طرح‌های ریاضی برای سیستم‌های مدل‌سازی

رویکردهای اساسی برای ساخت مدل های ریاضی سیستم ها

اطلاعات اولیه در ساخت مدل های ریاضی فرآیندهای عملکرد سیستم ها، داده های مربوط به هدف و شرایط عملیاتی سیستم مورد بررسی (طراحی شده) است. اس... این اطلاعات هدف اصلی مدل سازی سیستم را مشخص می کند. اسو به شما امکان می دهد الزامات مدل ریاضی توسعه یافته را فرموله کنید م.علاوه بر این، سطح انتزاع بستگی به محدوده سؤالاتی دارد که محقق سیستم می خواهد با استفاده از مدل به آنها پاسخ دهد و تا حدی انتخاب یک طرح ریاضی را تعیین می کند.

طرح های ریاضیمعرفی مفهوم طرح ریاضی به ما این امکان را می دهد که ریاضیات را نه به عنوان یک روش محاسبه، بلکه به عنوان یک روش تفکر، به عنوان وسیله ای برای فرمول بندی مفاهیم در نظر بگیریم، که در گذار از توصیف شفاهی یک سیستم به یک نمایش رسمی از فرآیند عملکرد آن در قالب یک مدل ریاضی (تحلیلی یا تقلیدی). هنگام استفاده از یک طرح ریاضی، اول از همه، محقق سیستم S باید به پرسش کفایت نقشه برداری در قالب طرح های خاص از فرآیندهای واقعی در سیستم مورد مطالعه علاقه مند باشد، نه امکان به دست آوردن یک پاسخ (نتیجه راه حل) به یک سوال تحقیق خاص. به عنوان مثال، نمایش فرآیند عملکرد یک سیستم محاسباتی اطلاعات جمعی در قالب شبکه ای از طرح های صف این امکان را فراهم می کند تا فرآیندهای رخ داده در سیستم را به خوبی توصیف کنیم، اما با قوانین پیچیده جریان های ورودی و جریان های خدمات، آن را به خوبی توصیف می کنیم. دستیابی به نتایج را به شکل صریح ممکن نمی کند.

طرح ریاضیرا می توان به عنوان پیوندی در گذار از یک توصیف معنی دار به یک توصیف رسمی از فرآیند عملکرد سیستم با در نظر گرفتن تأثیر محیط خارجی تعریف کرد، یعنی یک زنجیره "مدل توصیفی - طرح ریاضی - ریاضی (تحلیلی و / یا تقلید) مدل».

هر سیستم خاص S با مجموعه ای از ویژگی ها مشخص می شود که به عنوان مقادیری درک می شود که رفتار شی مدل شده (سیستم واقعی) را منعکس می کند و شرایط عملکرد آن را در تعامل با محیط خارجی (سیستم) در نظر می گیرد. E.هنگام ساخت یک مدل ریاضی از سیستم، لازم است که مسئله کامل بودن آن حل شود. کامل بودن مدل عمدتاً با انتخاب محیط مرزی سیستم S تنظیم می شود E» . همچنین، مشکل ساده سازی مدل باید حل شود، که به برجسته کردن ویژگی های اصلی سیستم، دور انداختن ویژگی های ثانویه کمک می کند. علاوه بر این، انتساب ویژگی های سیستم به اصلی یا فرعی اساساً به هدف مدل سازی سیستم بستگی دارد (به عنوان مثال، تجزیه و تحلیل ویژگی های احتمالی-زمانی فرآیند عملکرد سیستم، سنتز سیستم ساختار سیستم و غیره).

مدل رسمی شیمدل شی مدل سازی، یعنی سیستم S، را می توان به عنوان مجموعه ای از کمیت ها نشان داد که فرآیند عملکرد یک سیستم واقعی را توصیف می کند و به طور کلی زیر مجموعه های زیر را تشکیل می دهد: اقدامات ورودیدر هر سیستم

;

تجمیع تاثیرات محیطی

;

تجمیع پارامترهای داخلی، (خود).سیستم های

;

تجمیع ویژگی های خروجیسیستم های

.

علاوه بر این، در زیر مجموعه های ذکر شده، متغیرهای مدیریت شده و مدیریت نشده قابل تشخیص هستند. به طور کلی , , , عناصری از زیرمجموعه های متمایز هستند و شامل اجزای قطعی و تصادفی هستند.

هنگام مدل سازی سیستم S، اقدامات ورودی، اثرات محیط خارجی Eو پارامترهای داخلی سیستم هستند متغیرهای مستقل (برون زا)،که به صورت برداری دارای فرم،،، و مشخصات خروجی سیستم می باشد متغیرهای وابسته (درون زا)و به صورت برداری فرم دارند).

فرآیند عملکرد سیستم S به موقع توسط اپراتور شرح داده شده است اف س , که در حالت کلی متغیرهای برون زا را مطابق با روابط شکل به درون زا تبدیل می کند

. (1)

مجموعه ای از وابستگی های ویژگی های خروجی سیستم به زمان y j (تی) برای همه نوع
تماس گرفت مسیر خروجی
. وابستگی (1) نامیده می شود قانون عملکرد سیستماس و نشان داد اف س . در حالت کلی قانون عملکرد سیستم اف س را می توان به صورت تابع، شرایط عملکردی، منطقی، به اشکال الگوریتمی و جدولی و یا به صورت قانون تطبیق کلامی مشخص کرد.

برای توصیف و مطالعه سیستم S مفهوم بسیار مهم است الگوریتم عملکردآ س , که به عنوان روشی برای به دست آوردن ویژگی های خروجی با در نظر گرفتن تأثیرات ورودی درک می شود
, تاثیرات محیطی
و پارامترهای خود سیستم
. بدیهی است که همان قانون عملکرد اف س سیستم S را می توان به روش های مختلفی پیاده سازی کرد، به عنوان مثال، با استفاده از بسیاری از الگوریتم های مختلف برای عملکرد آ س .

روابط (1) توصیفی ریاضی از رفتار شی (سیستم) مدل سازی در زمان است. تی, یعنی خواص دینامیکی آن را منعکس می کنند. بنابراین معمولاً مدل های ریاضی از این نوع نامیده می شود مدل های پویا(سیستم های).

برای مدل های استاتیکمدل ریاضی (1) نگاشت بین دو زیر مجموعه از ویژگی های یک شی مدل شده است Y و { ایکس, V، H)که به صورت برداری می تواند به صورت نوشته شود

. (2)

روابط (1) و (2) را می توان به روش های مختلفی تعیین کرد: تحلیلی (با استفاده از فرمول ها)، گرافیکی، جدولی و غیره. ایالت ها.وضعیت سیستم S با بردارها مشخص می شود

و
,

جایی که
,
, …,
درحال حاضر
;
,
, …,
درحال حاضر
و غیره.،
.

اگر فرآیند عملکرد سیستم S را تغییر متوالی حالات در نظر بگیریم
, سپس آنها را می توان به عنوان مختصات یک نقطه در تفسیر کرد به-فضای فاز بعدی علاوه بر این، هر اجرای فرآیند با یک مسیر فاز مشخص مطابقت دارد. مجموعه ای از تمام مقادیر ممکن حالت ها تماس گرفت فضای حالتموضوع مدل سازی ز, علاوه بر این
.

حالات سیستم S در لحظه زمان تی 0 < تی*تی کاملاً با شرایط اولیه تعیین می شوند
[جایی که
,
, …,
]، تأثیرات ورودی
, پارامترهای سیستم خود
و تاثیرات محیطی
, که در یک دوره زمانی صورت گرفت تی*- تی 0 ، بابا استفاده از دو معادله برداری

; (3)

. (4)

اولین معادله برای حالت اولیه و متغیرهای برونزا
یک تابع برداری را تعریف می کند
, و دومی با توجه به مقدار به دست آمده از حالات
- متغیرهای درون زا در خروجی سیستم
. بنابراین، زنجیره معادلات جسم "ورودی-وضعیت-خروجی" به شما امکان می دهد ویژگی های سیستم را تعیین کنید.

. (5)

در حالت کلی، زمان در مدل سیستم S را می توان بر روی بازه مدلسازی در نظر گرفت (0، T)هم پیوسته و هم گسسته، یعنی به بخش های طولی کوانتیزه می شوند
واحدهای زمانی هر زمانی که
, جایی که
- تعداد فواصل نمونه برداری

بنابراین، تحت مدل ریاضی شی(سیستم واقعی) زیر مجموعه متناهی از متغیرها را درک کند (
} همراه با روابط ریاضی بین آنها و ویژگی ها
.

اگر توصیف ریاضی موضوع مدل‌سازی حاوی عناصر تصادفی نباشد یا در نظر گرفته نشود، یعنی اگر بتوان فرض کرد که در این مورد اثرات تصادفی محیط خارجی
و پارامترهای داخلی تصادفی
وجود ندارند، سپس مدل فراخوانی می شود قطعیبه این معنا که ویژگی ها به طور منحصر به فردی توسط ورودی های قطعی تعیین می شوند

. (6)

بدیهی است که مدل قطعی یک مورد خاص از مدل تصادفی است.

طرح های معمولیروابط ریاضی داده شده طرح‌های ریاضی کلی را نشان می‌دهند و امکان توصیف کلاس وسیعی از سیستم‌ها را فراهم می‌کنند. با این حال، در عمل مدل سازی اشیاء در زمینه مهندسی سیستم ها و تجزیه و تحلیل سیستم ها در مراحل اولیه تحقیق سیستم، منطقی تر است که از آن استفاده شود. طرح های ریاضی معمولی:معادلات دیفرانسیل، اتوماتای ​​محدود و احتمالی، سیستم های صف، شبکه های پتری و غیره.

طرح‌های ریاضی معمولی که دارای چنین درجه‌ای از عمومیت نیستند مانند مدل‌های در نظر گرفته شده، دارای مزایای سادگی و وضوح هستند، اما با محدود کردن قابل توجهی از امکانات کاربرد. معادلات دیفرانسیل، انتگرال، انتگرال دیفرانسیل و سایر معادلات برای نشان دادن سیستم‌هایی که در زمان پیوسته کار می‌کنند به عنوان مدل‌های قطعی، زمانی که عوامل تصادفی در مطالعه در نظر گرفته نمی‌شوند، استفاده می‌شوند، و از اتوماتای ​​محدود و طرح‌های تفاضل محدود برای نمایش سیستم‌هایی استفاده می‌شود که در آن کار می‌کنند. زمان گسسته .... اتومات های احتمالی به عنوان مدل های تصادفی (با در نظر گرفتن عوامل تصادفی) برای نمایش سیستم ها با زمان گسسته و سیستم های صف برای نمایش سیستم های با زمان پیوسته و غیره استفاده می شوند.

طرح‌های ریاضی معمولی فهرست شده، البته، نمی‌توانند وانمود کنند که می‌توانند بر اساس آن‌ها تمام فرآیندهایی را که در سیستم‌های مدیریت اطلاعات بزرگ رخ می‌دهند، توصیف کنند. برای چنین سیستم هایی، در برخی موارد، استفاده از مدل های انبوه امیدوارکننده تر است.

مدل های انبوه (سیستم ها) توصیف طیف گسترده ای از اشیاء تحقیقاتی را با بازتابی از ماهیت سیستمی این اشیاء ممکن می سازند. با یک توصیف کلی است که یک شی (سیستم) پیچیده به تعداد محدودی از قطعات (زیر سیستم ها) تقسیم می شود، در حالی که ارتباطاتی را حفظ می کند که تعامل قطعات را تضمین می کند.

بنابراین، هنگام ساخت مدل‌های ریاضی فرآیندهای عملکرد سیستم‌ها، رویکردهای اصلی زیر قابل تشخیص است: پیوسته - قطعی (به عنوان مثال، معادلات دیفرانسیل). گسسته - قطعی (اتوماتای ​​محدود)؛ تصادفی گسسته (اتوماتای ​​احتمالی)؛ پیوسته تصادفی (سیستم های صف)؛ تعمیم یافته یا جهانی (سیستم های کل).

مدل‌های تعیین مداوم (مدارهای D)

اجازه دهید ویژگی های رویکرد قطعی پیوسته را در مثال استفاده از معادلات دیفرانسیل به عنوان مدل های ریاضی در نظر بگیریم. معادلات دیفرانسیلچنین معادلاتی نامیده می شوند که در آنها توابع یک یا چند متغیر ناشناخته هستند و معادله نه تنها شامل توابع، بلکه مشتقات مرتبه های مختلف آنها نیز می شود. اگر مجهولات تابع چندین متغیر باشند، معادلات را معادلات دیفرانسیل جزئی می نامند، در غیر این صورت، با در نظر گرفتن توابع تنها یک متغیر مستقل، معادلات را معادلات دیفرانسیل معمولی می نامند.

روابط اساسیمعمولاً در چنین مدل‌های ریاضی، از زمان به عنوان متغیر مستقلی استفاده می‌شود که توابع ناشناخته جستجو شده به آن بستگی دارند. تی. سپس رابطه ریاضی برای سیستم های قطعی (6) به صورت کلی خواهد بود

, (7)

جایی که
,
و
- پ-بردارهای بعدی
- تابع بردار، که در برخی از ( پ+1) -بعدی
تنظیم شده و پیوسته است.

از آنجایی که طرح های ریاضی از این نوع منعکس کننده پویایی سیستم مورد مطالعه، یعنی رفتار آن در زمان است، به آنها گفته می شود. دی-طرح ها(انگلیسی پویا).

در ساده ترین حالت، معادله دیفرانسیل معمولی شکل دارد

. (8)

مهم ترین کاربرد برای مهندسی سیستم ها دی-طرحبه عنوان یک دستگاه ریاضی در تئوری کنترل خودکار. برای نشان دادن ویژگی‌های ساخت و کاربرد مدارهای D، اجازه دهید ساده‌ترین مثال از رسمی کردن فرآیند عملکرد دو سیستم ابتدایی با ماهیت فیزیکی متفاوت را در نظر بگیریم: مکانیکی. اس م (نوسانات آونگ، شکل 1، الف) و S K الکتریکی (مدار نوسانی، شکل 1، ب).

برنج. 1. سیستم های ابتدایی

فرآیند نوسانات کوچک آونگ با معادله دیفرانسیل معمولی توصیف می شود

جایی که
- جرم و طول تعلیق آونگ؛ g - شتاب سقوط آزاد؛
- زاویه انحراف آونگ در لحظه زمان تی.

از این معادله نوسان آزاد آونگ، تخمین هایی از ویژگی های مورد نظر را می توان یافت. به عنوان مثال، دوره چرخش آونگ

.

به طور مشابه، فرآیندهای مدار نوسانی الکتریکی با معادله دیفرانسیل معمولی توصیف می‌شوند

جایی که L به ، با به - اندوکتانس و ظرفیت خازن؛ q(تی) - شارژ خازن در زمان تی.

از این معادله می توان تخمین های مختلفی از ویژگی های فرآیند در مدار نوسانی بدست آورد. به عنوان مثال، دوره نوسانات الکتریکی

.

بدیهی است که با معرفی نماد
,
, ,
, ما یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم معمولی به دست می آوریم که رفتار این سیستم حلقه بسته را توصیف می کند:

جایی که
- پارامترهای سیستم؛ z(تی) - وضعیت سیستم در زمان تی.

بنابراین می توان رفتار این دو جسم را بر اساس یک مدل ریاضی کلی بررسی کرد (9). علاوه بر این، باید توجه داشت که رفتار یکی از سیستم ها با استفاده از دیگری قابل تحلیل است. به عنوان مثال، رفتار یک آونگ (سیستم اس م) را می توان با استفاده از یک مدار نوسانی الکتریکی (سیستم اس ک).

اگر سیستم مورد مطالعه اسیعنی یک آونگ یا یک کانتور، با محیط خارجی تعامل دارد E،سپس یک اقدام ورودی ظاهر می شود ایکس(تی) (نیروی خارجی برای آونگ و منبع انرژی برای مدار) و مدل پیوسته - قطعی چنین سیستمی شکل خواهد داشت.

از دیدگاه طرح کلی مدل ریاضی ایکس(تی) عملکرد ورودی (کنترلی) است و وضعیت سیستم S در این مورد می تواند به عنوان یک مشخصه خروجی در نظر گرفته شود، یعنی فرض کنیم متغیر خروجی با وضعیت سیستم در یک زمان معین منطبق باشد. y =z.

برنامه های کاربردی ممکنهنگام حل مسائل مهندسی سیستم ها، مشکلات مدیریت سیستم های بزرگ از اهمیت بالایی برخوردار است. به سیستم ها توجه کنید کنترل خودکار- یک مورد خاص از سیستم های دینامیکی شرح داده شده است دی-طرح هاو در کلاس جداگانه ای از مدل ها به دلیل ویژگی های کاربردی آنها برجسته شده است.

