Di sini kita akan melanjutkan topik operasi pada matriks yang dimulai pada bagian pertama dan menganalisis beberapa contoh di mana Anda perlu menerapkan beberapa operasi sekaligus.

Eksponen dari sebuah matriks.

Biarkan k menjadi bilangan bulat non-negatif. Untuk setiap matriks persegi $ A_ (n \ kali n) $ kita memiliki: $$ A ^ k = \ underbrace (A \ cdot A \ cdot \ ldots \ cdot A) _ (k \; kali) $$

Dalam hal ini, kita asumsikan bahwa $ A ^ 0 = E $, di mana $ E $ adalah matriks identitas dari ordo yang sesuai.

Contoh No.4

Matriks $ A = \ kiri (\ start (array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \ end (array) \ kanan) $ diberikan. Cari matriks $ A ^ 2 $ dan $ A ^ 6 $.

Menurut definisi, $ A ^ 2 = A \ cdot A $, yaitu. untuk mencari $A^2$ kita hanya perlu mengalikan matriks $A$ dengan dirinya sendiri. Operasi perkalian matriks telah dibahas di bagian pertama topik, jadi di sini kami hanya akan menuliskan proses penyelesaiannya tanpa penjelasan rinci:

$$ A ^ 2 = A \ cdot A = \ left (\ begin (array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \ end (array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \ end (array) \ kanan) = \ kiri (\ begin (array) (cc) 1 \ cdot 1 + 2 \ cdot (-1) & 1 \ cdot 2 +2 \ cdot (-3) \\ -1 \ cdot 1 + (- 3) \ cdot (-1) & -1 \ cdot 2 + (- 3) \ cdot (-3) \ end (array) \ kanan ) = \ kiri (\ mulai (array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ akhir (array) \ kanan). $$

Untuk mencari matriks $ A ^ 6 $ kita memiliki dua pilihan. Opsi satu: klise untuk terus mengalikan $ A ^ 2 $ dengan matriks $ A $:

$$ A ^ 6 = A ^ 2 \ cdot A \ cdot A \ cdot A \ cdot A. $$

Namun, Anda dapat melakukannya dengan cara yang sedikit lebih sederhana, menggunakan sifat asosiatif dari perkalian matriks. Mari tempatkan tanda kurung dalam ekspresi untuk $ A ^ 6 $:

$$ A ^ 6 = A ^ 2 \ cdot A \ cdot A \ cdot A \ cdot A = A ^ 2 \ cdot (A \ cdot A) \ cdot (A \ cdot A) = A ^ 2 \ cdot A ^ 2 \ cdot A^ 2. $$

Jika penyelesaian metode pertama membutuhkan empat operasi perkalian, maka untuk metode kedua hanya dua. Karena itu, mari kita pergi ke cara kedua:

$$ A ^ 6 = A ^ 2 \ cdot A ^ 2 \ cdot A ^ 2 = \ kiri (\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ end (array) \ kanan) \ cdot \ kiri (\ mulai (array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ akhir (array) \ kanan) \ cdot \ kiri (\ mulai (array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ end (array) \ kanan) = \\ = \ kiri (\ begin (array) (cc) -1 \ cdot (-1) + (- 4) \ cdot 2 & -1 \ cdot (-4 ) + (- 4) \ cdot 7 \\ 2 \ cdot (-1) +7 \ cdot 2 & 2 \ cdot (-4) +7 \ cdot 7 \ end (array) \ kanan) \ cdot \ kiri (\ mulai (array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ akhir (array) \ kanan) = \ kiri (\ mulai (array) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \ akhir ( array) \ kanan) \ cdot \ kiri (\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ end (array) \ right) = \\ = \ left (\ begin (array) (cc ) -7 \ cdot (-1) + (- 24) \ cdot 2 & -7 \ cdot (-4) + (- 24) \ cdot 7 \\ 12 \ cdot (-1) +41 \ cdot 2 & 12 \ cdot (-4) +41 \ cdot 7 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \ end (array) \ right). $$

Menjawab: $ A ^ 2 = \ left (\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ end (array) \ right) $, $ A ^ 6 = \ left (\ begin (array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \ end (array) \ kanan) $.

Contoh Nomor 5

Matriks yang diberikan $ A = \ kiri (\ begin (array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ end (array) \ kanan) $, $ B = \ kiri (\ mulai (array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ akhir (array) \ kanan) $, $ C = \ kiri (\ begin (array) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \ end (array) \ kanan) $. Cari matriks $D = 2AB-3C ^ T + 7E $.

