Perlu dicatat bahwa hanya matriks persegi yang dapat diberikan. Jumlah baris dan kolom yang sama - kondisi yang diperlukan Untuk konstruksi matriks hingga tingkat. Selama perhitungan, matriks akan dikalikan dengan jumlah waktu yang diperlukan.

Itu kalkulator Online. Ini dimaksudkan untuk melakukan pembangunan matriks sejauh. Berkat penggunaannya, Anda tidak akan hanya dengan cepat mengatasi tugas ini, tetapi juga mendapatkan visual dan penyebaran kemajuan kemajuan. Ini akan membantu mengkonsolidasikan materi yang diperoleh dengan lebih baik dalam teori. Melihat algoritma perhitungan yang terperinci, Anda akan lebih memahami semua kehalusannya dan selanjutnya tidak dapat mengizinkan kesalahan dalam perhitungan manual. Selain itu, tidak akan pernah berlebihan untuk memeriksa ulang perhitungan mereka, dan juga yang terbaik untuk berolahraga di sini.

Untuk membangun matriks menjadi gelar online, Anda akan memerlukan sejumlah tindakan sederhana. Pertama-tama, tentukan ukuran matriks dengan mengklik ikon "+" atau "-" di sebelah kiri. Kemudian masukkan angka-angka di bidang matriks. Anda juga perlu menentukan derajat di mana matriks didirikan. Dan kemudian Anda hanya dapat mengklik tombol: "Hitung" di bagian bawah bidang. Hasil yang diperoleh akan dapat diandalkan dan akurat jika Anda dengan hati-hati dan dengan benar memasukkan semua nilai. Bersama dengannya Anda akan diberikan solusi decoding terperinci.

Aljabar linear untuk teko

Untuk mempelajari aljabar linier, Anda dapat membaca dan melanggar buku I. V. Belousov "Matriks dan Deterpetes". Namun, itu ditulis dengan bahasa matematika yang ketat dan kering, yang orang-orang dengan pikiran tengahnya keras. Oleh karena itu, saya menceritakan kembali yang paling sulit untuk memahami tempat-tempat buku ini, berusaha untuk menyatakan materi seberat mungkin, menggunakan gambar sebanyak mungkin. Bukti teorema yang saya tunduk. Untuk mengakui, saya sendiri tidak memahaminya. Percaya Pak Belousov! Dilihat oleh karyanya, ia adalah ahli matematika yang kompeten dan masuk akal. Anda dapat mengunduh bukunya di http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/belousov2006ru.pdf.Jika Anda akan mempelajari pekerjaan saya, itu perlu dilakukan karena saya akan sering merujuk ke Belousov.

Mari kita mulai dengan definisi. Apa itu matriks? Ini adalah tabel angka persegi panjang, fungsi atau ekspresi aljabar. Mengapa Anda membutuhkan matriks? Mereka sangat memfasilitasi perhitungan matematika yang kompleks. Matriks menggunakan string dan kolom (Gbr. 1).

Baris dan kolom diberi nomor, dimulai di sebelah kiri

dari atas (Gbr. 1-1). Ketika mereka mengatakan: matriks ukuran m n (atau m per n) tersirat di bawah m jumlah string, dan dibawah n Jumlah kolom. Misalnya, matriks pada Gambar 1-1 memiliki ukuran "4 hingga 3", dan bukan "3 hingga 4".

Lihat pada Gambar. 1-3, apa matriksnya. Jika matriks terdiri dari satu baris, itu disebut matriks string, dan jika dari satu kolom, maka matriks kolom. Matriks ini disebut urutan n-th persegi jika jumlah baris sama dengan jumlah kolom dan sama dengan N. Jika semua elemen matriks nol, maka ini adalah matriks nol. Matriks persegi disebut diagonal jika nol sama dengan semua elemennya, kecuali yang terletak di diagonal utama.

Segera jelaskan apa diagonal utama. Di atasnya angka baris dan kolomnya sama. Itu berubah dari kiri ke kanan dari atas ke bawah. (Gbr. 3) Elemen disebut diagonal jika mereka berada di diagonal utama. Jika semua elemen diagonal sama dengan satu (dan nol yang tersisa), matriks disebut satu. Dua matriks A dan B ukuran sama Disebut sama, jika semua elemen mereka sama.

2 operasi pada matriks dan propertinya

Pekerjaan matriks ke angka X adalah matriks dengan ukuran yang sama. Untuk mendapatkan produk ini, Anda perlu mengalikan setiap elemen ke nomor ini (Gbr. 4). Untuk mendapatkan jumlah dari dua matriks dengan ukuran yang sama, Anda perlu menambahkan elemen yang sesuai (Gbr. 4). Untuk mendapatkan perbedaan A - B dari dua matriks dengan ukuran yang sama, Anda perlu mengalikan matriks B ke -1 dan menambahkan matriks yang dihasilkan dengan matriks A (Gbr. 4). Untuk operasi pada matriks, properti valid: A + B + A (properti komutatif).

(A + B) + c \u003d A + (B + C) (properti asosiasi). Secara sederhana, berbicara, jumlahnya tidak berubah dari perubahan tempat. Untuk operasi pada matriks dan angka, properti valid:

(Menunjukkan dengan jumlah huruf X dan Y, dan huruf matriks A dan B) x (ya) \u003d (xy) a

Properti ini mirip dengan sifat-sifat yang bekerja pada operasi lebih dari angka. Lihat

contoh Gambar 5. Juga, lihat contoh 2.4 - 2.6 Belousov pada halaman 9.

