Řešení úloh v matematice je pro žáky často provázeno mnoha obtížemi. Hlavním účelem našich stránek je pomoci studentovi tyto obtíže zvládnout a naučit jej aplikovat dosavadní teoretické znalosti při řešení konkrétních problémů ve všech částech kurzu předmětu „Matematika“.

Při zahájení řešení úloh na dané téma by studenti měli být schopni sestrojit bod na rovině pomocí jeho souřadnic a také najít souřadnice daného bodu.

Výpočet vzdálenosti mezi dvěma body A(x A; y A) a B(x B; y B) v rovině se provede pomocí vzorce d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), kde d je délka segmentu, který spojuje tyto body v rovině.

Pokud se jeden z konců segmentu shoduje s počátkem souřadnic a druhý má souřadnice M(x M; y M), pak vzorec pro výpočet d bude mít tvar OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Výpočet vzdálenosti mezi dvěma body na základě zadaných souřadnic těchto bodů

Příklad 1.

Najděte délku úsečky, která spojuje body A(2; -5) a B(-4; 3) v souřadnicové rovině (obr. 1).

Řešení.

Příkaz problému uvádí: x A = 2; x B = -4; y A = -5 a y B = 3. Najděte d.

Použitím vzorce d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) dostaneme:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Výpočet souřadnic bodu, který je stejně vzdálený od tří daných bodů

Příklad 2

Najděte souřadnice bodu O 1, který je stejně vzdálený od tří bodů A(7; -1) a B(-2; 2) a C(-1; -5).

Řešení.

Z formulace problémových podmínek vyplývá, že O 1 A = O 1 B = O 1 C. Nechť požadovaný bod O 1 má souřadnice (a; b). Pomocí vzorce d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) zjistíme:

O 1 A = √ ((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

OiB = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O1C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Vytvořme soustavu dvou rovnic:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Po umocnění levé a pravé strany rovnic zapíšeme:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Zjednodušení, pišme

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Po vyřešení soustavy dostaneme: a = 2; b = -1.

Bod O 1 (2; -1) je stejně vzdálený od tří bodů uvedených v podmínce, které neleží na stejné přímce. Tento bod je středem kružnice procházející třemi danými body (obr. 2).

3. Výpočet úsečky (ordináty) bodu, který leží na ose úsečky (ordináta) a je v dané vzdálenosti od daného bodu

Příklad 3

Vzdálenost od bodu B(-5; 6) k bodu A ležícímu na ose Ox je 10. Najděte bod A.

Řešení.

Z formulace problémových podmínek vyplývá, že pořadnice bodu A je rovna nule a AB = 10.

Úsečku bodu A označíme a, zapíšeme A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Dostaneme rovnici √((a + 5) 2 + 36) = 10. Když to zjednodušíme, máme

a 2 + 10a – 39 = 0.

Kořeny této rovnice jsou a 1 = -13; a 2 = 3.

Získáme dva body A 1 (-13; 0) a A 2 (3; 0).

Zkouška:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Oba získané body jsou vhodné podle podmínek problému (obr. 3).

4. Výpočet úsečky bodu, který leží na ose úsečky a je ve stejné vzdálenosti od dvou daných bodů

Příklad 4.

Najděte bod na ose Oy, který je ve stejné vzdálenosti od bodů A (6, 12) a B (-8, 10).

Řešení.

Nechť souřadnice bodu požadované podmínkami úlohy, ležícího na ose Oy, jsou O 1 (0; b) (v bodě ležícím na ose Oy je úsečka nulová). Z podmínky vyplývá, že O 1 A = O 1 B.

Pomocí vzorce d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) zjistíme:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Máme rovnici √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) nebo 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Po zjednodušení dostaneme: b – 4 = 0, b = 4.

Bod O 1 (0; 4) vyžadovaný podmínkami problému (obr. 4).

5. Výpočet souřadnic bodu, který se nachází ve stejné vzdálenosti od souřadnicových os a nějakého daného bodu

Příklad 5.

Najděte bod M umístěný na souřadnicové rovině ve stejné vzdálenosti od souřadnicových os a od bodu A(-2; 1).

Řešení.

