Muutuja irratsionaalne funktsioon on funktsioon, mis moodustatakse muutujast ja suvalistest konstantidest, kasutades lõplikku arvu liitmise, lahutamise, korrutamise (täisarvuni tõstmise), juurte jagamise ja ekstraheerimise toiminguid. Irratsionaalne funktsioon erineb ratsionaalsest funktsioonist selle poolest, et irratsionaalne funktsioon sisaldab toiminguid juurte eraldamiseks.

On kolm peamist tüüpi irratsionaalsed funktsioonid, mille määramatud integraalid taandatakse ratsionaalsete funktsioonide integraalideks. Need on integraalid, mis sisaldavad lineaarmurdfunktsioonist suvalise täisarvu astme juuri (juured võivad olla erineva astmega, kuid samast lineaarmurdfunktsioonist); diferentsiaalbinoomi integraalid ja integraalid ruudukujulise kolmnurga ruutjuurega.

Oluline märkus. Juured on mitmetähenduslikud!

Juure sisaldavate integraalide arvutamisel kohtab sageli vormi avaldisi, kus on integratsiooni muutuja mõni funktsioon. Tuleb meeles pidada, et. See tähendab, et t> jaoks 0, | t | = t... Kell t< 0, | t | = - t. Seetõttu tuleb selliste integraalide arvutamisel eraldi käsitleda juhtumeid t> 0 ja t< 0 ... Seda saab teha märkide kirjutamisega või vajadusel. Eeldusel, et ülemine märk viitab juhtumile t> 0 , ja alumine - korpusele t< 0 ... Edasisel ümberkujundamisel tühistavad need märgid reeglina üksteise.

Võimalik on ka teine ​​lähenemisviis, mille puhul integraali ja integratsiooni tulemust võib käsitleda kui keerukaid funktsioone keeruliste muutujate kohta. Siis ei saa radikaalsetes väljendites märke järgida. See lähenemisviis on rakendatav, kui integrand on analüütiline, see tähendab kompleksse muutuja diferentseeritav funktsioon. Sel juhul on nii integraal kui ka selle integraal mitme väärtusega funktsioonid. Seetõttu tuleb pärast integratsiooni arvväärtuste asendamisel valida integrandi üheväärtuslik haru (Riemanni pind) ja selle jaoks valida integratsioonitulemuse vastav haru.

Fraktsionaalne lineaarne irratsionaalsus

Need on integraalid, millel on sama lineaarse murdosa funktsiooni juured:
,
kus R on ratsionaalne funktsioon, on ratsionaalsed arvud, m 1, n 1, ..., m s, n s on täisarvud, α, β, γ, δ on reaalarvud.
Sellised integraalid vähendatakse asendamisega ratsionaalse funktsiooni integraaliks:
, kus n on arvude r 1, ..., r s ühisosa.

Juured ei pruugi ilmneda lineaarsest murdfunktsioonist, vaid ka lineaarsest (γ = 0, 5 = 1) või integratsiooni muutuja x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).

Siin on näited sellistest integraalidest:
, .

Diferentsiaalbinoomide integraalid

Diferentsiaalbinoomide integraalid on järgmised:
,
kus m, n, p on ratsionaalsed arvud, a, b on reaalarvud.
Sellised integraalid taanduvad kolmel juhul ratsionaalsete funktsioonide integraalideks.

1) Kui p on täisarv. Asendamine x = t N, kus N on murdude m ja n ühisosa.
2) Kui - terve. Asendamine a x n + b = t M, kus M on nimetaja p.
3) Kui - terve. Asendamine a + b x - n = t M, kus M on nimetaja p.

Muudel juhtudel ei väljendata selliseid integraale elementaarsete funktsioonidena.

Mõnikord saab selliseid integraale lihtsustada redutseerimisvalemite abil:
;
.

Integraalid, mis sisaldavad kolmnurkse ruudu ruutjuurt

Selliste integraalide vorm on järgmine:
,
kus R on ratsionaalne funktsioon. Iga sellise integraali jaoks on mitmeid lahendamismeetodeid.
1) Teisenduste abil viige lihtsamate integraalideni.
2) Tehke trigonomeetrilisi või hüperboolseid asendusi.
3) Kasutage Euleri asendusi.

Vaatame neid meetodeid lähemalt.

1) Integraali teisendamine

Valemit rakendades ja algebralisi teisendusi tehes toome integrandi vormile:
,
kus φ (x), ω (x) on ratsionaalsed funktsioonid.

I tüüp

Vormi integraal:
,
kus P n (x) on n astme polünoom.

Sellised integraalid leitakse identiteeti kasutavate määratlemata koefitsientide meetodil:

.
Seda võrrandit eristades ning vasaku ja parema poole võrdsustades leiame koefitsiendid A i.

II tüüpi

Vormi integraal:
,
kus P m (x) on m astme polünoom.

Asendamine t = (x - a) -1 see integraal taandatakse eelmisele tüübile. Kui m ≥ n, siis tuleks valida kogu murdosa.

III tüüpi

Siin teeme asendamise:
.
Pärast seda saab integraal järgmiselt:
.
Lisaks tuleb konstandid α, β valida nii, et nimetajas olevad t -i koefitsiendid kaoksid:
B = 0, B 1 = 0.
Seejärel laguneb integraal kahe tüüpi integraalide summaks:
,
,
mis on integreeritud asendustega:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2.

2) Trigonomeetrilised ja hüperboolsed asendused

Vormi integraalide puhul a > 0 ,
meil on kolm peamist asendust:
;
;
;

Integraalide puhul a > 0 ,
meil on järgmised asendused:
;
;
;

Ja lõpuks integraalide puhul a > 0 ,
asendused on järgmised:
;
;
;

3) Euleri asendused

Samuti saab integraale taandada ühe kolme Euleri asenduse ratsionaalsete funktsioonide integraalideks:
, kui> 0;
, kui c> 0;
, kus x 1 on võrrandi a x 2 + b x + c = 0 juur. Kui sellel võrrandil on tõelised juured.

Elliptilised integraalid

Kokkuvõtteks kaaluge vormi integraale:
,
kus R on ratsionaalne funktsioon ,. Selliseid integraale nimetatakse elliptilisteks. Üldiselt ei väljendata neid elementaarsete funktsioonidena. Siiski on juhtumeid, kui koefitsientide A, B, C, D, E vahel on seoseid, milles selliseid integraale väljendatakse elementaarsete funktsioonidena.

Allpool on näide tagasipöörduvate polünoomide kohta. Selliste integraalide arvutamiseks kasutatakse asendusi:
.

Näide

Arvutage integraal:
.

Lahendus

Teeme asenduse.

.
Siin x jaoks 0 (u> 0 ) võtame ülemise märgi " +". X jaoks< 0 (u< 0 ) - madalam ′ - ′.

.

Vastus

Viited:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Ülesannete kogum kõrgemas matemaatikas, "Lan", 2003.

Funktsiooni F (x), mis on diferentseeritav antud ajavahemikus X, nimetatakse funktsioneerimiseks antiderivaat f (x) või f (x) integraal, kui mis tahes x ∈X puhul kehtib järgmine võrdsus:

F "(x) = f (x). (8.1)

Kõigi antud funktsiooni jaoks antiderivaatide leidmist nimetatakse selleks integratsioon. Funktsiooni määramatu integraal f (x) antud ajavahemikul X on funktsiooni f (x) kõigi antiderivaatide kogum; määramine -

Kui F (x) on funktsiooni f (x) jaoks mingi primitiivne, siis ∫ f (x) dx = F (x) + C, (8.2)

kus C on suvaline konstant.

