problema:
Zapravo, kada smo prvi put riješili ovaj problem, riješili smo ga pogrešno! Ali nećemo pisati o pogrešnom rješenju ovog problema.
A rješenje je tako jednostavno i trivijalno - trebate sabrati 1 i 100 i pomnožiti sa 50. (Karl Gaus je imao takvo rješenje kada je bio vrlo mali...)
(1 + 100)*50.
Kako mogu riješiti ovaj problem sa php-om?
Izračunajte zbir svih brojeva od 1 do 100 koristeći PHP.
Kada smo već riješili ovaj problem, odlučili smo da vidimo šta pišu na "internetima" po ovom pitanju! I našao sam neki oblik u kojem mladi talenti nisu mogli riješiti ovaj problem i pokušao sam to učiniti kroz ciklus.
Ako ne postoji poseban uslov da se to uradi kroz ciklus, onda nema smisla da se to radi kroz ciklus!
I da! Ne zaboravite da u php-u možete riješiti problem na mnogo načina! jedan.
Ovaj kod može dodati bilo koji niz brojeva od jedan do beskonačno.
Idemo implementirati naše rješenje u njegovom najjednostavnijem obliku:
$end = $_POST["varijable"];
$res = $end/2*($i + $end);
