Keerulised integraalid

See artikkel lõpetab objekti ebakindlate integraalide ja selles integraalid, mida ma pean üsna keeruliseks. Õppetund loodi külastajate korduvatele taotlustele, kes väljendasid soove, et raskem näiteid saidil lahti lammutada.

Eeldatakse, et selle teksti lugeja on hästi ette valmistatud ja teab, kuidas rakendada integratsiooni peamisi tehnikaid. Teatrepailid ja inimesed, kes ei ole integraalidega väga kindlalt käsitletud, tuleks suunata esimesele õppetundile - Ebakindel integraal. Lahenduste näitedKui te saate teemat kanda peaaegu nulliga. Rohkem kogenud õpilasi saab tutvuda tehnikate ja integratsiooni meetoditega, mis minu artiklid ei ole veel täidetud.

Milliseid integraale kaalutakse?

Esiteks kaalume juurtega integraale, mis lahendab seda järjekindlalt muutuse asendamine ja integratsioon osadesse. See tähendab, et ühes näites kombineeritakse kaks vastuvõttu. Ja veelgi rohkem.

Siis me tutvume huvitava ja originaalsega meetodi teabe integreeritud ise. See meetod on lahendatud mitte nii vähe integraalid.

Programmi kolmas number läheb integraale komplekssetest fraktsioonidest, mis lendasid varasemates artiklites varasemates artiklites.

Neljandaks, täiendavaid integraalid trigonomeetriliste funktsioonide lahti. Eelkõige on olemas meetodid, mis võimaldavad teil vältida universaalse trigonomeetrilise asenduse aeganõudeid.

(2) Integrandi funktsioonis nimetaja nimeraator nimetaja.

(3) Kasutage määramata lahutamatu osa lineaarsusomandit. Viimase integraaliga kohe pühkige funktsioon diferentsiaali märk.

(4) Võtke ülejäänud integraalid. Pange tähele, et logaritmil saate kasutada sulgusid, mitte moodulit, sest.

(5) Meil \u200b\u200bon asendamine, väljendades otsest asendamist "TE":

Masochian õpilased saavad individuaalse vastuse ja saada originaal Integrand funktsiooni just tegi. Ei, ei, ma täitsin kontrollimise õiges mõttes \u003d)

Nagu näete, pidin otsuses kasutama veelgi rohkem kui kaks lahenduse otsust, nii et sarnaste integraalidega repressioonid vajavad kindlaid integratsioonioskusi ja mitte väikseimat kogemust.

Praktikas on ruutjuure tavalisem, siin on kolm näidet sõltumatu lahenduse jaoks:

Näide 2.

Leidma ebakindel integraal

Näide 3.

Leia määramata lahutamatu

Näide 4.

Leia määramata lahutamatu

Need sama tüüpi näited, nii et toote lõpus olev täielik lahendus on ainult näiteks 2 näites 3-4 - üks vastused. Mis asendamine kohaldatakse otsuste alguses, ma arvan ilmselt. Miks ma võtsin sama tüüpi näiteid? Sageli leidub teie rollis. Sagedamini võib-olla lihtsalt midagi .

Aga mitte alati, kui ARCTGNNES, Sinus, kosiini, eksponentsiaalsed jne on lineaarse funktsiooni juur, tuleb rakendada mitmeid meetodeid. Mõnel juhul on võimalik "vabaneda", mis on kohe pärast asendamist lihtsa lahutamatuna, mis on elementaarne. Kavandatavate ülesannete lihtsaim on näide 4 pärast asendamist selgub suhteliselt lihtne lahutamatu.

Meetodi teabe integreeritud ise

Vaimukas ja ilus meetod. Kohe kaaluge žanri klassikat:

Näide 5.

Leia määramata lahutamatu

Juure all on ruudukujuline jalgratas ja selle näite integreerimisel võib veekeetja tunde all kannatada. Selline integraal võetakse osades ja see läheb alla. Põhimõtteliselt ei ole see raske. Kui sa tead, kuidas.