Integreeritud laud

Otse määratlusest saame mitteomaduste põhiomadused kindel integraal ja tabeli integraalide loend:

1) d∫f (x) dx = f (x)

2) ∫df (x) = f (x) + C

3) ∫af (x) dx = a∫f (x) dx (a = const)

4) ∫ (f (x) + g (x)) dx = ∫f (x) dx + ∫g (x) dx

Tabeli integraalide loend

1.∫ x m dx = x m + 1 / (m + 1) + C; (m ≠ -1)

3. a x dx = a x / ln + C (a> 0, a ≠ 1)

4. e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arktan x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Muutuv asendamine

Paljude funktsioonide integreerimiseks kasutage muutuja muutmise meetodit või asendused, võimaldades integraale tahvlivormiks taandada.

Kui funktsioon f (z) on pidev [α, β], siis funktsioonil z = g (x) on pidev tuletis ja α ≤ g (x) ≤ β, siis

∫ f (g (x)) g "(x) dx = ∫f (z) dz, (8.3)

pealegi tuleks pärast integreerimist asendus z = g (x) teha paremal küljel.

Tõestuseks piisab, kui kirjutada algne integraal vormis:

∫ f (g (x)) g "(x) dx = ∫ f (g (x)) dg (x).

Näiteks:

Integreerimine osade kaupa

Olgu u = f (x) ja v = g (x) pidevad funktsioonid. Siis, vastavalt tööle,

d (uv)) = udv + vdu või udv = d (uv) - vdu.

Väljendi d (uv) puhul on antiderivatiiv ilmselgelt uv, seega kehtib järgmine valem:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

See valem väljendab reeglit osade kaupa integreerimine... See toob kaasa avaldise udv = uv "dx integreerimise avaldise vdu = vu" dx integreerimisega.

Olgu näiteks vaja leida ∫xcosx dx. Panime u = x, dv = cosxdx, seega du = dx, v = sinx. Siis

∫xcosxdx = ∫x d (sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Osade kaupa integreerimise reeglil on piiratum ulatus kui muutuval asendamisel. Kuid on olemas terve klass integraale, näiteks

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax ja teised, mis arvutatakse osade kaupa integratsiooni abil.

Kindel integraal

Kindla integraali mõiste tutvustatakse järgmiselt. Funktsioon f (x) on segmendil määratletud. Jagasime lõigu [a, b] osadeks n osade kaupa a = x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i = x i - x i -1. Kutsutakse summa f (ξ i) Δ x i lahutamatu summa, ja selle piiri kui λ = maxΔx i → 0, kui see on olemas ja on lõplik, nimetatakse kindel integraal funktsioon f (x) a enne b ja seda tähistab:

F (ξ i) Δx i (8,5).

Funktsiooni f (x) nimetatakse sel juhul segmendile integreeritav, nimetatakse numbreid a ja b integraali alumine ja ülemine piir.

Järgmised omadused kehtivad kindla integraali jaoks:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f (ξ) (b-a) (ξ∈).

Viimast omadust nimetatakse keskmise väärtuse teoreem.

Olgu f (x) pidev. Siis on sellel segmendil määramatu integraal

∫f (x) dx = F (x) + C

ja toimub Newton-Leibnizi valem, ühendades kindla integraali määramatuga:

F (b) - F (a). (8.6)

Geomeetriline tõlgendus: kindel integraal on kõverjoonelise trapetsiku pindala, mida ülalt piiravad kõver y = f (x), sirged x = a ja x = b ning teljeosa Härg.

Valed integraalid

Nimetatakse lõpmatute piiridega integraale ja katkendlike (piiranguteta) funktsioonide integraale sobimatu. Esimese liigi valed integraalid - need on lõpmatu intervalli integraalid, mis on määratletud järgmiselt:

(8.7)

Kui see piir on olemas ja on piiratud, siis seda nimetatakse f (x) sobimatu integraal ajavahemikul [a, + ∞) ja funktsiooni f (x) nimetatakse integreeritav lõpmatu intervalliga[a, + ∞]. Vastasel juhul öeldakse, et integraal on ei eksisteeri ega erine.

Valed integraalid intervallidel (-∞, b] ja (-∞, + ∞) on määratletud sarnaselt:

Määratleme piiramatu funktsiooni integraali mõiste. Kui f (x) on kõigi väärtuste puhul pidev x segment, välja arvatud punkt c, kus f (x) on lõpmatu katkestus, siis teise liigi vale integraal f (x) vahemikus a kuni b summat nimetatakse:

kui need piirid on olemas ja lõplikud. Määramine:

Integraalide arvutamise näited

Näide 3.30. Arvutage ∫dx / (x + 2).

Lahendus. Tähistame t = x + 2, siis dx = dt, ∫dx / (x + 2) = ∫dt / t = ln | t | + C = ln | x + 2 | + C.

Näide 3.31... Leidke ∫ tgxdx.

Lahendus.∫ tgxdx = ∫sinx / cosxdx = - ∫dcosx / cosx. Olgu t = cosx, siis ∫ tgxdx = -∫ dt / t = - ln | t | + C = -ln | cosx | + C.

Näide3.32 ... Leidke ∫dx / sinx

Lahendus.

Näide3.33. Leia.

Lahendus. = .

Näide3.34 ... Otsige üles ctarctgxdx.

Lahendus. Me integreerime osade kaupa. Seame u = arctgx, dv = dx. Siis du = dx / (x 2 +1), v = x, kust ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx / (x 2 +1) = xarctgx +1/2 ln (x 2 +1) +C; sest
∫xdx / (x 2 +1) = 1/2 ∫d (x 2 +1) / (x 2 +1) = 1/2 ln (x 2 +1) +C.

Näide3.35 ... Arvutage ∫lnxdx.

Lahendus. Rakendades osade kaupa integreerimise valemit, saame:
u = lnx, dv = dx, du = 1 / x dx, v = x. Siis ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1 / x dx =
= xlnx - ∫dx + C = xlnx - x + C.

Näide3.36 ... Hinnake xe x sinxdx.

Lahendus. Tähistame u = e x, dv = sinxdx, siis du = e x dx, v = ∫sinxdx = - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Integraal ∫e x cosxdx on integreeritav ka osade kaupa: u = e x, dv = cosxdx, du = e x dx, v = sinx. Meil on:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Saime seose ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, kust 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + С.

Näide 3.37. Arvutage J = ∫cos (lnx) dx / x.

Lahendus. Kuna dx / x = dlnx, siis J = ∫cos (lnx) d (lnx). Asendades lnx t -ga, jõuame tabeli integraali J = ∫ costdt = sint + C = sin (lnx) + C.

Näide 3.38 ... Arvutage J =.

Lahendus. Arvestades, et = d (lnx), asendame lnx = t. Siis J = .

Näide 3.39 ... Arvutage integraal J = .

Lahendus. Meil on: ... Seetõttu =
=
=. sisestatud niimoodi sqrt (tan (x / 2)).

Ja kui klõpsate tulemiaknas paremas ülanurgas käsul Kuva sammud, saate üksikasjaliku lahenduse.