Kita mulai menghitung matriks $ D $ dengan mencari hasil perkalian $ AB $. Matriks $ A $ dan $ B $ dapat dikalikan, karena jumlah kolom dalam matriks $ A $ sama dengan jumlah baris dalam matriks $ B $. Kami menyatakan $ F = AB $. Dalam hal ini, matriks $ F $ akan memiliki tiga kolom dan tiga baris, mis. akan persegi (jika kesimpulan ini tampaknya tidak jelas, lihat deskripsi perkalian matriks di bagian pertama topik ini). Mari kita cari matriks $ F $ dengan menghitung semua elemennya:

$$ F = A \ cdot B = \ kiri (\ begin (array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ akhir (array) \ kanan) \ cdot \ kiri (\ mulai (array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ end (array) \ kanan) \\ \ begin (sejajar) & f_ (11) = 1 \ cdot (-9) +0 \ cdot 2 + (- 1) \ cdot 0 + 2 \ cdot 1 = -7; \\ & f_ (12) = 1 \ cdot 1 + 0 \ cdot (-1) + (- 1) \ cdot (-2) +2 \ cdot 5 = 13; \\ & f_ (13) = 1 \ cdot 0 + 0 \ cdot 4 + (- 1) \ cdot 3 + 2 \ cdot 0 = -3; \\ \\ & f_ (21) = 3 \ cdot (-9 ) + (- 2) \ cdot 2 + 5 \ cdot 0 + 0 \ cdot 1 = -31; \\ & f_ (22) = 3 \ cdot 1 + (- 2) \ cdot (-1) +5 \ cdot (-2) +0 \ cdot 5 = -5; \\ & f_ (23) = 3 \ cdot 0 + (- 2) \ cdot 4 + 5 \ cdot 3 + 0 \ cdot 0 = 7; \\ \\ & f_ (31) = - 1 \ cdot (-9) +4 \ cdot 2 + (- 3) \ cdot 0 + 6 \ cdot 1 = 23; \\ & f_ (32) = - 1 \ cdot 1 + 4 \ cdot (-1) + (- 3) \ cdot (-2) +6 \ cdot 5 = 31; \\ & f_ (33) = - 1 \ cdot 0 + 4 \ cdot 4 + (- 3) \ cdot 3 + 6 \ cdot 0 = 7. \ akhir (selaras) $$

Jadi $F = \ kiri (\ begin (array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end (array) \ kanan) $. Mari kita pergi lebih jauh. Matriks $ C ^ T $ adalah matriks transpos untuk matriks $ C $, yaitu. $ C ^ T = \ kiri (\ mulai (array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \ akhir (array) \ kanan) $. Adapun matriks $E $, ini adalah matriks identitas. DI kasus ini urutan matriks ini adalah tiga, yaitu. $ E = \ kiri (\ mulai (array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ akhir (array) \ kanan) $.

Pada prinsipnya, kita dapat melanjutkan langkah demi langkah, tetapi lebih baik untuk mempertimbangkan ekspresi yang tersisa secara keseluruhan, tanpa terganggu oleh tindakan tambahan. Faktanya, kita hanya memiliki operasi perkalian matriks dengan angka, serta operasi penambahan dan pengurangan.

$$ D = 2AB-3C ^ T + 7E = 2 \ cdot \ kiri (\ begin (array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end (array) \ kanan) -3 \ cdot \ kiri (\ begin (array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \ end (array) \ kanan) +7 \ cdot \ kiri (\ begin (array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end (array) \ kanan) $$

Kami mengalikan matriks di sisi kanan persamaan dengan angka yang sesuai (yaitu, 2, 3, dan 7):

$$ 2 \ cdot \ kiri (\ begin (array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end (array) \ kanan) -3 \ cdot \ kiri (\ mulai (array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \ akhir (array) \ kanan) +7 \ cdot \ kiri (\ mulai (array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ akhir (array) \ kanan) = \\ = \ kiri (\ mulai (array) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \ akhir (array) \ kanan) - \ kiri (\ mulai (array) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \ akhir (array) \ kanan) + \ kiri (\ mulai (array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \ akhir (array) \ kanan) $$

Ayo eksekusi tindakan baru-baru ini: pengurangan dan penambahan:

$$ \ kiri (\ mulai (array) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \ akhir (array) \ kanan) - \ kiri (\ mulai (array) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \ end (array) \ kanan) + \ kiri (\ begin (array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \ akhir (array) \ kanan) = \\ = \ kiri (\ mulai (array) (ccc) -14 - (- 15) +7 & 26-30 + 0 & -6-9 + 0 \\ -62 - (- 60) +0 & -10-36 + 7 & 14 - (- 45) +0 \\ 46-39 + 0 & 62-27 +0 & 14-24 + 7 \ akhir (array) \ kanan) = \ kiri (\ mulai (array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \ akhir (array) \ kanan). $$

Masalah terpecahkan, $ D = \ kiri (\ begin (array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \ end (array) \ kanan) $ ...

