Fungsi linier dari variabel kompleks z adalah fungsi dari bentuk di mana a dan 6 diberikan bilangan kompleks, dan a 0. Fungsi linier didefinisikan untuk semua nilai variabel bebas z, bernilai tunggal, dan karena fungsi invers juga bernilai tunggal, univalen di seluruh bidang z. Fungsi linier adalah analitik di seluruh bidang kompleks, dan turunannya, oleh karena itu, pemetaan yang dilakukan padanya adalah konformal di seluruh bidang. Fungsi linear-fraksional adalah fungsi dari bilangan kompleks yang diberikan bentuk, dan fungsi linear-fraksional didefinisikan untuk semua nilai variabel independen zy kecuali z = - |, bernilai tunggal dan, karena fungsi invers Fungsi dasar dari variabel kompleks Fungsi rasional pecahan Fungsi fungsi eksponensial hukum pangkat Fungsi logaritma Fungsi trigonometri dan hiperbolik bernilai tunggal, univalen di seluruh bidang kompleks, tidak termasuk titik z = - Di wilayah ini, fungsi (3) adalah analitik dan turunannya karena itu konformal. Mari kita perpanjang definisi fungsi (3) di titik z = - \, dengan menempatkan £) = oo, dan tentukan titik z (oo) = ke titik di tak hingga w = oo Maka fungsi pecahan linier akan univalen di bidang kompleks diperpanjang z. Contoh 1. Pertimbangkan fungsi linear-fraksional Dari persamaan diperoleh persamaan bahwa modulus bilangan kompleks r dan u dihubungkan oleh rasio dan bilangan-bilangan ini sendiri terletak pada sinar-sinar yang muncul dari titik O dan simetris terhadap sumbu nyata. Secara khusus, titik-titik lingkaran satuan | z | = 1 menuju titik-titik lingkaran satuan L = 1. Dalam hal ini, bilangan konjugasi ditetapkan ke bilangan kompleks (Gbr. 11). Perhatikan juga bahwa fungsi r = -g memetakan titik di tak terhingga r - oo ke titik nol r - 0. 2.2. Fungsi daya Fungsi daya di mana n adalah bilangan asli, analitik di seluruh bidang kompleks; turunannya = nzn ~] untuk n> 1 tidak nol di semua titik kecuali z = 0. Menulis w dan z dalam bentuk eksponensial dalam rumus (4), kita peroleh dari rumus (5) bahwa bilangan kompleks Z \ dan z2 sedemikian rupa sehingga di mana k adalah bilangan bulat pergi ke satu titik w. Oleh karena itu, untuk n> 1, pemetaan (4) tidak univalen pada bidang-z. Contoh paling sederhana dari domain di mana pemetaan ry = zn adalah univalen adalah sektor di mana a adalah bilangan real apa pun. Pada domain (7), pemetaan (4) bersifat konformal. - multinilai, karena untuk setiap bilangan kompleks z = r1 dalam 0 seseorang dapat menentukan n bilangan kompleks yang berbeda sehingga derajat ke-n sama dengan z: Perhatikan bahwa polinomial derajat n dari variabel kompleks z adalah fungsi di mana diberikan bilangan kompleks, dan ao 0. Sebuah polinomial derajat apapun adalah fungsi analitik pada seluruh bidang kompleks. 2.3. Fungsi pecahan-rasional Fungsi pecahan-rasional adalah fungsi dari bentuk di mana) adalah polinomial dari variabel kompleks z. Fungsi rasional pecahan adalah analitik di seluruh bidang, kecuali untuk titik-titik di mana penyebut Q (z) hilang. Contoh 3. Fungsi Zhukovsky __ adalah analitik di seluruh bidang-z, tidak termasuk titik z = 0. Mari kita cari tahu kondisi di wilayah bidang kompleks di mana fungsi Zhukovsky yang dipertimbangkan di wilayah ini akan univalen. M Biarkan titik Z) dan zj diambil oleh fungsi (8) ke satu titik. Kemudian, untuk, kita memperoleh bahwa Oleh karena itu, untuk univalensi fungsi Zhukovsky, perlu dan cukup untuk memenuhi kondisi Contoh domain yang memenuhi kondisi univalensi (9) adalah bagian luar lingkaran | z | > 1. Karena turunan dari fungsi Zhukovsky Fungsi dasar dari variabel kompleks Fungsi rasional pecahan Fungsi pangkat Fungsi eksponensial Fungsi logaritma Fungsi trigonometri dan hiperbolik tidak nol di mana-mana, kecuali untuk titik, pemetaan daerah yang dilakukan oleh fungsi ini akan konformal (Gbr. 13). Perhatikan bahwa bagian dalam disk unit | I juga merupakan domain univalensi dari fungsi Zhukovsky. Beras. 13 2.4. Fungsi eksponensial Fungsi eksponensial ez didefinisikan untuk sembarang bilangan kompleks z = x + zy sebagai berikut: Untuk x = 0, kita memperoleh rumus Euler: Mari kita gambarkan sifat-sifat utama fungsi eksponensial: 1. Untuk z nyata definisi ini adalah sama seperti biasanya. Ini dapat diverifikasi secara langsung dengan menetapkan y = 0. 2. Fungsi ez analitik pada seluruh bidang kompleks, dan rumus diferensiasi yang biasa tetap untuk itu 3. Teorema penambahan dipertahankan untuk fungsi e. Kami menempatkan 4. Fungsi ez adalah periodik dengan periode utama imajiner 2xi. Memang, untuk sembarang bilangan bulat k Di sisi lain, jika kemudian dari definisi (10) mengikuti bahwa dari mana ia mengikuti itu, atau di mana n adalah bilangan bulat. Strip tidak mengandung satu pasang titik yang dihubungkan oleh relasi (12), oleh karena itu, dari studi yang dilakukan dapat disimpulkan bahwa pemetaan w = e "adalah satu garis pada strip (Gbr. 14). Sebagai turunan, ini pemetaan adalah konformal Catatan Fungsi rg univalen pada sembarang strip 2.5 Fungsi logaritma Dari persamaan dimana diberikan, yang tidak diketahui, kita peroleh Oleh karena itu Fungsi, invers dari fungsi didefinisikan untuk sembarang dan diwakili oleh rumus di mana Ini fungsi multinilai disebut logaritma dan dilambangkan sebagai berikut.Kemudian kita memperoleh rumus 2.6 untuk Ln z.Fungsi trigonometri dan hiperbolik Dari rumus Euler (11) untuk real y kita peroleh Dari mana Kita mendefinisikan fungsi trigonometri sin z dan cos z untuk setiap kompleks bilangan z dengan menggunakan rumus berikut: Sinus dan kosinus dari argumen kompleks memiliki sifat yang menarik Mari kita daftar yang utama: Fungsi sinz dan cos z: 1) nyata x z-x bertepatan dengan sinus dan cosinus biasa; 2) bersifat analitik pada seluruh bidang kompleks; 3) mengikuti rumus-rumus diferensiasi biasa: 4) periodik dengan periode 2m; 5) sin z adalah fungsi ganjil, dan cos z genap; 6) hubungan trigonometri biasa dipertahankan. Semua properti yang terdaftar mudah diperoleh dari rumus (15). Fungsi tgz dan ctgz dalam domain kompleks didefinisikan oleh rumus dan fungsi hiperbolik didefinisikan oleh rumus "Fungsi hiperbolik terkait erat dengan fungsi trigonometri. Hubungan ini dinyatakan oleh persamaan berikut: Sinus dan kosinus dari argumen kompleks memiliki properti penting lainnya: pada bidang kompleks | \, mereka mengambil positif besar sewenang-wenang Menggunakan properti 6 dan rumus (18), kami memperoleh bahwa Fungsi dasar dari variabel kompleks Fungsi rasional pecahan Fungsi daya Fungsi eksponensial Fungsi logaritma Fungsi trigonometri dan hiperbolik Dimana Dengan asumsi, kami memiliki Contoh 4. Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa -4 Memang ,