Rakendus

Integraalid saidile veebis, et õpilased ja kooliõpilased saaksid edastatud materjali kinnistada. Ja treenige oma praktilisi oskusi. Interneti -integraalide täielik lahendus aitab teil mõne hetkega määrata kõik protsessi etapid. Iga kord, niipea kui hakkate integraali veebis lahendama, peate tuvastama selle tüübi, ilma selleta ei saa te seda teha rakendada mis tahes meetodit, välja arvatud integreeritud tabel. Kõik tabeliintegraalid ei ole antud näites selgelt nähtavad; mõnikord peate antiderivatiivi leidmiseks algse funktsiooni muutma. Praktikas taandub integraalide lahendamine originaali leidmise probleemi, see tähendab lõpmatu funktsioonide perekonna antiderivaadi, tõlgendamisele, kuid kui on antud integratsiooni piirid, siis on Newtoni-Leibnizi valemi kohaselt olemas ainult üks funktsioon, millele arvutusi rakendatakse. Veebipõhised integraalid - võrgus määramatu integraal ja võrgus kindel integraal. Veebifunktsiooni integraal on nende integreerimiseks mõeldud numbrite summa. Seetõttu on mitteametlikult veebiintegraal integratsiooni funktsioonigraafiku ja abstsiisi vaheline ala. Näiteid integraalidega probleemide lahendamisest. Arvutame keeruka integraali ühe muutuja kohta ja seostame selle vastuse probleemi edasise lahendusega. Võimalik, nagu öeldakse, leida integraali integraal peaga. Iga integraal suure täpsusega määrab joonise joontega piiratud ala. See on üks selle geomeetrilistest tähendustest. See meetod lihtsustab õpilaste tööd. Tegelikult ei mõjuta mitmed sammud vektorianalüüsi eriti. Integraalfunktsioon võrgus on integraalarvutuse põhikontseptsioon. Määramatute integraalide lahendus. Analüüsi põhiteoreemi kohaselt on integratsioon diferentseerimisele vastupidine operatsioon, mis aitab lahendada diferentsiaalvõrrandeid. Integratsioonitoimingul on mitu erinevat määratlust, mis erinevad tehniliste üksikasjade poolest. Siiski on need kõik ühilduvad, st mis tahes kaks integratsioonimeetodit, kui neid saab antud funktsioonile rakendada, annavad sama tulemuse. Lihtsaim on Riemanni integraal - kindel integraal või määramatu integraal. Mitteametlikult saab ühe muutuja funktsiooni integraali sisestada graafiku all oleva alana (joonis, mis on lisatud funktsiooni graafiku ja abstsissitelje vahele). Iga selline alamprobleem võib õigustada, et integraali arvutamine on olulise lähenemise alguses äärmiselt vajalik. Ära seda unusta! Püüdes seda piirkonda leida, võime kaaluda figuure, mis koosnevad teatud arvust vertikaalsetest ristkülikutest, mille alused koos moodustavad integratsioonisegmendi ja saadakse, jagades segmendi vastavaks arvuks väikesteks segmentideks. Online integraalide lahendus .. Online integraal - võrgu määramatu integraal ja online kindel integraal. Veebipõhiste integraalide lahendus: võrgus määramatu integraal ja võrgus kindel integraal. Kalkulaator lahendab integraalid koos toimingute kirjeldusega üksikasjalikult ja tasuta! Funktsiooni veebipõhine määramatu integraal on antud funktsiooni kõigi antiderivaatide kogum. Kui funktsioon on määratletud ja teatud ajavahemiku jooksul pidev, siis on selle jaoks olemas antiderivatiivne funktsioon (või antiderivaatide perekond). Integraal määratleb ainult avaldise, mille tingimused olete sellise vajaduse tekkimisel määranud. Parem on sellele küsimusele hoolikalt läheneda ja kogeda tehtud tööst sisemist rahulolu. Kuid integraali arvutamine erinevalt klassikalisest toob mõnikord kaasa ootamatuid tulemusi ja selle üle ei saa imestada. Mul on hea meel, et asjaolu, mis annab toimuvale positiivse vastuse. Kindlate integraalide ja määramatute integraalide loend koos täieliku üksikasjaliku samm-sammulise lahendusega. Kõik integraalid koos üksikasjaliku lahendusega veebis. Määramatu integraal. Määramatu integraali leidmine võrgus on väga levinud ülesanne kõrgemas matemaatikas ja muudes teadusharudes. Integratsiooni põhimeetodid. Integraali, kindla ja määramatu integraali definitsioon, integraalide tabel, Newton-Leibnizi valem. Ja jällegi leiate oma integraali integraalväljendite tabeli abil, kuid peate selleni jõudma, sest kõik pole nii lihtne, kui esmapilgul võib tunduda. Enne vigade leidmist mõelge valmis ehitistele. Kindel integraal ja selle arvutamise meetodid. Veebis kindel integraal muutuva ülempiiriga. Integreeritud lahendus Internetis. Kõik näited, mis aitavad integraali tabelivalemite abil välja arvutada, on kasulikuks tegevussuuniseks kõigi oskustega õpilastele. Kõige olulisem samm õige vastuse poole .. Integraalid võrgus. Määramatud integraalid, mis sisaldavad eksponentsiaalseid ja logaritmilisi funktsioone. Integreeritud lahendus veebis - saate üksikasjaliku lahenduse erinevat tüüpi integraalide jaoks: määramatu, kindel, sobimatu. Kindla integraali kalkulaator arvutab funktsiooni kindla integraali võrgus teatud aja jooksul, kasutades numbrilist integratsiooni. Funktsiooni integraal on jada summa analoog. Mitteametlikult võib öelda, et kindel integraal on funktsiooni graafiku osa pindala. Veebipõhine integraallahendus .. Veebipõhine integraal on võrgus määramatu integraal ja võrgus kindel integraal. Sageli määrab selline integraal, kui palju keha on raskem kui temaga sama tihedusega objekt, ja ükskõik, mis kuju see on, sest pind ei ima vett. Online integraalide lahendus .. Online integraalid - võrgus määramatu integraal ja online kindel integraal. Iga noorem õpilane teab, kuidas integraali veebist leida. Kooli õppekava alusel õpitakse ka seda matemaatika osa, kuid mitte üksikasjalikult, vaid ainult sellise keeruka ja olulise teema põhitõdesid. Enamasti alustavad õpilased integraalide uurimist ulatuslikust teooriast, millele eelnevad ka olulised teemad, nagu tuletis ja piirile üleminek - need on ka piirid. Integraalide lahendus algab järk -järgult kõige elementaarsemate näidetega lihtsatest funktsioonidest ja lõpeb paljude eelmisel sajandil ja isegi palju varem välja pakutud lähenemisviiside ja reeglite rakendamisega. Integraalarvutus on informatiivsel eesmärgil lütseumides ja koolides, see tähendab keskharidusasutustes. Meie veebisait aitab teid alati ja integraalide veebis lahendamine muutub teie jaoks rutiinseks ja mis kõige tähtsam - arusaadavaks ülesandeks. Selle ressursi põhjal saate selles matemaatilises osas hõlpsalt saavutada tipptaseme. Mõistes samm -sammult õpitud reegleid, näiteks lõimimist, osade kaupa või Tšebõševi meetodi rakendamist, saate hõlpsalt lahendada mis tahes testi maksimaalse arvu punktide jaoks. Niisiis, kuidas me lõpuks saame integraali arvutada integraalide tuntud tabeli abil, kuid nii, et lahendus oleks õige, õige ja võimalikult täpse vastusega? Kuidas seda õppida ja kas tavalisel esmakursuslasel on võimalik seda teha võimalikult lühikese aja jooksul? Vastame sellele küsimusele jaatavalt - saate! Samal ajal ei suuda te mitte ainult ühtegi näidet lahendada, vaid jõuate ka kõrgklassi inseneri tasemele. Saladus on lihtsam kui kunagi varem - peate maksimaalselt pingutama, pühendama vajaliku aja enese ettevalmistamisele. Kahjuks pole keegi veel teist viisi välja mõelnud! Kuid mitte kõik pole nii hägune, kui esmapilgul tundub. Kui pöördute selle küsimusega meie teenindussaidi poole, siis teeme teie elu lihtsamaks, sest meie sait saab integraale võrgus üksikasjalikult arvutada, väga kiiresti ja laitmatult täpse vastusega. Sisuliselt ei määra integraal, kuidas argumentide suhe mõjutab süsteemi kui terviku stabiilsust. Kui ainult kõik oleks tasakaalus. Lisaks sellele, kuidas saate selle matemaatilise teema põhitõdesid õppida, võib teenus leida iga integraali integraali, kui seda integraali saab elementaarsetes funktsioonides lahendada. Muidu integraalide puhul, mida elementaarsetes funktsioonides ei võeta, pole praktikas vaja vastust leida analüütilises või teisisõnu selgesõnalises vormis. Kõik integraalide arvutused taandatakse antud integraadi antiderivaadi määramiseks. Selleks arvutage esmalt määramatu integraal kõigi matemaatikaseaduste üle võrgus. siis vajadusel asendatakse integraali ülemine ja alumine väärtus. Kui määramatu integraali arvväärtust pole vaja määrata ega arvutada, lisatakse saadud antiderivatiivsele funktsioonile konstant, määratledes seeläbi tuletamisvastaste funktsioonide perekonna. Eriline koht teaduses ja üldiselt mis tahes insenerivaldkonnas, sealhulgas pideva meedia mehaanikas, kirjeldab integratsioon terveid mehaanilisi süsteeme, nende liikumist ja palju muud. Paljudel juhtudel määrab koostatud integraal materiaalse punkti liikumisseaduse. See on rakendusteaduste õppimisel väga oluline vahend. Selle põhjal ei saa muud öelda kui suuremahulised arvutused mehaaniliste süsteemide olemasolu ja käitumise seaduste määramiseks. Veebikalkulaator integraalide lahendamiseks saidil on võimas tööriist professionaalsetele inseneridele. Me saame seda teile kindlasti garanteerida, kuid saame teie integraali arvutada alles pärast seda, kui sisestate integrandi domeeni õige avaldise. Ärge kartke viga teha, selles küsimuses on kõik parandatav! Tavaliselt taandatakse integraalide lahendus tuntud õpikute või entsüklopeediate tabelifunktsioonide kasutamisele. Nagu iga teine ​​määramatu integraal, arvutatakse see standardvalemi abil ilma liigse kriitikata. Esimese kursuse õpilased haaravad hõlpsalt ja loomulikult õpitud materjali käigu pealt ning mõnikord kulub nende jaoks lahutamatu leidmiseks mitte rohkem kui kaks minutit. Ja kui õpilane on integraalide tabeli ära õppinud, siis üldiselt saab ta vastused oma peas kindlaks teha. Funktsioonide laiendamine muutujate suhtes pindade suhtes tähendab esialgu õiget vektori suunda mingil abstsissi punktis. Pinnajoonte ettearvamatu käitumine võtab kindlad integraalid aluseks matemaatiliste funktsioonide vastastikusele allikale. Kuuli vasak serv ei puuduta silindrit, millesse ring on kirjutatud, tasapinnaliselt vaadatuna. Väikeste alade summa, mis on jagatud sadadeks tükkideks pidevateks funktsioonideks, on antud funktsiooni veebiintegraal. Integraali mehaaniline tähendus peitub paljudes rakenduslikes probleemides, see on kehade mahu määramine ja kehamassi arvutamine. Kolm ja kaks integraali on kaasatud just nendesse arvutustesse. Me nõuame, et integraalide veebipõhine lahendamine toimuks ainult kogenud õpetajate järelevalve all ja paljude kontrollide kaudu. Sageli küsitakse meilt õpilaste edusammude kohta, kes ei osale loengutel, jätavad need ilma põhjuseta vahele, kuidas neil see õnnestub leidke integraal ise. Vastame, et õpilased on vabad inimesed ja neid võidakse koolitada eksternina, valmistudes kontrolliks või eksamiks mugavas koduses keskkonnas. Meie teenus aitab mõne sekundiga kõiki, kes soovivad arvutada muutuja suhtes mis tahes funktsiooni integraali. Kontrollige tulemust, mis on saadud antiderivatiivse funktsiooni tuletise abil. Sel juhul kaob integraali lahusest tulenev konstant. See reegel on kõigile selge. Kuna mitmesuunalised toimingud on õigustatud, taandatakse määramatu integraal sageli piirkonna jagamiseks väikesteks osadeks. Kuid mõned õpilased ja kooliõpilased ignoreerivad seda nõuet. Nagu alati, saab veebipõhiseid integraale meie teenuse sait üksikasjalikult lahendada ja taotluste arv ei ole piiratud, kõik on tasuta ja kõigile kättesaadav. Pole palju selliseid saite, mis annaksid samm-sammult vastuse mõne sekundiga ja mis kõige tähtsam-suure täpsusega ja mugavas vormis. Viimases näites oli kodutöö viiendal lehel üks, mis näitab integraali arvutamise vajadust samm -sammult. Kuid ärge unustage, kuidas on võimalik leida integraali valmis teenuse abil, mis on ajaliselt testitud ja tuhandete lahendatud näidete abil veebis testitud. Kuidas selline integraal süsteemi liikumise määrab, näitab selgelt ja selgelt viskoosse vedeliku liikumise olemus, mida kirjeldab see võrrandisüsteem.

