Այստեղ մենք կշարունակենք առաջին մասում սկսված մատրիցների վրա կատարվող գործողությունների թեման և կվերլուծենք մի քանի օրինակ, որոնցում պետք է միանգամից մի քանի գործողություններ կիրառել:
Մատրիցայի բարձրացում մինչև հզորություն:
Թող k-ն լինի ոչ բացասական ամբողջ թիվ: Ցանկացած քառակուսի մատրիցի համար $A_(n\ անգամ n)$ մենք ունենք՝ $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; անգամ) $$
Այստեղ մենք ենթադրում ենք, որ $A^0=E$, որտեղ $E$-ը համապատասխան կարգի ինքնության մատրիցն է։
Օրինակ #4
Տրված է $ A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)$ մատրիցը։ Գտեք $A^2$ և $A^6$ մատրիցները:
Ըստ $A^2=A\cdot A$-ի սահմանման, այսինքն. $A^2$ գտնելու համար մենք պարզապես պետք է բազմապատկենք $A$ մատրիցն ինքն իրենով: Մատրիցային բազմապատկման գործողությունը դիտարկվել է թեմայի առաջին մասում, ուստի այստեղ մենք պարզապես գրում ենք լուծման գործընթացը առանց մանրամասն բացատրությունների.
$$ A^2=A\cdot A=\left(\սկիզբ(զանգված) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \աջ)\cdot \left(\սկիզբ(զանգված) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \վերջ (զանգված) \աջ)= \ձախ (\սկիզբ (զանգված) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \վերջ (զանգված) \աջ )= \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \աջ): $$
$A^6$ մատրիցը գտնելու համար մենք ունենք երկու տարբերակ։ Տարբերակ առաջին. չնչին է շարունակել $A^2$-ը բազմապատկել $A$ մատրիցով:
$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$
Այնուամենայնիվ, կարելի է գնալ մի փոքր ավելի պարզ ձևով, օգտագործելով մատրիցային բազմապատկման ասոցիատիվ հատկությունը։ Եկեք փակագծեր դնենք $A^6$ արտահայտության մեջ.
$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cdot A^2. $$
Եթե առաջին մեթոդի լուծումը կպահանջի չորս բազմապատկման գործողություն, ապա երկրորդ մեթոդի համար՝ ընդամենը երկու: Այսպիսով, եկեք գնանք երկրորդ ճանապարհով.
$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \աջ)\ cdot \left(\սկիզբ(զանգված) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \վերջ (զանգված) \աջ)\cdot \left(\սկիզբ(զանգված) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \վերջ (զանգված) \աջ)=\\= \ձախ(\սկիզբ(զանգված) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4 )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \վերջ (զանգված) \աջ)\cdot \ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \վերջ (զանգված) \աջ)= \ձախ (\սկիզբ (զանգված) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \վերջ ( զանգված) \աջ)\cdot \left(\սկիզբ(զանգված) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \վերջ (զանգված) \աջ)=\\= \left(\սկիզբ(զանգված) (cc ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right). $$
Պատասխանել$A^2=\ձախ(\սկիզբ(զանգված) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \վերջ(զանգված) \աջ)$, $A^6=\ձախ(\սկիզբ(զանգված) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \վերջ (զանգված) \աջ) $:
Օրինակ #5
Տրված մատրիցները $ A=\ ձախ (\սկիզբ (զանգված) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \վերջ (զանգված) \աջ)$, $ B=\ ձախ (\սկիզբ (զանգված) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \վերջ (զանգված) \աջ)$, $ C=\ ձախ (\սկիզբ(զանգված) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \վերջ (զանգված) \ ճիշտ) $. Գտեք $D=2AB-3C^T+7E$ մատրիցը:
Մենք սկսում ենք $D$ մատրիցայի հաշվարկը՝ գտնելով $AB$ արտադրյալի արդյունքը։ $A$ և $B$ մատրիցները կարելի է բազմապատկել, քանի որ $A$ մատրիցայի սյունակների թիվը հավասար է $B$ մատրիցայի տողերի թվին։ Նշեք $F=AB$: Այս դեպքում $F$ մատրիցը կունենա երեք սյունակ և երեք տող, այսինքն. կլինի քառակուսի (եթե այս ածանցումը թվում է ոչ ակնհայտ, տես մատրիցային բազմապատկման նկարագրությունը այս թեմայի առաջին մասում): Գտեք $F$ մատրիցը՝ հաշվարկելով դրա բոլոր տարրերը.