Tähistage ladina kirja lahutamatut ja alustage lahendust:

Me integreerime osadeks:

(1) Me valmistame ette mullaosakonna asendusfunktsiooni.

(2) Me jagame asendusfunktsiooni. Võib-olla mitte kõik selgelt, kirjutan üksikasjalikumalt:

(3) Kasutage määramata lahutamatu osa lineaarsusomandit.

(4) Võtke viimane integraal ("pikk" logaritm).

Nüüd vaatame otsuse algust:

Ja lõpuks:

Mis juhtus? Meie manipulatsioonide tulemusena sai lahutamatu osa!

Me võrdsustame algust ja lõpetame:

Me edastame vasakule küljele märgi muutmisega:

Ja demo demoloose paremale küljele. Tulemusena:

Pidev, rangelt öeldes tuli varem lisada varem, kuid see on selle lõpus omistatud. Soovitan tungivalt lugeda, mis on siin ranguse jaoks:

Märge: Lahenduse rangem viimane etapp näeb välja selline:

Sellel viisil:

Konstantset saab uuesti kasutada. Miks sa saad uuesti välja? Sest see ikka kulub igasugune Väärtused ja selles mõttes konstantide vahel ja ei ole vahet.
Tulemusena:

Selline trikk uuesti väljastatud konstandiga kasutatakse laialdaselt diferentsiaalvõrrandid. Ja seal ma olen range. Ja siin on minu poolt selline vabadus ainult selleks, et mitte segada teid üleliigseid asju ja keskenduda integratsiooni meetodile.

Näide 6.

Leia määramata lahutamatu

Teine tüüpiline lahutamatu enese otsuste tegemiseks. Täielik lahendus ja vastus õppetundi lõpus. Erinevus eelmise näite vastusega on!

Kui see on all ruutjuur Seal on ruudukujuline kolmekordne, lahendus igal juhul vähendatakse kaheks demonteeritud näideteks.

Näiteks kaaluge terviklikku . Kõik, mida pead tegema, on eel- valige Full Square:
.
Seejärel viiakse läbi lineaarne asendamine, mis maksab "ilma tagajärgedeta":
Selle tulemusena saadakse lahutamatu osa. Midagi tuttav, eks?

Või selline näide, ruuduga põrkas:
Me tõstame esile täieliku ruudu:
Ja pärast lineaarset asendamist saame lahutamatu, mida lahendatakse ka juba kaalutud algoritmi poolt.

Mõtle veel kaks tüüpiline näide Vastuvõtuteabe integraalile:
- eksponeerimise lahutamatu osa, mis on korrutatud sinusega;
- eksponeerimise lahutamatu osa, mis on korrutatud kosiiniga.

Osade loetletud integraalide puhul tuleb integreerida kaks korda:

Näide 7.

Leia määramata lahutamatu

Integrandi funktsioon on eksponeerija, kes korrutatakse sinusega.

Me integreerime kaks korda osad ja tuua ise lahutamatu:

Kahekordse integratsiooni tulemusena osades on lahutamatu osa ise. Me võrdsustame algus- ja lõpplahendusi:

Me edastame vasakule küljele märgi muutmisega ja väljendada meie integraali:

Valmis. Samuti on soovitav võidelda paremale küljele, st Klambrite jaoks eksponentide tegemine ja sulgudes panna sinus koos kosiiniga "Ilus" järjekorras.

Nüüd lähme tagasi näite algusse või pigem - osade integreerimisele:

Sest me nimetasime eksponendile. Tekib küsimus, on alati vaja viidata eksponendile? Ei ole vajalik. Tegelikult uuritud lahutamas põhimõte erinevust poleMida viidata, oli võimalik minna teisele poole:

Miks on võimalik? Kuna eksponent muutub ise (ja diferentseerimise ajal ja integratsiooni ajal), muutub sinus koos kosiiniga üksteisele vastastikku (uuesti - nii diferentseerimise ajal kui ka integratsiooni ajal).