Menjawab: $D = \ kiri (\ begin (array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \ end (array) \ kanan) $.

Contoh No.6

Misal $f(x) = 2x ^ 2 + 3x-9 $ dan matriks $ A = \ left (\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ end (array) \ right) $. Cari nilai $f(A)$.

Jika $f(x) = 2x^2 + 3x-9 $, maka dengan $f(A)$ yang kita maksud adalah matriksnya:

$$ f (A) = 2A ^ 2 + 3A-9E. $$

Ini adalah bagaimana polinomial matriks didefinisikan. Jadi, kita perlu mengganti matriks $ A $ ke dalam ekspresi untuk $ f (A) $ dan mendapatkan hasilnya. Karena semua tindakan telah dibahas secara rinci sebelumnya, maka di sini saya hanya akan memberikan solusi. Jika proses melakukan operasi $ A ^ 2 = A \ cdot A $ tidak jelas bagi Anda, maka saya menyarankan Anda untuk melihat deskripsi perkalian matriks di bagian pertama topik ini.

$$ f (A) = 2A ^ 2 + 3A-9E = 2A \ cdot A + 3A-9E = 2 \ kiri (\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ end (array) \ kanan) \ cdot \ kiri (\ mulai (array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ akhir (array) \ kanan) +3 \ kiri (\ mulai (array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ akhir (array) \ kanan) -9 \ kiri (\ mulai (array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ akhir (array) \ kanan) = \\ = 2 \ kiri ( \ begin (array) (cc) (-3) \ cdot (-3) +1 \ cdot 5 & (-3) \ cdot 1 + 1 \ cdot 0 \\ 5 \ cdot (-3) +0 \ cdot 5 & 5 \ cdot 1 + 0 \ cdot 0 \ end (array) \ kanan) +3 \ kiri (\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ end (array) \ kanan) -9 \ kiri (\ mulai (array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ akhir (array) \ kanan) = \\ = 2 \ kiri (\ mulai (array) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \ end (array) \ kanan) +3 \ kiri (\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ end (array) \ right) -9 \ left (\ begin (array) ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end (array) \ kanan) = \ kiri (\ begin (array) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \ end (array) \ kanan) + \ kiri (\ mulai (array) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \ akhir (array) \ kanan) - \ kiri (\ mulai (array) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ akhir (array) \ kanan) = \ kiri (\ mulai (array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \ akhir (array) \ kanan). $$

Menjawab: $ f (A) = \ kiri (\ mulai (array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \ akhir (array) \ kanan) $.

Suatu matriks A -1 disebut matriks invers terhadap matriks A jika A * A -1 = E, di mana E adalah matriks satuan orde ke-n. Matriks invers hanya bisa ada untuk matriks persegi.

Tujuan layanan... Melalui layanan ini online Anda dapat menemukan pelengkap aljabar, matriks transpos AT, matriks adjoint dan matriks terbalik. Penyelesaiannya dilakukan langsung di website (online) dan tidak dipungut biaya. Hasil perhitungan diformat dalam laporan Word dan di format excel(yaitu dimungkinkan untuk memeriksa solusinya). lihat contoh desain.

Petunjuk. Untuk mendapatkan solusi, perlu untuk mengatur dimensi matriks. Selanjutnya, pada kotak dialog baru, isikan matriks A.

Lihat juga Invers matriks menggunakan metode Jordan-Gauss

Algoritma untuk mencari matriks terbalik

1. Mencari matriks transpos A T.
2. Definisi komplemen aljabar. Ganti setiap elemen matriks dengan komplemen aljabarnya.
3. menggambar matriks terbalik dari penjumlahan aljabar: setiap elemen dari matriks yang dihasilkan dibagi dengan determinan matriks aslinya. Matriks yang dihasilkan merupakan kebalikan dari matriks aslinya.

Berikut algoritma matriks terbalik mirip dengan yang sebelumnya, kecuali untuk beberapa langkah: pertama, komplemen aljabar dihitung, dan kemudian matriks C adjoint ditentukan.

