Svaki talas složenog oblika može se predstaviti kao zbir jednostavnih talasa.

Joseph Fourier je zaista želio matematičkim terminima opisati kako toplina prolazi kroz čvrste objekte ( cm. Izmjena toplote). Možda je njegovo interesovanje za toplinu izazvalo kada je bio u severnoj Africi: Fourier je pratio Napoleona u francuskoj ekspediciji u Egipat i tamo živeo neko vreme. Da bi postigao svoj cilj, Fourier je morao razviti nove matematičke metode. Rezultati njegovog istraživanja objavljeni su 1822. godine u djelu "Analitička teorija topline" ( Theorie analytique de la chaleur), gdje je rekao kako analizirati složene fizičke probleme razlažući ih na niz jednostavnijih.

Metoda analize zasnivala se na tzv Fourierova serija... U skladu s principom interferencije, serija počinje razlaganjem složenog oblika na jednostavne - na primjer, promjena zemljine površine objašnjava se potresom, promjena orbite komete je posljedica utjecaja Privlačenje nekoliko planeta, promjena toplotnog toka je posljedica njegovog prolaska kroz prepreku nepravilnog oblika iz toplinsko-izolacijskog materijala. Fourier je pokazao da se složeni talasni oblik može predstaviti kao zbir jednostavnih talasa. Po pravilu, jednadžbe koje opisuju klasične sisteme se lako rješavaju za svaki od ovih jednostavnih valova. Fourier je nastavio da pokaže kako se ova jednostavna rješenja mogu sažeti da bi se dobilo rješenje cijelog složenog problema u cjelini. (Matematički gledano, Fourierov niz je metoda predstavljanja funkcije kao sume harmonika — sinusoida i kosinusa — stoga je Fourierova analiza poznata i kao harmonijska analiza.)

Sve do pojave kompjutera sredinom 20. veka, Fourierove metode i slične bile su najbolje oružje u naučnom arsenalu kada se napada složenost prirode. Od pojave složenih Fourierovih metoda, naučnici su bili u mogućnosti da ih koriste za rješavanje ne samo jednostavnih problema koji se mogu riješiti direktnom primjenom Newtonovih zakona mehanike i drugih fundamentalnih jednačina. Mnoga od velikih dostignuća Njutnove nauke u 19. veku bila bi u stvari nemoguća bez upotrebe metoda koje je prvi predložio Fourier. Kasnije su ove metode korišćene u rešavanju problema u različitim oblastima - od astronomije do mašinstva.

Jean-Baptiste Joseph Fourier
Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830

francuski matematičar. Rođen u Auxerreu; sa devet godina ostao je siroče. Već u mladosti pokazao je sklonost prema matematici. Fourier se školovao u crkvenoj i vojnoj školi, a zatim je radio kao nastavnik matematike. Tokom svog života aktivno se bavio politikom; je uhapšen 1794. godine zbog zaštite žrtava terora. Nakon Robespierreove smrti pušten je iz zatvora; učestvovao u stvaranju čuvene Ecole Polytechnique u Parizu; njegova pozicija mu je poslužila kao odskočna daska za napredovanje pod Napoleonovim režimom. Pratio je Napoleona u Egipat i bio je imenovan za guvernera Donjeg Egipta. Po povratku u Francusku 1801. godine postavljen je za guvernera jedne od provincija. Godine 1822. postao je stalni sekretar Francuske akademije nauka - uticajna pozicija u naučnom svetu Francuske.

Odjeljak Uvodni pregled razmatra dva vrlo jednostavna primjera (preuzeta iz Shumwaya, 1988) kako bi se ilustrovala priroda spektralne analize i interpretacije rezultata. Ako niste upoznati s ovom metodom, preporučuje se da prvo pogledate ovaj odjeljak ovog poglavlja.

Pregledajte i datoteku s podacima. Datoteka Sunspot.sta sadrži djelić poznatih brojeva sunčevih pjega (Wolfer) od 1749. do 1924. (Anderson, 1971.). Ispod je lista prvih nekoliko podataka iz datoteke primjera.

Pretpostavlja se da količina sunčevih pjega utiče na vrijeme na tlu, kao i na poljoprivredu, telekomunikacije itd. Koristeći ovu analizu, može se pokušati otkriti da li je aktivnost sunčevih pjega zaista ciklična (zapravo, o ovim podacima se naširoko raspravlja u literaturi; vidjeti, na primjer, Bloomfield, 1976, ili Shumway, 1988).

Definicija analize. Nakon što pokrenete analizu, otvorite datoteku podataka Sunspot.sta. Kliknite na dugme Variables i izaberite varijablu Spots (imajte na umu da ako je datoteka sa podacima Sunspot.sta trenutno otvorena datoteka sa podacima i Spots je jedina varijabla u toj datoteci, onda kada se otvori dijaloški okvir Analiza vremenske serije, spotovi će biti automatski odabrani ). Sada kliknite na dugme Fourier (spektralna) analiza da biste otvorili okvir za dijalog Fourier (spektralna) analiza.

Prije primjene spektralne analize, prvo nacrtajte broj sunčevih pjega. Imajte na umu da datoteka Sunspot.sta sadrži odgovarajuće godine kao nazive slučajeva. Da biste koristili ove nazive u linijskim dijagramima, kliknite karticu Prikaz serije i odaberite Nazivi slučajeva pod Označite točke. Također, odaberite Postavi skalu osi X ručno i Min. = 1 i Korak = 10. Zatim kliknite na dugme Grafikon pored dugmeta Pogled označeno. varijabla.

Čini se da broj sunčevih pjega slijedi ciklični obrazac. Trend se ne prati, pa se vratite u prozor Spectralna analiza i poništite izbor opcije Ukloni linearni trend u grupi Transformacija serije izvora.

Očigledno, srednja vrijednost serije je veća od 0 (nula). Stoga ostavite odabranu opciju Oduzmi srednju vrijednost [inače će periodogram biti "začepljen" s vrlo velikim vrhom na frekvenciji 0 (nula)].

Sada ste spremni za početak analize. Sada kliknite na OK (Univarijatna Fourierova analiza) da otvorite dijaloški okvir Rezultati spektralne Fourierove analize.

Pogledaj rezultate. Odeljak sa informacijama na vrhu dijaloškog okvira prikazuje neke zbirne statistike za seriju. Takođe prikazuje pet najvećih vrhova u periodogramu (u učestalosti). Najveća tri vrha su na frekvencijama od 0,0852, 0,0909 i 0,0114. Ove informacije su često korisne kada se analiziraju veoma velike serije (na primjer, s više od 100.000 opservacija) koje nije lako prikazati na jednom grafikonu. U ovom slučaju, međutim, lako je vidjeti vrijednosti periodograma; klikom na dugme Periodogram ispod Periodogram i grafikoni spektralne gustine.

Grafikon periodograma prikazuje dva različita vrha. Maksimum je na frekvenciji od oko 0,9. Vratite se na prozor Spectral Analysis Results i kliknite na dugme Summary da vidite sve vrednosti periodograma (i druge rezultate) u tabeli rezultata. U nastavku je prikazan dio tabele rezultata sa najvećim vrhom postavljenim periodogramom.