See tähendab, et trigonomeetriline funktsioon võib tähistada. Kuid uuritavas näites on see vähem ratsionaalne, kuna fraktsioonid ilmuvad. Soovi korral saate proovida seda näidet teisel viisil lahendada, vastused tuleb kokku langeda.

Näide 8.

Leia määramata lahutamatu

See on eeskuju sõltumatu lahenduse kohta. Enne otsustamist mõelda, et see on kasumlikum sel juhul määrata, eksponent või trigonomeetriline funktsioon? Täielik lahendus ja vastus õppetundi lõpus.

Ja muidugi ärge unustage, et enamik selle õppetundi vastustest on diferentseerimise kontrollimiseks üsna lihtne!

Näiteid ei peetud kõige raskemaks. Praktikas on integraalid sagedamini leitud, kus eksponendi indikaatoris on konstantne ja näiteks trigonomeetrilise funktsiooni argumendis:. Mõte sarnase integraaliga peab tegema palju, sageli segadusse mind. Fakt on see, et fraktsioonide ilmumise tõenäosuse lahendamisel ja on väga lihtsalt midagi intensiivset kaotamist. Lisaks on märkide vigade tõenäosus suur, märkige, et eksponendi indikaatoris on miinusmärk ja see teeb täiendavaid raskusi.

Lõplikus etapis saadakse sageli ligikaudu järgmine:

Isegi lõpus otsuse peaks olema äärmiselt tähelepanelik ja pädevalt tegeleda fraktsioonidega:

Keeruliste fraktsioonide integreerimine

Aeglaselt jõuame õppetundi ekvaatorile ja hakata kaaluma fraktsioonidest integraale. Jällegi, mitte kõik neist ei ole superswit, vaid ühel põhjusel või mõnel muudel näidetel oli natuke "mitte teemal" teistes artiklites.

Me jätkame juurte teemat

Näide 9.

Leia määramata lahutamatu

Nimetaja, juure all on ruudukujuline kolmevägenenud pluss väljaspool juure "parandada" kujul "Iksa". Selle tüübi lahutamatuks lahendatakse standardse asendamise abil.

Me otsustame:

Asendamine siin on lihtne:

Me vaatame elu pärast asendamist:

(1) Pärast asendamist anname me üldiste nimetajate tingimustele root.
(2) Me kanname juurest.
(3) Lumeraator ja nimetaja vähendades. Samal ajal ümber juurida, ma ümber komponendid mugavas järjekorras. Teatud eksperimendi, samme (1), (2) saab vahele jätta kommenteeritud tegevusi suuliselt.
(4) saadud lahutamatu, nagu te õppetunni mäletate Mõnede fraktsioonide integreerimine, otsustab täisvälja eraldamise meetod. Valige täisväljak.
(5) Integratsiooni saame ülimalt "pikk" logaritm.
(6) Tehke asendamine. Kui algselt siis tagasi :.
(7) Lõplik tegevus on suunatud tulemuse soengule: juurte all toovad nad uuesti komponendid üldisele nimetajale ja kannatama juurest.

Näide 10.

Leia määramata lahutamatu

See on eeskuju sõltumatu lahenduse kohta. Siin on konstantse lisatud üksildane "ICSU" ja asendamine on peaaegu sama:

Ainus asi, mida peate lisaks tegema, on asendamisest väljendada "x":

Täielik lahendus ja vastus õppetundi lõpus.

Mõnikord võib juure all oleva integraaliga olla ruudukujuline, see ei muuda lahendust lahendust, see on veelgi lihtsam. Tundke erinevust:

Näide 11.

Leia määramata lahutamatu

Näide 12.

Leia määramata lahutamatu

Lühikesed otsused ja vastused õppetundi lõpus. Tuleb märkida, et näide 11 on täpselt binomite lahutamatu, kelle otsus peeti õppetund Irratsionaalsete funktsioonide integraalid.