Perkalian matriks.

Penggandaan dua matriks hanya didefinisikan kemudian (diterjemahkan ke dalam Rusia: matriks hanya dapat dikalikan dengan saat itu) Ketika jumlah kolom matriks pertama dalam pekerjaan sama dengan jumlah string yang kedua (Gbr. 7, di Braket top, biru). Untuk mengingat yang lebih baik: Gambar 1 lebih seperti kolom.Sebagai hasil dari multiplikasi, matriks ukuran diperoleh (lihat Gambar 6). Untuk memudahkan mengingat apa yang perlu Anda gandakan, saya mengusulkan algoritma berikut: Kami melihat Gambar 7. Kami mengalikan matriks A pada matriks B.

matriks dua kolom,

di matriks b dua baris - Anda dapat berkembang biak.

1) Kami akan berurusan dengan kolom pertama dari matriks B (hanya memiliki hanya). Kami menulis kolom ini di string (kami transpos

kolom, tentang transposing tepat di bawah).

2) Salin string ini agar kami memiliki matriks dengan matriks A.

3) Lipat gandakan elemen matriks ini ke elemen-elemen yang sesuai dari matriks A.

4) Lipat karya yang dihasilkan di setiap baris dan dapatkanmatriks-kerja dua baris dan satu kolom.

Gambar 7-1 menunjukkan contoh multiplikasi matriks yang lebih dari lebih putih.

1) Di sini pada matriks pertama tiga kolom, itu berarti bahwa yang kedua harus memiliki tiga baris. Algoritma persis sama dengan contoh sebelumnya, hanya di sini di setiap baris tiga istilah, dan bukan dua.

2) Di sini matriks kedua memiliki dua kolom. Pertama, kami melakukan algoritma dengan kolom pertama, lalu dengan yang kedua, dan kami mendapatkan matriks "dua dua".

3) Di sini di matriks kedua, kolom terdiri dari satu elemen, kolom tidak akan berubah dari transposisi. Dan tidak perlu untuk meletakkan apa pun, karena pada matriks pertama hanya satu kolom. Kami melakukan algoritma tiga kali dan mendapatkan matriks "tiga tiga".

Properti berikut terjadi:

1. Jika jumlah B + C dan produk AB ada, maka A (B + C) \u003d AB + AC

2. Jika produk AB ada, x (ab) \u003d (xa) b \u003d a (xb).

3. Jika karya AB dan BC ada, maka A (BC) \u003d (AB) C.

Jika produk dari matriks AB ada, maka produk BA mungkin tidak ada. Bahkan karya AB dan BA ada, mereka mungkin adalah matriks dengan ukuran yang berbeda.

Kedua karya AB dan BA ada dan merupakan matriks dengan ukuran yang sama hanya dalam kasus matriks persegi A dan B dari urutan yang sama. Namun, bahkan dalam hal ini, AB mungkin tidak sama dengan BA.

Erend ke gelar

Pembangunan matriks menjadi gelar masuk akal hanya untuk matriks persegi (pikirkan mengapa?). Maka seluruh gelar positif M Matrix A adalah produk dari matriks M yang sama dengan A. Sama seperti angka. Di bawah derajat nol dari matriks persegi A adalah matriks tunggal dengan urutan yang sama dengan A. Jika lupa apa itu matriks tunggal, lihat pada Gambar. 3.

Juga, seperti dalam angka, rasio berikut terjadi:

A MA K \u003d A M + K (A M) K \u003d A MK

Lihat contoh Belousov pada halaman 20.

Transposisi matriks.

Transposisi - Konversi matriks A di Matrix AT,

di mana string matriks A dicatat di kolom pada saat melestarikan pesanan. (Gbr. 8). Anda dapat mengatakan secara berbeda:

kolom matriks A dicatat dalam barisan matriks dengan pelestarian pesanan. Perhatikan bahwa ketika transposisi perubahan ukuran matriks, yaitu jumlah baris dan kolom. Perhatikan juga bahwa elemen pada baris pertama, kolom pertama, dan baris terakhir, kolom terakhir tetap di tempatnya.

Properti berikut terjadi: (at) t \u003d a (transponder

matriks dua kali - Anda akan mendapatkan matriks yang sama)

(xa) t \u003d xat (di bawah x berarti angka, di bawah, tentu saja, matriks) (jika Anda perlu mengalikan matriks ke nomor dan transpos, Anda dapat melipatgandakan pertama, lalu transpos, dan Anda dapat sebaliknya)

(A + b) t \u003d at + bt (ab) t \u003d bt di

Matriks simetris dan antisimetrik

Gambar 9 di bagian atas kiri menunjukkan matriks simetris. Elemen-elemennya, relatif simetris dengan diagonal utama, sama. Dan sekarang definisi: matriks persegi

A disebut simetris jika pada \u003d a. Artinya, matriks simetris selama transpos tidak berubah. Secara khusus, simetris adalah matriks diagonal. (Matriks seperti itu digambarkan pada Gambar. 2).