11 Fungsi dasar variabel kompleks

Mari kita ingat kembali definisi eksponen kompleks -. Kemudian

Ekspansi seri Maclaurin. Jari-jari konvergensi deret ini adalah + , yang berarti bahwa eksponen kompleks analitik pada seluruh bidang kompleks dan

(exp z) "= exp z; exp 0 = 1. (2)

Persamaan pertama di sini mengikuti, misalnya, dari teorema diferensiasi suku demi suku untuk deret pangkat.

11.1 Fungsi trigonometri dan hiperbolik

Variabel kompleks sinus fungsi tersebut disebut

Cosinus dari variabel kompleks ada fungsi

Sinus hiperbolik dari variabel kompleks didefinisikan seperti ini:

Kosinus hiperbolik dari variabel kompleks adalah fungsi

Mari kita perhatikan beberapa properti dari fungsi yang baru diperkenalkan.

A. Jika x∈ , maka cos x, sin x, ch x, sh x∈ .

B. Berikut ini adalah hubungan antara fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik:

cos iz = ch z; sin iz = ish z, ch iz = cos z; sh iz = isin z.

B. Identitas trigonometri dan hiperbolik dasar:

cos 2 z + sin 2 z = 1; ch 2 z-sh 2 z = 1.

Bukti identitas hiperbolik utama.

Identitas trigonometri utama mengikuti dari identitas hiperbolik utama ketika memperhitungkan hubungan antara fungsi trigonometri dan hiperbolik (lihat properti B)

G Rumus tambahan:

Secara khusus,

D. Untuk menghitung turunan fungsi trigonometri dan hiperbolik, kita harus menerapkan teorema pada diferensiasi suku demi suku dari deret pangkat. Kita mendapatkan:

(cos z) "= - sin z; (sin z)" = cos z; (ch z) "= sh z; (sh z)" = ch z.

E. Fungsi cos z, ch z genap, dan fungsi sin z, sh z ganjil.

G. (Periodisitas) Fungsi e z periodik dengan periode 2π i. Fungsi cos z, sin z periodik dengan periode 2π, dan fungsi ch z, sh z periodik dengan periode 2πi. Lebih-lebih lagi,

Menerapkan rumus jumlah, kami memperoleh

Z. Penguraian menjadi bagian nyata dan imajiner:

Jika fungsi analitik bernilai tunggal f (z) memetakan secara bijektif domain D ke domain G, maka D disebut domain schlichtness.

DAN. Domain D k = (x + iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .

Bukti. Hal ini mengikuti dari hubungan (5) bahwa pemetaan exp: D k → adalah injektif. Misalkan w adalah sembarang bilangan kompleks bukan nol. Kemudian, selesaikan persamaan e x = | w | dan eiy = w / | w | dengan variabel nyata x dan y (pilih y dari setengah interval)