Integraalne indekompositamatu polünoomi 2. astme kraadi

(Polünoomi nimi nimetaja)

Rohkem haruldane, kuid siiski kohtumine praktilised näited Integraali tüüp.

Näide 13.

Leia määramata lahutamatu

Aga tule tagasi näiteks Õnnelik number 13 (ausalt, ei sobinud). See integraal on ka nende kategooria kategooriast, kellega saate olla üsna piisavalt, kui te ei tea, kuidas lahendada.

Otsus algab kunstliku ümberkujundamisega:

Kuidas jagada loendaja nimetaja, ma arvan, et kõik on arusaadav.

Saadud integraal võetakse osades:

View integraal (- loomulik number) eemaldatud korduv Kraadi vähendamise valem:
kus - lahutamatu aste madalam.

Ma olen veendunud selle valemi õigluse eest propageeritud integraalile.
Sel juhul: me kasutame valemit:

Nagu näete, kattuvad vastused.

Näide 14.

Leia määramata lahutamatu

See on eeskuju sõltumatu lahenduse kohta. Lahuse proovis oli ülalmainitud valem kaks korda.

Kui aste all asub sõltumatud kordajatele Square kolmekordne, siis lahendus langeb sisse, tõstes esile täielik ruut, näiteks:

Mis siis, kui olete lisaks loendajal on polünoomi? Sellisel juhul kasutatakse määramata koefitsientide meetodit ja integreeritud funktsiooni kirjeldatakse fraktsioonide hulka. Aga minu praktikas selline näide ma ei vastanud, nii et ma igatsen sel juhul artiklis Integraalsed fraktsioonilisest ratsionaalsest funktsioonistMa igatsen ja nüüd. Kui selline integreeritud endiselt vastab, vaadake õpikut - kõik on seal lihtne. Ma ei pea seda otstarbekas kaasama materjali (isegi lihtne), kohtumise tõenäosus, millega ta püüab nulli.

Komplekssete trigonomeetriliste funktsioonide integreerimine

Enamiku näidete omadussõna "kompleks" on mitmel moel tingimusel. Alustame kogemuslike ja kotangenide kõrge kraadidega. Alates seisukohast seisukohast lahendada puutuja ja kotangent, peaaegu sama asja, nii et ma räägin rohkem puutuja, mis tähendab, et demonstreeritud vastuvõtu lahuse lahuse on õiglane ja ka otangent ka.

Ülaltoodud õppetundil me arvasime universaalne trigonomeetriline asendus Et lahendada teatud tüüpi integraalid trigonomeetrilistest funktsioonidest. Universaalse trigonomeetrilise asendamise puudumine on see, et kui seda kasutatakse, esinevad sageli raskete arvutustega mahukad integraalid. Mõningatel juhtudel universaalse trigonomeetrilise asendamise saab vältida!

Mõtle teise kanoonilise näitena, lahutamatu seadmest jaguneb Sinus:

Näide 17.

Leia määramata lahutamatu

Siin saate kasutada universaalset trigonomeetrilist asendust ja saada vastus, kuid on ratsionaalne tee. Ma annan täieliku lahenduse iga sammuga kommentaaridega:

(1) Kasutage kahekordse nurgaliini trigonomeetrilist valemit.
(2) Teostame kunstliku ümberkujundamise: nimetaja me jagame ja paljuneb.
(3) Niminatud teadaoleva valemi kohaselt pöördume murdosa puutujal.
(4) pühkige funktsiooni diferentsiaali märk.
(5) Võtke lahutamatu.

Paar lihtsad näited Iselahenduste jaoks:

Näide 18.

Leia määramata lahutamatu

Märkus: Kõige esimest tegevust tuleks kasutada valemiga Ja hoolikalt teostada sarnaselt eelmise näitega.

Näide 19.

Leia määramata lahutamatu

Noh, see on täiesti lihtne näide.