Sekarang lihat matriks antisymmetri (Gbr. 9, bawah). Apa yang berbeda dari simetris? Harap dicatat bahwa semua elemen diagonalnya nol. Dalam matriks antisymmetri, semua elemen diagonal nol. Pikirkan mengapa? Definisi: matriks persegi disebut

antisimetric, jika at \u003d -a. Catat beberapa properti operasi atas simetris dan antisymmetri

orang-orang matrians. 1. Jika A dan B adalah matriks simetris (antisymmetric), maka A + B adalah matriks simetris (antisymmetric).

2.Jika matriks simetris (antisymmetric), maka XA juga merupakan matriks simetris (antisymmetric). (Bahkan, jika Anda mengalikan matriks dari gambar 9 ke beberapa angka, simetri masih akan disimpan)

3. Produk ab dua atau dua matriks antisymmetris A dan B adalah matriks simetris dengan AB \u003d BA dan antisymmetric dengan AB \u003d-BA.

4. Jika A adalah matriks simetris, lalum (m \u003d 1, 2, 3, ...) - matriks simetris. Jika sebuah.

Matriks antisymmetric, lalu AM (M \u003d 1, 2, 3, ...) Ini adalah matriks simetris dengan bahkan m dan antisymmetric - dengan ganjil.

5. Matriks persegi arbitrer A dapat diwakili sebagai jumlah dari dua matriks. (Mari kita panggil matriks ini, misalnya a (s) dan a (a))

A \u003d a (s) + a (a)

Di sini kita akan terus diluncurkan pada bagian pertama operasi atas matriks dan bertanya-tanya pasangan contoh di mana Anda perlu menerapkan beberapa operasi sekaligus.

Konstruksi matriks ke tingkat.

Biarkan K menjadi angka non-negatif. Untuk setiap matriks persegi $ A_ (n \\ kali n) $ We miliki: $$ a ^ k \u003d \\ underbrace (a \\ cdot a \\ cdot \\ ldots \\ cdot a) _ (k \\; kali) $$

Dalam hal ini, kami berasumsi bahwa $ A ^ 0 \u003d E $, di mana $ E $ adalah satu matriks dari urutan yang sesuai.

Contoh nomor 4.

Matriks $ A \u003d \\ kiri (\\ begin (array) (cc) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ end (array) \\ kanan) $ diatur. Temukan matriks $ A ^ 2 $ dan $ A ^ $ 6.

Menurut definisi $ A ^ 2 \u003d A \\ CDOT A $, I.E. Untuk menemukan $ a ^ $ 2 $ Kita hanya perlu mengalikan matriks $ A $ untuk dirimu sendiri. Pengoperasian perkalian matriks dipertimbangkan pada bagian pertama dari topik, jadi di sini kita cukup menulis proses solusi tanpa penjelasan rinci:

$$ A ^ 2 \u003d A \\ CDOT A \u003d \\ kiri (\\ Begin (CC) (cc) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ end (array) \\ kanan) \\ CDot \\ kiri (\\ begin) (Cc) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ end (array) \\ kanan) \u003d \\ kiri (\\ mulai (array) (cc) 1 \\ CDOT 1 + 2 \\ CDOT 2 & 1 \\ CDOT 2 & 1 \\ CDOT 2 +2 \\ cdot (-3) \\\\ -1 \\ CDOT 1 + (- 3) \\ CDOT (-1) & -1 \\ CDOT 2 + (- 3) \\ CDOT (ARRAY) \\ KANAN ) \u003d \\ kiri (\\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ end (array) \\ kanan). $$.

Untuk menemukan matriks $ a ^ $ 6, kami memiliki dua opsi. Opsi Pertama: Lanjutkan dengan benar untuk mengalikan $ A ^ $ 2 pada $ A $ Matrix:

$$ A ^ 6 \u003d A ^ 2 \\ CDOT A \\ CDOT A \\ CDOT A \\ CDOT A. $$

Namun, dimungkinkan untuk pergi sedikit lebih sederhana, menggunakan properti asosiatif perkalian matriks. Kami menaruh kurung dalam ekspresi seharga $ a ^ $ 6:

$$ A ^ 6 \u003d A ^ 2 \\ CDOT A \\ CDOT A \\ CDOT A \u003d A ^ 2 \\ CDOT (A \\ CDOT A) \\ CDOT (A \\ CDOT A) \u003d A ^ 2 \\ CDOT A ^ 2 \\ CDOT A ^ 2. $$.

Jika, ketika memecahkan metode pertama, akan ada empat operasi multiplikasi, maka untuk metode kedua - hanya dua. Jadi mari kita pergi dengan cara kedua:

$$ A ^ 6 \u003d A ^ 2 \\ CDOT A ^ 2 \\ CDOT A ^ 2 \u003d \\ kiri (\\ Begin (array) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ end (array) \\ CDOT \\ kiri (\\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ end (array) \\ kanan) \\ CDOT \\ kiri (\\ begin (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ end (array) \\ kanan) \u003d \\\\ \u003d \\ kiri (\\ begin (\\ array) (cc) -1 \\ cdot (-1) + (- 4) \\ CDOT 2 & -1 \\ CDOT (-4) ) + (- 4) \\ CDOT 7 \\\\ 2 \\ CDOT (-1) +7 \\ CDOT 2 & 2 \\ CDOT (-4) +7 \\ CDOT 7 \\ end (array) \\ KIRI (\\ Mulai (array) (CC) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ end (array) \\ kanan) \u003d \\ kiri (\\ begin (array) (cc) -7 & -24 \\ \\ \\ Array) \\ kanan) \\ CDOT \\ kiri (\\ begin (\\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ end (array) \\ kanan) \u003d \\\\ \u003d \\ kiri (\\ begin (\\ begin) (\\ ) -7 \\ CDOT (-1) + (- 24) \\ CDOT 2 & -7 \\ CDOT (-4) + (- 24) \\ CDOT 7 \\\\ 12 \\ CDOT (-1) +41 \\ CDOT 2 & 12 \\ CDOT (-4) +41 \\ cdot 7 \\ end (array) \\ kanan) \u003d \\ kiri (\\ begin (array) (cc) -41 & -140 \\\\ 0 & 239 \\ ujung (array) \\ kanan). $$.

