Metode penentuan ekstrem kondisional dimulai dengan konstruksi fungsi tambahan Lagrange, yang dalam bidang solusi yang diizinkan mencapai maksimum untuk nilai variabel yang sama x. 1 , X. 2 ..., X. n. bahwa target berfungsi dgn zat . Biarkan itu diselesaikan dengan masalah menentukan fungsi ekstremitas kondisional z \u003d f (x) Dengan batasan φ sAYA. ( x. 1 , x. 2 , ..., x. n. ) = 0, sAYA. = 1, 2, ..., m. , m. < n.

Membuat fungsi

yang disebut fungsi lagrange.. X. - Pengganda konstan ( lagrange Multiper.). Perhatikan bahwa pengganda Lagrange dapat diberikan makna ekonomi. Jika sebuah f (x. 1 , X. 2 ..., X. n. ) - Penghasilan sesuai dengan rencana X \u003d (x 1 , X. 2 ..., X. n. ) , dan fungsi φ sAYA. (X. 1 , X. 2 ..., X. n. ) - Biaya sumber daya I-th yang sesuai dengan rencana ini, X. - Harga (perkiraan) sumber daya I-th, yang menjadi ciri perubahan nilai ekstrem dari fungsi target, tergantung pada pengubahan ukuran sumber daya I-th (penilaian marjinal). L (x) - Fungsi n + m. variabel. (X. 1 , X. 2 ..., X. n. , λ 1 , λ 2 , ..., λ n. ) . Definisi titik stasioner dari fungsi ini mengarah pada solusi dari sistem persamaan

Mudah untuk melihatnya . Dengan demikian, tugas menemukan fungsi ekstremitas kondisional z \u003d f (x) Itu turun untuk menemukan fungsi ekstrem lokal L (x) . Jika titik stasioner ditemukan, pertanyaan tentang keberadaan ekstrem dalam kasus paling sederhana diselesaikan atas dasar kondisi ekstrem yang cukup - studi tentang tanda diferensial kedua d. 2 L (x) dalam titik stasioner, asalkan peningkatan variabel Δx. sAYA. - Rasio terkait

diperoleh dengan diferensiasi persamaan komunikasi.

Solusi sistem persamaan nonlinear dengan dua tidak diketahui dengan bantuan solusi

Pengaturan. Cari solusi Memungkinkan Anda menemukan solusi dari sistem persamaan nonlinier dengan dua tidak diketahui:

dimana
- fungsi nonlinear dari variabel x. dan y. ,
- Konstanta sewenang-wenang.

Diketahui bahwa pasangan ( x. , y. Ini adalah solusi untuk sistem persamaan (10) jika dan hanya jika itu adalah solusi dari persamaan berikut dengan dua yang tidak diketahui:

DARIsisi lain, solusi sistem (10) adalah titik persimpangan dua kurva: f. ] (x., y.) = C. dan f. 2 (x, y) \u003d dengan 2 di permukaan Ho.Y..

Dari sini mengikuti metode menemukan akar sistem. Persamaan nonlinear:

Tentukan (setidaknya kurangnya) interval larutan sistem persamaan (10) atau persamaan (11). Di sini perlu untuk memperhitungkan bentuk persamaan yang termasuk dalam sistem, area penentuan masing-masing persamaan mereka, dll. Terkadang pemilihan pendekatan awal larutan kadang-kadang digunakan;

Protablish solusi persamaan (11) oleh variabel X dan Y pada interval yang dipilih, atau membangun fungsi grafik f. 1 (x., y.) = C, aku. f. 2 (x, y) \u003d dengan 2 (Sistem (10)).

Temukan dugaan akar dari sistem persamaan - untuk menemukan beberapa nilai minimum dari tabel ke tabulasi akar persamaan (11), atau menentukan titik persimpangan kurva yang termasuk dalam sistem (10).

4. Temukan akar untuk sistem persamaan (10) dengan superstruktur Solusi pencarian.

Klasifikasi tugas pemrograman matematika

Pemrograman

Metode untuk memecahkan masalah nonlinier

Kontrol Pertanyaan ke Bagian 4

Skema pemecahan masalah transportasi

Kami mencantumkan tahap utama dari solusi tugas transportasi.

1. Periksa kondisi lemari. Jika tugas terbuka, tabel transportasi dilengkapi dengan atau kolom titik konsumsi fiktif, atau string pemasok fiktif.

2. Bangun Rencana Referensi.

3. Periksa rencana dukungan untuk non-degutan. Jika tidak cukup untuk memenuhi kondisi nondegenerate, salah satu sel tabel transportasi diisi dengan nol yang disediakan. Jika perlu, diizinkan untuk merekam nol persediaan dalam beberapa sel.

4. Rencananya diperiksa untuk optimalitas.

5. Jika kondisi optimalitas tidak dilakukan, buka rencana berikutnya dengan mendistribusikan kembali persediaan. Proses komputasi diulang sampai rencana optimal diperoleh.

