تنبل بودم برای اینکه بچه ها را برای مدت طولانی مشغول کند و خودش چرت بزند، از آنها خواست که اعداد 1 تا 100 را جمع کنند.
گاوس سریع پاسخ داد: 5050. اینقدر سریع؟ معلم آن را باور نکرد، اما نابغه جوان حق داشت. اضافه کردن تمام اعداد از 1 تا 100 برای wimps است! گاوس فرمول را پیدا کرد:
$$ \ sum_ (1) ^ (n) = \ frac (n (n + 1)) (2) $$
$$ \ sum_ (1) ^ (100) = \ فرانک (100 (100 + 1)) (2) = 50 \ cdot 101 = 5050 $$
او چطور این کار را انجام داد؟ بیایید سعی کنیم با استفاده از مثال مقدار از 1 تا 10 آن را بفهمیم.
روش اول: اعداد را به جفت تقسیم کنید
بیایید اعداد 1 تا 10 را به صورت ماتریسی با دو سطر و پنج ستون بنویسیم:
$$ \ چپ (\ شروع (آرایه) (ج) 1 و 2 و 3 و 4 و 5 \\ 10 و 9 و 8 و 7 و 6 \ پایان (آرایه) \ سمت راست) $$
جالب است که مجموع هر ستون 11 یا $ n + 1 $ است. و 5 جفت از این قبیل اعداد یا $ \ frac (n) (2) $ وجود دارد. ما فرمول خود را دریافت می کنیم:
$$ عدد \ ستون \ cdot مجموع \ اعداد \ در \ ستون = \ فراک (n) (2) \ cdot (n + 1) $$
اگر تعداد افراد فرد باشد؟
اگر اعداد 1 تا 9 را جمع کنید چه؟ ما برای ایجاد پنج جفت یک عدد از دست می دهیم، اما می توانیم صفر را بگیریم:
$$ \ چپ (\ شروع (آرایه) (c) 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 9 & 8 & 7 & 6 & 5 \ پایان (آرایه) \ سمت راست) $$
مجموع ستون ها اکنون 9 یا دقیقاً n $ است. و تعداد ستون ها؟ هنوز پنج ستون وجود دارد (به لطف صفر!)، اما اکنون تعداد ستون ها $ \ frac (n + 1) (2) $ است (y ما n $ + 1 $ و نصف تعداد ستون ها داریم).
$$ عدد \ ستون \ cdotSum \ اعداد \ در \ ستون = \ فراک (n + 1) (2) \ cdot n $$
راه دوم: دوبل کنید و روی دو خط بنویسید
مجموع اعداد را در این دو مورد کمی متفاوت محاسبه می کنیم.
شاید راهی برای محاسبه مجموع برای تعداد زوج و فرد وجود داشته باشد؟
به جای اینکه از اعداد نوعی "حلقه" درست کنیم، آنها را در دو خط بنویسیم، در حالی که تعداد اعداد را در دو ضرب می کنیم:
$$ \ سمت چپ (\ شروع (آرایه) (ج) 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 و 7 و 8 و 9 و 10 \\ 10 و 9 و 8 و 7 و 6 و 5 و 4 و 3 و 2 و 1 \ انتهای (آرایه) \ سمت راست) $$
برای حالت عجیب و غریب:
$$ \ چپ (\ شروع (آرایه) (ج) 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 و 7 و 8 و 9 \\ 9 و 8 و 7 و 6 و 5 و 4 و 3 و 2 و 1 \ پایان (آرایه) \ سمت راست) $$
مشاهده می شود که در هر دو مورد مجموع ستون ها $ n + 1 $ و تعداد ستون ها $ n $ است.
$$ عدد \ ستون \ cdot مجموع \ اعداد \ در \ ستون = n \ cdot (n + 1) $$
اما ما فقط به جمع یک ردیف نیاز داریم، بنابراین:
$$ \ frac (n \ cdot (n + 1)) (2) $$
راه سوم: یک مستطیل بسازید
یک توضیح دیگر وجود دارد، بیایید سعی کنیم صلیب ها را تا کنیم، فرض کنید صلیب داریم:
به نظر می رسد فقط یک نمایش متفاوت از راه دوم - هر خط بعدی از هرم دارای ضربدرهای بیشتر و صفرهای کمتری است. تعداد تمام ضربدرها و صفرها مساحت مستطیل است.