1. Tentukan apakah matriksnya persegi. Jika tidak, maka tidak ada matriks invers untuk itu.
2. Perhitungan determinan matriks A. Jika tidak sama dengan nol, kami melanjutkan solusi; jika tidak, matriks terbalik tidak ada.
3. Definisi komplemen aljabar.
4. Mengisi matriks gabungan (timbal balik, adjoint) C.
5. Menyusun matriks invers dari komplemen aljabar: setiap elemen matriks C adjoint dibagi dengan determinan matriks aslinya. Matriks yang dihasilkan merupakan kebalikan dari matriks aslinya.
6. Pemeriksaan dilakukan: matriks asli dan matriks yang dihasilkan dikalikan. Hasilnya harus menjadi matriks identitas.

Contoh 1. Mari kita tulis matriksnya sebagai berikut:

Pelengkap aljabar. 1,2 = - (2 4 - (- 2 (-2))) = -4 2,1 = - (2 4-5 3) = 7 2,3 = - (- 1 5 - (- 2 2)) = 1 3,2 = - (- 1 (-2) -2 3) = 4

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Algoritma lain untuk menemukan matriks terbalik

Mari kita berikan skema lain untuk mencari matriks invers.

1. Tentukan determinan dari matriks persegi A yang diberikan.
2. Tentukan komplemen aljabar untuk semua elemen matriks A.
3. Kami menulis pelengkap aljabar elemen baris ke dalam kolom (transposisi).
4. Kami membagi setiap elemen dari matriks yang dihasilkan dengan determinan matriks A.

Seperti yang Anda lihat, operasi transposisi dapat diterapkan baik di awal, di atas matriks asli, dan di akhir, di atas komplemen aljabar yang diperoleh.

Kasus khusus: Invers dari matriks identitas E adalah matriks identitas E.

Beberapa sifat operasi pada matriks.
Ekspresi matriks

Dan sekarang kelanjutan dari topik akan mengikuti, di mana kami tidak hanya akan mempertimbangkan bahan baru, tapi kami juga akan berolahraga operasi dengan matriks.

Beberapa sifat operasi pada matriks

Ada banyak properti yang berhubungan dengan tindakan dengan matriks, di Wikipedia yang sama Anda dapat mengagumi jajaran ramping dari aturan yang sesuai. Namun, dalam praktiknya, banyak properti, dalam arti tertentu, "mati", karena hanya sedikit dari mereka yang digunakan dalam memecahkan masalah nyata. Tujuan saya adalah untuk menunjukkan penerapan properti dengan contoh spesifik, dan jika Anda membutuhkan teori yang ketat, silakan gunakan sumber informasi lain.

Pertimbangkan beberapa pengecualian terhadap aturan yang akan diperlukan untuk melakukan tugas-tugas praktis.

Jika matriks persegi memiliki matriks terbalik, maka perkaliannya bersifat komutatif:

Matriks satuan disebut matriks persegi di mana pada diagonal utama unit berada, dan elemen lainnya sama dengan nol. Misalnya:, dll.

Di mana sifat berikut ini benar: jika matriks arbitrer dikalikan kiri atau kanan pada matriks identitas dengan ukuran yang sesuai, maka hasilnya akan menjadi matriks asli:

Seperti yang Anda lihat, di sini juga terjadi komutatifitas perkalian matriks.

Mari kita ambil beberapa jenis matriks, katakanlah, matriks dari masalah sebelumnya: .

Mereka yang tertarik dapat memeriksa dan memastikan bahwa:

Matriks identitas untuk matriks adalah analog dari unit numerik untuk angka, yang terutama terlihat jelas dari contoh yang baru saja dipertimbangkan.

Komutatifitas faktor numerik terhadap perkalian matriks

Untuk matriks dan bilangan real, properti berikut ini benar:

Artinya, faktor numerik dapat (dan harus) dimajukan sehingga "tidak mengganggu" perkalian matriks.

Catatan : Secara umum, perumusan properti tidak lengkap - "lambda" dapat ditempatkan di mana saja di antara matriks, bahkan di akhir. Aturannya tetap benar jika tiga atau lebih matriks dikalikan.

Contoh 4

Hitung produknya

Keputusan:

(1) Menurut properti memindahkan faktor numerik ke depan. Matriks itu sendiri tidak dapat diatur ulang!

(2) - (3) Lakukan perkalian matriks.

(4) Di sini Anda dapat membagi setiap angka dengan 10, tetapi kemudian pecahan desimal akan muncul di antara elemen matriks, yang tidak baik. Namun, kami perhatikan bahwa semua angka dalam matriks habis dibagi 5, jadi kami mengalikan setiap elemen dengan.