Kao što je objašnjeno u Uvodnom pregledu, učestalost je broj ciklusa po jedinici vremena (gdje je svako opažanje jedna jedinica vremena). Dakle, Frekvencija od 0,0909 odgovara vrijednosti od 11 Period (broj vremenskih jedinica potrebnih za kompletan ciklus). Budući da su podaci o sunčevim pjegama u Sunspot.sta godišnja posmatranja, može se zaključiti da postoji izražen 11-godišnji (moguće nešto duži od 11-godišnji) ciklus u aktivnosti sunčevih pjega.

Spektralna gustina. Tipično, da bi se izračunale procjene spektralne gustine, periodogram se izglađuje kako bi se uklonile nasumične fluktuacije. Tip ponderisanog pokretnog prosjeka i širina prozora mogu se odabrati u odjeljku Spektralni prozori. Odjeljak Uvodni pregled detaljno razmatra ove opcije. Za naš primjer, ostavit ćemo zadani odabrani prozor (Hamming širina 5) i odabrati dijagram spektralne gustine.

Dva vrha su sada još jasnija. Pogledajmo vrijednosti periodograma po periodu. Označite polje Period u odeljku Grafikon. Sada odaberite dijagram spektralne gustine.

Opet, postoji izražen 11-godišnji ciklus aktivnosti sunčevih pjega; štaviše, postoje naznake postojanja dužeg, otprilike 80-90-godišnjeg ciklusa.

Fourierova TRANSFORMACIJA I KLASIČNA DIGITALNA SPEKTRALNA ANALIZA.
Medvedev S.Yu., Ph.D.

Uvod

Spektralna analiza je jedna od metoda obrade signala koja vam omogućava da karakterizirate frekventni sastav mjerenog signala. Fourierova transformacija je matematička osnova koja povezuje vremenski ili prostorni signal (ili neki model ovog signala) sa njegovom reprezentacijom u frekvencijskom domenu. Statističke metode igraju važnu ulogu u spektralnoj analizi, budući da signali imaju tendenciju da budu nasumični ili bučni kada se šire ili mjere. Kada bi glavne statističke karakteristike signala bile tačno poznate, ili bi se mogle odrediti iz konačnog intervala ovog signala, onda bi spektralna analiza bila grana "egzaktne nauke". Međutim, u stvarnosti, samo procjena njegovog spektra može se dobiti iz segmenta signala. Stoga je praksa spektralne analize vrsta zanata (ili umjetnosti?) prilično subjektivne prirode. Razlika između spektralnih procjena dobijenih kao rezultat obrade istog segmenta signala različitim metodama može se objasniti razlikom u pretpostavkama u vezi sa podacima, različitim metodama usrednjavanja itd. Ako karakteristike signala nisu poznate a priori, ne može se reći koja je od procjena bolja.

Fourierova transformacija - matematička osnova spektralne analize
Ukratko ćemo raspravljati o različitim tipovima Fourierovih transformacija (pogledajte detaljnije u).
Počnimo s Fourierovom transformacijom vremenski kontinuiranog signala

, (1)

koji identifikuje frekvencije i amplitude onih složenih sinusoida (eksponencijala) na koje se razlaže neka proizvoljna oscilacija.
Reverzna transformacija

. (2)

Postojanje direktne i inverzne Fourierove transformacije (koju ćemo u nastavku zvati Fourierova transformacija kontinuiranog vremena - CWTF) određeno je nizom uslova. Dovoljna - apsolutna integrabilnost signala

. (3)

Manje restriktivan dovoljan uslov - konačnost energije signala

. (4)

Predstavimo niz osnovnih svojstava Fourierove transformacije i dolje korištenih funkcija, uz napomenu da je pravokutni prozor određen izrazom

(5)

a sinc funkcija izrazom

(6)

Funkcija uzoraka u vremenskoj domeni određena je izrazom

(7)

Ova funkcija se ponekad naziva i funkcija periodičnog nastavka.

Tabela 1. Glavna svojstva NPF-ova i funkcija

Vlasništvo, funkcija	Funkcija	Transformacija
Linearnost	ag (t) + bh (t)	aG (f) + bH (f)
Vremenski pomak	h (t - t 0)	H (f) exp (-j2pf t 0)
Pomak frekvencije (modulacija)	h (t) exp (j2pf0 t)	H (f - f 0)
Skaliranje	(1 / | a |) h (t / a)	H (af)
Teorema konvolucije u vremenskom domenu	g (t) * h (t)	G (f) H (f)
Teorem konvolucije u frekvencijskom domenu	g (t) h (t)	G (f) * H (f)
Funkcija prozora	Aw (t/T)	2ATsinc (2Tf)
Sinc funkcija	2AFsinc (2Ft)	aj (ž/ž)
Impulsna funkcija	oglas (t)
Funkcija brojanja	T (f)	FF (f), F = 1 / T

Još jedno važno svojstvo utvrđeno je Parsevalovom teoremom za dvije funkcije g (t) i h (t):

. (8)

Ako stavimo g (t) = h (t), onda se Parsevalov teorem svodi na teoremu za energiju

. (9)

Izraz (9) je, u suštini, samo formulacija zakona održanja energije u dva područja (vreme i frekvencija). U (9) lijevo je ukupna energija signala, dakle funkcija

(10)

opisuje distribuciju energije preko frekvencije za deterministički signal h (t) i stoga se naziva spektralna gustoća energije (STE). Korištenje izraza

(11)

možete izračunati amplitudu i fazni spektar signala h (t).

Operacije uzorkovanja i vaganja

U sljedećem odjeljku ćemo predstaviti Fourierov niz s diskretnim vremenom (DTF) ili na neki drugi način diskretnu Fourierovu transformaciju (DFT) kao poseban slučaj Fourierove transformacije u kontinuiranom vremenu (CFT) koristeći dvije osnovne operacije obrade signala - uzimanje uzoraka ( uzorkovanje) i vaganje koristeći prozor. Ovdje ćemo razmotriti utjecaj ovih operacija na signal i njegovu transformaciju. Tabela 2 navodi funkcije koje se koriste za ponderiranje i uzorkovanje.

Kod uniformnih uzoraka sa intervalom od T sekundi, stopa uzorkovanja F je 1 / T Hz. Imajte na umu da su težinska funkcija i funkcija uzorkovanja u vremenskom domenu označene redom TW (vremenski prozor) i TS (vremensko uzorkovanje), au frekvencijskom domenu - FW (frekvencijski prozor) i FS (frekventno uzorkovanje).

Tabela 2. Funkcije vaganja i uzorkovanja

Operacija	Funkcija vremena	Transformacija
Vaganje u vremenskoj domeni (širina prozora NT sec)	TW = w (2t / NT - 1)	F (TW) = NTsinc (NTf) • exp (-jpNTf)
Vaganje u frekvencijskom domenu (širina prozora 1 / T Hz)		FW = w (2Tf)
Broji u vremenu (interval T s)	TS = T T (t)
Očitavanje frekvencije (u intervalima od 1 / NT Hz)

Pretpostavimo da uzimamo uzorke kontinuiranog realnog signala x (t) sa ograničenim spektrom, čija je gornja frekvencija jednaka F0. NIPF stvarnog signala je uvijek simetrična funkcija s punom širinom 2F0, vidi sliku 1.
Uzorci signala x (t) mogu se dobiti množenjem ovog signala sa funkcijom uzorka:

(12)

Slika 1 je ilustracija teoreme uzorkovanja u vremenskom domenu za signal ograničenog stvarnog spektra:
a - izvorna funkcija vremena i njegova Fourierova transformacija;
b - funkcija brojanja u vremenu i njena Fourierova transformacija;
c - vremenski uzorci originalne funkcije i njene periodično nastavljene Fourierove transformacije za slučaj Fo<1/2T;
d - frekvencijski prozor (idealni niskopropusni filter) i njegova Fourierova transformacija (sinc funkcija);
d je originalna funkcija vremena, obnovljena operacijom konvolucije sa sinc funkcijom.