Menjawab: $ A ^ 2 \u003d \\ kiri (\\ begin (\\ begin (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ end (array) \\ kanan) $, $ a ^ 6 \u003d \\ kiri (\\ begin) (Cc) -41 & -140 \\\\ 0 & 239 \\ end (array) \\ kanan) $.

Contoh nomor 5.

Matriks $ a \u003d \\ kiri (\\ begin (array) (CCCC) 1 & 0 & -1 & 2 \\\\ 3 & 4 & 5 & 0 \\ ed (array) \\ kanan) $, $ b \u003d \\ begin (Array) (CCC) -9 & 1 & 0 \\\\ 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & -2 & 3 \\\\ 1 & 5 & 0 \\ end (array) \\ kanan) $, $ c \u003d \\ kiri) (\\ Begin (Array) (CCC) -5 & -20 & 13 \\\\ 10 & 12 & 9 \\\\ 3 & -15 & 8 \\ end (array) \\ Kanan) $. Temukan matriks $ D \u003d 2AB-3C ^ T + 7E $.

Perhitungan matriks $ D $ akan mulai dengan menemukan hasil dari produk $ AB $. Matriks $ A $ dan $ B $ dapat dikalikan, karena jumlah kolom dari kolom $ A $ matriks sama dengan jumlah garis matriks $ B $. Menunjukkan dengan $ f \u003d AB $. Dalam hal ini, matriks $ F akan memiliki tiga kolom dan tiga baris, mis. Ini akan berbentuk persegi (jika output ini tampaknya tidak jelas, lihat deskripsi perkalian matriks di bagian pertama dari topik ini). Kami menemukan $ F $ matriks, menghitung semua elemennya:

$$ f \u003d a \\ cdot b \u003d \\ kiri (\\ begin (\\ array) (CCCC) 1 & 0 & -1 & 2 \\\\ 3 & -2 & 5 & 0 \\\\ -1 & 4 & 6 \\ Ujung (array) \\ kanan) \\ cdot \\ kiri (\\ begin (array) (CCC) -9 & 1 & 0 \\\\ 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & -2 & 3 \\\\ 1 & 5 & 0 \\ End (array) \\ kanan) \\\\ \\ begin (selaras) & f_ (11) \u003d 1 \\ cdot (-9) +0 \\ CDOT 2 + (- 1) \\ CDOT 0 + 2 \\ CDOT 1 \u003d -7; \\\\ & f_ (12) \u003d 1 \\ CDOT 1 + 0 \\ CDOT (-1) + (- 1) \\ CDOT (-2) +2 \\ CDOT 5 \u003d 13; \\\\ & f_ (13) \u003d 1 \\ CDOT 0 + 0 \\ CDOT 4 + (- 1) \\ CDOT 3 + 2 \\ CDOT 0 \u003d -3; \\\\ \\\\ & f_ (21) \u003d 3 \\ CDOT (-9) \u003d 3 ) + (- 2) \\ CDOT 2 + 5 \\ CDOT 0 + 0 \\ CDOT 1 \u003d -31; \\\\ & f_ (22) \u003d 3 \\ CDOT 1 + (- 2) \\ CDOT (-1) +5 \\ CDOT (-2) +0 \\ CDOT 5 \u003d -5; \\\\ & f_ (23) \u003d 3 \\ CDOT 0 + (- 2) \\ CDOT 4 + 5 \\ CDOT 3 + 0 \\ \\\\ \\\\ \\\\ & F_ (31) \u003d - 1 \\ CDOT (-9) +4 \\ CDOT 2 + (- 3) \\ CDOT 0 + 6 \\ CDOT 1 \u003d 23; 23; \\\\ & f_ (32) \u003d - 1 \\ CDOT 1 + 4 \\ CDOT (-1) + (- 3) \\ CDOT (-2) +6 \\ CDOT 5 \u003d 31; \\\\ & F_ (33) \u003d - 1 \\ CDOT 0 + 4 \\ CDOT 4 + (- 3) \\ CDOT 3 + 6 \\ CDOT 0 \u003d 7. \\ End (selaras) $$

Jadi, $ F \u003d \\ kiri (\\ Begin (Array) (CCC) -7 & 13 & -3 \\\\ -31 & -5 & 7 \\\\ 23 & 31 & 7 \\ end (array) \\ Kanan) $. Ayo selanjutnya. Matriks $ c ^ t $ - matriks transposis untuk $ c $ matriks, I.E. $ C ^ t \u003d \\ kiri (\\ Begin (Array) (CCC) -5 & 10 & 3 \\\\ -20 & 12 & -15 \\\\ 13 & 9 & 8 \\ end (array) \\ kanan) $. Adapun matriks $ E $, maka ini adalah matriks tunggal. DI kasus ini Urutan matriks ini adalah tiga, mis. $ E \u003d \\ kiri (\\ Begin (array) (CCC) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ end (array) \\ kanan) $.