Požadovaný bod M se stejně jako bod A(-2; 1) nachází ve druhém souřadnicovém úhlu, protože je stejně vzdálený od bodů A, P 1 a P 2 (obr. 5). Vzdálenosti bodu M od souřadnicových os jsou stejné, proto jeho souřadnice budou (-a; a), kde a > 0.

Z podmínek úlohy vyplývá, že MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

těch. |-a| = a.

Pomocí vzorce d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) zjistíme:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Udělejme rovnici:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Po umocnění a zjednodušení máme: a 2 – 6a + 5 = 0. Řešte rovnici, najděte a 1 = 1; a 2 = 5.

Získáme dva body M 1 (-1; 1) a M 2 (-5; 5), které splňují podmínky úlohy.

6. Výpočet souřadnic bodu, který se nachází ve stejné zadané vzdálenosti od osy úsečky (ordináta) a od daného bodu

Příklad 6.

Najděte bod M takový, aby jeho vzdálenost od souřadnicové osy a od bodu A(8; 6) byla rovna 5.

Řešení.

Z podmínek úlohy vyplývá, že MA = 5 a úsečka bodu M je rovna 5. Nechť je pořadnice bodu M rovna b, pak M(5; b) (obr. 6).

Podle vzorce d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) máme:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Udělejme rovnici:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Když to zjednodušíme, dostaneme: b 2 – 12b + 20 = 0. Kořeny této rovnice jsou b 1 = 2; b 2 = 10. V důsledku toho existují dva body, které splňují podmínky úlohy: M 1 (5; 2) a M 2 (5; 10).

Je známo, že mnoho studentů při samostatném řešení problémů potřebuje neustálé konzultace o technikách a metodách jejich řešení. Žák často nemůže najít způsob, jak vyřešit problém bez pomoci učitele. Potřebné rady k řešení problémů může student získat na našich webových stránkách.

Máte ještě otázky? Nevíte, jak zjistit vzdálenost mezi dvěma body v rovině?
Chcete-li získat pomoc od lektora, zaregistrujte se.
První lekce je zdarma!

webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.

Vzdálenost od bodu k bodu je délka úsečky spojující tyto body na daném měřítku. Pokud tedy jde o měření vzdálenosti, musíte znát měřítko (jednotku délky), ve které budou měření prováděna. Proto je problém zjištění vzdálenosti od bodu k bodu obvykle uvažován buď na souřadnicové čáře nebo v pravoúhlém kartézském souřadnicovém systému v rovině nebo v trojrozměrném prostoru. Jinými slovy, nejčastěji musíte vypočítat vzdálenost mezi body pomocí jejich souřadnic.

V tomto článku si nejprve připomeneme, jak se určuje vzdálenost od bodu k bodu na souřadnicové čáře. Dále získáme vzorce pro výpočet vzdálenosti mezi dvěma body roviny nebo prostoru podle zadaných souřadnic. Na závěr podrobně zvážíme řešení typických příkladů a problémů.

Navigace na stránce.

Vzdálenost mezi dvěma body na souřadnicové čáře.

Nejprve si definujme notaci. Vzdálenost z bodu A do bodu B budeme označovat jako .

Z toho můžeme usoudit, že vzdálenost od bodu A se souřadnicí k bodu B se souřadnicí je rovna modulu rozdílu souřadnic, to znamená, pro libovolné umístění bodů na souřadnicové čáře.

Vzdálenost od bodu k bodu na rovině, vzorec.

Získáme vzorec pro výpočet vzdálenosti mezi body a daný v pravoúhlém kartézském souřadnicovém systému v rovině.

V závislosti na umístění bodů A a B jsou možné následující možnosti.

Pokud se body A a B shodují, je vzdálenost mezi nimi nulová.

Pokud body A a B leží na přímce kolmé k ose úsečky, pak se body shodují a vzdálenost je rovna vzdálenosti . V předchozím odstavci jsme zjistili, že vzdálenost mezi dvěma body na souřadnicové čáře je rovna modulu rozdílu jejich souřadnic, proto, . Proto, .

Podobně, pokud body A a B leží na přímce kolmé k ose pořadnice, pak vzdálenost z bodu A do bodu B se zjistí jako .

V tomto případě má trojúhelník ABC obdélníkovou konstrukci a A . Podle Pythagorova věta můžeme zapsat rovnost, odkud .

Shrňme všechny získané výsledky: vzdálenost od bodu k bodu v rovině se zjistí pomocí souřadnic bodů pomocí vzorce .