Menjawab:

Sebuah sandiwara kecil untuk solusi diri:

Contoh 5

Hitung jika

Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Teknik apa yang penting ketika memecahkan contoh-contoh seperti itu? Kami berurusan dengan nomor di tempat terakhir .

Mari kita pasang satu mobil lagi ke lokomotif:

Bagaimana cara mengalikan tiga matriks?

Pertama-tama, APA hasil perkalian tiga matriks? Seekor kucing tidak akan melahirkan tikus. Jika perkalian matriks layak, maka hasilnya juga akan menjadi matriks. Hmmm, baiklah, guru aljabar saya tidak melihat bagaimana saya menjelaskan ketertutupan suatu struktur aljabar relatif terhadap unsur-unsurnya =)

Produk dari tiga matriks dapat dihitung dengan dua cara:

1) temukan, lalu kalikan dengan matriks "tse":;

2) temukan dulu, lalu kalikan.

Hasilnya pasti akan bertepatan, dan secara teori properti ini disebut asosiatif perkalian matriks matrix:

Contoh 6

Kalikan matriks dengan dua cara

algoritma solusi dua langkah: temukan produk dari dua matriks, lalu cari lagi produk dari dua matriks.

1) Kami menggunakan rumus

Tindakan pertama:

Tindakan kedua:

2) Kami menggunakan rumus

Tindakan pertama:

Tindakan kedua:

Menjawab:

Lebih akrab dan standar, tentu saja, adalah solusi pertama, ada "semuanya teratur". Omong-omong, tentang pesanan. Dalam masalah yang sedang dipertimbangkan, ilusi sering muncul bahwa kita berbicara tentang semacam permutasi matriks. Mereka tidak disini. Saya ingatkan lagi bahwa secara umum MATRIKS TIDAK DAPAT DIGANTI... Jadi, di paragraf kedua, di langkah kedua, kami melakukan perkalian, tetapi tidak ada kasus. Dengan angka biasa, angka seperti itu akan berlalu, tetapi dengan matriks - tidak.

Sifat asosiatif perkalian tidak hanya berlaku untuk kuadrat, tetapi juga untuk matriks arbitrer, selama dikalikan:

Contoh 7

Tentukan hasil kali tiga matriks

Ini adalah contoh untuk solusi yang berdiri sendiri. Dalam solusi sampel, perhitungan dilakukan dengan dua cara, menganalisis cara mana yang lebih menguntungkan dan lebih singkat.

Sifat asosiatif perkalian matriks juga berlaku untuk lebih pengganda.

Sekarang adalah waktu untuk kembali ke kekuatan matriks. Kuadrat matriks dianggap di awal dan pada agenda pertanyaan:

Bagaimana cara membuat kubus matriks dan pangkat yang lebih tinggi?

Operasi ini juga didefinisikan hanya untuk matriks persegi. Untuk membangun matriks persegi menjadi kubus, Anda perlu menghitung produk:

Sebenarnya itu kasus spesial perkalian tiga matriks, dengan sifat asosiatif perkalian matriks:. Dan matriks yang dikalikan dengan dirinya sendiri adalah kuadrat dari matriks tersebut:

Dengan demikian, kita mendapatkan rumus kerja:

Artinya, tugas dilakukan dalam dua langkah: pertama, matriks harus dikuadratkan, dan kemudian matriks yang dihasilkan harus dikalikan dengan matriks.

Contoh 8

Ubah matriks menjadi kubus.

Ini adalah tugas kecil untuk solusi independen.

Pengangkatan matriks ke pangkat keempat dilakukan secara alami:

Dengan menggunakan asosiatifitas perkalian matriks, kita memperoleh dua rumus kerja. Pertama: adalah produk dari tiga matriks.

satu) . Dengan kata lain, pertama-tama kita temukan, lalu kita kalikan dengan "bh" - kita mendapatkan kubus, dan, akhirnya, kita melakukan perkalian lagi - akan ada derajat keempat.

2) Tapi ada solusi satu langkah lebih pendek :. Yaitu, pada langkah pertama, kami menemukan bujur sangkar dan, melewati kubus, kami melakukan perkalian

Kegiatan tambahan untuk Contoh 8:

Naikkan matriks ke pangkat keempat.

Seperti yang baru saja disebutkan, ada dua cara untuk melakukan ini:

1) Segera setelah kubus diketahui, maka kami melakukan perkalian.

2) Namun, jika, menurut rumusan masalah, diperlukan untuk membangun matriks hanya sampai derajat keempat, maka menguntungkan untuk mempersingkat jalur - temukan kuadrat dari matriks dan gunakan rumus.

Solusi dan jawabannya ada di akhir pelajaran.