Komplekssed integraalid

See artikkel lõpetab määramatute integraalide teema ja sisaldab integraale, mis on minu arvates üsna keerulised. Tund loodi külastajate korduvate taotluste alusel, kes avaldasid soovi, et saidil analüüsitaks ka raskemaid näiteid.

Eeldatakse, et selle teksti lugeja on hästi ette valmistatud ja teab, kuidas rakendada integratsiooni põhitehnikaid. Mannekeenid ja inimesed, kes ei ole integraalides eriti kindlad, peaksid viitama esimesele õppetundile - Määramatu integraal. Näited lahendustest, kus saate teemat praktiliselt nullist valdada. Kogenumad õpilased saavad tutvuda integratsioonitehnikate ja -meetoditega, mida minu artiklites veel kohanud pole.

Milliseid integraale arvestatakse?

Esiteks kaalume juurtega integraale, mille lahendamiseks me järjest kasutame muutuja asendamine ja osade kaupa integreerimine... See tähendab, et ühes näites kombineeritakse kaks tehnikat korraga. Ja veelgi enam.

Siis tutvume huvitava ja originaalsega meetod integraali vähendamiseks iseendaks... Mitte nii vähe integraale lahendatakse sel viisil.

Programmi kolmas number läheb keerukate murdude integraalidele, mis eelmistes artiklites kassast mööda lendasid.

Neljandaks analüüsitakse trigonomeetriliste funktsioonide täiendavaid integraale. Eelkõige on meetodeid, mis väldivad aeganõudvat universaalset trigonomeetrilist asendamist.