$$ F=A\cdot B=\ ձախ (\սկիզբ (զանգված) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ վերջ(զանգված) \աջ)\cdot \ձախ(\սկիզբ(զանգված) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \\ վերջ (զանգված) \աջ)\\ \սկիզբ (հավասարեցված) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9) )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \վերջ (հավասարեցված) $$
Այսպիսով, $F=\left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \աջ)$: Եկեք ավելի հեռու գնանք: $C^T$ մատրիցը $C$ մատրիցի փոխադրված մատրիցն է, այսինքն. $ C^T=\ ձախ (\սկիզբ (զանգված) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \վերջ (զանգված) \աջ) $: Ինչ վերաբերում է $E$ մատրիցին, ապա դա ինքնության մատրիցն է: Վ այս դեպքըայս մատրիցայի կարգը երեքն է, այսինքն. $E=\left(\սկիզբ(զանգված) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \աջ)$:
Սկզբունքորեն քայլ առ քայլ կարող ենք առաջ գնալ, բայց ավելի լավ է մնացած արտահայտությունը դիտարկել որպես ամբողջություն՝ առանց օժանդակ գործողություններով շեղվելու։ Փաստորեն, մեզ մնում են միայն մատրիցները թվով բազմապատկելու գործողությունները, ինչպես նաև գումարման և հանման գործողությունները։
$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\սկիզբ(զանգված) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ վերջ(զանգված) \աջ)-3\cdot \ձախ(\սկիզբ(զանգված) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \վերջ (զանգված) \ աջ)+7\cdot \ձախ(\սկիզբ(զանգված) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \վերջ (զանգված) \աջ) $$
Եկեք բազմապատկենք հավասարության աջ կողմի մատրիցները համապատասխան թվերով (այսինքն՝ 2-ով, 3-ով և 7-ով).
$$ 2\cdot \left(\սկիզբ(զանգված) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \վերջ (զանգված) \աջ) -3\ cdot \left(\սկիզբ(զանգված) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \վերջ (զանգված) \աջ)+7\cdot \ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \վերջ (զանգված) \աջ)=\\= \ձախ (\սկիզբ (զանգված) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \վերջ (զանգված) \աջ) -\ ձախ (\սկիզբ (զանգված) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \վերջ (զանգված) \աջ)+\ ձախ (\սկիզբ (զանգված) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \վերջ (զանգված) \աջ) $$
Եկեք անենք դա վերջին գործունեությունը: հանում և գումարում.
$$ \ ձախ (\սկիզբ (զանգված) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \վերջ (զանգված) \աջ) -\ ձախ (\սկիզբ) (զանգված) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \վերջ (զանգված) \աջ)+\ ձախ (\սկիզբ (զանգված) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \վերջ (զանգված) \աջ)=\\ =\ ձախ (\սկիզբ (զանգված) (ccc) -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27 +0 & 14-24+7 \վերջ (զանգված) \աջ)= \ձախ (\սկիզբ (զանգված) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \վերջ (զանգված)\աջ): $$
Խնդիրը լուծված է, $D=\left(\սկիզբ(զանգված) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \վերջ (զանգված) \աջ)$ .
Պատասխանել$D=\left(\սկիզբ(զանգված) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \վերջ (զանգված) \աջ)$:
Օրինակ #6
Թող $f(x)=2x^2+3x-9$ և մատրիցը $ A=\left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right) $: Գտեք $f(A)$-ի արժեքը:
Եթե $f(x)=2x^2+3x-9$, ապա $f(A)$-ը մատրից է.
$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$
Այսպես է սահմանվում բազմանդամը մատրիցայում։ Այսպիսով, մենք պետք է փոխարինենք $A$ մատրիցը $f(A)$ արտահայտության մեջ և ստանանք արդյունքը: Քանի որ բոլոր գործողությունները ավելի վաղ մանրամասն վերլուծվել են, այստեղ ես ուղղակի լուծում կտամ. Եթե $A^2=A\cdot A$ գործողության կատարման գործընթացը ձեզ համար պարզ չէ, ապա խորհուրդ եմ տալիս նայել այս թեմայի առաջին մասի մատրիցային բազմապատկման նկարագրությունը։
$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \ձախ(\սկիզբ(զանգված) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \վերջ (զանգված) \աջ)\cdot \ձախ(\սկիզբ(զանգված) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \վերջ(զանգված) \աջ)+3 \ձախ(\սկիզբ(զանգված) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \վերջ (զանգված) \աջ) -9\ ձախ (\սկիզբ (զանգված) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \վերջ (զանգված) \աջ)=\\ =2 \ձախ( \սկիզբ(զանգված) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \վերջ (զանգված) \աջ)+3 \ձախ (\սկիզբ (զանգված) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \վերջ (զանգված) \աջ) -9 \ ձախ (\սկիզբ (զանգված) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \վերջ (զանգված) \աջ)=\\ =2 \ձախ (\սկիզբ (զանգված) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \վերջ (զանգված) \աջ)+3 \ձախ (\սկիզբ (զանգված) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \վերջ (զանգված) \աջ) -9\ ձախ (\սկիզբ (զանգված ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \վերջ (զանգված) \աջ) =\ ձախ (\սկիզբ (զանգված) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \վերջ (զանգված) \աջ) +\ ձախ (\սկիզբ (զանգված) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \վերջ (զանգված) \աջ) -\ ձախ (\սկիզբ (զանգված) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ end(array) \right)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right). $$
Պատասխանել$f(A)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \աջ)$:
A -1 մատրիցը կոչվում է հակադարձ մատրիցա A մատրիցի նկատմամբ, եթե A * A -1 \u003d E, որտեղ E-ն n-րդ կարգի նույնական մատրիցն է: Հակադարձ մատրիցը կարող է գոյություն ունենալ միայն քառակուսի մատրիցների համար:
Ծառայության հանձնարարություն. Միջոցով այս ծառայությունըառցանց կարող եք գտնել հանրահաշվական հավելումներ, փոխադրված A T մատրիցը, միության մատրիցը և հակադարձ մատրիցը: Լուծումն իրականացվում է անմիջապես կայքում (առցանց) և անվճար է։ Հաշվարկի արդյունքները ներկայացված են հաշվետվության մեջ Word ձևաչափով և մ excel ձևաչափով(այսինքն հնարավոր է ստուգել լուծումը): տես դիզայնի օրինակ:
Հրահանգ. Լուծում ստանալու համար դուք պետք է նշեք մատրիցայի չափը: Հաջորդը, նոր երկխոսության վանդակում, լրացրեք A մատրիցը:
Տես նաև Հորդանան-Գաուսի մեթոդով հակադարձ մատրիցա
Հակադարձ մատրիցը գտնելու ալգորիթմ
- Գտնելով փոխադրված մատրիցը A T.