1. Apa arti dari fungsi target dalam model matematika tugas transportasi?

2. Bagaimana makna pembatasan dalam model matematika tugas transportasi?

3. Apakah mungkin untuk menerapkan metode potensial untuk menyelesaikan tugas transportasi terbuka (buka)?

4. Perubahan apa yang perlu dilakukan pada tabel transportasi asli sehingga tugas dapat diselesaikan dengan metode potensial?

5. Apa esensi dari metode elemen minimum? Apa langkah penyelesaian tugas transportasi akan dibuat sebagai hasil dari penggunaan metode ini?

6. Bagaimana cara mengetahui apakah rencananya optimal?

7. Dalam hal ini dan bagaimana perlu untuk melakukan redistribusi pengiriman dalam hal transportasi?

8. Katakanlah rencana transportasi yang dibangun bersifat merosot. Apakah mungkin untuk melanjutkan solusi untuk masalah dengan metode potensial dan apa yang harus saya lakukan untuk ini?

Tugas keseluruhan pemrograman matematika diformulasikan dalam Bagian 1.1. Tergantung pada jenis fungsi yang termasuk dalam model (1.1) - (1.3), tugas ini terkait dengan satu atau jenis lain dari pemrograman matematika. Pemrograman linier (semua fungsi funekat), integer (larutan mewakili bilangan bulat), kuadrat (fungsi target adalah bentuk kuadrat), nonlinear (setidaknya salah satu fungsi dari masalah nonlinear) dan pemrograman stochastic (parameter yang memiliki karakter probabilistik termasuk).

Kelas tugas pemrograman nonlinear lebih luas daripada model linear kelas. Misalnya, biaya produksi dalam banyak kasus tidak sebanding dengan volume masalah, dan tergantung pada itu non-linear, pendapatan dari penjualan produk produksi ternyata menjadi fungsi harga nonlinier, dll. Kriteria dalam tugas perencanaan yang optimal sering berfungsi sebagai laba maksimum, minimum biaya, biaya modal minimum. Sebagai variabel, volume produksi berbagai jenis produk. Keterbatasannya meliputi fungsi-fungsi produksi yang mengkarakterisasi hubungan antara produksi produk dan biaya tenaga kerja dan sumber daya material, volumenya terbatas.

Berbeda dengan pemrograman linier, yang menggunakan metode solusi universal (simplex-metode), ada berbagai metode untuk menyelesaikan tugas nonlinear, tergantung pada bentuk fungsi yang termasuk dalam model. Dari seluruh ragam metode, kami hanya akan mempertimbangkan dua: metode Lagrange dan metode pemrograman dinamis.

DARIsabuk metode Lagrange terdiri dari informasi tugas untuk ekstremitas bersyarat untuk menyelesaikan masalah ekstrem tanpa syarat. Pertimbangkan model pemrograman nonlinier:

(5.2)

dimana - Fungsi terkenal,

tapi - Koefisien yang ditentukan.

Perlu dicatat bahwa dalam perumusan masalah pembatasan ini diberikan oleh persamaan, tidak ada kondisi non-negatif dari variabel. Selain itu, kami percaya fungsi itu Terus menerus dengan turunan swasta pertama mereka.

Kami mengubah kondisi (5.2) sehingga di bagian kiri atau kanan dari persamaan berdiri nol:

(5.3)

Membuat fungsi lagrange. Ini termasuk fungsi target (5.1) dan bagian yang tepat dari batasan (5.3), diminum masing-masing dengan koefisien . Koefisien Lagrange akan sebanyak pembatasan dalam tugas.

Fitur titik ekstrem (5.4) adalah titik ekstrem dari masalah asli dan sebaliknya: rencana optimal masalah (5.1) - (5.2) adalah titik ekstrem global fungsi Lagrange.

Memang, biarkan larutan ditemukan Tugas (5.1) - (5.2), maka kondisi (5.3) puas. Rencana pengganti Dalam fungsi (5.4) dan pastikan kesetaraan kesetaraan (5.5).

Dengan demikian, untuk menemukan rencana optimal dari tugas sumber, perlu untuk menyelidiki fungsi Lagrange ke ekstrem. Fungsi ini memiliki nilai ekstrem pada titik-titik di mana derivatif swasinya sama nol. Poin-poin tersebut disebut perlengkapan tulis.

Menentukan derivatif swasta (5.4)

,

.