Pada prinsipnya, kita dapat terus berjalan demi langkah, tetapi ekspresi yang tersisa lebih baik untuk dipertimbangkan sepenuhnya tanpa terganggu oleh tindakan bantu. Bahkan, kami hanya memiliki operasi untuk multiplikasi matriks untuk nomor, serta operasi penambahan dan pengurangan.

$$ D \u003d 2AB-3C ^ T + 7E \u003d 2 \\ CDOT \\ Left (\\ Begin (Array) (CCC) -7 & 13 & -3 \\\\ -31 & -5 & 7 \\\\ 23 & 31 & 7 \\ End (array) \\ kanan) -3 \\ cdot \\ kiri (\\ begin (array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\\\ - 20 & 12 & -15 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ End (array) \\ Kanan) +7 \\ CDOT \\ Left (\\ Begin (Array) (CCC) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ end (array) \\ Kanan) $$

Lipat gandakan matriks di bagian kanan kesetaraan pada angka yang sesuai (I.E., 2, 3 dan 7):

$$ 2 \\ CDOT \\ Left (\\ Begin (array) (CCC) -7 & 13 & -3 \\\\ -31 & -5 & 7 \\\\ 23 & 31 & 7 \\ end (array) -3 \\ CDOT \\ kiri (\\ begin (array) (CCC) -5 & 10 & 3 \\\\ -20 & 12 & -15 \\\\ 13 & 9 & 8 \\ end (array) \\ kanan) +7 \\ cdot \\ kiri (\\ Mulai (array) (CCC) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ end (array) \\ kanan) \u003d \\\\ \u003d \\ kiri (\\ begin (\\ begin) - 14 & 26 & 14 \\\\ -62 & -10 & 14 \\\\ 46 & 62 & 14 \\ end (array) \\ kanan) - \\ kiri (\\ begin (array) (CCC) -15 & 13 & 9 \\ 60 & 36 & -45 \\\\ 39 & 27 & 24 \\ end (array) \\ kanan) + \\ kiri (\\ begin (array) (CCC) 7 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 7 \\ end (array) \\ kanan) $$

Dilakukan tindakan baru-baru ini: Pengurangan dan penambahan:

$$ \\ kiri (\\ begin (array) (CCC) -14 & 26 & -6 \\\\ -62 & -10 & 14 \\\\ 6 & 62 & 14 \\ end (array) \\ kanan) - \\ kiri (\\ (Array) (CCC) -15 & 30 & 9 \\\\ -60 & 36 & -45 \\\\ 39 & 27 & 24 \\ end (array) \\ kanan) + \\ kiri (\\ begin (CCC) (CCC) (CCC) 0 & 0 \\\\ 0 & 7 \\ end (array) \\ kanan) \u003d \\\\ \u003d \\ kiri (\\ begin (array) (ccc) -14 - (- 15-30 + 0 & -6- 9 + 0 \\\\ -62 - (- 60) +0 & -10-36 + 7 & 14 - (- 45) +0 \\\\ 46-39 + 0 & 62-27 +0 & 14-24 + 7 \\ End (array) \\ kanan) \u003d \\ kiri (\\ begin (\\ begin (array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\\\ -2 & -39 & 59 \\\\ 7 & 35 & -3 \\ end (array) \\ kanan ). $$.

Tugas diselesaikan, $ D \u003d \\ kiri (\\ begin (\\ begin (array) (CCC) 8 & -4 & -15 \\\\ -2 & -39 & 59 \\\\ 7 & 35 & -3 \\ end (array) \\ KANAN ) $.

Menjawab: $ D \u003d \\ kiri (\\ begin (array) (CCC) 8 & -4 & -15 \\\\ -2 & -39 & 59 \\\\ 7 & 35 & -3 \\ end (array) \\ kanan) $.

Contoh nomor 6.

Biarkan $ F (x) \u003d 2x ^ 2 + 3x-9 $ dan matriks $ A \u003d \\ kiri (\\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ ujung (array) \\ KANAN . Temukan nilai $ F (a) $.

Jika $ F (x) \u003d 2x ^ 2 + 3x-9 $, maka di bawah $ F (a) $ memahami matriks:

$$ f (A) \u003d 2A ^ 2 + 3A-9E. $$.

Ini adalah bagaimana polinomial ditentukan dari matriks. Jadi, kita perlu mengganti matriks $ A $ dalam ungkapan seharga $ F (A) $ dan mendapatkan hasilnya. Karena semua tindakan dibongkar secara rinci sebelumnya, maka saya hanya akan memberikan keputusan. Jika proses eksekusi operasi $ a ^ 2 \u003d a \\ CDot A $ tidak jelas untuk Anda, saya menyarankan Anda untuk melihat deskripsi perkalian matriks di bagian pertama dari topik ini.