- Հանրահաշվական հավելումների սահմանում. Մատրիցի յուրաքանչյուր տարր փոխարինիր իր հանրահաշվական լրացմամբ:
- Նախագծում հակադարձ մատրիցահանրահաշվական հավելումներից. ստացված մատրիցայի յուրաքանչյուր տարր բաժանվում է սկզբնական մատրիցայի որոշիչով: Ստացված մատրիցը սկզբնական մատրիցի հակադարձությունն է:
- Որոշեք, արդյոք մատրիցը քառակուսի է: Եթե ոչ, ապա դրա համար հակադարձ մատրիցա չկա։
- Ա մատրիցի որոշիչի հաշվարկը. Եթե այն հավասար չէ զրոյի, մենք շարունակում ենք լուծումը, հակառակ դեպքում հակադարձ մատրիցը գոյություն չունի։
- Հանրահաշվական հավելումների սահմանում.
- Միության (փոխադարձ, կից) մատրիցայի լրացում Գ.
- Հակադարձ մատրիցի կազմում հանրահաշվական գումարումներից. C հարակից մատրիցի յուրաքանչյուր տարր բաժանվում է սկզբնական մատրիցի որոշիչով: Ստացված մատրիցը սկզբնական մատրիցի հակադարձությունն է:
- Ստուգեք՝ բազմապատկեք բնօրինակը և ստացված մատրիցները: Արդյունքը պետք է լինի ինքնության մատրիցա:
Օրինակ #1. Մատրիցը գրում ենք հետևյալ ձևով.
| A -1 = |
|
Հակադարձ մատրիցը գտնելու ևս մեկ ալգորիթմ
Ներկայացնում ենք հակադարձ մատրիցը գտնելու մեկ այլ սխեմա։- Գտե՛ք տրված քառակուսի Ա մատրիցի որոշիչը:
- Մենք գտնում ենք հանրահաշվական հավելումներ A մատրիցայի բոլոր տարրերին:
- Տողերի տարրերի հանրահաշվական լրացումները գրում ենք սյունակներում (փոխադրում):
- Ստացված մատրիցայի յուրաքանչյուր տարր բաժանում ենք A մատրիցայի որոշիչով:
Հատուկ դեպքՀակադարձը, կապված E նույնական մատրիցի հետ, նույնականության E մատրիցն է:
Մատրիցների վրա գործողությունների որոշ հատկություններ.
Մատրիցային արտահայտություններ
Իսկ այժմ կհաջորդի թեմայի շարունակությունը, որում կդիտարկենք ոչ միայն նոր նյութ, բայց մենք կաշխատենք մատրիցային գործողություններ.
Մատրիցների վրա գործողությունների որոշ հատկություններ
Կան բավականին քիչ հատկություններ, որոնք վերաբերում են մատրիցներով գործողություններին, նույն Վիքիպեդիայում դուք կարող եք հիանալ համապատասխան կանոնների բարակ շարքերով: Այնուամենայնիվ, գործնականում շատ հատկություններ որոշակի առումով «մեռած» են, քանի որ դրանցից միայն որոշներն են օգտագործվում իրական խնդիրների լուծման ընթացքում: Իմ նպատակն է դիտարկել հատկությունների կիրառական կիրառումը կոնկրետ օրինակներով, և եթե ձեզ անհրաժեշտ է խիստ տեսություն, խնդրում ենք օգտագործել տեղեկատվության այլ աղբյուր:
Հաշվի առեք մի քանիսը բացառություններ կանոնիցպահանջվում է գործնական առաջադրանքներ կատարելու համար.
Եթե քառակուսի մատրիցն ունի հակադարձ մատրիցա, ապա դրանց բազմապատկումը փոխադարձ է. 
ինքնության մատրիցակոչվում է քառակուսի մատրից հիմնական անկյունագիծմիավորները գտնվում են, իսկ մնացած տարրերը հավասար են զրոյի: Օրինակ՝ և այլն։
Որտեղ հետևյալ հատկությունը ճշմարիտ էԵթե կամայական մատրիցը բազմապատկվում է ձախ կամ աջհամապատասխան չափերի նույնական մատրիցով, ապա արդյունքը սկզբնական մատրիցն է.
Ինչպես տեսնում եք, այստեղ տեղի է ունենում նաև մատրիցային բազմապատկման կոմուտատիվությունը։
Վերցնենք մի մատրիցա, լավ, ասենք նախորդ խնդրի մատրիցը. 