Výsledný vzorec pro zjištění vzdálenosti mezi body lze použít, když se body A a B shodují nebo leží na přímce kolmé k jedné ze souřadnicových os. Pokud se A a B shodují, pak . Pokud body A a B leží na přímce kolmé k ose Ox, pak. Pokud A a B leží na přímce kolmé k ose Oy, pak .

Vzdálenost mezi body v prostoru, vzorec.

Představme si pravoúhlý souřadnicový systém Oxyz v prostoru. Pojďme získat vzorec pro zjištění vzdálenosti od bodu do té míry .

Obecně platí, že body A a B neleží v rovině rovnoběžné s jednou ze souřadnicových rovin. Narýsujme body A a B roviny kolmé k souřadnicovým osám Ox, Oy a Oz. Průsečíky těchto rovin se souřadnicovými osami nám poskytnou průměty bodů A a B na tyto osy. Označujeme projekce .

Požadovaná vzdálenost mezi body A a B je úhlopříčka pravoúhlého rovnoběžnostěnu znázorněného na obrázku. Podle konstrukce jsou rozměry tohoto rovnoběžnostěnu stejné A . V kurzu geometrie na střední škole bylo prokázáno, že druhá mocnina úhlopříčky kvádru je rovna součtu druhých mocnin jeho tří rozměrů, tedy . Na základě informací v první části tohoto článku můžeme napsat následující rovnosti, proto,

odkud to máme vzorec pro zjištění vzdálenosti mezi body v prostoru .

Tento vzorec platí i pro body A a B

• sladit se;
• patřit k jedné ze souřadnicových os nebo přímce rovnoběžné s jednou ze souřadnicových os;
• patří do jedné ze souřadnicových rovin nebo roviny rovnoběžné s jednou ze souřadnicových rovin.

Hledání vzdálenosti od bodu k bodu, příklady a řešení.

Získali jsme tedy vzorce pro zjištění vzdálenosti mezi dvěma body na souřadnicové čáře, rovině a trojrozměrném prostoru. Je čas podívat se na řešení typických příkladů.

Množství problémů, ve kterých je posledním krokem nalezení vzdálenosti mezi dvěma body podle jejich souřadnic, je skutečně obrovské. Úplný přehled takových příkladů přesahuje rámec tohoto článku. Zde se omezíme na příklady, ve kterých jsou známy souřadnice dvou bodů a je nutné vypočítat vzdálenost mezi nimi.

Pomocí souřadnic se určí poloha objektu na zeměkouli. Souřadnice jsou označeny zeměpisnou šířkou a délkou. Zeměpisné šířky se měří od rovníku na obou stranách. Na severní polokouli jsou zeměpisné šířky kladné, na jižní polokouli záporné. Zeměpisná délka se měří od nultého poledníku buď na východ nebo na západ, získá se buď východní nebo západní délka.

Podle obecně uznávaného postoje se za nultý poledník považuje ten, který prochází starou Greenwichskou observatoří v Greenwichi. Zeměpisné souřadnice místa lze získat pomocí GPS navigátoru. Toto zařízení přijímá signály satelitního polohovacího systému v souřadnicovém systému WGS-84, jednotném pro celý svět.

Modely Navigator se liší výrobcem, funkčností a rozhraním. V současné době jsou v některých modelech mobilních telefonů k dispozici také vestavěné GPS navigace. Ale každý model může zaznamenat a uložit souřadnice bodu.

Vzdálenost mezi GPS souřadnicemi

Pro řešení praktických i teoretických problémů v některých odvětvích je nutné umět určit vzdálenosti mezi body jejich souřadnicemi. Můžete to udělat několika způsoby. Kanonická forma reprezentace zeměpisných souřadnic: stupně, minuty, sekundy.

Můžete například určit vzdálenost mezi následujícími souřadnicemi: bod č. 1 - zeměpisná šířka 55°45′07″ N, zeměpisná délka 37°36′56″ V; bod č. 2 - zeměpisná šířka 58°00′02″ s. š., zeměpisná délka 102°39′42″ vd.