$$ f (a) \u003d 2A ^ 2 + 3A-9E \u003d 2A \\ CDOT A + 3A-9E \u003d 2 \\ kiri (\\ Begin (ARRAY) (CC) -3 & 1 \\ \\ 5 \\ Kanan) \\ CDOT \\ LEFT (\\ BEGIN (ARRAY) (CC) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (array) \\ kanan) +3 \\ kiri (\\ begin (ARRAY) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (array) \\ kanan) -9 \\ kiri (\\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ end (array) \\ kanan) \u003d \\\\ \u003d 2 \\ \\ Begin (array) (cc) (-3) \\ CDOT (-3) +1 \\ CDOT 5 & (-3) \\ CDOT 1 + 1 \\ CDOT 0 \\\\ 5 \\ CDOT (-3) +0 \\ CDOT 5 & 5 \\ CDOT 1 + 0 \\ CDOT 0 \\ end (array) \\ kanan) +3 \\ kiri (\\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\ \\ ujung (array) -9) -9 \\ Kiri (\\ mulai (array) (cc) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ end (array) \\ kanan) \u003d \\\\ \u003d 2 \\ kiri (\\ begin (cc) 14 & -3 \\\\ - 15 & 5 \\ ¡\\ end (array) \\ kanan) +3 \\ kiri (\\ begin (\\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (array) \\ kanan) -9 \\ begil ) (Cc) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ end (array) \\ kanan) \u003d \\ kiri (\\ begin (array) (cc) 28 & -6 \\\\ -30 & 10 \\ ¡\\ end (array) \\ kanan) + \\ Kiri (\\ begin (array) (cc) -9 & 3 \\\\ 15 & 0 \\ end (array) \\ kanan) - \\ kiri (\\ begin (cc) (cc) 9 & 0 \\\\ 0 & 9 \\ Ujung (array) \\ kanan) \u003d \\ kiri (\\ begin (array) (cc) 10 & -3 \\\\ -15 & 1 \\ end (array) \\ kanan). $$.

Menjawab: $ F (a) \u003d \\ kiri (\\ begin (array) (cc) 10 & -3 \\\\ -15 & 1 \\ end (array) \\ kanan) $.

Beberapa properti operasi atas matriks.
Ekspresi matriks.

Dan sekarang kelanjutan dari topik di mana kita akan mempertimbangkan tidak hanya bahan baru, tetapi juga bekerja tindakan dengan matriks..

Beberapa properti operasi atas matriks

Ada cukup banyak sifat yang menyangkut tindakan dengan matriks, di Wikipedia yang sama Anda dapat mengagumi peringkat ramping dari aturan yang relevan. Namun, dalam praktiknya, banyak sifat dalam arti tertentu "mati", karena hanya beberapa dari mereka yang digunakan selama menyelesaikan tugas-tugas nyata. Tujuan saya adalah untuk mempertimbangkan penerapan properti yang diterapkan pada contoh-contoh tertentu, dan jika Anda memerlukan teori ketat, silakan gunakan sumber informasi lain.

Pertimbangkan beberapa pengecualian dari Aturanyang akan diminta untuk melakukan tugas praktis.

Jika matriks persegi miliki matriks terbalik. , kemudian penggandaan komutatif mereka:

Matriks tunggal disebut matriks persegi, yang utama diagonal. Unit berada, dan elemen yang tersisa nol. Misalnya:, dll.

Di mana Adil properti berikut: Jika matriks arbitrer, multiplies kiri atau kanan Pada satu matriks ukuran yang sesuai, hasilnya adalah matriks awal:

Seperti yang Anda lihat, pergantian perkalian matriks juga terjadi.

Ambil matriks, yah, katakanlah, matriks dari tugas sebelumnya: .

Mereka yang ingin memeriksa dan memastikan bahwa:

Satu matriks untuk matriks adalah analog dari unit numerik untuk angka, yang secara jelas terlihat jelas dari contoh yang baru dipertimbangkan.

Komutatifitas faktor numerik relatif terhadap penggandaan matriks

Untuk matriks dan nomor aktual, properti berikut ini adil:

Artinya, pengganda numerik dapat (dan perlu) untuk memajukan sehingga dia "tidak mengganggu" matriks matriks.

Catatan : Secara umum, kata-kata properti tidak lengkap - "lambda" dapat ditempatkan di mana saja antara matriks, bahkan pada akhirnya. Aturan tetap adil jika tiga atau lebih matriks dikalikan.

Contoh 4.

Hitung pekerjaannya

Keputusan:

(1) Menurut properti Pindahkan faktor numerik ke depan. Anda tidak dapat mengatur ulang matriks!

(2) - (3) Lakukan perkalian matriks.

(4) Di sini Anda dapat berbagi setiap nomor 10, tetapi kemudian fraksi desimal akan muncul di antara elemen-elemen matriks, yang tidak baik. Namun, kami perhatikan bahwa semua jumlah matriks dibagi menjadi 5, sehingga Anda melipatgandakan setiap elemen.

Menjawab:

Little Charade for Self Solutions:

Contoh 5.

Hitung jika

Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Penerimaan teknis apa yang penting selama menyelesaikan contoh-contoh seperti itu? Dengan nomor yang kita pahami akhirnya .

Entri untuk lokomotif mobil lain:

Bagaimana cara mengalikan tiga matriks?

Pertama-tama, apa yang harus terjadi sebagai hasil dari mengalikan tiga matriks? Kucing tidak akan melahirkan mouse. Jika multiplikasi matriks layak, maka pada akhirnya, matriks juga akan berfungsi. M-Ya, well, guru saya di aljabar tidak melihat bagaimana saya menjelaskan penutupan struktur aljabar mengenai elemen-elemennya \u003d)

Pekerjaan tiga matriks dapat dihitung dengan dua cara:

1) Temukan, lalu kalikan pada matriks "CE":;

2) Temukan pertama, lalu lakukan multiplikasi.