(2) Integraalis jagame lugeja nimetaja termini kaupa.

(3) Kasutame määramatu integraali lineaarsuse omadust. Viimases integraalis kohe toome funktsiooni diferentsiaalmärgi alla.

(4) Võtke järelejäänud integraalid. Pange tähele, et sulgusid saab kasutada logaritmis, mitte moodulis, sest.

(5) Teostame vastupidise asendamise, väljendades otsest asendamist "te":

Masohhistlikud õpilased saavad vastust eristada ja saada algse integraali, nagu ma just tegin. Ei, ei, ma tegin kontrolli õiges mõttes =)

Nagu näete, tuli lahenduse ajal kasutada isegi rohkem kui kahte lahendusmeetodit, seega on selliste integraalidega tegelemiseks vaja enesekindlaid integratsioonioskusi ja mitte vähimatki kogemust.

Praktikas on ruutjuur muidugi tavalisem, siin on kolm näidet iseseisva lahenduse leidmiseks:

Näide 2

Leidke määramatu integraal

Näide 3

Leidke määramatu integraal

Näide 4

Leidke määramatu integraal

Need näited on sama tüüpi, seega on täielik lahendus artikli lõpus ainult näite 2 puhul, näidetes 3-4 - üks vastus. Millist asendust kasutada lahenduste alguses, on minu arvates ilmselge. Miks ma valisin sama tüüpi näiteid? Sageli kohtuvad nad oma rollis. Sagedamini võib -olla lihtsalt midagi sellist .

Kuid mitte alati, kui lineaarse funktsiooni juur leitakse arktangenti, siinuse, koosinususe, astendaja ja muude funktsioonide all, tuleb korraga rakendada mitmeid meetodeid. Paljudel juhtudel on võimalik "kergelt maha tulla", see tähendab kohe pärast asendamist saada lihtne integraal, mida saab elementaarselt võtta. Ülaltoodud ülesannetest on lihtsaim näide 4, kus pärast asendamist saadakse suhteliselt lihtne integraal.

Vähendades integraali iseendale

Geniaalne ja ilus meetod. Vaatame kohe žanri klassikat:

Näide 5

Leidke määramatu integraal

Juure all on ruudukujuline binoom ja selle näite integreerimisel võib veekeetja tundide jooksul kannatada. Selline integraal võetakse tükkhaaval ja taandatakse iseendaks. Põhimõtteliselt mitte raske. Kui teate, kuidas.

Tähistame vaadeldavat integraali ladina tähega ja alustame lahendust:

Me integreerime tükkhaaval:

(1) Valmistage ette integreeritud funktsioon tähtaegade jagamiseks.

(2) Me jagame integrandi tähtaja järgi. Võib -olla kõik ei mõista, kirjutan üksikasjalikumalt:

(3) Kasutame määramatu integraali lineaarsuse omadust.

(4) Võtke viimane integraal ("pikk" logaritm).

Nüüd vaatame lahenduse algust:

Ja lõpuks:

Mis juhtus? Meie manipulatsioonide tulemusena taandus integraal iseendaks!

Võrdsustame alguse ja lõpu vahel:

Liikuge märgi muutmisega vasakule:

Ja me kanname kahekesi paremale küljele. Tulemusena:

Pidev, rangelt võttes, oleks pidanud varem lisatud olema, kuid lõpus. Soovitan tungivalt lugeda, mis on siin range:

Märge: Täpsemalt näeb lahenduse viimane etapp välja selline:

Seega:

Konstanti saab ümber kujundada kui. Miks saate uuesti nimetada? Sest ikka võtab vastu mis tahes väärtused ning selles mõttes pole konstantidel ja.
Tulemusena:

Sarnast pideva ümberkujundamise trikki kasutatakse laialdaselt diferentsiaalvõrrandid... Ja seal ma olen range. Ja siin luban sellist vabadust ainult selleks, et mitte teid tarbetute asjadega segi ajada ja keskenduda just integratsioonimeetodile.

Näide 6

Leidke määramatu integraal

Veel üks tüüpiline sõltumatu lahenduse lahutamatu osa. Täielik lahendus ja vastus õpetuse lõpus. Erinevus eelmise näite vastusega on!

Kui ruutjuure all on ruudukujuline kolmnurk, siis vähendatakse lahust igal juhul kahele analüüsitud näitele.

Näiteks kaaluge integraali ... Kõik, mida pead tegema, on ette valige täisruut:
.
Lisaks viiakse läbi lineaarne asendamine, millest loobutakse "ilma tagajärgedeta":
, mille tulemuseks on integraal. Midagi tuttavat, eks?

Või selline näide ruudukujulise binoomiga:
Valige täielik ruut:
Ja pärast lineaarset asendamist saame integraali, mis lahendatakse samuti vastavalt juba kaalutud algoritmile.

Kaaluge veel kahte tüüpilist näidet selle kohta, kuidas integraali ise vähendada:
- astendaja integraal korrutatuna siinusega;
- astendaja integraal korrutatud koosinusega.

Osade kaupa loetletud integraalides peame integreerima juba kaks korda:

Näide 7

Leidke määramatu integraal

Integraal on siinuse astendaja.

Me integreerime osade kaupa kaks korda ja vähendame integraali iseendaks:

Osade kahekordse integreerimise tulemusena taandus integraal iseendaks. Võrdsustame lahenduse alguse ja lõpu vahel:

Liikuge märgi muutmisega vasakule ja väljendage meie integraali:

Valmis. Teel on soovitav kammida parem pool, s.t. pange astendaja sulgudest väljapoole ja sulgudesse paigutage siinus ja koosinus "kenas" järjekorras.

Läheme nüüd tagasi näite algusesse või pigem osade kaupa integreerimise juurde:

Sest oleme määranud eksponendi. Tekib küsimus, kas täpselt astendajat tuleks alati tähistada tähega? Pole vajalik. Tegelikult käsitletava integraalina põhimõtteliselt vahet pole Mida tähistada, oli võimalik minna teist teed:

Miks see võimalik on? Kuna astendaja muutub iseendaks (nii diferentseerumise kui ka integratsiooni ajal), muutuvad siinus ja koosinus teineteiseks (jällegi nii diferentseerumise kui ka integratsiooni ajal).

See tähendab, et saate määrata ka trigonomeetrilise funktsiooni. Kuid vaadeldavas näites on see vähem ratsionaalne, kuna ilmuvad murdosad. Soovi korral võite proovida seda näidet teisel viisil lahendada, vastused peavad olema samad.

Näide 8

Leidke määramatu integraal

See on näide ise tehtud lahendusest. Enne otsustamist mõelge, mida on sel juhul tulusam määrata, astendaja või trigonomeetriline funktsioon? Täielik lahendus ja vastus õpetuse lõpus.

Ja muidugi ärge unustage, et enamikku selle tunni vastustest on piisavalt lihtne eristada!

Näiteid ei peetud kõige raskemateks. Praktikas on levinumad integraalid, kus konstant on nii eksponendis kui ka trigonomeetrilise funktsiooni argumendis, näiteks :. Paljud inimesed peavad sellises integraalis eksima ja ma ise satun sageli segadusse. Fakt on see, et lahuses on suur tõenäosus murdude ilmumiseks ja tähelepanutajätmise tõttu on midagi väga lihtne kaotada. Lisaks on märkides suur vea tõenäosus, pange tähele, et eksponendil on miinusmärk ja see tekitab täiendavaid raskusi.