هنگام توصیف فرآیندهای کنترل خودکار، آنها معمولاً به ارائه یک شی واقعی در قالب دو سیستم پایبند هستند: کنترل و کنترل شده (شیء کنترلی). ساختار یک سیستم کنترل خودکار چند بعدی عمومی در شکل 1 نشان داده شده است. 2، که در آن تعیین شده اند متغیرهای درون زا:
- بردار تأثیرات ورودی (استاد).
- بردار تأثیرات مزاحم؛
- بردار سیگنال های خطا.
- بردار اقدامات کنترلی؛ متغیرهای برونزا:
- بردار حالات سیستم S;
معمولاً بردار متغیرهای خروجی است
=
.

برنج. 2. ساختار سیستم کنترل خودکار

یک سیستم کنترل مدرن مجموعه ای از ابزارهای نرم افزاری و سخت افزاری است که دستیابی به یک هدف خاص توسط شی کنترل را تضمین می کند. میزان دقت شی کنترلی به یک هدف معین می تواند برای یک سیستم تک بعدی توسط مختصات حالت قضاوت شود. در (تی). تفاوت بین داده شده در پشت (تی) و معتبر در (تی) قانون تغییر متغیر کنترل شده یک خطای کنترلی است . اگر قانون تعیین شده تغییر کمیت کنترل شده با قانون تغییر کنش ورودی (مستر) مطابقت داشته باشد، به عنوان مثال.
, سپس
.

سیستم هایی که برای آنها خطاهای کنترل وجود دارد
در همه زمان ها ایده آل نامیده می شوند. در عمل، پیاده سازی سیستم های ایده آل غیرممکن است. پس خطا ساعت"(تی) - یک عنصر ضروری برای کنترل خودکار بر اساس اصل بازخورد منفی، زیرا متغیر خروجی را مطابقت می دهد. y(تی) مقدار مشخص شده آن از اطلاعات مربوط به انحراف بین آنها استفاده می کند. وظیفه سیستم کنترل خودکار تغییر متغیر است y(تی) طبق یک قانون معین با دقت خاصی (با خطای قابل قبول). هنگام طراحی و راه اندازی سیستم های کنترل اتوماتیک، لازم است پارامترهای سیستم زیر را انتخاب کنید اس، که دقت کنترل مورد نیاز و همچنین پایداری سیستم را در فرآیند گذرا فراهم می کند.

اگر سیستم پایدار باشد، رفتار سیستم در زمان مورد توجه عملی است، حداکثر انحراف متغیر کنترل شده است. در (تی) در فرآیند گذرا، زمان فرآیند گذرا و غیره. نتیجه گیری در مورد ویژگی های سیستم های کنترل خودکار طبقات مختلف را می توان در قالب معادلات دیفرانسیل به دست آورد که به طور تقریبی فرآیندهای موجود در سیستم ها را توصیف می کند. ترتیب معادله دیفرانسیل و مقادیر ضرایب آن به طور کامل توسط پارامترهای استاتیکی و دینامیکی سیستم تعیین می شود. اس.

بنابراین با استفاده از دی-طرحاجازه می دهد تا فرآیند عملکرد سیستم های دائماً قطعی را رسمی کند اسو ویژگی های اصلی آنها را با استفاده از رویکرد تحلیلی یا شبیه سازی که در قالب یک زبان مناسب برای مدل سازی سیستم های پیوسته یا استفاده از امکانات محاسباتی آنالوگ و ترکیبی پیاده سازی شده است، ارزیابی می کند.

طبقه بندی در هر زمینه ای از تخصص ضروری است. این به شما امکان می دهد تجربه انباشته شده را تعمیم دهید، مفاهیم حوزه موضوع را ساده کنید. توسعه سریع روش‌های مدل‌سازی ریاضی و تنوع حوزه‌های کاربرد آنها منجر به ظهور تعداد زیادی مدل از انواع مختلف و نیاز به طبقه‌بندی مدل‌ها به دسته‌هایی شد که برای همه مدل‌ها جهانی هستند یا در این زمینه ضروری هستند. برای مثال از مدل ساخته شده بیایید مثالی از چند دسته ارائه دهیم: منطقه استفاده؛ با در نظر گرفتن ضریب زمان (دینامیک) در مدل؛ شاخه دانش؛ نحوه ارائه مدل ها؛ وجود یا عدم وجود عوامل تصادفی (یا نامطمئن)؛ نوع معیار کارایی و محدودیت های اعمال شده و غیره.

با تجزیه و تحلیل ادبیات ریاضی، ما رایج ترین نشانه های طبقه بندی را شناسایی کرده ایم:

1. با توجه به روش پیاده سازی (از جمله زبان رسمی)، تمام مدل های ریاضی را می توان به تحلیلی و الگوریتمی

تحلیلی - مدل هایی که از یک زبان ریاضی استاندارد استفاده می کنند. شبیه سازی - مدل هایی که در آنها از یک زبان مدل سازی خاص یا یک زبان برنامه نویسی جهانی استفاده می شود.

مدل های تحلیلی را می توان در قالب عبارات تحلیلی نوشت، به عنوان مثال. به شکل عباراتی حاوی تعداد قابل شمارش عملیات حسابی و انتقال به حد، به عنوان مثال:. یک عبارت جبری یک مورد خاص از یک عبارت تحلیلی است که در نتیجه معنای دقیقی را ارائه می دهد. همچنین ساختارهایی وجود دارد که به شما امکان می دهد مقدار حاصل را با دقت معین پیدا کنید (به عنوان مثال، بسط یک تابع ابتدایی در یک سری توان). مدل هایی که از این تکنیک استفاده می کنند، تقریبی نامیده می شوند.

به نوبه خود، مدل های تحلیلی به تقسیم می شوند نظری و تجربیمدل ها. مدل‌های نظری ساختارها و فرآیندهای واقعی را در اشیاء مورد مطالعه منعکس می‌کنند، یعنی بر اساس تئوری کار خود هستند. مدل های تجربی بر اساس مطالعه واکنش های یک شی به تغییرات در شرایط محیطی ساخته می شوند. در این مورد، تئوری عملکرد شی در نظر گرفته نمی شود، خود شی به اصطلاح یک "جعبه سیاه" است و مدل یک وابستگی درون یابی خاص است. مدل های تجربی را می توان از داده های تجربی ساخت. این داده ها مستقیماً بر روی اشیاء مورد مطالعه یا با کمک مدل های فیزیکی آنها به دست می آیند.

اگر فرآیندی را نتوان در قالب یک مدل تحلیلی توصیف کرد، با استفاده از یک الگوریتم یا برنامه خاص توصیف می شود. این مدل الگوریتمی است. هنگام ساخت مدل های الگوریتمی، از روش های عددی یا شبیه سازی استفاده می شود. در رویکرد عددی، مجموعه روابط ریاضی با یک آنالوگ بُعد محدود جایگزین می شود (به عنوان مثال، انتقال از تابع یک آرگومان پیوسته به تابعی از یک آرگومان گسسته). سپس یک الگوریتم محاسباتی ساخته می شود، به عنوان مثال. دنباله ای از عملیات حسابی و منطقی. راه حل یافت شده آنالوگ گسسته به عنوان یک راه حل تقریبی برای مسئله اصلی در نظر گرفته می شود. در رویکرد شبیه‌سازی، شی مدل‌سازی خود گسسته می‌شود و مدل‌هایی از عناصر منفرد سیستم ساخته می‌شوند.

2. با توجه به شکل ارائه مدل های ریاضی عبارتند از:

1) مدل ثابت یک مدل ریاضی است که با سیستم معادلات (دیفرانسیل، جبری) بدون در نظر گرفتن روش های حل این معادلات نشان داده می شود.

2) مدل جبری - نسبت مدل ها با روش حل عددی انتخاب شده مرتبط است و در قالب یک الگوریتم (توالی محاسبات) نوشته می شود.

3) مدل تحلیلی - وابستگی صریح متغیرهای مورد نظر به مقادیر داده شده است. چنین مدل هایی بر اساس قوانین فیزیکی یا در نتیجه ادغام مستقیم معادلات دیفرانسیل اصلی با استفاده از انتگرال های جدولی به دست می آیند. آنها همچنین شامل مدل های رگرسیونی هستند که بر اساس نتایج تجربی به دست آمده اند.

4) مدل گرافیکی در قالب نمودارها، مدارهای معادل، نمودارها و مانند آن ارائه می شود. برای استفاده از مدل های گرافیکی، باید قاعده مطابقت بدون ابهام تصاویر شرطی عناصر گرافیکی و اجزای مدل ریاضی ثابت وجود داشته باشد.

3. بسته به نوع معیار کارایی و محدودیت های اعمال شده، مدل ها به زیر تقسیم می شوند. خطی و غیر خطیدر مدل‌های خطی، معیار کارایی و محدودیت‌های اعمال‌شده، توابع خطی متغیرهای مدل هستند (در غیر این صورت، مدل‌های غیرخطی). فرض در مورد وابستگی خطی معیار کارایی و مجموعه محدودیت های اعمال شده بر متغیرهای مدل در عمل کاملاً قابل قبول است. این امکان استفاده از یک دستگاه برنامه ریزی خطی توسعه یافته را برای تصمیم گیری فراهم می کند.

4. با در نظر گرفتن عامل زمان و منطقه استفاده، آنها را متمایز می کنند مدل های استاتیک و دینامیک... اگر همه کمیت های موجود در مدل به زمان بستگی نداشته باشند، در این صورت ما یک مدل ایستا از یک شی یا یک فرآیند (یک برش یک بار مصرف اطلاعات روی یک شی) داریم. آن ها مدل ایستا مدلی است که در آن زمان یک متغیر نیست. یک مدل پویا به شما امکان می دهد تغییرات یک شی را در طول زمان ببینید.

5. بسته به تعداد طرفینی که تصمیم می گیرند، دو نوع مدل ریاضی وجود دارد: توصیفی و هنجاری... در مدل توصیفی هیچ تصمیم گیرنده ای وجود ندارد. به طور رسمی، تعداد این اضلاع در مدل توصیفی صفر است. یک مثال معمولی از این مدل‌ها، مدل سیستم صف است. برای ساخت مدل های توصیفی نیز می توان از تئوری پایایی، نظریه گراف، نظریه احتمال، روش آزمون آماری (روش مونت کارلو) استفاده کرد.

مدل هنجاری جنبه های زیادی دارد. در اصل، دو نوع مدل هنجاری قابل تشخیص است: مدل‌های بهینه‌سازی و مدل‌های نظری بازی. در مدل‌های بهینه‌سازی، وظیفه اصلی توسعه راه‌حل‌ها از نظر فنی به حداکثر کردن یا کمینه‌سازی دقیق معیار کارایی کاهش می‌یابد، یعنی. چنین مقادیری از متغیرهای کنترل شده تعیین می شود که در آن معیار کارایی به یک مقدار شدید (حداکثر یا حداقل) می رسد.

برای توسعه راه‌حل‌های نمایش داده‌شده توسط مدل‌های بهینه‌سازی، همراه با روش‌های متغیر کلاسیک و جدید (جستجوی افراطی)، روش‌های برنامه‌نویسی ریاضی (خطی، غیرخطی، پویا) بیشترین کاربرد را دارند. مدل نظری بازی با تعدد تعداد اضلاع (حداقل دو) مشخص می شود. اگر دو حزب با منافع متضاد وجود داشته باشد، از نظریه بازی استفاده می شود، اگر تعداد احزاب بیش از دو باشد و ائتلاف و سازش بین آنها غیرممکن باشد، از نظریه بازی های غیر ائتلافی استفاده می شود. nافراد

6. بسته به وجود یا عدم وجود عوامل تصادفی (یا نامطمئن)، وجود دارد قطعی و تصادفیمدل های ریاضی در مدل‌های قطعی، تمام روابط، متغیرها و ثابت‌ها دقیقاً مشخص می‌شوند که منجر به یک تعریف بدون ابهام از تابع حاصل می‌شود. یک مدل قطعی در مواردی ساخته می‌شود که عوامل مؤثر بر نتیجه عملیات، خود را به اندازه‌گیری یا ارزیابی دقیق کافی می‌رسانند، و عوامل تصادفی یا وجود ندارند یا می‌توان از آنها چشم پوشی کرد.

اگر برخی یا همه پارامترهای موجود در مدل به طور ماهیت خود متغیرهای تصادفی یا توابع تصادفی باشند، مدل متعلق به کلاس مدل‌های تصادفی است. در مدل‌های تصادفی، قوانین توزیع متغیرهای تصادفی تنظیم می‌شوند، که منجر به تخمین احتمالی تابع حاصل می‌شود و واقعیت به‌عنوان یک فرآیند تصادفی خاص نمایش داده می‌شود که سیر و نتیجه آن با ویژگی‌های خاصی از متغیرهای تصادفی توصیف می‌شود: انتظارات ریاضی. ، واریانس ها، توابع توزیع و غیره ساخت چنین مدلی در صورتی امکان‌پذیر است که مطالب واقعی کافی برای ارزیابی توزیع‌های احتمال لازم وجود داشته باشد یا اگر تئوری پدیده مورد بررسی به فرد اجازه دهد که این توزیع‌ها را به صورت نظری (بر اساس فرمول‌های نظریه احتمال، قضایای حدی و غیره) تعیین کند. .).

7. بسته به اهداف مدل سازی وجود دارد توصیفی، بهینه سازی و مدیریتمدل ها. در مدل های توصیفی (از لاتین descriptio - description)، قوانین تغییر پارامترهای مدل بررسی می شود. به عنوان مثال، مدل حرکت یک نقطه مادی تحت تأثیر نیروهای اعمال شده بر اساس قانون دوم نیوتن:. با تعیین موقعیت و شتاب یک نقطه در یک لحظه معین از زمان (پارامترهای ورودی)، جرم (پارامتر ذاتی) و قانون تغییرات نیروهای وارده (تأثیر خارجی)، می توان مختصات نقطه را تعیین کرد. سرعت در هر لحظه در زمان (داده های خروجی).

مدل های بهینه سازی برای تعیین بهترین (بهینه)، بر اساس یک معیار خاص، پارامترهای شی شبیه سازی شده یا روش های کنترل این شی مورد استفاده قرار می گیرند. مدل‌های بهینه‌سازی با استفاده از یک یا چند مدل توصیفی ساخته می‌شوند و چندین معیار برای تعیین بهینه دارند. محدودیت هایی در قالب برابری ها یا نابرابری های مربوط به ویژگی های شی یا فرآیند مورد بررسی را می توان در محدوده مقادیر پارامترهای ورودی اعمال کرد. نمونه ای از یک مدل بهینه سازی، جمع آوری یک جیره غذایی در یک رژیم غذایی خاص است (محتوای کالری یک محصول، مقادیر قیمت هزینه و غیره به عنوان داده ورودی عمل می کنند).

مدل‌های مدیریتی برای تصمیم‌گیری در حوزه‌های مختلف فعالیت هدفمند انسانی استفاده می‌شوند، زمانی که چندین گزینه از کل مجموعه جایگزین‌ها انتخاب می‌شوند و فرآیند کلی تصمیم‌گیری دنباله‌ای از چنین جایگزین‌هایی است. به عنوان مثال، انتخاب یک گزارش برای ارتقاء از چندین تهیه شده توسط دانش آموزان. پیچیدگی مشکل هم در عدم قطعیت در مورد داده های ورودی (یک گزارش به طور مستقل تهیه شده است یا از کار شخص دیگری استفاده شده است) و هم در اهداف (ماهیت علمی کار و ساختار آن، سطح ارائه و سطح آموزش است. دانش آموز، نتایج آزمایش و نتایج به دست آمده). از آنجایی که بهینه بودن تصمیم اتخاذ شده در یک موقعیت را می توان به روش های مختلفی تفسیر کرد، شکل معیار بهینه بودن در مدل های مدیریتی از قبل مشخص نیست. روش‌های شکل‌گیری معیارهای بهینه بسته به نوع عدم قطعیت در نظریه انتخاب و تصمیم‌گیری بر اساس نظریه بازی و تحقیق در عملیات در نظر گرفته می‌شود.

8. با روش تحقیق تشخیص دهید تحلیلی، عددی و شبیه سازیمدل ها. یک مدل تحلیلی یک توصیف رسمی از یک سیستم است که به فرد اجازه می دهد تا با استفاده از یک دستگاه ریاضی شناخته شده، یک راه حل صریح برای یک معادله به دست آورد. مدل عددی با وابستگی مشخص می شود که تنها راه حل های عددی جزئی را برای شرایط اولیه خاص و پارامترهای کمی مدل اجازه می دهد. مدل شبیه‌سازی مجموعه‌ای از توصیفات سیستم و تأثیرات خارجی، الگوریتم‌هایی برای عملکرد سیستم یا قوانین تغییر وضعیت سیستم تحت تأثیر اغتشاشات خارجی و داخلی است. این الگوریتم‌ها و قوانین استفاده از روش‌های ریاضی موجود در حل عددی و تحلیلی را ممکن نمی‌سازند، اما امکان شبیه‌سازی فرآیند عملکرد سیستم و تثبیت ویژگی‌های مورد نظر را فراهم می‌کنند. علاوه بر این، برخی از مدل‌های تحلیلی و شبیه‌سازی با جزئیات بیشتری مورد بررسی قرار خواهند گرفت، مطالعه این نوع مدل‌ها با ویژگی‌های فعالیت حرفه‌ای دانش‌آموزان در جهت مشخص شده آموزش همراه است.