Demikian pula, matriks dinaikkan ke kekuatan kelima dan lebih tinggi. Dari pengalaman praktis saya dapat mengatakan bahwa kadang-kadang saya menemukan contoh kenaikan ke tingkat 4, tetapi saya tidak dapat mengingat tingkat kelima. Tapi untuk jaga-jaga, saya akan memberikan algoritma yang optimal:

1) temukan;
2) kita menemukan;
3) kami menaikkan matriks ke kekuatan kelima :.

Ini, mungkin, semua sifat utama dari operasi matriks yang dapat berguna dalam masalah praktis.

Di bagian kedua pelajaran, pesta yang sama-sama berwarna diharapkan.

Ekspresi matriks

Mari kita ulangi ekspresi sekolah biasa dengan angka. Ekspresi numerik terdiri dari angka, simbol matematika, dan tanda kurung, misalnya: ... Saat menghitung, prioritas aljabar yang sudah dikenal valid: pertama tanda kurung, lalu dijalankan eksponensial / ekstraksi akar, nanti perkalian / pembagian dan terakhir tapi tidak kalah pentingnya - penambahan/pengurangan.

Jika ekspresi numerik masuk akal, maka hasil evaluasinya adalah angka, misalnya:

Ekspresi matriks diatur dengan cara yang hampir sama! Dengan perbedaan bahwa karakter utama adalah matriks. Ditambah beberapa operasi khusus matriks seperti transpos dan pencarian matriks terbalik.

Pertimbangkan ekspresi matriks , di mana adalah beberapa matriks. Dalam ekspresi matriks ini, tiga suku dan operasi penambahan / pengurangan dilakukan terakhir.

Pada suku pertama, Anda harus terlebih dahulu mentranspos matriks "bie":, kemudian melakukan perkalian dan menambahkan "dua" ke matriks yang dihasilkan. perhatikan itu operasi transpos memiliki lebih banyak prioritas utama daripada perkalian... Kurung, seperti dalam ekspresi numerik, mengubah urutan tindakan: - di sini, pertama, perkalian dilakukan, kemudian matriks yang dihasilkan ditransposisikan dan dikalikan dengan 2.

Pada suku kedua, pertama-tama, perkalian matriks dilakukan, dan matriks terbalik sudah dari produk. Jika tanda kurung dihilangkan :, maka pertama-tama Anda perlu menemukan matriks terbalik, dan kemudian mengalikan matriks :. Menemukan invers suatu matriks juga lebih diutamakan daripada perkalian.

Dengan suku ketiga, semuanya jelas: kami menaikkan matriks menjadi kubus dan menambahkan "lima" ke matriks yang dihasilkan.

Jika ekspresi matriks masuk akal, maka hasil perhitungannya adalah matriks.

Semua tugas akan berasal dari tes nyata, dan kami akan mulai dengan yang paling sederhana:

Contoh 9

matriks yang diberikan ... Mencari:

Keputusan: Urutannya jelas, perkalian dilakukan terlebih dahulu, lalu penjumlahan.

Penjumlahan tidak mungkin karena matriks memiliki ukuran yang berbeda.

Jangan kaget, tindakan yang sengaja tidak mungkin sering disarankan dalam tugas-tugas jenis ini.

Mencoba mengevaluasi ekspresi kedua:

Semua baik-baik saja disini.

Menjawab: tindakan tidak dapat dilakukan, .

Aljabar Linier untuk Dummies

Untuk mempelajari aljabar linier, Anda dapat membaca dan mempelajari buku karya IV Belousov "Matriks dan Determinan". Namun, itu ditulis dalam bahasa matematika yang ketat dan kering, yang sulit dipahami oleh orang dengan pikiran rata-rata. Oleh karena itu, saya telah menceritakan kembali bagian-bagian yang paling sulit dari buku ini untuk dipahami, mencoba menyajikan materi sejelas mungkin, menggunakan gambar sebanyak mungkin untuk ini. Saya telah menghilangkan bukti teorema. Terus terang, saya sendiri tidak menyelidiki mereka. Saya percaya Tuan Belousov! Dilihat dari karyanya, dia adalah seorang matematikawan yang terpelajar dan cerdas. Anda dapat mengunduh bukunya di http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdf Jika Anda akan mempelajari pekerjaan saya, ini harus dilakukan, karena saya akan sering merujuk ke Belousov.

Mari kita mulai dengan definisi. Apa itu Matriks? Ini adalah tabel persegi panjang angka, fungsi, atau ekspresi aljabar. Mengapa matriks dibutuhkan? Mereka sangat memudahkan perhitungan matematika yang kompleks. Matriks dapat dibedakan berdasarkan baris dan kolom (Gbr. 1).