Hasil pasti akan bertepatan, dan secara teori properti ini disebut asosiatif perkalian matriks:

Contoh 6.

Lipat gandakan matriks dengan dua cara

Algoritma. solusi Dua-berbulu: Kami menemukan produk dari dua matriks, maka kami kembali menemukan produk dari dua matriks.

1) Kami menggunakan rumus

AKSI PERTAMA:

Tindakan kedua:

2) Kami menggunakan rumus

AKSI PERTAMA:

Tindakan kedua:

Menjawab:

Lebih terbiasa dan standar, tentu saja, cara pertama untuk menyelesaikannya, di sana "tidak peduli bagaimana semuanya beres." Ngomong-ngomong, tentang pesanan. Dalam tugas yang dipertimbangkan, ilusi sering muncul bahwa kita berbicara tentang beberapa permutasi matriks. Mereka tidak disini. Saya ingat lagi itu secara umum Atur ulang matriks tidak bisa. Jadi, pada titik kedua, pada langkah kedua, kita melakukan perkalian, tetapi dalam waktu tidak ada. Dengan angka biasa, angka seperti itu berlalu, dan dengan matriks - tidak.

Properti asosiasi multiplikasi berlaku tidak hanya untuk persegi, tetapi juga untuk matriks arbitrer - jika hanya mereka akan dikalikan:

Contoh 7.

Temukan karya tiga matriks

Ini adalah contoh untuk solusi independen. Dalam sampel, solusi perhitungan dilakukan dengan dua cara, menganalisis jalur mana yang lebih menguntungkan dan lebih pendek.

Sifat-sifat asosiasi perkalian matriks terjadi untuk menjadi lebih pengganda.

Sekarang adalah waktu untuk kembali ke derajat matriks. Alun-alun dari matriks dianggap di awal dan atas agenda pertanyaan:

Bagaimana cara membangun matriks dalam kubus dan derajat yang lebih tinggi?

Operasi ini juga hanya didefinisikan hanya untuk matriks persegi. Untuk menaikkan matriks persegi ke dalam kubus, Anda perlu menghitung pekerjaan:

Bahkan, itu kasus pribadi Mengalikan tiga matriks, sesuai dengan properti asosiatif perkalian matriks :. Dan matriks dikalikan dengan sendirinya adalah kuadrat dari matriks:

Dengan demikian, kami mendapatkan formula yang berfungsi:

Artinya, tugas dilakukan dalam dua langkah: Pertama matriks harus ditinggikan ke dalam kotak, dan kemudian matriks yang dihasilkan mengalikan matriks.

Contoh 8.

Bangun matriks ke kubus.

Ini adalah tugas kecil untuk solusi independen.

Konstruksi matriks pada tingkat keempat dilakukan dengan cara alami:

Menggunakan asosiatif multiplikasi matriks, tarik dua formula kerja. Pertama: - Ini adalah karya tiga matriks.

satu) . Dengan kata lain, pertama-tama kita menemukan, maka kita dominan untuk "be" - kita mendapatkan kubus, dan akhirnya, kita melakukan perkalian lagi - gelar keempat akan menjadi.

2) Tetapi ada solusi pada langkah yang lebih pendek :. Artinya, pada langkah pertama kita menemukan kotak dan, melewati kubus, melakukan perkalian

Tugas tambahan misalnya 8:

Evaluasi matriks pada tingkat keempat.

Segera setelah dicatat, itu dapat dilakukan dengan dua cara:

1) Karena kubus segera diketahui, maka kami melakukan perkalian.

2) Namun, jika, dengan syarat tugas yang Anda butuhkan untuk membangun matriks hanya di tingkat keempat, Jalur bermanfaat untuk mengurangi - temukan kuadrat dari matriks dan gunakan rumus.

Baik solusi dan respons - di akhir pelajaran.

Demikian pula, matriks didirikan pada derajat kelima dan lebih tinggi. Dari pengalaman praktis saya dapat mengatakan bahwa kadang-kadang ada contoh konstruksi tingkat 4, tetapi saya tidak diingat untuk tingkat kelima. Tetapi kalau-kalau saya akan membawa algoritma optimal:

1) Kami menemukan;
2) Kami menemukan;
3) Kami membangun matriks ke tingkat kelima :.

Di sini, mungkin, semua sifat dasar operasi matriks yang dapat berguna dalam tugas-tugas praktis.

Di bagian kedua pelajaran, tidak kurang dipercayai pihak yang diharapkan.

Ekspresi matriks.

Kami mengulangi ekspresi sekolah biasa dengan angka. Ekspresi numerik terdiri dari angka, tanda-tanda tindakan matematika dan tanda kurung, misalnya: . Saat menghitung, prioritas aljabar yang akrab: pertama-tama diperhitungkan kurungkemudian dieksekusi erend ke tingkat derajat akar, nanti perkalian / Divisi Dan terakhir kali - penambahan / Pengurangan.

Jika ekspresi numerik masuk akal, maka hasil perhitungannya adalah angka, misalnya:

Ekspresi matriks. Diatur hampir sama! Dengan perbedaan bahwa aktor utama adalah matriks. Ditambah beberapa operasi matriks tertentu, seperti transposing dan temuan reverse Matrix..