1.4. نمایش گرافیکی مدل های ریاضی

در ریاضیات، اشکال ارتباط بین کمیت ها را می توان با معادلات شکل یک متغیر مستقل (استدلال) نشان داد. y- متغیر وابسته (تابع). در تئوری مدلسازی ریاضی به متغیر مستقل عامل و متغیر وابسته را پاسخ می گویند. علاوه بر این، بسته به منطقه ساخت یک مدل ریاضی، اصطلاحات تا حدودی اصلاح می شود. چند نمونه از تعاریف عامل و پاسخ، بسته به رشته تحصیلی، در جدول 1 نشان داده شده است.

جدول 1. برخی از تعاریف مفاهیم "عامل" و "پاسخ"

با ارائه یک مدل ریاضی به صورت گرافیکی، عوامل و پاسخ ها را به عنوان متغیرهایی در نظر می گیریم که مقادیر آنها متعلق به مجموعه اعداد واقعی است.

نمایش گرافیکی مدل ریاضیمقداری سطح پاسخ مربوط به آرایش نقاط در است k-فضای عامل بعدی ایکس... فقط سطوح پاسخ یک بعدی و دو بعدی قابل تجسم هستند. در مورد اول، این مجموعه ای از نقاط در یک صفحه واقعی است، و در مورد دوم، مجموعه ای از نقاط که سطحی را در فضا تشکیل می دهند (برای نشان دادن چنین نقاطی، استفاده از خطوط تراز راحت است - راهی برای نشان دادن برجستگی سطحی یک فضای ساخته شده در فضای فاکتور دو بعدی ایکس(شکل 8).

ناحیه ای که سطح پاسخ در آن تعریف می شود نامیده می شود دامنه تعریف X *.این منطقه، به عنوان یک قاعده، تنها بخشی از کل فضای عامل است. ایکس(ایکس*Ì ایکس) و با استفاده از محدودیت های اعمال شده بر روی متغیرهای کنترلی تخصیص داده می شود x iبه صورت برابر نوشته شده است:

x i = C i , من = 1,…, متر;

f j(ایکس) = سی جی, j = 1,…, ل

یا نابرابری ها:

x iحداقل پوند x i£ x iحداکثر، من= 1,…, ک;

f j(ایکس) £ سی جی, j = 1,…, n,

در این مورد، توابع f j(ایکس) می تواند به طور همزمان به همه متغیرها و به بخشی از آنها بستگی داشته باشد.

محدودیت‌هایی مانند نابرابری‌ها یا محدودیت‌های فیزیکی بر روی فرآیندهای شی مورد مطالعه (به عنوان مثال، محدودیت‌های دما)، یا محدودیت‌های فنی مرتبط با شرایط عملیاتی تأسیسات (به عنوان مثال، محدودیت سرعت برش، محدودیت‌های ذخایر مواد خام) را مشخص می‌کند. .

امکانات مطالعه مدل‌ها اساساً به ویژگی‌های (تسکین) سطح پاسخ، به ویژه به تعداد "راس" موجود روی آن و کنتراست آن بستگی دارد. تعداد قله ها (دره ها) را تعیین می کند مدالیتهسطوح پاسخ اگر در حوزه تعریف در سطح پاسخ یک راس (دره) وجود داشته باشد، مدل نامیده می شود تک وجهی.

ماهیت تغییر تابع در این مورد می تواند متفاوت باشد (شکل 9).

مدل می تواند نقاط شکست نوع اول (شکل 9 (الف))، نقاط شکست نوع دوم (شکل 9 (ب)) داشته باشد. شکل 9 (ج) یک مدل تک وجهی قابل تمایز پیوسته را نشان می دهد.

برای هر سه مورد ارائه شده در شکل 9، شرط کلی یکنواختی برآورده شده است:

اگر W (x *) یک انتها از W باشد، از شرط x 1< x 2 < x* (x 1 >x 2> x *) به دنبال W (x 1) است< W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) >W (x 2)> W (x *)، اگر اکسترموم یک مینیمم باشد، یعنی با افزایش فاصله از نقطه فوقانی، مقدار تابع W (x) به طور مداوم کاهش می یابد (افزایش می یابد).

همراه با مدل های تک وجهی، مدل های چند وجهی در نظر گرفته می شوند (شکل 10).

یکی دیگر از ویژگی های مهم سطح پاسخ کنتراست آن است که حساسیت تابع حاصل را به تغییرات عوامل نشان می دهد. کنتراست با مقادیر مشتقات مشخص می شود. بیایید ویژگی های کنتراست را با استفاده از مثال سطح پاسخ دو بعدی نشان دهیم (شکل 11).

نقطه آواقع در یک "شیب" که کنتراست یکسان را برای همه متغیرها مشخص می کند x i (من= 1،2)، نقطه بدر یک "دره" قرار دارد که در آن کنتراست متفاوت برای متغیرهای مختلف (ما تابع شرطی ضعیفی داریم)، ​​نقطه بادر یک "فلات" قرار دارد که در آن کنتراست برای همه متغیرها کم است x iنزدیکی اکستروم را نشان می دهد.

1.5. روش های اساسی برای ساخت مدل های ریاضی

اجازه دهید طبقه بندی روش های نمایش رسمی سیستم های مدل شده Volkova V.N. و Denisova AA نویسندگان روش های تحلیلی، آماری، نظری مجموعه، زبانی، منطقی و گرافیکی را برجسته می کنند. اصطلاحات اساسی، نمونه‌هایی از نظریه‌های توسعه‌یافته بر اساس کلاس‌های روش‌های توصیف‌شده، و همچنین دامنه و امکانات کاربرد آنها در پیوست 1 ارائه شده‌اند.

در عمل سیستم های مدل سازی، روش های تحلیلی و آماری بیشترین استفاده را دارند.

1) روش های تحلیلی برای ساخت مدل های ریاضی.

دستگاه اصطلاحی روش های تحلیلی برای ساخت مدل های ریاضی مبتنی بر مفاهیم ریاضیات کلاسیک (فرمول، تابع، معادله و سیستم معادلات، نابرابری، مشتق، انتگرال و غیره) است. این روش ها با وضوح و اعتبار اصطلاحات با استفاده از زبان ریاضیات کلاسیک مشخص می شوند.

بر اساس مفاهیم تحلیلی، نظریه‌های ریاضی مانند تحلیل ریاضی کلاسیک (مثلاً روش‌های مطالعه توابع) و مبانی مدرن برنامه‌نویسی ریاضی و نظریه بازی‌ها پدید آمده و توسعه یافته‌اند. علاوه بر این، برنامه‌ریزی ریاضی (خطی، غیرخطی، دینامیکی، عدد صحیح و غیره) شامل هر دو ابزار تنظیم مسئله است و بر خلاف تعدادی از حوزه‌های دیگر ریاضی، امکان اثبات کفایت مدل را گسترش می‌دهد. ایده های برنامه ریزی ریاضی بهینه برای حل مسائل اقتصادی (به ویژه حل مسئله برش بهینه ورق تخته سه لا) توسط L.V. کانتوروویچ.

اجازه دهید ویژگی های روش را با استفاده از یک مثال توضیح دهیم.

مثال.فرض کنید برای تولید دو نوع محصول آو Vشما باید از سه نوع مواد اولیه استفاده کنید. در عین حال برای ساخت یک واحد تولیدی از نوع آ 4 واحد مصرف می شود. مواد اولیه نوع اول 2 واحد. واحد 2 و 3 نوع 3. برای ساخت یک واحد تولیدی از نوع V 2 واحد مصرف می شود. مواد اولیه نوع 1 5 واحد. نوع 2 و 4 واحد. نوع سوم مواد اولیه 35 واحد در انبار کارخانه وجود دارد. مواد اولیه نوع 1، 43 - از 2، 40 - از نوع 3. از فروش یک واحد تولیدی از نوع آاین کارخانه 5 هزار روبل سود دارد و از فروش یک واحد تولید فرم Vسود 9 هزار روبل است. لازم است یک مدل ریاضی از مسئله ترسیم شود که حداکثر سود را فراهم می کند.

میزان مصرف هر نوع ماده اولیه برای ساخت یک واحد از این نوع محصول در جدول آورده شده است. همچنین نشان دهنده سود حاصل از فروش هر نوع محصول و مقدار کل مواد اولیه از این نوع است که می تواند توسط بنگاه مورد استفاده قرار گیرد.

اجازه دهید با نشان دادن x 1و x 2حجم محصولات تولیدی آو Vبه ترتیب. هزینه مواد درجه یک برای طرح خواهد بود 4×1 + 2x 2، و آنها نباید از سهام تجاوز کنند. 35 کیلوگرم:

4x 1 + 2x 2 35.

محدودیت در مواد درجه دوم مشابه است:

2x 1 + 5x 2 43,

و در مورد مواد کلاس سوم

3x 1 + 4x 2 40.

سود حاصل از فروش x 1واحدهای تولیدی A و x 2واحدهای تولیدی B خواهد بود z = 5x 1+ 9x 2(تابع هدف).

ما مدل مشکل را دریافت کردیم:

یک راه حل گرافیکی برای مسئله در شکل 11 نشان داده شده است.

بهینه (بهترین، یعنی حداکثر تابع z) راه حل مسئله در نقطه A است (راه حل در فصل 5 توضیح داده شده است).

گرفتش x 1=4,x 2= 7، مقدار تابع zدر نقطه A:.

بنابراین، ارزش حداکثر سود 83 هزار روبل است.

علاوه بر روش گرافیکی، تعدادی روش خاص نیز برای حل مسئله وجود دارد (مثلاً روش سیمپلکس) یا از بسته های نرم افزاری کاربردی که آنها را پیاده سازی می کنند، استفاده می شود. بسته به نوع تابع هدف، برنامه ریزی خطی و غیرخطی از هم تشخیص داده می شود، بسته به ماهیت متغیرها، برنامه ریزی اعداد صحیح تشخیص داده می شود.

ویژگی های کلی برنامه ریزی ریاضی را می توان متمایز کرد:

1) معرفی مفهوم تابع هدف و محدودیت ها ابزاری برای تنظیم مسئله هستند.

2) می توان معیارهای غیر مشابه را در یک مدل ترکیب کرد (ابعاد مختلف، در مثال - ذخایر مواد اولیه و سود).

3) مدل برنامه ریزی ریاضی اجازه می دهد تا به مرز محدوده مقادیر مجاز متغیرها بروید.

4) امکان اجرای یک الگوریتم گام به گام برای به دست آوردن نتایج (تقریبا گام به گام به راه حل بهینه).

5) وضوح، که از طریق تفسیر هندسی مسئله به دست می آید، که در مواردی که حل رسمی مشکل غیرممکن است کمک می کند.

2) روش های آماری برای ساخت مدل های ریاضی.

روش های آماری برای ساخت مدل های ریاضی رایج شد و با توسعه نظریه احتمال در قرن نوزدهم به طور گسترده مورد استفاده قرار گرفت. آنها بر اساس قوانین احتمالی رویدادهای تصادفی (تصادفی) هستند که منعکس کننده پدیده های واقعی هستند. اصطلاح "تصادفی" توضیح مفهوم "تصادفی" است، دلایل از پیش تعیین شده و قطعی مؤثر بر فرآیند را نشان می دهد و مفهوم "تصادفی" با استقلال از تأثیر یا عدم وجود چنین دلایلی مشخص می شود.

الگوهای آماری در قالب متغیرهای تصادفی گسسته و الگوهای ظاهری مقادیر آنها یا به شکل وابستگی های پیوسته توزیع رویدادها (فرآیندها) ارائه می شوند. مبانی نظری ساخت مدل های تصادفی به تفصیل در فصل 2 توضیح داده شده است.

کنترل سوالات

1. مسئله اصلی مدلسازی ریاضی را فرموله کنید.

2. تعریف مدل ریاضی را بیان کنید.

3. معایب اصلی رویکرد تجربی را در مطالعه فهرست کنید.

4. مراحل اصلی ساخت مدل را فهرست کنید.

5. انواع مدل های ریاضی را فهرست کنید.

6. توضیح مختصری در مورد انواع مدل ها ارائه دهید.

7. مدل ریاضی وقتی به صورت هندسی ارائه می شود چه شکلی به خود می گیرد؟

8. مدل های ریاضی از نوع تحلیلی چگونه مشخص می شوند؟

وظایف

1. یک مدل ریاضی برای حل مسئله بسازید و مدل را طبقه بندی کنید:

1) حداکثر ظرفیت یک سطل استوانه ای که سطح آن (بدون درب) S است را تعیین کنید.

2) شرکت تولید منظم را با تامین بدون مشکل قطعات از دو پیمانکار فرعی تضمین می کند. احتمال امتناع در تحویل از طرف اول از پیمانکاران فرعی - از طرف دوم -. احتمال شکست شرکت را بیابید.

2. مدل مالتوس (1798) تولید مثل یک جمعیت را با نرخی متناسب با اندازه آن توصیف می کند. در شکل گسسته، این قانون یک تصاعد هندسی است:; یا قانون، که به شکل معادله دیفرانسیل نوشته شده است، مدلی از رشد نمایی جمعیت است و رشد جمعیت سلولی را در غیاب هیچ محدودیتی به خوبی توصیف می کند. شرایط اولیه را تنظیم کنید و نحوه عملکرد مدل را نشان دهید.

اطلاعات اولیه در ساخت MM از فرآیندهای عملکرد سیستم ها، داده هایی در مورد هدف و شرایط عملیاتی سیستم مورد بررسی (پیش بینی شده) S است. این اطلاعات هدف اصلی مدل سازی، الزامات MM، سطح انتزاع را تعیین می کند. ، و انتخاب یک طرح مدل سازی ریاضی.

مفهوم طرح ریاضیبه ما اجازه می دهد تا ریاضیات را نه به عنوان یک روش محاسبه، بلکه به عنوان یک روش تفکر، وسیله ای برای فرمول بندی مفاهیم در نظر بگیریم، که در انتقال از یک توصیف شفاهی به یک نمایش رسمی از روند عملکرد آن در قالب مقداری MM

هنگام استفاده از تشک. طرح، اول از همه، محقق سیستم باید به سؤال کفایت نمایش در قالب طرح های خاص از فرآیندهای واقعی در سیستم مورد مطالعه علاقه مند باشد و نه امکان دستیابی به پاسخ (نتیجه راه حل) به یک سوال تحقیقی خاص

به عنوان مثال، نمایش فرآیند عملکرد یک ICS برای استفاده جمعی در قالب شبکه ای از طرح های صف این امکان را فراهم می کند تا فرآیندهای رخ داده در سیستم را به خوبی توصیف کنیم، اما با قوانین پیچیده جریان های ورودی و جریان های خدمات، دستیابی به نتایج را به شکل صریح ممکن نمی کند.

طرح ریاضیرا می توان به عنوان پیوندی در گذار از یک توصیف معنادار به رسمی از روند عملکرد سیستم با در نظر گرفتن تأثیر محیط خارجی تعریف کرد. آن ها یک زنجیره وجود دارد: یک مدل توصیفی - یک طرح ریاضی - یک مدل شبیه سازی.

هر سیستم خاص S با مجموعه ای از ویژگی ها مشخص می شود که به عنوان مقادیری درک می شود که رفتار شی مدل شده (سیستم واقعی) و شرایط عملکرد آن در تعامل با محیط خارجی (سیستم) E را نشان می دهد.

هنگام ساخت MM سیستم S، لازم است که سؤال کامل بودن آن حل شود. کامل بودن مدل سازی عمدتاً با انتخاب مرزهای "سیستم S - محیط E" تنظیم می شود. همچنین، مشکل ساده سازی MM باید حل شود، که به برجسته کردن ویژگی های اصلی سیستم، دور انداختن اهداف ثانویه مدل سازی کمک می کند.

MM شی شبیه سازی، یعنی. سیستم S را می توان به عنوان مجموعه ای از کمیت ها نشان داد که فرآیند عملکرد یک سیستم واقعی را توصیف می کند و در حالت کلی زیر مجموعه های زیر را تشکیل می دهد:

مجموعه ای از X - تأثیرات ورودی بر Sх i Х, i = 1… n x;

مجموع محیط خارجی بر v l V، l = 1… n v;

مجموعه پارامترهای داخلی (ذاتی) سیستم h k H, k = 1… n h;

مجموعه مشخصات خروجی سیستم y j Y, j = 1… n y.

در مجموعه های ذکر شده، کمیت های کنترل شده و کنترل نشده قابل تشخیص هستند. به طور کلی، X، V، H، Y مجموعه‌های جدایی هستند که شامل اجزای قطعی و تصادفی هستند. اقدامات ورودی E و پارامترهای داخلی S هستند متغیرهای مستقل (برون زا)ویژگی های خروجی - متغیرهای وابسته (درون زا)... فرآیند عملیات S توسط اپراتور F S توضیح داده شده است:

(1)

مسیر خروجی F S - قانون عملکرد S.F S می تواند تابع، تابعی، شرایط منطقی، الگوریتم، جدول یا توصیف شفاهی قوانین باشد.