Setelah menyamakan nolderivatif kami mendapatkan sistem m + N.persamaan S. m + N.tidak diketahui

, (5.6)

Secara umum, sistem (5.6) - (5.7) akan memiliki beberapa solusi di mana semua maxima dan minima fungsi Lagrange akan mencakup. Untuk menyoroti maksimum global atau minimum, dalam semua poin yang ditemukan menghitung nilai fungsi target. Yang terbesar dari nilai-nilai ini akan menjadi maksimum global, dan yang terkecil adalah minimum global. Dalam beberapa kasus ternyata kemungkinan penggunaannya kondisi yang cukup untuk ekstrem yang ketat Fungsi kontinu (lihat tugas di bawah 5.2):

biarkan fungsi terus menerus dan dua kali membedakan di beberapa lingkungan titik diamnya (I.E.)). Kemudian:

tapi) jika sebuah ,(5.8)

Itu adalah titik dari fungsi maksimum yang ketat;

b) jika sebuah ,(5.9)

Itu adalah titik dari fungsi minimum yang ketat;

g. ) jika sebuah ,

Pertanyaan tentang keberadaan ekstrem tetap terbuka.

Selain itu, beberapa solusi sistem (5.6) - (5.7) mungkin negatif. Apa yang tidak konsisten dengan makna ekonomi variabel. Dalam hal ini, harus dianalisis kemungkinan mengganti nilai negatif nol.

Makna ekonomi dari pengganda Lagrange.Nilai optimal dari pengganda menunjukkan berapa nilai kriteria Dgn zatdengan peningkatan atau penurunan sumber daya j. satu unit sejak.

Metode Lagrange dapat diterapkan dalam kasus ketika batasan adalah ketidaksetaraan. Jadi, menemukan fungsi ekstrem dalam kondisi

,

tampil dalam beberapa tahap:

1. Tentukan titik-titik stasioner dari fungsi target, yang dipecahkan oleh sistem persamaan

.

2. Dari titik stasioner dipilih oleh koordinat yang memenuhi persyaratan

3. Metode Lagrange memecahkan tugas dengan kendala kesetaraan (5.1) - (5.2).

4. Jelajahi titik maksimum global yang ditemukan pada tahap kedua dan ketiga: membandingkan nilai-nilai fungsi target pada titik-titik ini - nilai terbesar sesuai dengan rencana optimal.

Tugas 5.1. Dengan memecahkan metode Lagrange, tugas 1.3, dibahas pada bagian pertama. Distribusi sumber daya air yang optimal dijelaskan oleh model matematika

.

Buat fungsi lagrange

Temukan maksimum yang tidak bersyarat dari fungsi ini. Untuk ini, kami menghitung derivatif swasta dan menyamakannya ke nol

,

Dengan demikian, mereka menerima sistem persamaan linear dari formulir

Solusi sistem persamaan adalah rencana optimal untuk distribusi sumber daya air oleh daerah irigasi.

Nilai diukur dalam ratusan ribu meter kubik. - Jumlah laba bersih per seratus ribu meter kubik air irigasi. Akibatnya, harga batas 1 m 3 air irigasi sama dengan sarang. unit.

Pendapatan irigasi bersih maksimum tambahan akan

160 · 12.26 2 + 7600 · 12.26-130 · 8.55 2 + 5900 · 8.55-10 · 16,19 2 + 4000 · 16,19 \u003d

172391.02 (unit. Unit)

Tugas 5.2.Memecahkan masalah pemrograman nonlinier

Pembatasan akan disajikan sebagai:

.

Kami akan membuat fungsi lagrange dan kami mendefinisikan turunan pribadinya

.

Untuk menentukan titik stasioner dari fungsi LaGrange, itu harus sama dengan nol dari turunan swasta. Akibatnya, kami memperoleh sistem persamaan

DARIsabuk metode Lagrange terdiri dari informasi tugas untuk ekstremitas bersyarat untuk menyelesaikan masalah ekstrem tanpa syarat. Pertimbangkan model pemrograman nonlinier:

(5.2)

dimana
- Fungsi terkenal,

tapi
- Koefisien yang ditentukan.

Perlu dicatat bahwa dalam perumusan masalah pembatasan ini diberikan oleh persamaan, tidak ada kondisi non-negatif dari variabel. Selain itu, kami percaya fungsi itu
terus menerus dengan turunan swasta pertama mereka.

Kami mengubah kondisi (5.2) sehingga di bagian kiri atau kanan dari persamaan berdiri nol:

(5.3)

Membuat fungsi lagrange. Ini termasuk fungsi target (5.1) dan bagian yang tepat dari batasan (5.3), diminum masing-masing dengan koefisien
. Koefisien Lagrange akan sebanyak pembatasan dalam tugas.

Fitur titik ekstrem (5.4) adalah titik ekstrem dari masalah asli dan sebaliknya: rencana optimal masalah (5.1) - (5.2) adalah titik ekstrem global fungsi Lagrange.

Memang, biarkan larutan ditemukan
tugas (5.1) - (5.2), maka kondisi (5.3) puas. Rencana pengganti
dalam fungsi (5.4) dan pastikan kesetaraan kesetaraan (5.5).

Dengan demikian, untuk menemukan rencana optimal dari tugas sumber, perlu untuk menyelidiki fungsi Lagrange ke ekstrem. Fungsi ini memiliki nilai ekstrem pada titik-titik di mana derivatif swasinya sama nol. Poin-poin tersebut disebut perlengkapan tulis.

