Jarak dari titik ke titik adalah panjang segmen yang menghubungkan titik-titik ini pada skala tertentu. Oleh karena itu, dalam mengukur jarak, Anda perlu mengetahui skala (satuan panjang) yang akan dilakukan pengukurannya. Oleh karena itu, masalah mencari jarak dari suatu titik ke titik biasanya dipertimbangkan baik pada garis koordinat atau dalam sistem koordinat kartesius persegi panjang pada bidang atau ruang tiga dimensi. Dengan kata lain, paling sering Anda harus menghitung jarak antar titik menggunakan koordinatnya.

Pada artikel ini, pertama-tama kita akan mengingat kembali bagaimana jarak dari titik ke titik pada garis koordinat ditentukan. Selanjutnya kita memperoleh rumus untuk menghitung jarak antara dua titik pada suatu bidang atau ruang menurut koordinat yang diberikan. Sebagai kesimpulan, kami akan mempertimbangkan secara rinci solusi dari contoh dan masalah umum.

Navigasi halaman.

Jarak antara dua titik pada suatu garis koordinat.

Mari kita definisikan dulu notasinya. Kami akan menyatakan jarak dari titik A ke titik B sebagai .

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa jarak titik A yang berkoordinat ke titik B yang berkoordinat sama dengan modulus selisih koordinat, itu adalah, untuk setiap lokasi titik pada garis koordinat.

Jarak dari titik ke titik pada bidang, rumus.

Kita memperoleh rumus untuk menghitung jarak antar titik dan diberikan dalam sistem koordinat kartesius persegi panjang pada suatu bidang.

Tergantung pada lokasi titik A dan B, opsi berikut ini dimungkinkan.

Jika titik A dan B berimpit, maka jarak keduanya adalah nol.

Jika titik A dan B terletak pada garis lurus yang tegak lurus sumbu absis, maka kedua titik tersebut berimpit dan jaraknya sama dengan jarak . Pada paragraf sebelumnya kita telah mengetahui bahwa jarak antara dua titik pada suatu garis koordinat sama dengan modulus selisih koordinatnya, oleh karena itu, . Karena itu, .

Demikian pula, jika titik A dan B terletak pada garis lurus yang tegak lurus sumbu ordinat, maka jarak titik A ke titik B ditentukan sebagai .

Dalam hal ini, segitiga ABC berkonstruksi persegi panjang, dan Dan . Oleh teori Pitagoras kita dapat menuliskan persamaannya, dari mana .

Mari kita rangkum semua hasil yang diperoleh: jarak suatu titik ke titik pada bidang dicari melalui koordinat titik-titik tersebut dengan menggunakan rumus .

Rumus yang dihasilkan untuk mencari jarak antar titik dapat digunakan jika titik A dan B berimpit atau terletak pada garis lurus yang tegak lurus salah satu sumbu koordinat. Jika A dan B berimpit, maka . Jika titik A dan B terletak pada garis lurus yang tegak lurus sumbu Ox, maka. Jika A dan B terletak pada garis lurus yang tegak lurus sumbu Oy, maka .

Jarak antar titik dalam ruang, rumus.

Mari kita perkenalkan sistem koordinat persegi panjang Oxyz di ruang angkasa. Mari kita dapatkan rumus untuk mencari jarak dari suatu titik ke titik .

Secara umum titik A dan B tidak terletak pada bidang yang sejajar dengan salah satu bidang koordinat. Mari kita menggambar melalui titik A dan B bidang yang tegak lurus sumbu koordinat Ox, Oy dan Oz. Titik perpotongan bidang-bidang ini dengan sumbu koordinat akan memberi kita proyeksi titik A dan B pada sumbu-sumbu tersebut. Kami menunjukkan proyeksinya .

Jarak yang diperlukan antara titik A dan B adalah diagonal dari parallelepiped persegi panjang yang ditunjukkan pada gambar. Secara konstruksi, dimensi paralelepiped ini sama Dan . Dalam mata pelajaran geometri SMA terbukti bahwa kuadrat diagonal suatu balok sama dengan jumlah kuadrat ketiga dimensinya, oleh karena itu, . Berdasarkan informasi pada bagian pertama artikel ini, kita dapat menulis persamaan berikut, oleh karena itu,

dari mana kita mendapatkannya rumus mencari jarak antar titik dalam ruang .

Rumus ini juga berlaku jika poin A dan B

• sesuai;
• termasuk dalam salah satu sumbu koordinat atau garis yang sejajar dengan salah satu sumbu koordinat;
• termasuk dalam salah satu bidang koordinat atau bidang yang sejajar dengan salah satu bidang koordinat.

Mencari jarak titik ke titik, contoh dan penyelesaiannya.