Viimases etapis selgub sageli midagi sellist:

Isegi lahenduse lõpus peaksite olema äärmiselt ettevaatlik ja tegelema murdudega:

Liitfraktsioonide integreerimine

Jõuame tasapisi tunni ekvaatorile lähemale ja hakkame kaaluma murdude integraale. Jällegi, mitte kõik neist pole ülimalt keerulised, lihtsalt ühel või teisel põhjusel olid näited teistes artiklites pisut "teemavälised".

Jätkates juurte teemat

Näide 9

Leidke määramatu integraal

Juure all olevas nimetajas on ruudukujuline kolmnurkne pluss väljaspool juurte "lisandit" kujul "x". Seda tüüpi integraal lahendatakse tavalise asendusega.

Otsustame:

Asendamine on lihtne:

Vaatame elu pärast asendamist:

(1) Pärast asendamist viime terminid juure alla ühisnimetajaks.
(2) Võtame juure alt välja.
(3) Vähendage lugejat ja nimetajat. Samal ajal, juure all, korraldasin tingimused mugavas järjekorras ümber. Teatud kogemuste korral saab sammud (1), (2) vahele jätta, tehes kommenteeritud toiminguid suuliselt.
(4) Saadud integraal, nagu tunnist mäletate Mõnede murdude integreerimine, lahendatud täieliku ruudu valiku meetod... Valige täielik ruut.
(5) Integratsiooni teel saame tavalise "pika" logaritmi.
(6) Teostame tagasipööramise. Kui esialgu, siis tagasi :.
(7) Lõpptoiming on suunatud tulemuse soengule: juure alla toome terminid taas ühisnimetajani ja võtame need juure alt välja.

Näide 10

Leidke määramatu integraal

See on näide ise tehtud lahendusest. Siin on üksikule X -le lisatud konstant ja asendamine on peaaegu sama:

Ainus asi, mida tuleb täiendavalt teha, on asendusest tuleneva "x" väljendamine:

Täielik lahendus ja vastus õpetuse lõpus.

Mõnikord võib sellise integraali juures olla ruudu binoom juure all, see ei muuda lahendusmeetodit, see on veelgi lihtsam. Tunneta erinevust:

Näide 11

Leidke määramatu integraal

Näide 12

Leidke määramatu integraal

Tunni lõpus lühikesed lahendused ja vastused. Tuleb märkida, et näide 11 on täpselt binoomne integraal, mille lahendamismeetodit tunnis kaaluti Irratsionaalsete funktsioonide integraalid.

2. astme lagunematu polünoomi integraal

(nimetaja polünoom)

Harvem, kuid siiski praktilistes näidetes kohatud integraali vorm.

Näide 13

Leidke määramatu integraal

Aga tagasi näite juurde õnnenumbriga 13 (ausalt, ma ei arvanud õigesti). See integraal kuulub ka nende kategooriasse, kellega saate päris palju piinata, kui te ei tea, kuidas seda lahendada.

Lahendus algab kunstliku muundamisega:

Ma arvan, et kõik saavad juba aru, kuidas jagada lugeja nimetaja termini kaupa.

Saadud integraal võetakse tükkhaaval:

Vormi integraali jaoks (on loomulik arv) oleme tuletanud korduv Kraadi vähendamise valem:
, kus - madalama kraadi integraal.

Kontrollime selle valemi kehtivust lahendatud integraali jaoks.
Sel juhul kasutame järgmist valemit:

Nagu näete, on vastused samad.

Näide 14

Leidke määramatu integraal

See on näide ise tehtud lahendusest. Näidislahus kasutab ülaltoodud valemit kaks korda järjest.

Kui kraadi all on lagunematu ruut -trinoom, siis lahus vähendatakse binoomiks, valides täisruudu, näiteks:

Mis siis, kui lugejas on täiendav polünoom? Sel juhul kasutatakse määratlemata koefitsientide meetodit ja integrand laiendatakse murdude summaks. Aga minu praktikas sellise näite puhul pole kunagi kohtunud, seega jätsin selle juhtumi artiklis vahele Fraktsionaalse ratsionaalse funktsiooni integraalid, Jätan nüüd vahele. Kui selline integraal ikkagi esineb, vaadake õpikut - seal on kõik lihtne. Ma ei pea asjakohaseks lisada materjali (isegi lihtsaid), mille kokkusaamise tõenäosus kipub olema null.

Keerukate trigonomeetriliste funktsioonide integreerimine

Omadussõna “raske” on enamiku näidete puhul jällegi suuresti tingimuslik. Alustame kõrgel tasemel puutujate ja kotangentidega. Puutuja ja kootangenti lahendamiseks kasutatud meetodite seisukohast on need peaaegu samad, seega räägin lähemalt puutujast, andes mõista, et integraali lahendamise demonstreeritud meetod kehtib ka kotangendi kohta.

Ülaltoodud õppetükis vaatasime universaalne trigonomeetriline asendus teatud tüüpi trigonomeetriliste funktsioonide integraalide lahendamiseks. Universaalse trigonomeetrilise asenduse puuduseks on see, et selle kasutamisel tekivad sageli keerulised arvutused tülikad integraalid. Ja mõnel juhul saab vältida universaalset trigonomeetrilist asendust!

Mõelge veel ühele kanoonilisele näitele, ühtsuse integraalile, mis on jagatud siinusega:

Näide 17

Leidke määramatu integraal

Siin saate kasutada üldist trigonomeetrilist asendust ja saada vastuse, kuid on ka ratsionaalsem viis. Pakun täieliku lahenduse koos kommentaaridega iga sammu kohta:

(1) Kasutame kahe nurga siinuse trigonomeetrilist valemit.
(2) Teostame kunstlikku teisendust: nimetajas jagage ja korrutage.
(3) Vastavalt nimetaja tuntud valemile muudame murdosa puutujaks.
(4) Toome funktsiooni diferentsiaali märgi alla.
(5) Võtke integraal.

Paar lihtsat näidet iseseisvaks lahenduseks:

Näide 18

Leidke määramatu integraal

Märkus. Kõige esimene samm on kasutada valatud valemit ja tehke hoolikalt eelmise näitega sarnaseid toiminguid.

Näide 19

Leidke määramatu integraal

Noh, see on väga lihtne näide.

Täitke lahendused ja vastused tunni lõpus.

Ma arvan, et nüüd pole kellelgi integraalidega probleeme:
jne.

Mis on selle meetodi idee? Idee on korraldada integraalis ainult puutujaid ja puutuja tuletist, kasutades teisendusi, trigonomeetrilisi valemeid. See tähendab, et me räägime asendamisest: ... Näidetes 17-19 rakendasime seda asendust tegelikult, kuid integraalid olid nii lihtsad, et asja käsitleti samaväärse toiminguga - viies funktsiooni diferentsiaalmärgi alla.

Sarnaseid arutlusi, nagu ma juba mainisin, saab läbi viia ka kotangendi puhul.

Ülaltoodud asendamise rakendamiseks on ka vormiline eeltingimus:

Koosinuse ja siinuse jõudude summa on negatiivne täisarv PALJU arv, näiteks:

integraali jaoks - negatiivne täisarv PALJU arv.

! Märge : kui integraal sisaldab AINULT siinust või AINULT koosinusust, siis võetakse integraali ka negatiivse paaritu astme korral (lihtsamad juhtumid on näidetes nr 17, 18).