Nejjednodušší způsob je pomocí kalkulačky vypočítat délku mezi dvěma body. Ve vyhledávači prohlížeče musíte nastavit následující parametry vyhledávání: online - pro výpočet vzdálenosti mezi dvěma souřadnicemi. V online kalkulačce se hodnoty zeměpisné šířky a délky zadávají do polí dotazu pro první a druhou souřadnice. Při výpočtu online kalkulačka dala výsledek - 3 800 619 m.

Další metoda je pracnější, ale také vizuálnější. Musíte použít jakýkoli dostupný mapovací nebo navigační program. Mezi programy, ve kterých můžete vytvářet body pomocí souřadnic a měřit vzdálenosti mezi nimi, patří tyto aplikace: BaseCamp (moderní obdoba programu MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Všechny výše uvedené programy jsou dostupné všem uživatelům sítě. Chcete-li například vypočítat vzdálenost mezi dvěma souřadnicemi v aplikaci Google Earth, musíte vytvořit dva štítky označující souřadnice prvního a druhého bodu. Poté pomocí nástroje „Pravítko“ musíte propojit první a druhou značku čárou, program automaticky zobrazí výsledek měření a zobrazí cestu na satelitním snímku Země.

V případě výše uvedeného příkladu program Google Earth vrátil výsledek - délka vzdálenosti mezi bodem č. 1 a bodem č. 2 je 3 817 353 m.

Proč je chyba při určování vzdálenosti

Všechny výpočty rozsahu mezi souřadnicemi jsou založeny na výpočtu délky oblouku. Poloměr Země se podílí na výpočtu délky oblouku. Ale protože se tvar Země blíží zploštělému elipsoidu, poloměr Země se v určitých bodech mění. Pro výpočet vzdálenosti mezi souřadnicemi se bere průměrná hodnota poloměru Země, která dává chybu v měření. Čím větší je měřená vzdálenost, tím větší je chyba.

Matematika

§2. Souřadnice bodu v rovině

3. Vzdálenost mezi dvěma body.

Vy a já teď můžeme mluvit o bodech v řeči čísel. Například už nemusíme vysvětlovat: vezměte bod, který je tři jednotky napravo od osy a pět jednotek pod osou. Stačí jednoduše říci: vezměte si pointu.

Již jsme řekli, že to přináší určité výhody. Můžeme tedy telegraficky přenést kresbu složenou z teček, sdělit ji počítači, který kresbám vůbec nerozumí, ale číslům rozumí dobře.

V předchozím odstavci jsme definovali některé sady bodů v rovině pomocí vztahů mezi čísly. Nyní se pokusme důsledně převést další geometrické pojmy a fakta do řeči čísel.

Začneme jednoduchým a běžným úkolem.

Najděte vzdálenost mezi dvěma body v rovině.

Řešení:
Jako vždy předpokládáme, že body jsou dány svými souřadnicemi, a pak je naším úkolem najít pravidlo, podle kterého můžeme se znalostí jejich souřadnic vypočítat vzdálenost mezi body. Při odvozování tohoto pravidla je samozřejmě dovoleno uchýlit se ke kresbě, ale samotné pravidlo by nemělo obsahovat žádné odkazy na kresbu, ale mělo by pouze ukazovat, jaké akce a v jakém pořadí je třeba na daných číslech provést - souřadnice bodů - pro získání požadovaného počtu - vzdálenost mezi body.

Možná bude některým čtenářům tento přístup k řešení problému připadat podivný a přitažený za vlasy. Co je jednodušší, řeknou, body jsou dány, dokonce souřadnicemi. Nakreslete tyto body, vezměte pravítko a změřte vzdálenost mezi nimi.

Tato metoda někdy není tak špatná. Představte si však znovu, že máte co do činění s počítačem. Nemá pravítko a nekreslí, ale umí počítat tak rychle, že jí to vůbec nedělá problém. Všimněte si, že náš problém je formulován tak, že pravidlo pro výpočet vzdálenosti mezi dvěma body se skládá z příkazů, které může provést stroj.

Je lepší nejprve vyřešit problém pro speciální případ, kdy jeden z těchto bodů leží v počátku souřadnic. Začněte několika numerickými příklady: zjistěte vzdálenost od počátku bodů; A .

Poznámka. Použijte Pythagorovu větu.

Nyní napište obecný vzorec pro výpočet vzdálenosti bodu od počátku.