Täielikud lahendused ja vastused õppetundi lõpus.

Ma arvan, et nüüd ei ole keegi probleeme integraalidega:
jne.

Mis on meetodi idee? Idee on see, et transformatsioonide abil, trigonomeetriliste valemite abil korraldada integreerida ainult puutujaid ja puutuja derivaati. See tähendab, et see on asendamisel: . Näidetes 17-19, me tegelikult rakendasime seda asendamist, kuid integraalid olid nii lihtne, et see maksab samaväärse efekti - kokkuvõtlikult funktsiooni all diferentsiaali.

Sarnased argumendid, nagu ma juba ette näinud, saate kulutada cotangentile.

Ülaltoodud asendamise kasutamiseks on ametlik eeltingimus:

Kosiniste ja sinuse kraadi summa on kogu negatiivne arv, nt:

integraalse - kogu negatiivse numbri jaoks.

! Märge : Kui Integrandi funktsioon sisaldab ainult sinuse või ainult kosiini, võetakse integraal negatiivse veider kraadi juures (kõige lihtsamad juhtumid näidetes nr 11, 18).

Mõtle paar uuemat informatiivset ülesannet selle reegli jaoks:

Näide 20.

Leia määramata lahutamatu

Sinuse ja kosiini kraadi summa: 2 - 6 \u003d -4 on kogu negatiivne arv, mis tähendab, et integraali saab vähendada puutulitele ja selle derivaadile:

(1) Me muudame nimetaja.
(2) Vastavalt kuulsale valemile saame.
(3) Me muudame nimetaja.
(4) Me kasutame valemit .
(5) tagastab funktsiooni diferentsiaali märk.
(6) Me asendame. Veel kogenud õpilasi ei saa asendada, kuid siiski on parem asendada puutuja ühe kirjaga - vähem riski segaduses.

Näide 21.

Leia määramata lahutamatu

See on eeskuju sõltumatu lahenduse kohta.

Hoia, Championi voorud algavad \u003d)

Sageli integreerimisfunktsioonis on "solyanka":

Näide 22.

Leia määramata lahutamatu

Selles lahutamatus osas esineb puutuja esialgu, mis koheselt tegutseb juba tuttavas mõttes:

Kunstlik ümberkujundamine alguses ja järelejäänud sammud ilma kommentaarideta, kuna kõik oli eespool mainitud.

Sõltumatu lahenduse loominguliste näidete paar:

Näide 23.

Leia määramata lahutamatu

Näide 24.

Leia määramata lahutamatu

Jah, loomulikult on võimalik vähendada sinuse, kosiini astet, et kasutada universaalset trigonomeetrilist asendust, kuid otsus on palju tõhusam ja lühem, kui see toimub puutujate kaudu. Täielik lahendus ja vastused lõpus õppetund

Peamised integraalid, mida iga õpilane peaks teadma

Loetletud integraalid aluseks on aluse alus. Neid valemeid tuleb meeles pidada. Keerulisemate integraalide arvutamisel peate neid pidevalt kasutama.

Pöörake erilist tähelepanu valemitele (5), (7), (9), (12), (13), (17), 17 ja 19. Ärge unustage, kui integreerimine Lisa vastus suvaline konstantse!

Integreeritud konstant

∫ d x \u003d a x + c (1)

Toitefunktsiooni integreerimine

Tegelikult oli võimalik piirata ainult valemite (5) ja (7) abil, kuid ülejäänud integraalid selle grupi integreeruvad nii sageli, et tasub neile vähe tähelepanu pöörata.