Kaaluge selle reegli jaoks paar olulisemat ülesannet:

Näide 20

Leidke määramatu integraal

Siinuse ja koosinuse võimsuste summa: 2 - 6 = –4 on negatiivne täisarvuline paarisarv, mis tähendab, et integraali saab taandada puutujateks ja selle tuletiseks:

(1) Teisendage nimetaja.
(2) Vastavalt tuntud valemile saame.
(3) Teisendage nimetaja.
(4) Me kasutame valemit .
(5) Toome funktsiooni diferentsiaali märgi alla.
(6) Teostame asendamise. Kogenumad õpilased ei pruugi asendamist läbi viia, kuid siiski on parem asendada puutuja ühe tähega - segaduse oht on väiksem.

Näide 21

Leidke määramatu integraal

See on näide ise tehtud lahendusest.

Oota, meistrivõistlused algavad =)

Sageli on integreeritud "hodgepodge":

Näide 22

Leidke määramatu integraal

See integraal sisaldab esialgu puutujat, mis tekitab kohe juba tuttava mõtte:

Kunstlik ümberkujundamine kohe alguses ja ülejäänud sammud jätan kommentaarideta, kuna kõike on juba eespool arutatud.

Paar loomingulist näidet eneselahenduseks:

Näide 23

Leidke määramatu integraal

Näide 24

Leidke määramatu integraal

Jah, nendes saate muidugi siinuse, koosinuse astmeid langetada, kasutada universaalset trigonomeetrilist asendust, kuid lahendus on palju tõhusam ja lühem, kui tõmbate selle läbi puutujate. Täielik lahendus ja vastused tunni lõpus

Viiendal sajandil eKr sõnastas Vana -Kreeka filosoof Zeeno Elea oma kuulsad apooriad, millest kuulsaim on aporia "Achilleus ja kilpkonn". See kõlab järgmiselt:

Oletame, et Achilleus jookseb kümme korda kiiremini kui kilpkonn ja jääb sellest tuhat sammu maha. Selle aja jooksul, mil Achilleusel kulub, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Kui Achilleus on sada sammu jooksnud, roomab kilpkonn veel kümme sammu jne. Protsess jätkub lõputult, Achilleus ei jõua kunagi kilpkonnale järele.

See arutluskäik tuli loogilise šokina kõigile järgnevatele põlvkondadele. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Kõik nad ühel või teisel viisil kaalusid Zenoni apooriaid. Šokk oli nii tugev, et " ... arutelud jätkuvad praegusel ajal, teadlaskonnal ei ole veel õnnestunud jõuda ühisele arvamusele paradokside olemuse kohta ... küsimuse uurimisse kaasati matemaatiline analüüs, hulgateooria, uued füüsikalised ja filosoofilised lähenemisviisid ; ükski neist ei ole saanud üldtunnustatud lahenduseks küsimusele ..."[Wikipedia, Zeno's Aporia"]. Kõik saavad aru, et neid petetakse, kuid keegi ei saa aru, mis on pettus.

Matemaatika seisukohast näitas Zeno oma apoorias selgelt üleminekut suurusjärkult suurusele. See üleminek eeldab konstantide asemel rakendust. Minu arusaamist mööda ei ole muutuvate mõõtühikute rakendamiseks mõeldud matemaatiline aparaat kas veel välja töötatud või pole seda rakendatud Zeno aporia suhtes. Meie tavapärase loogika rakendamine viib meid lõksu. Me rakendame mõtlemise inertsist vastastikusele pidevaid ajaühikuid. Füüsilisest vaatenurgast näeb see välja nagu aja laienemine, kuni see peatub täielikult hetkel, mil Achilleus on kilpkonnaga samal tasemel. Kui aeg peatub, ei saa Achilleus kilpkonnast enam mööda.

Kui me pöörame ümber harjumuspärase loogika, langeb kõik paika. Achilleus jookseb ühtlase kiirusega. Iga järgnev osa tema teest on kümme korda lühem kui eelmine. Sellest lähtuvalt on selle ületamiseks kuluv aeg kümme korda väiksem kui eelmine. Kui rakendame selles olukorras mõistet "lõpmatus", siis oleks õige öelda "Achilleus jõuab kilpkonnale lõpmatult kiiresti järele."

Kuidas seda loogilist lõksu vältida? Püsige ajaühikutes ja ärge minge tagurpidi. Zenoni keeles näeb see välja selline:

Selle aja jooksul, mil Achilleus jookseb tuhat sammu, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Järgmise ajavahemiku jooksul, mis on võrdne esimesega, jookseb Achilleus veel tuhat sammu ja kilpkonn roomab sada sammu. Nüüd on Achilleus kilpkonnast kaheksasada sammu ees.

See lähenemine kirjeldab adekvaatselt tegelikkust ilma igasuguste loogiliste paradoksideta. Kuid see ei ole probleemi täielik lahendus. Einsteini väide valguse kiiruse ületamatuse kohta on väga sarnane Zeno aporiaga "Achilleus ja kilpkonn". Peame seda probleemi veel uurima, ümber mõtlema ja lahendama. Ja lahendust tuleb otsida mitte lõpmatult suurtes kogustes, vaid mõõtühikutes.

Veel üks huvitav aporia Zeno räägib lendavast noolest:

Lendav nool on liikumatu, kuna igal ajahetkel on ta puhkeasendis ja kuna ta on puhkeasendis igal ajahetkel, on ta alati puhkeasendis.

Selles apoorias ületatakse loogiline paradoks väga lihtsalt - piisab, kui selgitada, et igal ajahetkel puhkab lendav nool ruumi erinevates punktides, mis tegelikult on liikumine. Siinkohal tuleb märkida veel üks punkt. Ainuüksi fotol sõidukis olevast autost on võimatu kindlaks teha kas selle liikumise fakti või selle kaugust. Auto liikumise fakti kindlakstegemiseks on vaja kahte fotot, mis on tehtud samast punktist erinevatel ajahetkedel, kuid neid ei saa kasutada kauguse määramiseks. Autost kauguse määramiseks on vaja kahte fotot, mis on tehtud samaaegselt erinevatest ruumipunktidest, kuid nendest on võimatu kindlaks teha liikumise fakti (muidugi on arvutuste jaoks endiselt vaja täiendavaid andmeid, trigonomeetria aitab sina). Tahan erilist tähelepanu juhtida sellele, et kaks ajapunkti ja kaks ruumipunkti on erinevad asjad, mida ei tohiks segi ajada, sest need pakuvad erinevaid võimalusi uurimiseks.

Kolmapäeval, 4. juulil 2018

Komplekti ja multiseti vahet on Vikipeedias väga hästi kirjeldatud. Me vaatame.

Nagu näete, "komplektis ei saa olla kahte identset elementi", kuid kui komplektis on identseid elemente, nimetatakse sellist komplekti "multisetiks". Sellisest absurdiloogikast ei saa kunagi aru ratsionaalsed olendid. See on rääkivate papagoide ja koolitatud ahvide tase, kellel puudub intelligentsus sõnast "täiesti". Matemaatikud tegutsevad tavaliste koolitajatena, jutlustades meile oma absurdseid ideid.

Kord olid silla ehitanud insenerid silla katsetuste ajal paadis silla all. Kui sild kokku varises, suri saamatu insener oma loomingu rusude alla. Kui sild taluks koormust, ehitaks andekas insener teisi sildu.

Ükskõik, kuidas matemaatikud end fraasi "chur, ma olen majas" või õigemini "matemaatika uurib abstraktseid mõisteid" taha peitma, on üks nabanöör, mis lahutamatult seob neid tegelikkusega. See nabanöör on raha. Rakendagem matemaatilise hulga teooriat matemaatikute endi suhtes.

Õppisime matemaatikat väga hästi ja nüüd istume kassas, jagades palku. Siit tuleb matemaatik oma raha eest. Loeme kogu summa tema eest kokku ja paneme oma lauale erinevatesse hunnikutesse, kuhu paneme sama nimiväärtusega arved. Seejärel võtame igast hunnikust ühe arve ja anname matemaatikule kätte tema “matemaatilise palgakomplekti”. Selgitame matemaatikat, et ülejäänud arved saab ta alles siis, kui tõestab, et identsete elementideta komplekt ei ole võrdne identsete elementidega hulgaga. Siit algab lõbu.

Esiteks toimib saadikute loogika: "Saate seda teistele rakendada, te ei saa seda rakendada minu suhtes!" Lisaks hakkame kinnitama, et sama nimiväärtusega arvetel on erinevad nimiväärtuste numbrid, mis tähendab, et neid ei saa pidada samadeks elementideks. Olgu, loeme palga müntidena - müntidel pole numbreid. Siin hakkab matemaatik meeletult meenutama füüsikat: erinevatel müntidel on erinev mustus, iga mündi kristallstruktuur ja aatomite paigutus on ainulaadne ...

Ja nüüd on mul kõige huvitavam küsimus: kus on piir, millest kaugemale muutuvad multiseti elemendid komplekti elementideks ja vastupidi? Sellist joont ei eksisteeri - kõik otsustavad šamaanid, teadus ei valetanud siin kuskil.

Vaata siia. Valime sama väljakuga jalgpallistaadionid. Väljade pindala on sama, mis tähendab, et meil on multiset. Aga kui arvestada samade staadionite nimesid, saame palju, sest nimed on erinevad. Nagu näete, on sama elementide komplekt korraga nii komplekt kui ka multiset. Kuidas see õige on? Ja siin võtab matemaatik-šamaan-schuller varrukast trumpatäsu ja hakkab meile rääkima kas võtteplatsist või multisetist. Igal juhul veenab ta meid, et tal on õigus.

Et mõista, kuidas kaasaegsed šamaanid toimivad hulgateooriaga, sidudes selle reaalsusega, piisab ühele küsimusele vastamisest: kuidas erinevad ühe komplekti elemendid teise komplekti elementidest? Ma näitan teile, ilma "mõeldava kui ühe tervikuna" või "mitte mõeldava tervikuna".

Pühapäeval, 18. märtsil 2018

Numbri numbrite summa on šamaanide tants tamburiiniga, millel pole matemaatikaga mingit pistmist. Jah, matemaatikatundides õpetatakse meid leidma numbri numbrite summa ja seda kasutama, kuid sellepärast on nad šamaanid, et õpetada oma järeltulijatele oma oskusi ja tarkust, muidu surevad šamaanid lihtsalt välja.

Vajad tõestust? Avage Vikipeedia ja proovige leida numbri numbrite summa leht. Seda pole olemas. Matemaatikas pole valemit, mille abil saate leida mis tahes arvu numbrite summa. Lõppude lõpuks on numbrid graafilised sümbolid, mille abil me kirjutame numbreid ja matemaatika keeles kõlab ülesanne järgmiselt: "Leidke mis tahes numbrit kujutavate graafiliste sümbolite summa." Matemaatikud ei suuda seda probleemi lahendada, aga šamaanid - see on elementaarne.

Vaatame, mida ja kuidas me teeme, et leida antud numbri numbrite summa. Ja nii, olgu meil number 12345. Mida tuleks teha, et leida selle numbri numbrite summa? Läbime kõik sammud järjekorras.

1. Kirjutame numbri paberile. Mida me oleme teinud? Oleme teisendanud numbri numbri graafiliseks sümboliks. See pole matemaatiline operatsioon.

2. Lõikasime ühe saadud pildi mitmeks eraldi numbreid sisaldavaks pildiks. Pildi lõikamine ei ole matemaatiline toiming.

3. Teisenda üksikud graafilised sümbolid numbriteks. See pole matemaatiline operatsioon.

4. Lisage saadud numbrid. Nüüd on see matemaatika.

12345 numbrite summa on 15. Need on matemaatikute kasutatud šamaanide "lõikamis- ja õmbluskursused". Kuid see pole veel kõik.

Matemaatika seisukohast pole vahet, millises arvusüsteemis me numbri kirjutame. Niisiis on erinevates arvusüsteemides sama arvu numbrite summa erinev. Matemaatikas on numbrisüsteem numbrist paremal märgitud alamindeksina. Suure numbriga 12345 ei taha ma pead petta, kaaluge numbrit 26 artiklist. Kirjutame selle arvu kahend-, kaheksand-, kümnend- ja kuueteistkümnendsüsteemis. Me ei vaata iga sammu mikroskoobi all, me oleme seda juba teinud. Vaatame tulemust.

Nagu näete, on erinevates arvusüsteemides sama arvu numbrite summa erinev. Sellel tulemusel pole matemaatikaga mingit pistmist. See on sama, kui ristküliku pindala määramisel meetrites ja sentimeetrites saaksite täiesti erinevaid tulemusi.

Kõigis numbrisüsteemides näeb null välja sama ja sellel pole numbrite summat. See on veel üks argument selle kohta, et. Küsimus matemaatikutele: kuidas on matemaatikas määratud midagi, mis pole number? Mida ei ole matemaatikute jaoks olemas peale numbrite? Šamaanide jaoks võin seda lubada, kuid teadlaste jaoks - ei. Tegelikkus ei seisne ainult numbrites.

Saadud tulemust tuleks pidada tõendiks, et numbrisüsteemid on numbrite mõõtühikud. Me ei saa ju võrrelda numbreid erinevate mõõtühikutega. Kui samad toimingud sama koguse erinevate mõõtühikutega toovad pärast nende võrdlemist erinevaid tulemusi, siis pole sellel matemaatikaga mingit pistmist.

Mis on tõeline matemaatika? See on siis, kui matemaatilise toimingu tulemus ei sõltu arvu suurusest, kasutatud mõõtühikust ja sellest, kes seda toimingut sooritab.

Märk uksel Avas ukse ja ütles:

Oh! Kas see pole naiste tualett?
- Noor naine! See on labor, mis uurib hingede valimatut pühadust taevasse tõusmise ajal! Halo üleval ja üles nool. Mis tualettruum veel?

Naine ... Ülal olev nimbus ja allanool on isased.

Kui selline disainikunst vilgub teie silme ees mitu korda päevas,

Siis pole üllatav, et leiate oma autost äkki kummalise ikooni:

Mina isiklikult näen enda nimel vaeva, et kakavas inimeses (üks pilt) näeksin miinus nelja kraadi (mitme pildi kompositsioon: miinusmärk, number neli, kraaditähis). Ja ma ei usu, et see tüdruk on loll, kes ei tunne füüsikat. Tal on lihtsalt stereotüüp graafiliste piltide tajumisest. Ja matemaatikud õpetavad seda meile pidevalt. Siin on näide.

1A ei ole "miinus neli kraadi" ega "üks a". See on "kakav mees" või kuueteistkümnendsüsteemis number "kakskümmend kuus". Need inimesed, kes selles numbrisüsteemis pidevalt töötavad, tajuvad numbrit ja tähte automaatselt ühe graafilise sümbolina.