Jadi, kita telah memperoleh rumus untuk mencari jarak antara dua titik pada garis koordinat, bidang, dan ruang tiga dimensi. Saatnya untuk melihat solusi dari contoh-contoh umum.

Jumlah soal yang langkah terakhirnya adalah mencari jarak antara dua titik menurut koordinatnya sangatlah banyak. Tinjauan lengkap atas contoh-contoh tersebut berada di luar cakupan artikel ini. Di sini kita akan membatasi diri pada contoh-contoh di mana koordinat dua titik diketahui dan jarak antara keduanya perlu dihitung.

Dengan menggunakan koordinat, lokasi suatu benda di dunia ditentukan. Koordinat ditunjukkan dengan garis lintang dan garis bujur. Garis lintang diukur dari garis khatulistiwa di kedua sisi. Di belahan bumi utara garis lintangnya positif, di belahan bumi selatan garis lintangnya negatif. Bujur diukur dari meridian utama baik timur atau barat, masing-masing diperoleh bujur timur atau barat.

Menurut posisi yang diterima secara umum, meridian utama dianggap sebagai meridian yang melewati Observatorium Greenwich lama di Greenwich. Koordinat geografis lokasi dapat diperoleh dengan menggunakan navigator GPS. Perangkat ini menerima sinyal sistem penentuan posisi satelit dalam sistem koordinat WGS-84, yang seragam untuk seluruh dunia.

Model navigator berbeda dalam pabrikan, fungsionalitas, dan antarmuka. Saat ini, navigator GPS internal juga tersedia di beberapa model ponsel. Namun model apa pun dapat merekam dan menyimpan koordinat suatu titik.

Jarak antar koordinat GPS

Untuk menyelesaikan permasalahan praktis dan teoritis di beberapa industri, diperlukan kemampuan menentukan jarak antar titik berdasarkan koordinatnya. Ada beberapa cara untuk melakukan ini. Bentuk kanonik yang mewakili koordinat geografis: derajat, menit, detik.

Misalnya, Anda dapat menentukan jarak antara koordinat berikut: titik No. 1 - lintang 55°45′07″ LU, bujur 37°36′56″ BT; titik No.2 - lintang 58°00′02″ LU, bujur 102°39′42″ BT.

Cara termudah adalah dengan menggunakan kalkulator untuk menghitung panjang antara dua titik. Di mesin pencari browser, Anda harus mengatur parameter pencarian berikut: online - untuk menghitung jarak antara dua koordinat. Di kalkulator online, nilai lintang dan bujur dimasukkan ke dalam kolom kueri untuk koordinat pertama dan kedua. Saat menghitung, kalkulator online memberikan hasil - 3.800.619 m.

Metode selanjutnya lebih memakan waktu, tetapi juga lebih visual. Anda harus menggunakan program pemetaan atau navigasi yang tersedia. Program di mana Anda dapat membuat titik menggunakan koordinat dan mengukur jarak di antara titik tersebut meliputi aplikasi berikut: BaseCamp (analog modern dari program MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Semua program di atas tersedia untuk semua pengguna jaringan. Misalnya, untuk menghitung jarak antara dua koordinat di Google Earth, Anda perlu membuat dua label yang menunjukkan koordinat titik pertama dan titik kedua. Kemudian, dengan menggunakan alat “Penggaris”, Anda perlu menghubungkan tanda pertama dan kedua dengan sebuah garis, program akan secara otomatis menampilkan hasil pengukuran dan menunjukkan jalur pada citra satelit Bumi.

Dalam contoh yang diberikan di atas, program Google Earth mengembalikan hasilnya - panjang jarak antara titik No. 1 dan titik No. 2 adalah 3.817.353 m.

Mengapa terjadi kesalahan saat menentukan jarak

Semua perhitungan jarak antar koordinat didasarkan pada perhitungan panjang busur. Jari-jari bumi terlibat dalam menghitung panjang busur. Namun karena bentuk bumi yang mendekati ellipsoid pepat, maka jari-jari bumi pada titik-titik tertentu berbeda-beda. Untuk menghitung jarak antar koordinat diambil nilai rata-rata jari-jari bumi yang memberikan kesalahan dalam pengukuran. Semakin besar jarak yang diukur, semakin besar kesalahannya.

Matematika

§2. Koordinat suatu titik pada bidang

3. Jarak antara dua titik.

Anda dan saya sekarang dapat berbicara tentang titik dalam bahasa angka. Misalnya tidak perlu lagi dijelaskan: ambil sebuah titik yang jaraknya tiga satuan di sebelah kanan sumbu dan lima satuan di bawah sumbu. Cukuplah untuk mengatakan secara sederhana: ambillah maksudnya.