Menentukan derivatif swasta (5.4)

,

.

Setelah menyamakan nolderivatif kami mendapatkan sistem m + N.persamaan S. m + N.tidak diketahui

,(5.6)

Secara umum, sistem (5.6) - (5.7) akan memiliki beberapa solusi di mana semua maxima dan minima fungsi Lagrange akan mencakup. Untuk menyoroti maksimum global atau minimum, dalam semua poin yang ditemukan menghitung nilai fungsi target. Yang terbesar dari nilai-nilai ini akan menjadi maksimum global, dan yang terkecil adalah minimum global. Dalam beberapa kasus ternyata digunakan kondisi yang cukup untuk ekstrem yang ketatfungsi kontinu (lihat tugas di bawah 5.2):

biarkan fungsinya
terus menerus dan dua kali berbeda di beberapa lingkungan dari titik diamnya (itu.
)). Kemudian:

tapi ) jika sebuah
, (5.8)

bahwa - Titik fungsi maksimum yang ketat
;

b) jika sebuah
, (5.9)

bahwa - Titik fungsi minimum yang ketat
;

g. ) jika sebuah
,

Pertanyaan tentang keberadaan ekstrem tetap terbuka.

Selain itu, beberapa solusi sistem (5.6) - (5.7) mungkin negatif. Apa yang tidak konsisten dengan makna ekonomi variabel. Dalam hal ini, harus dianalisis kemungkinan mengganti nilai negatif nol.

Makna ekonomi dari pengganda Lagrange.Nilai optimal dari pengganda
menunjukkan berapa nilai kriteria Dgn zat dengan peningkatan atau penurunan sumber daya j.satu unit sejak.

Metode Lagrange dapat diterapkan dalam kasus ketika batasan adalah ketidaksetaraan. Jadi, menemukan fungsi ekstrem
dalam kondisi

,

tampil dalam beberapa tahap:

1. Tentukan titik-titik stasioner dari fungsi target, yang dipecahkan oleh sistem persamaan

.

2. Dari titik stasioner dipilih oleh koordinat yang memenuhi persyaratan

3. Metode Lagrange memecahkan tugas dengan kendala kesetaraan (5.1) - (5.2).

4. Jelajahi titik maksimum global yang ditemukan pada tahap kedua dan ketiga: membandingkan nilai-nilai fungsi target pada titik-titik ini - nilai terbesar sesuai dengan rencana optimal.

Tugas 5.1.Dengan memecahkan metode Lagrange, tugas 1.3, dibahas pada bagian pertama. Distribusi sumber daya air yang optimal dijelaskan oleh model matematika

.

Buat fungsi lagrange

Temukan maksimum yang tidak bersyarat dari fungsi ini. Untuk ini, kami menghitung derivatif swasta dan menyamakannya ke nol

,

Dengan demikian, mereka menerima sistem persamaan linear dari formulir

Solusi sistem persamaan adalah rencana optimal untuk distribusi sumber daya air oleh daerah irigasi.

, .

Nilai-nilai
diukur dalam ratusan ribu meter kubik.
- Jumlah laba bersih per seratus ribu meter kubik air irigasi. Akibatnya, harga batas 1 m 3 air irigasi sama dengan
sarang. unit.

Pendapatan irigasi bersih maksimum tambahan akan

160 · 12.26 2 + 7600 · 12.26-130 · 8.55 2 + 5900 · 8.55-10 · 16,19 2 + 4000 · 16,19 \u003d

172391.02 (unit. Unit)

Tugas 5.2.Memecahkan masalah pemrograman nonlinier

Pembatasan akan disajikan sebagai:

.

Kami akan membuat fungsi lagrange dan kami mendefinisikan turunan pribadinya

.

Untuk menentukan titik stasioner dari fungsi LaGrange, itu harus sama dengan nol dari turunan swasta. Akibatnya, kami memperoleh sistem persamaan

.

Dari persamaan pertama mengikuti

. (5.10)

Ekspresi menggantikan persamaan kedua

,

di mana mengikuti dua solusi untuk :

dan
. (5.11)

Mengganti solusi ini dalam persamaan ketiga, kita dapatkan

,
.

Nilai pengganda Lagrange dan tidak diketahui hitung dengan ekspresi (5.10) - (5.11):

,
,
,
.

Dengan demikian, kami menerima dua titik ekstrem:

;
.

Untuk mengetahui apakah titik data adalah titik maksimum atau minimum, kami menggunakan kondisi yang cukup dari ekstrem ekstrem (5.8) - (5.9). Pra-ekspresi untuk diperoleh dari batasan pengganti model matematika dengan fungsi target

,

. (5.12)

Untuk memverifikasi kondisi ekstrem yang ketat, tanda fungsi derivatif kedua harus ditentukan (5.11) pada titik ekstrem yang ditemukan oleh kami.
dan
.