الگوریتم عملکرد A S - روشی برای به دست آوردن ویژگی های خروجی با در نظر گرفتن تأثیرات ورودی بدیهی است که همان FS را می توان به روش های مختلف پیاده سازی کرد، یعنی. با استفاده از A S های مختلف.

رابطه (1) یک توصیف ریاضی از رفتار شیء S مدل سازی در زمان t است، یعنی. آن را منعکس می کند خواص پویا... (1) یک مدل پویا از سیستم S است. برای شرایط ایستا MM نگاشت های X، V، H به Y وجود دارد، یعنی. (2)

روابط (1)، (2) را می توان با فرمول ها، جداول و غیره مشخص کرد.

همچنین روابط در برخی موارد می تواند از طریق ویژگی های سیستم در مقاطع خاصی از زمان به دست آید که به آنها حالت گفته می شود.

حالت های سیستم S با بردارها مشخص می شوند:

و ، جایی که در لحظه t l  (t 0, T)

در زمان t ll  (t 0, T) و غیره. k = 1 ... n Z.

Z 1 (t)، Z 2 (t)... Z k (t) مختصات یک نقطه در فضای فاز k بعدی هستند. هر اجرای فرآیند با یک مسیر فاز مشخص مطابقت دارد.

مجموعه تمام مقادیر ممکن حالت ها () فضای حالت شی مدل سازی Z و z k Z نامیده می شود.

حالت سیستم S در بازه زمانی t 0 ، که در آن ورودی، پارامترهای داخلی و اثرات محیط خارجی که در بازه زمانی t * - t 0 با استفاده از 2 معادله برداری رخ داده است:

; (3)

در غیر این صورت: . (5)

زمان در حالت مد. S را می توان در بازه شبیه سازی (t 0, T) هم پیوسته و هم گسسته در نظر گرفت، یعنی. بر روی قطعه ای به طول t کوانتیزه می شود.

بنابراین، در زیر MM یک شی، مجموعه محدودی از متغیرها () به همراه ارتباطات ریاضی بین آنها و ویژگی ها را معنا می کنیم.

مدلسازی قطعی نامیده می شود اگر عملگرهای F، Ф قطعی باشند، یعنی. برای یک ورودی خاص، خروجی قطعی است. مدل‌سازی قطعی یک مورد خاص از مدل‌سازی تصادفی است. در عمل، مدلسازی اشیاء در زمینه تجزیه و تحلیل سیستم در مراحل اولیه تحقیق برای استفاده از طرح های استاندارد ریاضی منطقی تر است: تفاوت. معادلات، اتوماتای ​​محدود و احتمالی، QS و غیره.

تسخیر نشده است. چنین درجه ای از عمومیت مانند مدل های (3)، (4)، معمولی طرح های ریاضیمزیت سادگی و وضوح را دارند، اما با محدود شدن قابل توجه دامنه کاربرد.

مانند قطعیمدل‌ها، زمانی که یک واقعیت تصادفی در مطالعه در نظر گرفته نمی‌شود، از معادلات دیفرانسیل، انتگرال و سایر معادلات برای نمایش سیستم‌هایی که در زمان پیوسته عمل می‌کنند، و از طرح‌های اتومات محدود و تفاضل محدود برای نمایش سیستم‌هایی که در زمان گسسته کار می‌کنند استفاده می‌شود.

در ابتدای مدل‌های تصادفی (با در نظر گرفتن یک عامل تصادفی)، از اتومات‌های احتمالی برای نمایش سیستم‌هایی با زمان گسسته و از سیستم‌های صف (QS) برای نمایش سیستم‌هایی با زمان پیوسته استفاده می‌شود. به اصطلاح تجمیعمدل ها.

مدل های انبوه (سیستم ها) توصیف طیف گسترده ای از اشیاء تحقیقاتی را با بازتابی از ماهیت سیستمی این اشیاء ممکن می سازند. با یک توصیف کلی است که یک شی پیچیده به تعداد محدودی از قطعات (زیر سیستم ها) تقسیم می شود، در حالی که اتصالات را حفظ می کند و از تعامل قطعات اطمینان می یابد.

16 طرح های ریاضی برای سیستم های مدل سازی

رویکردهای اصلی برای ساخت مدل های ریاضی سیستم. مدل‌های قطعی پیوسته مدل های گسسته - قطعی مدل های تصادفی گسسته مدل های تصادفی پیوسته مدل های شبکه مدل های ترکیبی

رویکردهای اصلی برای ساخت مدل های ریاضی سیستم.

اطلاعات اولیه در ساخت مدل های ریاضی فرآیندهای عملکرد سیستم ها، داده های مربوط به هدف و شرایط عملیاتی سیستم مورد بررسی (طراحی شده) است. اس.

طرح های ریاضی

فرآیندهای واقعی در قالب نمودارهای خاص نمایش داده می شوند. تشک. طرح ها - انتقال از یک توصیف معنادار به یک توصیف رسمی از سیستم، با در نظر گرفتن تأثیر محیط.

مدل شیء رسمی

مدل شی شبیه سازی،

یعنی سیستم ها اس،را می توان به عنوان مجموعه ای از مقادیر نشان داد،

توصیف فرآیند عملکرد یک سیستم واقعی و تولید

به طور کلی زیر مجموعه های زیر:

تجمیع اقدامات ورودیدر هر سیستم

ایکسمن، سابق، (ه-شخصیت متعلق است)من=1; nx

تجمیع تاثیرات محیطی

vl eVl = 1؛ nv

تجمیع پارامترهای داخلی (خود).سیستم های

hkeHk = 1؛ nh

تجمیع ویژگی های خروجیسیستم های

yJeYj = 1؛ ny

می توانید بین متغیرهای مدیریت شده و مدیریت نشده تمایز قائل شوید.

هنگام مدل‌سازی سیستم‌ها، تأثیرات ورودی، تأثیرات محیطی و پارامترهای داخلی شامل مؤلفه‌های قطعی و تصادفی هستند.

تأثیرات ورودی، تأثیرات محیطی Eو پارامترهای داخلی سیستم هستند متغیرهای مستقل (برون زا)

فرآیند عملیات سیستم اسبه موقع توسط اپراتور شرح داده شده است Fsکه در حالت کلی متغیرهای برون زا را مطابق با روابط شکل به درون زا تبدیل می کند:

y(t) = Fs (ایکس، v، h، t) - همه با veکتوری

قانون عملکرد سیستم Fs را می توان به صورت تابع، شرایط عملکردی، منطقی، به صورت الگوریتمی و جدولی و یا به صورت قانون مطابقت کلامی مشخص کرد.

مفهوم الگوریتم عملکرد به عنوان -روشی برای به دست آوردن ویژگی های خروجی با در نظر گرفتن اقدامات ورودی، اثرات محیط خارجی و پارامترهای ذاتی سیستم.

حالات سیستم نیز معرفی می شوند - ویژگی های سیستم در مقاطع زمانی خاص.

مجموع تمام مقادیر ممکن حالت ها فضای حالت یک شی را تشکیل می دهد.

بنابراین، زنجیره معادلات شی "ورودی - حالات - خروجی" به شما امکان می دهد ویژگی های سیستم را تعیین کنید:

بنابراین، تحت مدل ریاضی شی(سیستم واقعی) زیر مجموعه محدودی از متغیرها را درک می کند (x (t)، v (t)، h(t)) همراه با روابط ریاضی بین آنها و ویژگی ها y (t).

طرح های معمولی

در مراحل اولیه مطالعه، از طرح های استاندارد استفاده می شود. : معادلات دیفرانسیل، اتوماتای ​​محدود و احتمالی، سیستم های صف، شبکه های پتری و غیره.

معادلات دیفرانسیل، انتگرال، انتگرال دیفرانسیل و سایر معادلات برای نشان دادن سیستم‌هایی که در زمان پیوسته کار می‌کنند به عنوان مدل‌های قطعی، زمانی که عوامل تصادفی در مطالعه در نظر گرفته نمی‌شوند، استفاده می‌شوند، و از اتوماتای ​​محدود و طرح‌های تفاضل محدود برای نمایش سیستم‌هایی استفاده می‌شود که در آن کار می‌کنند. زمان گسسته ....

اتومات های احتمالی به عنوان مدل های تصادفی (با در نظر گرفتن عوامل تصادفی) برای نمایش سیستم ها با زمان گسسته و سیستم های صف برای نمایش سیستم های با زمان پیوسته و غیره استفاده می شوند.

بنابراین، هنگام ساخت مدل‌های ریاضی فرآیندهای عملکرد سیستم‌ها، رویکردهای اصلی زیر قابل تشخیص است: پیوسته - قطعی (به عنوان مثال، معادلات دیفرانسیل). گسسته - قطعی (اتوماتای ​​محدود)؛ تصادفی گسسته (اتوماتای ​​احتمالی)؛ پیوسته تصادفی (سیستم های صف)؛ تعمیم یافته یا جهانی (سیستم های کل).

مدل‌های قطعی پیوسته

اجازه دهید ویژگی های رویکرد قطعی پیوسته را با استفاده از یک مثال با استفاده از Mat در نظر بگیریم. مدل ها معادلات دیفرانسیل.

معادلات دیفرانسیل معادلاتی هستند که در آنها توابع یک متغیر یا چند متغیر ناشناخته هستند و معادله نه تنها توابع آنها را شامل می شود، بلکه مشتقات آنها از مرتبه های مختلف را شامل می شود.

اگر مجهولات توابع چندین متغیر باشند، معادلات - نامیده می شوند. معادلات دیفرانسیل جزئیاگر توابع ناشناخته یک متغیر مستقل، پس معادلات دیفرانسیل معمولی

رابطه ریاضی عمومی برای سیستم های قطعی:

مدل های گسسته - قطعی

DDM قابل بررسی است تئوری خودکار (TA)... TA بخشی از سایبرنتیک نظری است که دستگاه هایی را مطالعه می کند که اطلاعات گسسته را پردازش می کنند و حالت های داخلی خود را تنها در زمان های قابل قبول تغییر می دهند.

ماشین حالت خودکار نامیده می شود که در آن مجموعه حالت های داخلی و سیگنال های ورودی (و در نتیجه مجموعه سیگنال های خروجی) مجموعه های محدودی هستند.

ماشین حالت محدوددارای بسیاری از حالت های داخلی و سیگنال های ورودی است که مجموعه های محدودی هستند. دستگاهتوسط طرح F ارائه شده است: F = ,

که در آن z، x، y به ترتیب مجموعه های محدودی از سیگنال های ورودی و خروجی (الفبا) و مجموعه محدودی از حالت های داخلی (الفبا) هستند. z0ÎZ - حالت اولیه؛ j (z، x) - تابع انتقال؛ y (z، x) - تابع خروج.

اتومات در زمان خودکار گسسته کار می کند، ممان های آن چرخه هستند، یعنی فواصل زمانی مساوی در مجاورت یکدیگر، که هر کدام مربوط به مقادیر ثابت ورودی، سیگنال خروجی و حالت داخلی است. یک خودکار انتزاعی یک کانال ورودی و یک کانال خروجی دارد.

برای تعریف یک اتومات F، لازم است که تمام عناصر مجموعه F = توضیح داده شود ، یعنی الفبای ورودی، داخلی و خروجی، و همچنین توابع انتقال و خروجی. برای تنظیم کار F - اتوماتا، اغلب از روش های جدولی، گرافیکی و ماتریسی استفاده می شود.

در روش جدولی تنظیم، از جداول انتقال و خروجی استفاده می شود که ردیف های آنها با سیگنال های ورودی خودکار و ستون ها به حالت های آن مطابقت دارند.

شرح کار اف- مسلسل مایلزجداول انتقال j و خروجی y با جدول (1) نشان داده شده است، و شرح F - اتومات مور - با جدول انتقال (2) نشان داده شده است.

میز 1

انتقال ها
…………………………………………………………
…………………………………………………………

جدول 2

…………………………………………………………

نمونه هایی از روش جدولی تعیین F - خودکار Mealy F1 با سه حالت، دو سیگنال ورودی و دو خروجی، در جدول 3 و برای F - اتومات Moore F2 - در جدول 4 آورده شده است.

جدول 3

انتقال ها

جدول 4

روش دیگری برای تعریف ماشین حالت محدود از مفهوم گراف جهت دار استفاده می کند. گراف خودکار مجموعه‌ای از رئوس مربوط به حالت‌های مختلف خودکار است و رئوس کمان‌های نمودار مربوط به انتقال‌های خاص خودکار را به هم متصل می‌کند. اگر سیگنال ورودی xk باعث انتقال از حالت zi به حالت zj شود، در نمودار خودکار قوس اتصال راس zi به راس zj با xk نشان داده می شود. برای تنظیم تابع انتقال، قوس های نمودار باید با سیگنال های خروجی مربوطه علامت گذاری شوند.

برنج. 1. نمودارهای اتوماتای ​​Mealy (a) و Moore (b).

هنگام حل مسائل مدلسازی، تعریف ماتریسی از یک ماشین حالت محدود اغلب شکل راحت تری است. در این حالت، ماتریس اتصالات خودکار یک ماتریس مربع C = || است cij || که ردیف های آن مربوط به حالت های اولیه و ستون ها مربوط به حالت های انتقال است.

مثال. برای اتومات مور F2 که قبلا در نظر گرفته شده بود، ماتریس حالت و بردار خروجی را می نویسیم:

;

مدل های تصادفی گسسته

فرض کنید Ф مجموعه تمام جفت های ممکن شکل (zk, yi) باشد، که در آن уi عنصری از خروجی است.

زیر مجموعه Y. ما نیاز داریم که هر عنصری از مجموعه G القا کند

در مجموعه Ф برخی از قوانین توزیع به شکل زیر:

عناصری از Ф (z1، y2) (z1، y2zk، yJ-1) (zK، yJ)

(xi، zs) b11 b1bK (J-1) bKJ

شبکه های اطلاعاتی "href =" / text / kategori / informatcionnie_seti / "rel =" bookmark "> پردازش اطلاعات رایانه ای از پایانه های راه دور و غیره.

در همان زمان، معمولی برای

عملکرد چنین اشیایی ظاهر تصادفی برنامه ها (نیازمندی ها) است

خدمات و خاتمه خدمات در زمان های تصادفی،

یعنی ماهیت تصادفی فرآیند عملکرد آنها.

QS به عنوان یک سیستم پویا شناخته می شود که برای سرویس دهی کارآمد یک جریان تصادفی از برنامه های کاربردی با منابع سیستم محدود طراحی شده است. ساختار تعمیم یافته QS در شکل 3.1 نشان داده شده است.

برنج. 3.1. طرح SMO.

ادعاهای همگنی که به ورودی QS می رسند به انواع تقسیم می شوند، بسته به علت ایجاد کننده، شدت جریان ادعاهای نوع i (i = 1 ... M) با li نشان داده می شود. مجموع برنامه های کاربردی از همه نوع جریان ورودی QS است.

سرویس اپلیکیشن ها انجام می شود مترکانال ها

بین کانال های خدمات عمومی و تخصصی تمایز قائل شوید. برای یک کانال جهانی از نوع j، توابع توزیع Fji (t) مدت زمان رسیدگی به ادعاهای یک نوع دلخواه شناخته شده در نظر گرفته می شوند. برای کانال های تخصصی، توابع توزیع برای مدت زمان سرویس کانال های انواع خاصی از ادعاها تعریف نشده است، تخصیص این ادعاها به این کانال.

Q- مدارها را می توان به صورت تحلیلی و با مدل های شبیه سازی بررسی کرد. دومی تطبیق پذیری زیادی را فراهم می کند.

بیایید مفهوم صف را در نظر بگیریم.

در هر عمل اولیه خدمات، دو جزء اصلی قابل تشخیص است: انتظار خدمت توسط ادعا و خدمات واقعی به ادعا. این را می توان به شکل یک دستگاه سرویس i-امین Pi، متشکل از یک انباشته ادعا، که در آن می تواند به طور همزمان li = 0 ... ادعاهای LiH وجود داشته باشد، که در آن LiH ظرفیت انباشته کننده i است، و یک کانال خدمات ادعایی، کی.

برنج. 3.2. نمودار شماتیک دستگاه CMO

هر عنصر از دستگاه سرویس Pi جریان هایی از رویدادها را دریافت می کند: جریان ادعاهای wi به انباشتگر Hi، و جریان سرویس ui به کانال ki.

با جریان حوادث(PS) دنباله ای از رویدادها است که یکی پس از دیگری در برخی لحظات تصادفی در زمان رخ می دهد. بین جریان رویدادهای همگن و ناهمگن تمایز قائل شوید. همگن PS فقط با لحظه‌های رسیدن این رویدادها (لحظه‌های ایجادکننده) مشخص می‌شود و با دنباله (tn) = (0 £ t1 £ t2… £ tn £…)، که tn لحظه رسیدن n ام است، داده می‌شود. رویداد - یک عدد واقعی غیر منفی. TSA همچنین می تواند به عنوان دنباله ای از فواصل زمانی بین رویدادهای n ام و n-1-امین (tn) مشخص شود.