.
Ցանկացողները կարող են ստուգել և համոզվել, որ. 
Մատրիցների նույնականացման մատրիցը թվերի թվային միավորի անալոգն է, ինչը հատկապես հստակ երևում է հենց նոր դիտարկված օրինակներից:
Թվային գործոնի փոխադարձությունը մատրիցային բազմապատկման նկատմամբ
Հետևյալ հատկությունը գործում է մատրիցների և իրական թվերի համար. 
Այսինքն՝ թվային գործոնը կարելի է (և պետք է) առաջ տանել, որպեսզի այն «չխանգարի» բազմապատկվող մատրիցներին։
Նշում Ընդհանուր առմամբ, գույքի ձևակերպումը թերի է. «lambda»-ն կարող է տեղադրվել մատրիցների միջև ցանկացած վայրում, նույնիսկ վերջում: Կանոնը մնում է ուժի մեջ, եթե երեք կամ ավելի մատրիցաները բազմապատկվեն:
Օրինակ 4
Հաշվարկել արտադրանքը 
Լուծում:
(1) Ըստ սեփականության 
տեղափոխել թվային գործակիցը առաջ: Մատրիցներն իրենք չեն կարող վերադասավորվել:
(2) - (3) Կատարել մատրիցային բազմապատկում:
(4) Այստեղ դուք կարող եք բաժանել յուրաքանչյուր թիվը 10, բայց հետո մատրիցային տարրերի մեջ կհայտնվեն տասնորդական կոտորակներ, ինչը լավ չէ: Այնուամենայնիվ, մենք նկատում ենք, որ մատրիցայի բոլոր թվերը բաժանվում են 5-ի, ուստի մենք յուրաքանչյուր տարր բազմապատկում ենք .
Պատասխանել: 
Մի փոքր շառավիղ, որը պետք է ինքնուրույն լուծել.
Օրինակ 5
Հաշվեք, եթե 
Լուծում և պատասխան՝ դասի վերջում։
Ո՞ր տեխնիկան է կարևոր նման օրինակները լուծելու համար: Զբաղվել թվերի հետ վերջին .
Եկեք մեկ այլ վագոն կցենք լոկոմոտիվին.
Ինչպե՞ս բազմապատկել երեք մատրիցա:
Նախ, Ի՞ՆՉ պետք է լինի երեք մատրիցների բազմապատկման արդյունքը: Կատուն մուկ չի ծնի. Եթե մատրիցային բազմապատկումը հնարավոր է, ապա արդյունքը նույնպես կլինի մատրիցա: Դե, իմ հանրահաշվի ուսուցիչը չի տեսնում, թե ինչպես եմ բացատրում հանրահաշվի կառուցվածքի փակ լինելը նրա տարրերի նկատմամբ =)
Երեք մատրիցների արտադրյալը կարող է հաշվարկվել երկու եղանակով.
1) գտեք և այնուհետև բազմապատկեք «ce» մատրիցով.
2) կամ նախ գտիր, ապա կատարիր բազմապատկումը:
Արդյունքներն անպայման կհամընկնեն, այն էլ տեսականորեն այս հատկությունը կոչվում է մատրիցային բազմապատկման ասոցիատիվություն:
Օրինակ 6
Մատրիցները բազմապատկեք երկու եղանակով 
Ալգորիթմ լուծումներերկքայլ. գտնել երկու մատրիցների արտադրյալը, այնուհետև գտնել երկու մատրիցների արտադրյալը:
1) Օգտագործեք բանաձևը
Գործողություն առաջին.
Գործողություն երկրորդ.
2) Օգտագործեք բանաձևը
Գործողություն առաջին.
Գործողություն երկրորդ.
Պատասխանել: 
Ավելի ծանոթ ու ստանդարտ, իհարկե, լուծման առաջին ճանապարհն է, այնտեղ «իբր ամեն ինչ կարգին է»։ Ի դեպ, պատվերի մասին. Քննարկվող առաջադրանքում հաճախ պատրանք է առաջանում, որ խոսքը մատրիցների ինչ-որ փոխակերպման մասին է։ Նրանք այստեղ չեն։ Կրկին հիշեցնում եմ ընդհանուր առմամբ ՄԱՏՐԻՑՆԵՐԸ ՄԻ ՓՈԽԱՐԻՆԵՔ. Այսպիսով, երկրորդ պարբերությունում, երկրորդ քայլում, մենք կատարում ենք բազմապատկում, բայց ոչ մի դեպքում: Սովորական թվերով նման թիվ կանցներ, բայց ոչ մատրիցներով։
Բազմապատկման ասոցիատիվության հատկությունը վավեր է ոչ միայն քառակուսի, այլև կամայական մատրիցների համար, քանի դեռ դրանք բազմապատկվում են.
Օրինակ 7
Գտե՛ք երեք մատրիցների արտադրյալը 
Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Ընտրանքային լուծույթում հաշվարկներն իրականացվել են երկու եղանակով՝ վերլուծել, թե որ ճանապարհն է ավելի շահավետ և կարճ։
Մատրիցային բազմապատկման ասոցիատիվ հատկությունը նույնպես գործում է ավելինբազմապատկիչներ.