∫ x d x \u003d x 2 2 + c (2)
∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + c (3)
∫ 1 x d x \u003d 2 x + c (4)
∫ 1 x d x \u003d ln | X | + C (5)
∫ 1 x 2 d x \u003d - 1 x + c (6)
∫ X N D X \u003d X N + 1 N + 1 + C (N ≠ - 1) (7)

Integraalsed soovitusliku funktsiooni ja hüperboolsete funktsioonide hulgast

Muidugi, valem (8) (võib-olla kõige mugavam mälestus) võib pidada privaatne juhtum Valemid (9). Volmulad (10) ja (11) hüperboolse sinuse ja hüperboolse kosiini integraalsete jaoks on kergesti saadud valemiga (8), kuid see on parem lihtsalt neid suhteid meeles pidada.

∫ E x d x \u003d E x + c (8)
∫ x d x \u003d a x ln a + c (a\u003e 0, a ≠ 1) (9)
∫ S H X D X \u003d CH X + C (10)
∫ C H x D X \u003d S H X + C (11)

Trigonomeetriliste funktsioonide põhilised integraalid

Viga, mida õpilased sageli teevad: segadusse märke valemites (12) ja (13). Mäletades, et sinuse derivaat on võrdne kosiiniga, leiavad paljud mingil põhjusel, et SINX-funktsiooni lahutamatu osa on COSX. See ei ole tõsi! Sine'i lahutamatu osa on võrdne "miinussiiniga", kuid COSXi integraal on "just sinus":

∫ Sin x D X \u003d - COS X + C (12)
∫ cos x d x \u003d sin x + c (13)
∫ 1 cos 2 x d x \u003d t g x + c (14)
∫ 1 sin 2 x d x \u003d - c t g x + c (15)

Integrallid vähendasid pöörde trigonomeetriliste funktsioonide suhtes

Valem (16), mis viib loomulikult arctangendi, on eriline juhtum valemiga (17) a \u003d 1. Samamoodi (18) - erijuhtum (19).

∫ 1 1 + x 2 d x \u003d a r c t g x + c \u003d - a rc c t g x + c (16)
∫ 1 x 2 + a 2 \u003d 1 a R c t g x a + c (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 d x \u003d arcsiin x + c \u003d - arccos x + c (18)
∫ 1 A 2 - x 2 D X \u003d Arcsin X A + C \u003d - ARCCOS X A + C (A\u003e 0) (19)

Keerukamad integraalid

Neid valemeid soovitavad ka meeles pidada. Neid kasutatakse ka üsna sageli ja nende järeldus on üsna tüütu.

∫ 1 x 2 + a 2 d x \u003d ln | x + x 2 + a 2 | + C (20)
∫ 1 x 2 - a 2 d x \u003d ln | X + x 2 - a 2 | + C (21)
∫ 2 - x 2 d x \u003d x 2 A2 - x 2 + A 2 2 arcsiin X A + C (A\u003e 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x \u003d x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (A\u003e 0) (23)
∫ x 2 - a 2 d x \u003d x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | X + x 2 - a 2 | + C (A\u003e 0) (24)

Üldised integratsioonieeskirjad

1) kahe funktsiooni summa lahutamatu summa võrdub vastavate integraalide summaga: ∫ (f (x) + g (x)) d x \u003d ∫ f (x) DX + ∫ g (x) DX (25) )

2) kahe funktsiooni erinevuse lahutamatu vahe on võrdne vastavate integralite erinevusega: ∫ (f (x) - g (x)) d x \u003d ∫ f (x) d x - ∫ g (x) dx ( 26)

3) konstant võib lahutamatu märgi välja võtta: ∫ c f (x) d x \u003d c ∫ f (x) d x (27)

Seda on lihtne märkida, et vara (26) on vaid omaduste kombinatsioon (25) ja (27).

4) kompleksse funktsiooni lahutamatu osa, kui sisemine funktsioon on lineaarne: ∫ f (a x + b) D x \u003d 1 a f (a x + b) + c (a ≠ 0) (28)

Siin f (x) on funktsioon F (x) jaoks primitiivne. Märkus: See valem sobib ainult juhul, kui sisemine funktsioon on vaade AX AX + B.