$$ مساحت = ارتفاع \ cdot عرض = n \ cdot (n + 1) $$
اما ما به مجموع ضربدرها نیاز داریم، بنابراین:
$$ \ frac (n \ cdot (n + 1)) (2) $$
راه چهارم: میانگین حسابی
شناخته شده: $ میانگین \ حساب = \ فراک (جمع) (تعداد \ اعضا) $
سپس: $ Sum = میانگین \ حسابی \ cdot تعداد \ اعضا $
ما تعداد اعضا را می دانیم - $ n $. چگونه میانگین حسابی را بیان کنیم؟
توجه داشته باشید که اعداد به طور مساوی توزیع شده اند. برای هر عدد بزرگ، یک عدد کوچک در انتهای دیگر وجود دارد.
1 2 3، میانگین 2
1 2 3 4، میانگین 2.5
در این مورد، میانگین حسابی، میانگین حسابی اعداد 1 و $ n $ است، یعنی $ میانگین \ حساب = \ فراک (n + 1) (2) $
$$ مجموع = \ frac (n + 1) (2) \ cdot n $$
راه پنجم: انتگرال
همه ما می دانیم که یک انتگرال معین یک جمع را محاسبه می کند. بیایید مجموع 1 تا 100 را با یک انتگرال محاسبه کنیم؟ بله، اما ابتدا اجازه دهید حداقل مجموع 1 تا 3 را پیدا کنیم. اجازه دهید اعداد ما تابعی از y (x) باشند. بیایید یک تصویر بکشیم:
ارتفاع سه مستطیل دقیقاً اعداد 1 تا 3 است. بیایید یک خط مستقیم از وسط "کلاهک ها" بکشیم:
خوب است که معادله این خط را پیدا کنیم. از نقاط (1.5; 1) و (2.5; 2) عبور می کند. $ y = k \ cdot x + b $.
$$ \ شروع (موارد) 2.5k + b = 2 \\ 1.5k + b = 1 \ پایان (موارد) \ Rightarrow k = 1; b = -0.5 $$
بنابراین، معادله خط مستقیمی که با آن می توانیم مستطیل های خود را تقریب کنیم، y = x-0.5 $ است.
مثلث های زرد را از مستطیل ها جدا می کند، اما از بالا به آنها رنگ آبی اضافه می کند. زرد برابر با آبی است. ابتدا، بیایید مطمئن شویم که استفاده از انتگرال به فرمول گاوس منجر می شود:
$$ \ int_ (1) ^ (n + 1) (x- \ frac (1) (2)) \, dx = (\ frac (x ^ (2)) (2) - \ frac (x) (2 )) (|) ^ (n + 1) _ (1) = \ فراک ((n + 1) ^ (2)) (2) - \ فراک (n + 1) (2) = \ فراک (n ^ ( 2) + 2n + 1-n-1) (2) = \ فراک (n ^ (2) + n) (2) $$
حالا بیایید مجموع 1 تا 3 را محاسبه کنیم، با x از 1 تا 4 می گیریم، به طوری که هر سه مستطیل ما در انتگرال قرار می گیرند:
$$ \ int_ (1) ^ (4) (x- \ frac (1) (2)) \, dx = (\ frac (x ^ (2)) (2) - \ frac (x) (2)) (|) ^ (4) _ (1) = \ فراک (4 ^ (2)) (2) -2- (0.5-0.5) = 6 $$
$$ \ int_ (1) ^ (101) (x- \ frac (1) (2)) \, dx = (\ frac (x ^ (2)) (2) - \ frac (x) (2)) (|) ^ (101) _ (1) = \ فرانک (101 ^ (2)) (2) -50.5- (0.5-0.5) = 5100.5-50.5 = 5050 $$
و چرا این همه لازم است؟
$$ \ فراک (n (n + 1)) (2) = \ فراک (n ^ (2)) (2) + \ فرک (n) (2) $$
در روز اول یک نفر به سایت شما آمد، در روز دوم دو ... هر روز تعداد بازدیدها 1 افزایش می یابد. سایت تا پایان روز 1000 چند بازدید خواهد داشت؟
$$ \ فراک (n (n + 1)) (2) = \ فراک (n ^ (2)) (2) + \ فراک (n) (2) = \ فراک (1000 ^ (2)) (2) + \ فرانک (1000) (2) = 500000 + 500 = 500500 دلار
چرخه "ریاضیات سرگرم کننده" به کودکان علاقه مند به ریاضیات و والدینی اختصاص دارد که زمانی را به رشد کودکان خود اختصاص می دهند و کارها و پازل های جالب و سرگرم کننده را برای آنها "پرتاب" می کنند.