Հիմա ժամանակն է վերադառնալու մատրիցների հզորություններին։ Մատրիցայի քառակուսին դիտարկվում է հենց սկզբում և օրակարգում հարցն է.
Ինչպե՞ս խորանարդավորել մատրիցը և ավելի բարձր հզորությունները:
Այս գործողությունները նույնպես սահմանվում են միայն քառակուսի մատրիցների համար։ Քառակուսի մատրիցը խորանարդի բարձրացնելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել արտադրյալը.
Փաստորեն, սա հատուկ դեպքերեք մատրիցների բազմապատկումը՝ մատրիցային բազմապատկման ասոցիատիվության հատկությամբ. Եվ ինքն իրենով բազմապատկված մատրիցը մատրիցայի քառակուսին է.
Այսպիսով, մենք ստանում ենք աշխատանքային բանաձևը.
Այսինքն, առաջադրանքը կատարվում է երկու քայլով. նախ, մատրիցը պետք է քառակուսի լինի, այնուհետև ստացված մատրիցը բազմապատկվի մատրիցով:
Օրինակ 8
Բարձրացրեք մատրիցը խորանարդի վրա:
Սա փոքր խնդիր է, որը պետք է ինքնուրույն լուծել:
Մատրիցը չորրորդ ուժի բարձրացումն իրականացվում է բնական ճանապարհով. 
Օգտագործելով մատրիցային բազմապատկման ասոցիատիվությունը, մենք ստանում ենք երկու աշխատանքային բանաձև: Առաջին. երեք մատրիցների արտադրյալն է:
մեկ): Այսինքն՝ սկզբում գտնում ենք, այնուհետև այն բազմապատկում ենք «be»-ով, ստանում ենք խորանարդ, և վերջապես նորից կատարում ենք բազմապատկումը՝ կլինի չորրորդ աստիճան։
2) Բայց կա մեկ քայլ ավելի կարճ լուծում. Այսինքն՝ առաջին քայլում գտնում ենք քառակուսին և շրջանցելով խորանարդը՝ կատարում ենք բազմապատկում
Լրացուցիչ առաջադրանքՕրինակ 8:
Բարձրացրեք մատրիցը չորրորդ աստիճանի:
Ինչպես նշվեց, դա կարելի է անել երկու եղանակով.
1) Հենց որ խորանարդը հայտնի է, այնուհետև կատարում ենք բազմապատկում:
2) Այնուամենայնիվ, եթե, ըստ խնդրի պայմանի, պահանջվում է կառուցել մատրիցա միայն չորրորդ աստիճանում, ապա ձեռնտու է կրճատել ուղին. գտե՛ք մատրիցայի քառակուսին և օգտագործե՛ք բանաձևը։
Ե՛վ լուծումները, և՛ պատասխանը՝ դասի վերջում:
Նմանապես, մատրիցը բարձրացվում է հինգերորդ և ավելի բարձր ուժերի: Գործնական փորձից կարող եմ ասել, որ երբեմն լինում են 4-րդ աստիճանի բարձրացման օրինակներ, բայց ես արդեն հինգերորդ աստիճանի բան չեմ հիշում։ Բայց ամեն դեպքում ես կտամ օպտիմալ ալգորիթմը.
1) գտնել;
2) գտնել;
3) բարձրացնել մատրիցը հինգերորդ աստիճանի.
Այստեղ, հավանաբար, կան մատրիցային գործողությունների բոլոր հիմնական հատկությունները, որոնք կարող են օգտակար լինել գործնական խնդիրներում:
Դասի երկրորդ հատվածում ոչ պակաս գունեղ խնջույք է սպասվում։
Մատրիցային արտահայտություններ
Կրկնենք սովորական դպրոցական արտահայտությունները թվերով. Թվային արտահայտությունը բաղկացած է թվերից, մաթեմատիկական նշաններից և փակագծերից, օրինակ. 
. Հաշվարկներում վավեր է ծանոթ հանրահաշվական առաջնահերթությունը փակագծերը, ապա մահապատժի ենթարկվեց արմատների հզորացում / արդյունահանում, Հետո բազմապատկում / բաժանումև վերջապես - գումարում / հանում.
Եթե թվային արտահայտությունը իմաստ ունի, ապա դրա գնահատման արդյունքը թիվ է, Օրինակ:
Մատրիցային արտահայտություններգրեթե նույնը! Այն տարբերությամբ, որ հիմնական դերակատարները մատրիցներն են։ Գումարած որոշ հատուկ մատրիցային գործողություններ, ինչպիսիք են մատրիցի հակադարձ փոխադրումը և գտնելը:
Դիտարկենք մատրիցային արտահայտությունը 
, որտեղ կան որոշ մատրիցներ: Այս մատրիցային արտահայտությունն ունի երեք անդամ, և գումարման/հանման գործողությունները կատարվում են վերջինը:
Առաջին տերմինում նախ պետք է փոխադրել «be» մատրիցը: , ապա կատարել բազմապատկում և ստացված մատրիցին ավելացնել «երկու»: նշեք, որ փոխադրման գործողությունն ավելին ունի բարձր առաջնահերթությունքան բազմապատկումը. Փակագծերը, ինչպես թվային արտահայտություններում, փոխում են գործողությունների հերթականությունը. - այստեղ, նախ, կատարվում է բազմապատկում, այնուհետև ստացված մատրիցը փոխադրվում և բազմապատկվում է 2-ով:
Երկրորդ տերմինում նախ կատարվում է մատրիցային բազմապատկում, և հակադարձ մատրիցը արդեն հայտնաբերվել է արտադրյալից: Եթե փակագծերը հանված են՝ , ապա նախ պետք է գտնել հակադարձ մատրիցը, ապա բազմապատկել մատրիցները՝ . Հակադարձ մատրիցը գտնելը նույնպես գերակայում է բազմապատկմանը.