Kami telah mengatakan bahwa hal ini menciptakan keuntungan tertentu. Jadi, kita dapat mengirimkan gambar yang terdiri dari titik-titik melalui telegraf, mengkomunikasikannya ke komputer, yang tidak memahami gambar sama sekali, tetapi memahami angka dengan baik.

Pada paragraf sebelumnya, kita mendefinisikan beberapa kumpulan titik pada bidang menggunakan hubungan antar angka. Sekarang mari kita coba menerjemahkan konsep dan fakta geometris lainnya secara konsisten ke dalam bahasa angka.

Kita akan mulai dengan tugas yang sederhana dan umum.

Temukan jarak antara dua titik pada bidang.

Larutan:
Seperti biasa, kita berasumsi bahwa titik-titik diberikan berdasarkan koordinatnya, dan kemudian tugas kita adalah menemukan aturan yang dapat digunakan untuk menghitung jarak antar titik, dengan mengetahui koordinatnya. Saat menurunkan aturan ini, tentu saja, diperbolehkan menggunakan gambar, tetapi aturan itu sendiri tidak boleh berisi referensi apa pun ke gambar tersebut, tetapi hanya menunjukkan tindakan apa dan dalam urutan apa yang harus dilakukan pada nomor yang diberikan - koordinat titik - untuk mendapatkan angka yang diinginkan - jarak antar titik.

Mungkin beberapa pembaca akan menganggap pendekatan pemecahan masalah ini aneh dan tidak masuk akal. Sederhananya, kata mereka, titik-titik diberikan, bahkan dengan koordinat. Gambarlah titik-titik ini, ambil penggaris dan ukur jarak di antara titik-titik tersebut.

Cara ini terkadang tidak terlalu buruk. Namun, bayangkan lagi Anda sedang berhadapan dengan komputer. Dia tidak punya penggaris, dan dia tidak menggambar, tapi dia bisa menghitung dengan sangat cepat sehingga itu tidak menjadi masalah baginya sama sekali. Perhatikan bahwa masalah kita dirumuskan sedemikian rupa sehingga aturan untuk menghitung jarak antara dua titik terdiri dari perintah yang dapat dijalankan oleh mesin.

Lebih baik menyelesaikan masalah yang diajukan untuk kasus khusus terlebih dahulu ketika salah satu titik ini terletak pada titik asal koordinat. Mulailah dengan beberapa contoh numerik: tentukan jarak dari titik asal; Dan .

Catatan. Gunakan teorema Pythagoras.

Sekarang tuliskan rumus umum untuk menghitung jarak suatu titik dari titik asal.

Jarak suatu titik dari titik asal ditentukan dengan rumus:

Jelasnya, aturan yang diungkapkan oleh rumus ini memenuhi kondisi yang disebutkan di atas. Secara khusus, ini dapat digunakan dalam perhitungan pada mesin yang dapat mengalikan angka, menjumlahkannya, dan mengekstrak akar kuadrat.

Sekarang mari kita selesaikan masalah umum

Diberikan dua titik pada sebuah bidang, tentukan jarak antara keduanya.

Larutan:
Mari kita nyatakan dengan , , , proyeksi titik-titik dan pada sumbu koordinat.

Mari kita nyatakan titik potong garis dengan huruf . Dari segitiga siku-siku dengan menggunakan teorema Pythagoras kita peroleh:

Tetapi panjang ruas sama dengan panjang ruas tersebut. Titik-titik dan , terletak pada sumbu dan masing-masing mempunyai koordinat dan . Menurut rumus yang diperoleh pada paragraf 3 paragraf 2, jarak antara keduanya adalah .

Dengan argumen serupa, kita menemukan bahwa panjang segmen sama dengan . Mengganti nilai yang ditemukan dan ke dalam rumus yang kita peroleh.

Menghitung jarak antar titik berdasarkan koordinatnya pada bidang adalah hal yang mendasar; di permukaan bumi ini sedikit lebih rumit: kita akan mempertimbangkan pengukuran jarak dan azimuth awal antar titik tanpa transformasi proyeksi. Pertama, mari kita pahami terminologinya.

Perkenalan

Panjang busur lingkaran besar– jarak terpendek antara dua titik yang terletak pada permukaan bola, diukur sepanjang garis yang menghubungkan kedua titik tersebut (garis seperti itu disebut ortodromi) dan melewati permukaan bola atau permukaan rotasi lainnya. Geometri bola berbeda dari geometri Euclidean normal dan persamaan jaraknya juga mempunyai bentuk yang berbeda. Dalam geometri Euclidean, jarak terpendek antara dua titik adalah garis lurus. Pada bola tidak ada garis lurus. Garis-garis pada bola ini merupakan bagian dari lingkaran besar – lingkaran yang pusat-pusatnya berimpit dengan pusat bola. Azimuth awal- azimuth, yang mana ketika mulai berpindah dari titik A, mengikuti lingkaran besar sejauh jarak terpendek ke titik B, titik akhirnya adalah titik B. Saat berpindah dari titik A ke titik B sepanjang garis lingkaran besar, azimuth dari posisi saat ini ke titik akhir B konstan berubah. Azimuth awal berbeda dengan azimuth konstan, yang selanjutnya azimuth dari titik saat ini ke titik akhir tidak berubah, tetapi rute yang dilalui bukanlah jarak terpendek antara dua titik.