,
;

.

Lewat sini, (·)
adalah titik minimum tugas asli (
), tetapi (·)
- Max Point.

Rencana optimal.:

,
,
,

.

• Tutorial.

Selamat siang untuk semua. Dalam artikel ini saya ingin menunjukkan salah satunya metode grafis Bangunan model matematika untuk sistem dinamis yang disebut Bond Grafik ("Obligasi" - Komunikasi, "Grafik" - Hitung). Dalam sastra Rusia, deskripsi metode ini, saya hanya menemukan dalam bantuan pengajaran Universitas Politeknik Tomsk, A.V. Voronin "Modeling Mechatronic Systems" 2008 juga menunjukkan metode klasik melalui persamaan LaGrange 2.

Lagrange Metode.

Saya tidak akan mengecat teori, saya akan menunjukkan tahapan perhitungan dan dengan komentar kecil. Secara pribadi, saya merasa lebih mudah untuk belajar dari contoh dari 10 kali untuk membaca teori. Seperti yang menurut saya, dalam sastra Rusia, penjelasan metode ini, dan memang matematika atau fisika, sangat jenuh dengan formula kompleks, yang sesuai, diperlukan latar belakang matematika yang serius. Selama studi metode Lagrange (saya belajar di Universitas Politeknik Turin, Italia), saya mempelajari literatur Rusia untuk membandingkan teknik perhitungan, dan sulit bagi saya untuk memantau keputusan metode ini. Bahkan mengingat kursus simulasi di Kharkov Aviation Institute, kesimpulan dari metode tersebut sangat rumit, dan tidak ada yang menyulitkan untuk mencoba memahami masalah ini. Ini, saya memutuskan untuk menulis ini, metode untuk membangun model match di Lagrange, ternyata ini sama sekali tidak sulit, cukup untuk mengetahui cara menghitung turunan waktu dan turunan swasta. Untuk model, matriks rotasi juga ditambahkan lebih sulit, tetapi tidak ada yang rumit di dalamnya.

Fitur Metode Pemodelan:

• Newton Eilera.: Persamaan vektor berdasarkan keseimbangan dinamis Kekuatan (kekuatan) dan momen (momen)
• Lagrange.: Persamaan skalar berdasarkan fungsi status yang terkait dengan kinetik dan potensi energi
• Bond Graf.: Metode berdasarkan daya (daya) antara elemen sistem

Mari kita mulai dengan S. contoh sederhana.. Massa dengan musim semi dan peredam. Mengabaikan gravitasi.

Gambar 1.. Misa musim semi dan peredam

Pertama-tama, kami menunjukkan:

• sistem koordinat awal (NSC) atau SK stasioner R0 (i0, j0, k0). Dimana? Anda dapat menyodok jari Anda ke langit, tetapi dengan berkedut ujung neuron di otak, ide itu berlalu untuk menempatkan NSC pada garis tubuh M1.
• sistem koordinat untuk setiap tubuh dengan massa (Kami memiliki m1 R1 (I1, J1, K1)), orientasi bisa sewenang-wenang, tetapi mengapa menyulitkan hidup Anda, menempatkan perbedaan minimum dari NSC
• koordinat umum q_i (Jumlah minimum variabel yang dapat dijelaskan oleh pergerakan), dalam contoh ini, satu koordinat umum, pergerakan hanya sepanjang sumbu j

Gambar 2.. Sistem koordinat geser dan koordinat umum

Gambar 3.. Posisi dan kecepatan tubuh m1

Setelah menemukan fungsi kinetik (c) dan potensial (P) dan fungsi disipatif (d) untuk peredam dengan formula:

Gambar 4.. Formula penuh energi kinetik

Dalam contoh kami, tidak ada rotasi, komponen kedua adalah 0.

Gambar 5.. Perhitungan kinetik, energi potensial dan fungsi disipatif

Persamaan Lagrange memiliki bentuk sebagai berikut:

Gbr. 6.. Persamaan Lagrange dan Lagrangian

Delta w_i. ini adalah pekerjaan virtual Sempurna dengan kekuatan dan momen terlampir. Temukan dia:

Gambar 7.. Perhitungan pekerjaan virtual

Dimana delta q_1. Gerakan virtual.

Kami mengganti segalanya dengan persamaan LaGrange:

Angka 8.. Model massa yang dihasilkan dengan pegas dan peredam

Pada metode Lagrange ini berakhir. Karena dapat dilihat tidak begitu sulit, tetapi masih merupakan contoh yang sangat sederhana untuk metode Newton-Euler kemungkinan besar bahkan lebih mudah. Untuk sistem yang lebih kompleks, di mana akan ada beberapa mayat, diputar relatif satu sama lain pada sudut yang berbeda, metode Lagrange akan lebih mudah.

Metode Obligasi Grafik.