Երրորդ տերմինով ամեն ինչ ակնհայտ է. մենք մատրիցը բարձրացնում ենք խորանարդի մեջ և ավելացնում «հինգը» ստացված մատրիցին:
Եթե մատրիցային արտահայտությունը իմաստ ունի, ապա դրա գնահատման արդյունքը մատրից է.
Բոլոր առաջադրանքները կլինեն իրական թեստերից, և մենք կսկսենք ամենապարզից.
Օրինակ 9
Մատրիցային տվյալներ 
. Գտնել.
Լուծումգործողությունների հերթականությունը ակնհայտ է, սկզբում կատարվում է բազմապատկում, հետո գումարում։
Հավելումը հնարավոր չէ, քանի որ մատրիցները տարբեր չափերի են:
Մի զարմացեք, այս տեսակի առաջադրանքներում հաճախ առաջարկվում են ակնհայտ անհնարին գործողություններ։
Փորձենք հաշվարկել երկրորդ արտահայտությունը.
Այստեղ ամեն ինչ լավ է։
Պատասխանելգործողությունը չի կարող կատարվել, 
.
Գծային հանրահաշիվ դյումիների համար
Գծային հանրահաշիվը ուսումնասիրելու համար կարող եք կարդալ և խորանալ Ի.Վ. Բելոուսովի «Մատրիցներ և որոշիչներ» գրքում: Սակայն այն գրված է խիստ ու չոր մաթեմատիկական լեզվով, որը դժվար է հասկանալ միջին խելքով մարդկանց։ Ուստի ես վերապատմել եմ այս գրքի ամենադժվար ըմբռնելի հատվածները՝ փորձելով հնարավորինս պարզ ներկայացնել նյութը՝ դրա համար հնարավորինս օգտագործելով գծագրեր։ Ես բաց եմ թողել թեորեմների ապացույցները։ Ճիշտն ասած, ես ինքս չեմ խորացել դրանց մեջ։ Ես հավատում եմ պարոն Բելոուսովին։ Դատելով իր աշխատանքից՝ նա գրագետ ու խելացի մաթեմատիկոս է։ Նրա գիրքը կարող եք ներբեռնել այստեղից http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdfԵթե դուք պատրաստվում եք խորանալ իմ աշխատանքի մեջ, դա պետք է արվի, քանի որ ես հաճախ կանդրադառնամ Բելոուսովին։
Սկսենք սահմանումներից։ Ի՞նչ է մատրիցը: Այն թվերի, ֆունկցիաների կամ հանրահաշվական արտահայտությունների ուղղանկյուն աղյուսակ է։ Ինչու են անհրաժեշտ մատրիցները: Նրանք մեծապես հեշտացնում են բարդ մաթեմատիկական հաշվարկները: Մատրիցը կարելի է բաժանել տողերի և սյունակների (նկ. 1):
Տողերն ու սյունակները համարակալված են՝ սկսած ձախից
վերև (Նկար 1-1): Երբ ասում են՝ m n չափի մատրիցա (կամ m n-ով), նկատի ունեն մ տողերի քանակը, և տակ n սյունակների քանակը. Օրինակ, Նկար 1-1-ի մատրիցը 4-ը 3-ն է, ոչ թե 3-ը 4-ը:
Նայեք թզ. 1-3, որոնք են մատրիցները: Եթե մատրիցը բաղկացած է մեկ տողից, այն կոչվում է տողերի մատրից, իսկ եթե բաղկացած է մեկ սյունակից, ապա կոչվում է սյունակային մատրիցա։ Մատրիցը կոչվում է n-րդ կարգի քառակուսի, եթե դրանում տողերի թիվը հավասար է սյունակների թվին և հավասար է n-ի: Եթե մատրիցայի բոլոր տարրերը զրո են, ապա այն զրոյական մատրից է: Քառակուսի մատրիցը կոչվում է անկյունագծային, եթե դրա բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի, բացառությամբ հիմնական անկյունագծում գտնվողների:
Ես անմիջապես կբացատրեմ, թե որն է հիմնական անկյունագիծը: Այն ունի նույն տողերի և սյունակների համարները: Այն անցնում է ձախից աջ, վերևից ներքև: (նկ. 3) Տարրերը կոչվում են անկյունագծային, եթե դրանք գտնվում են հիմնական անկյունագծի վրա: Եթե բոլոր անկյունագծային տարրերը հավասար են մեկի (իսկ մնացածը զրոյի), մատրիցը կոչվում է նույնականություն: Երկու մատրիցներ A և B նույն չափըասում են, որ հավասար են, եթե դրանց բոլոր տարրերը նույնն են:
2 Մատրիցային գործողություններ և դրանց հատկությունները
X թվով մատրիցի արտադրյալը նույն չափի մատրից է։ Այս արտադրյալը ստանալու համար անհրաժեշտ է յուրաքանչյուր տարր բազմապատկել այս թվով (նկ. 4): Նույն չափի երկու մատրիցների գումարը ստանալու համար անհրաժեշտ է ավելացնել դրանց համապատասխան տարրերը (նկ. 4): Միևնույն չափի երկու մատրիցների A - B տարբերությունը ստանալու համար անհրաժեշտ է B մատրիցը բազմապատկել -1-ով և ստացված մատրիցն ավելացնել A մատրիցին (նկ. 4): Մատրիցների վրա կատարվող գործողությունների համար ճշմարիտ են հետևյալ հատկությունները՝ A+B=B+A (փոխափոխականության հատկություն):
(A + B) + C = A + (B + C) (ասոցիատիվ հատկություն): Պարզ ասած՝ ժամկետների տեղերի փոփոխությունից գումարը չի փոխվում։ Մատրիցների և թվերի վրա կատարվող գործողությունների համար ճշմարիտ են հետևյալ հատկությունները.