Vzdálenost bodu od počátku je určena vzorcem:

Je zřejmé, že pravidlo vyjádřené tímto vzorcem splňuje výše uvedené podmínky. Zejména jej lze použít při výpočtech na strojích, které umí násobit čísla, sčítat je a získávat druhé odmocniny.

Nyní vyřešíme obecný problém

Vzhledem ke dvěma bodům na rovině najděte vzdálenost mezi nimi.

Řešení:
Označme , , , průměty bodů a na souřadnicových osách.

Průsečík přímek označme písmenem . Z pravoúhlého trojúhelníku pomocí Pythagorovy věty získáme:

Ale délka segmentu se rovná délce segmentu. Body a , leží na ose a mají souřadnice a . Podle vzorce získaného v odstavci 3 odstavce 2 je vzdálenost mezi nimi rovna .

Pokud budeme argumentovat podobně, zjistíme, že délka segmentu je rovna . Dosazením nalezených hodnot do vzorce dostaneme.

V tomto článku se podíváme na způsoby, jak určit vzdálenost z bodu do bodu teoreticky a na příkladu konkrétních úloh. Pro začátek si uveďme několik definic.

Definice 1

Vzdálenost mezi body je délka segmentu, který je spojuje, ve stávajícím měřítku. Je nutné nastavit měřítko, abychom měli jednotku délky pro měření. Proto je v zásadě problém zjištění vzdálenosti mezi body vyřešen použitím jejich souřadnic na souřadnicové čáře, v souřadnicové rovině nebo trojrozměrném prostoru.

Počáteční data: souřadnice O x a na ní leží libovolný bod A. Jakýkoli bod na přímce má jedno reálné číslo: nechť je to určité číslo pro bod A x A, je to také souřadnice bodu A.

Obecně lze říci, že délka určitého segmentu se posuzuje ve srovnání s segmentem braným jako jednotka délky na daném měřítku.

Pokud bod A odpovídá celému reálnému číslu, postupným odkládáním z bodu O do bodu podél přímky O A segmenty - jednotky délky, můžeme určit délku segmentu O A z celkového počtu vyčleněných jednotkových segmentů.

Například bod A odpovídá číslu 3 - abyste se k němu dostali z bodu O, budete muset propustit tři segmenty jednotky. Pokud má bod A souřadnici - 4, segmenty jednotek jsou rozmístěny podobným způsobem, ale v jiném záporném směru. V prvním případě je tedy vzdálenost O A rovna 3; ve druhém případě O A = 4.

Pokud má bod A racionální číslo jako souřadnici, pak z počátku (bod O) vyneseme celočíselný počet jednotkových segmentů a poté jeho nezbytnou část. Ale geometricky není vždy možné provést měření. Například se zdá obtížné vykreslit zlomek 4 111 na souřadnicové čáře.

Pomocí výše uvedené metody je zcela nemožné vykreslit iracionální číslo na přímce. Například, když je souřadnice bodu A 11. V tomto případě je možné přejít k abstrakci: pokud je daná souřadnice bodu A větší než nula, pak O A = x A (číslo se bere jako vzdálenost); pokud je souřadnice menší než nula, pak O A = - x A . Obecně platí, že tato tvrzení platí pro jakékoli reálné číslo x A.

Abychom to shrnuli: vzdálenost od počátku k bodu, který odpovídá reálnému číslu na souřadnicové čáře, se rovná:

• 0, pokud se bod shoduje s počátkem;

• x A, pokud x A > 0;

• - x A, pokud x A< 0 .

V tomto případě je zřejmé, že délka samotného segmentu nemůže být záporná, proto pomocí znaménka modulu zapíšeme vzdálenost z bodu O do bodu A se souřadnicí x A: O A = x A

Následující tvrzení bude pravdivé: vzdálenost od jednoho bodu k druhému bude rovna modulu rozdílu souřadnic. Tito. pro body A a B ležící na stejné souřadnicové čáře pro libovolné místo a mající odpovídající souřadnice x A A x B: A B = x B - x A.

Výchozí údaje: body A a B ležící v rovině v pravoúhlém souřadnicovém systému O x y s danými souřadnicemi: A (x A, y A) a B (x B, y B).