ناهمگون PS یک دنباله نامیده می شود (tn، fn)، که در آن tn - باعث ایجاد لحظات می شود. fn - مجموعه ای از ویژگی های رویداد. به عنوان مثال، می توان آن را به یک یا منبع دیگری از ادعاها، وجود اولویت، امکان سرویس دهی به یک یا آن نوع کانال و غیره اختصاص داد.

ادعاهای ارائه شده توسط کانال ki و ادعاهایی که به دلایل مختلف سرور Pi را ترک کردند، جریان خروجی yiÎY را تشکیل می دهند.

فرآیند عملکرد دستگاه سرویس Pi را می توان به عنوان فرآیند تغییر حالات عناصر آن در زمان Zi (t) نشان داد. انتقال به وضعیت جدید برای Pi به معنای تغییر در تعداد درخواست‌هایی است که در آن وجود دارد (در کانال ki و انباشتگر Hi). که بردار حالات برای Pi به شکل زیر است:، حالات درایو کجا هستند، (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif "width =" 24 height = 28" height = " 28 "> = 1 - یک درخواست در حافظه وجود دارد ...، = - فضای ذخیره به طور کامل اشغال شده است؛ - وضعیت کانال ki (= 0 - کانال آزاد است، = 1 کانال مشغول است).

نمودارهای Q از اشیاء واقعی با ترکیب بسیاری از دستگاه های خدمات اولیه Pi تشکیل می شوند. اگر کی دستگاه های سرویس مختلف به صورت موازی متصل شوند، سرویس چند کاناله (مدار Q چند کانالی) وجود دارد و اگر دستگاه های Pi و ترکیبات موازی آنها به صورت سری به هم متصل شوند، سرویس چند فازی انجام می شود (چند فاز Q- جریان).

برای تعریف یک طرح Q، همچنین لازم است الگوریتم هایی برای عملکرد آن توصیف شود، که قوانین رفتار ادعاها را در موقعیت های مبهم مختلف تعیین می کند.

بسته به محل وقوع چنین موقعیت‌هایی، الگوریتم‌هایی (رشته‌ها) برای انتظار ادعاها در انباشته‌گر Нi و برای سرویس ادعاها در کانال ki وجود دارد. ناهمگونی جریان برنامه ها با معرفی یک کلاس اولویت - اولویت های نسبی و مطلق در نظر گرفته می شود.

که یک طرح Q که فرآیند عملکرد یک QS با هر پیچیدگی را توصیف می کند به طور منحصر به فرد به عنوان مجموعه ای از مجموعه ها تعریف می شود: Q = .

مدل های شبکه

برای توصیف رسمی ساختار و تعامل سیستم‌ها و فرآیندهای موازی و همچنین برای تحلیل روابط علت و معلولی در سیستم‌های پیچیده، شبکه‌های پتری به نام طرح‌های N استفاده می‌شوند.

به طور رسمی، طرح N با چهار برابر از فرم داده می شود

N = ,

که در آن B مجموعه ای محدود از نمادها به نام موقعیت است، B ≠ O.

D مجموعه محدودی از نمادها به نام انتقال D ≠ O است،

B ∩ D ≠ O; I - تابع ورودی (تابع وقوع مستقیم)

I: B × D → (0, 1); О - تابع خروجی (تابع وقوع معکوس)،

О: B × D → (0، 1). بنابراین، تابع ورودی I انتقال dj را به آن ترسیم می کند

مجموعه موقعیت‌های ورودی bj I (dj) و تابع خروجی O نقشه می‌شوند

انتقال dj به مجموعه موقعیت های خروجی bj О (dj). برای هر انتقال

dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif "width =" 13 "height =" 13 "> B | I (bi, dj) = 1)،

O (dj) = (bi B | O (dj, bi) = 1)،

i = 1، n; j = 1، m; n = | B |، m = | D |.

به طور مشابه، برای هر موقعیت bi B، تعاریف معرفی شده است

مجموعه ای از انتقال های ورودی موقعیت I (bi) و انتقال خروجی

موقعیت O (bi):

I (bi) = (dj D | I (dj, bi,) = 1),

O (bi) = (dj D | O (bi, dj) = 1).

شبکه پتری یک گراف جهت دار دوبخشی است که از دو نوع راس تشکیل شده است - موقعیت ها و انتقال ها که توسط کمان به هم متصل می شوند؛ رئوس از همان نوع نمی توانند مستقیماً به هم متصل شوند.

نمونه ای از شبکه پتری. دایره های سفید موقعیت ها، راه راه ها - انتقال، دایره های سیاه - برچسب ها را نشان می دهد.

قوس‌های جهت‌گیری موقعیت‌ها و انتقال‌ها را به هم متصل می‌کنند و هر کمان از عنصری از یک مجموعه (موقعیت یا انتقال) به عنصری از مجموعه دیگر هدایت می‌شود.

(انتقال یا موقعیت). یک نمودار N-design یک چند گراف است، زیرا آن را دارد

وجود قوس های متعدد از یک راس به راس دیگر را می پذیرد.

تجزیه "href =" / text / kategori / dekompozitciya / "rel =" bookmark "> تجزیه یک سیستم پیچیده به عنوان ساختار چند سطحی از عناصر به هم پیوسته ترکیب شده در زیرسیستم های سطوح مختلف نشان داده می شود.

یک سنگدانه به عنوان عنصری از نمودار A عمل می کند و ارتباط بین دانه ها (داخل سیستم S و با محیط خارجی E) با استفاده از عملگر صرف R انجام می شود.

هر واحد با مجموعه های زیر مشخص می شود: ضربات T، سیگنال های ورودی X و خروجی Y، حالت های Z در هر لحظه زمانی t. وضعیت واحد در زمان tT با z (t) Z نشان داده می شود.

و سیگنال های ورودی و خروجی به ترتیب x (t) X و y (t) Y هستند.

فرض می کنیم که انتقال مجموع از حالت z (t1) به حالت z (t2) ≠ z (t1) در یک بازه زمانی کوتاه رخ می دهد، یعنی یک پرش δz وجود دارد.

انتقال واحد از حالت z (t1) به z (t2) توسط پارامترهای ذاتی (داخلی) خود واحد h (t) H و سیگنال های ورودی x (t) X تعیین می شود.

در لحظه زمانی اولیه t0، حالات z مقادیری برابر با z0 دارند، یعنی z0 = z (t0) که توسط قانون توزیع فرآیند z (t) در زمان t0، یعنی J، داده شده است. فرض کنید که فرآیند عملکرد واحد در مورد سیگنال ورودی عمل xn توسط یک عملگر تصادفی V توضیح داده شده است. سپس، در لحظه ای که سیگنال ورودی به واحد tnT می رسد.

xn می توانید وضعیت را تعیین کنید

z (tn + 0) = V.

فاصله نیمه تایم t1 را نشان می دهیم< t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал

t1 ≤ t< t2 как .

مجموعه ای از عملگرهای تصادفی V و U به عنوان عملگر انتقال کل به حالت های جدید در نظر گرفته می شود. در این حالت، فرآیند عملکرد واحد شامل پرش حالت‌های δz در لحظه‌های رسیدن سیگنال‌های ورودی x (اپراتور V) و تغییر حالت‌های بین این ممان‌ها tn و tn + 1 (اپراتور U) است. هیچ محدودیتی برای عملگر U اعمال نمی‌شود؛ بنابراین، پرش حالت‌های δz در زمان‌هایی که زمان رسیدن سیگنال‌های ورودی x نیستند، قابل قبول است. در ادامه، لحظه های پرش δz را لحظات ویژه زمان tδ، و حالت های z (tδ) - حالت های ویژه طرح A نامیده می شود. برای توصیف جهش حالت‌های δz در زمان‌های خاص tδ، از عملگر تصادفی W استفاده می‌کنیم که حالت خاصی از عملگر U است، یعنی.

z (tδ + 0) = W.

در مجموعه حالت های Z، یک زیرمجموعه Z (Y) متمایز می شود به طوری که اگر z (tδ) به Z (Y) برسد، این حالت لحظه صدور سیگنال خروجی است که توسط اپراتور خروجی تعیین می شود.

y = G.

بنابراین، منظور ما از یک مجموع، هر شیئی است که توسط مجموعه مرتبی از مجموعه های در نظر گرفته شده T، X، Y، Z، Z (Y)، H و عملگرهای تصادفی V، U، W، G تعریف شده است.

دنباله سیگنال های ورودی، که به ترتیب ورود آنها به طرح A مرتب شده اند، یک پیام ورودی یا پیام x نامیده می شود. دنباله ای از سیگنال های خروجی که با توجه به زمان صدور مرتب شده اند، پیام خروجی یا پیام y نامیده می شوند.

اگر به طور خلاصه

مدل‌های قطعی پیوسته (طرح‌های D)

آنها برای مطالعه سیستم هایی که در زمان مداوم کار می کنند استفاده می شوند. معادلات دیفرانسیل، انتگرال، انتگرال دیفرانسیل عمدتا برای توصیف چنین سیستم هایی استفاده می شود. در معادلات دیفرانسیل معمولی تابعی از یک متغیر مستقل و در معادلات دیفرانسیل جزئی تابع چند متغیر در نظر گرفته می شود.

به عنوان نمونه ای از کاربرد مدل های D می توان به مطالعه عملکرد یک آونگ مکانیکی یا یک مدار نوسانی الکتریکی اشاره کرد. اساس فنی مدل‌های D از رایانه‌های آنالوگ (AVM) یا رایانه‌های ترکیبی به سرعت در حال توسعه (GVM) تشکیل شده است. همانطور که می دانید، اصل اساسی تحقیق در رایانه این است که طبق معادلات داده شده، محقق (کاربر AVM) مداری را از گره های معمولی جداگانه - تقویت کننده های عملیاتی با گنجاندن مدارهایی برای مقیاس بندی، میرایی، تقریب، مونتاژ می کند. و غیره.

ساختار ABM مطابق با شکل معادلات تکرارپذیر تغییر می کند.

در یک کامپیوتر دیجیتال، ساختار بدون تغییر باقی می ماند، اما ترتیب عملکرد گره های آن مطابق با برنامه تعیین شده در آن تغییر می کند. مقایسه AVM و کامپیوتر دیجیتال به وضوح تفاوت بین شبیه سازی و مدل سازی آماری را نشان می دهد.

ABM یک مدل شبیه سازی را پیاده سازی می کند، اما، به عنوان یک قاعده، از اصول مدل سازی آماری استفاده نمی کند. در رایانه‌های دیجیتال، بیشتر مدل‌های شبیه‌سازی مبتنی بر مطالعه اعداد تصادفی، فرآیندها، یعنی مدل‌سازی آماری است. مدل‌های قطعی پیوسته به طور گسترده در مهندسی مکانیک در مطالعه سیستم‌های کنترل خودکار، انتخاب سیستم‌های میرایی، شناسایی پدیده‌های تشدید و نوسانات در فناوری استفاده می‌شوند.
و غیره.

مدل های گسسته قطعی (مدارهای F)

با زمان گسسته کار کنید. این مدل ها مبنایی برای مطالعه عملکرد یک کلاس بسیار مهم و گسترده از سیستم های اتوماتای ​​گسسته امروزه هستند. به منظور تحقیق آنها، یک دستگاه ریاضی مستقل از نظریه اتوماتا توسعه داده شده است. بر اساس این نظریه، سیستم به عنوان یک خودکار در نظر گرفته می شود که اطلاعات گسسته را پردازش می کند و بسته به نتایج پردازش، حالات درونی آن تغییر می کند.

این مدل بر اساس اصول به حداقل رساندن تعداد عناصر و گره ها در یک مدار، دستگاه، بهینه سازی دستگاه به عنوان یک کل و توالی عملکرد گره های آن است. همراه با مدارهای الکترونیکی، یک نماینده قابل توجه از ماشین‌هایی که توسط این مدل توصیف شده است، رباتی است که (طبق برنامه داده شده) فرآیندهای فناوری را در یک توالی قطعی مشخص کنترل می‌کند.

ماشین کنترل عددی نیز با این مدل توصیف شده است. انتخاب توالی قطعات پردازش در این دستگاه با راه اندازی واحد کنترل (کنترل کننده) انجام می شود که سیگنال های کنترلی را در نقاط خاصی از زمان تولید می کند / 4 /.

تئوری اتوماتا از دستگاه ریاضی توابع بولی استفاده می کند که بر روی دو مقدار ممکن از سیگنال ها، 0 و 1 عمل می کند.

اتوماتها به اتوماتای ​​بدون حافظه و اتوماتای ​​با حافظه تقسیم می شوند. شرح کار آنها با استفاده از جداول، ماتریس ها، نمودارهایی انجام می شود که انتقال ماشین را از یک حالت به حالت دیگر نشان می دهد. ارزیابی های تحلیلی برای هر نوع توصیفی از عملکرد دستگاه بسیار دست و پا گیر است و حتی با تعداد نسبتاً کمی از عناصر، گره هایی که دستگاه را تشکیل می دهند، عملاً غیرممکن است. بنابراین مطالعه مدارهای پیچیده اتوماتها که بدون شک شامل دستگاه های رباتیک می شود با استفاده از شبیه سازی انجام می شود.

مدل‌های تصادفی گسسته (طرح‌های P)

آنها برای مطالعه کار اتوماتای ​​احتمالی استفاده می شوند. در اتوماتای ​​این نوع، انتقال از یک حالت به حالت دیگر تحت تأثیر سیگنال های خارجی و با در نظر گرفتن وضعیت داخلی خودکار انجام می شود. با این حال، برخلاف T-automata، این انتقال ها کاملاً قطعی نیستند، اما می توانند با احتمالات خاصی رخ دهند.

نمونه ای از چنین مدلی یک زنجیره مارکوف گسسته با مجموعه ای محدود از حالت ها است. تحلیل طرح‌های F بر اساس پردازش و تبدیل ماتریس‌های احتمال انتقال و تحلیل نمودارهای احتمال است. در حال حاضر برای تجزیه و تحلیل دستگاه های نسبتا ساده، که رفتار آنها توسط مدارهای F توصیف شده است، استفاده از شبیه سازی توصیه می شود. نمونه ای از چنین شبیه سازی در بند 2.4 آورده شده است.

مدل‌های تصادفی پیوسته (طرح‌های Q)

آنها در تجزیه و تحلیل طبقه گسترده ای از سیستم ها به عنوان سیستم های صف مورد استفاده قرار می گیرند. به عنوان یک فرآیند خدماتی، می توان فرآیندهایی را که ماهیت فیزیکی متفاوتی دارند نشان داد: جریان عرضه محصول به یک شرکت، جریان قطعات و محصولات سفارشی، جریان قطعات در خط مونتاژ، جریان اقدامات کنترلی از مرکز کنترل ACS به محل کار و درخواست بازگشت برای پردازش اطلاعات در رایانه و غیره.

به طور معمول، این جریان ها به بسیاری از عوامل و موقعیت های خاص بستگی دارد. بنابراین در اغلب موارد این جریان ها به صورت تصادفی در زمان بوده و امکان تغییر در هر زمان وجود دارد. تجزیه و تحلیل چنین طرح هایی بر اساس دستگاه ریاضی تئوری صف انجام می شود. اینها شامل یک زنجیره مارکوف پیوسته است. علیرغم پیشرفت‌های قابل توجهی که در توسعه روش‌های تحلیلی انجام شده است، تئوری صف، تجزیه و تحلیل طرح‌های Q با روش‌های تحلیلی تنها با فرضیات و مفروضات ساده‌کننده قابل‌توجهی قابل انجام است. مطالعه دقیق بیشتر این طرح‌ها، به‌ویژه طرح‌های پیچیده مانند سیستم‌های کنترل فرآیند، سیستم‌های روباتیک، تنها با استفاده از شبیه‌سازی قابل انجام است.

مدل های تعمیم یافته (نمودار A)

بر اساس شرح فرآیندهای عملکرد هر سیستم بر اساس روش انبوه. با یک توصیف مجموع، سیستم به زیر سیستم های جداگانه تقسیم می شود که می تواند برای توصیف ریاضی مناسب در نظر گرفته شود. در نتیجه چنین تقسیم بندی (تجزیه)، یک سیستم پیچیده در قالب یک سیستم چند سطحی ارائه می شود که سطوح فردی (جمعیت ها) آن قابل تجزیه و تحلیل هستند. بر اساس تجزیه و تحلیل تک دانه ها و با در نظر گرفتن قوانین اتصال این سنگدانه ها، می توان یک مطالعه جامع در کل سیستم انجام داد.

، سیستم های یاکولف ویرایش چهارم - M .: دبیرستان، 2005 .-- S. 45-82.

طرح های ریاضی برای سیستم های مدل سازی

مزایا و معایب شبیه سازی

اصلی کرامتشبیه سازی در مطالعه سیستم های پیچیده:

· توانایی کشف ویژگی های فرآیند عملکرد سیستم S در هر شرایطی.