Baris dan kolom diberi nomor mulai dari kiri

dari atas (Gambar 1-1). Ketika mereka mengatakan: matriks berukuran m n (atau m kali n), artinya they m jumlah baris dan dibawah n jumlah kolom... Misalnya, matriks pada Gambar 1-1 adalah 4-kali-3 daripada 3-kali-4.

Lihat gambar. 1-3, apa matriksnya. Jika suatu matriks terdiri dari satu baris disebut matriks baris, dan jika terdiri dari satu kolom maka disebut matriks kolom. Suatu matriks disebut bujur sangkar orde ke-n jika jumlah baris di dalamnya sama dengan jumlah kolom dan sama dengan n. Jika semua elemen matriks sama dengan nol, maka ini adalah matriks nol. Matriks persegi disebut diagonal jika semua elemennya sama dengan nol, kecuali yang terletak pada diagonal utama.

Langsung saja saya jelaskan apa itu diagonal utama. Di atasnya, nomor baris dan kolomnya sama. Ia pergi dari kiri ke kanan, atas ke bawah. (Gbr. 3) Elemen disebut diagonal jika terletak pada diagonal utama. Jika semua elemen diagonalnya sama dengan satu (dan sisanya nol), matriks tersebut disebut matriks identitas. Dua matriks A dan B ukuran yang sama disebut sama jika semua elemennya sama.

2 Operasi matriks dan sifat-sifatnya

Hasil kali matriks dengan x adalah matriks yang berukuran sama. Untuk mendapatkan produk ini, Anda perlu mengalikan setiap elemen dengan angka ini (Gambar 4). Untuk mendapatkan jumlah dua matriks dengan ukuran yang sama, Anda perlu menambahkan elemen yang sesuai (Gbr. 4). Untuk mendapatkan selisih A - B dari dua matriks dengan ukuran yang sama, Anda perlu mengalikan matriks B dengan -1 dan menambahkan matriks yang dihasilkan dengan matriks A (Gbr. 4). Untuk operasi pada matriks, sifat-sifat berikut ini benar: A + B = B + A (properti komutatif).

(A + B) + C = A + (B + C) (properti asosiatif). Dalam istilah sederhana, jumlah tidak berubah dari perubahan tempat istilah. Untuk operasi matriks dan bilangan, sifat-sifat berikut ini benar:

(kami menyatakan angka dengan huruf x dan y, dan matriks dengan huruf A dan B) x (yA) = (xy) A

Properti ini mirip dengan operasi pada angka. Lihat

contoh pada gambar 5. Lihat juga contoh 2.4 - 2.6 oleh Belousov di halaman 9.

perkalian matriks.

Perkalian dua matriks didefinisikan hanya jika (dalam bahasa Rusia: matriks dapat dikalikan hanya jika) jumlah kolom dari matriks pertama dalam produk sama dengan jumlah baris kedua (Gbr. 7, di atas, tanda kurung biru) . Untuk mengingat lebih baik: angka 1 lebih seperti kolom. Sebagai hasil perkalian, diperoleh matriks berukuran (lihat gambar 6). Untuk mempermudah mengingat apa yang harus dikalikan dengan apa, saya mengusulkan algoritma berikut: lihat Gambar 7. Kalikan matriks A dengan matriks B.

matriks A adalah dua kolom,

matriks B memiliki dua baris - Anda dapat mengalikannya.

1) Mari kita berurusan dengan kolom pertama matriks B (dia hanya memiliki satu). Kami menulis kolom ini menjadi satu baris (transpose

kolom, tentang transposisi tepat di bawah).

2) Salin baris ini sehingga kita mendapatkan matriks ukuran matriks A.

3) Kami mengalikan elemen-elemen matriks ini dengan elemen-elemen yang sesuai dari matriks A.

4) Kami menambahkan karya yang dihasilkan di setiap baris dan mendapatkan matriks hasil kali dua baris dan satu kolom.

Gambar 7-1 memberikan contoh perkalian matriks yang lebih besar.

1) Di sini matriks pertama memiliki tiga kolom, jadi yang kedua harus memiliki tiga baris. Algoritmanya sama persis seperti pada contoh sebelumnya, hanya saja di sini di setiap baris ada tiga suku, bukan dua.

2) Di sini matriks kedua memiliki dua kolom. Pertama, kami melakukan algoritme dengan kolom pertama, lalu dengan yang kedua, dan kami mendapatkan matriks dua kali dua.