اولین مقاله از این مجموعه به قانون گاوس اختصاص دارد.
کمی تاریخ
ریاضیدان معروف آلمانی کارل فردریش گاوس (1777-1855) از دوران کودکی با همسالان خود تفاوت داشت. با وجود اینکه از خانواده ای فقیر بود، خواندن، نوشتن و شمارش را زود آموخت. در زندگی نامه او حتی به این موضوع اشاره شده است که او در سن 4-5 سالگی به سادگی با مشاهده او توانسته اشتباه محاسبات اشتباه پدرش را اصلاح کند.
یکی از اولین اکتشافات او در سن 6 سالگی در کلاس ریاضی انجام شد. معلم نیاز داشت بچه ها را برای مدت طولانی اسیر خود کند و مشکل زیر را مطرح کرد:
مجموع تمام اعداد طبیعی از 1 تا 100 را بیابید.
گاوس جوان به سرعت با این کار کنار آمد و الگوی جالبی پیدا کرد که فراگیر شد و تا به امروز در شمارش شفاهی استفاده می شود.
بیایید سعی کنیم این مشکل را به صورت شفاهی حل کنیم. اما ابتدا اعداد 1 تا 10 را در نظر می گیریم:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
به این مقدار دقت کنید و سعی کنید حدس بزنید که گاوس چه چیزی غیرعادی می تواند ببیند؟ برای پاسخ، باید ایده خوبی از ترکیب اعداد داشته باشید.
گاوس اعداد را به صورت زیر گروه بندی کرد:
(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)
بنابراین، کارل کوچک 5 جفت اعداد دریافت کرد که هر کدام به صورت مجزا به 11 می رسد. سپس، برای محاسبه مجموع اعداد طبیعی از 1 تا 10، باید
بیایید به مشکل اصلی برگردیم. گاوس متوجه شد که لازم است اعداد را قبل از جمع کردن به جفت گروه بندی کرد و بنابراین الگوریتمی اختراع کرد که به لطف آن می توانید به سرعت اعداد 1 تا 100 را اضافه کنید:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
تعداد جفت های یک سری اعداد طبیعی را بیابید. در این مورد، 50 مورد از آنها وجود دارد.
شماره های اول و آخر این مجموعه را خلاصه می کنیم. در مثال ما، اینها 1 و 100 هستند. ما 101 را دریافت می کنیم.
مجموع حاصل از جمله اول و آخر سری را در تعداد جفت های این سری ضرب می کنیم. ما 101 * 50 = 5050 می گیریم
بنابراین مجموع اعداد طبیعی از 1 تا 100 5050 است.
مشکلات استفاده از قانون گاوس
و اکنون ما مشکلاتی را به شما پیشنهاد می کنیم که در آنها از قانون گاوس به یک درجه یا درجات دیگر استفاده می شود. یک دانش آموز کلاس چهارم کاملاً قادر به درک و حل این مشکلات است.
می توانید به کودک این فرصت را بدهید که برای خودش استدلال کند تا خودش این قانون را "اختراع" کند. یا می توانید آن را جدا کنید و ببینید که او چگونه می تواند آن را اعمال کند. در میان کارهای زیر، نمونه هایی وجود دارد که در آنها باید بدانید که چگونه قانون گاوسی را تغییر دهید تا آن را در یک دنباله معین اعمال کنید.
در هر صورت، برای اینکه کودک در محاسبات خود با آن عمل کند، لازم است الگوریتم گاوس را درک کند، یعنی توانایی تقسیم صحیح به جفت و شمارش.
مهم!اگر فرمولی بدون درک حفظ شود، خیلی سریع فراموش می شود.
مشکل 1
جمع اعداد را بیابید:
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.
راه حل.
ابتدا می توانید به کودک این فرصت را بدهید که خودش مثال اول را حل کند و به او پیشنهاد دهید راهی پیدا کند که انجام آن در ذهن آسان باشد. سپس، این مثال را همراه با کودک تحلیل کنید و نشان دهید که گاوس چگونه این کار را انجام داده است. بهتر است یک سری برای وضوح بنویسید و جفت اعداد را با خطوطی که مجموع آنها به یک عدد می رسد به هم وصل کنید. مهم است که کودک نحوه تشکیل جفت ها را بفهمد - ما کوچکترین و بزرگترین اعداد باقی مانده را می گیریم، مشروط بر اینکه تعداد اعداد در ردیف زوج باشد.