Prema teoremi konvolucije frekvencijskog domena, IFT signala x (t) je jednostavno konvolucija spektra signala x (t) i Fourierove transformacije funkcije uzorkovanja (TS):

. (13)

Konvolucija X (f) sa Fourierovom transformacijom funkcije uzorkovanja F (TS) = Y1 / T (f) jednostavno se nastavlja na X (f) periodično sa intervalom frekvencije od 1 / T Hz. Stoga je XS (f) periodično prošireni spektar X (f). Uopšteno govoreći, uzorci u jednom domenu (npr., vremenski domen) rezultiraju periodičnim nastavkom u domenu transformacije (npr. frekvencijski domen). Ako je brzina uzorkovanja odabrana dovoljno niska (F< 2Fo), то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название эффекта наложения в частотной области.
Da bi se povratio originalni vremenski signal iz njegovih uzoraka, tj. interpolirati neki kontinuum vrijednosti između ovih uzoraka, možete proslijediti uzorkovane podatke kroz idealan niskopropusni filter s pravokutnim frekvencijskim odzivom (slika 1d)

. (14)

Kao rezultat (vidi sliku 1 e), originalna Fourierova transformacija je obnovljena. Koristeći teoreme konvolucije u domenima vremena i frekvencije, dobijamo

. (15)

Izraz (15) je matematička notacija teorema uzorkovanja u vremenskom domenu(teorema Whittakera, Kotelnikov, Shannon - UKS), koja kaže da se korištenjem interpolacijske formule (15) može precizno rekonstruirati pravi signal ograničenog spektra beskonačnim brojem poznati vremenski uzorci uzeti sa frekvencijom F í 2F0. Dvostruka teorema (15) je teorema uzorci u frekvencijskom domenu za signale ograničenog trajanja.
Operacije u vremenskom domenu, slične (14), opisuju se izrazom

, (16)

a odgovarajuće transformacije su izražene izrazima

Dakle, IFT X (f) određenog signala ograničenog trajanja može se nedvosmisleno rekonstruirati iz ekvidistantnih uzoraka spektra takvog signala ako odabrani interval uzorkovanja frekvencije zadovoljava uvjet F1 / 2T 0 Hz, gdje je T 0 trajanje signala.

Odnosi između kontinuiranih i diskretnih transformacija

Par transformacija za uobičajenu definiciju diskretne Fourierove transformacije u N-tačkama (DFT) vremenska sekvenca x [n] i odgovarajuća N-tačka Fourierove transformacijske sekvence X [k] je dat sa

, (18)
. (19)

Da bismo dobili spektralne procjene iz uzoraka podataka u odgovarajućim jedinicama mjerenja energije ili snage, zapisujemo Fourierov red s diskretnim vremenom (DWRF), koji se može smatrati nekom aproksimacijom Fourierove transformacije kontinuiranog vremena (CFT) , na osnovu upotrebe konačnog broja uzoraka podataka:

Da bi se pokazala priroda korespondencije između DWRF-a ( diskretno funkcije u vremenskom i frekvencijskom domenu) i CFT (kontinuirane funkcije u vremenskom i frekvencijskom domenu), potreban nam je niz od četiri linearne komutativne operacije: ponderiranje u vremenskom i frekvencijskom domenu i uzorkovanje ili uzorkovanje u vremenskom i frekvencijskom domenu. Ako se operacija vaganja izvodi u jednom od ovih područja, tada će, prema teoremu konvolucije, odgovarati izvršenju operacije filtriranja (konvolucije) u drugom području sa sinc funkcijom. Isto tako, ako se uzorkovanje vrši u jednom području, onda se periodična operacija nastavlja u drugom. Pošto su vaganje i uzorkovanje linearne i komutativne operacije, mogući su različiti načini njihovog poređenja, dajući isti krajnji rezultat za različite međurezultate. Slika 2 prikazuje dvije moguće sekvence ove četiri operacije.

Rice. 2. Dvije moguće sekvence dvije operacije vaganja i dvije operacije uzorkovanja, povezujući NWPF i FWDF: FW - primjena prozora u frekvencijskom domenu; TW - primjena prozora u vremenskom domenu; FS - uzorkovanje u frekvencijskom domenu; TS - uzorkovanje vremenske domene.
1 - Fourierova transformacija sa kontinuiranim vremenom, jednačina (1);
4 - Fourierova transformacija sa diskretnim vremenom, jednačina (22);
5 - Fourierov red sa kontinuiranim vremenom, jednačina (25);
8 - Fourierov red sa diskretnim vremenom, jednadžba (27)

Kao rezultat operacija vaganja i uzorkovanja na čvorovima 1, 4, 5 i 8, pojavit će se četiri različite vrste Fourierovih relacija. Čvorovi u kojima je funkcija frekvencijski domen je kontinuiran, pogledajte transformacije Fourier, i čvorovi na kojima je funkcija u frekvencijskom domenu diskretno referirati na Fourierova serija(vidi detalje u).
Dakle, u čvoru 4 se generiše ponderisanje frekvencije i uzorkovanje u vremenskom domenu konverzija diskretnog vremena Fourier (FFT), koji je karakteriziran periodičnom spektralnom funkcijom u frekvencijskom domenu s periodom od 1/T Hz:

(22)

(23)

Imajte na umu da izraz (22) definira određenu periodičnu funkciju koja se poklapa sa originalnom transformiranom funkcijom navedenom u čvoru 1 samo u opsegu frekvencija od -1 / 2T do 1 / 2T Hz. Izraz (22) povezan je sa Z-transformacijom diskretnog niza x [n] relacijom

(24)

Dakle, DPFT je jednostavno Z-transformacija izračunata na jediničnom krugu i pomnožena sa T.
Ako se pomaknemo od čvora 1 do čvora 8 na slici 2 duž donje grane, u čvoru 5 operacije ponderisanja u vremenskom domenu (ograničavanje trajanja signala) i uzorkovanja u frekvencijskom domenu generišu kontinuirani vremenski Fourierov niz (CWRF ). Koristeći svojstva i definicije funkcija date u tabelama 1 i 2, dobijamo sljedeći par transformacija
(25)
(26)

Imajte na umu da izraz (26) definira određenu periodičnu funkciju, koja se poklapa s originalnom (u čvoru 1) samo u vremenskom intervalu od 0 do NT.
Bez obzira koji od dva niza od četiri operacije bude izabran, konačni rezultat na čvoru 8 će biti isti - Fourierov red sa diskretnim vremenom, što odgovara sljedećem paru transformacija dobivenih korištenjem svojstava navedenih u Tabeli 1.