Segera tunjukkan model ini dalam Bond-Graphh untuk contoh dengan massa musim semi dan peredam:

Gambar 9.. Massa grafik ikatan dengan pegas dan damper

Di sini Anda harus memberi tahu sedikit teori, yang cukup untuk membangun model sederhana. Jika seseorang tertarik, Anda dapat membaca buku ( Metodologi Grafik Obligasi) atau ( Voronin A.v. Modeling Mechatronic Systems: Tutorial. - Tomsk: Publishing House of Tomsk Polytechnic University, 2008).

Kami mendefinisikan untuk memulai dengan sistem kompleks yang terdiri dari beberapa domain. Misalnya, motor listrik terdiri dari bagian listrik dan mekanik atau domain.

Bond Grafik Berdasarkan pertukaran daya antara domain ini, subsistem. Perhatikan bahwa pertukaran daya, bentuk apa pun, selalu ditentukan oleh dua variabel ( kekuatan variabel) Dengan bantuan yang dapat kita pelajari interaksi berbagai subsistem dalam komposisi sistem dinamis (lihat tabel).

Seperti yang dapat dilihat dari tabel, ekspresi daya hampir sama di mana-mana. Dalam generalisasi Kekuasaan- Pekerjaan ini " thread - F."Di" upaya - E.».

Upaya(eng. upaya) Dalam domain listrik itu adalah tegangan (e), dalam kekuatan mekanik (F) atau momen (t), dalam hidraulik - tekanan (P).

Mengalir(eng. mengalir) Dalam domain listrik itu adalah arus (i), dalam kecepatan mekanis (V) atau angular velocity (omega), dalam aliran hidraulik atau aliran fluida (q).

Mengambil penunjukan ini, kami memperoleh ekspresi untuk daya:

Gambar 10.. Formula daya melalui variabel daya

Dalam bahasa Bond-Graph, koneksi antara dua subsistem yang bertukar kapasitas diwakili oleh hubungan (ENG. obligasi.). Karena itu, dan disebut metode ini bond-Grafik atau G. rAF-LINK, Grafik yang terhubung. Mempertimbangkan block diagram. Koneksi dalam model dengan motor listrik (ini belum obligasi-grafik):

Gambar 11.. Memblokir aliran daya diagram antara domain

Jika kita memiliki sumber tegangan, maka, itu menghasilkan tegangan dan memberikannya pada mesin di belitan (untuk ini, panah diarahkan ke arah mesin), tergantung pada resistensi berliku-liku muncul saat ini sesuai dengan Ohm hukum (diarahkan dari mesin ke sumber). Dengan demikian, satu variabel adalah pintu masuk ke subsistem, dan yang kedua harus diperlukan keluarandari subsistem. Ada tegangan ( upaya) - input, arus ( mengalir) - output.

Jika Anda menggunakan sumber saat ini, bagaimana diagram akan berubah? Baik. Arus akan diarahkan ke mesin, dan tegangan ke sumber. Lalu saat ini ( mengalir) - Pintu masuk, tegangan ( upaya) - output.

Pertimbangkan contoh dalam mekanik. Kekuasaan bertindak untuk massa.

Gambar 12.. Daya yang melekat pada massa

Diagram blok akan menjadi berikut:

Gambar 13.. Block diagram.

Dalam contoh ini, kekuatan ( upaya) - variabel input untuk massa. (Daya diterapkan pada massa)
Menurut Hukum Kedua Newton:

Massa sesuai dengan kecepatan:

Dalam contoh ini, jika satu variabel ( memaksa - upaya) adalah memasukkandalam domain mekanis, maka variabel daya lain ( kecepatan - mengalir) - Secara otomatis menjadi keluaran.

Untuk membedakan, di mana pintu masuk, dan di mana output digunakan, garis vertikal digunakan di ujung panah (komunikasi) antara elemen, baris ini disebut tanda kausalitas atau komunikasi kausal (hubungan sebab dan akibat.). Ternyata: gaya yang diterapkan adalah alasannya, dan kecepatannya adalah konsekuensinya. Tanda ini sangat penting untuk pembangunan model sistem yang benar, karena kausalitas adalah konsekuensi dari perilaku fisik dan pertukaran kapasitas dua subsistem, pada pilihan lokasi tanda kausalitas tidak dapat sewenang-wenang.

Gambar 14.. Penunjukan Obligasi Kausal

Garis vertikal ini menunjukkan subsistem mana yang menerima upaya ( upaya) dan sebagai hasilnya, menghasilkan aliran ( mengalir). Dalam contoh dengan massa akan seperti ini:

Gambar 14.. Penyebab komunikasi untuk kekuatan yang bekerja untuk massa

Menurut panah, jelas bahwa di pintu masuk untuk massa - memaksa, dan keluar - kecepatan. Ini dilakukan untuk tidak memanjat panah ke skema dan sistematisasi konstruksi model.

Berikut momen penting. Dorongan umum (Gerakan) dan pindah(variabel energi).