· به دلیل استفاده از رایانه، مدت زمان آزمون ها به طور قابل توجهی در مقایسه با یک آزمایش در مقیاس کامل کاهش می یابد.

· نتایج آزمون های تمام مقیاس یک سیستم واقعی یا قطعات آن را می توان برای شبیه سازی استفاده کرد.

· انعطاف پذیری تغییر ساختار، الگوریتم ها و پارامترهای سیستم مدل سازی شده هنگام جستجو برای نسخه بهینه سیستم.

· برای سیستم های پیچیده - این تنها روش عملی قابل تحقق برای مطالعه روند عملکرد سیستم ها است.

اصلی محدودیت هامدل سازی شبیه سازی:

· برای تجزیه و تحلیل کامل ویژگی‌های فرآیند عملکرد سیستم و جستجوی گزینه بهینه، لازم است آزمایش شبیه‌سازی بارها تکرار شود و داده‌های اولیه مسئله تغییر کند.

· هزینه های کلان زمان کامپیوتر.

اثربخشی مدل سازی ماشین.هنگام شبیه سازی، لازم است از حداکثر کارایی مدل سیستم اطمینان حاصل شود. بهره وریمعمولاً به عنوان تفاوتی بین برخی از معیارهای ارزش نتایج به دست آمده در طول عملیات مدل و هزینه هایی که برای توسعه و ایجاد آن سرمایه گذاری شده است، تعریف می شود.

اثربخشی مدل سازی شبیه سازی را می توان با تعدادی معیار ارزیابی کرد:

دقت و قابلیت اطمینان نتایج شبیه سازی،

زمان ساخت و کار با مدل م,

هزینه منابع ماشین (زمان و حافظه)،

· هزینه توسعه و بهره برداری از مدل.

بهترین معیار اثربخشی، مقایسه نتایج به دست آمده با مطالعات واقعی است. با استفاده از یک رویکرد آماری، با درجه خاصی از دقت (بسته به تعداد تحقق یک آزمایش ماشین)، ویژگی های میانگین رفتار سیستم به دست می آید.

کل هزینه های زمان کامپیوتر از زمان ورودی و خروجی برای هر الگوریتم شبیه سازی، زمان انجام عملیات محاسباتی با در نظر گرفتن دسترسی به RAM و دستگاه های خارجی و همچنین پیچیدگی هر الگوریتم مدل سازی و برنامه ریزی آزمایش ها

طرح های ریاضیمدل ریاضیمجموعه ای از اشیاء ریاضی (اعداد، متغیرها، مجموعه ها، بردارها، ماتریس ها و غیره) و روابط بین آنها است که به اندازه کافی ویژگی های فیزیکی شیء فنی ایجاد شده را منعکس می کند. فرآیند تشکیل یک مدل ریاضی و استفاده از آن برای تجزیه و تحلیل و سنتز نامیده می شود مدل سازی ریاضی

هنگام ساخت یک مدل ریاضی از سیستم، لازم است که مسئله کامل بودن آن حل شود. کامل بودن مدل عمدتاً با انتخاب سیستم مرزی تنظیم می شود اس- چهار شنبه E". همچنین، مشکل ساده سازی مدل باید حل شود، که به برجسته کردن، بسته به هدف مدل سازی، ویژگی های اصلی سیستم، دور انداختن موارد ثانویه کمک می کند.

در گذار از یک توصیف معنی دار به یک توصیف رسمی از روند عملکرد سیستم، با در نظر گرفتن تأثیر محیط خارجی، اعمال می شود. طرح ریاضیبه عنوان حلقه ای در زنجیره "مدل توصیفی - طرح ریاضی - مدل ریاضی (تحلیلی و/یا شبیه سازی)".

مدل رسمی شیمدل شی (سیستم ها اس) را می توان به عنوان مجموعه ای از کمیت ها نشان داد که فرآیند عملکرد یک سیستم واقعی را توصیف می کند:

مجموعه ای از تأثیرات ورودی بر روی سیستم

x i = X,من =;

مجموعه ای از تأثیرات محیطی

v j = V, j= ;

مجموعه ای از پارامترهای داخلی (ذاتی) سیستم ها

h k = H، k =;

مجموعه ای از ویژگی های خروجی سیستم

y j = Y، j =.

به طور کلی x i، v j، h k، y jعناصری از زیرمجموعه های متمایز هستند و شامل اجزای قطعی و تصادفی هستند.

تأثیرات ورودی، تأثیرات محیطی Eو پارامترهای داخلی سیستم هستند مستقل (برون زا) متغیرهایی که به صورت برداری به ترتیب دارای فرم ( تی) = (ایکس 1 (تی), ایکس 2 (تی), …, x nX(تی)); (تی) = (v 1 (تی), v 2 (تی), …, v nV(تی)); (تی) = (ساعت 1 (تی), ساعت 2 (تی), …, h nН(تی))، و ویژگی های خروجی هستند وابسته (درون زا) متغیرها و به صورت برداری دارای شکل زیر هستند: ( تی) = (در 1 (تی), در 2 (تی), …, در NY(تی)). می توانید بین متغیرهای مدیریت شده و مدیریت نشده تمایز قائل شوید.

فرآیند عملیات سیستم اسبه موقع توسط اپراتور شرح داده شده است اف اس، که متغیرهای برون زا را مطابق با روابط شکل به درون زا تبدیل می کند

(تی) = اف اس(,,, تی). (2.1)

مجموعه ای از وابستگی های ویژگی های خروجی سیستم به زمان y j(تی) برای همه انواع j =تماس گرفت مسیر خروجی (تی). وابستگی (2.1) نامیده می شود قانون عملکرد سیستم F S، که به صورت تابع، شرایط عملکردی، منطقی، به صورت الگوریتمی، جدولی و یا به صورت قانون تطبیق کلامی مشخص می شود. الگوریتم عملکرد A Sروش به دست آوردن مشخصات خروجی با در نظر گرفتن تأثیرات ورودی نامیده می شود ( تی)، تاثیرات محیطی ( تی) و پارامترهای خود سیستم ( تی). همان قانون عملکرد اف اسسیستم های اسمی تواند به روش های مختلف اجرا شود، یعنی با استفاده از بسیاری از الگوریتم های مختلف عملکرد مانند.

مدل های ریاضی نامیده می شوند پویا(2.1) اگر روابط ریاضی رفتار شی (سیستم) مدلسازی را در زمان توصیف کند تی، یعنی منعکس کننده خواص پویا

برای استاتیکمدل‌ها، یک مدل ریاضی نگاشت بین دو زیر مجموعه از ویژگی‌های یک شی مدل‌سازی شده است Yو ( X، V، H) در یک لحظه خاص که به صورت برداری می تواند به صورت نوشته شود

= f(, , ). (2.2)

روابط (2.1) و (2.2) را می توان به روش های مختلفی مشخص کرد: تحلیلی (با استفاده از فرمول ها)، گرافیکی، جدولی و غیره. این روابط را می توان از طریق ویژگی های سیستم به دست آورد اسدر مقاطع خاصی از زمان که به آن حالت می گویند. وضعیت سیستم اسبا بردارها مشخص می شود

" = (z" 1, z " 2, …، ز «ک) و "" = (z "" 1 ,z "" 2 ,…, Z "" k),

جایی که z" 1 = z 1 (تی "), z" 2 = z 2 (تی "), …, z "k= z k(تی ") در حال حاضر تی "Î ( تی 0 , تی); z "" 1 = z 1 (تی ""), z "" 2 = z 2 (تی ""), …, z "" k = z k(تی "") در حال حاضر تی ""Î ( تی 0 , تی) و غیره. k =.

اگر روند عملکرد سیستم را در نظر بگیریم اسبه عنوان یک تغییر متوالی حالات z 1 (تی), z 2 (تی), …, z k(تی، سپس آنها را می توان به عنوان مختصات یک نقطه در تفسیر کرد ک-بعدی فضای فاز... علاوه بر این، هر اجرای فرآیند با یک مسیر فاز مشخص مطابقت دارد. مجموعه تمام مقادیر ممکن حالت ها () فراخوانی می شود فضای حالتموضوع مدل سازی ز، و
z kÎ ز.

حالات سیستمی اسدرحال حاضر تی 0 < t * £ تیکاملاً با شرایط اولیه تعیین می شوند 0 = ( z 0 1 , z 0 2 , …, z 0 ک) [جایی که z 0 1 = z 1 (تی 0),
z 0 2 = z 2 (تی 0), …, z 0 ک = z k(تی 0)]، اقدامات ورودی ( تیپارامترهای داخلی ( تی) و اثرات محیط خارجی ( تی) که در بازه زمانی اتفاق افتاد t * – تی 0، با استفاده از دو معادله برداری

(تی) = Ф (0,,,, تی); (2.3)

(تی) = F (، تی). (2.4)

اولین معادله برای حالت اولیه 0 و متغیرهای برونزا، تابع برداری را تعیین می کند ( تی، و دوم با توجه به مقدار به دست آمده از حالت ها ( تی) متغیرهای درون زا در خروجی سیستم هستند ( تی). بنابراین، زنجیره معادلات شی "ورودی - حالات - خروجی" به شما امکان می دهد ویژگی های سیستم را تعیین کنید.

(تی) = F [Ф (0,,,, تی)]. (2.5)

به طور کلی، زمان در مدل سیستم اسرا می توان در بازه شبیه سازی در نظر گرفت (0، تی) هم پیوسته و هم گسسته، یعنی. به قطعاتی به طول D کوانتیزه می شود تیواحدهای زمانی هر زمانی که تی = متردی تی، جایی که متر = - تعداد فواصل نمونه برداری

بنابراین، تحت مدل ریاضیشی (سیستم واقعی) زیر مجموعه محدودی از متغیرها را درک می کند (( تی), (تی), (تی)) همراه با ارتباطات ریاضی بین آنها و ویژگی ها ( تی).

اگر توصیف ریاضی شی مدل‌سازی شامل عناصر تصادفی نباشد یا در نظر گرفته نشود، به عنوان مثال. اگر بتوانیم فرض کنیم که در این مورد تأثیرات تصادفی محیط خارجی ( تی) و پارامترهای داخلی تصادفی ( تی) وجود ندارند، سپس مدل فراخوانی می شود قطعیبه این معنا که ویژگی ها به طور منحصر به فردی توسط ورودی های قطعی تعیین می شوند

(تی) = f(, تی). (2.6)

بدیهی است که مدل قطعی یک مورد خاص از مدل تصادفی است.

طرح های ریاضی معمولیدر عمل مدل سازی اشیاء در زمینه مهندسی سیستم ها و تجزیه و تحلیل سیستم ها در مراحل اولیه تحقیق سیستم، منطقی تر است که از آن استفاده شود. طرح های معمولی ریاضی: معادلات دیفرانسیل، اتوماتای ​​محدود و احتمالی، سیستم های صف، شبکه های پتری، سیستم های کل و غیره.

طرح های ریاضی معمولی دارای مزایای سادگی و وضوح هستند. معادلات دیفرانسیل، انتگرال، انتگرال دیفرانسیل و سایر معادلات برای نشان دادن سیستم‌هایی که در زمان پیوسته کار می‌کنند به عنوان مدل‌های قطعی، زمانی که عوامل تصادفی در مطالعه در نظر گرفته نمی‌شوند، استفاده می‌شوند، و از اتوماتای ​​محدود و طرح‌های تفاضل محدود برای نمایش سیستم‌هایی استفاده می‌شود که در آن کار می‌کنند. زمان گسسته اتوماتای ​​احتمالی به عنوان مدل های تصادفی (با در نظر گرفتن عوامل تصادفی) برای نمایش سیستم هایی با زمان گسسته و سیستم های صف برای نمایش سیستم های با زمان پیوسته استفاده می شوند. شبکه های پتری برای تجزیه و تحلیل روابط علت و معلولی در سیستم های پیچیده، که در آن چندین فرآیند به طور همزمان به صورت موازی اتفاق می افتد، استفاده می شود. برای توصیف رفتار سیستم‌های پیوسته و گسسته، قطعی و تصادفی (به عنوان مثال، ASOIU)، یک رویکرد تعمیم‌یافته (جهان‌شمول) مبتنی بر یک سیستم تجمیع می‌تواند اعمال شود. در یک توصیف کلی، یک شی (سیستم) پیچیده به تعداد محدودی از قطعات (زیر سیستم ها) تقسیم می شود، در حالی که ارتباطاتی را حفظ می کند که تعامل قطعات را تضمین می کند.

بنابراین، هنگام ساخت مدل های ریاضی فرآیندهای عملکرد سیستم ها، می توان رویکردهای اصلی زیر را متمایز کرد: پیوسته - قطعی ( دی-طرح)؛ گسسته - قطعی ( اف-طرح)؛ تصادفی گسسته ( آر-طرح)؛ پیوسته تصادفی ( س-طرح)؛ شبکه ( ن-طرح)؛ تعمیم یافته یا جهانی ( آ-طرح).

2.2. مدل های قطعی پیوسته ( دی-طرح)

روابط اساسی... اجازه دهید ویژگی های رویکرد قطعی پیوسته را در مثال استفاده از معادلات دیفرانسیل به عنوان مدل های ریاضی در نظر بگیریم. معادلات دیفرانسیلمعادلاتی نامیده می شوند که در آنها توابع یک یا چند متغیر ناشناخته هستند و معادله نه تنها شامل توابع، بلکه مشتقات مرتبه های مختلف آنها نیز می شود. اگر توابع مجهول چندین متغیر باشد، معادلات فراخوانی می شوند معادلات دیفرانسیل جزئی، در غیر این صورت، هنگام در نظر گرفتن تابعی از یک متغیر مستقل، معادلات فراخوانی می شوند معادلات دیفرانسیل معمولی.

رابطه ریاضی کلی برای سیستم های قطعی (2.6) خواهد بود

" (تی) = (, تی); (تی 0) = 0 , (2.7)

جایی که " = د/dt, = (y 1 , y 2 , …, y n) و = ( f 1 , f 2 , …, f n) – n-بردارهای بعدی (، تی) یک تابع برداری است که بر روی برخی ( n+1) -بعدی (، تی) تنظیم می شود و پیوسته است.

طرح های ریاضی از این نوع نامیده می شود مدارهای D(eng. dynamic)، آنها پویایی سیستم مورد مطالعه را منعکس می کنند و زمان معمولاً به عنوان یک متغیر مستقل عمل می کند که توابع ناشناخته ناشناخته به آن بستگی دارند. تی.

در ساده ترین حالت، یک معادله دیفرانسیل معمولی به شکل زیر است:

y"(تی) = f(y, تی). (2.8)

ساده ترین مثال از رسمی کردن روند عملکرد دو مدار ابتدایی با ماهیت متفاوت را در نظر بگیرید: مکانیکی اس M (چرخش آونگ، شکل 2.1، آ) و برق اس K (مدار نوسانی، شکل 2.1، ب).

برنج. 2.1. سیستم های ابتدایی

فرآیند نوسانات کوچک آونگ با معادله دیفرانسیل معمولی توصیف می شود

مترم ل M 2 ( د 2 اف(تی)/ dt 2) + مم glم اف(تی) = 0,

جایی که مترم، ل M جرم و طول آونگ آونگ است. g- شتاب گرانش؛ اف(تی) زاویه انحراف آونگ در لحظه زمان است تی.

از این معادله نوسان آزاد آونگ، تخمین هایی از ویژگی های مورد نظر را می توان یافت. به عنوان مثال، دوره چرخش آونگ

تی M = 2p.

به طور مشابه، فرآیندهای مدار نوسانی الکتریکی با معادله دیفرانسیل معمولی توصیف می‌شوند

Lک ( د 2 q(تی)/dt 2) + (q(تی)/سی K) = 0،

جایی که Lک، سی K - اندوکتانس و ظرفیت خازن؛ q(تی) شارژ خازن در لحظه زمان است تی.

از این معادله می توان تخمین های مختلفی از ویژگی های فرآیند در مدار نوسانی بدست آورد. به عنوان مثال، دوره نوسانات الکتریکی

تی M = 2p.

بدیهی است که با معرفی نماد ساعت 2 = مترم ل M 2 = Lک، ساعت 1 = 0,
ساعت 0 = مترم gl M = 1 / سیک، اف(تی) = q(تی) = z(تی، یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم معمولی را به دست می آوریم که رفتار این سیستم حلقه بسته را توصیف می کند:

ساعت 2 (د 2 z(تی)/dt 2) + ساعت 1 (dz(تی)/dt) + ساعت 0 z(تی) = 0, (2.9)

جایی که ساعت 0 , ساعت 1 , ساعت 2 - پارامترهای سیستم; z(تی) وضعیت سیستم در حال حاضر است
زمان تی.

بنابراین، رفتار این دو شی را می توان بر اساس مدل ریاضی عمومی (2.9) بررسی کرد. علاوه بر این، باید توجه داشت که رفتار آونگ (سیستم اس M) را می توان با استفاده از یک مدار نوسانی الکتریکی (سیستم) مطالعه کرد اسبه).

اگر سیستم مورد مطالعه اس(آونگ یا کانتور) با محیط خارجی تعامل دارد E، سپس عمل ورودی ظاهر می شود ایکس(تی) (نیروی خارجی برای آونگ و منبع انرژی برای مدار) و مدل پیوسته - قطعی چنین سیستمی به شکل زیر خواهد بود:

ساعت 2 (د 2 z(تی)/dt 2) + ساعت 1 (dz(تی)/dt) + ساعت 0 z(تی) = ایکس(تی). (2.10)

از دیدگاه مدل ریاضی عمومی (به بند 2.1 مراجعه کنید) ایکس(تی) عملکرد ورودی (کنترل) و وضعیت سیستم است اسدر این مورد، می توان آن را به عنوان یک مشخصه خروجی در نظر گرفت، یعنی. متغیر خروجی با وضعیت سیستم در یک زمان معین مطابقت دارد y = z.

برنامه های کاربردی ممکن دی-طرح... برای توصیف سیستم های کنترل خطی، مانند هر سیستم دینامیکی، معادلات دیفرانسیل ناهمگن دارای ضرایب ثابت هستند.

کجا،،…، - تابع ناشناخته زمان و مشتقات آن. و توابع شناخته شده هستند.

به عنوان مثال، با استفاده از بسته نرم افزاری VisSim که برای شبیه سازی فرآیندها در سیستم های کنترلی طراحی شده است که می توانند با معادلات دیفرانسیل توصیف شوند، حل یک معادله دیفرانسیل ناهمگن معمولی را شبیه سازی می کنیم.

جایی که مقداری تابع مورد نیاز زمان در بازه‌ای با شرایط اولیه صفر است، می‌گیریم ساعت 3 =1, ساعت 2 =3, ساعت 1 =1, ساعت 0 =3:

با نشان دادن معادله داده شده با توجه به بالاترین مشتقات، معادله را به دست می آوریم

که می تواند با استفاده از مجموعه ای از بلوک های سازنده بسته VisSim مدل شود: بلوک های حسابی - Gain (ضرب در یک ثابت)، Summing-Junction (جمع کننده). بلوک های ادغام - یکپارچه ساز (ادغام عددی)، تابع انتقال (تنظیم یک معادله که به عنوان یک تابع انتقال نشان داده می شود). بلوک برای تنظیم سیگنال - Const (ثابت)، Step (تابع واحد به شکل یک "گام")، Ramp (سیگنال افزایش خطی)؛ بلوک - گیرنده سیگنال - Plot (نمایش در حوزه زمانی سیگنال هایی که توسط محقق در طول شبیه سازی تجزیه و تحلیل می شوند).

در شکل شکل 2.2 یک نمایش گرافیکی از این معادله دیفرانسیل را نشان می دهد. ورودی سمت چپ ترین انتگرالگر مربوط به یک متغیر است، ورودی انتگرالگر میانی - و ورودی سمت راست ترین یکپارچه کننده -. خروجی سمت راست ترین انتگرالگر مربوط به متغیر است y.

یک مورد خاص از سیستم های دینامیکی شرح داده شده است دی-طرح ها هستند سیستم های کنترل اتوماتیک(SPG)و مقررات(SAR). یک شی واقعی در قالب دو سیستم کنترل و کنترل شده (شیء کنترلی) ارائه می شود. ساختار یک سیستم کنترل خودکار چند بعدی عمومی در شکل 1 نشان داده شده است. 2.3، جایی که نشان داده شده است درون زامتغیرها: ( تیآیا بردار تأثیرات ورودی (مستر) است. ( تی) بردار تأثیرات مزاحم است. " (تی) بردار سیگنال های خطا است. "" (تی) - بردار اقدامات کنترلی. برون زامتغیرها: ( تی) بردار حالت سیستم است اس; (تی) بردار متغیرهای خروجی است، معمولا ( تی) = (تی).

برنج. 2.2. نمایش گرافیکی معادله

سیستم کنترل مجموعه ای از ابزارهای نرم افزاری و سخت افزاری است که دستیابی به یک هدف خاص توسط شیء کنترل را تضمین می کند. میزان دقت یک شی به یک هدف معین را می توان (برای یک سیستم تک بعدی) توسط مختصات حالت قضاوت کرد. y(تی). تفاوت بین داده شده yالاغ ( تی) و معتبر است y(تی) قانون تغییر متغیر کنترل شده یک خطای کنترلی است " (تی) = yالاغ ( تی) – y(تی). اگر قانون تعیین شده تغییر کمیت کنترل شده با قانون تغییر کنش ورودی (مستر) مطابقت داشته باشد، به عنوان مثال. ایکس(تی) = yالاغ ( تی)، سپس " (تی) = ایکس(تی) – y(تی).

سیستم هایی که برای آنها خطاهای کنترل وجود دارد " (تی) = 0 در همه زمان ها فراخوانی می شود ایده آل... در عمل، پیاده سازی سیستم های ایده آل غیرممکن است. وظیفه سیستم کنترل خودکار تغییر متغیر است y(تی) طبق قانون معین با دقت معین (با خطای قابل قبول). پارامترهای سیستم باید دقت کنترل مورد نیاز و همچنین پایداری سیستم را در فرآیند گذرا تضمین کنند. اگر سیستم پایدار است، رفتار سیستم را در زمان، حداکثر انحراف متغیر کنترل شده تجزیه و تحلیل کنید. y(تی) در فرآیند گذرا، زمان فرآیند گذرا و غیره. ترتیب معادله دیفرانسیل و مقدار ضرایب آن به طور کامل توسط پارامترهای استاتیکی و دینامیکی سیستم تعیین می شود.

برنج. 2.3. ساختار سیستم کنترل اتوماتیک:

UC - سیستم کنترل؛ OU - شیء کنترلی

بنابراین با استفاده از دی- طرح ها به شما امکان می دهد روند عملکرد سیستم های دائماً قطعی را رسمی کنید اسو ویژگی های اصلی آنها را با استفاده از یک رویکرد تحلیلی یا شبیه سازی که در قالب یک زبان مناسب برای مدل سازی سیستم های پیوسته یا با استفاده از امکانات محاسباتی آنالوگ و ترکیبی پیاده سازی شده است، ارزیابی کنید.

2.3. مدل های گسسته - قطعی ( اف-طرح)

روابط اساسی... اجازه دهید ویژگی‌های رویکرد قطعی-گسسته را در مثال استفاده از نظریه اتوماتا به عنوان یک دستگاه ریاضی در نظر بگیریم. این سیستم در قالب یک خودکار به عنوان دستگاهی با سیگنال های ورودی و خروجی نمایش داده می شود که اطلاعات گسسته را پردازش می کند و حالت های داخلی آن را تنها در زمان های قابل قبول تغییر می دهد. ماشین حالتیک خودکار نامیده می شود که در آن مجموعه حالت های داخلی، سیگنال های ورودی و خروجی مجموعه های محدودی هستند.

اتوماتای ​​متناهی انتزاعی را می توان به عنوان یک طرح ریاضی نشان داد ( اف-طرحواره) با شش عنصر مشخص می شود: یک مجموعه محدود ایکسسیگنال های ورودی (الفبای ورودی)؛ مجموعه محدود Yسیگنال های خروجی (الفبای خروجی)؛ مجموعه محدود زحالات داخلی (الفبای داخلی یا الفبای حالات)؛ حالت اولیه z 0 , z 0 Î ز; تابع انتقال j ( z, ایکس) تابع خروجی y ( z, ایکس). مجموعه دستگاه اتوماتیک اف-طرح: اف = á ز, ایکس, Y، ی، ج، z 0 ñ، در زمان گسسته عمل می کند، ممان های آن ساعت است، که هر کدام مربوط به مقادیر ثابت سیگنال های ورودی و خروجی و حالت های داخلی است. ما وضعیت، و همچنین سیگنال های ورودی و خروجی مربوط به را نشان می دهیم تی- ساعت در تی= 0، 1، 2، ...، از طریق z(تی), ایکس(تی)، y(تی). علاوه بر این، با شرایط z(0) = z 0، و z(تی)Î ز, ایکس(تی)Î ایکس, y(تی)Î Y.

یک ماشین حالت انتزاعی یک کانال ورودی و یک کانال خروجی دارد. در هر لحظه تی= 0، 1، 2، ... زمان گسسته اف-ماشین در وضعیت خاصی قرار دارد z(تی) از مجموعه زحالت های خودکار و در لحظه اولیه زمان تی= 0 همیشه در حالت اولیه است z(0) = z 0. در حال حاضر تیتوانا بودن z(تی، خودکار قادر است سیگنال را در کانال ورودی درک کند ایکس(تی)Î ایکسو سیگنال را در کانال خروجی ارسال کنید y(تی) = y [ z(تی),ایکس(تی)]، به حالت z ( تی+1) = j [ z(تی), ایکس(تی)], z(تی)Î ز, y(تی)Î Y... یک ماشین حالت محدود انتزاعی نقشه برداری از مجموعه کلمات الفبای ورودی را پیاده سازی می کند ایکسدر بسیاری از کلمات آخر هفته
الفبا Y... به عبارت دیگر، اگر ورودی ماشین حالت به حالت اولیه تنظیم شود z 0، حروف الفبای ورودی را در یک دنباله خاص عرضه کنید ایکس(0), ایکس(1), ایکس(2)، ...، یعنی. کلمه ورودی را وارد کنید، سپس حروف الفبای خروجی به ترتیب در خروجی دستگاه ظاهر می شوند. y(0), y(1), y(2)،…، تشکیل یک کلمه خروجی.

بنابراین، کار ماشین حالت طبق طرح زیر رخ می دهد: در هر یک تی-ام ساعت به ورودی دستگاه در حالت z(تی) مقداری سیگنال داده می شود ایکس(تی) که با انتقال به آن واکنش نشان می دهد ( تی+1) ساعت به حالت جدید z(تی+1) و دادن مقداری سیگنال خروجی. موارد فوق را می توان با معادلات زیر توصیف کرد: برای اف-اتومات از نوع اول، همچنین نامیده می شود مایل اتوماتیک,

z(تی+1) = j [ z(تی), ایکس(تی)], تی= 0, 1, 2, …; (2.15)

y(تی) = y [ z(تی), ایکس(تی)], تی= 0, 1, 2, …; (2.16)

برای اف-اتومات از نوع دوم

z(تی+1) = j [ z(تی), ایکس(تی)], تی= 0, 1, 2, …; (2.17)

y(تی) = y [ z(تی), ایکس(تی - 1)], تی= 1, 2, 3,…. (2.18)

یک خودکار از نوع دوم که برای آن

y(تی) = y [ z(تی)], تی= 0, 1, 2, …, (2.19)

آن ها تابع خروج مستقل از متغیر ورودی است ایکس(تی) نامیده میشود تفنگ تهاجمی مور.

بنابراین، معادلات (2.15) - (2.19)، که به طور کامل تعریف می کنند
اف-اتومات یک مورد خاص از معادلات (2.3) و (2.4)، هنگامی که
سیستم اس- قطعی و یک سیگنال گسسته به تنها ورودی خود می رسد ایکس.

با تعداد حالت ها، ماشین های حالت محدود با حافظه و بدون حافظه متمایز می شوند. اتومات های دارای حافظه بیش از یک حالت دارند و اتومات های بدون حافظه (مدارهای ترکیبی یا منطقی) فقط یک حالت دارند. در این حالت، مطابق (2.16)، عملکرد مدار ترکیبی به این صورت است که به هر سیگنال ورودی اختصاص می دهد. ایکس(تی) سیگنال خروجی خاص y(تی) یعنی یک تابع منطقی از فرم را پیاده سازی می کند

y(تی) = y [ ایکس(تی)], تی= 0, 1, 2, … .

این تابع در صورت الفبای بولی نامیده می شود ایکسو Yکه مقادیر سیگنال به آن تعلق دارد ایکسو y، از دو حرف تشکیل شده است.

با توجه به ماهیت شمارش زمان گسسته، ماشین های حالت محدود به سنکرون و ناهمزمان تقسیم می شوند. به صورت همزمان افزمان‌هایی که خودکار سیگنال‌های ورودی را می‌خواند، توسط سیگنال‌های همگام‌سازی اجباری تعیین می‌شود. پس از سیگنال همگام بعدی، با در نظر گرفتن "خواندن" و مطابق با معادلات (2.15) - (2.19)، انتقال به حالت جدید رخ می دهد و سیگنالی در خروجی صادر می شود، پس از آن دستگاه می تواند مقدار بعدی را درک کند. از سیگنال ورودی بنابراین، واکنش ماشین به هر مقدار از سیگنال ورودی در یک چرخه به پایان می رسد، که مدت زمان آن با فاصله بین سیگنال های همگام مجاور تعیین می شود. نامتقارن اف- دستگاه سیگنال ورودی را به طور مداوم می خواند و بنابراین به سیگنال ورودی به اندازه کافی طولانی با مقدار ثابت پاسخ می دهد. ایکس، می تواند مانند (2.15) - (2.19) وضعیت را چندین بار تغییر دهد و تعداد سیگنال های خروجی مربوطه را بدهد تا زمانی که به یک سیگنال پایدار برود که دیگر با این سیگنال ورودی قابل تغییر نیست.

برنامه های کاربردی ممکن اف-طرح.برای تعیین فینال اف-اتوماتیک، لازم است تمام عناصر مجموعه را شرح دهید اف= <ز, ایکس, Y، ی، ج، z 0>، یعنی الفبای ورودی، داخلی و خروجی و همچنین توابع انتقال ها و خروجی ها، و از میان مجموعه حالت ها لازم است حالت را مجزا کرد. z 0، که در آن خودکار در حالت است تی= 0. روش های مختلفی برای تنظیم کار وجود دارد اف-اتوماتها، اما بیشترین استفاده از آنها جدولی، گرافیکی و ماتریسی است.

در روش جدولی، جداول انتقال و خروجی تنظیم می شود که ردیف های آنها مربوط به سیگنال های ورودی خودکار و ستون ها - به حالت های آن است. ستون اول سمت چپ مربوط به حالت اولیه است z 0. در تقاطع منخط هفتم و ک-مین ستون جدول انتقال، مقدار مربوطه j ( z k, x i) تابع انتقال ها، و در جدول خروجی ها - مقدار مربوطه y ( z k، x i) توابع خروجی. برای اف- اتومات مور هر دو میز را می توان با هم ترکیب کرد.

شرح کار افمایل های خودکار با جداول انتقال j و خروجی y در جدول نشان داده شده است. 2.1 و توضیحات اف-More's automaton - توسط جدول انتقال (جدول 2.2).

جدول 2.1

X i	z k
z 0	z 1	…	z k
انتقال ها
ایکس 1	j ( z 0 , ایکس 1)	j ( z 1 , ایکس 1)	…	j ( z k,ایکس 1)
ایکس 2	j ( z 0 , ایکس 2)	j ( z 1 , ایکس 2)	…	j ( z k,ایکس 2)
…	…	…	…	…
x i	j ( z 0 , x i)	j ( z 1 , x i)	…	j ( z k,x i)
خروجی ها
ایکس 1	y ( z 0 , ایکس 1)	y ( z 1 , ایکس 1)	…	y ( z k, ایکس 1)
ایکس 2	y ( z 0 , ایکس 2)	y ( z 1 , ایکس 2)	…	y ( z k, ایکس 2)
…	…	…	…	…
x i	y ( z 0 , x i)	y ( z 1 , x i)	…	y ( z k, x i)

جدول 2.2

x i	y ( z k)
y ( z 0)	y ( z 1)	…	y ( z k)
z 0	z 1	…	z k
ایکس 1	j ( z 0 , ایکس 1)	j ( z 1 , ایکس 1)	…	j ( z k, ایکس 1)
ایکس 2	j ( z 0 , ایکس 2)	j ( z 1 , ایکس 2)	…	j ( z k, ایکس 2)
…	…	…	…	…
x i	j ( z 0 , x i)	j ( z 1 , x i)	…	j ( z k, x i)

نمونه هایی از روش جدولی تنظیم افمایل اتوماتیک اف 1 در جدول آورده شده است. 2.3 و برای اف-ماشین مور اف 2 - در جدول 2.4.