, (27)

gdje je k = -N / 2,. ... ... , N/2-1

, (28)

gdje je n = 0,. ... ... , N-1,
Teorema energije za ovaj DWRF ima oblik:

, (29)

i karakterizira energiju niza od N uzoraka podataka. Oba niza x [n] i X [k] su periodični po modulu N, pa se (28) može zapisati u obliku

, (30)

gdje je 0 n N. Faktor T u (27) - (30) je neophodan da (27) i (28) zapravo budu aproksimacija integralne transformacije u domeni integracije

.(31)

Zero padding

Kroz proces tzv popunjavanje nulama Fourierov red sa diskretnim vremenom može se modificirati da interpolira između N vrijednosti originalne transformacije. Neka se dostupni uzorci podataka x, ..., x dopune nultim vrijednostima x [N], ... X. DWRF ovog niza podataka od 2N tačaka sa nultom dopunom biće dat sa

(32)

pri čemu se gornja granica zbira na desnoj strani mijenja kako bi odražavala prisustvo nultih podataka. Neka je k = 2m, tako da

, (33)

gdje je m = 0,1, ..., N-1, definira parne vrijednosti X [k]. Dakle, može se vidjeti da se za parne vrijednosti indeksa k Fourierov red s diskretnim vremenom s 2N tačaka reducira na diskretno-vremenski niz s N tačaka. Neparne vrijednosti indeksa k odgovaraju interpoliranim vrijednostima WSPF koje se nalaze između vrijednosti originalne N-tačke WSPF. Kako se sve više i više nula dodaje originalnom nizu N-tačaka, može se dobiti više interpoliranih podataka. U graničnom slučaju beskonačnog broja ulaznih nula, DWRF se može smatrati Fourierovom transformacijom u diskretnom vremenu niza podataka u N-tačkama:

. (34)

Transformacija (34) odgovara čvoru 6 na slici 2.
Postoji zabluda da nulti padding poboljšava rezoluciju jer povećava dužinu niza podataka. Međutim, kao što slijedi iz slike 3, dodavanje nula ne poboljšava rezolucija transformacije dobijene iz datog konačnog niza podataka. Zero padding jednostavno proizvodi interpoliranu transformaciju glatkiji oblik... Osim toga, otklanja nejasnoće zbog prisustva uskopojasnih komponenti signala, čije se frekvencije nalaze između N tačaka koje odgovaraju procijenjenim frekvencijama originalnog FDP-a. Zero padding takođe poboljšava tačnost procjene spektralne vršne frekvencije. Pod pojmom spektralna rezolucija podrazumijevamo sposobnost razlikovanja spektralnih odgovora dva harmonijska signala. Općenito prihvaćeno pravilo, koje se često koristi u spektralnoj analizi, je da frekvencijsko razdvajanje razlikovnih sinusoida ne može biti manje od ekvivalentni propusni opseg prozora kroz koje se posmatraju segmenti (segmenti) ovih sinusoida.

Slika 3. Interpolacija nula paddinga:
a - modul za snimanje podataka DVRF u 16 tačaka, koji sadrži tri sinusoide bez dopuna nulama (nesigurnosti su vidljive: nemoguće je reći koliko je sinusoida u signalu - dva, tri ili četiri);
b - modul FWRF-a istog niza nakon dvostrukog povećanja broja njegovih brojanja zbog sabiranja 16 nula (nesigurnosti su dozvoljene, jer se sve tri sinusoide mogu razlikovati;
c - modul FWRF-a istog niza nakon četverostrukog povećanja broja njegovih brojanja zbog dodavanja nula.

Ekvivalentna propusnost prozora može se odrediti kao
gdje je W (f) Fourierova transformacija funkcije prozora s diskretnim vremenom, na primjer, pravokutne (5). Slično, možete ući ekvivalentno trajanje prozora

Može se pokazati da su ekvivalentno trajanje prozora (ili bilo kojeg drugog signala) i ekvivalentna širina pojasa njegove transformacije međusobno recipročne vrijednosti: TeBe = 1.

Brza Fourierova transformacija

Brza Fourierova transformacija (FFT) nije samo još jedna vrsta Fourierove transformacije, već naziv brojnih efektivnih algoritmi dizajniran za brzo izračunavanje Fourierovih serija sa diskretnim vremenom. Glavni problem koji se javlja u praktičnoj implementaciji FWRF leži u velikom broju računskih operacija proporcionalnih N2. Iako je mnogo prije pojave kompjutera bilo predloženo nekoliko efikasnih računskih shema koje su mogle značajno smanjiti broj računskih operacija, pravu revoluciju napravilo je objavljivanje članka Coolyja i Tukeya 1965. godine s praktičnim algoritmom za brze (broj operacija Nlog 2 N) izračunavanje FWRF ... Nakon toga su razvijene mnoge varijante, poboljšanja i dodaci glavne ideje, što je činilo klasu algoritama poznatu kao Brza Fourierova transformacija. Glavna ideja FFT-a je podijeliti WLDF N-tačke na dva ili više WLP-ova kraće dužine, od kojih se svaki može zasebno izračunati i zatim linearno zbrojiti s ostalima kako bi se dobio WLP originalnog N- sekvenca tačaka.
Predstavljamo diskretnu Fourierovu transformaciju (DFT) u obliku

, (35)

gdje se vrijednost W N = exp (-j2 / N) naziva faktor okretanja (u daljem tekstu u ovom dijelu, period uzorkovanja je T = 1). Odaberite iz niza x [n] elemenata sa parnim i neparnim brojevima

. (36)

Ali od tada
... Stoga se (36) može zapisati u obliku

, (37)

gdje je svaki od članova transformacija dužine N / 2

(38)

Imajte na umu da je niz (WN / 2) nk periodičan u k sa periodom N / 2. Stoga, iako broj k u izrazu (37) poprima vrijednosti od 0 do N-1, svaki od zbroja se izračunava za vrijednosti k od 0 do N/2-1. Moguće je procijeniti broj složenih operacija množenja i sabiranja potrebnih za izračunavanje Fourierove transformacije u skladu sa algoritmom (37) - (38). Dvije N / 2-tačke Fourierove transformacije prema formulama (38) podrazumijevaju 2 (N / 2) 2 množenja i približno istu količinu sabiranja. Kombinovanje dve transformacije N / 2 tačke po formuli (37) zahteva N množenja i N sabiranja. Stoga, za izračunavanje Fourierove transformacije za sve N vrijednosti k, potrebno je izvršiti N + N 2/2 množenja i sabiranja. Istovremeno, direktno računanje po formuli (35) zahtijeva množenje i sabiranje preko N 2. Čak i za N> 2, nejednakost N + N 2/2< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:

, (39)
(40)

U ovom slučaju, zbog periodičnosti niza W nk N / 4 u k sa periodom od N / 4, sume (40) treba izračunati samo za vrijednosti k od 0 do N / 4-1 . Dakle, proračun niza X [k] prema formulama (37), (39) i (40) zahtijeva, kako je lako izračunati, već 2N + N 2/4 operacije množenja i sabiranja.
Prateći ovaj put, količina proračuna X [k] može se sve više i više smanjiti. Nakon m = log 2 N ekspanzije, dolazimo do Fourierove transformacije u dvije tačke oblika

(41)

gdje su "transformacije u jednoj tački" X 1 jednostavno uzorci signala x [n]:

X 1 = x [q] / N, q = 0,1, ..., N-1. (42)

Kao rezultat, možete napisati FFT algoritam, koji je iz očiglednih razloga dobio ime algoritam decimacije vremena :

X 2 = (x [p] + W k 2 x) / N,

gdje je k = 0,1, p = 0,1, ..., N / 2 -1;