Melalui dua titik mana pun pada permukaan bola, jika keduanya tidak berhadapan langsung satu sama lain (artinya, keduanya bukan antipoda), dapat dibuat lingkaran besar yang unik. Dua titik membagi lingkaran besar menjadi dua busur. Panjang busur pendek adalah jarak terpendek antara dua titik. Lingkaran besar yang jumlahnya tak terhingga dapat digambarkan di antara dua titik antipodal, namun jarak antara kedua titik tersebut akan sama pada setiap lingkaran dan sama dengan setengah keliling lingkaran, atau π*R, dengan R adalah jari-jari bola.

Pada bidang (dalam sistem koordinat persegi panjang), lingkaran besar dan pecahannya, seperti disebutkan di atas, mewakili busur di semua proyeksi kecuali proyeksi gnomonik, di mana lingkaran besar adalah garis lurus. Dalam prakteknya, pesawat terbang dan angkutan udara lainnya selalu menggunakan rute dengan jarak minimum antar titik untuk menghemat bahan bakar, yaitu penerbangan dilakukan sepanjang jarak lingkaran besar, pada pesawat berbentuk busur.

Bentuk bumi dapat digambarkan sebagai bola, sehingga persamaan jarak lingkaran besar penting untuk menghitung jarak terpendek antar titik di permukaan bumi dan sering digunakan dalam navigasi. Menghitung jarak dengan metode ini lebih efisien dan dalam banyak kasus lebih akurat daripada menghitungnya untuk koordinat proyeksi (dalam sistem koordinat persegi panjang), karena pertama, tidak memerlukan konversi koordinat geografis ke sistem koordinat persegi panjang (melakukan transformasi proyeksi) dan , kedua, banyak proyeksi, jika dipilih secara tidak tepat, dapat menyebabkan distorsi panjang yang signifikan karena sifat distorsi proyeksi. Diketahui bahwa yang lebih akurat menggambarkan bentuk bumi bukanlah bola, melainkan ellipsoidal, namun artikel ini membahas tentang perhitungan jarak khusus pada bola, untuk perhitungannya digunakan bola dengan radius 6.372.795 meter. , yang dapat menyebabkan kesalahan dalam penghitungan jarak sekitar 0,5%.

Rumus

Ada tiga cara untuk menghitung jarak bola lingkaran besar. 1. Teorema kosinus bola Dalam kasus jarak yang kecil dan kedalaman perhitungan yang kecil (jumlah tempat desimal), penggunaan rumus dapat menyebabkan kesalahan pembulatan yang signifikan. φ1, λ1; φ2, λ2 - garis lintang dan garis bujur dua titik dalam radian Δλ - perbedaan koordinat garis bujur Δδ - perbedaan sudut Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Untuk mengubah jarak sudut ke metrik, Anda perlu mengubah jarak sudut menjadi metrik kalikan perbedaan sudut dengan jari-jari Bumi (6372795 meter), satuan jarak akhir akan sama dengan satuan yang menyatakan jari-jari (dalam hal ini meter). 2. Rumus Haversin Digunakan untuk menghindari masalah dengan jarak pendek. 3. Modifikasi antipoda Rumus sebelumnya juga tunduk pada masalah titik antipodal, untuk mengatasinya digunakan modifikasi berikut.

Implementasi saya di PHP

// Definisi radius bumi("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Jarak antara dua titik * $φA, $λA - garis lintang, garis bujur titik ke-1, * $φB, $λB - garis lintang, garis bujur titik ke-2 * Ditulis berdasarkan http://gis-lab.info/ qa/great-circles.html *Mikhail Kobzarev< >* */ fungsi hitung Jarak ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // ubah koordinat menjadi radian $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // cosinus dan sinus perbedaan garis lintang dan garis bujur $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($lat2); $sl1 = sin($lat1 ) ; $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // perhitungan panjang lingkaran besar $y = sqrt(pow ( $cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $cl1 * $cl2 * $cdelta; / / $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) Contoh pemanggilan fungsi: $lat1 = 77.1539; $panjang1 = -139.398; $lat2 = -77.1804; $panjang2 = -139,55; echo kalkulasiTheDistance($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "meter"; // Kembalikan "17166029 meter"

Artikel diambil dari situs