Daftar variabel daya dan energi dalam domain yang berbeda

Tabel di atas memasuki dua jumlah fisik tambahan yang digunakan dalam metode Bond-Graph. Mereka dipanggil impuls umum (r.) I. generalized Move. (q.) atau variabel energi, dan dapat diperoleh dengan mengintegrasikan variabel daya berdasarkan waktu:

Gbr. 15.. Komunikasi antara variabel daya dan energi

Dalam domain listrik :

Berdasarkan hukum Faraday, tegangandi ujung konduktor sama dengan turunan fluks magnetik melalui konduktor ini.

TAPI TOK POWER - Nilai fisik sama dengan rasio jumlah pengisian q, yang telah berlalu beberapa kali t melalui penampang konduktor, ke nilai periode waktu ini.

Domain Mekanik:

Dari 2 hukum Newton, Memaksa- Derivatif waktu dari momentum

Dan sesuai, kecepatan - Derivatif waktu dari gerakan:

Umum:

Elemen dasar

Semua elemen dalam sistem dinamis dapat dibagi menjadi komponen dua kutub dan empat tiang.
Mempertimbangkan komponen dua kutub:

Sumber
Sumber adalah upaya dan aliran. Analogi dalam domain listrik: sumber usaha – sumber tegangan, sumber banjir. – sumber Tok. Penyebab sumber seharusnya hanya semacam itu.

Gambar 16.. Penyebab dan Penunjukan Sumber

Komponen R. - Elemen disipatif.

Komponen I. - elemen inersia.

Komponen C. - elemen kapasitif

Seperti yang dapat dilihat dari gambar, elemen yang berbeda dari satu tipe R, C, i Menggambarkan persamaan yang sama. Hanya ada perbedaan untuk wadah listrik, itu hanya perlu diingat!

Komponen empat kali lipat:

Pertimbangkan dua komponen transformator dan gyrator.

Komponen penting terbaru dalam metode Bond-Graph adalah koneksi. Ada dua jenis node:

Ini selesai dengan ini dengan komponen.

Tahunan utama untuk pementasan koneksi kausal setelah membangun ikatan-grafik:

1. Masukkan koneksi kausal ke semua sumber
2. Pergi melalui semua node dan letakkan koneksi kausal setelah klausa 1
3. Untuk komponen I.tetapkan koneksi penyebab input (gaya memasuki komponen ini) untuk komponen S.kami menetapkan output yang disebabkan koneksi (upaya keluar dari komponen ini)
4. Ulangi item 2.
5. Menempatkan koneksi kausal untuk komponen R.

Pada mini-kursus ini pada teori akan berakhir. Sekarang kami memiliki semua yang Anda butuhkan untuk membangun model.
Mari kita putuskan beberapa contoh. Mari kita mulai dengan S. rantai listrikLebih baik memahami analogi Build Bond-Graph.

Contoh 1.

Mari kita mulai membangun grafik ikatan dari sumber tegangan. Cukup tulis SE dan letakkan panah.

Lihat semua saja! Kami melihat nanti, R dan L terhubung secara seri, arus yang sama mengalir di dalamnya, jika kita berbicara dalam variabel daya - aliran yang sama. Node apa yang memiliki aliran yang sama? Jawaban yang benar adalah 1 node. Kami terhubung ke sumber simpul 1, resistance (komponen - R) dan induktansi (komponen - i).

Selanjutnya, kami memiliki wadah dan resistensi dalam paralel, mereka memiliki tegangan atau usaha yang sama. 0 node cocok sama sekali. Hubungkan komponen kontainer (c) (R) ke 0 node.

Node 1 dan 0 juga saling terhubung. Arah penembak dipilih sewenang-wenang, arah komunikasi hanya mempengaruhi persamaan tanda.

Dapatkan grafik tautan berikut:

Sekarang Anda perlu memasukkan koneksi kausal. Mengikuti instruksi tentang urutan stasiun mereka, mulailah dengan sumbernya.

1. Kami memiliki sumber tegangan (usaha), sumber seperti itu hanya memiliki satu opsi kausalitas - output. Taruh.
2. Selanjutnya, ada komponen saya, lihat apa. Taruh
3. Tergelincir untuk simpul 1. ada
4. 0 node harus memiliki satu input dan semua penyebab akhir pekan. Kami masih memiliki satu hari libur. Kami mencari komponen dengan atau I. Ditemukan. Taruh
5. Saya meletakkannya

Itu saja. Bond-Graph dibangun. Hore, Kawan-kawan!

Tetap kecil, tulis persamaan yang menggambarkan sistem kami. Untuk melakukan ini, buatlah meja dengan 3 kolom. Pada awalnya akan ada semua komponen sistem, dalam variabel input kedua untuk setiap elemen, dan dalam variabel keluaran ketiga, untuk komponen yang sama. Kami telah mengidentifikasi pintu masuk dan hasil yang disebabkan oleh menyebabkan koneksi. Jadi seharusnya tidak ada masalah.

Nomor setiap koneksi untuk kenyamanan tingkat penulisan. Persamaan untuk setiap elemen mengambil dari daftar komponen C, R, I.

Membuat tabel menentukan variabel negara, dalam contoh ini 2, P3 dan Q5. Selanjutnya perlu merekam persamaan negara:

Itu semua model sudah siap.

Contoh 2. Segera saya ingin didenominasi untuk kualitas foto, yang utama adalah Anda dapat membaca

Kami memutuskan contoh lain untuk sistem mekanis, sama dengan yang kami pakai metode Lagrange. Saya akan menunjukkan solusi tanpa komentar. Periksa metode mana yang lebih mudah, lebih mudah.

Di materbal, kedua model tikar disusun dengan parameter yang sama yang diperoleh oleh Lagrange dan Bond-Graph. Hasil di bawah ini: Tambahkan tag

Nama parameter	Nilai
Tema artikel:	Metode lagrange.
Rubrik (Kategori Tematik)	Matematika

Temukan cara polinomial untuk menentukan nilai koefisiennya . Untuk melakukan ini, menggunakan kondisi interpolasi, Anda dapat membentuk sistem persamaan aljabar linase (Slava).

Penentu slam ini dibuat oleh penentu vandermond. Determinan vandermond bukan nol untuk untuk, yaitu, dalam kasus ketika tidak ada node yang cocok di tabel interpolasi. ᴀᴋᴎᴍᴀᴋᴎᴍ ᴏϭᴩᴀᴈᴏᴍ, dapat dikatakan bahwa Slava memiliki keputusan dan keputusan ini unik. Memutuskan Slava dan mendefinisikan koefisien yang tidak diketahui Anda dapat membangun polinomial interpolasi.

Polinomial, kondisi interpolasi yang memuaskan, selama interpolasi, metode Lagrange didasarkan dalam bentuk kombinasi mata-mata polinomial n-esensial:

Polinomial disebut dasar polinomial. Untuk lagrange Polinomial. Kondisi interpolasi yang memuaskan sangat penting bahwa kondisi berikut dilakukan untuk dasar polinomialnya:

untuk .

Jika kondisi ini dilakukan, maka kita punya:

ᴀᴋᴎᴍᴀᴋᴎᴍ ᴏϭᴩᴀᴈᴏᴍ, eksekusi kondisi tertentu untuk polinomial dasar berarti bahwa kondisi interpolasi dilakukan.

Kami mendefinisikan jenis polinomial dasar berdasarkan pembatasan yang ditumpangkan pada mereka.

Kondisi 1: di.

Kondisi ke-2: .

Akhirnya untuk polinomial dasar dapat ditulis:

Kemudian, mengganti ekspresi yang dihasilkan untuk polinomial dasar ke dalam polinomial asli, kami memperoleh tipe terakhir dari Lagrange Polynomial:

Bentuk pribadi polinomial lagrange diambil untuk memanggil rumus interpolasi linase:

.

Lagrange Polynomial diambil ketika diambil disebut formula interpolasi kuadrat:

Metode lagrange. - Konsep dan spesies. Klasifikasi dan fitur kategori "Metode Lagrange." 2017, 2018.

- Metode Lagrange (metode variasi konstanta sewenang-wenang).

Linear lakukan. Definisi. Du Lihat I.E. Linier milik F "dan turunannya dari Naz-Xia Linear. Untuk memecahkan jenis ini dari UR-th, kami mempertimbangkan dua metode: metode lagrange dan metode Bernoulli. Kami akan mempertimbangkan du homogen ini UR-E dengan solusi larutan UR-I secara umum ....

- Linear du, homogen e dan heterogen. Konsep pemecahan umum. Metode Lagrange untuk variasi parfum permanen.

Definisi. Du Naz-Sia homogen, jika F-I dapat direpresentasikan sebagai F-I menceritakan argumen saya. F-iz naz-smemy dimensi F Jika contoh: 1) - urutan ke-1 homogenitas. 2) - urutan homogenitas ke-2. 3) - nol order homogenity (hanya homogen ....

- Kuliah 8. Penggunaan derivatif swasta: tugas untuk ekstrem. Metode lagrange.

Tugas ekstrem sangat penting dalam perhitungan ekonomi. Perhitungan ini, seperti penghasilan Maxima, laba, biaya minimum, tergantung pada beberapa variabel: sumber daya, aset produksi, dll. Teori menemukan fungsi ekstrem ....

- T.2.3. Du orde tinggi. Persamaan dalam diferensial lengkap. T.2.4. Linear du adalah urutan kedua dengan koefisien konstan. Metode lagrange.

3. 2. 1. du dengan memisahkan variabel S.R. 3. Dalam ilmu pengetahuan alami, teknologi dan ekonomi sering harus berurusan dengan rumus empiris, I.E. Formula berdasarkan pemrosesan data statistik atau ...