TÄHTIS: Ei ole universaalset valemit kahe funktsiooni toote lahutamatuks, samuti fraktsiooni lahutamatuks osaks:

∫ f (x) g (x) d x \u003d? ∫ f (x) g (x) d x \u003d? (kolmkümmend)

See ei tähenda muidugi, et fraktsiooni või tööd ei saa integreerida. Lihtsalt iga kord, nähes lahutamatu tüübi (30), peate leiutama teed "võitlevad" temaga. Mõningatel juhtudel saate integreerida osadesse, kusagil peab muutuja asendama ja mõnikord aitama seda isegi "Kool" valemid Algebra või trigonomeetria.

Lihtne näide ebakindla integraali arvutamisest

Näide 1. Leia lahutamatu osa: ∫ (3 x 2 + 2 pattu x - 7 E x + 12) d x

Me kasutame valemite (25) ja (26) (funktsioonide koguse või erinevuse lahutamatu osa võrdub vastavate integraalide summa või erinevusega. Me saame: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 pattu x d x - ∫ 7 E x d x + ∫ 12 d x

Tuletame meelde, et konstant saab teha lahutamatu märk (valem (27)). Väljend muundatud meeles

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x - 7 ∫ E x d x + 12 ∫ 1 d x

Ja nüüd kasutage lihtsalt peamiste integraalide tabelit. Me peame kohaldama valemite (3), (12), (8) ja (1). Integreerige toitefunktsiooni, sinuse, eksponendi ja konstantse 1. Ärge unustage lisamist suvalise konstantse lõpuni:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 E x + 12 x + c

Pärast elementaarseid muutusi saame lõpliku vastuse:

X 3 - 2 cos x - 7 E x + 12 x + c

Kontrollige ennast diferentseerumisega: võtke funktsiooni tuletisinstrument Ja veenduge, et see on võrdne esialgse väljendusega.

Kokkuvõte Integral tabel

∫ d x \u003d a x + c

∫ x d x \u003d x 2 2 + c

∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + c

∫ 1 x d x \u003d 2 x + c

∫ 1 x d x \u003d ln | X | + C.

∫ 1 x 2 d x \u003d - 1 x + c

∫ x n d x \u003d x n + 1 n + 1 + c (n ≠ - 1)

∫ e x d x \u003d e x + c

∫ x d x \u003d a x ln a + c (a\u003e 0, a ≠ 1)

∫ S H X D X \u003d C H X + C

∫ C H x D X \u003d S H X + C

∫ Sin x D x \u003d - cos x + c

∫ cos x d x \u003d sin x + c

∫ 1 cos 2 x d x \u003d t g x + c

∫ 1 sin 2 x d x \u003d - c t g x + c

∫ 1 1 + x 2 d x \u003d a r c t g x + c \u003d - a r c c t g x + c

∫ 1 x 2 + a 2 \u003d 1 a a r c t g x a + c (a ≠ 0)

∫ 1 1 - x 2 d x \u003d arcsiin x + c \u003d - arccos x + c

∫ 1 A 2 - x 2 D X \u003d Arcsin X A + C \u003d - ARCCOS X A + C (A\u003e 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x \u003d ln | x + x 2 + a 2 | + C.

∫ 1 x 2 - a 2 d x \u003d ln | X + x 2 - a 2 | + C.

∫ 2 - x 2 d x \u003d x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsiin x a + c (a\u003e 0)

∫ x 2 + a 2 d x \u003d x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (A\u003e 0)

∫ x 2 - a 2 d x \u003d x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | X + x 2 - a 2 | + C (a\u003e 0)

Laadige selle lingi integreeritud tabel (II osa)

Kui uurite ülikoolis, kui teil on raskusi kõrgeima matemaatikaga (matemaatiline analüüs, lineaarne algebra, tõenäosusteooria, statistika), kui teil on vaja kvalifitseeritud õpetaja teenuseid, minge lehele Õpetaja kõrgeima matemaatikaga . Me lahendame teie probleeme koos!

Võib-olla olete ka huvitatud