Nakreslete kolmice přes body A a B k souřadnicovým osám O x a O y a získáme jako výsledek promítací body: A x, A y, B x, B y. Na základě umístění bodů A a B jsou pak možné následující možnosti:

Pokud se body A a B shodují, pak je vzdálenost mezi nimi nulová;

Pokud body A a B leží na přímce kolmé k ose O x (osa úsečky), pak se body shodují a | A B | = | A y B y | . Protože vzdálenost mezi body je rovna modulu rozdílu jejich souřadnic, pak A y B y = y B - y A, a tedy A B = A y B y = y B - y A.

Pokud body A a B leží na přímce kolmé k ose O y (osa pořadnice) - analogicky s předchozím odstavcem: A B = A x B x = x B - x A

Pokud body A a B neleží na přímce kolmé k jedné ze souřadnicových os, zjistíme vzdálenost mezi nimi odvozením vzorce pro výpočet:

Vidíme, že trojúhelník A B C má obdélníkovou konstrukci. V tomto případě A C = A x B x a B C = A y By. Pomocí Pythagorovy věty vytvoříme rovnost: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 a poté ji transformujeme: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Udělejme závěr ze získaného výsledku: vzdálenost z bodu A do bodu B v rovině je určena výpočtem pomocí vzorce pomocí souřadnic těchto bodů

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Výsledný vzorec také potvrzuje dříve vytvořená tvrzení pro případy shody bodů nebo situace, kdy body leží na přímkách kolmých k osám. Pokud se tedy body A a B shodují, bude platit následující rovnost: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Pro situaci, kdy body A a B leží na přímce kolmé k ose x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Pro případ, kdy body A a B leží na přímce kolmé k ose pořadnice:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Počáteční údaje: pravoúhlý souřadnicový systém O x y z s libovolnými body ležícími na něm s danými souřadnicemi A (x A, y A, z A) a B (x B, y B, z B). Je nutné určit vzdálenost mezi těmito body.

Uvažujme obecný případ, kdy body A a B neleží v rovině rovnoběžné s jednou ze souřadnicových rovin. Nakreslete roviny kolmé k souřadnicovým osám body A a B a získáme odpovídající promítací body: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Vzdálenost mezi body A a B je úhlopříčka výsledného rovnoběžnostěnu. Podle konstrukce měření tohoto rovnoběžnostěnu: A x B x , A y B y a A z B z

Z průběhu geometrie víme, že druhá mocnina úhlopříčky kvádru je rovna součtu čtverců jeho rozměrů. Na základě tohoto tvrzení získáme rovnost: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Na základě dříve získaných závěrů píšeme následující:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Převedeme výraz:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Finále vzorec pro určení vzdálenosti mezi body v prostoru bude vypadat takto:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Výsledný vzorec platí také pro případy, kdy:

Body se shodují;

Leží na jedné souřadnicové ose nebo přímce rovnoběžné s jednou ze souřadnicových os.

Příklady řešení úloh na hledání vzdálenosti mezi body

Příklad 1

Počáteční údaje: je uvedena souřadnicová čára a na ní ležící body s danými souřadnicemi A (1 - 2) a B (11 + 2). Je nutné najít vzdálenost od výchozího bodu O k bodu A a mezi body A a B.

Řešení

1. Vzdálenost od referenčního bodu k bodu je rovna modulu souřadnice tohoto bodu, respektive O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Vzdálenost mezi body A a B definujeme jako modul rozdílu souřadnic těchto bodů: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Odpověď: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Příklad 2

Výchozí údaje: je uveden pravoúhlý souřadnicový systém a dva body na něm ležící A (1, - 1) a B (λ + 1, 3). λ je nějaké reálné číslo. Je nutné najít všechny hodnoty tohoto čísla, při kterých bude vzdálenost A B rovna 5.

Řešení

Chcete-li zjistit vzdálenost mezi body A a B, musíte použít vzorec A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Dosazením reálných hodnot souřadnic dostaneme: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Použijeme také existující podmínku, že A B = 5 a pak bude rovnost pravdivá:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Odpověď: A B = 5, pokud λ = ± 3.

Příklad 3

Výchozí údaje: v pravoúhlém souřadnicovém systému O x y z je specifikován trojrozměrný prostor a v něm ležící body A (1, 2, 3) a B - 7, - 2, 4.

Řešení

K vyřešení úlohy použijeme vzorec A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Dosazením reálných hodnot dostaneme: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Odpověď: | A B | = 9

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter