Kompleksmuutuja z lineaarfunktsioon on funktsioon, kus a ja 6 on antud kompleksarvudeks ning a Φ 0. Lineaarne funktsioon on defineeritud kõigi sõltumatu muutuja z väärtuste jaoks, on ühe väärtusega ja kuna pöördfunktsioon on samuti üheväärtuslik, on ühevalentne kogu z-tasandil. Lineaarfunktsioon on analüütiline kogu komplekstasandil ja selle tuletis, seetõttu on selle poolt läbiviidav kaardistus konformne kogu tasapinnal. Murdline-lineaarne funktsioon on antud kompleksarvude vormi funktsioon ja murdosaline-lineaarne funktsioon on määratletud sõltumatu muutuja zy kõigi väärtuste jaoks, välja arvatud z = -|, on see üheselt mõistetav ja kuna see on pöördfunktsioon funktsioon Kompleksmuutuja elementaarfunktsioonid Murdratsionaalfunktsioonid Astumusfunktsioon Eksponentfunktsioon Logaritmiline funktsioon Trigonomeetrilised ja hüperboolsed funktsioonid on üheväärtuslikud, ühevalentsed kogu komplekstasandil, välja arvatud punkt z = - Selles piirkonnas on funktsioon (3) analüütiline ja selle tuletis seetõttu on kaardistamine konformne. Defineerime funktsiooni (3) punktis z = - \, seades £) = oo ja lõpmata kauge punktiga w = oo seostame punkti z(oo) = Siis on murdosalineaarfunktsioon laiendatud funktsioonis ühevalentne. komplekstasand z. Näide 1. Vaatleme murdosalist lineaarfunktsiooni Võrdusest järeldub, et kompleksarvude r ja u moodulid on omavahel seotud ning need arvud ise asuvad kiirtel, mis väljuvad punktist O ja on sümmeetrilised reaaltelje suhtes. Eelkõige ühikringi punktid |z| = 1 minna ühikringi punktidesse Н = 1. Sel juhul omistatakse kompleksarvule konjugeeritud arv (joon. 11). Pange tähele ka seda, et funktsioon th = -g kaardistab lõpmata kauge punkti z - oo nullpunktiga th - 0. 2.2. Astumusfunktsioon Astumusfunktsioon, kus n on naturaalarv, on analüütiline kogu komplekstasandil; selle tuletis = nzn~] n > 1 korral erineb nullist kõigis punktides, välja arvatud z = 0. Kirjutades w ja z valemis (4) eksponentsiaalsel kujul, saame, et valemist (5) on selge, et kompleksarvud Z\ ja z2 nii, et kus k on täisarv, suundutakse ühte punkti w. See tähendab, et n > 1 korral ei ole vastendus (4) z-tasandil ühevalentne. Lihtsaim näide piirkonnast, kus vastendus gi = zn on ühevalentne, on sektor, kus a on mis tahes reaalarv. Domeenis (7) on kaardistamine (4) konformne. - mitme väärtusega, sest iga kompleksarvu z = е1в Ф 0 jaoks on võimalik märkida n erinevat kompleksarvu nii, et nende n aste on võrdne z-ga: Pange tähele, et kompleksmuutuja z astme n polünoom on funktsioon, kus on antud kompleksarvud ja ao Φ 0. Mis tahes astme polünoom on analüütiline funktsioon kogu komplekstasandil. 2.3. Murdratsionaalfunktsioon Murdratsionaalfunktsiooni nimetatakse funktsiooniks kujul, kus) on kompleksmuutuja z polünoomid. Murdarvuline ratsionaalne funktsioon on analüütiline kogu tasapinnas, välja arvatud need punktid, kus nimetaja Q(z) kaob. Näide 3. Žukovski funktsioon__ on analüütiline kogu tasapinnal z, välja arvatud punkt z = 0. Selgitame välja komplekstasandi piirkonna tingimused, mille korral selles piirkonnas vaadeldav Žukovski funktsioon on ühevalentne. M Olgu punktid Z) ja zj funktsiooni (8) abil üle kanda ühte punkti. Siis saame, et Seega, et Žukovski funktsioon oleks ühevalentne, on vajalik ja piisav tingimuse rahuldamiseks. Näide piirkonnast, mis rahuldab univalentsuse tingimust (9), on ringi väliskülg |z| > 1. Kuna Žukovski funktsiooni tuletis Kompleksmuutuja elementaarfunktsioonid Murd-ratsionaalfunktsioonid Positiivne funktsioon Logaritmiline funktsioon Trigonomeetrilised ja hüperboolsed funktsioonid on nullist erinevad kõikjal, välja arvatud punktides, on selle funktsiooni abil teostatav domeeni kaardistamine konformne (joonis 13). Pange tähele, et üksuse ketta |I sisemus on ka Žukovski funktsiooni univalentsuse valdkond. Riis. 13 2.4. Eksponentfunktsioon Defineerime eksponentsiaalfunktsiooni ez mis tahes kompleksarvu z = x + y korral järgmise seosega: x = 0 korral saame Euleri valemi: Kirjeldame eksponentsiaalfunktsiooni põhiomadusi: 1. Reaalse z korral see määratlus langeb kokku tavalisega. Seda saab kontrollida, kui valemis (10) on y = 0. Funktsioon ez on analüütiline kogu komplekstasandil ja selle jaoks säilib tavaline diferentseerimisvalem. 3. Funktsiooni ez puhul säilib liitmise teoreem . Oletame 4. Funktsioon ez on perioodiline imaginaarse põhiperioodiga 2xi. Tegelikult, iga täisarvu k korral. Teisest küljest, kui, siis definitsioonist (10) järeldub, et Kust see järeldub, või kus n on täisarv. Riba ei sisalda ühtki seosega (12) ühendatud punktide paari, mistõttu läbiviidud uuringust järeldub, et kaardistus w = e" on ribas üksik (joonis 14). Kuna tegemist on tuletisega, see vastendus on konformaalne Märkus niv Funktsioon g.g on ühevalentne mis tahes ribal. mitme väärtusega funktsiooni nimetatakse logaritmiks ja seda tähistatakse järgmiselt. Väärtust arg z nimetatakse logaritmi põhiväärtuseks ja tähistatakse tähisega Siis saame Ln z jaoks valemi 2.6 Euleri valemist (11) reaalse y we jaoks saada Kust defineerime mis tahes kompleksarvu z trigonomeetrilised funktsioonid sin z ja cos z järgmiste valemite abil: Kompleksargumendi siinusel ja koosinusel on huvitavad omadused Loetleme peamised: Funktsioonid sinz ja cos z: 1) päris z -x langevad kokku tavaliste siinuste ja koosinustega; 2) analüütiline kogu komplekstasandil; 3) järgima tavalisi diferentseerimisvalemeid: 4) on perioodilised perioodiga 2π; 5) sin z on paaritu funktsioon ja cos z paarisfunktsioon; 6) säilivad tavalised trigonomeetrilised seosed. Kõik loetletud omadused on kergesti leitavad valemitest (15). Funktsioonid tgz ja ctgz kompleksvaldkonnas määratakse valemitega ja hüperboolfunktsioonid - valemitega "Hüperboolfunktsioonid on tihedalt seotud trigonomeetriliste funktsioonidega. Seda seost väljendavad järgmised võrdsused: Kompleksargumendi siinus ja koosinus on veel üks oluline omadus: komplekstasandil |\ võtame meelevaldselt suuri positiivseid väärtusi. Näitame seda Kasutades omadusi 6 ja valemeid (18), saame, et Keerulise muutuja elementaarfunktsioonid Ratsionaalfunktsioonid. Funktsioonid Kust, eeldades, et meil on näide 4. On lihtne kontrollida, et -4 Tegelikult ,.

11 Kompleksmuutuja põhifunktsioonid

Tuletagem meelde kompleksse eksponendi määratlust –. Siis

Maclaurini seeria laiendus. Selle jada lähenemisraadius on +∞, mis tähendab, et kompleksne eksponentsiaal on analüütiline kogu komplekstasandil ja

(eksp z)" = exp z; exp 0 = 1. (2)

Esimene võrdsus tuleneb siin näiteks astmeridade terminite kaupa diferentseerimise teoreemist.

11.1 Trigonomeetrilised ja hüperboolsed funktsioonid

Kompleksmuutuja siinus nimetatakse funktsiooniks

Kompleksmuutuja koosinus on funktsioon

Kompleksmuutuja hüperboolne siinus on määratletud järgmiselt:

Kompleksmuutuja hüperboolne koosinus-- see on funktsioon

Märgime ära mõned äsja kasutusele võetud funktsioonide omadused.

A. Kui x∈ ℝ, siis cos x, sin x, cosh x, sh x∈ ℝ.

B. Trigonomeetriliste ja hüperboolsete funktsioonide vahel on järgmine seos:

cos iz=ch z; sin iz=ish z, ch iz=cos z; sh iz=isin z.

B. Põhilised trigonomeetrilised ja hüperboolsed identiteedid:

cos2z+sin2z=1; ch 2 z-sh 2 z=1.

Peamise hüperboolse identiteedi tõend.

Peamine trigonomeetriline identiteet tuleneb peamisest hüperboolsest identiteedist, kui võtta arvesse seost trigonomeetriliste ja hüperboolsete funktsioonide vahel (vt omadus B)

G Lisamise valemid:

Eriti,

D. Trigonomeetriliste ja hüperboolsete funktsioonide tuletiste arvutamiseks tuleks rakendada teoreemi astmeridade terminite kaupa diferentseerimise kohta. Saame:

(cos z)"=-sin z; (sin z)" = cos z; (ch z)"=sh z; (sh z)" = ch z.

E. Funktsioonid cos z, ch z on paaris ja funktsioonid sin z, sin z on paaritud.

J. (sagedus) Funktsioon e z on perioodiline perioodiga 2π i. Funktsioonid cos z, sin z on perioodilised perioodiga 2π ja funktsioonid ch z, sin z on perioodilised perioodiga 2πi. Enamgi veel,

Summavalemeid rakendades saame

Z. Lagunemine reaalseteks ja kujuteldavateks osadeks:

Kui ühe väärtusega analüütiline funktsioon f(z) kaardistab bijektiivselt domeeni D domeeniga G, siis D nimetatakse ühevalentseks domeeniks.

JA. Piirkond D k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .

Tõestus. Seosest (5) järeldub, et vastendus exp:D k → ℂ on injektiivne. Olgu w mis tahes nullist erinev kompleksarv. Seejärel lahendades võrrandid e x =|w| ja e iy =w/|w| reaalsete muutujatega x ja y (y valitakse poolintervallist)