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050
وظیفه2
9 وزن 1 گرم، 2 گرم، 3 گرم، 4 گرم، 5 گرم، 6 گرم، 7 گرم، 8 گرم، 9 گرم وجود دارد. آیا می توان این وزنه ها را به سه شمع هم وزن تقسیم کرد؟
راه حل.
با استفاده از قانون گاوس، مجموع تمام اوزان را پیدا می کنیم:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (د)
بنابراین، اگر بتوانیم وزن ها را طوری دسته بندی کنیم که هر شمع دارای وزنه هایی با وزن کل 15 گرم باشد، مشکل حل می شود.
یکی از گزینه ها:
- 9 گرم، 6 گرم
- 8 گرم، 7 گرم
- 5 گرم، 4 گرم، 3 گرم، 2 گرم، 1 گرم
گزینه های احتمالی دیگر را خودتان با فرزندتان پیدا کنید.
به این نکته توجه کنید که هنگام حل چنین مشکلاتی، بهتر است همیشه گروه بندی را با وزنه (عدد) بزرگتر شروع کنید.
مشکل 3
آیا می توان صفحه ساعت را با یک خط مستقیم به دو قسمت تقسیم کرد تا مجموع اعداد هر قسمت برابر باشد؟
راه حل.
برای شروع، قانون گاوس را روی یک سری اعداد 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12 اعمال کنید: مجموع را پیدا کنید و ببینید آیا بر 2 بخش پذیر است یا خیر.
بنابراین می توانید تقسیم کنید. حالا ببینیم چطور.
بنابراین، باید یک خط روی صفحه بکشید تا 3 جفت در یک نیمه، و سه جفت در نیمه دیگر قرار گیرند.
پاسخ: خط بین اعداد 3 و 4 و سپس بین اعداد 9 و 10 قرار خواهد گرفت.
وظیفه4
آیا می توان روی صفحه ساعت دو خط مستقیم کشید که در هر قسمت مجموع اعداد یکسان باشد؟
راه حل.
برای شروع، قانون گاوس را روی یک سری اعداد 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12 اعمال کنید: مجموع را پیدا کنید و ببینید آیا بر 3 بخش پذیر است یا خیر.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78
78 بدون باقی مانده بر 3 بخش پذیر است، بنابراین می توانید تقسیم کنید. حالا ببینیم چطور.
طبق قانون گاوس، 6 جفت عدد به دست می آید که مجموع هر کدام 13 می شود:
1 و 12، 2 و 11، 3 و 10، 4 و 9، 5 و 8، 6 و 7.
بنابراین باید خطوطی روی صفحه بکشید تا در هر قسمت 2 جفت بیفتد.
پاسخ: خط اول بین اعداد 2 و 3 و سپس بین اعداد 10 و 11 اجرا می شود. خط دوم بین اعداد 4 و 5 و سپس بین 8 و 9 قرار دارد.
مشکل 5
دسته ای از پرندگان در حال پرواز هستند. یک پرنده (رهبر) جلوتر است و به دنبال آن دو، سپس سه، چهار و غیره. اگر 20 تا در ردیف آخر باشد چند پرنده در گله وجود دارد؟
راه حل.
دریافتیم که باید اعداد 1 تا 20 را جمع کنیم. و برای محاسبه چنین مجموعی، می توانید قانون گاوس را اعمال کنید:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.
مشکل 6
چگونه 45 خرگوش را در 9 قفس قرار دهیم تا همه قفس ها تعداد خرگوش های متفاوتی داشته باشند؟
راه حل.
اگر کودک تصمیم گرفت و مثال‌های مربوط به کار 1 را با درک فهمید، بلافاصله به یاد می‌آورد که 45 مجموع اعداد 1 تا 9 است. بنابراین، خرگوش‌ها را به این صورت می‌کاریم:
- اولین سلول 1 است،
- دوم - 2،
- سوم - 3،
- هشتم - 8،
- نهم - 9.
اما اگر کودک نمی تواند فوراً آن را بفهمد، سعی کنید او را به این ایده سوق دهید که چنین مشکلاتی را می توان با زور وحشیانه حل کرد و باید با حداقل تعداد شروع شود.
مسئله 7
با استفاده از ترفند گاوس جمع را محاسبه کنید:
- 31 + 32 + 33 + … + 40;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.
راه حل.
- 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.
مسئله 8
مجموعه ای از 12 وزن 1 گرم، 2 گرم، 3 گرم، 4 گرم، 5 گرم، 6 گرم، 7 گرم، 8 گرم، 9 گرم، 10 گرم، 11 گرم، 12 گرم وجود دارد. 4 وزنه از مجموعه حذف شد که مجموع جرم آنها برابر با یک سوم مجموع وزن کل مجموعه وزنه ها است. آیا می توان وزنه های باقی مانده را روی دو ترازو 4 تکه ای روی هر تابه قرار داد تا در حالت تعادل قرار گیرند؟
راه حل.
از قانون گاوس برای یافتن مجموع جرم وزن ها استفاده می کنیم:
1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (د)
جرم وزنه هایی که حذف شده اند را محاسبه می کنیم:
بنابراین وزنه های باقیمانده (با مجموع جرم 78-26 = 52 گرم) باید 26 گرم روی هر تشت ترازو گذاشته شود تا در حالت تعادل قرار گیرند.
ما نمی دانیم کدام وزنه ها حذف شده اند، بنابراین باید همه گزینه های ممکن را در نظر بگیریم.
با استفاده از قانون گاوس، وزن ها را می توان به 6 جفت با وزن مساوی (هر کدام 13 گرم) تقسیم کرد:
1d و 12d، 2d و 11d، 3d و 10، 4d و 9d، 5d و 8d، 6d و 7d.
سپس بهترین گزینه زمانی است که هنگام برداشتن 4 وزنه، دو جفت از موارد بالا حذف شوند. در این صورت 4 جفت خواهیم داشت: 2 جفت در یک ترازو و 2 جفت در دیگری.
بدترین حالت زمانی است که 4 وزنه حذف شده 4 جفت را بشکنند. ما 2 جفت نشکن با وزن کل 26 گرم خواهیم داشت، یعنی آنها را روی یک کفه ترازو قرار می دهیم و وزنه های باقی مانده را می توان روی ترازو دیگر قرار داد و آنها نیز 26 گرم می شوند.
در رشد فرزندانتان موفق باشید.
امروز یکی از مسائل ریاضی را که باید با برادرزاده ام حل می کردم را بررسی می کنیم. و سپس آن را از طریق PHP پیاده سازی می کنیم. و ما چندین گزینه را برای حل این مشکل در نظر خواهیم گرفت.
وظیفه:
شما باید به سرعت تمام اعداد از 1 تا 100 را یکی پس از دیگری جمع کنید و مجموع همه اعداد را پیدا کنید.
راه حل مشکل:
در واقع وقتی برای اولین بار این مشکل را حل کردیم، آن را درست حل نکردیم! اما در مورد راه حل اشتباه این مشکل نخواهیم نوشت.
و راه حل بسیار ساده و پیش پا افتاده است - باید 1 و 100 را جمع کنید و در 50 ضرب کنید. (کارل گاوس زمانی که بسیار جوان بود چنین راه حلی داشت ...)
(1 + 100)*50.
چگونه این مشکل را از طریق php حل کنیم؟
مجموع اعداد 1 تا 100 را با PHP محاسبه کنید.
وقتی قبلا این مشکل را حل کردیم، تصمیم گرفتیم ببینیم آنها در اینترنت در مورد این موضوع چه می نویسند! و شکلی پیدا کردم که استعدادهای جوان نتوانستند این مشکل را حل کنند و سعی کردم آن را در یک چرخه انجام دهم.
اگر شرط خاصی برای انجام آن از طریق حلقه وجود نداشته باشد، انجام آن از طریق حلقه فایده ای ندارد!
و بله! فراموش نکنید که در php می توانید مشکل را از راه های مختلفی حل کنید! یکی
این کد می تواند هر دنباله ای از اعداد را به طور کلی اضافه کند، از یک تا بی نهایت.
بیایید راه حل خود را در ساده ترین شکل آن پیاده سازی کنیم:
$ end = $ _POST ["peremennaya"];
$ res = $ end / 2 * ($ i + $ end);