جدول 2.3

x i	z k
z 0	z 1	z 2
انتقال ها
ایکس 1	z 2	z 0	z 0
ایکس 2	z 0	z 2	z 1
خروجی ها
ایکس 1	y 1	y 1	y 2
ایکس 2	y 1	y 2	y 1

جدول 2.4

	Y
x i	y 1	y 1	y 3	y 2	y 3
	z 0	z 1	z 2	z 3	z 4
ایکس 1	z 1	z 4	z 4	z 2	z 2
ایکس 2	z 3	z 1	z 1	z 0	z 0

در روش گرافیکی تعریف ماشین حالت محدود از مفهوم گراف جهت دار استفاده می شود. گراف خودکار مجموعه‌ای از رئوس مربوط به حالت‌های مختلف خودکار است و رئوس کمان‌های نمودار مربوط به انتقال‌های خاص خودکار را به هم متصل می‌کند. اگر سیگنال ورودی x kباعث انتقال از حالت می شود z iدر یک ایالت z j، سپس در نمودار خودکار یک قوس وجود دارد که راس را به هم متصل می کند z iبا بالا z j، نشان داده شده است x k... برای تنظیم عملکرد خروجی ها، قوس های نمودار باید با سیگنال های خروجی مربوطه علامت گذاری شوند. برای ماشین های Miles، این علامت گذاری به صورت زیر انجام می شود: اگر سیگنال ورودی x kبه دولت عمل می کند z i، سپس یک قوس خروجی دریافت می کنیم z iو علامت گذاری شد x k; این قوس علاوه بر این با یک سیگنال خروجی مشخص می شود y= y ( z i, x k). برای خودکار مور، علامت گذاری مشابه نمودار به صورت زیر است: اگر سیگنال ورودی x k، با عمل بر روی یک حالت خاص از خودکار، باعث انتقال به حالت می شود z j، سپس قوس به سمت z iو علامت گذاری شد x k، علاوه بر این تعطیلات آخر هفته را جشن بگیرید
علامت y= y ( z j, x k).

در شکل 2.4. آ, بقبلا در جداول ارائه شده است اف-ماشین های مایل اف 1 و مور اف 2 به ترتیب.

برنج. 2.4. نمودارهای خودکار a - مایل و b - مور

برای انتساب ماتریس خودکار محدود، ماتریس اتصالات خودکار مربع است. با=||با ij||، ردیف ها با حالت های اولیه و ستون ها مربوط به حالت های انتقال هستند. عنصر با ij = x k/سالایستاده در تقاطع
منخط هفتم و jستون -ام، در مورد خودکار مایلز مربوط به سیگنال ورودی است x kباعث انتقال از حالت می شود z iدر یک ایالت z jو سیگنال خروجی سالایجاد شده توسط این انتقال. برای ماشین مایلز اف 1، در نظر گرفته شده در بالا، ماتریس ترکیبات به شکل زیر است:

ایکس 2 /y 1 – ایکس 1 /y 1

سی 1 = ایکس 1 /y 1 – ایکس 2 /y 2 .

ایکس 1 /y 2 ایکس 2 /y 1 –

اگر گذار از دولت z iدر یک ایالت z jتحت تأثیر چندین سیگنال، عنصر ماتریس، رخ می دهد ج ijمجموعه ای از جفت های ورودی-خروجی برای این انتقال است که توسط یک علامت تفکیک به هم متصل شده اند.

برای افعنصر ماشین مور با ijبرابر است با مجموعه سیگنال های ورودی در انتقال ( z i، z j) و خروجی با بردار خروجی ها توصیف می شود

= y ( z k) ,

منمولفه - که سیگنال خروجی نشان دهنده وضعیت است z i.

برای موارد فوق اف-ماشین مور F2ماتریس اتصالات و بردار خروجی ها به شکل زیر است:

–ایکس 1 –ایکس 2 –در 1

–ایکس 2 – –ایکس 1 در 1

سی 2 = –ایکس 2 – –ایکس 1 ; = y 3

ایکس 2 –ایکس 1 – –در 2

ایکس 2 –ایکس 1 – –در 3

برای اتوماتای ​​قطعی، شرط منحصربه‌فرد بودن انتقال‌ها برآورده می‌شود: یک خودکار در یک حالت خاص نمی‌تواند تحت عمل هر سیگنال ورودی به بیش از یک حالت منتقل شود. به روش گرافیکی تنظیم اعمال می شود اف-automaton، به این معنی است که در نمودار خودکار، دو یا چند یال که با سیگنال ورودی یکسان مشخص شده اند، نمی توانند از هیچ رأسی خارج شوند. و در ماتریس اتصالات دستگاه باهر سیگنال ورودی نباید بیش از یک بار در هر خط رخ دهد.

برای اف- وضعیت اتوماتیک z kتماس گرفت پایدار،اگر برای هر ورودی x i ÎXکه j ( z k, x i) = z k، j ( z k,x i) = y k. اف-ماشین نامیده می شود نامتقارن،اگر هر ایالت z k ÎZپایدار.

بنابراین، مفهوم در رویکرد قطعی-گسسته برای مطالعه خواص اشیاء بر روی مدل‌ها یک انتزاع ریاضی است که برای توصیف کلاس گسترده‌ای از فرآیندهای عملکرد اشیاء واقعی در سیستم‌های کنترل خودکار مناسب است. از طريق F-در یک خودکار، می توان اشیایی را توصیف کرد که با وجود حالت های گسسته و ماهیت گسسته کار در زمان مشخص می شوند - اینها عناصر و گره های رایانه، دستگاه های کنترل، تنظیم و کنترل، سیستم های زمانی و مکانی هستند. تغییر در فناوری تبادل اطلاعات و غیره

2.4. مدل های تصادفی گسسته ( آر-طرح)

روابط اساسی... اجازه دهید ویژگی‌های ساخت طرح‌های ریاضی با رویکرد تصادفی گسسته بر روی خودکارهای احتمالی (تصادفی) را در نظر بگیریم. به طور کلی خودکار احتمالی
طرح های R(English probabijistic automat) را می توان به عنوان یک مبدل اطلاعات سریال گسسته با حافظه تعریف کرد که عملکرد آن در هر چرخه تنها به وضعیت حافظه موجود در آن بستگی دارد و می توان آن را به صورت آماری توصیف کرد.

بیایید مفهوم ریاضی را معرفی کنیم آرخودکار، با استفاده از مفاهیم معرفی شده برای اف-اتوماتیک مجموعه را در نظر بگیرید جی، که همه عناصر آن جفت های ممکن هستند ( x i، z s)، جایی که x iو z s- عناصر زیرمجموعه ورودی ایکسو زیر مجموعه های حالات Z به ترتیب. اگر دو تابع j و y وجود داشته باشد که برای انجام نگاشتها استفاده می شود جی®Z و G®Y،سپس آنها می گویند اف = X، Y، j, y> یک خودکار از نوع قطعی را تعریف می کند.

بیایید یک طرح ریاضی کلی تر را در نظر بگیریم. اجازه دهید
Ф - مجموعه ای از تمام جفت های ممکن از فرم ( z k، y i)، جایی که من- عنصر زیر مجموعه خروجی Y... ما به هر عنصری از مجموعه نیاز داریم جیبر روی مجموعه Ф برخی قانون توزیع به شکل زیر القا می شود:

که در آن b kj= 1، کجا b kj- احتمالات انتقال خودکار به حالت z kو ظاهر سیگنال در خروجی y jاگر او می توانست z sو در ورودی آن در این لحظه در زمان سیگنال دریافت شد x i... تعداد چنین توزیع هایی که در قالب جداول ارائه می شوند برابر با تعداد عناصر مجموعه است جی... مجموعه این جداول را با B نشان می دهیم. سپس چهار عنصر را نشان می دهیم P = اتومات احتمالی نامیده می شود
(آر-اتومات).

برنامه های کاربردی ممکن پ-طرح.اجازه دهید عناصر مجموعه جیالقاء برخی قوانین توزیع در زیر مجموعه ها Yو ز، که می تواند به ترتیب به شکل زیر نمایش داده شود:

که در آن z k = 1 و q j = 1، کجا z kو q j -احتمالات انتقال
آر-دستگاه اتوماتیک در حالت z kو ظاهر سیگنال خروجی y kبه شرطی که
آر z sو ورودی آن یک سیگنال ورودی دریافت کرد x i.

اگر برای همه کو jرابطه برقرار است q j z k = b kj،سپس چنین
آر-ماشین نامیده می شود خودکار احتمالی مایلز... این الزام به معنای تحقق شرط استقلال توزیع ها برای دولت جدید است آر-دستگاه اتوماتیک و سیگنال خروجی آن

حالا تعریف سیگنال خروجی را بگذارید R-خودکار فقط به حالتی بستگی دارد که خودکار در یک چرخه کاری معین قرار دارد. به عبارت دیگر، اجازه دهید هر عنصر از زیر مجموعه خروجی Yتوزیع احتمالی از خروجی ها را به شکل زیر القا می کند:

اینجا s i = 1، کجا من- احتمال ظاهر شدن سیگنال خروجی y مندر درکلمات و آن آر-دستگاه در حالتی بود z k.

اگر برای همه کو منرابطه برقرار است z k s i =b kiسپس چنین
آر-ماشین نامیده می شود خودکار احتمالی مور.مفهوم
آر-اتوماتای ​​مایلی و مور با قیاس با جبر معرفی می شود
اف-اتوماتیک یک مورد خاص R-خودکار به عنوان تعریف شده است پ=X، Y, ب> اتوماتهایی هستند که در آنها انتقال به حالت جدید یا سیگنال خروجی به طور قطعی تعیین می شود. اگر سیگنال خروجی
آر-اتومات به صورت قطعی تعیین می شود، سپس چنین خودکاری نامیده می شود
Y-... به همین ترتیب،
ز-خودکار احتمالی قطعیتماس گرفت آر- خودکاری که در آن انتخاب حالت جدید قطعی است.

مثال 2.1.بگذار داده شود Y- قطعی پ-دستگاه

در شکل 2.5 نمودار انتقال جهت دار این خودکار را نشان می دهد. رئوس نمودار با حالت های خودکار و کمان ها با انتقال های احتمالی از یک حالت به حالت دیگر مرتبط هستند. کمان ها دارای وزن های مربوط به احتمالات انتقال هستند p ijو مقادیر سیگنال های خروجی القا شده توسط این حالت ها در نزدیکی رئوس نمودار نوشته می شوند. لازم است مجموع احتمالات نهایی باقی ماندن آن را تخمین بزنیم پ-اتوماتیک در ایالت ها z 2 و z 3 .

برنج. 2.5. نمودار خودکار احتمال

با استفاده از رویکرد تحلیلی، می توان روابط شناخته شده را از نظریه زنجیره های مارکوف نوشت و سیستمی از معادلات برای تعیین احتمالات نهایی به دست آورد. در این حالت حالت اولیه z 0 را می توان نادیده گرفت، زیرا توزیع اولیه بر مقادیر احتمالات نهایی تأثیر نمی گذارد. سپس ما داریم

جایی که با k- احتمال اقامت نهایی آر-دستگاه اتوماتیک در حالت z k.

ما سیستم معادلات را بدست می آوریم

به این معادلات شرط نرمال سازی را اضافه می کنیم با 1 + با 2 + با 3 + با 4 = 1. سپس با حل سیستم معادلات به دست می آوریم با 1 = 5/23, با 2 = 8/23, با 3 = 5/23,
با 4 = 5/23. به این ترتیب، با 2 + با 3 = 13/23 = 0.5652. به عبارت دیگر، با کار بی پایانی که در این مثال آورده شده است Y- قطعی
آراتومات در خروجی آن یک دنباله باینری با احتمال وقوع یک برابر با 0.5652 تشکیل می شود.

مشابه آراتومات ها را می توان به عنوان مولد توالی های مارکوف استفاده کرد که در ساخت و اجرای فرآیندهای عملکرد سیستم ها ضروری است. اسیا تاثیرات محیطی E.

2.5. مدل های تصادفی پیوسته ( س-طرح)

روابط اساسی... ما ویژگی های رویکرد تصادفی پیوسته را با استفاده از مثال ریاضی معمولی در نظر خواهیم گرفت س-طرح ها - سیستم های نوبت دهی(سیستم نوبت دهی انگلیسی).

به عنوان یک فرآیند خدماتی، فرآیندهای عملکرد سیستم های اقتصادی، تولید، فنی و غیره را می توان از نظر ماهیت فیزیکی مختلف نشان داد، به عنوان مثال: جریان های عرضه محصولات به یک شرکت خاص، جریان قطعات و اجزای سازنده در خط مونتاژ یک شرکت. کارگاه، درخواست پردازش اطلاعات کامپیوتری از پایانه های راه دور و غیره. در این مورد، یکی از ویژگی های عملکرد چنین اشیایی، ظاهر تصادفی ادعاها (الزامات) برای سرویس و تکمیل سرویس در زمان های تصادفی است، یعنی. ماهیت تصادفی فرآیند عملکرد آنها.

با جریان حوادثبه مجموعه ای از رویدادها گفته می شود که یکی پس از دیگری در برخی لحظات تصادفی از زمان رخ می دهند. بین جریان رویدادهای همگن و ناهمگن تمایز قائل شوید. جریان رویدادهاتماس گرفت همگن،اگر فقط با لحظات رسیدن این رویدادها مشخص شود (لحظه های ایجاد کننده) و با دنباله ( t n} = {0 £ تی 1 پوند تی 2 ... £ t n£ … }, جایی که t n -لحظه ورود پ-رویداد ام یک عدد واقعی غیر منفی است. یک جریان همگن از رویدادها همچنین می تواند به عنوان دنباله ای از فواصل زمانی بین آنها مشخص شود پ-متر و (n - 1) رویدادها (t n) که بدون ابهام با توالی لحظات چالش برانگیز همراه است ( t n} , جایی که تی n = t n– t n -1 ,پ³ 1، تی 0 = 0, آن ها t 1 = t 1 . جریانی از رویدادهای ناهمگوندنباله نامیده می شود ( t n، f n} , جایی که t n -لحظات چالش برانگیز؛ f n -مجموعه ای از علائم رویداد به عنوان مثال، در رابطه با فرآیند خدمات برای یک جریان غیر یکنواخت ادعاها، می توان آن را به منبع خاصی از ادعاها، وجود اولویت، توانایی ارائه یک نوع کانال یا دیگری اختصاص داد.

در هر عمل اولیه خدمات، دو جزء اصلی قابل تشخیص است: انتظار خدمت توسط ادعا و خدمات واقعی به ادعا. این را می توان در قالب برخی به تصویر کشید من-ام دستگاه خدمات P i(شکل 2.6)، متشکل از انباشت کننده سفارشات سلام،که به طور همزمان می تواند باشد j i= برنامه های کاربردی که در آن L i H– ظرفیت
من-go-store، و یک کانال برای سرویس دهی به درخواست ها (یا فقط یک کانال) K i.برای هر عنصر از دستگاه خدمات P iجریان رویدادها می رسند: به درایو سلامجریان برنامه ها من،در هر کانال ک من -جریان خدمات و من.

برنج. 2.6. دستگاه سرویس برنامه

برنامه های کاربردی ارائه شده توسط کانال ک من،و درخواست هایی که دستگاه را ترک کردند P iبه دلایل مختلف (مثلاً به دلیل سرریز شدن درایو) استفاده نشده است سلام) یک جریان خروجی تشکیل دهید y من ی Y،آن ها فواصل زمانی بین لحظه های خروج سفارشات زیر مجموعه ای از متغیرهای خروجی را تشکیل می دهد.

معمولاً جریان برنامه ها w i ÎW,آن ها فواصل زمانی بین لحظات ظاهر شدن سفارشات در ورودی K i, زیر مجموعه ای از متغیرهای مدیریت نشده و جریان سرویس را تشکیل می دهد تو منآن ها فواصل زمانی بین شروع و پایان رسیدگی به خسارت، زیرمجموعه ای از متغیرهای کنترل شده را تشکیل می دهد.

فرآیند عملیات دستگاه سرویس P iرا می توان به عنوان فرآیند تغییر حالات عناصر زمان آن نشان داد z i(تی). انتقال به حالت جدید برای P iبه معنای تغییر در تعداد برنامه های موجود در آن (در کانال K iو در درایو سلام). بنابراین، بردار حالات برای P iبه نظر می رسد: , جایی که z i H- حالت درایو سلام (z i H= 0 - درایو خالی است، z i H= 1 - یک درخواست در ذخیره سازی وجود دارد، ...، z i H = L i H – درایو کاملاً پر است)؛ L i H -گنجایش انبار سلام،با تعداد برنامه هایی که می توانند در آن قرار بگیرند اندازه گیری می شود. z i k -وضعیت کانال K i(z i k = 0 – کانال رایگان است z i k= 1 - کانال شلوغ است).

برنامه های کاربردی ممکن س-طرح هادر عمل مدل‌سازی سیستم‌های با روابط ساختاری پیچیده‌تر و الگوریتم‌های رفتاری، برای رسمی‌سازی، از دستگاه‌های سرویس جداگانه استفاده نمی‌شود، بلکه
س-طرح , از ترکیب بسیاری از دستگاه های خدمات اولیه تشکیل شده است P i.اگر کانال ها K iدستگاه های خدمات مختلف به صورت موازی متصل می شوند، سپس سرویس چند کاناله انجام می شود ( چند کانال Q-طرح) , و اگر دستگاه ها P iو ترکیبات موازی آنها به صورت سری به هم متصل می شوند، سپس یک سرویس چند فازی وجود دارد ( چند فاز Q-طرح) . بنابراین برای کار س- schema باید از عملگر مزدوج استفاده کند آر، منعکس کننده اتصال عناصر سازه (کانال ها و وسایل ذخیره سازی) با یکدیگر است.