(թվերը նշանակենք x և y, իսկ մատրիցները՝ A և B) x(yA)=(xy)A
Այս հատկությունները նման են այն հատկություններին, որոնք գործում են թվերի վրա գործողությունների վրա: Տեսնել
օրինակներ Նկար 5-ում: Տես նաև Բելոուսովի օրինակները 2.4 - 2.6 9-րդ էջում:
Մատրիցային բազմապատկում.
Երկու մատրիցների բազմապատկումը սահմանվում է միայն այն դեպքում, եթե (թարգմանված ռուսերեն. մատրիցները կարող են բազմապատկվել միայն այն դեպքում, եթե) արտադրանքի առաջին մատրիցայի սյունակների թիվը հավասար է երկրորդի տողերի թվին (նկ. 7, վերևում, կապույտ փակագծեր): Ավելի լավ հիշելու համար՝ թիվ 1-ն ավելի շատ սյունակի է նման:Բազմապատկման արդյունքում ստացվում է չափի մատրիցա (տե՛ս նկար 6): Որպեսզի ավելի հեշտ լինի հիշել, թե ինչն է բազմապատկել ինչով, առաջարկում եմ հետևյալ ալգորիթմը՝ տես Նկար 7. Մենք A մատրիցը բազմապատկում ենք B մատրիցով:
մատրիցա A երկու սյունակ,
B մատրիցն ունի երկու տող. կարող եք բազմապատկել:
1) Եկեք գործ ունենանք B մատրիցայի առաջին սյունակի հետ (նա ունի միայն մեկ սյունակ): Մենք այս սյունակը գրում ենք տողի մեջ (տրանսպոն
սյունակ, փոխադրման մասին մի փոքր ավելի ցածր):
2) Մենք պատճենում ենք այս տողը, որպեսզի ստանանք A մատրիցի չափի մատրիցա։
3) Մենք բազմապատկում ենք այս մատրիցայի տարրերը A մատրիցի համապատասխան տարրերով։
4) Յուրաքանչյուր տողում ավելացնում ենք ստացված արտադրանքը և ստանումերկու տողերի և մեկ սյունակի արտադրանքի մատրիցա:
Նկար 7-1-ում բերված են մատրիցային բազմապատկման օրինակներ, որոնք ավելի մեծ են:
1) Այստեղ առաջին մատրիցն ունի երեք սյունակ, ուստի երկրորդը պետք է ունենա երեք տող: Ալգորիթմը ճիշտ նույնն է, ինչ նախորդ օրինակում, միայն այստեղ յուրաքանչյուր տողում կա երեք անդամ, ոչ թե երկու:
2) Այստեղ երկրորդ մատրիցն ունի երկու սյունակ։ Սկզբում մենք կատարում ենք ալգորիթմը առաջին սյունակով, ապա երկրորդով և ստանում ենք երկու-երկու մատրիցա։
3) Այստեղ երկրորդ մատրիցայի սյունակը բաղկացած է մեկ տարրից, սյունակը չի փոխվի փոխադրումից: Եվ ձեզ հարկավոր չէ որևէ բան ավելացնել, քանի որ առաջին մատրիցն ունի միայն մեկ սյունակ: Մենք ալգորիթմն անում ենք երեք անգամ և ստանում երեք-երեք մատրիցա։
Տեղի են ունենում հետևյալ հատկությունները.