Pertimbangkan ekspresi matriks dimana - beberapa matriks. Dalam ekspresi matriks ini, tiga komponen dan penambahan penambahan / pengurangan sepenuhnya dipenuhi.

Pada masa jabatan pertama, Anda pertama-tama perlu mengubah matriks "be":, lalu lakukan multiplikasi dan membuat "deuce" ke matriks yang dihasilkan. Perhatikan bahwa operasi transposing memiliki lebih banyak prioritas utamadari melipatgandakan. Kurung, seperti dalam ekspresi numerik, ubah prosedur: - Di sini perkalian dilakukan terlebih dahulu, maka matriks yang dihasilkan ditranspos dan dikalikan dengan 2.

Pada masa jabatan kedua, multiplikasi matriks dilakukan terutama, dan matriks terbalik sudah dari pekerjaan. Jika tanda kurung dihapus: pertama-tama perlu untuk menemukan matriks terbalik, dan kemudian gandakan matriks :. Menemukan matriks terbalik juga memiliki prioritas sebelum berlipat ganda.

Semuanya jelas dengan istilah ketiga: kami akan membangun matriks menjadi kubus dan membuat "lima" ke dalam matriks yang dihasilkan.

Jika ekspresi matriks masuk akal, hasil perhitungannya adalah matriks.

Semua tugas akan dari pekerjaan uji nyata, dan kami akan mulai dengan yang paling sederhana:

Contoh 9.

Dana Matrix. . Mencari:

Keputusan: Prosedurnya jelas, pertama multiplikasi dilakukan, lalu tambahan.

Penambahan tidak mungkin dilakukan karena matriks dengan ukuran berbeda.

Jangan kaget, jelas tindakan mustahil sering ditawarkan dalam tugas-tugas jenis ini.

Kami mencoba menghitung ekspresi kedua:

Semua baik-baik saja disini.

Menjawab: Tindakan tidak mungkin, .

Matriks A -1 disebut matriks terbalik sehubungan dengan matriks A, jika A * A -1 \u003d E, di mana E adalah satu-satunya matriks n-order. Matriks terbalik mungkin hanya ada untuk matriks persegi.

Pengangkatan layanan. Melalui layanan ini Dalam mode online, Anda dapat menemukan suplemen aljabar, matriks transposis A, matriks Sekutu dan matriks terbalik. Keputusan dilakukan langsung di situs (dalam mode online) dan gratis. Hasil perhitungan dikeluarkan dalam laporan format kata dan di format Excel. (mis. Dimungkinkan untuk memeriksa keputusan). Lihat contoh pendaftaran.

Petunjuk. Untuk mendapatkan solusi, Anda harus menentukan dimensi matriks. Selanjutnya, di kotak dialog baru, isi matriks a.

Lihat juga Matriks Terbalik oleh Jordan-Gauss

Algoritma untuk matriks kembali

1. Menemukan matriks transposis a t.
2. Definisi penambahan aljabar. Ganti setiap elemen matriks dengan penambahan aljabarnya.
3. Persiapan matriks kembali dari penambahan aljabar: Setiap elemen matriks yang dihasilkan dibagi menjadi penentu matriks asli. Matriks yang dihasilkan terbalik untuk matriks asli.

Berikut algoritma untuk matriks kembali Mirip dengan sebelumnya kecuali untuk beberapa langkah: Pertama, penambahan aljabar dihitung, dan kemudian matriks Sekutu ditentukan.

1. Tentukan apakah matriks persegi. Jika tidak, matriks terbalik tidak ada untuk itu.
2. Perhitungan penentu matriks a. Jika tidak sama dengan nol, kami melanjutkan solusi, jika tidak, tidak ada matriks terbalik.
3. Definisi penambahan aljabar.
4. Mengisi matriks Union (Mutual Terlampir) C.
5. Menyusun matriks terbalik dari penambahan aljabar: Setiap elemen matriks yang terpasang C dibagi menjadi penentu matriks asli. Matriks yang dihasilkan terbalik untuk matriks asli.
6. Periksa: Pindahkan matriks asli dan diperoleh. Akibatnya, satu matriks harus diperoleh.

Contoh nomor 1. Kami menulis matriks dalam formulir:

Tambahan aljabar. Δ 1.2 \u003d - (2 · 4 - (- 2 · (-2)) \u003d -4 Δ 2.1 \u003d - (2 · 4-5 · 3) \u003d 7 Δ 2,3 \u003d - (- 1 · 5 - (- 2 · 2)) \u003d 1 Δ 3.2 \u003d - (- 1 · (-2) -2 · 3) \u003d 4

A -1 \u003d.

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Algoritma lain untuk menemukan matriks terbalik

Kami memberikan diagram lain untuk menemukan matriks kembali.

1. Kami menemukan penentu matriks persegi ini a.
2. Kami menemukan tambahan aljabar untuk semua elemen dari matriks a.
3. Rekam suplemen aljabar dari elemen baris dalam kolom (transposisi).
4. Kami membagi setiap elemen dari matriks yang dihasilkan ke penentu matriks a.

Seperti yang kita lihat, operasi transpose dapat digunakan baik di awal, di atas matriks awal dan pada akhirnya, atas penambahan aljabar yang diperoleh.

Kasus khusus: Terbalik, sehubungan dengan satu matriks E, adalah satu matriks E.