X 2N / M = X N / M + W k 2N / M X N / M,

gdje je k = 0,1, ..., 2N / M -1, p = 0,1, ..., M / 2 -1;

X [k] = X N [k] = X N / 2 + W k N X N / 2, (43)

gdje je k = 0,1, ..., N-1

U svakoj fazi proračuna vrši se N kompleksnih množenja i sabiranja. A pošto je broj dekompozicija originalnog niza na podnizove do polovine dužine jednak log 2 N, ukupan broj operacija množenja-sabiranja u FFT algoritmu je jednak Nlog 2 N. Za velike N, postoji značajna ušteda u računskim operacijama u poređenju sa direktnim izračunavanjem DFT-a. Na primjer, za N = 2 10 = 1024, broj operacija se smanjuje 117 puta.
Razmatrani kod nas FFT algoritam sa decimacijom u vremenu zasniva se na izračunavanju Fourierove transformacije formiranjem podniza ulaznog niza x [n]. Međutim, možete koristiti i dekompoziciju na podnizove Fourierove transformacije X [k]. FFT algoritam zasnovan na ovoj proceduri naziva se algoritam sa po frekvencijskoj decimaciji. Više o brzoj Fourier transformaciji možete pročitati, na primjer, u.

Slučajni procesi i spektralna gustina snage

Diskretni slučajni proces x može se smatrati nekim skupom, ili ansamblom, realnih ili složenih diskretnih vremenskih (ili prostornih) sekvenci, od kojih se svaki može promatrati kao rezultat nekog eksperimenta (n je vremenski indeks, i je broj zapažanja). Niz dobijen kao rezultat jednog od posmatranja će biti označen sa x [n]. Operacija usrednjavanja ansambla (tj. statističko usrednjavanje) će biti označen operatorom<>... Na ovaj način, - prosječna vrijednost slučajnog procesa x [n] u trenutku n. Autokorelacija slučajni proces u dva različita vremena n1 i n2 određen je izrazom r xx = .

Slučajni proces se naziva stacionarnim u širokom smislu ako je njegova prosječna vrijednost konstantna (ne ovisi o vremenu), a autokorelacija ovisi samo o razlici između vremenskih indeksa m = n1-n2 (vremenski pomak ili kašnjenje između uzoraka). Dakle, stacionarni diskretni slučajni proces u širokom smislu x [n] karakterizira konstantna srednja vrijednost =i autokorelacioni niz(AKP)

r xx [m] =< xx*[n] >. (44)

Obratite pažnju na sljedeća svojstva ACP-a:

r xx |r xx [m] | , r xx [-m] = r * xx [m], (45)

koji vrijede za sve m.
Spektralna gustina snage (PSD) je definirana kao Fourierova transformacija diskretnog vremena (DPFT) autokorelacijske sekvence

. (46)

PSD, čija se širina pretpostavlja da je ograničena na ± 1 / 2T Hz, je periodična funkcija frekvencije s periodom od 1 / T Hz. PSD funkcija opisuje distribuciju snage slučajnog procesa preko frekvencije. Da biste potvrdili ime odabrano za njega, razmotrite inverzni DPFT

(47)

izračunato za m = 0

(48)

Autokorelacija pri nultom pomaku karakteriše prosečna snaga slučajni proces. Prema (48), površina ispod krive P xx (f) karakterizira prosječnu snagu, stoga je P xx (f) funkcija gustoće (snaga po jedinici frekvencije) koja karakterizira distribuciju snage po frekvenciji. Par transformacija (46) i (47) se često naziva Wiener-Khinchinova teorema za slučaj diskretnog vremena. Pošto je r xx [-m] = r * xx [m], onda PSD mora biti striktno realna pozitivna funkcija. Ako je AKP striktno realna funkcija, tada r xx [-m] = r xx [m] i PSD se može napisati u obliku Fourierove kosinusne transformacije

,

što takođe znači da je P xx (f) = P xx (-f), tj. SPM je ravnomjerna funkcija.
Do sada smo koristili statističko usrednjavanje po ansamblu da odredimo prosečnu vrednost, korelaciju i spektralnu gustinu snage slučajnog procesa. Međutim, u praksi obično nije moguće dobiti ansambl realizacija traženog procesa kojim bi se ove statističke karakteristike mogle izračunati. Poželjno je procijeniti sva statistička svojstva iz jedne realizacije uzorka x (t), zamjenjujući y usrednjavanje ansambla tokom vremena... Svojstvo koje omogućava da dođe do takve promjene naziva se ergodičnost. Kažu da je slučajni proces ergodičan ako se, sa vjerovatnoćom jednakom jedan, sve njegove statističke karakteristike mogu predvidjeti iz jedne realizacije iz ansambla korištenjem vremenskog prosjeka. Drugim riječima, prosječne vrijednosti tokom vremena gotovo svih mogućih realizacija procesa sa vjerovatnoćom jedan konvergiraju istoj konstantnoj vrijednosti - prosječnoj vrijednosti po ansamblu

. (49)

Ova granica, ako postoji, konvergira pravoj srednjoj ako i samo ako varijansa srednje vrijednosti vremena teži nuli, što znači da je ispunjen sljedeći uvjet:

. (50)

Ovdje je c xx [m] prava vrijednost kovarijanse procesa x [n].
Slično, posmatrajući vrijednost proizvoda procesnih uzoraka x [n] u dvije vremenske tačke, može se očekivati ​​da će prosječna vrijednost biti jednaka

(51)

Pretpostavka ergodičnosti omogućava ne samo uvođenje, kroz usrednjavanje tokom vremena, definicija za srednju vrijednost i autokorelaciju, već i davanje slične definicije za spektralnu gustinu snage

. (52)

Ovaj ekvivalentni oblik PSD-a se dobija statističkim usrednjavanjem TFT modula ponderisanog skupa podataka podeljenog dužinom zapisa podataka za slučaj kada se broj uzoraka povećava do beskonačnosti. Statističko prosječenje je ovdje neophodno jer je DPFT sama po sebi slučajna varijabla koja se mijenja za svaku realizaciju x [n]. Da bismo pokazali da je (52) ekvivalentno Wiener-Khinchinovom teoremu, kvadrat modula DPFT-a predstavljamo kao proizvod dva niza i mijenjamo redoslijed operacija sumiranja i statističkog usrednjavanja:

(53)

Koristeći poznati izraz

, (54)

relacija (53) se može svesti na sljedeće:

(55)

Napominjemo da smo u posljednjoj fazi derivacije (55) koristili pretpostavku da se autokorelacioni niz „raspada“, tako da

. (56)

Odnos između dvije definicije PSD (46) i (52) jasno je prikazan na dijagramu prikazanom na slici 4.
Ako u izrazu (52) ne uzmemo u obzir operaciju matematičkog očekivanja, onda dobijamo procjenu PSD

, (57)

koji se zove spektar uzorka.