1. Եթե գոյություն ունեն B + C գումարը և AB արտադրյալը, ապա A (B + C) = AB + AC
2. Եթե AB արտադրյալը գոյություն ունի, ապա x (AB) = (xA) B = A (xB):
3. Եթե գոյություն ունեն AB և BC արտադրանքներ, ապա A (BC) = (AB) C:
Եթե AB մատրիցային արտադրյալը գոյություն ունի, ապա BA արտադրյալը պետք չէ գոյություն ունենալ: Նույնիսկ եթե AB և BA արտադրանքները գոյություն ունեն, դրանք կարող են տարբեր չափերի մատրիցներ լինել:
Երկու արտադրյալներն էլ AB և BA գոյություն ունեն և նույն չափի մատրիցներ են միայն նույն կարգի A և B քառակուսի մատրիցների դեպքում: Այնուամենայնիվ, նույնիսկ այս դեպքում AB-ն չի կարող հավասարվել BA-ին:
Էքսպոենտացիա
Մատրիցը մինչև հզորության բարձրացնելն իմաստ ունի միայն քառակուսի մատրիցների համար (մտածեք ինչու՞): Այնուհետև A մատրիցի m դրական ամբողջ հզորությունը A-ին հավասար m մատրիցների արտադրյալն է: Նույնը, ինչ թվերի համար: Քառակուսի A մատրիցի զրո հզորությունը նույնականության մատրիցն է, ինչ A-ն: Եթե մոռացել եք, թե որն է նույնականացման մատրիցը, նայեք նկ. 3.
Ինչպես թվերի դեպքում, տեղի են ունենում հետևյալ հարաբերությունները.
A mA k=A m+k (A m)k=A mk
Տես օրինակներ Բելոուսովից 20-րդ էջում։
Մատրիցային փոխադրում
Տրանսպոզիցիան A մատրիցի փոխակերպումն է AT մատրիցի,
որում A մատրիցայի տողերը գրված են AT-ի սյունակներում՝ պահպանված կարգով: (նկ. 8): Այլ կերպ կարելի է ասել.
A մատրիցի սյունակները գրվում են AT մատրիցի տողերում՝ կարգի պահպանմամբ: Ուշադրություն դարձրեք, թե ինչպես է փոխադրումը փոխում մատրիցայի չափը, այսինքն՝ տողերի և սյունակների քանակը: Նկատի ունեցեք նաև, որ առաջին տողի, առաջին սյունակի և վերջին տողի, վերջին սյունակի տարրերը մնում են տեղում:
Հետևյալ հատկությունները պահպանվում են. (AT )T =A (տրանսպոզ
մատրիցա երկու անգամ - դուք ստանում եք նույն մատրիցը)
(xA)T \u003d xAT (x նշանակում է թիվ, A, իհարկե, մատրիցա) (եթե ձեզ անհրաժեշտ է բազմապատկել մատրիցը թվով և փոխադրել, կարող եք նախ բազմապատկել, ապա փոխադրել, կամ կարող եք հակառակը)
(A+B)T = AT +BT (AB)T =BT AT
Սիմետրիկ և հակասիմետրիկ մատրիցներ
Նկար 9-ը ցույց է տալիս սիմետրիկ մատրիցա վերևի ձախ մասում: Նրա տարրերը, որոնք սիմետրիկ են հիմնական անկյունագծի նկատմամբ, հավասար են։ Եվ հիմա սահմանումը. Քառակուսի մատրիցա
A-ն կոչվում է սիմետրիկ, եթե AT =A: Այսինքն, սիմետրիկ մատրիցը չի փոխվում փոխադրման ժամանակ։ Մասնավորապես, ցանկացած անկյունագծային մատրիցա սիմետրիկ է: (Նման մատրիցը ներկայացված է Նկար 2-ում):
Այժմ նայեք հակասիմետրիկ մատրիցին (Նկար 9, ներքևում): Ինչո՞վ է այն տարբերվում սիմետրիկից: Նշենք, որ նրա բոլոր անկյունագծային տարրերը հավասար են զրոյի: Հակասիմետրիկ մատրիցներն ունեն բոլոր անկյունագծային տարրերը հավասար են զրոյի: Մտածեք, թե ինչու: Սահմանում. A քառակուսի մատրիցը կոչվում է
հակասիմետրիկ, եթե AT = -A . Եկեք նշենք սիմետրիկ և հակասիմետրիկ գործողությունների որոշ հատկություններ
մատրիցներ. 1. Եթե A-ն և B-ն սիմետրիկ (հակասիմետրիկ) մատրիցներ են, ապա A + B-ն նույնպես սիմետրիկ (հակասիմետրիկ) մատրից է:
2. Եթե A-ն սիմետրիկ (հակասիմետրիկ) մատրիցա է, ապա xA-ն նույնպես սիմետրիկ (հակասիմետրիկ) մատրից է։ (Իրականում, եթե Նկար 9-ի մատրիցները բազմապատկեք ինչ-որ թվով, համաչափությունը դեռ կպահպանվի)
3. Երկու սիմետրիկ կամ երկու հակասիմետրիկ A և B մատրիցների AB արտադրյալը մատրից է, որը սիմետրիկ է AB = BA-ի և հակասիմետրիկ AB =-ի համար:-ԲԱ.
4. Եթե A-ն սիմետրիկ մատրիցա է, ապա Ա m (m = 1, 2, 3, . . .) սիմետրիկ մատրիցա է: Եթե
Հակասիմետրիկ մատրիցը, այնուհետև Am (m = 1, 2, 3, ...
5. A կամայական քառակուսի մատրիցը կարող է ներկայացվել որպես երկու մատրիցների գումար: (եկեք անվանենք այս մատրիցները, օրինակ՝ A(s) և A(a))
A=A(s)+A(a)