3) Di sini, matriks kedua memiliki kolom yang terdiri dari satu elemen, kolom tidak akan berubah dari transposisi. Dan Anda tidak perlu menambahkan apa pun, karena hanya ada satu kolom di matriks pertama. Kami menjalankan algoritme tiga kali dan mendapatkan matriks tiga kali tiga.

Properti berikut terjadi:

1. Jika jumlah B + C dan hasil kali AB ada, maka A (B + C) = AB + AC

2. Jika hasil kali AB ada, maka x (AB) = (xA) B = = A (xB).

3. Jika produk AB dan BC ada, maka A (BC) = (AB) C.

Jika produk matriks AB ada, maka produk BA mungkin tidak ada. Bahkan jika produk AB dan BA ada, mereka dapat menjadi matriks dengan ukuran yang berbeda.

Kedua produk AB dan BA ada dan merupakan matriks dengan ukuran yang sama hanya dalam kasus matriks persegi A dan B dengan orde yang sama. Namun, bahkan dalam kasus ini, AB mungkin tidak sama dengan BA.

Eksponen

Eksponensial matriks hanya masuk akal untuk matriks persegi (pikirkan mengapa?). Maka pangkat positif bilangan bulat m dari matriks A adalah hasil kali dari m matriks yang sama dengan A. Sama seperti bilangan. Derajat nol dari matriks persegi A dipahami sebagai matriks identitas dengan orde yang sama dengan A. Jika Anda lupa apa itu matriks identitas, lihat Gambar. 3.

Sama seperti angka, hubungan berikut terjadi:

A mA k = A m + k (A m) k = A mk

Lihat contoh dari Belousov di halaman 20.

Transpose matriks

Transpose adalah transformasi matriks A menjadi matriks AT,

di mana baris-baris matriks A dituliskan ke dalam kolom-kolom AT dengan mempertahankan ordonya. (gbr. 8). Anda dapat mengatakan dengan cara lain:

kolom-kolom matriks A ditulis ke dalam baris-baris matriks AT dengan menjaga ordenya. Perhatikan bagaimana transposisi mengubah ukuran matriks, yaitu jumlah baris dan kolom. Perhatikan juga bahwa item pada baris pertama, kolom pertama, dan baris terakhir, kolom terakhir tetap di tempatnya.

Sifat-sifat berikut berlaku: (AT) T = A (transpose

matriks dua kali - Anda mendapatkan matriks yang sama)

(xA) T = xAT (x berarti angka, A, tentu saja, matriks) (jika Anda perlu mengalikan matriks dengan angka dan transpos, Anda dapat terlebih dahulu mengalikan, kemudian transpos, atau sebaliknya)

(A + B) T = AT + BT (AB) T = BT AT

Matriks simetris dan antisimetris

Gambar 9 menunjukkan matriks simetris di kiri atas. Elemen-elemennya, simetris terhadap diagonal utama, adalah sama. Dan sekarang definisinya: Matriks persegi

A disebut simetris jika AT = A. Artinya, matriks simetris tidak berubah ketika ditransposisikan. Secara khusus, setiap matriks diagonal adalah simetris. (Matriks seperti itu ditunjukkan pada Gambar. 2).

Sekarang lihat matriks antisimetris (Gambar 9, bawah). Apa bedanya dengan simetris? Perhatikan bahwa semua elemen diagonalnya adalah nol. Untuk matriks antisimetris, semua elemen diagonal sama dengan nol. Pikirkan mengapa? Definisi: Matriks persegi A disebut

antisimetris jika AT = -A. Mari kita perhatikan beberapa sifat operasi pada simetris dan antisimetris

matriks. 1. Jika A dan B matriks simetris (antisimetris), maka A + B juga matriks simetris (antisimetris).

2. Jika A matriks simetris (antisimetris), maka xA juga matriks simetris (antisimetris). (sebenarnya, jika Anda mengalikan matriks dari Gambar 9 dengan beberapa angka, simetrinya akan tetap dipertahankan)

3. Hasil kali AB dari dua matriks simetris atau dua matriks antisimetris A dan B adalah matriks simetris untuk AB = BA dan antisimetris untuk AB =-BA.

4. Jika A adalah matriks simetris, maka A m (m = 1, 2, 3,...) adalah matriks simetris. Jika sebuah

Suatu matriks antisimetris, maka Am (m = 1, 2, 3, ...) adalah matriks simetris untuk m genap dan matriks antisimetris untuk m ganjil.

5. Matriks persegi sembarang A dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari dua matriks. (sebut saja matriks ini, misalnya, A (s) dan A (a))

A = A (s) + A (a)