Rice. 4. Međusobna veza dvije metode za procjenu spektralne gustine snage

Periodogramska metoda spektralne procjene

Iznad smo uveli dvije formalne ekvivalentne metode za određivanje spektralne gustine snage (PSD). Indirektna metoda se zasniva na korištenju beskonačnog niza podataka za izračunavanje autokorelacijske sekvence, čija Fourierova transformacija daje željeni PSD. Direktna metoda za određivanje PSD-a zasniva se na izračunavanju kvadrata modula Fourierove transformacije za beskonačan niz podataka korištenjem odgovarajućeg statističkog prosjeka. PSD dobijen bez takvog usrednjavanja ispada nezadovoljavajućim, jer je srednja kvadratna greška takve procene uporediva sa njenom srednjom vrednošću. Sada ćemo razmotriti metode usrednjavanja koje daju glatke i statistički stabilne spektralne procjene za konačan broj uzoraka. PSD procjene zasnovane na direktnoj transformaciji podataka i naknadnom usrednjavanju nazivaju se periodogrami. Zovu se SPM procjene za koje se prvo formiraju procjene korelacije iz početnih podataka korelogram... Kada koristi bilo koju metodu za procjenu PSD-a, korisnik mora napraviti mnogo kompromisa kako bi dobio statistički stabilne spektralne procjene sa najvećom mogućom rezolucijom iz konačnog broja uzoraka. Ovi kompromisi uključuju, između ostalog, izbor prozora za ponderisanje podataka i procene korelacije i parametara usrednjavanja u vremenskom i frekventnom domenu koji balansiraju zahteve za smanjenjem bočnog režnja pondera, efikasno usrednjavanje i prihvatljivu spektralnu rezoluciju. Na sl. 5 je dijagram koji prikazuje glavne faze periodogram metoda

Rice. 5. Glavne faze procjene PSD metodom periodograma

Primjena metode počinje prikupljanjem N uzoraka podataka, koji se uzimaju u intervalu od T sekundi po brojanju, nakon čega (po želji) slijedi faza eliminacije trenda. Da bi se dobila statistički stabilna spektralna procjena, raspoloživi podaci moraju biti podijeljeni u segmente koji se preklapaju (ako je moguće) i zatim usrednjeni spektri uzorka dobijeni za svaki takav segment. Parametri ovog usrednjavanja se menjaju odgovarajućim izborom broja uzoraka po segmentu (NSAMP) i broja uzoraka za koji je potrebno pomeriti početak sledećeg segmenta (NSHIFT), vidi sl. 6. Broj segmenata se bira u zavisnosti od potrebnog stepena glatkoće (disperzije) spektralne procjene i tražene spektralne rezolucije. Sa malom vrijednošću NSAMP parametra dobija se više segmenata preko kojih će se vršiti usrednjavanje, pa će se stoga dobiti procjene sa manjom varijansom, ali i sa nižom frekvencijskom rezolucijom. Povećanje dužine segmenta (NSAMP parametar) povećava rezoluciju, prirodno zbog povećanja varijanse procjene zbog manjeg broja prosjeka. Strelica unazad na slici 5 ukazuje na potrebu za višestrukim iteracijama podataka na različitim dužinama i brojem segmenata, što omogućava da se dobije više informacija o procesu koji se proučava.

Slika 6. Razbijanje podataka u segmente za izračunavanje periodograma

Prozor

Jedno od važnih pitanja, koje je zajedničko svim klasičnim metodama spektralne procjene, odnosi se na ponderiranje podataka. Obrada prozora se koristi za kontrolu efekata bočnih režnja u spektralnim procjenama. Imajte na umu da je zgodno smatrati postojeći konačni zapis podataka kao dio odgovarajućeg beskonačnog niza, vidljivog kroz korišteni prozor. Dakle, niz posmatranih podataka x 0 [n] od N uzoraka može se matematički napisati kao proizvod beskonačnog niza x [n] i pravokutne funkcije prozora

X 0 [n] = x [n] pravokutni [n].
U ovom slučaju, očigledna je pretpostavka da su svi neuočljivi uzorci jednaki nuli, bez obzira da li je to zaista slučaj. Fourierova transformacija ponderiranog niza s diskretnim vremenom jednaka je konvoluciji transformacija niza x [n] i pravokutnog prozora rect [n]

X 0 (f) = X (f) * D N (f), gdje je
D N (f) = Texp (-j2pfT) sin (pfTN) / sin (pfT).

Funkcija D N (f), nazvana diskretna sinc funkcija, ili Dirichletovo jezgro, je DFT pravokutne funkcije. Uočljiva transformacija konačnog niza je iskrivljena verzija transformacije beskonačnog niza. Uticaj pravougaonog prozora na sinusoidu diskretnog vremena sa frekvencijom f 0 ilustrovan je na slici 7.

Slika 7. Ilustracija pomaka Fourierove transformacije diskretnog vremena zbog curenja zbog ponderisanja podataka: a, b - originalni i ponderisani niz; b, d - njihove Fourierove transformacije.

Sa slike se može vidjeti da su se oštri spektralni vrhovi DTFT-a beskonačne sinusoidne sekvence proširili uslijed konvolucije s transformacijom prozora. Dakle, minimalna širina spektralnih pikova sekvence ponderisane prozorom je određena širinom glavnog transformacionog režnja ovog prozora i ne zavisi od podataka. Bočne režnjeve transformacije prozora će promijeniti amplitude susjednih spektralnih pikova (ponekad se nazivaju curenje). Budući da je DPFT periodična funkcija, superpozicija bočnih režnjeva iz susjednih perioda može dovesti do dodatnog pomaka. Povećanjem brzine uzorkovanja smanjuje se preklapanje bočnog režnja. Naravno, slična izobličenja će se uočiti u slučaju nesinusoidnih signala. Curenje ne samo da unosi amplitudne greške u spektre diskretnih signala, već može i prikriti prisustvo slabih signala. Mogu se predložiti brojne druge funkcije prozora koje mogu sniziti nivo bočnog režnja nego kod pravokutnog prozora. Smanjenje nivoa bočnih režnjeva će smanjiti pristrasnost spektralne procjene, ali to dolazi po cijenu proširenja glavnog režnja spektra prozora, što prirodno dovodi do pogoršanja rezolucije. Stoga se i ovdje mora izabrati neki kompromis između širine glavnog režnja i nivoa bočnih režnjeva. Za procjenu kvaliteta prozora koristi se nekoliko parametara. Tradicionalna metrika je glavni propusni opseg na pola snage. Ekvivalentna širina pojasa uvedena iznad se koristi kao drugi indikator. Dvije metrike se također koriste za procjenu karakteristika bočnih režnjeva. Prvi je njihov maksimalni nivo, drugi je stopa raspadanja, koja karakteriše brzinu smanjenja bočnih režnjeva sa udaljenosti od glavnog režnja. U tabeli 3 prikazane su definicije nekih najčešće korišćenih prozorskih funkcija diskretnog vremena, a u tabeli 4 - njihove karakteristike.
Tabela 3. Definicije tipičnih N-tačaka diskretnih vremenskih prozora Maks. nivo bočnog režnja, dB -31,5

. (46)

Korelogramska metoda procjena PSD-a je jednostavno zamjena u izraz (46) konačnog niza vrijednosti autokorelacijske procjene ( korelogrami) umjesto beskonačnog niza nepoznatih pravih vrijednosti autokorelacije. Više o metodi spektralne procjene korelograma možete pročitati u.

REFERENCE

1. Rabiner L., Gould B. Teorija i primjena digitalne obrade signala. M.: Mir, 1978.

2. Marple Jr. S.L. Digitalna spektralna analiza i njene primjene: Per. sa engleskog -M.: Mir, 1990.

3. Goldberg L.M., Matyushkin B.D., Polyak M.N., Digitalna obrada signala.- M.: Radio i komunikacija, 1990.

4. Carried R., Enokson L. Primijenjena analiza vremenskih serija.- M.: Mir, 1982.

Fourierova transformacija Je porodica matematičkih metoda zasnovana na proširenju početne kontinuirane funkcije vremena u skup osnovnih harmonijskih funkcija (koje su sinusoidne funkcije) različitih frekvencija, amplituda i faza. Iz definicije se može vidjeti da je glavna ideja transformacije da se bilo koja funkcija može predstaviti kao beskonačan zbir sinusoida, od kojih će svaka biti okarakterisana svojom amplitudom, frekvencijom i početnom fazom.

Fourierova transformacija je pionir spektralne analize. Spektralna analiza je tehnika obrade signala koja vam omogućava da karakterizirate frekvencijski sadržaj mjerenog signala. Koriste se različite Fourierove transformacije ovisno o tome kako je signal predstavljen. Postoji nekoliko vrsta Fourierovih transformacija:

- Kontinuirana Fourierova transformacija (u engleskoj literaturi Continue Time Fourier Transform - CTFT ili, ukratko, FT);

- Diskretna Fourierova transformacija (u engleskoj literaturi Diskretna Fourierova transformacija - DFT);

- Brza Fourierova transformacija (u engleskoj literaturi Brza Fourierova transformacija - FFT).

Kontinuirana Fourierova transformacija

Fourierova transformacija je matematički alat koji se koristi u različitim naučnim oblastima. U nekim slučajevima može se koristiti kao sredstvo za rješavanje složenih jednačina koje opisuju dinamičke procese koji nastaju pod utjecajem električne, toplinske ili svjetlosne energije. U drugim slučajevima, omogućava vam da izolujete regularne komponente u složenom talasnom obliku, što omogućava ispravnu interpretaciju eksperimentalnih zapažanja u astronomiji, medicini i hemiji. Kontinuirana transformacija je zapravo generalizacija Fourierovog reda pod uslovom da period funkcije koja se proširuje teži beskonačnosti. Dakle, klasična Fourierova transformacija se bavi spektrom signala uzetim u cijelom rasponu postojanja varijable.

Postoji nekoliko vrsta pisanja kontinuirane Fourierove transformacije, koje se međusobno razlikuju po vrijednosti koeficijenta prije integrala (dva oblika pisanja):

ili

gdje je i Fourierova transformacija funkcije ili frekvencijski spektar funkcije;

- kružna frekvencija.

Treba napomenuti da se različite vrste snimanja nalaze u različitim oblastima nauke i tehnologije. Faktor normalizacije je neophodan za ispravno skaliranje signala iz frekvencijskog domena u vremenski domen. Faktor normalizacije smanjuje amplitudu signala na izlazu inverzne transformacije tako da se poklapa sa amplitudom originalnog signala. U matematičkoj literaturi se direktna i inverzna Fourierova transformacija množe sa faktorom, dok se u fizici faktor najčešće ne postavlja za direktnu transformaciju, već se faktor postavlja za suprotno. Ako sukcesivno izračunamo naprijed Fourierovu transformaciju nekog signala, a zatim uzmemo inverznu Fourierovu transformaciju, tada se rezultat inverzne transformacije mora u potpunosti poklapati s originalnim signalom.

Ako je funkcija neparna na intervalu (−∞, + ∞), onda se Fourierova transformacija može predstaviti u terminima sinusne funkcije:

Ako je funkcija parna na intervalu (−∞, + ∞), onda se Fourierova transformacija može predstaviti u terminima kosinusne funkcije:

Dakle, kontinuirana Fourierova transformacija omogućava predstavljanje neperiodične funkcije u obliku integrala funkcije koji u svakoj od svojih tačaka predstavlja koeficijent Fourierovog reda za neperiodijsku funkciju.

Fourierova transformacija je reverzibilna, odnosno ako je njena Fourierova transformacija izračunata iz funkcije, tada se originalna funkcija može jedinstveno vratiti iz Fourierove transformacije. Inverzna Fourierova transformacija se shvata kao integral forme (dva oblika zapisa):

ili

gdje je Fourierova transformacija funkcije ili frekvencijski spektar funkcije;

- kružna frekvencija.

Ako je funkcija neparna na intervalu (−∞, + ∞), onda se inverzna Fourierova transformacija može predstaviti u terminima sinusne funkcije:

Ako je funkcija parna na intervalu (−∞, + ∞), tada se inverzna Fourierova transformacija može predstaviti u terminima kosinusne funkcije:

Kao primjer, razmotrite sljedeću funkciju ... U nastavku je prikazan graf istraživane eksponencijalne funkcije.

Budući da je funkcija parna funkcija, kontinuirana Fourierova transformacija će biti definirana na sljedeći način:

Kao rezultat, dobili smo ovisnost promjene istraživane eksponencijalne funkcije o frekvencijskom intervalu (vidi dolje).

Kontinuirana Fourierova transformacija se po pravilu koristi u teoriji kada se razmatraju signali koji se mijenjaju u skladu sa zadatim funkcijama, ali se u praksi najčešće bave rezultatima mjerenja, koji su diskretni podaci. Rezultati mjerenja se snimaju u redovnim intervalima sa određenom frekvencijom uzorkovanja, na primjer, 16000 Hz ili 22000 Hz. Međutim, u općem slučaju, diskretna očitanja mogu ići neravnomjerno, ali to komplikuje matematički aparat analize, pa se u praksi obično ne koristi.

Postoji važna Teorema Kotelnikova (u stranoj literaturi postoji naziv "Nyquist-Shannon teorem", "teorema uzorkovanja"), koja kaže da analogni periodični signal sa konačnim (ograničenim širinom) spektrom (0 ... fmax ) mogu se nedvosmisleno rekonstruisati bez izobličenja i gubitaka njihovim diskretnim uzorcima uzetim sa frekvencijom većom ili jednakom dvostrukoj gornjoj frekvenciji spektra - frekvenciji uzorkovanja (fdiscr> = 2 * fmax). Drugim riječima, pri brzini uzorkovanja od 1000 Hz, signal sa frekvencijom do 500 Hz može se rekonstruirati iz analognog periodičnog signala. Treba napomenuti da diskretizacija funkcije u vremenu dovodi do periodizacije njenog spektra, a uzorkovanje spektra u frekvenciji dovodi do periodizacije funkcije.

Ovo je jedna od Fourierovih transformacija koje se široko koriste u algoritmima za digitalnu obradu signala.

Direktna diskretna Fourierova transformacija dodjeljuje vremensku funkciju, koja je definirana sa N-tačaka mjerenja u datom vremenskom intervalu, drugoj funkciji, koja je definirana u intervalu frekvencije. Treba napomenuti da je funkcija vremenske domene specificirana korištenjem N-uzoraka, a funkcija frekvencijskog domena specificirana pomoću K-fold spektra.

k ˗ indeks frekvencije.

Frekvencija k-tog signala određena je izrazom

gdje je T vremenski period tokom kojeg su uzeti ulazni podaci.

Direktna diskretna transformacija može se prepisati u terminima stvarnih i imaginarnih komponenti. Realna komponenta je niz koji sadrži vrijednosti kosinusnih komponenti, a imaginarna komponenta je niz koji sadrži vrijednosti sinusnih komponenti.

Iz zadnjih izraza se može vidjeti da transformacija razlaže signal na sinusne komponente (zvane harmonike) sa frekvencijama od jedne oscilacije po periodu do N oscilacija po periodu.

Diskretna Fourierova transformacija ima posebnost, jer se diskretna sekvenca može dobiti zbirom funkcija sa različitim sastavom harmonijskog signala. Drugim riječima, diskretni niz se razlaže na harmonijske varijable - dvosmisleno. Stoga, kada se diskretna funkcija proširi pomoću diskretne Fourierove transformacije, u drugoj polovini spektra pojavljuju se visokofrekventne komponente, koje nisu bile u originalnom signalu. Ovaj spektar visoke frekvencije je zrcalna slika prvog dijela spektra (u smislu frekvencije, faze i amplitude). Obično se druga polovina spektra ne uzima u obzir, a amplitude signala prvog dijela spektra se udvostručuju.

Treba napomenuti da proširenje kontinuirane funkcije ne dovodi do pojave zrcalnog efekta, jer se kontinuirana funkcija nedvosmisleno razlaže na harmonijske varijable.

Amplituda konstantne komponente je prosječna vrijednost funkcije u odabranom vremenskom periodu i određuje se na sljedeći način:

Amplitude i faze frekvencijskih komponenti signala određene su sljedećim odnosima:

Rezultirajuće vrijednosti amplitude i faze nazivaju se polarnom notacijom. Rezultirajući vektor signala će biti definiran na sljedeći način:

Razmotrimo algoritam za transformaciju diskretno date funkcije u datom intervalu (u datom periodu) s brojem početnih tačaka

Diskretna Fourierova transformacija

Kao rezultat transformacije dobijamo realnu i imaginarnu vrijednost funkcije koja je definirana u frekvencijskom opsegu.

Inverzna diskretna Fourierova transformacija povezuje frekvencijsku funkciju koja je definirana K-fold spektrom preko frekvencijskog domena s drugom funkcijom koja je definirana u vremenskom domenu.

N ˗ broj vrijednosti signala izmjerenih tokom perioda, kao i višestrukost frekvencijskog spektra;

k ˗ indeks frekvencije.

Kao što je već spomenuto, diskretna Fourierova transformacija povezuje N-tačke diskretnog signala sa N-kompleksnim spektralnim uzorcima signala. Za izračunavanje jednog spektralnog uzorka potrebno je N operacija kompleksnog množenja i sabiranja. Dakle, računska složenost algoritma diskretne Fourierove transformacije je kvadratna, drugim riječima, potrebne su složene operacije množenja i sabiranja.

1

Kamere za video nadzor se široko koriste za praćenje saobraćajne situacije na autoputevima sa velikim intenzitetom saobraćaja. Informacije dobijene sa video kamera sadrže podatke o vremenskoj promeni prostornog položaja vozila u vidnom polju sistema. Obrada ovih informacija na osnovu algoritama koji se koriste u televizijskim mjernim sistemima (TIS), omogućava vam da odredite brzinu vozila i osigurate kontrolu tokova saobraćaja. Upravo ovi faktori objašnjavaju sve veći interes za televizijsko praćenje saobraćajnih autoputeva.

Za razvoj metoda za filtriranje slika vozila na pozadini smetnji, potrebno je poznavati njihove osnovne parametre i karakteristike. Prethodno su autori proveli studiju Fourierovog i talasnog spektra prirodnih i urbanih pozadina. Ovaj rad je posvećen proučavanju sličnih spektra vozila.

• pomoću digitalnog fotoaparata kreirana je banka originalnih .bmp datoteka monohromatskih slika vozila različitih tipova (automobili i kamioni, autobusi, za svaku grupu broj slika je bio 20-40 pod različitim uglovima i uslovima osvetljenja); slike su bile 400 piksela horizontalno i 300 piksela vertikalno; raspon svjetline od 0 do 255 jedinica;
• budući da su slike osim vozila sadržavale i pozadinu, kako bi se spriječio njen utjecaj na rezultat, ona je umjetno potisnuta na nulti nivo;
• analiza karakteristika slika vozila izvršena je metodama Fourierove i talasne analize.

Program razvijen u MATLAB okruženju omogućava vam da izračunate prosječnu svjetlinu (tj. matematičko očekivanje svjetline slike), varijansu svjetline, Fourierov spektar pojedinačnih i ukupnih linija slike, spektrograme, kao i talasne spektre koristeći različite dobro poznate talase (Haar, Daubechies, Simlet i dr.). Rezultati analize se prikazuju u obliku dvodimenzionalnih i 3D spektra slika.

Na osnovu rezultata istraživanja mogu se izvesti sljedeći zaključci:

• prosječne karakteristike svjetline (prosječna svjetlina, disperzija) slika različitih vozila imaju slične vrijednosti za sve tipove; odsjaj sunca od stakla i površina automobila ima značajan utjecaj na karakteristike svjetline; ovisno o intenzitetu i smjeru osvjetljenja, crni automobili mogu imati karakteristike svjetline slične lakim automobilima;
• bez obzira na tip vozila, Fourier i talasni spektar imaju sličnu strukturu;
• širina Fourierovog spektra vozila slabo zavisi od tipa vozila; spektar ima značajno neujednačenu strukturu koja se mijenja sa promjenom osvjetljenja i orijentacije vozila; spektar u horizontalnoj ravni ima neravniju strukturu nego u vertikalnoj; na spektralne karakteristike polu-kamiona i autobusa veliki uticaj imaju crteži i natpisi (reklame) na njegovim površinama;
• pri okretanju automobila, promjena spektra slika u horizontalnoj ravni je značajna, spektar u vertikalnoj ravnini ostaje prilično stabilan; ovo se posebno dobro vidi u talasnim spektrima;
• analiza spektra pojedinačnog vozila i vozila na pozadini interferencije pokazuje da se oni razlikuju u nivoima amplituda spektralnih komponenti; u odsustvu pozadine, vertikalni spektar je mnogo ujednačeniji; za slike automobila bez pozadine postoji veća vjerovatnoća dubokih padova u spektru (veće neravnine), omotač spektra slika sa pozadinom je ujednačeniji nego bez pozadine;
• Istraživanja su pokazala da, zbog snažnog uticaja velikog broja faktora, spektralne karakteristike vozila (i dobijene korišćenjem Fourierove analize i talasne analize) ne dozvoljavaju da identifikujemo stabilne spektralne karakteristike slika vozila; ovo smanjuje efikasnost spektralnog filtriranja slika, koje se provodi radi suzbijanja pozadine;
• U automatizovanim sistemima kontrole saobraćaja, da bi se automobili razlikovali od pozadine smetnji, potrebno je koristiti skup karakteristika, kao što su boja, spektar, geometrijski parametri objekata (veličine i omjeri) i dinamičke karakteristike.

BIBLIOGRAFIJA

1. Makaretsky E.A., Nguyen L.Kh. Istraživanje karakteristika slika prirodne i urbane pozadine // Izv. Tulsk. Država Univerzitet. Radio tehnika i radio optika. - Tula, 2005.-- T. 7.- P.97-104.

Bibliografska referenca

Makaretsky E.A. ISTRAŽIVANJE FOURIEROVA I TALASIČNOG SPEKTRA SLIKE VOZILA // Fundamentalna istraživanja. - 2006. - br. 12. - str. 80-81;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=5557 (datum pristupa: 15.01. Predstavljamo Vam časopise koje izdaje "Akademija prirodnih nauka"